LOI CAM ON
Để hồn thành khĩa luận này, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến các thầy giáo, cơ giáo trong khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội 2 đã cĩ những nhận xét quý báu, động viên giúp đỡ em để em hồn thành khĩa luận này trong suốt thời gian vừa qua Đặc biệt em xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành nhất tới thầy Nguyễn Năng Tâm đã tạo điều kiện thuận lợi và chỉ bảo tận tình để em cĩ thê hồn thành tốt khĩa luận tốt nghiệp này
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Sinh viên
Trang 2LOI CAM DOAN
Khĩa luận được hồn thành với sự chỉ bảo của các thầy cơ giáo trong khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội 2 đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm
Trong khĩa luận cĩ tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Em xin khẳng định kết quá của đề tài này khơng cĩ sự trùng lặp với kết quả của đề tài khác Nếu sai em xin chịu hồn
tồn trách nhiệm
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Trang 3MUC LUC
MỞ ĐẦU - 2222 nhe 4
Chương 1 KIÊN THỨC CHUẨN BỊ, 22 52552 2S ccxexxcxxerxerrxee 6
ID 4/0 820059 1 - 6
pc chu 0H -.‹‹aŨ 7
3 Cung tham $6 w.ecccescesssesssesssesssesssesssesssecsuesssesssessucsssessscssecsuecsuecssecssecssecaseeese 8 4 Ánh xạ khả vi cccccc+EEEE111 HH 8 5 Truong vecto doc mét cung tham $6 v c.eceesseesseesssesseesseessessseessesssesssessseeese 9 6 Đạo hàm của trường vectơ doc cung tham S6 sccscsesssessseessessssesessesessess 9 Chương 2 CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƯỚNG TRONG EỶ I I Đ1 Cung trong E -s-sâ+c2EEEEEEECE7152711227152112 711.11 11.1 rt.cre 11 1 Cung trong EỂ -s-+cs 2x 2E1221122112211221122112111111 1111.111 tre 11 2 Cung chính QUY -.- - 6 xxx vn HT nh Hàn ng rhnư 12 3 Cung định hướng - - - + xxx ng ni, 12 §2 Độ dài cung Tham số hĩa tự nhiên của cung chính quy 19
1 DG dai CUNG 0n 19
2 Mặt phẳng mật tiếp của cung tại điểm song chính quy .- 22
3 Tham số hĩa tự nhiên của một cung chính quy - -‹ - +: 25
§3 Cung song chính quy trong EỶ, độ cong và độ xoắn của nĩ 28
1 Độ cong và độ XOAM ccceccccsecsecsececssesecseesecsecsuceesersussuesucseceeseesaesaesecsecsecere 28 2 Cung song chính Quy cccccsesssceecssesesseeeceeeseeseeeeeecaeeaeeeseesaeeaeeneenseees 32 Chương 3 MỘT SĨ BÀI TẬP VÈ CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƯỚNG TRONG EỶ 9 1121222121212 36
Trang 41 Lý do chọn đề tài
Tốn học là mơn học nghiên cứu về các số, cấu trúc khơng gian và các phép biến đổi Nĩi một cách khác người ta cho rằng đĩ là mơn học về “Hình
và Số”
Bên cạnh sự phát triển của “Số” thì “Hình” cũng là một bộ phận lớn hết sức phát triển và đa dạng với nhiều mơn học như: Hình xạ ảnh, hình Euclid,
hình học vi phân Trong đĩ Hình học vi phân là mơn cĩ tính hệ thống cao,
chặt chẽ, tính logic, và trừu tượng cao Ở đĩ, các khái niệm về cung, cung
song chính quy , cung định hướng à những khái niệm hết sức cơ bán.Tuy nhiên, những vấn đề này cịn trình bày một cách sơ lược chưa được phân loại
và hệ thơng một cách chi tiết
Xuất phát từ mong muốn và niềm đam mê tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này em đã quyết định chọn đề tài: “Cung song chính quy định hướng trong E” làm khĩa luận tốt nghiệp
2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao các kiến thức của cung song chính quy định hướng trong E
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu
Kiến thức về cung song chính quy định hướng trong E' 3.2 Pham vi nghiên cứu
Khái niệm về cung, cung chính quy, cung song chính quy trong EỶ và một số bài tốn liên quan
4 Nhiệm vụ nghiên cứu
Trang 55 Phương pháp nghiên cứu
