Cung song chính quy định hướng trong e3

LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, giáo khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội có nhận xét quý báu, động viên giúp đỡ em để em hồn thành khóa luận suốt thời gian vừa qua Đặc biệt em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy Nguyễn Năng Tâm tạo điều kiện thuận lợi bảo tận tình để em hồn thành tốt khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Lê Thị Hảo LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành với bảo thầy giáo khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy giáo Nguyễn Năng Tâm Trong khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Em xin khẳng định kết đề tài khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên L ê T h ị H ảo MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Không gian Euclid Hàm vectơ Cung tham số Ánh xạ khả vi Trường vectơ dọc cung tham số Đạo hàm trường vectơ dọc cung tham số Chương CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG TRONG E3 11 §1 Cung E3 11 Cung E3 11 Cung quy 12 Cung định hướng 12 §2 Độ dài cung Tham số hóa tự nhiên cung quy 19 Độ dài cung 19 Mặt phẳng mật tiếp cung điểm song quy 22 Tham số hóa tự nhiên cung quy 25 §3 Cung song quy , độ cong độ xoắn 28 Độ cong độ xoắn 28 Cung song quy 32 Chương MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG TRONG E3 36 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học mơn học nghiên cứu số, cấu trúc không gian phép biến đổi Nói cách khác người ta cho mơn học “Hình Số” Bên cạnh phát triển “Số” “Hình” phận lớn phát triển đa dạng với nhiều mơn học như: Hình xạ ảnh, hình Euclid, hình học vi phân Trong Hình học vi phân mơn có tính hệ thống cao, chặt chẽ, tính logic, trừu tượng cao Ở đó, khái niệm cung, cung song quy , cung định hướng khái niệm bản.Tuy nhiên, vấn đề cịn trình bày cách sơ lược chưa phân loại hệ thông cách chi tiết Xuất phát từ mong muốn niềm đam mê tìm hiểu sâu vấn đề em định chọn đề tài: “Cung song quy định hƣớng E3” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài tìm hiểu nâng cao kiến thức cung song quy định hướng E3 Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Kiến thức cung song quy định hướng E3 3.2 Phạm vi nghiên cứu Khái niệm cung, cung quy, cung song quy E3 số toán liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu cung song quy định hướng E3 Phƣơng pháp nghiên cứu Phân tích tổng kết tài liệu Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu, luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Cung song quy định hướng E3 Chương 3: Một số tập cung song quy định hướng E3 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương nói tới số định nghĩa, kí hiệu, số định lí sử dụng khóa luận Không gian Euclid 1.1 Định nghĩa (xem [4], tr 139) Cho V ¡ - không gian vectơ Khi tích vơ hướng V ánh xạ: < , > : V V r ur x, y a thỏa mãn tiên đề sau: r ur ur r i) x, y y, x r ur r x, y z r ur x, y iii) r ur x, y r ur x, y r r x, x r r x, x r r x, z r ur r x, y , z V r ur x, y V , ¡ r x V 0 r ur x, y r ur x, y V ii) iv) ¡ r r x uur ur ur r Ta gọi số thực x, y tích vơ hướng x y r ur Ngồi tích vơ hướng cịn kí hiệu x y 1.2 Định nghĩa Không gian vectơ Euclid ¡ không gian vectơ xác định tích vơ hướng Không gian Euclid không gian afin