Phân tích thống kê dự báo và mô phỏng vài chuỗi thời gian

Trong luận án này chúng tôi không giới hạn trong việc xem xét các chuỗi thời giantruyền thống như các quá trình tự hồi qui AR, trung bình trượt MA, tự hồi qui trung bình trượt ARMA, vect

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM VĂN KHÁNH

PHÂN TÍCH THỐNG KÊ DỰ BÁO

VÀ MÔ PHỎNG MỘT SỐ CHUỖI THỜI GIAN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

1 GS TS Nguyễn Khắc Minh

2 GS TSKH Nguyễn Duy Tiến

Hà Nội - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kếtquả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trongbất kì công trình nào khác

Tác giả

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán – Cơ – Tin học, Phòng Sau đạihọc, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học quốc gia Hà Nội, nơitác giả đã học tập và nghiên cứu từ năm 1997 tới nay.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy ở Bộ môn Lý thuyết Xác suất vàThống kê toán, Khoa Toán – Cơ – Tin học đã giúp đỡ tác giả rất nhiềutrong quá trình học tập và hoàn thành luận án

Trong quá trình học tập hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quantâm giúp đỡ và đóng góp của GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, PGS.TS TrầnHùng Thao, PGS.TS Nguyễn Xuân Hoài, TS Nguyễn Thịnh, Tác giả xinchân thành cảm ơn tới quý thầy về sự giúp đỡ quý báu đó

Tác giả xin chân thành cảm ơn tới người vợ thân yêu của mình vì sự hysinh và động viên, giúp đỡ tác giả trong học tập, nghiên cứu cũng nhưtrong cuộc sống Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tất cả thầy cô, gia đình vàbạn bè đã góp ý, ủng hộ và động viên tác giả trong quá trình học tập vàhoàn thành luận án

Phạm Văn Khánh

MỤC LỤC

Chương 1 Chuỗi tự hồi quy cấp 1 với hệ số hồi quy có chứa

1.1 Điều kiện dừng của chuỗi 13

1.2 Ước lượng các tham số của mô hình 16

1.3 Nghiên cứu mô phỏng 20

1.4 Kết luận chương 1 26

Chương 2 ƯỚC LƯỢNG THỜI ĐIỂM DỪNG TỐI ƯU CHO QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ TRƯỢT NGẪU NHIÊN 27 2.1 Kiến thức liên quan 28

2.2 Những kết quả đã được nghiên cứu 30

2.3 Bài toán tìm thời điểm bán tối ưu khi tốc độ tăng giá là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận 2 giá trị 32

2.3.1 Đặt bài toán 32

2.3.2 Bài toán phụ 36

2.3.3 Bao dừng tối ưu 40

2.3.4 Lời giải số và mô phỏng 42

2.4 Bài toán tìm thời điểm mua và bán tối ưu khi tốc độ tăng giá là xích Markov rời rạc hai trạng thái 55

2.4.1 Bài toán mua tài sản 56

2.4.2 Bài toán bán tài sản 67

2.5 Kết luận chương 2 81

Chương 3 Phương pháp Monte - Carlo trong mô hình giá quyền chọn áp dụng cho quá trình có bước nhẩy ngẫu nhiên 84 3.1 Đặt vấn đề 84

3.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên hệ số hằng với rủi ro

trung tính 86

3.3 Giá một quyền chọn trong môi trường rủi ro trung tính 88

3.4 Giải thuật Monte–Carlo 92

3.5 Kết quả mô phỏng thử nghiệm 101

3.5.1 Kết quả mô phỏng quá trình giá 101

3.5.2 Kết quả mô phỏng giá của quyền chọn mua và quyền chọn bán 101

3.6 Kết luận chương 3 106

Chương 4 Dự báo trạng thái hội tụ của thu nhập bình quân đầu người của Việt Nam 108 4.1 Giới thiệu 108

4.2 Cơ sở lý thuyết 111

4.2.1 Quan điểm kinh tế của các phương pháp được sử dụng111 4.2.2 Mô hình hồi quy Barro 1 mở rộng 113

4.2.3 Mô hình hồi quy Barro 2 mở rộng 122

4.2.4 Mô hình xích Markov 128

4.3 Kết quả ước lượng thực nghiệm 130

4.4 So sánh với các mô hình Barro kinh điển 139

4.5 Kết luận chương 4 139

Chương 5 So sánh mô hình vector tự hồi qui và các mô hình được tạo ra bởi lập trình Gen trong dự báo chỉ số giá tiêu dùng của Việt Nam 141 5.1 Cơ sở phương pháp 142