Phân tích và tổng kết các tài liệu 6 Cấu trúc luận văn
Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu, luận văn gồm các
chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Cung song chính quy định hướng trong EẺ
Trang 6Chương 1
KIEN THUC CHUAN BI
Trong chương này chúng ta sẽ nĩi tới một số định nghĩa, kí hiệu, và một số định lí cơ bản được sử dụng trong khĩa luận này
1 Khơng gian Euclid
1.1 Định nghĩa (xem [4], tr 139)
Cho V là một¡ - khơng gian vectơ Khi đĩ tích vơ hướng trên V là
ánh xạ:
<.,.>:VxV—>¡
3a (5)
thoa man 4 tién dé sau:
¬-—- vhyev
ii) (xy+2)=(x.9)+(%2) Vx,y,zeV
1 1 II 1
iii) (ax,y)=a(x,y) Vx,yeV,aej
iv) (x.x) >0 VxeV
uu Ww 1 wu
Ta goi so thuc (x, v) là íích vơ hướng của x và y
1 0
Ngồi ra tích vơ hướng cịn được kí hiệu bởi x.y 1.2 Định nghĩa
Trang 7Khơng gian Euclid là một khơng gian afin liên kết với khơng gian Euclid hữu hạn chiều
Khơng gian Euclid được gọi là n chiều nếu khơng gian vectơ Euclid
liên kết với nĩ là n chiều
x W,
Ta thường kí hiệu E” là khơng gian Euclid n chiêu và E là khơng gian
vectơ Euclid n chiều
wu wu, , uu
Với z,8e E bắt kỳ, tích vơ hướng của hai vecto a va Ø được kí hiệu
uu u u uu
z2=|B||Ư|[es 2,2
2 Hàm vectơ
2.1 Định nghĩa (xem [2], tr 6)
Trong E*” cho là một tập hợp tùy ý khác rỗng khi đĩ mỗi ánh xạ
ư U, w
X:U—>E ,ua X(u) được goi la ham vecto xac dinh trén U
2.2 Dinh ly (xem [2], tr 6)
Cho U 1a mét tập hợp tùy ý của E”, cho hàm vectơ
ư U, u uu uu ` ^ 2 A 2
X:U->E,ua Xí) Gọi e¡,e; c„ là một cơ sở trực chuân của E” Khi đĩ, tồn tại duy nhất các hàm số: x Uj ua x! (u) sao cho:
r nw
x(u) = yx! (ue; i=L
* Nhận xét: Trong E” cho một hàm vectơ tương đương với cho n hàm vectơ tương ứng và ta gọi các hàm này là các hàm tọa độ
2.3 Định nghĩa (xem [2], tr 6)
Trang 8ư Hạ ư u
Xét ham vecto X:J—E ,ta Xứ) Khi đĩ gidi han cua ham vecto X(t) X +A _X
là im Xữ?Â)- Xứ) nếu tồn tại thì được gọi là đạo hàm của hàm vectơ
Ar>0 At
ur
này tại t Ta kí hiệu là X ()
3 Cung tham số
3.1 Định nghĩa (xem [2], tr 16)
Mỗi ánh xạ ø:J ->E"từ một khoang J cj vào E” gọi là một cung tham số (hay một quỹ đạo) trong E”
3.2 Ví dụ
a) Ø:ị _>B” là ánh xạ hằng, Øø(¡ )={O}; ảnh của cung tham số này
là tập chỉ cĩ một điểm O
b) øØ:¡ xE", oŒ)=0+rn (n 1a vecto # 0 cua B"): ảnh của p là
đường thẳng đi qua O với vectơ chỉ phương n
p:j —>E", 0ữ)=0+ Pn (n là vectơ # 0 của E" ), ảnh của nĩ cũng là đường thẳng nĩi trên
4, Anh xa kha vi
Định nghĩa: Cho U là một tập mở trong E”, V là một tập mở trong E”, f:U>V,pa_ f(p) 1a một ánh xạ thì f khả vi (lớp£ ky néu voi O€ E”, ham
uw, ư
Trang 9Lấy một hệ tọa độ afin trong E” thi: f p= f' p,f*? p, ,f" p
ƒ!:U>¡_ Œ= 1,2, ,n) là một hàm số trên U Khi đĩ f khả vi đớp £ `) khi và chỉ khi các hàm số ƒÏ (¡ = 7,2, ,n) khả vi lớp£ trên U Rõ ràng tích các ánh xạ khả vi là ánh xạ khả vi Chẳng hạn nếu p:J>U,ta p(t) la mot cung tham số (khả vi) trong U thì ƒò:J->V là một cung tham số (kha vi)
trong V
5 Trường vectơ dọc một cung tham số
z wy,
Định nghĩa: Trường vectơ dọc cung tham sơ 9:J >E ,ta p(t)la anh
E' xa X: J >TE"ma voi moi te J, X Œ)€7„)
M„ z
Dinh nghia: Chop:J—>E ,ta øŒ) là một cung tham sơ (khả vi) trong E"thita /Œ)= (0Œ),ØŒ)) là một trường vecfơ đọc ø ký hiệu là ø'
6 Đạo hàm của trường vectơ đọc cung tham số
£ LỆ,
Định nghĩa: Cho cung tham sơ: Ø:J->E ,a øŒ) và cho trường
ư U, ư
vectơ X dọc ø, X xác định hàm vectơ X:J->E ,Xứ)=(0Œ0),Xứ)) thì cĩ thé xét trường vectơ dọc ø là:a X'ớ)=(0),X'Œ)) gọi là đạo hàm của X
doc p trong E"
` ` , ,_ DX
Ký hiệu trường vectơ X dọc ø là: _
1 iy i! 1 1 xe DẦN
Sau đĩ, cĩ thê xét trường vectơ X” dọc øØ, ta ký hiệu là X”= mà
