BÀI TẬP LỚN CHUYÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC HỆ NHIỀU VẬT NHÓM

BÀI TẬP LỚN CHUYÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC HỆ NHIỀU VẬT NHÓM Câu 1: Thiết lập phương trình vi phân chuyển động robot sau a Robot khâu hình dưới: Tọa độ suy rộng hệ: q = [q1 , q2 ]T Từ hình vẽ ta có vị trí tọa độ khối tâm hai khâu: l1 cos q1 + 0.5l2 cos ( q1 + q2 )  0.5l1 cos q1      r1 =  0.5l1 sin q1  , r2 =  l1 sin q1 + 0.5l2 sin ( q1 + q2 )      0 (1) Matrix Jacobian tịnh tiến:  −0.5l1 sin q1  ∂r1  J T1 = =  0.5l1 cos q1  ∂q  0   −l1 sin q1 − 0.5l2 sin ( q1 + q2 ) ∂r2  J T2 = = l1 cos q1 + 0.5l2cos ( q1 + q2 ) ∂q   (2) −0.5l2 sin ( q1 + q2 )   0.5l2cos ( q1 + q2 )   Vận tốc góc khâu: (3) 0   ω1 =   , . q   1     ω2 =     q + q   2 (4) Vậy matrix Jacobian quay khâu: 0  J R1 = = 0  , ∂ q 1    ∂ω1 JR2 0  = = 0  ∂ q 1    ∂ω2 (5) Matrix tenxo quán tính khâu khối tâm chúng có dạng: 0 0  I1 = 0 0  , 0 I1  0 0  I =  0   0 I  (6) Biểu thức matrix khối lượng suy rộng hệ có dạng: M ( q ) = ∑ ( J TTi mi JTi + J TRi I i J Ri ) (7) i =1 Thế biểu thức (2) (3) (5) (6) vào (7) ta được:  l12  l22  m + m + l1l2 cos q2 ÷+ I1 + I   l1 + 4   M ( q) =    l2 l l   m2  + cos q2 ÷+ I  4    l2 l l  m2  + cos q2 ÷+ I  4    (8) l2  m2 + I  Biểu thức động năng: T T = q M ( q) q Thay matrix khối lượng suy rộng vào ta có: T=   l22    l22     l22    l12 m + m l + + l l cos q + I + I q + m + I + l1l2 cos q2 ÷+ 2I  q1 q    2 1 2÷ 2 ÷q +  m2    4         2  Thế hệ: Π= m1 gl1 sin q1 + m2 g ( l1 sin q1 + 0.5l2 sin ( q1 + q2 ) ) (9) Công ảo lực suy rộng thế: δ A = τ 1δ q1 + τ 2δ q2 − Pxδ xB − Pyδ yB (10) Ta lại có: xB = l1 cos q1 + l2cos(q1 + q2 ) yB = l1 sin q1 + l2 sin ( q1 + q2 ) Suy ra: δ xB =  −l1 sin q1 − l2 sin ( q1 + q2 )  δ q1 − l2 sin ( q1 + q2 ) δ q2 δ yB = l1 cos q1 + l2cos ( q1 + q2 )  δ q1 + l2cos ( q1 + q2 ) δ q2 Vậy suy biểu thức lực suy rộng: Q1np = τ + Px l1 sin q1 + l2 sin ( q1 + q2 )  − Py l1 cos q1 + l2cos ( q1 + q2 )  (11) Q2np = τ + Px l2 sin ( q1 + q2 ) − Py l2 cos ( q1 + q2 ) (12) Thế biểu thức vào phương trình lagrange tổng quát:  d  ∂T dt  ∂ q  i  ÷− ∂T = − ∂Π + Qinp ÷ ∂qi ∂qi  i = 1, (13) Ta có phương trình vi phân chuyển động robot khâu phẳng khớp quay:     m l + m2l22 m l2 m l l τ =  I1 + I + m2l1l2 cos q2 + 1 + m2l12 ÷q1 +  I + 2 + 2 cos q2 ÷q 4      m ml   −m2l1l2 q1 q sin q2 − 0.5m2l1l2 q sin q2 + g l1  + m2 ÷cos q1 + 2 cos ( q1 + q2 )      (14) − Px l1 