5.1.1 Giới thiệu khái quát mô hình VAR 142

5.1.2 Giới thiệu về lập trình Gen 144

5.2 Ước lượng thực nghiệm 148

5.2.1 Áp dụng mô hình VAR trong dự báo lạm phát 148

5.2.2 Sử dụng GP cho dự báo lạm phát ở Việt Nam 151

5.3 Kết luận chương 5 155

Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến

NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

Ký hiệu Ý nghĩa

(Ω, F , P ) Không gian xác suất

I(A) Hàm chỉ tiêu của tập hợp A

[x] Số nguyên lớn nhất không vượt quá x với x ≥ 0

max{ln(x), 0} ln+(x)

ARCH Mô hình tự hồi quy với phương sai

có điều kiện của sai số thay đổiGDP Tổng sản phẩm quốc nội

IID Độc lập cùng phân bố

MA Quá trình trung bình trượt

MSE Sai số dự báo bình phương trung bình

MLE Ước lượng hợp lý cực đại

RMSE Căn bậc hai của MSE

GARCH Mô hình ARCH tổng quát

EGARCH Mô hình GARCH dạng mũ

TGARCH Mô hình GARCH phân ngưỡng

BPTT Bình phương tối thiểu

MỞ ĐẦU

Phân tích các dữ liệu thực nghiệm tại những điểm khác nhau theo thờigian dẫn đến những bài toán mới và độc đáo trong mô hình thống kê vàsuy diễn thống kê

Sự tương quan trong mẫu được lấy tại các điểm lân cận theo thời gian

có thể làm hạn chế việc áp dụng nhiều phương pháp thống kê truyền thốngphụ thuộc vào giả định rằng những quan sát liền kề là độc lập và cùngphân bố Phân tích chuỗi thời gian được hiểu là sử dụng các phương pháptiếp cận có hệ thống để trả lời các câu hỏi toán học và thống kê về nhữngmối tương quan thời gian nói trên

Có rất nhiều những yêu cầu về việc phân tích thống kê đối với nhữngquan sát phụ thuộc ở trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, kỹ thuật

và khoa học tự nhiên Một mô tả cấu trúc xác suất của một chuỗi các quansát phụ thuộc được gọi là mô hình một quá trình ngẫu nhiên Trong luận

án này chúng tôi không giới hạn trong việc xem xét các chuỗi thời giantruyền thống như các quá trình tự hồi qui (AR), trung bình trượt (MA),

tự hồi qui trung bình trượt (ARMA), vector tự hồi qui (VAR) mà chúngtôi mở rộng ra xem xét các chuỗi thời gian có hệ số ngẫu nhiên, chuỗi thờigian liên tục mà hệ số chứa thành phần ngẫu nhiên, chuỗi thời gian liêntục có tác động của bước nhảy ngẫu nhiên

Phương pháp tiếp cận cơ bản trong phân tích chuỗi thời gian thườngdựa trên giả thiết rằng sự tương quan giữa các điểm lân cận theo thời gian

là giải thích tốt nhất cho sự phụ thuộc của giá trị hiện tại và giá trị trongquá khứ Các phương pháp phân tích chuỗi thời gian tập trung vào việc

mô hình hóa các giá trị tương lai của một chuỗi thời gian như là một hàmcủa giá trị hiện tại và quá khứ Theo kịch bản này, bắt đầu bằng hồi quy

các giá trị hiện tại của một chuỗi thời gian trên các giá trị quá khứ củabản thân chuỗi đó và trên các giá trị trong quá khứ của các chuỗi khác.

Mô hình này được sử dụng như một công cụ dự báo và đặc biệt phổ biếnvới các nhà kinh tế vì lý do này

Trong luận án này, chúng tôi sử dụng các kết quả trong phân tích và

mô phỏng chuỗi thời gian để ứng dụng trong điều khiển và dự báo Việcđiều khiển các chuỗi thời gian thể hiện trong bài toán xác định thời điểmdừng tối ưu Đối với bài toán này biến điều khiển chính là biến thời gian

mà người đầu tư cần quyết định giá trị trị nào của biến thời gian mà ngườiđầu tư cần dừng lại quá trình đầu tư của mình để thu được cực đại lợinhuận Bản chất của bài toán này là bài toán dự báo: dự báo thời điểmthay đổi xu thế của chuỗi thời gian: thời điểm giá đạt đỉnh và thời điểmgiá chạm đáy Thời điểm chuỗi giá cả thay đổi xu thế ta gọi đó là thời điểmchuyển mà tại đó nhà đầu tư thường đưa ra quyết định mua hay bán Mộtkết quả rất thú vị ở chương 2 cho thấy là thời điểm tối ưu để mua là khigiá đang lên và vừa qua đáy, thời điểm tối ưu để bán là giá đang xuống vàvừa qua đỉnh!