liên kết với không gian Euclid hữu hạn chiều Không gian Euclid gọi n chiều không gian vectơ Euclid liên kết với n chiều Ta thường kí hiệu n khơng gian Euclid n chiều ur n không gian vectơ Euclid n chiều ur ur ur ur ur n Với , bất kỳ, tích vơ hướng hai vectơ kí hiệu ur ur ur ur ur ur cos , Hàm vectơ 2.1 Định nghĩa (xem [2], tr 6) Trong n cho U tập hợp tùy ý khác rỗng ánh xạ ur ur n ur :U ,u a (u ) gọi hàm vectơ xác định U 2.2 Định lý (xem [2], tr 6) n Cho U tập hợp tùy ý , cho hàm vectơ ur ur n ur ur uur uur :U ,ua (u ) Gọi e1, e2 , , en sở trực chuẩn n Khi đó, tồn hàm số: xi : U r x(u ) n ¡ , u a xi (u ) cho: ur xi (u )ei i L * Nhận xét: Trong n cho hàm vectơ tương đương với cho n hàm vectơ tương ứng ta gọi hàm hàm tọa độ 2.3 Định nghĩa (xem [2], tr 6) Cho J khoảng ¡ ur ur n ur ur ,t a (t ) Khi giới hạn hàm vectơ (t ) Xét hàm vectơ : J ur ur (t t) (t ) lim tồn gọi đạo hàm hàm vectơ t t ur t Ta kí hiệu (t ) Cung tham số 3.1 Định nghĩa (xem [2], tr 16) Mỗi ánh xạ :J n ¡ vào từ khoảng J tham số (hay quỹ đạo) n n gọi cung 3.2 Ví dụ a) n :¡ (¡ ) {O} ; ảnh cung tham số ánh xạ hằng, tập có điểm O ur n r r (t ) tn ( n vectơ ≠ ); ảnh r đường thẳng qua O với vectơ phương n ur n r r n , (t ) t n ( n vectơ ≠ ), ảnh :¡ b) n :¡ , đường thẳng nói Ánh xạ khả vi Định nghĩa: Cho U tập mở f :U vectơ U m , V tập mở V , p a f ( p) ánh xạ f khả vi (lớp £ k ) với O ur n ur , p a O f ( p ) khả vi (lớp £ k ) n n , , hàm Lấy hệ tọa độ afin n f p , f p , , f n p thì: f p ¡ (i = 1,2,…,n) hàm số U Khi f khả vi (lớp £ k ) f i :U hàm số f i (i = 1,2,…,n) khả vi lớp £ k U Rõ ràng tích :J ánh xạ khả vi ánh xạ khả vi Chẳng hạn cung tham số (khả vi) U f o : J U ,t a (t ) V cung tham số (khả vi) V Trƣờng vectơ dọc cung tham số Định nghĩa: Trường vectơ dọc cung tham số xạ n :J mà với t Định nghĩa: Cho : J n J , X (t ) T ur n ,t a (t ) E n :J ur n ,t a (t ) cung tham số (khả vi) (t ) ( (t ), (t )) trường vectơ dọc t a (t ) ánh ký hiệu Đạo hàm trƣờng vectơ dọc cung tham số Định nghĩa: Cho cung tham số: vectơ dọc , xác định hàm vectơ thể xét trường vectơ dọc dọc n là: t a :J ur :J (t ) ( (t ), ur n ur n ,t a (t ) cho trường ur , (t ) ( (t ), (t )) có (t )) gọi đạo hàm Ký hiệu trường vectơ dọc là: Sau đó, xét trường vectơ D dt dọc , ta ký hiệu D2 = dt Trong chương này, xét số định nghĩa, tính chất, số định lý mang tính chất chuẩn bị Sau đây, nghiên cứu sâu “Cung song quy định hướng E3” 10 r r (s) O r (s) r r r r Do ta có: r ( s) O r ( s) O s.e c O ' s.e (tịnh tiến O lên Suy ra: điểm O ' ).Vậy cung có độ cong k cung thẳng c) Tính độ cong cung trịn có tham số hóa: r s E , s a O Re R r:¡ r r s r ' Re R r r '' R 1r s e R R r s e R Suy ra: k ( s) Vậy cung có độ cong k ( s) , R r ''( s) R s ¡ 1.2.Độ xoắn Định nghĩa: Cho cung song quy định hướng n có trường vectơ tiếp xúc đơn vị T ( xác định hướng) trường vectơ pháp tuyến đơn vị N dọc Bây n=3 trường vectơ đơn vị B T tuyến đơn vị dọc pháp tuyến N dọc có hướng xác định gọi trường vectơ trùng pháp (phương của B điểm phương trùng điểm đó) Vậy cho cung quy định hướng (có hướng), có trường mục tiêu trực chuẩn thuận T , N , B dọc trường mục tiêu Frétnet dọc Khi đó, B.B nên Do B.T nên DB T ds DB B ds B DT ds 31 gọi Mà DT ds Vậy DB trực giao với T B ,vì phương với N (tại ds kN B.N nên suy ra: điểm ) Từ có hàm số DB ds dọc gọi DB T ds (hàm) độ xoắn để: N Cung song quy 2.1 Định nghĩa (xem [2], tr 93) Cho cung gọi song quy điểm điểm song quy Nếu t a (t ) tham số hóa trường vectơ , D dt dọc song quy hệ độc lập tuyến tính 2.2 Nhận xét a) Mọi cung song quy quy b) Cung quy chưa cung song quy Chứng minh: a) Giả sử cung cung song quy có tham số hóa s a r s Khi ta r r ur r có r ', r '' độc lập tuyến tính Suy r Do cung cung quy r b) Giả sử cung thẳng có tham số hóa: r ( s ) O se r r r r r ' e , r '' 32 r r Khi r ', r '' khơng độc lập tuyến tính Suy cung khơng song quy c) Mọi cung quy song quy độ cong khác điểm Chứng minh: + Điều kiện cần Giả sử cung song quy có tham số hóa: s a r ( s) Khi r r r '(s), r ''(s) độc lập tuyến tính r r ''( s) ( s J ) Do đó: Suy ra: k ( s) ( s J ) + Điều kiện đủ Cho n r:J cung , s a r (s) , k (s) O , quy có tham số hóa nhiên: s J r r '( s) , s J r r '( s) 1, ( s J ) cung quy Suy : r tham số hóa tự nhiên.Suy ra: r r r r Khi ta có: r '( s).r ''( s) nên r '( s) r ''( s) r r Cho k ( s ) O , s J nên r ''( s) ( s J ) r r Từ (*) (**) suy r '(s), r ''(s) độc lập tuyến tính Suy tự (*) (**) cung song quy 2.3 Mặt phẳng mật tiếp cung song quy E3 Giả sử E3 cung song quy có tham số hóa là: ta (t ) x(t ), y(t ), z(t ) , t J 33 Mặt phẳng mật tiếp cung có phương trình là: x(t ) Y y (t ) Z z (t ) x '(t ) y '(t ) z '(t ) x ''(t ) y ''(t ) z ''(t ) Trong (X, Y, Z) tọa độ điểm thay đổi E3 2.4 Trường vectơ pháp tuyến đơn vị Xét trường vectơ N DT ds DT dọc cung song quy ds DT trường vectơ đơn vị N dọc ds pháp tuyến đơn vị dọc Trường vectơ đơn vị N dọc n đặt gọi trường vectơ DT ds Ta xác định N dạng a) Tại điểm kN ( k độ cong ) xác định điều kiện sau: , phương N phương pháp tuyến điểm b) Với tham số hóa t a N (t ) ''(t ) (t ) N (t ) : D ' (t ) dt Thật vậy: D ' dt Suy ra: N (t ) D( r o ) dt D ' (t ) dt ''(r 'o ) '(t ).N (t ) 34 '2 Dr ' o ds Dr ' ( (t )) ds '2 (t ) DT ds (t ) Trong chương này, nghiên cứu chi tiết cụ thể khái niệm, định lý, tính chất :”Cung song quy định hướng E3 ”.Để giúp bạn đọc nắm vững khái niệm, định lý, tính chất vừa nghiên cứu trên, sau tìm lời giải cho số toán sau 35 Chương MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG TRONG Để củng cố kiến thức nghiên cứu chương chương 2, sau tìm lời giải cho số tập cung song quy định hướng Bài tập 1: Tìm cung song quy mà mặt phẳng mật tiếp a) Thẳng góc với phương cố định b) Song song với đường thẳng cố định (và tiếp tuyến không song song với đường thẳng đó) Lời giải: a) Giả sử cung song quy :J ¡ ,ta Ta có: có tham số hóa tự nhiên (t ) ur (t ) 1, t J Mặt phẳng mật tiếp chứa tiếp tuyến, pháp tuyến vng góc với phương cố định Suy ra, trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc cung vectơ Suy B trường vectơ pháp tuyến đơn vị ur ur ur B , ur Khi ta có: ' nên B ' Ta có B ' N ( tuyến đơn vị độ xoắn cung = nên 36 (1) t, N trường vectơ pháp ) Ta có: N ≠ , suy cung phẳng Vậy cung cung phẳng thỏa mãn yêu cầu tốn E3 có tham số hóa tự nhiên: b) Giả sử cung song quy :J , sa ( s) Đường thẳng mật tiếp điểm song song với ( cố ur ur r r định) B.a ( a vectơ B vng góc với mặt phẳng mật tiếp, B trường vectơ pháp tuyến đơn vị) ur r ur r ur r r Ta có: B '.a B.a ' ,khi ta có B '.a (Do a vectơ suy r a = 0) r Tức là: N a ( độ xoắn cung s J , N trường vectơ pháp tuyến định vị ) r Do tiếp tuyến không song song với đường thẳng suy N a Suy = hay cung Vậy cung cung phẳng cung phẳng thỏa mãn u cầu tốn Bài tập 2: Tìm cung song quy ta xác định tham số hóa: (t ) biết phương trình mặt phẳng mật tiếp điểm hệ tọa độ Descarts vng góc Oxyz là: a t X b t Y c t Z d t Trong : t a a(t ), b(t ), c(t ), d (t ) hàm số cho trước Lời giải: :t a Giả sử phẳng mật trình : a t X (t ) ( x(t ), y(t ), z (t )) tham số hóa cung tiếp cung b t Y c t Z d t 37 có Mặt phương Ta ký hiệu : N t a t ,b t ,c t vectơ pháp tuyến mặt phẳng Mặt phẳng mật tiếp qua (t ) nên ta có: ur uur (t ).N (t ) d (t ) ax by cz d ur uur (t ).N '(t ) d '(t ) a ' x b ' y c ' z d' ur uur a '' x b '' y c '' z d '' (t ).N ''(t ) d ''(t ) 1) Nếu D N, N , N (1) a b c = a ' b ' c ' ≠ a '' b '' c '' Khi (1) hệ Camer, ta tính x t , y t , z t cách theo a t , b t , c t đạo hàm bậc nhất, bậc hai chúng 2) Nếu D , N t ln song song với mặt phẳng cố định Suy mặt phẳng mật tiếp đường thẳng cho trước song song với một cung phẳng (xem tập 1) Bài tập 3: Chứng minh tính chất sau cung song quy định hướng tương đương: 1) Tiếp tuyến tạo góc khơng đổi với phương cố định 2) Pháp tuyến song song vơi mặt phẳng cố định 3) Trùng pháp tuyến tạo góc khơng đổi với phương cố định với điều kiện độ xoắn khác điểm 4) Tỷ số độ xoắn độ cong hàm 5) T ,T ,T = ( T trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc D ds ) Cung gọi cung đinh ốc tổng quát 38 , Lời giải: r Trước hết ta chứng minh 1,2,3 tương đương Thực vậy, giả sử a vectơ không đổi làm với tiếp tuyến cung góc khơng đổi ur r T a cos ur r (khơng đổi) Khi đó: T '.a r uur r uur Khi ta có: k a.N 0(k 0) tức a.N , điều tương đương với pháp tuyến ln song song với mặt phẳng cố định Suy ur r r B.a sin (Trùng pháp tuyến làm với vectơ cho trước a góc khơng đổi) ur r Giả sử B làm với a (vectơ đơn vị cho trước) góc khơng đổi r ur r N a 0( 0) ( B a ) = tức là: ur uur r r Khi ta có: N a Suy ra: T ln làm với a góc cố định Vậy 1,2,3 tương đương Bây ta chứng minh tương đương với r Giả sử a vectơ không đổi làm với T góc khơng đổi r uur suy ra: a.N tức là: r ur ur a( kT R) (1) r ur r ur Thay a.T cos a.B sin vào (1) ta có: k.cos r sin k (không đổi) = cotg Ngược lại, ta k ln khơng đổi dọc r ta tìm vectơ đơn vị a không đổi làm với vectơ tiếp tuyến đơn vị T Xét trường vectơ dọc : k 39 T B góc khơng đổi Ta có: ' 'T k k T ' B' k kN Vậy X trường vectơ song song dọc N ( = 0) k (xác định a khơng đổi) Để dễ dàng thử lại T làm với X góc khơng đổi mà cotg = k Điều kiện 4, tương đương ta có: T = k N , T = -k2 T + k N + k T B T =-3k k T – (k3 + k – k ) N + (2 k + k )B Tích hỗn tạp T , T , T là: T , T , T = k3(k , T , N , B - k T , N , B ) = k3(k - k ) (Vì T , N , B = 1) T ,T ,T = k5 Vậy: T , T , T (k 0) k = điểm dấu hiệu để cung k số T , T , T cung đinh ốc Bài tập 4: Cặp cung song song quy định hướng cặp Bectơrăng (Bertrand) có tham số hóa :J ,t a (t ) %: I = ,u a và gọi là: %(u ) có vi phân bảo tồn hướng :J I ,t a u (t ) trùng với t (t ) để pháp tuyến J ( t khác nhau) Chứng minh ( , ) cặp Bertrand thì: 40 1) Khoảng cách điểm tương ứng 2) Các tiếp tuyến góc khơng đổi (t ) %( (t )) khơng đổi điểm tương ứng tạo với 3) Độ cong k độ xoắn cung thỏa mãn hệ thức ak + b = (a, b số) 4) Độ cong k độ xoắn