Trang 10Trong chương này, chúng ta đã xét một số định nghĩa, tính chat, và một số định lý mang tính chất chuẩn bị Sau đây, chúng ta sẽ đi nghiên cứu sâu
3»
hơn về “Cung song chính quy định hướng trong E””
Trang 11Chuong 2
CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƯỚNG TRONG EẺ
Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn về cung song chính quy định hướng trong EỶ
§1 CUNG TRONG EỶ
1 Cung trong E
1.1 Hai cung tham số trong đương
Định nghĩa (xem [2], tr 69)
Cho 7,J là hai khoảng mở trong ¡ Hàm số f:1> J duoc gọi là một vỉ phơi nếu ƒ là một song ánh khả vi và ƒ" là một hàm khả vi
Hai cung tham số 0:J->E, ta p(t) vàr:I->E°,ua r(u)
(I,7 là khoảng trong ¡ , ø và r khả vi) gọi là ương đương nếu cĩ vi phơi:
ÂÄ:J>]I sao cho ro = Ø ta u=A(t)
1.2 Cung trong E*
Quan hệ xác định như trên là một quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương theo quan hệ trên được gọi là một cung Mỗi cung tham số thuộc một
lớp được gọi là tham số hĩa của cung
Hai tham số hĩa của một cung sai khác nhau một vi phơi, ta gọi vi phơi
Trang 122 Cung chinh quy 2.1 Diém chinh quy
Mỗi điểm của cung T trong EŸ được thể hiện trong mỗi tham số hĩa của nĩ bởi một giá trị của tham số, nếu trong các tham số hĩa:
ra p(t);ua r(u), no duoc thé hién theo thứ tự tạ và uọ thì: uọ=Âứg) 4là
phép biến đổi tham số a = 40)
* Chú ý: Ảnh của các tham số hĩa của một cung Ï` là trùng nhau và được gọi là ánh của I" Tuy nhiên khơng thể đồng nhất cung với ảnh của nĩ, nhưng để thuận tiện người ta vẫn thường đồng nhất mỗi điểm của F xác định bởi chẳng hạn ¿trong tham s6 héa ta ,øŒ) của Ï` với điểm øứạ)eE và gọi tắt đĩ là điểm ty hay P(t) cuacung I xac dinh boi ta p(t)
2.1.1 Định nghĩa (xem [2], tr 70)
Cho cung T xác định bởi
ø:J>E` ta p(t)
Điểm íạ của Ï mà ZØ(ạ)#0 gọi là một điểm chính quy của T con néu P(t) =O thi no gọi là một điểm kì đị của T
Một cung mà mọi điểm của nĩ đều là điểm chính quy được gọi là một
cung chính quy
* Nhận xét: Các khái niệm trên khơng phụ thuộc vào tham số hĩa của cung 2.1.2 Ý nghĩa hình học
UU uw, rou 4 ,
Ta cĩ 2ứs)2Œ)= Œ—fe)Œ (ạ)+£) (>0 khi t — to) nên cát tuyên
Pty) PM) dan
qua 2Œ) = Mo va P(t)=M cua cung c6 mét vecto chi phuong
t-fy
Trang 13ư; > z z
tới øØ ứạ) khi f—> í.„ do đĩ cĩ thê nĩi một cách hình ảnh: tiếp tuyên của T° tai điểm ø(ạ)= Mụ là “vị trí giới hạn” của các tiếp tuyến MạM khi M dần tới Mẹ dọc cung
2.2 Tiếp tuyến, pháp tuyến, pháp diện 2.2.1 Tiếp tuyến (xem [1], tr 20)
Nếu P(t) la điểm chính quy của cung ø thì đường thẳng (1 ) đi qua Ø() cĩ vectơ chỉ phương Ø'(ạ) gọi là tiếp tuyển cha p tai P(ty)
Cho cung tham số:
ø:J>E`
ta x0),x/0),xÌữ)
Ta cĩ:
us lyr VẦU 3v
øŒ)= (x)Œ),(œ )Œ),œ }Œ) Phương trình tiếp tuyến:
X'-xứœ)_X?-x?0)_ XÌ-xÌứ)
WYO Oyo (Y(t)
2.2.2 Pháp tuyến (xem [1], tr 20)
Mỗi đường thẳng đi qua Ø(¿) và vuơng gĩc với tiếp tuyến (1 ) gọi là một pháp fxyến của Ø tai P(t)
2.2.3 Pháp dién (xem [1], tr 20)
Trang 14Cho cung tham số : ø:J—>E` ta x!Œ),x?0),x3Œ) Ta cĩ : Z@= (@x0,02ý0,(@Ÿ0) Phương trình pháp diện: X= #J0)+ X?-3?ứ) @'ÿứœ)+ XỶ~>*ứ) (xý@)=0 2.3 Ví dụ
Trong EŸ cho cung đỉnh ốc trịn: Ø()= acost,asint,bt (a>0,b#0) Chứng minh rằng ø là cung chính quy Viết phương trình tiếp tuyến,
pháp diện tại điểm Øứạ) của ø
Lời giải Ta cĩ: p'(t)= —asint,acost,b |e’ @||= Va? +b? #0 Do do: ø0)#0
Vậy ø là cung chính quy Tiếp tuyến tại điểm ØøŒ,) là:
X= ACOSly _ Y—ASiNty _ <— bly
—asinty acOSty b
Pháp diện tại 2Œ) là:
đSinfy x—cOSfy — acOSfy y— asinfẹ —b z—bíạy =0
Trang 153 Cung định hướng 3.1 Định nghĩa
3.1.1 Định nghĩa (xem [1], tr 20)
Định nghĩa: Cho hai cung tham số tương đương Ø: J > Ea p(t) và r:I->E,ua ríw) Giả sử Â:J —>I là phép đối tham số từ ø sang r thì
