Định thức và ứng dụng

Lý do chọn đề tài Đại số tuyến tính là một bộ môn toán nghiên cứu về không gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính, và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng, là một trong những môn học

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số tuyến tính là một bộ môn toán nghiên cứu về không gian vectơ,

hệ phương trình tuyến tính, và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng,

là một trong những môn học có vai trò quan trọng cho sự phát triển của toán học, là môn học cơ sở trong chương trình toán học cao cấp ngày

nay Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều trong toán học như trong đại

số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích…Nó cũng có vô vàn ứng

dụng trong khoa học tự nhiên (vật lí, công nghệ, ) và khoa học xã hội Định thức là một trong những công cụ rất quan trọng trong Đại số tuyến tính và có nhiều ứng dụng trong toán học Phương pháp định thức cho phép tiếp cận những kiến thức toán học một cách gọn gàng sáng sủa, đồng thời sử dụng định thức còn là phương pháp giải toán rất hiệu quả

Nó có tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy cho người học toán

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về mảng kiến thức này,tôi lựa chọn đề tài “ Định thức và ứng dụng ” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiêm cứu

Trình bày lí thuyết cơ bản về định thức và ứng dụng của định thức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đưa ra kiến thức liên quan về định thức và ứng dụng của định thức

Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất,các phương pháp định thức của

Xây dựng hệ thống bài tập qua các lớp bài toán về ứng dụng của định thức

4 Đối tượng nghiên cứu

Xây dựng xung quanh vấn đề định thức và ứng dụng của định thức trong toán học

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách và nghiên cứu các tài liệu tham khảo

Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu

Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ A B, , Ma trận (1) có thể

được kí hiệu đơn giản bởi A (a ij)m n , trong đó i 1,m chỉ số dòng và

● Khi n  1 thì ma trận chỉ có một cột và m dòng, được gọi là ma trận cột

1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt:

1.2.1 Ma trận chéo

Ma trận vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0

được gọi là ma trận chéo (hay ma trận đường chéo) Ma trận chéo cấp n

có dạng:

11 22

0 0

0 0 nn

a a A

Ma trận vuông có các phần tử ở trên (hoặc dưới) đường chéo chính

bằng 0 được gọi là ma trận tam giác

Ma trận tam giác trên có dạng:

là ma trận tam giác trên

Ma trận tam giác dưới có dạng:

là ma trận tam giác dưới

Nhận xét: Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi

chung là ma trận tam giác

1.2.4 Ma trận chuyển vị

a) Định nghĩa:

Cho ma trận AMat m n,K Ma trận chuyển vị của ma trận A,

( ký hiệu T

A ) là ma trận mà trong đó vai trò của dòng và cột hoán

chuyển cho nhau nhưng vẫn giữ nguyên chỉ số của chúng

ngược lại chuyển vị của ma trận dòng là ma trận cột

1.2.5 Ma trận nghịch đảo

Ma trận vuông A Mat n n (  , )K là một ma trận khả nghịch nếu có

một ma trận vuông BMat n n(  , )K thỏa mãn : ABBA I Khi đó, n

B được gọi là ma trận nghịch đảo của A , kí hiệu là : BA1

( là tổng của các tích các phần tử tương ứng dòng i của ma trận A với cột j của ma trận B ) cho bởi:

không giao hoán

Ngoài ra, có những ma trận khác 0 nhưng tích của chúng lại là ma trận 0

1.4 Hạng của ma trận

 Hạng của một hệ vec tơ:

Cho một hệ gồm một số hữu hạn vectơ của không gian vectơ V Ta gọi số vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ là hạng của hệ vectơ đã cho

Kí hiệu hạng của hệ vec tơ    1 , 2 , ,n

 là rank  1 ,  2 , ,n

Hạng của ma trận

ChoAM at m n, K Coi mỗi cột ( hay dòng) của A là một vectơ

ta được hệ n vectơ (tương ứng m vectơ) của không gian vectơ

n

K (tương ứng K ) Ta gọi hạng của hệ m n (tương ứng m ) vectơ này là

Như vậy hạng của ma trận được định nghĩa là hạng của hệ vectơ cột ( hạng hệ vectơ dòng ) của nó

Tổng quát : song ánh của một tập hợp A gồm n phần tử vào chính nó cũng gọi là một phép thế của tập A vì nếu ta liệt kê các phần tử của A dưới dạng A= a a1 , 2 ,  ,a n thì phép thế  của A sẽ có dạng:

 Phép thế  S n mà  i  j, j i;   k  k,  k i j, được gọi là một phép chuyển trí, được kí hiệu là i j, 

Nghĩa là phép thế  đổi chỗ hai phần tử i, j  1, 2, ncho nhau và giữ nguyên các phần tử còn lại