a(k.sin thỏa mãn hệ thức: + cos ) = sin Lời giải: Giả sử cung r:J song quy có tham số hóa tự nhiên , r : s a r ( s) , I , N , B trường mục tiêu Frênê dọc Tr 95), k , độ cong độ xoắn (Xem [2], Theo định nghĩa cung song liên hợp Rectrăng với ( cặp rectrăng) có tham số hóa: r:J uur , s a r%( s ) r (s ) a (s ).N (1) (a hàm số biến số s , khả vi bậc 1, s nói chung khơng phải tham số cung ) 1) Từ (1) ta có : r%'(s) r '(s) a(s).N r%'.N a(s).N ' (tiếp tuyến ka T a'N a (2) vng góc với pháp tuyến chính) tương đương với a ' 0, a const Vậy khoảng cách điểm tương ứng , là: d r (s), r%(s) 2) r ''( s) Vì , ka 'T a const , k ka a s J N a ' cặp Bectơrăng nên mặt phẳng mật tiếp điểm) chứa N ( s ) Từ suy ra: 41 (3) (tại r%(s), r%''(s), N (s) 0, (4) s J Dựa vào (1), (2) (3) ta có: r%(s), r%''(s), N (s) Suy ra: ka ' ka ' Hoặc: ln ka ln b a ka ' a ' ka (5) ( b số) ka b Suy ra: 3) Đặt b (6) ka góc tạo hai tiếp tuyến r%'( s) vectơ tiếp tuyến điểm tương ứng , T ( s) vectơ tiếp tuyến đơn vị Dựa vào (2) (với ý a ' ) ta có: ka cos ka a 2 b 2 a 2 (thay ka bs ) b cos a b (7) Các tiếp tuyến không đổi b điểm tương ứng tạo thành góc 4) Cũng từ (2) ta có: sin Vậy: a (1 ka)2 a2 a k sin cos sin a k sin cos sin Bài tập 5: Tìm liên hệ a, b, c để cung đinh ốc 42 :t (t ) at , bt , ct cung Lời giải: Ta có: ' a,2bt ,3ct ; '' ''' 0,0,6c ; '2 0,2b,6ct a 4b2t 9c2t 6bct , 6act ,2ab ' '' ' '' a 2b 9a 2c 2t 9b 2c 2t ', '', ''' 12abc Suy độ cong: k a 2b 9a 2c 2t 9b 2c 2t a2 4b 2t 9c 2t 12abc Độ xoắn: a 2b 9a 2c 2t 9b 2c 2t 3abc a k 4b 2t 9c 2t a 2b 9a 2c 2t 9b 2c 2t Điều kiện để cung cho cung đinh ốc là: k số khơng phụ thuộc vào t Do đó: Suy ra: a a 2b2 4b2 ,4b 9a 2c 2 b 9a 2c t 2b2 9c 9b2c t4 3ac Trong chương này, tìm lời giải cho số toán liên quan tới :Cung song quy định hướng E3, nhằm củng cố giúp bạn đọc nắm vững kiến thức tím hiểu chương chương 43 KẾT LUẬN Phần nội dung khóa luận trình bày khái niệm số toán cung song quy định hướng E3 Sau q trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề có liên quan hình học thuận lợi Mặc dù có nhiều cố gắng song điều kiện khách quan chủ quan khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận bảo thầy giáo, giáo, góp ý phê bình bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Lê Thị Hảo 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Bình Đơ, Hình học vi phân, NXB ĐHSP [2] Đồn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB GD 2000 [3] Đồn Quỳnh, Trần Đình Viện, Trƣơng Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang, Bài tập hình học vi phân, NXB GD 1993 [4] Phan Hồng Trƣờng, Đại số tuyến tính,NXB ĐHSP Hà Nội 45 ... cứu Kiến thức cung song quy định hướng E3 3.2 Phạm vi nghiên cứu Khái niệm cung, cung quy, cung song quy E3 số tốn liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu cung song quy định hướng E3 Phƣơng pháp... dt Trong chương này, xét số định nghĩa, tính chất, số định lý mang tính chất chuẩn bị Sau đây, nghiên cứu sâu ? ?Cung song quy định hướng E3? ?? 10 Chương CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG TRONG E3 Trong. .. thức chuẩn bị Chương 2: Cung song quy định hướng E3 Chương 3: Một số tập cung song quy định hướng E3 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương nói tới số định nghĩa, kí hiệu, số định lí sử dụng khóa