Bài toán dự báo là bài toán chủ yếu trong phân tích và mô phỏng chuỗithời gian Việc dự báo các chỉ tiêu kinh tế luôn là mong muốn của các nhàlãnh đạo, các nhà đầu tư và mọi người dân Chính vì vậy luận án này cũnggiải quyết một phần quan trọng trong các vấn đề thời sự của đất nước đó

là dự báo về trạng thái hội tụ về thu nhập bình quân đầu người và chỉ sốgiá tiêu dùng

Luận án cũng nghiên cứu việc tính toán giá của các phái sinh trong thịtrường tài chính Nó giúp cho các nhà đầu tư bảo hiểm các quyết địnhcủa mình khi thị trường có những cú sốc (bước nhảy ngẫu nhiên) ngoài ýmuốn

Luận án nghiên cứu phân tích thống kê, mô phỏng các chuỗi thời gian

và áp dụng cho các chuỗi thời gian trong kinh tế bao gồm cả vĩ mô và vi

mô Vì đặc trưng khác nhau của các chuỗi nên các phương pháp tiếp cận

và nghiên cứu cũng khác nhau

Luận án gồm năm chương và được cấu trúc như sau:

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một mô hình chuỗi thời gian mới

Đó là chuỗi tự hồi quy cấp 1 mà hệ số góc có tác động của thành phần ngẫunhiên không âm Chuỗi này dùng để mô hình hóa quá trình tăng trưởng vàphương sai của sai số thay đổi Để mô tả độ biến động của một quá trìnhngẫu nhiên ta thường mô hình hóa bởi các quá trình ARCH, GARCH,EGARCH hay TGARCH Tuy nhiên bằng việc mô phỏng ta thấy RCA(1)rất gần với các mô hình trên nhưng việc ước lượng các tham số, kiểm định

và dự báo dễ dàng hơn rất nhiều Việc sử dụng chuỗi thời gian mới nàycho ta các tiện lợi hơn rất nhiều so với các mô hình hiện có

Ở Chương 2 chúng tôi xét mô hình chuỗi thời gian liên tục nếu rời rạchóa mô hình chuỗi thời gian trong chương này ta sẽ được mô hình khágiống với chương 1 nghĩa là tốc độ tăng trưởng (hệ số góc) cũng phụ thuộcvào biến ngẫu nhiên rời rạc hoặc quá trình ngẫu nhiên rời rạc (có thể nhậngiá trị âm) Tuy nhiên, trong chương này chúng tôi xem xét bài toán điềukhiển tối ưu chuỗi thời gian mà biến điều khiển là biến thời gian còn biếntrạng thái (không quan sát được) là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận 2 giá trịhoặc quá trình Markov 2 trạng thái còn biến trạng thái quan sát được làquá trình giá cả Đây là sự mở rộng các kết quả hiện có về bài toán xácđịnh thời điểm dừng tối ưu trong đó thêm thành phần ngẫu nhiên vào hệ

số dịch chuyển (hệ số góc-tốc độ tăng trưởng) Các kết quả thu được làkhả quan và được kiểm tra trên dữ liệu mô phỏng cho thấy tính đúng đắncủa các kết quả tìm được Bài toán xác định thời điểm dừng tối ưu được

sử dụng trong thống kê toán học (ước lượng và kiểm định), trong toán tàichính, kỹ thuật tài chính, trong các giải thuật gen di truyền (thời điểmdừng cho quá trình tiến hóa) Trong luận án này chúng tôi áp dụng bàitoán thời điểm dừng tối ưu áp dụng cho bài toán tài chính

Chương 3 chúng tôi xét một chuỗi thời gian liên tục có thêm thànhphần ngẫu nhiên khác loại với chuyển động Brown đó là thành phần bướcnhảy được cộng hợp vào mô hình mà không chứa trong hệ số hồi quy nhưtrong chương 1 và chương 2 để mô hình hóa những biến cố dạng sốc tác

động vào quá trình giá cả Các công thức liên quan tới giá của các pháisinh tài chính mà quá trình cơ sở là chuỗi thời gian đang xét rất phứctạp thậm chí không thể tính được vì vậy luận án đưa ra phương pháp môphỏng Monte-Carlo để tính toán giá của các phái sinh tài chính này Đây

là loại chuỗi thời gian thường gặp trong thực tế nhất là trong thị trường

có nhiều đột biến như sự vỡ nợ của các tập đoàn lớn, các biến cố chínhtrị, thiên tai , tuy nhiên các nghiên cứu về loại chuỗi thời gian này chưanhiều đặc biệt do tính phức tạp trong phân bố của các phái sinh tài chínhliên quan nên việc tính toán và dự báo gặp nhiều khó khăn Ta sẽ gặptrong chương 3, kỳ vọng của giá quyền chọn mua trong điều kiện có bướcnhảy có dạng:

h

lnKx +r + σ22Ti, d2(x) = d1(x) − σ√

T ,

và Φ (y) là hàm phân phối chuẩn

Chuỗi cho bởi công thức (0.1) hội tụ rất chậm và kỳ vọng ES˜k tính rấtkhó khăn, cho nên chúng tôi đã đề xuất phương pháp Monte-Carlo để tínhtoán một số phái sinh (quyền chọn mua, quyền chọn bán) kiểu Châu Âuliên quan đến chuỗi Đối với các quyền chọn kiểu Mỹ thì còn phức tạp hơnrất nhiều vì thời hạn thực thi hợp đồng không được định trước, bài toánxác định quyền chọn mua hay quyền chọn bán kiểu Mỹ bản chất là bàitoán xác định thời điểm dừng tối ưu khi mô hình tồn tại bước nhảy vớicường độ và biên độ nào đó Chúng tôi sẽ nghiên cứu bài toán này trongnhững nghiên cứu tiếp theo

Trong các phương pháp phân tích chuỗi thời gian, phân tích tự hồi quy

là một phương pháp được áp dụng phổ biến Các mô hình hồi quy Barro

sử dụng phương pháp tự hồi quy để xem xét sự hội tụ của các tiểu vùngkinh tế trong một nền kinh tế hay là sự hội tụ của các nền kinh tế như

là một xu thế chung của quá trình phát triển Ở trong Chương 4 chúngtôi tiến hành mở rộng mô hình hồi quy Barro (xem [20]) để xây dựng môhình mới gọi là Mô hình Barro mở rộng bằng việc xem xét bài toándưới góc độ phương trình vi phân và xét tất cả các thời kì con trong toàn

bộ thời kì nghiên cứu đồng thời áp dụng trong việc dự báo trạng thái hội

tụ của thu nhập của bình quân đầu người của Việt Nam cho thấy ưu việtcủa mô hình mở rộng bằng việc so sánh với mô hình xích Markov Trongchương này, chúng tôi đã chứng minh những kết quả để so sánh độ chínhxác của các mô hình mở rộng với các mô hình kinh điển

Chương 5 chúng tôi đưa ra phương pháp gọi là phương pháp xấp xỉ ngẫunhiên sử dụng các nguyên lý tiến hóa trong sinh học và mô phỏng Monte -Carlo để xây dựng các mô hình dự báo chuỗi thời và so sánh với mô hìnhtoán học là mô hình véc tơ tự hồi quy (VAR) Giả sử ta cần dự báo chuỗithời gian S(t) ban đầu ta xấp xỉ S(t) bởi Sˆ

0(x) trong đó x là véc-tơ chứacác biến độc lập hoặc các biến trễ của S(t) Sau một bước lặp ta sử dụngcác toán tử tiến hóa để đượcSˆ1(x)sao cho kS1(x)−S(t)k ≤ kS0(x)−S(t)k.Cuối cùng ta thu được một dãy các hàm S0(x), S1(x), ·, Sn(x) hội tụ tới

S(t) Điều kì diệu của phương pháp được đưa ra ở trong chương này đó làmáy tính có thể tự vận dụng các quy tắc đã được cài đặt để tự tạo ra cáchàm xấp xỉ với dữ liệu quan sát và thu được hàm dự báo thông qua quátrình tiến hóa những hàm dự báo được tạo ra một cách ngẫu nhiên banđầu Các kết quả cho thấy tính ưu việt của phương pháp mới

Luận án đã sử dụng nhiều cách tiếp cận khác nhau để giải quyết bài toán

dự báo bao gồm cả phương pháp tiếp cận truyền thống và phương pháphiện đại, các mô hình xác suất, mô hình toán tài chính, mô hình toán kinh

tế và kỹ thuật mô phỏng được triệt để áp dụng trong luận án

Xuyên suốt toàn bộ luận án là bài toán phân tích thống kê dự báo và môphỏng các chuỗi thời gian trong đó các chuỗi thời gian được xem xét trongluận án gồm chuỗi thời gian liên tục (Chương 2 và Chương 3) và chuỗi

thời gian rời rạc (các chương còn lại), từ các chuỗi thời gian trong kinh

tế đến các chuỗi thời gian trong tài chính Các khía cạnh khác nhau củabài toán dự báo cũng được nghiên cứu trong luận án như: dự báo giá trịcủa chuỗi trong tương lai (Chương 1), dự báo thời điểm cao nhất và thấpnhất của chuỗi thời gian trong một thời đoạn (Chương 2), ước lượng và dựbáo các giá trị phái sinh tài chính khi công thức giải tích không áp dụngđược (Chương 3), dự báo trạng thái hội tụ của một chuỗi thời gian có xuthế (Chương 4) và dự báo cấu trúc của một chuỗi thời gian khi không thểđịnh dạng được mô hình toán học của chuỗi (Chương 5)