1.5.2 Nghịch thế, dấu của phép thế

 Với n 1 ta gọi cặp số {i,j}{1,2,…,n} là một nghịch thế của

phép thế  nếu   i   j trái dấu với i-j nghĩa là:    

thế của tập hợp gồm n số tự nhiên đầu tiên {1, 2,…, n}

Nhận xét: Định thức của một ma trận vuông cấp n trên trường K thường

Trong đó các dòng còn lại của 2 định thức ở hai vế là hoàn toàn như

nhau và chính là các dòng còn lại của ma trận A

Chú ý: Các tính chất 1, 2, 4 trên chính là tính đa tuyến tính thay phiên

của định thức Từ các tính chất trên ta có các kết quả sau:

2.1.2.5 Tính chất 5: Định thức của ma trận A sẽ bằng 0 nếu thỏa một

trong các điều kiện sau:

 Có một dòng mà tất cả các phần tử của dòng đó đều bằng 0

 Có hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau

 Có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác Tức là tồn tại

2.1.2.7 Tính chất 7: Nếu A là ma trận tam giác trên (ma trận tam giác

dưới) thì định thức của ma trận A bằng tích của tất cả các phần tử trên

đường chéo chính Tức là nếu:

Nhận xét:

Nếu thay từ dòng bằng từ cột thì các tính chất trên vẫn đúng

Đối với các ma trận A có cấp n (với n là một số rất lớn), khi đó việc tính detA bằng định nghĩa ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn Do đó, ngoài

cách vận dụng các tính chất trên của định thức, ta còn rất hay sử dụng định lý Laplace sau đây

2.2 Định lý Laplace:

2.2.1 Định thức con và phần bù đại số:

Cho A là ma trận vuông cấp n và k là một số tự nhiên thỏa

mãn1 k n Nếu chọn k dòng và k cột của A thì định thức M của ma trận vuông cấp k gồm các thành phần nằm ở giao của k dòng và k cột này được gọi là một định thức con cấp k của ma trận A

Định thức M' của ma trận vuông cấp n-k nhận được sau khi xóa đi k dòng và k cột đó được gọi là một định thức con bù của định thức con M

Nếu k dòng đã chọn là i1,,i k và k cột đã chọn là j1,, j k thì ta gọi

 1 1  '

k

q q q

là phần bù đại số của định thức con M

Khi k =1 thì phần bù đại số của định thức con cấp một

 ij ij

det

M  a  a cũng được gọi là phần bù đại số của phần tử aij Nó

bằng  1 i j Mij với Mijlà định thức của ma trận vuông cấp n 1có

được bằng cách xóa đi dòng i, cột j của ma trận A Ta kí hiệu phần bù đại

số của phần tử a ijlà Aij Khi đó ta có: Aij=  1 i j Mij

2.2.2 Định lý Laplace: Cho A là ma trận vuông cấp n

Khai triển theo dòng cuối của 2 định thức trên có:

thì nếu làm như vậy thì số lượng phép tính sẽ khá lớn Bởi vậy, ta thực

hiện theo các bước sau sẽ làm giảm đi số phép tính cần thực hiện:

 Bước 1: Chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0 nhất để khai triển định

thức theo dòng (cột) đó

 Bước 2: Sử dụng tính chất 6 để đưa định thức về dạng có dòng

(cột) đã chọn thành dòng (cột) chỉ có một số khác 0

 Bước 3: Khai triển định thức theo dòng (cột) đó Khi đó, việc tính

một định thức cấp n quy về việc tính định thức cấp n-1 Tiếp tục lặp lại

các bước 1, 2 cho định thức cấp n-1, cuối cùng ta sẽ dẫn về việc tính

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

3

2 2

Nhận xét : Việc tính định thức theo định nghĩa là rất khó khăn vì số

phép thế bằng n! là một số khổng lồ khi n tăng.Trên thực tế nó chỉ được

áp dụng để tính khi n 2,3; hoặc khi ma trận A có dạng rất đặc biệt

Sau đây là một số phương pháp thông dụng

2.3.2 Phương pháp khai triển

Cơ sở của phương pháp này là định lý khai triển Laplace

● Nhận xét:

Nên sử dụng công thức khai triển theo dòng i (cột ) đối với dòng (cột)

chứa nhiều phần tử 0 hay những số đơn giản để tính định thức đã cho

2.3.3 Phương pháp đưa về ma trận tam giác

Sử dụng các phép biến đổi tương đương trên dòng ( cột ) của ma trận và

sử dụng các tính chất của định thức để biến đổi ma trận của định thức về dạng tam giác Định thức sau cùng sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

● Thường sử dụng phương pháp Gauss để đưa ma trận về dạng tam giác

Phương pháp Gauss:

+ Chọn một chỉ số i sao cho a ij 0 rồi đổi chỗ dòng thứ 1 và dòng thứ i

cho nhau, đồng thời đổi dấu định thức

Lần lượt trừ từ dòng thứ i ≥ 2 đi tích của dòng thứ 1 ( của ma trận mới )

nk  ở góc phải bên dưới cùng

+ Tối đa sau n 1bước ta sẽ được một ma trận tam giác trên Định thức của nó bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

Ví dụ Tính các định thức sau:

a) Định thức D cấp n  n  2 

Ta nhân dòng 1 với (-2) rồi cộng vào dòng 2 Ta được định thức sau:

2.3.4 Phương pháp rút ra các nhân tử tuyến tính

Nếu mỗi phần tử của ma trận vuông A cấp n là một đa thức bậc nhất đối

với biến x nào đó, ta tìm được n đa thức bậc nhất f f1, 2, , fn có

nghiệm khác nhau sao cho mỗi fi là ước của A thì ta có thể kết luận

A và tích f f1 .2 fn sai khác nhau một nhân tử hằng số

Ví dụ Tính định thức sau:

0000

số (-1) trong đó định thức lại chứa 4

z với hệ số (+1) Cho nên

2.3.5 Phương pháp truy hồi

Ta biến đổi định thức theo dòng hoặc cột sao cho có thể biểu diễn định

thức đã cho qua các định thức cùng dạng nhưng có cấp thấp hơn, sau đó

Khai triển định thức theo dòng đầu tiên ta được:

2.3.6 Phương pháp sử dụng tính đa tuyến tính

Nhiều định thức con cấp n có thể được tính bằng cách tách định thức

theo các dòng ( hoặc theo các cột ) thành tổng các định thức cùng cấp Các định thức mới này thường bằng 0 hoặc tính được dễ dàng

Dbcd acd abd abcabcd

2.3.7 Phương pháp biểu diễn định thức bằng tích bằng tích các định thức:

Cho ma trận A aij Mat n n,K Ta biểu diễn ma trận A thành

tích các ma trận vuông cấp n đơn giản hơn: AB C Khi đó ta có:

Với n 2 ta có:

c d

Ta cũng có thể tính định thức D bằng cách khai triển theo dòng 2 và

dòng 4, khi đó ta được một định thức con cấp 2 khác 0 Ta có:

10

n n

n n

b, Lấy dòng thứ i nhân với (-1) rồi cộng vào dòng thứ i 1theo thứ tự 1,2, , 1

i  n ta được:

+Cộng dòng 4 vào dòng 1, dòng 3 vào dòng 2 ta được:

Nếu c x  1 abthì D x   0 Suy ra: D c  a  b 1 0  4

Từ        1 , 2 , 3 , 4 và D x là đa thức bậc 4 với hệ số của 4

Lấy cột thứ n 1 nhân với x nrồi cộng vào cột thứ n

Lấy cột thứ n 2 nhân với x nrồi cộng vào cột thứ n 1

n n n

a, Khai triển theo dòng 1 ta được:

1 1

Khai triển định thức đầu theo cột thứ nta được định thức đầu bằng D n1

Nhân cột thứ n của định thức thứ 2 với b irồi cộng vào các cột thứ

a a

a a

0 0

n

x x

x x



+ nđịnh thức có đúng một dòng j là a1 , ,a n, còn các dòng khác có dạng 0, , , 0x (x ở vị trí thứ i ) Áp dụng khai triển Laplace ta có các

n n

n n

sin sin sin sin

n n

abcde  ace acd bcd x

Bài tập 8 Dùng phương pháp đưa về dạng tam giác tính các định thức sau:

Xét định thức D a a  1 , 2 , ,ancó các cột hoặc dòng được tạo thành bởi

tọa độ của các vectơ { ,a a 1 2, ,an}

Vì mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính gồm n vectơ của không gian vectơ n

chiều đều là cơ sở nên hệ 3 vectơ { ,a a a  1 2, 3}

trên là một cơ sở của không

n n

Ví dụ 2 Tìm ma trận vuông cấp 2,3 X trong mỗi thường hợp sau:

a) A.X=B với cos sin

cos sin 1 1 cos cos sin

3.3 TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN

Cho AMat m n,K 0 Hạng của ma trận A là số tự nhiên

r,1  r  minm n, thỏa mãn các điều kiện sau:

+ Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0

+ Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều

1 Không có một định thức con cấp k+1 nào của A Trường hợp này

xảy ra khik min m n ,  Khi đó, rankAk Thuật toán kết thúc

2 Tất cả các định thức con cấp k+1 chứa định thức D k đều bằng 0 Khi đó rankAk và thuật toán kết thúc

3 Nếu tồn tại một định thức con cấp k+1 của A là D k+1 chứa định

trí của D k Tiếp tục như vậy đến khi xảy ra trường hợp 1 hoặc 2 thì thuật toán kết thúc

trong đó a ij , b i (j 1, n i1, )m là các phần tử cho trước thuộc trường

K được gọi là một hệ phương trình tuyến tính trên trường K Các a ij là

A x

A

 (j1, )n

trong đó A j là ma trận có được bằng cách thay cột thứ j của ma trận A bằng cột hệ số tự do (b ,b , ,b )

 Ta xét tập nghiệm của hệ (*):

+ Nếu rank Arank A bs thì hệ (*) vô nghiệm

+ Nếu rank A = rank A bs = r thì hệ (*) có nghiệm

Gọi D là định thức con cấp r khác 0 Giả sử định thức nằm ở góc bên

duy nhất (d r+1 , d r+2 , ,d n ) của hệ (**) Do đó (d r+1 , d r+2 , ,d n) là một nghiệm của hệ (*)

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

A y

A

1det

A z

A

   ; det 4

1det

A t

A

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (-1,1,-1,1)

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a,b,c:

1

det

.det

3.5 TÌM GIÁ TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG

Giả sử f V: V là tự đồng cấu của K - không gian vectơ V Nếu có vectơ  0

của V và vô hướng K sao cho f   

thì  được

gọi là một giá trị riêng còn 

được gọi là một vectơ riêng của f ứng với

giá trị riêng 

Nếu A là ma trận của tự đồng cấu f thì  , 

cũng được gọi là các

giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận A

● Thuật toán tìm giá trị riêng, vectơ riêng của tự đồng cấu f :

Bước 1: Lấy một cơ sở  e e e 1, 2, ,en

 của V và tìm ma

Bước 2: Lập đa thức đặc trưng det A I của ma trân A

Bước 3: Giải phương trình đa thức bậc n đối với ẩn 

detAI0 Nghiệm của phương trình này là

tập các giá trị riêng của f

Bước 4: Với mỗi giá trị  của phương trình trên giải hệ

phương trình tuyến tính thuần nhất suy biến:

       

 là vectơ riêng ứng với giá trị riêng 

Ví dụ 1 Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu f có ma trận

như sau trong cơ sở e e 1, 2,e3

Vậy f có các giá trị riêng 1 2 0 ;3  1

với a 0 là vectơ riêng của f ứng

với giá trị riêng 0

Vậy   không là cơ sở của R 3

11 33 1

11 11

Bài tập 5 Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của các tự đồng cấu

f có ma trận sau trong cơ sở e e e  1, 2, 3

Vậy vectơ b6e1 7e2 5e3

với b 0 là vectơ riêng của f ứng

với giá trị riêng 2  3

Bài tập 8 Giải các phương trình ma trận sau:

a, a1 1, 2, 1, 3 ,  a2 0, 3, 3, 7 ,  a3 7,5, 2, 0 , a4 2,1,1, 1  

b,{b 2,1,1,3,5 , b 1, 2,1,1,3 , b 7,1, 6, 0, 4 , b 3, 4, 4,1, 2 ,

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x3,y 1,z2

Bài tập 11 Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số 

Bài tập 12 Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của các tự đồng cấu

f có ma trận sau trong cơ sở e e e  1, 2, 3

b, Đa thức đặc trưng của B :detBI  1 2 3

Ma trận B có hai giá trị riêng: 1 1,2  3

Hai vectơ riêng ứng với hai giá trị

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Hồng Trường Đại số tuyến tính Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, 2001

[2] Ngô Thúc Lanh Đại số tuyến tính NXB ĐH&THCN 1970

[3] Đoàn Quỳnh ( chủ biên ) Giáo trình toán đại cương phần một Đại

số tuyến tính và hình học giải tích NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

1998

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

Chương 1: MA TRẬN VÀ CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 3

1.1 Ma trận 3

1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt: 4

1.3 Phép nhân hai ma trận: 7

1.4 Hạng của ma trận 8

1.5 Phép thế và dấu của phép thế 9

Chương 2: ĐỊNH THỨC 11

2.1 Định nghĩa 11

2.2 Định lý Laplace: 14

2.3 Các phương pháp tính định thức 23

BÀI TẬP VẬN DỤNG 36

Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC 50

3.1 Xét tính độc lập, phụ thuộc của một hệ vectơ 50

3.2 Tìm ma trận ngịch đảo 52

3.3 Tìm hạng của ma trận 56

3.4 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính 58

3.5 Tìm giá trị riêng, vectơ riêng 65

BÀI TẬP VẬN DỤNG 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 81