BÀI TẬP LỚN CHUYÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC HỆ NHIỀU VẬT NHÓM 2 Câu 1: Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của các robot sau a... Ta tách robot song song cực ra làm ba robot tay máy cực d
Trang 1BÀI TẬP LỚN CHUYÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC HỆ NHIỀU VẬT
NHÓM 2 Câu 1: Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của các robot sau
a Robot 2 khâu như hình dưới:
Tọa độ suy rộng của cơ hệ: q [ , ]q q1 2 T
Từ hình vẽ ta có vị trí tọa độ khối tâm của hai khâu:
Matrix Jacobian tịnh tiến:
1 1 1
l q
l q
T
r
J
q (2)
2
T
r
J
Vận tốc góc các khâu:
Trang 21 2
(4)
Vậy matrix Jacobian quay của các khâu:
q q (5)
Matrix tenxo quán tính của các khâu đối với khối tâm của chúng có dạng:
I I (6)
Biểu thức matrix khối lượng suy rộng của hệ có dạng:
1
Ti i Ti Ri i Ri i
m
Thế các biểu thức (2) (3) (5) (6) vào (7) ta được:
2
cos
Biểu thức động năng:
1
2
T
T q M q q
Thay matrix khối lượng suy rộng vào ta có:
2
1
T m m l l l q I I q m I q m l l q I q q
Thế năng của cơ hệ:
1
2m gl q m g l q l q q
Công ảo của lực suy rộng không có thế:
1 1 2 2 x B y B
(10)
Ta lại có:
B
B
x l q l c q q
Suy ra:
B
B
y l q l c q q q l c q q q
Vậy suy ra biểu thức lực suy rộng:
Trang 3
1np 1 1 sin 1 2 sin 1 2 1 cos 1 2 os 1 2
Q P l q l q q P l q l c q q
(11)
2np 2 2 sin 1 2 2 os 1 2
Q P l q q P l c q q (12)
Thế các biểu thức trên vào phương trình lagrange tổng quát:
.
np i
i
Q
i 1, 2 (13)
Ta có phương trình vi phân chuyển động của robot 2 khâu phẳng khớp quay:
2
2
m l l q q q m l l q q g l m q c q q
P l q l q q P l q l c
(14)
2
.
2 1 2 1 2 2 2 1 2
cos
m l l q q m gl c q q
P l q q P l c q q
(15)
b Robot tay máy dạng cực
Tọa độ suy rộng của robot 1 1
T
q u
q
Từ hình vẽ ta xác định được tọa độ khối tâm của từng khâu:
Trang 41 1 1
r r (1) Suy ra matrix jacobian tịnh tiến:
1 1
T
q
a q
r
J
q (2)
2
T
r
J
q (3) Quan sát hình vẽ cho ta vận tốc góc các khâu một cách đơn giản:
(4)
Suy ra matrix Jacobian quay:
q q (5) Matrix tenxo quán tính của các khâu quanh trọng tâm của chúng:
I I (6) Matrix khối lượng suy rộng:
1
Ti i Ti Ri i Ri i
m
M q J J J I J (7) Thế các biểu thức (2) (3) (5) (6) vào (7) ta được:
2
0 0
m a m u I I
m
I m a I I vậy:
2
2 1
2
0 0
m u I
m
M q (8) Biểu thức động năng của robot:
1
2
T
T q M q q
Thay (8) vào ta được:
2
1
1
2
T m u I q m u
(9) Thế năng của cơ hệ:
Trang 51 a sin 1 2 u sin 1 1
m g q m g q
(10)
Công ảo của lực suy rộng không thế:
A M q F u P x P y
(11)
Ta lại có:
B
B
2
1
2
b l là một nửa độ dài khâu 2
Suy ra:
B
B
Thay vào (11) suy ra:
Suy ra biểu thức lực suy rộng:
Q M P u b q P u b q (12)
2np cos 1 sin 1
Q F P q P q (13)
Thay các biểu thức trên vào phương trình Lagrange tổng quát:
.