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại các hội nghị: Hội nghị toànquốc lần thứ 4 về Xác suất và thống kê (Vinh, 5/2010), Hội Nghị KhoaHọc Khoa Toán - Cơ - Tin học (trường ĐH Khoa học Tự nhiên-ĐHQG HàNội, 10/2010), Hội nghị quốc tế 2013 Statistics and its interactions withother disciplines (SIOD 2013) và đã được đăng ở các tạp chí:

Open Jounal of Statistic, American Jounal of Operation Research, Tạp chíỨng dụng Toán học

CHUỖI TỰ HỒI QUY CẤP 1 VỚI HỆ SỐ HỒI QUY CÓCHỨA THÀNH PHẦN NGẪU NHIÊN KHÔNG ÂM

Những mô hình chuỗi thời gian với hệ số ngẫu nhiên (RCA) là các

mô hình phi tuyến, là sự mở rộng lớp các mô hình tự hồi quy cổ điển trongphân tích các chuỗi thời gian tuyến tính và cho phép ta linh hoạt hơn trongviệc mô hình hóa phương sai của sai số thay đổi thường gặp trong dữ liệu,tuy nhiên lớp các mô hình RCA hiện nay vẫn có ít các nghiên cứu về nóđặc biệt các mô hình RCA ít được chú ý hơn so với các mô hình ARCH,GARCH và các mô hình phân ngưỡng khác Ta có thể thấy rằng nhữnglợi ích của những mô hình RCA so với các mô hình nêu trên như sau:

•Thứ nhất, các mô hình RCA cho ta một thủ tục ước lượng tham số thốngnhất mà không phụ thuộc vào cấu trúc xác suất của quá trình cơ sở

• Thứ hai, mặc dù các mô hình GARCH là phổ biến hơn trong phân tích

dữ liệu tài chính nhưng những mô hình này có thể chuyển thành các môhình RCA như là một trường hợp đặc biệt

• Thứ ba, dù mô hình RCA đơn giản nhất như là mô hình RCA cấp 1cũng rất thích hợp trong các ứng dụng kinh tế lượng Do giả thiết về bướcngẫu nhiên của hành vi của giá cả thị trường cổ phiếu được mô hình hóabởi chuỗi thời gian tự hồi quy cấp 1 với hệ số hồi quy φ = 1 trong khi đó

hệ số hồi quy trên thực tế nằm giữa các mô hình dừng và không dừng cấp

1, lý thuyết này cho ta thấy tác dụng phụ không mong muốn của sự ướclượng không chính xác dẫn đến sự khác nhau đáng kể trong dáng điệu củachuỗi ứng với các trường hợp φ < 1, φ = 1 và φ > 1 Tuy nhiên, nếu tathêm vào hệ số hồi quy một thành phần ngẫu nhiên việc mô hình hóa hành

vi giá cả sát với thực tế hơn Các tác giả trong [5], [6] đã xét các chuỗithời gian với hệ số ngẫu nhiên và chuỗi tự hồi quy cấp 1 với hệ số chịu tácđộng của biến ngẫu nhiên chuẩn Ở đây, trong luận án này ta giả sử thànhphần ngẫu nhiên là trị tuyệt đối của biến ngẫu nhiên chuẩn kỳ vọng 0, bởi

vì trong nhiều trường hợp của thị trường đang chịu sự tác động của chínhsách kích cầu hay một chính sách ưu tiên nào đó sẽ tác động lên hệ số tựhồi quy và thành phần tác động này là ngẫu nhiên dương Việc ước lượngcác tham số của mô hình trở lên khó khăn hơn rất nhiều vì phân bố củanhiễu hệ số là phân bố chuẩn chặt cụt.

Trong chương này, chúng tôi cũng thiết lập các điều kiện để chuỗi đangxét là chuỗi dừng, xây dựng ước lượng cho các tham số và chứng minh cáctính chất của các ước lượng Các kết quả của chương này thu được từ bàibáo [3] của tác giả

1.1 Điều kiện dừng của chuỗi

Xét một chuỗi thời gian thỏa mãn

− ∞ ≤ E ln |φ + |b0|| < 0 (1.5)Khi đó chuỗi (1.3) hội tụ tuyệt đối (hcc)