sin q1 + l2 sin ( q1 + q2 )  + Py l1 cos q1 + l2 cos ( q1 + q2 )     m l2 m l l m l  τ =  I + 2 + 2 cos q2 ÷q1 +  I + 2 ÷q 4     (15) +0.5m2l1l2 q1 sin q2 + 0.5m2 gl2 cos ( q1 + q2 ) − Px l2 sin ( q1 + q2 ) + Py l2 cos ( q1 + q2 ) b Robot tay máy dạng cực Tọa độ suy rộng robot q = [ q1 u1 ] Từ hình vẽ ta xác định tọa độ khối tâm khâu: T  a cos q1  r1 =  a sin q1  ,   u1 cos q1  r2 =  u1 sin q1    (1) Suy matrix jacobian tịnh tiến:  −a sin q1 ∂r1  JT = = a cos q1 ∂q    − u sin q1 ∂r2  JT = = u cos q1 ∂q   0   (2) cos q1  sin q1   (3) Quan sát hình vẽ cho ta vận tốc góc khâu cách đơn giản: 0   ω1 =   ,   q   1 0   ω2 =     q   1 (4) Suy matrix Jacobian quay: 0  J R1 = = 0  , ∂ q 1    ∂ω1 JR2 0  = = 0  ∂ q 1    ∂ω2 (5) Matrix tenxo quán tính khâu quanh trọng tâm chúng: 0 0  I1 = 0 0  , 0 I1  0 0  I =  0   0 I  (6) Matrix khối lượng suy rộng: M ( q ) = ∑ ( J TTi mi JTi + J TRi I i J Ri ) (7) i =1 Thế biểu thức (2) (3) (5) (6) vào (7) ta được:  m a + m2u12 + I1 + I M ( q) =   Đặt I = m1a + I1 + I vậy: m u + I M ( q) =   0  m2  0  m2  (8) Biểu thức động robot: T T = q M ( q) q Thay (8) vào ta được: T= 2 1 m u + I q + m u ) 1 ( 2  (9) Thế hệ: Π = m1 ga sin q1 + m2 gu1 sin q1 (10) Công ảo lực suy rộng không thế: δ A = M δ q1 + F δ u1 − Pxδ xB − Pyδ yB (11) Ta lại có: xB = u cos q1 + b cos q1 yB = u sin q1 + b sin q1 b = l2 nửa độ dài khâu 2 Suy ra: δ xB = − ( u1 sin q1 + b sin q1 ) δ q1 + cos q1δ u1 δ yB = ( u1 cos q1 + b cos q1 ) δ q1 + sin q1δ u1 Thay vào (11) suy ra: δ A =  M + ( u1 sin q1 + b sin q1 ) Px − ( u1 cos q1 + b cos q1 ) Py  δ q1 + ( F − Px cos q1 − Py sin q1 ) δ u1 Suy biểu thức lực suy rộng: Q1np = M + Px ( u1 + b ) sin q1 − Py ( u1 + b ) cos q1 (12) (13) Q = F − Px cos q1 − Py sin q1 np Thay biểu thức vào phương trình Lagrange tổng quát:  d  ∂T dt  ∂ q  i  ÷− ∂T = − ∂Π + Qinp ÷ ∂qi ∂qi  i = 1,2 (14) Ta có phương trình vi phân chuyển động tay máy dạng cực hai bậc tự do: ( I + m u ) q + 2m u q u + ( m a + m u ) g cos q − P ( u 2 1 1 x + b ) sin q1 + Py ( u + b ) cos q1 = M (15) m2 u1 − m2u1 q1 + m2 g sin q1 + Px cos q1 + Py sin q1 = F (16) Câu 2: Thiết lập phương trình vi phân chuyển động Robot song song phẳng khớp cực Phương pháp sử dụng phần tách cấu trúc Ta tách robot song song cực làm ba robot tay máy cực ( dạng tâp 1b ) bàn máy Khi sử dụng phương trình Lagrange thành lập phương trình vi phân robot a Chân thứ Tách cấu trúc cho ta mô Mô hình hoàn toàn giống với