24 đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm (vì 4 là vi phơi)
Suy ra: Hoặc 4')>0 với mọi t là điểm trong của 7 hoặc 4'()<0 với
moi t 1a diém trong cliaJ
Nếu 4'{)>0 ta nĩi 4 là phép đổi tham số bảo tồn hướng và nĩi p va r là tương đương định hướng
Ta nhận thấy quan hệ trên là một quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương theo quan hệ trên được gọi là một cung định hướng
Vậy: Cung định hướng là một tập hợp tất cả các cung tham số tương đương cùng hướng với một cung tham số ø:J ->EỶ Ta gọi ø:J->EỶ là một đại diện hay một tham số hĩa của cung định hướng đĩ
3.1.2 Ví dụ
Hai cung tham số sau cĩ tương đương định hướng khơng:
ø:J->E) Je 0,2z
1 1 ta 0+cosi+sin j r:I >E°
u—7Ï u=7T ¡+sin J
Trang 16
Hướng dẫn tìm ^'(): Taco: Suy ra: Ta cĩ: Suy ra: Mặt khác: ø0)= r(40)) ree A(t)-at
costi+ sint j = cos
A(t)-2 cost = cos A(t)- 2 sint = sin MOWF —r+2kz 26)~z =¡+2kz 1ứŒ)—Z > =i+2kZz © 4Œ)=2t+z+ 4kz Z<2t+Z + 4k7 < 3 0< 2¡+ 4kz< 2z te (0,27) Tu (1) va (2) suy ra: k = 0 Suy ra: Do do ta co: Lịi giải: 1Œ)=2t+7 2)=2>0 i+SĨ A4Œ)—ZT n J () (2)
Hai cung tham số ø và r là tương đương định hướng vì sẽ tồn tại vi phơi
4: 02zZ > 2,34
ta u=^()=2t+7Z
báo tồn hướng thì: 4')=2>0_ (VieJ)
Trang 17Taco:
een
P(t) =cosi+ sin j
uuu r r _-zT _T
(roÂ)Œ)= r(Â0))= r(2¡+#)= cos sin ET
r r
=costi+ sintj Vte (0,27)
Suy ra: rod=p
Vậy hai cung tham số đã cho là tương đương định hướng 3.2 Đáo hướng của một cung định hướng
3.2.1.Dinh nghia (xem [1], tr 20)
Cho hai cung tham số p:J >E*,ta pt va r:l >E),ua ru Néu cĩ vi phơi đảo hướng (Â' ;? <0,Vi€J)ÂÄ:J->l,fía „=2 £ thì cùng 7_ được gọi là cung đảo hướng của cung 7
3.2.2.Định nghĩa
Cho cung Z là một cung định hướng:
ø:ị¡ >E
r r
ta 0+cosfi+ sinf7
Xét vi phơi 4:ị ->¡ ,fa watt dao hướng (vì 4'=—1<0,V/€¡ )
Cung tham số:
r=øo !:¡ ->E7
Trang 18ru= pou
ư ưƯớz
=p 4 'u = au
p 2
[wisi 30)
=cos| ——u |i+sin] —-u | j 2
r r
=sinui+ cosuj
3.3 Trường vectơ tiếp xúc đơn vi dọc cung định hướng
Cho I` là một cung chính quy định hướng xác định bởi pt Pp’ tP
Ø:J->E”,ra ø r thì rõ ràng trường vectoT:U->TU,£a Tt = là trường vecto tiếp xúc don vị dọc cung T
Trang 19§2 DO DAI CUNG THAM SO HOA TU NHIEN CỦA CUNG CHÍNH QUY
1 Độ dài cung
1.1 Định nghĩa (xem [2], tr 31)
Cho cung tham số Ø: a¿b —>EỶ xác định trên đoạn thắng (kế cả các
mút) [a,b] và giả sử ø liên tục
Với mỗi phép cha a=t)<t<t< <t,=b, lập tổng
Y= feu peG) i= |- Nếu các tổng đĩ cĩ cận trên với mọi phép chia như vậy thì ta nĩi cung tham số đĩ cĩ độ đài cung và độ dài cung đĩ là cận trên ấy
1.2 Định lý (xem [2], tr 31)
Nếu J khả vi lớp £Ì thì nĩ cĩ độ dài cung và độ dài cung ấy là: b Jlzu a * Chú ý: Nếu n= 3: o0) = x(t), y(t), z(t) ư; ()= xŒ),yŒ),zŒ) = Je’ OP Hy OF +P Ur p(t) Khi do: i a b
Trang 201.3 Vidu
Trong E tinh độ dài các cung đoạn cĩ biểu thức tọa độ Descartes sau
đây:
a) p(t)= la- sin?),a(— — _ a>0/0<r<2z
b)/2Œ)= cos°/,sin2/,cos2t „ (O<t< 27)
c) e(t)= acht,asht,at , a>0,0St<t
x a d ) 2G) | 5 “ x)=| x——=.—] a>O,asx<3x Lời giải a) p(t)= lau —sin?),a— —¬ p(t)= [aa —cost),asint,—2asin ‘| lơ œ)|= 22a Do đĩ: 2z 2z ft _ tft l (2 02x ) = I {(2V2asin—)dt = 4/2 asin 3) a [sn2 B “| — 0
sin 4 =2V2a sins (O<t< 27)
2z
= 82a = -4/2a cos T
2b
b) p= cos*t, sin? t, cos2t
p(t)= —3cos” tsint,3sin” tcost,—2sin 2t
loro |=2pin2r
Trang 21Xét dau: t | 0 1/2 1 3/2 2n sin2/ | 0 + 0 - 0 + 0 - 0 Do đĩ: 5s? 57% 1p 0,20 => Jen4m=s |in2d 2 a 3z 2 s2 5% 5 a 5
=> |sin2r4 22 —~ [sin2rd 2t + [ sin2rd 22 —” | sin2r4 2:
4 0 đ 4 Z 4 si
⁄4 ZF 3⁄4 27
=-—cCOs2/| + —cos2/l ——cos2/ +—coS2/
=5+ + + Š=10,
22 2 2
c) p(t)= acht,asht,at a>0
p' t = asht,acht,a
|o' ¡ |=ash?r+ ch*t+1=av2ch"t =aV2cht
tụ
Trang 223a