Chứng minh Xét trường hợp −∞ < E ln |φ + |b0|| < 0, theo luật mạnh

số lớn tồn tại biến ngẫu nhiên i0 sao cho:

ln |φ + |b−1|| + ln |φ + |b−2|| + · · · + ln |φ + |b−i|| ≤ 1

2iγ ∀i ≥ i0 (1.6)trong đó

Như vậy, từ (1.7) ta thu được P {|Y | < ∞} = 1

Xét trường hợp E ln |φ + |b0|| = −∞ lúc đó (1.6) đúng với mọi γ < 0 làmtương tự như trên ta có điều phải chứng minh

Bây giờ ta xét một số tính chất của biến ngẫu nhiên Y thông qua cácmệnh đề sau:

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử các điều kiện (1.2) và (1.5) được thỏa mãn, đồngthời E|b0|ε < ∞, E|e0|ε < ∞ với ε > 0 nào đó Khi đó tồn tại δ > 0 saocho E|Y |δ· < ∞

Chứng minh Do điều kiện (1.2) và áp dụng bất đẳng thức Minkowski tacó:

Định lý sau khẳng định điều kiện dừng của chuỗi (1.1)

Định lý 1.1.4 Giả sử rằng các giả thiết (1.1), (1.4) và (1.5) được thỏamãn Khi đó:

Chứng minh Ta có: Yk hội tụ tuyệt đối theo Bổ đề 1.1.1 Mặt khác:

πσbe

−x21 2σ2 b

+x22 2σ2e)

+(x−Yk−1z)

2 2σ2e )

2π(σ2bYk−12 + σ2

e)exp{−

x22(σ2bYk−12 + σ2





Ước lượng hợp lý cực đại được xác định bởi:

√x

y Yi−1(Yi−sYi−1)

√

xY 2 i−1 +y

n

Định lý 1.2.2 Giả sử các giả thiết (1.2 ), (1.4), (1.5), (1.9), (1.11),(1.12) được thỏa mãn đồng thời

(iii) (1/2)(u − u0)0Tn(u∗)(u − u0) < nM δ∗3

Sử dụng khai triển Taylor của Hn(u) trên biên của Nδ∗, ta có:

Hn(u) ≥ Hn(u0) + n(−δ∗3+ ∆δ∗2−M δ∗3) ≥ Hn(u0) + nδ∗2(∆ − δ∗−M δ∗)

Vì ∆ − δ∗ − M δ∗ có thể nhận giá trị dương nếu chọn δ∗ đủ nhỏ, do vậy

Hn(u) sẽ nhận giá trị nhỏ nhất tại một điểm θˆ

n nào đó ở miền trong của

Chứng minh Theo [4], Định lý 3.2.26 trang 101-102.

1.3 Nghiên cứu mô phỏng

Ta tiến hành mô phỏng dữ liệu với các tham số φ = −0.5, σb2 =0.04, σ2e = 0.04 với các cỡ mẫu n khác nhau sau đó ước lượng các tham sốtrên bằng phương pháp giả hợp lý cực đại Kết quả ước lượng được chotrong bảng (1.1) dưới đây

Hình 1.1: Đồ thị chuỗi lợi suất của giá vàng Hà Nội trên thị trường tự do.

Bảng 1.1 Kết quả ước lượng dựa trên dữ liệu mô phỏng

Dưới đây là một số hình ảnh mô phỏng chuỗi RCA với tác động ngẫu nhiêndương Ta có thể so sánh tính dừng của chuỗi được nghiên cứu trong mục(1.1) với các hình ảnh mô phỏng

Hình 1.2: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = −0.4, σb = 0.4, σe = 0.4, EYt≈ 1.935910 −4 , chuỗi dừng theo Bổ đề 1.1.1.

Hình 1.3: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = −0.6, σb = 0.4, σe= 0.4, EYt≈ 2.3673 ∗ 10−4chuỗi dừng theo Bổ đề 1.1.1

Hình 1.4: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = −0.8, σ b = 0.4, σ e = 0.4, EY t ≈ −2.2580 ∗ 10−4chuỗi dừng theo Bổ đề 1.1.1

Hình 1.5: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = −1.0, σb = 0.4, σe= 0.4, EYt≈ 2.6469 ∗ 10 −4 chuỗi dừng theo Bổ đề 1.1.1

Hình 1.6: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = −1.1, σb = 0.4, σe= 0.4, EYt≈ 4.9064 ∗ 10−4chuỗi dừng theo Bổ đề 1.1.1

Hình 1.7: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = −1.2, σ b = 0.4, σ e = 0.4, EY t ≈ −1.4247 ∗ 10−4chuỗi không dừng và bắt đầu phân cụm.

Hình 1.8: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = −1.3, σb = 0.4, σe= 0.4, EYt≈ −8.9036 ∗ 10 −4 chuỗi không dừng và phân cụm mạnh.