np i
i
Q
i = 1,2 (14)
Ta có phương trình vi phân chuyển động của tay máy dạng cực hai bậc tự do:
I m u q 2 12 1 2m u q u2 1 .1 .1 m a m u g1 2 1 cosq1 P u x 1bsinq1P u b y cosq1M (15)
2
1
2 2 1 1 2 sin 1 xcos 1 ysin 1
m u m u q m g q P q P q F (16)
Câu 2: Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của Robot song song
phẳng khớp cực
Phương pháp sử dụng trong phần này là tách cấu trúc Ta tách robot song song cực ra làm ba robot tay máy cực ( dạng bài tâp 1b ) và một bàn máy Khi
đó sử dụng phương trình Lagrange thành lập phương trình vi phân của robot
Trang 6a Chân thứ nhất
Tách cấu trúc cho ta mô hình như dưới đây Mô hình này hoàn toàn giống với tay máy cực như của phần câu 1b
Tọa độ suy rộng của robot 1 1
T
q u
q
Áp dụng một cách tương tự ta có phương trình vi phân chuyển động của chân thứ nhất:
1
4 1 1 2 4 1 1 1 4 1 cos 1 x 1 sin 1 y 1 cos 1 1
I m u q m u q u m a m u g q P u b q P u b q M (15)
2
1
4 4 1 1 4 sin 1 xcos 1 ysin 1 1
m u m u q m g q P q P q F (16)
Trang 7b Chân thứ hai của robot
Tọa độ suy rộng: 2 2
T
q u
q
Quan sát hình vẽ ta có tọa độ khối tâm của từng khâu:
r r (1)
Từ (1) cho ta matrix Jacobian tịnh tiến:
2 2
T
q
a q
r
J
q (2)
5
T
r
J
q (3) Tương tự ta cũng có vận tốc góc các khâu là:
(4)
Suy ra matrix Jacobian quay của các khâu:
5 2
q q (5) Matrix tenxo quán tính các khâu đối với khối tâm của chúng có dạng:
Trang 82 5
I I (6) Matrix khối lượng suy rộng:
1
Ti i Ti Ri i Ri i
m
M q J J J I J (7) Thay các biểu thức (2) (3) (5) (6) vào (7) ta được matrix khối lượng suy rộng:
5
0 0
m a m u I I
m
M q
Đặt 2
m a I I I khi đó:
2
5 2
5
0 0
m u I
m
M q (8) Biểu thức động năng của robot:
1
2
T
T q M q q
Thay matrix khối lượng suy rộng vào ta có:
2
.
2
5 2 2
5 2
0 1
q
I m u
m u
2
1
2
T m u I q m u
(9) Biểu thức thế năng của cơ hệ:
m g q m gu q
(10) Công ảo của các lực suy rộng không thế:
2 2 2 2 x2 B2 y2 B2
A M q F u P x P y
(11)
Ta lại có:
cos sin
B
B
Thay vào (11) cho:
Vậy lực suy rộng:
2np 2 2 2 sin 2 2 2 cos 2
Q M P u b q P u b q (12)
5np 2 2 cos 2 2 sin 2
Q F P q P q (13)
Như vậy đã có các biểu thức , , np
j
tổng quát:
Trang 9np i
i
Q
i=1,2
Ta được phương trình vi phân chuyển động của khâu 2:
2
5 2 2 2 5 2 2 2 5 2 cos 2 x2 2 sin 2 y2 2 cos 2 2
I m u q m u q u m a m u g q P u b q P u b q M
(14) 2
2
5 5 2 2 5 sin 2 x2 cos 2 y2 sin 2 2
m u m u q m g q P q P q F (15)
c Chân thứ ba của robot
Tọa độ suy rộng:
T
q u
q
Vị trí các khối tâm của hai khâu 3 và 6:
Do chỉ thêm các thành phần hằng số trong các biểu thức tọa độ, nên khi đạo hàm không ảnh hưởng Một cách tương tự ta có phương trình vi phân chuyển động của chân số ba của robot:
Trang 10I m u q 6 32 3 2m u q u6 3 .3 .3 m a m u g3 6 3 cosq3 P u x3 3bsinq3P u y3 3bcosq3 M3
2
3
6 6 3 3 6 sin 3 x3 cos 3 y3 sin 3 3
m u m u q m g q P q P q F
d Thiết lập phương trình vi phân của bàn máy động
Phương trình lực:
1 2
P
P
m Y Y Y Y m g
Phương trình moment:
Sáu phương trình liên kết:
1
1
3
3
P
P
l
l
Trang 11
1
1
3
3
P
B
l
l
1
1
3
P
B
Kết hợp ta được phương trình vi phân chuyển động của robot song song
1
4 1 1 2 4 1 1 1 4 1 cos 1 x 1 sin 1 y 1 cos 1 1
I m u q m u q u m a m u g q P u b q P u b q M
2
1
4 4 1 1 4 sin 1 xcos 1 ysin 1 1
m u m u q m g q P q P q F
2
5 2 2 2 5 2 2 2 5 2 cos 2 x2 2 sin 2 y2 2 cos 2 2
I m u q m u q u m a m u g q P u b q P u b q M
2
2
5 5 2 2 5 sin 2 x2 cos 2 y2 sin 2 2
m u m u q m g q P q P q F
3
6 3 3 2 6 3 3 3 6 3 cos 3 x3 3 sin 3 y3 3 cos 3 3
I m u q m u q u m a m u g q P u b q P u b q M
2
3
6 6 3 3 6 sin 3 x3 cos 3 y3 sin 3 3
m u m u q m g q P q P q F
1 2
P
P
m Y Y Y Y m g
1
1
3
3
P
P
l
l
1
1
3
3
P
B
l
l
Trang 12
1
1
3
P
B