Dođĩ|(„ = ÌP ha (SS Jamo
Ø wa) 2a?x? a 2x
2 Mặt phẳng mật tiếp của cung tại điểm song chính quy 2.1 Điễm song chính quy
Cho cung T trong Ecĩ tham số hĩata ø r
Điểm của Ï` ứng với t trong tham số hĩa ta /ø £ của nĩ gọi là điển
song chính quy (củaT) nếu hệ hai vecto p’ t va ø” £ độc lập tuyến tính
2.2 Mặt phẳng mật tiếp
2.2.1 Định nghĩa (xem [1], tr 26)
Mặt phẳng # đi qua điểm ø £ cĩ phương là (2 t,o" t ) được gọi
là mặt phẳng mật tiếp của T tại điểm song chính quy Ø £
Điểm ø / gọi là iiếp điển của mặt phẳng mật tiếp # với p
Mặt phẳng mật tiếp œ chứa tiếp tuyến tại 2 í¿ nên tồn tại một pháp
tuyến P của cung ø/ mà P Cø Ta gọi pháp tuyến P này là pháp tuyến chính
Để tìm P ta xác định một vectơ chỉ phương y (khác 0 ) của
(P).Vectơ y cĩ dạng v=ag t + bp” t va vip t =0 Do do: b# 0 và ta cé thé xem nhu b=1
Trang 23> 1 u ưu 24
Ta cĩ thê thay v bang w= p’ t “ov
Vậy một vectơ chỉ phương của pháp tuyến chính cĩ dạng:
u UU 5 ut ul ULL \ un
w=|2 p t-ptp't \e
2.2.2 Định lí ( điều kiện tương đương) (xem [2], tr 92)
Mặt phẳng œ gọi là mặt phẳng mật tiếp của I’ tai điểm song chính
AVIẮẮẢ
quy Øíạ khi và chỉ khi lim—,W 2
19 t-t
Chứng mình
Goi: h=d pt,a@
n là vectơ pháp tuyến đơn vị @
Ta cĩ:
1— (HUILEUELE UUULL uu uuu UU uuu UU
n.P ty P t =PnP.Pe t Pp t P.Pcosy P= Pp t p t P.sing=h
=d pt,a
Trong đĩ : và ø được xác định như hình vẽ:
Trang 24Cơng thức khai triển Taylor tai diém ty: “ “nr Ø t Ø 2 2 Pt=Pt + " tt) +——% t-f “+ 0 t-ty 1 1 UUUU T f n 2
Suyraad pt,a@ =|n.p' t) tty +3” ly fT1g, +10 fT—tg
® Điều kiện can
Giả sử œ là mặt phẳng mật tiếp [nop (tp) =0 SuyTa: $rư Ìnø'œ)=0 dpt,@ I
Do dé: lim > —= lim —*_, 0 t-y =0
Ilo t- ty %% †— ty © Điều kiện đủ _ dpt,a Giả sử: lim ————.— t-f) =0 (*) ai t-ly “ dpt,a@ _dpt,a
Suy ra: imo "+" _ lim ————.— r-iạ =0
tp t-t tty t- to “
Khidétacé: limIn p’ tf) + =p" fy tot) +0 t—t) 1=0 tty 2
Suy ra: n.P ty =0 (1)
Suy , nue 2
Từ (#)suyra: liml—/Ø íạ + Ot-t, c0
ret 2 tt
Suy ra: n.Ø ` íạ =0 (2)
Từ (1) và (2) suyra ø là mặt phẳng mật tiếp của Ï tại điểm ø ty -
Trang 253 Tham số hĩa tự nhiên của một cung chính quy 3.1 Định nghĩa (xem [2], tr 8)
Một tham số hĩa r: 7—>EỶ, sa z s của một cung chính quy T được gọi
là một tham số hĩa tự nhiên của nĩ néu Pr’ P= 1
* Nhận xét: Mọi cung chính quy (kế cả cung chính quy định hướng)
đều cĩ tham số hĩa tự nhiên
3.2 Tính chất
a) Nếu r: I>E),sa rø là một tham số hĩa tự nhiên của một cung chính quy thì Ï r 1= S,— S)
51,52
b) Néu h: I >EÌ),sa ns và Ty? 1,>E?,ua 1, wu là hai tham số hĩa tự nhiên của cùng một cung chính quy thì: u= + s+C (C là một hằng số)
c) Néu p: I>E*, ta ot là một tham số hĩa bất kì của một cung
chính quy thì ta cĩ thể đổi tham số t sang tham số s theo cơng thức:
t
s= [Pp' t Pat (ạ= 7)
to
để s là tham số hĩa tự nhiên của cung
3.3.Định lí (xem [2], tr 65)
Mọi cung chính quy (kế cả cung chính quy định hướng) đều cĩ tham số
hĩa tự nhiên
Chứng mình
Giả sử cung chính quy Ï cĩ tham số hĩa ø: J->EỶ,a ør nên
Trang 26t
Xét hàm số Â:J->ji ,fa s=At = [Pp' t Pdt
!ọ
Khi đĩ: A’ t=Pp' t P>0 VieJ
Suy ra A:J >I (véi Ilà khoảng mở trong ¡ ) là một vi phơi
Đặt: r=pod!:I>E
sars=pa's
Ta cĩ: p=ror
p=1' roa
Pø' P-PA' P.Pr o4 P
Suy ra: Pø P-Pø'P.Pr o P Từ đĩ ta cĩ: Pr oA P=1
Vậy mọi cung chính quy đều cĩ tham số hĩa tự nhiên
3.4.Ví dụ
z 1
Cho tham số øØ:ị¡ ->EÌ,!a 0+øe f +bik tí (a? +b’ #0)
Tim tham sé héa tu nhién cua p
Lời giải
uw r x r
Ta cĩ: p t =ae ay +bkt
f r a r ° 2 2
Suy ra: Pp’ t FB, ae tt +bk | =Na +b.“ Xét 4:ị >]
tt
=Va+bh? t-t fo
t
ta s=A(t)= [Va? + 0?dr= Va? +071
fọ
Trang 27Chon f) =0 suy ra A(ty) = YXa?+b?t=s
Khi đĩ: r=øo2!:¡ >E°
sa rs =pAa\(s)
r(s)=p A\(s) = t= 0| 4)
1a? +b?