Hình 1.9: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = −1.4, σb = 0.4, σe = 0.4, và thu được

EY t ≈ −1.3215 ∗ 10 25 chuỗi không dừng và dần ra vô hạn.

Hình 1.10: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = 0.4, σ b = 0.4, σ e = 0.4, và thu được

EY t ≈ −8.9878 ∗ 10−4, chuỗi dừng.

Hình 1.11: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = 0.6, σb = 0.4, σ e = 0.4, và thu được

EYt≈ 0.0110đối chiếu với Bổ đề 1.1.1 chuỗi không dừng và được thể hiện trên hình.

Hình 1.12: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = 0.8, σ b = 0.4, σ e = 0.4, và thu được

EY t ≈ −1.3678 ∗ 10 44 , chuỗi không dừng do không thỏa mãn các điều kiện đưa ra trong Bổ

đề 1.1.1.

Áp dụng cho dữ liệu thực

Ta sử dụng mô hình (1.1) để mô hình hóa cho chuỗi lợi suất giá vàng

Hà Nội trên thị trường tự do từ ngày 23/08/2011 đến 23/08/2012 Kếtquả ta thu được ước lượng cho các tham số θ = φ, σb2, σ2e
là θ =ˆ(0.0004, 0.0002, 0.0069) Ta có thể dùng mô hình sau để dự báo chuỗilợi suất

1 với hệ số ngẫu nhiên có thể được dùng để thay thế các mô hình ARCH

và GARCH trong mô hình hóa độ biến động của các chuỗi giá cả

Trong chương này ta sẽ xem xét một khía cạnh khác của bài toán dự báo

đó là dự báo thời điểm giá lên cao nhất và xuống thấp nhất để đưa ra cácquyết định mua và bán tối ưu Cụ thể ta xem xét các bài toán sau:

•Bài toán bán tài sản này nhưng không biết độ dịch chuyển trong sự thayđổi của giá cả mà chỉ biết rằng giá trị của độ dịch chuyển đó chỉ lấy từ 1

trong 2 giá trị cho trước và có được những ước lượng ban đầu về xác suấtnhận 1 trong 2 giá trị đó đồng phân bố xác suất của độ dịch chuyển thayđổi theo thời gian và được cập nhật vào bộ lọc để ước lượng các tham sốcủa quá trình này.

• Bài toán mua và bán tài sản, trong đó giá tài sản được mô phỏng nhưmột chuyển động Brown hình học với độ trượt tuân theo xích Markov gồmhai trạng thái, tùy theo vị thế của nhà đầu tư mà ta xét các ma trận mật

độ chuyển khác nhau Các kết quả của chương này thu được từ các bàibáo [4], [7] và [9] của tác giả

2.1 Kiến thức liên quan

Bây giờ ta xét một cặp quá trình ngẫu nhiên (θ, ξ) = (θt, ξt), 0 ≤ t ≤ T

trong đó θ là xích Markov hữu hạn trạng thái và quá trình quan sát được

ξ tuân theo phương trình vi phân ngẫu nhiên

dξt = At(θt, ξ)dt + Bt(ξ)dWt (2.1)trong đó Wt là quá trình Wiener

Giả sử (Ω, F , P ) là một không gian xác suất đầy đủ với một họ khônggiảm các σ− trường con Ft Gọi θ = (θt, Ft), 0 ≤ t ≤ T là một quátrình Markov liên tục phải nhận giá trị thực với tập trạng thái là E ={α, β, γ, · · · }; gọi W = (Wt, Ft), 0 ≤ t ≤ T là quá trình Wiener tiêuchuẩn độc lập với θ và gọi ξ0 là biến ngẫu nhiên F0 đo được, độc lập với

θ Giả sử những đi kiện sau đây được thỏa mãn

trong đó C, L1, L2 là các hằng số tất định, K(s) là hàm không giảm, liêntục phải, 0 ≤ K(s) ≤ 1, x ∈ CT, y ∈ CT, εt ∈ E, 0 ≤ t ≤ T Với các giảthiết (2.2)-(2.4) tiếp tục giả thiết thêm:

θt là xác suất hậu nghiệm:

πβ(t) = P (θt = β

2.2 Những kết quả đã được nghiên cứu

Các tác giả trong [10] đã xét bài toán

Có một nhà đầu tư nắm giữ một cổ phiếu cần quyết định khi nào thì bán

nó đi biết trước thời hạn cuối cùng phải bán là T Điều hiển nhiên là anh

ta muốn bán nó vào thời điểm mà giá của nó cao nhất trên khoảng thờigian từ 0 tới T Giả sử quá trình giá cổ phiếu Pt đã chiết khấu tuân theophương trình sau:

dPt = (a − r)Ptdt + σPtdWt, P0 = 1 (2.13)

Hình 2.1: Mô phỏng các quá trình Wt, St− Wt, đường bao z∗√1 − t, quá trình max

0≤s≤t Ws, thời điểm dừng τ ∗ = 0.7997, W (τ ∗) = 0.2874 > 0.