tay máy cực phần câu 1b T Tọa độ suy rộng robot q = [ q1 u1 ] Áp dụng cách tương tự ta có phương trình vi phân chuyển động chân thứ nhất: ( I + m u ) q + 2m u q u + ( m a + m u ) g cos q − P ( u 1 1 x + b ) sin q1 + Py ( u1 + b ) cos q1 = M (15) m4 u1 − m4u1 q1 + m4 g sin q1 + Px cos q1 + Py sin q1 = F1 (16) b Chân thứ hai robot Tọa độ suy rộng: q = [ q2 u2 ] Quan sát hình vẽ ta có tọa độ khối tâm khâu: T  c + a cos q2  r2 =  a sin q2  ,   c + u2 cos q2  r5 =  u2 sin q2    (1) Từ (1) cho ta matrix Jacobian tịnh tiến: JT JT  −a sin q2  ∂r2  = =  a cos q2  ∂q  0   −u2 sin q2 cos q2  ∂r5  = =  u2 cos q2 sin q2  ∂q  0  (2) (3) Tương tự ta có vận tốc góc khâu là: 0   ω2 =   ,   q   2 0   ω5 =     q   2 (4) Suy matrix Jacobian quay khâu: J R2 0 0 = =  0  , ∂ q 1    ∂ω2 J R5 0 0 = =  0  ∂ q 1    ∂ω5 (5) Matrix tenxo quán tính khâu khối tâm chúng có dạng: 0 0  I = 0 0  , 0 I  0 0  I = 0 0  0 I  (6) Matrix khối lượng suy rộng: M ( q ) = ∑ ( J TTi mi JTi + J TRi I i J Ri ) (7) i =1 Thay biểu thức (2) (3) (5) (6) vào (7) ta matrix khối lượng suy rộng:  m2 a + m5u22 + I + I  M ( q) =   m5   Đặt m2 a + I + I = I đó:  m5u22 + I M ( q) =   0  m5  (8) Biểu thức động robot: T T = q M ( q) q Thay matrix khối lượng suy rộng vào ta có:     q2   m5    u  2 1 T = ( m5u22 + I ) q + m5 u  2  1 T = q 2   I + m5u2 u2    (9) Biểu thức hệ: Π = m2 ga sin q2 + m5 gu2 sin q2 (10) Công ảo lực suy rộng không thế: δ A = M 2δ q2 + F2δ u2 − Px 2δ xB − Py 2δ y B (11) Ta lại có: δ xB = c + ( u2 + b ) cos q2  δ yB = ( u2 + b ) sin q2 Thay vào (11) cho: δ A = ( M + Px ( u2 + b ) sin q2 − Py ( u2 + b ) cos q2 ) δ q2 + + ( F2 − Px cos q2 − Py sin q2 ) δ u2 Vậy lực suy rộng: Q2np = M + Px ( u2 + b ) sin q2 − Py ( u2 + b ) cos q2 (12) Q = F2 − Px cos q2 − Py sin q2 (13) np Như có biểu thức T , Π, Q j thay vào phương trình Lagarange tổng quát: np  d  ∂T dt  ∂ q  i  ÷− ∂T = − ∂Π + Qinp ÷ ∂qi ∂qi  i=1,2 Ta phương trình vi phân chuyển động khâu 2: ( I + m u ) q + 2m u q u + ( m2 a + m5u2 ) g cos q2 − Px ( u2 + b ) sin q2 + Py ( u2 + b ) cos q2 = M (14) (15) m5 u − m5u2 q + m5 g sin q2 + Px cos q2 + Py sin q2 = F2 c Chân thứ ba robot Tọa độ suy rộng: q = [ q3 u3 ] T Vị trí khối tâm hai khâu 6: c cos 600 + a cos q3   c cos 600 + u3 cos q3      r3 =  c sin 600 + a sin q3  , r6 =  c sin 600 + u3 sin q3      0       0 ω3 =   ,   q   3 (1)   0 ω6 =     q   3 Do thêm thành phần số biểu thức tọa độ, nên đạo hàm không ảnh hưởng