um of fend +p Sk Va? +b? a?+b? s o« Thử lại:
1
- { s 1| 1 bk
Ta Cĩ : r'=ae +— +
Va? +b? 2a? + b° Va? +b?
|r'\|=Vr? = af 3 4] 1, bk_|
Aa?+b? 2 Aa?+b? Aa?+b2
a’ + 5 Po = a+b a+b 1
Vậy tham số hĩa cần tìm là:
uuu r(s)= ae r —=—|+?-=—:i s r
Trang 28§3 CUNG SONG CHÍNH QUY TRONG EỶ
DO CONG VA DO XOAN CUA NĨ
1 Độ cong và độ xoắn 1.1.Độ cong
1.1.1 Định nghĩa (xem [2], tr 89)
Cho cung chính quy T trongE” Xét một tham số hĩa tự nhiên của nĩ,
sa r(s) thì mọi tham số hĩa tự nhiên của nĩ cĩ dạng ro, Ä'=+I
(vậy 4"=0) Từ đĩ đặt 7 =r' thì 7 là một /rường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc
DT DT ^ `
I', nhưng n khơng phụ thuộc vào r, tức 3 xác định một trường vectơ
Ss S
dọc [` vì trong tham số hĩa tự nhiên a r 2Œ)
D rod’ _D Ard) ~4" rod tàn o4 ]~ 04
dt at ds ds
Độ cong của T° tai điểm s trong tham số hĩa tự nhiên sa r(s) của nĩ
cto
Vậy ta được ham độ cong (hay gọi tắt là độ cong) k doc [ 1a
-|pr
ds
1.1.2 Cơng thức tính độ cong trong E°
Cho cung chính quy với tham số hĩa bất kỳ ø:J ->EÌ,?a p(t) Lay
một tham số hĩa tự nhiên của nĩ là z:/->EỶ, sa z s mà Ä:J->/ là
phép đổi tham số từ t sang s thì o=ro4, s=Â0)
Trang 29Ta cĩ:
øŒ)= roÄ ()
/Œ)=r(s)+0)
ø"@)= rs).4"@)+ r"(s).3'”0)
ø)|=|r(Jl4|=|40)|_ đo [rts)|=)
Và: @)À"Œ@)= r(s)Ar"*%) 40) vì [r(s)||= 1 nên r"(s) Lr)
Suy ra: | Do do: Jø)^ ø'0J|=|r@)^r"@)|-|r@JÏ =|r)||r")|.bin r@).r"@) ||r0J r"()||ø 1| =|7'œ)|llÏ =k s Joo =k t Joo Vay: kt _ lÌp'0)^ ø"0)| Jeo 1.1.3 Cung cĩ độ cong bằng 0
Giả sử I là một cung chính quy cĩ tham số hĩa tự nhiên
w 1 1
3 UUUUILML ưu
r:iJ->E',k s =|r'9)|=0 nén T'=0,VseJ Suy ra T s =a (a la vecto hang)
Vi vay r'(s) =a Tu do ta co: r(s)=O+as+b, voi a,b 1a vectơ hang
Trang 301.1.4 Ý nghĩa hình học
Gọi Ø là số đo (bằng Radian) của gĩc giữa T(s) va T(s + As) thi:
As
k(s)= lim
As>0
1.1.5 Ví dụ
a) Mọi cung thắng cĩ độ cong k bằng 0 Chứng mình:
Giả sử cung thang ` cĩ tham số hĩa tự nhiên:
r:ị¡ >E”,sa rs =O+se
Khi do: on = 0, nénk s =0, Vsej Suyra: k=0 Vậy mọi cung thăng cĩ độ cong bằng 0
b) Cung cĩ độ cong k bằng 0 sẽ là cung thẳng Chứng mình:
Ta cĩ: k(s)=0,Vse J Khi đĩ: br s =0,VseJ
ds
Vi thé: r(s)= e (e la vecto hang don vi)
1 1
Nên tacĩ: r(s)=s.et+c
Trang 31Suy ra: r(s)=O+ r(s)
Do d6 ta c6:r(s)=O+1(s)=O+setc=O'tse (tinh tién Olen mot
điểm Ø').Vậy cung cĩ độ cong k bằng 0 là cung thẳng c) Tính độ cong của cung trịn cĩ tham số hĩa:
T rij DE’, sa oxR 2)
R r {2 a), (2 = r'= Re| —+— |—=e| —+—} R 2jR R 2 rooq4t " s " 1 r"= me z] Suy ra: k(s) = |[r"(s)|=-— R Vậy cung cĩ độ cong đều k(s) = = VsEj
1.2.Độ xoắn
Định nghĩa: ChoT là một cung song chính quy định hướng trong E” thì đã cĩ trường vectơ tiếp xúc đơn vị 7 ( xác định hướng) và trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị W dọc T Bây giờ nếu n=3 và EỶ đã cĩ hướng thì xác định được trường vectơ đơn vị B=7 AN dọc IT gọi là rường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc T'.(phương của củaB tại mỗi điểm là phương của trùng pháp tuyến của T tại điểm đĩ) Vậy cho cung chính quy định hướng T trong E (cĩ hướng), cĩ trường mục tiêu trực chuẩn thuận 7,N,B dọc Ï gọi là
trường mục tiêu Frétnet dọc Ì`
Khi đĩ, do B.B=1 nén a8 =0
s
Do BT =0 nén DB yp PT _o
Trang 32Ma PT Lin va B.N =0 nén suy ra: DB =0
ds ds
DB : “ à sak ak ws “ tu
Vậy m trực giao với 7 và B,vì thê nĩ cùng phương với N (tại mọi S
điểm ) Từ đĩ cĩ hàm số 7 dọc Ï gọi là (hàm) độ xoan cha T dé: DB an
ds
2 Cung song chinh quy
2.1 Dinh nghia (xem [2], tr 93)
Cho cung L trong E*goi là song chính quy nếu mọi điểm của F là
điểm song chính quy
Nếu ta øứ) là một tham số hĩa của I thi F song chính quy khi và chỉ khi các trường vectơ Ø', <2 doc ø là một hệ độc lập tuyến tính