Hình 2.2: Mô phỏng các quá trình Wt, St− Wt, đường bao z∗√1 − t, quá trình max

0≤s≤t Ws, thời điểm dừng τ ∗ = 0.6186, W (τ ∗) = 0.5522 > 0.

trên không gian xác suất được lọc (Ω, F , {Ft} , P ) trong đó a là tốc độtăng giá, σ > 0 là đọ biến động, r là lãi suất, W là chuyển động Browntiêu chuẩn với W0 = 0 dưới độ đo P Ở đây, {Ft}t≥0 là P − bộ lọc sinhbởi W Khi đó

Khi đó ta có các trường hợp sau:

•N uα > 12 thì τ∗ = T là thời điểm bán tối ưu duy nhất

•N uα = 12 thì τ∗ = 0 hoặc τ∗ = T là thời điểm bán tối ưu

•N uα ≤ 0 thì τ∗ = 0 là thời điểm bán tối ưu duy nhất

Bây giờ ta xét bài toán tìm thời điểm bán tối ưu để bán một tài sản (cổphiếu, trái phiếu, ngoại tệ, ) khi tốc độ tăng giá a là biến ngẫu nhiênnhận một trong 2 giá trịal hoặc ah

2.3 Bài toán tìm thời điểm bán tối ưu khi tốc độ

tăng giá là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận 2 giá trị

với một họ không giảm các σ− trường con Ft Giả sử al và ah thỏa mãn

al < r < ah, trong đó lãi suất r là hằng số và giá tài sản ban đầu X0 làmột hằng số dương

Nhà đầu tư nắm giữ tài sản cần quyết định khi nào thì bán nó đi biếttrước thời hạn cuối cùng phải bán là T Biết rằng tại thời điểm ban đầuphân phối của a như sau:

a ah al

P π0 1 − π0

Bảng 3.1 Phân phối ban đầu của tốc độ tăng giá a

Tại thời điểm t > 0, ta đặt πt = P a = ah| FX

t trong đó FX

t

, t ∈[0, T ] là một bộ lọc đầy đủ sinh bởi X

Bài toán đặt ra là tìm FX - thời điểm dừng τ, 0 ≤ τ ≤ T sao cho

V = sup

0≤τ ≤T

trong đó supremum được lấy trên FX - thời điểm dừng τ

Bằng việc quan sát quá trình Xt, khi đó ước lượng của nhà đầu tư về xácsuất của các biến cố {a = ah} và {a = al} sẽ thay đổi

Theo định lý 2.1.1, quá trình Xt và quá trình xác suất hậu nghiệm πt thỏamãn hệ phương trình:

và một độ đo P∗ mà đạo hàm Random- Nikodym của nó được xác địnhnhư sau:



dt +



σω

Ta ký hiệu E∗ là toán tử kỳ vọng dưới độ đo P∗ và đặt τ ≤ T là một

FX-thời điểm dừng Khi đó:

 u+ω ˜ W u

Khi đó Yu thỏa mãn phương trình:

dYu

Yu = σωdu + ωd ˜Wu = (ah− al) du + ωd ˜Wu, u ≥ 0

Mặt khác, ta có thể viết Yu = yZu, trong đó

Zu = expnσu − ω22u + u ˜Wuo.Với ký hiệu này ta có

τt,y∗ := inf {u ∈ [0, T − t] : Yu ≤ b (t + u)} ∧ (T − t) (2.24)

là thời điểm dừng tối ưu cho bài toán (2 23)

Giả sử 0 ≤ t1 < t2 < T vy ∈ (0, ∞) Gọi τ1 là thời điểm dừng tối ưu cho

Vậy V là hàm liên tục theo t.

Chọn thời điểm dừngτ = 0 trong (2.23) ta có

... giữ cổ phiếu cần định bán

nó biết trước thời hạn cuối phải bán T Điều hiển nhiên anh

ta muốn bán vào thời điểm mà giá cao khoảng thờigian từ tới T Giả sử trình giá cổ phiếu Pt... định bán biếttrước thời hạn cuối phải bán T Biết thời điểm ban đầuphân phối a sau:

a ah al

P π0 − π0

Bảng 3.1 Phân phối ban đầu... 12 τ∗ = T thời điểm bán tối ưu

•N uα = 12 τ∗ = τ∗ = T thời điểm bán tối ưu

•N uα ≤ τ∗ = thời điểm bán tối ưu

Bây