Một cách tương tự ta có phương trình vi phân chuyển động chân số ba robot: ( I + m u ) q + 2m u q u + ( m3a + m6u3 ) g cos q3 − Px ( u3 + b ) sin q3 + Py ( u3 + b ) cos q3 = M m6 u − m6u3 q + m6 g sin q3 + Px cos q3 + Py sin q3 = F3 d Thiết lập phương trình vi phân bàn máy động Phương trình lực:  m X  P P = X B1 + X B + X B   mP Y P = YB1 + YB + YB − mP g  ( 1) ( 2) Phương trình moment: J P ϕ = X B1 l1 l π  π  sin  + ϕ ÷− YB1 cos  + ϕ ÷ 3 6  6  + X B2 l1 l π  π  sin  − ϕ ÷+ YB cos  − ϕ ÷ 3 6  6  − X B3 l1 l π  π  sin  − ϕ ÷− YB cos  − ϕ ÷ 3 2  2  Sáu phương trình liên kết:  l1 π  cos  + ϕ ÷ =  xP − ( u1 + b ) cos q1 −  6    y − u + b sin q − l1 sin  π + ϕ  =  ÷  P ( ) 6  10  l1 π  cos  − ϕ ÷− ( u2 + b ) cos q2 − c =  xP +  6    y − l1 sin  π − ϕ  − u + b sin q = )  ÷ (  B 6   l1 c π  cos  − ϕ ÷− ( u3 + b ) cos q3 − =  xP −  2    y + l1 sin  π − ϕ  − u + b sin q − c = )  ÷ (  B 3 2  Kết hợp ta phương trình vi phân chuyển động robot song song ( I + m u ) q + 2m u q u + ( m a + m u ) g cos q − P ( u 1 1 1 x + b ) sin q1 + Py ( u1 + b ) cos q1 = M m4 u1 − m4u1 q1 + m4 g sin q1 + Px cos q1 + Py sin q1 = F1 ( I + m u ) q + 2m u q u + ( m2 a + m5u ) g cos q2 − Px ( u + b ) sin q2 + Py ( u + b ) cos q2 = M 2 m5 u − m5u2 q + m5 g sin q2 + Px cos q2 + Py sin q2 = F2 ( I + m u ) q + 2m u q u + ( m3 a + m6u3 ) g cos q3 − Px ( u3 + b ) sin q3 + Py ( u3 + b ) cos q3 = M m6 u − m6u3 q + m6 g sin q3 + Px cos q3 + Py sin q3 = F3  m X  P P = X B1 + X B + X B   mP Y P = YB1 + YB + YB − mP g  J P ϕ = X B1 ( 1) ( 2) l1 l π  π  sin  + ϕ ÷− YB1 cos  + ϕ ÷ 3 6  6  + X B2 l1 l π  π  sin  − ϕ ÷+ YB cos  − ϕ ÷ 3 6  6  − X B3 l1 l π  π  sin  − ϕ ÷− YB cos  − ϕ ÷ 3 2  2   l1 π  cos  + ϕ ÷ =  xP − ( u1 + b ) cos q1 −  6    y − u + b sin q − l1 sin  π + ϕ  =  ÷  P ( ) 6   l1 π  cos  − ϕ ÷− ( u2 + b ) cos q2 − c =  xP +  6    y − l1 sin  π − ϕ  − u + b sin q = )  ÷ (  B 6  11  l1 c π  cos  − ϕ ÷− ( u3 + b ) cos q3 − =  xP −  2    y + l1 sin  π − ϕ  − u + b sin q − c = )  ÷ (  B 3 2  12 [...]...  B 3 6   l1 3 c π  cos  − ϕ ÷− ( u3 + b ) cos q3 − = 0  xP − 3 2  2    y + l1 3 sin  π − ϕ  − u + b sin q − c 3 = 0 ) 2  ÷ ( 3  B 3 3 2  Kết hợp ta được phương trình vi phân chuyển động của robot song song ( I + m u ) q + 2m u q u + ( m a + m u ) g cos q − P ( u 2 4 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 x 1 + b ) sin q1 + Py ( u1 + b ) cos q1 = M 1 2 m4 u1 − m4u1 q1 + m4 g sin q1 + Px cos q1 +