t
2.2 Nhận xét
a) Mọi cung song chính quy đều là chính quy
b) Cung chính quy chưa hắn đã là cung song chính quy Chứng mình:
a) Gia sử cungÏ` là cung song chính quy cĩ tham số hĩa sa zr s Khi đĩ ta
11 , ui
cĩ r',r" độc lập tuyến tính Suy ra r0 Do vậy cung Ï' là cung chính quy
b) Giả sử cung thắng cĩ tham số hĩa: r(s)= Ø+ se
ca sa
r'=e,r"=0
Trang 331 1 z
Khiđĩ r',r" khơng độc lập tuyên tính Suy ra cung khơng song chính quy
c) Mọi cung chính quy là song chính quy khi và chỉ khi độ cong của nĩ khác 0 tại mọi điểm
Chứng mình:
+ Điều kiện cần
Giả sử I' là cung song chính quy cĩ tham số hĩa: sa r(s) Khi đĩ
r{s),r"{)_ độc lập tuyến tính
Dođĩ: — r')#0 (Vse7)
Suy ra: k(s)#0 (VseJ) + Điều kiện đú
Cho I là cung chính quy cĩ tham số hĩa tự nhiên: r:J>E",sa r(s), k(s)#QO,VWseJ
L' là cung chính quy Suy ra : r(s) 40, VseJ
z 1
r là tham sơ hĩa tự nhiên.Suy ra: rs) =1,(VseJ)
Khi dé ta c6:r'(s).r'"(s)=0 nén r'(s)L rs) Œ® Cho k(s)#@Ø, WseJ nên r"%)#0 (Vs€7) Œ)
1 ⁄
Từ (9) và (**) suyra r(s),r"(s) là độc lập tuyên tính Suy ra Ï là cung song chính quy
2.3 Mặt phẳng mật tiếp cung song chính quy trong E`
Giả sử trong EÌ cung song chính quy cĩ tham số hĩa là:
Trang 34Mat phang mat tiép của cung đĩ cĩ phương trình là: X-xứ) Y-yŒ) Z-zŒ)
x'(t) yữ) z0) |=0 x"(t) y'ữ) z'ữ)
Trong đĩ (X, Y, Z) là tọa độ của điểm thay đơi trong EB 2.4 Trường vecto pháp tuyến chính đơn vị
Xét trường vectơ ~~ đọc cung song chính quy [` trong E”đặt
s
“alle
pháp tuyến chính don vi doc T
thì được trường vectơ đơn vị N doc I’ goi 1a trvdng vecta
Ta cĩ thể xác định N dưới dạng = =kN (k la d6 cong I’)
S
Trường vectơ đơn vị ý dọc l` xác định bởi các điều kiện sau:
a) Tại mọi điểm của I`, phương của là phương của pháp tuyến chính
của T tại điểm đĩ
b) Với mọi tham số hĩa/a p(t) cual:
Do’
N(t).p "= Nữ) 0) >0 Thật vậy:
Dp'_ D(rody
dt dt =2 ro2)+2°( oa) $
Suy ra: Nye P= A ONO AW) =A" (1)
s
DT
——] A(t)
ar
Trang 35Trong chương này, chúng ta đã nghiên cứu chỉ tiết và cụ thê các khái niệm, định lý, tính chất về :”Cung song chính quy định hướng trong E ”.Để giúp bạn đọc cĩ thê năm vững các khái niệm, định lý, tính chất vừa nghiên cứu ở trên, sau đây chúng ta sẽ tìm lời giải cho một số bài tốn cơ bản như
Trang 36Chương 3
MOT SO BAI TẬP VÈ CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƯỚNG
TRONG E”
Để củng cố những kiến thức đã nghiên cứu ở chương I và chương 2, sau đây chúng ta sẽ đi tìm lời giải cho một số bài tập về cung song chính quy định hướng trong EỶ
Bài tập 1: Tìm cung song chính quy trong E mà các mặt phẳng mật tiếp a) Thang gĩc với một phương cố định
b)Song song với một đường thăng cố định (và các tiếp tuyến khơng song song với đường thăng đĩ)
Lịi giải:
a) Giả sử cung song chính quy Z trong EŸ cĩ tham số hĩa tự nhiên Ø:JCj >E*,ta p(t)
ư;
Ta cĩ: Ø (0j=1., VieJ
Mặt phẳng mật tiếp chứa tiếp tuyến, pháp tuyến chính của z vuơng gĩc với một phương cĩ định Suy ra, trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc cung 7 là vectơ hằng
Suy ra B là trường vectơ pháp tuyến đơn vị của 7
a|=1
Khi đĩ ta cĩ: @'=Onén B'=0 (1)
Ta cĩ B'=-rN (r độ xoắn của cung Z tại t, N là trường vectơ pháp
u u
B=a,
tuyến chính đơn vị của Z )
Ta cĩ: N#0, suy ra z =0 nênZ là cung phẳng
Trang 37Vậy cung 7 là cung phẳng thì thỏa mãn yêu cầu bài tốn
b) Giả sử cung song chính quy 7 trong EỶ cĩ tham số hĩa tự nhiên: Ø:J->EÌ,sa p(s)
Đường thắng mật tiếp của 7 tại mọi điểm song song voi A (A cố định) Ba=0 (a vecto hang B vuơng gĩc với mặt phẳng mật tiếp, B là trường vectơ pháp tuyến đơn vị)
ui u
Tacé: Bat Ba'= 0,khi đĩ ta cĩ Bia =0 (Do a la vecto hang suy ra
a =0)
Tuc 1a: zNa =0 (z độ xoắn của cung 7 tại se, N là trường vectơ pháp tuyến chính định vị của Z )
Do các tiếp tuyến khơng song song với đường thẳng đĩ suy ra W a #0 Suy ra z = 0 hay cung 7 là cung phẳng
Vậy cung 7 là cung phẳng thì thỏa mãn yêu cầu bài tốn
Bài tập 2: Tìm cung song chính quy trongEỶxác định bởi tham số hĩa: ta p(t) biết phương trình mặt phẳng mật tiếp tại mỗi điểm của nĩ trong hệ tọa độ Descarts vuơng gĩc Oxyz là:
at X+btY+ct Z+dt =0
Trong đĩ: ta a(t),b(t),c(t),d(t) la cac ham số cho trước
Lịi giải:
Gia su p:ta øŒ)= (xŒ),y(Œ),z()) là tham số hĩa của cung I’ Mat
phang mat tiép của cung r cĩ phương
Trang 38Ta ký hiệu:M f£ = af ,bf,cf là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy Mặt phẳng mật tiếp di qua p(t) nén ta cĩ:
u ub
PON] =-đŒ) fm +by+cz=-d
pina) =- dt) hoac ,a'x+b'y+c'z=-d' qd)
26).N"0)==4"0) ø.xtpty+ela==dl
abe
1) Néu D= N,N',N" =la' b` clz#0
a" p" c"
Khi đĩ (1) la hé Camer, ta tinh dugc x t ,y t ,z t mét cach duy
nhat theoa t „bf ,cf và các đạo hàm bậc nhất, bậc hai của chúng
2) NếuD=0, khi đĩ N ¢ luơn song song với một mặt phẳng cố định Suy ra mặt phẳng mật tiếp của I' luơn song song với một đường thẳng cho trước [` là một cung phẳng (xem bài tập 1)
Bài tập 3: Chứng minh rằng các tính chất sau của một cung song chính quy định hướng trongE là tương đương:
1) Tiếp tuyến tạo một gĩc khơng đổi với một phương cố định 2) Pháp tuyến chính song song vơi một mặt phẳng cơ định
3) Trùng pháp tuyến tạo một gĩc khơng đổi với một phương cố định với điều kiện độ xoắn khác 0 tại mọi điểm
4) Tỷ số giữa độ xoắn và độ cong là hàm hằng
5) T,T,T" =0 ( trong đĩ T là trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc Ï,
= DT/ds) Cung như thế gọi là cung đinh ốc tổng quát
Trang 39Lịi giải:
e Trước hết ta chứng minh 1,2,3 là tương đương Thực vậy, giả sử a 1a
vectơ khơng đổi luơn làm với tiếp tuyến của cung [` một gĩc khơng
đổi Ø
Ta=cosØ (khơng đổi) Khi đĩ: T'.a=0
Khi đĩ ta cĩ: k.a.N =0( #0)tức làz.Ý =0, điều này tương đương với
pháp tuyến chính luơn song song với một mặt phẳng cỗ định Suy ra Ba =+sinØ (Trùng pháp tuyến làm với vectơ cho trước a một gĩc khơng doi)
Giả sử B luơn làm với a (vectơ đơn vị cho trước) một gĩc khơng đổi
(B.a) =0 tite 1a: r.Na=0Π#0)
Khi đĩ ta cĩ: Na= 0.Suy ra: 7 luơn làm với ø một gĩc cố định Vậy 1,2,3 là tương đương
® Bây giờ ta chứng minh 1 tương đương với 4
Giả sử ø là vectơ khơng đổi luơn làm với T một gĩc khơng đổi Ø ta suy ra: a.N =0 tức là:
a(—kT +rzR)=0 (1)
Thay a = cosØa.B =sinØ vào (1) ta cĩ: —k.cosđ + rsinØ=0 hoặc ' = cotgØ (khơng đối)
KT ^ A Re ~ 4) +
Ngược lại, nêu i luơn khơng d6i doc I ta sé tim duge vecto don vi a khơng đổi luơn làm với vecto tiếp tuyến đơn vị T của mot gĩc khơng đổi
Xét trường vectơ 4 dọc Ï':
Trang 40Taco:
x=(Z)ra{)r B'=LkN-1tN=0(vi~ =0) k k k k
Vay X là trường vectơ song song dọc I' (xác định bởi a khơng đổi) Để dễ dàng thử lại rằng T luơn làm với X một gĩc khơng đổi mà
T
cotgØ = — say
Điều kiện 4, 5 tương đương ta cĩ:
T=kN,T" =-kT+k'N +kTB
T"=-3k.k'T - (kÌ+k.z?—k")N +(2F'r +kr')B Tích hỗn tạp của T",T”, 7” là:
T,T",T" =k\&r, T,N,B -rE T,N,B)=k &r'-k 7)
(Vì T,N,B =1)
T.T"T" HH (kz0)
Vậy: TT",T” = 0 khi và chỉ khi r là hằng số 7",7",T” = 0 tại mọi điểm là 1 trong các dấu hiệu để cung I' là một cung đỉnh ốc
Bài tập 4: Cặp cung song song chính quy định hướng Ï và 7 trong EỶ gọi là một cặp Bectơrăng (Bertrand) nếu cĩ các tham số hĩa của va y là:
ø:J>EŸ,ta ø0) và @&l->E),ua Mu) va cĩ vì phân bảo tồn hướng
A:J>1ta u=A(t) dé cdc phap tuyén chính của Ï` tại t và của 7 tại
40) trùng nhau với £eJ (I' và 7 khác nhau) Chứng minh rằng nếu (T,7)
là một cặp Bertrand thì: