Phương trình lượng giác lớp 11

Lượng giác 11 Bài Phương trình lượng giác Bài PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC I Kiến thức bản: Phương trình – Phương trình bậc theo hàm số lượng giác Tổng quát: m ∈[– ; 1], n ∈ R  u = arcsin m + k2π • sinu = m ⇔   u = π − arcsin m + k2π • tanu = n ⇔ u = arctan n + kπ (chú ý đk)  u = arccos m + k2π ⇔  • cotu = n ⇔ u = arc cot n + kπ (chú ý đk)  u = − arccos m + k2π     ; ± 0; ± 1; ± ; ± Nếu m, n số đặc biệt : m ∈  0; ±1; ± ; ± , n ∈    : 2      u = v + k 2π • sinu = sinv ⇔  • tanu = tanv ⇔ u = v + kπ (chú ý đk)  u = π − v + k 2π  u = v + k 2π • cosu = cosv ⇔  • cotu = cotv ⇔ u = v + kπ (chú ý đk)  u = −v + k 2π • cosu = m  Chú ý:  Các trường hợp đặc biệt: π sinx = – ⇔ x = – + k2π sinx = ⇔ x = kπ π sinx = ⇔ x= + k2π cosx = – ⇔ x = (2k + 1)π cosx = ⇔ x= cosx = ⇔ x = k2π π + kπ tanx = – ⇔ x = – tanx = π + kπ ⇔ x = kπ π tanx = ⇔ x = + kπ π cotx = – ⇔ x = – + kπ π cotx = ⇔ x = + kπ π cotx = ⇔ x = + kπ  Khi gặp dấu trừ trước thì: – sinx = sin(– x) – cosx = cos(π – x) – tanx = tan(– x) – cotx = cot(– x)  Khi giải phải dùng đơn vò rad đề không cho độ (0) Phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác Là phương trình mà sau biến đổi ta dạng sau (a ≠ 0): • asin2u + bsinu + c = (1) • acos2u + bcosu + c = (1) Đặt t = sinu Điều kiện: – ≤ t ≤ Đặt t = cosu Điều kiện: – ≤ t ≤ (1) ⇔ at + bt + c = 0… (1) ⇔ at2 + bt + c = 0… • atan2u + btanu + c = (1) Điều kiện: cosu ≠ Đặt t = tanu, (1) ⇔ at2 + bt + c = 0… • acot2u + bcotu + c = (1) Điều kiện: sinu ≠ Đặt t = cotu, (1) ⇔ at2 + bt + c = 0…  Chú ý: Nếu phương trình có chứa tanu, cotu, sin2u, cos2u, tan2u, cot2u, đặt t = tanu, đó: 2t 2t − t2 + t2 cot u = , sin2u = , cos2u = , tan2u = , cot2u = t + t2 − t2 + t2 2t Phương trình bậc sinx cosx (Phương trình cổ điển) asinx + bcosx = c (1) với a, b, c ∈ R, a2 + b2 ≠  Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a2 + b2 ≥ c2 Gv:Trần Quốc Nghóa Trang Lượng giác 11 Bài Phương trình lượng giác  Chia vế phương trình cho a2 + b , ta được: a b sinx + cosx = a2 + b a2 + b  a Vì  2  a +b  Chú ý: a2 + b 2 a b   = nên đặt cosα = 2 , sinα =  a +b a + b2  c sin(x + α) = giải phương trình a + b2   b  +   2   a +b Khi ta được: c x  Ngoài ta dùng công thức tính sinx, cosx theo t = tan Sau cách giải: x Đặt t = tan Điều kiện x ≠ π + k2π 2t 1− t2 ⇒ sinu = cosu = + t2 1+ t2 2t 1− t2 (1) ⇔ a + b = c ⇔ (a + c)t2 – 2bt + c – a = (2) 1+ t2 1+ t2 Giải (2) tìm nghiệm t1, t2 có, sau giải phương trình x x tan = t1, tan = t2 để tìm nghiệm x (phải thỏa điểu kiện) 2  Nếu a = b dùng công thức sau để giải: π π sinx ± cosx = sin(x ± ) = cos(x  ) 4 Phương trình bậc hai, bậc ba sinx cosx (Phương trình đẳng cấp) asin2x + bsinxcosx + ccos2x = (1) 2 Hoặc a′sin x + b′sinxcosx + c′cos x = d (2) 2 2 (2) ⇔ a′sin x + b′sinxcosx + c′cos x = d(sin x + cos x) ⇔ (a′– d)sin2x + b′sinxcosx + (c′– d)cos2x = (2′) Phương trình (2′) dạng (1), nên ta xét dạng (1) Nếu gặp dạng (2) ta đưa dạng (1) Sau cách giải dạng (1): cos x =  Nếu a = b, c ≠ (1) ⇔ cosx.(bsinx + ccosx) = ⇔   b sin x + c cos x = sin x =  Nếu c = b, a ≠ (1) ⇔ sinx.(asinx + bcosx) = ⇔  a sin x + b cos x =  Nếu a, b, c ≠ 0:  Kiểm tra xem với cosx = (1) có thỏa hay không? (cosx = sinx = ± 1) Nếu π thỏa kết luận phương trình có họ nghiệm x = + kπ (k ∈ Z)  Với cosx ≠ 0, chia vế (1) cho cos2x, ta phương trình: atan2x + btanx + c = (1′) (1′) phương trình bậc theo tanx, ta biết cách giải (Xem phần 2) π  Nghiệm (1) nghiệm (1′) x = + kπ (nếu có)  Chú ý: Ngoài ta dùng công thức hạ bậc để đưa (1) dạng phương trình bậc theo sinX cosX (Phần 3) Với: Gv:Trần Quốc Nghóa Trang 10 Lượng giác 11 Bài Phương trình lượng giác − cos 2x + cos 2x , cos x = , sin x cos x = sin 2x 2 2  Phương trình đẳng cấp bậc 3: asin x + bsin xcosx + c.sinxcos x + dcos3x = giải tương tự đẳng cấp bậc Phương trình đối xứng – Phản đối xứng Dạng1: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) π Đặt t = sinx + cosx = sin(x + ) Điều kiện: – ≤ t ≤ t2 −1 ⇔ t2 = + 2sinxcosx ⇔ sinxcosx = 2 t −1 (1) ⇔ at + b =c ⇔ bt2 + 2at – b – 2c = (2) Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – ≤ t ≤ π Giải phương trình sin(x + ) = t để tìm x Dạng 2: a(sinx – cosx) + bsinxcosx = c (1) π Đặt t = sinx – cosx = sin(x – ) Điều kiện: – ≤ t ≤ 2 1− t ⇔ t2 = – 2sinxcosx ⇔ sinxcosx = − t2 (1) ⇔ at + b = c ⇔ bt2 – 2at – b + 2c = (2) Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – ≤ t ≤ π Giải phương trình sin(x – ) = t để tìm x Dạng 3: a|sinx ± cosx| + bsinxcosx = c (1) π Đặt t = |sinx ± cosx| = sin(x ± ) Điều kiện: ≤ t ≤ Giải tương tự Phương trình lượng giác không mẫu mực A ≥ ∧ B ≥ A = ⇔  a Trường hợp 1: Tổng hai số không âm:  A + B = B = A ≤ M ≤ B A = M ⇔   b Trường hợp 2: Phương pháp đối lập: A = B B = M A ≤ M B ≤ N A = M ⇔   c Trường hợp 3: Sử dụng tính chất : A + B = M + N B = N sin u = sin u = ⇔ • sinu + sinv = • sinu – sinv = ⇔  sin v = sin v = −1 sin u = −1 sin u = −1 • sinu + sinv = – ⇔  • sinu – sinv = – ⇔  sin v = −1 sin v = −1 sin x = Tương tự cho trường hợp cosu ± cosv = ± cosu ± cosv ± A ≤ M B ≤ N A = M ⇔  ∨  d Trường hợp 4: Sử dụng tính chất : A.B = M.N B = N • • • A = − M  B = − N sin u = −1 sin u = ∨ sinu.sinv = –1 ⇔  sin v = sin v = −1 sin u = sin u = −1 ∨ sinu.sinv = ⇔  • sin v = sin v = −1 Tương tự cho trường hợp cosu.cosv = ±1, sinu.cosv = ±1, cosu.sinv = ±1 Gv:Trần Quốc Nghóa Trang 11 Lượng giác 11 Bài Phương trình lượng giác II Bài tập tự luận: Phương trình – Phương trình bậc theo hàm số lượng giác Bài Giải phương trình sau: 1) sinx = – sinx = cos(3x – 4) sin2x = – 5) 7) π  cos 2x +  = − 3  8) 10) tan(3x – 300) = – 3 π x π 13) tan −  = tan 2 4 x 0 19) sin + 10  = − 2  16) cos(3x – 450) = 2) 11) π )=– cos(2x + 500) = π  cot 4x −  = 6  sin4x = 17) sin3x = – 20) 23) 2cosx – Bài Giải phương trình sau: π  1) cos2x cot  x −  = 4  3) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 5) sin2x cotx = 7) (2cos2x – 1)(2sin2x – ) = 9) tan(2x + 600)cos(x + 750) = 11) (sinx + 1)(2cos2x – ) = Bài Giải phương trình sau: 1) sin(2x – 150) = với – 1200 < x < 900 π  3) sin  2x −  = − với < x < 2π 3  sinx = – 7) tan(x – 100) = Gv:Trần Quốc Nghóa =0 6) cos(x – 2) = 9) 12) 2 2π tan2x = tan π  cot x +  = 3  x  cot + 200  = − 3  18) sin(2x – 150) = 21) sin2x = 24) 2 3 tan3x – = x  x    cot − 1 cot + 1 =    4) (cotx + 1) sin3x = 6) tan(x – 300)cos(2x – 1500) = 8) (3tanx + )(2sinx – 1) = 10) (2 + cosx)(3cos2x – 1) = 12) (sin2x – 1)(cosx + 1) = 2) 2) 4) với – π < x < 6) với – 150 < x < 150 8) Bài Giải phương trình sau: 1) cos3x – sin2x = 3) sin3x + sin5x = 5) sinx – cos(x + 600) = π π   7) sin x +  = − sin 2x −  3 4   9) sin3x = cos2x 11) sin2x + cos3x = 13) tanx tan3x = sin(x – 600) = 15) cos(x + 3) = 22) cos(2x + 500) = – 5) 14) 3) cos(2x + 10 = π  tan  2x +  = − 4  cos(x – 2) =  π sin  x + ÷= 4  với – π < x < π với < x < π với x ∈ [0 ; π] với x ∈ [π ; 2π] 2) 4) 6) tanx tan2x = – cot2x cot3x = cos(x – 100) + sinx = π  cos 2x −  = − cos x 8) 4  10) cosx = – sin2x 12) tan(3x + 2) + cot2x = 14) cot2x.cot(x + 450) = Trang 12 Lượng giác 11 Bài Phương trình lượng giác π  π  15) cos 2x −  − sin − x  = 4  3  17) tan3x + tanx = Bài Giải phương trình sau: 1) sin2x = 2) 4) sin2(x – 450) = cos2x 5) π π   cos 2x +  + cos x −  = 3 6   18) tan3x + tan(2x – 450) = 16) 4cos2x – = 3) sin23x – cos2x = 8cos3x – = 6) tan2(x + 1) = Phương trình bậc hai, bậc hàm số lượng giác Bài Giải phương trình sau: 1) 2cos2x – 2( + 1)cosx + 3) 5) 7) 9) 2) 2cos2x + 4sinx + = cos2x + 9cosx + = 4) sin2x – 2cos2x + cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + π π cos2(x + ) + 4cos( − x ) = – + tanx – (tanx + 1) = cos2 x 6) 11) 2cos2x + +2=0 cosx – = 8) 10) 12) =0 cot4x – 4cot2x + = tan2x – +5=0 cos x − tan x cos4x – +2=0 + tan x 2cos2x – 3cosx + = x x cos2 − 2( + 1) cos + = 2 x x cot − 2( − 1) cot − = 13) 6sin2x – 5sinx – = 14) 15) tan 3x + (1 − 3) tan 3x − = 16) 17) 18) cos2x + sinx + = tan x − (1 + 3) tan x + = Bài Giải phương trình sau: 1) tan3x – 3tan2x – 2tanx + = π  − x 3) tan3x – + + 2cot  ÷=3 cos2 x 2  5) 7) + sin3x = sinx + cos2x 1 cos2 x + + cos x − − =0 cos x cos x 2) 4sin3x + 4sin2x – 3sinx = 4) 2sin2x = + sin3x 6) tan2x + cot2x + 2(tanx + cotx) = + cot x + (tan x + cot x) + = 2 cos x 8) Phương trình bậc sinx cosx (Phương trình cổ điển) Bài Giải phương trình sau: cos4x = 1) sinx – cosx = 2) 3) sin4x + 4) 5) 7) cos(2x – 15 ) + sin(2x – 150) = – cosx + 4sinx + = 9) 2sinx – cosx = 10) sinx – 11) cosx – sinx = 12) 3sin3x – 4cosx = 13) 5cos2x + 12sin2x – 13 = 6) 8) cosx + sinx = – 2sinx – 9cosx = 85 2cosx – 3sinx + = sin2x + 3cos2x = 14) 3sinx + cos2x = cosx = Bài Giải phương trình sau: 1) 2sin22x + Gv:Trần Quốc Nghóa sin4x = – 2) π  cosx + sinx = cos  − x ÷ 3  Trang 13 Lượng giác 11 Bài Phương trình lượng giác 3)   π π 2sin  x + ÷ + sin  x − ÷ = 4 4   5) 3sin3x – 7) 9) =6 cos x + 4sin x + 4) 3cosx + 4sinx = cos9x = + 4sin 3x   π π 2cos  x + ÷ + 3cos  x − ÷= 6 3   6) 5cos(2x + 180) – 12sin(2x + 180) = –13 8) sin2x + sin2x = 2sin2x + 10) 3cos2x – sin2x – sin2x = 3 sin2x = 11) 4sinxcosx = 13 sin4x + 3cos2x 12) 2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx) 13 14) cosx – 2sin17x + 15) sin9x + cos5x + sin5x = cos7x = sin7x + cos9x x – 3sinx – = − cos 4x sin 4x = 19) 2sin 2x + cos 4x 17) 8sin2 sinx = 2cos3x 16) sin5x + cos5x = cos13x 18) + sin x = + cos x 20) 3cosx – 4sinx = =3 cos x − sin x − Bài 10 Tìm giá trò nhỏ nhất, lớn hàm số sau: 1) y = 2sinx + 3) y = sin2x + cos2x – 2) cosx + 4) y = 2sin2x + 4sinxcosx + sin x + cos x − y= sin x − cos x + Phương trình bậc hai, bậc ba sinx cosx (Phương trình đẳng cấp) Bài 11 Giải phương trình sau: 1) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 3) sin2x + sin2x – 2cos2x = ½ 5) sin2x – 10sinxcosx + 21cos2x = 7) cos2x – sin2x – sin x = 9) 2) 4) 6) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2cos2x + sin2x – 4sin2x = – cos2x – 3sinxcosx + = 8) 2cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 3sin2x – sinxcosx + cos2x – = 11) 3cos2x + sinxcosx + 2sin2x = 10) 4sin2x – 3 sin2x – 2cos2x = 12) 3cos2x + 3sinxcosx + 2sin2x = 13 14) cos x – sin2x – sin x = sin2x + 2cos x – = 15) 2cos2x + 3sin2x – 8sin2x = 16) 3cos2x + 2sin2x – sin2x = + 17) sin x + cos x = sinx + cosx 19) sin3x – 5sin2xcosx – 3sinxcos2x + 3cos3x = 18) sin x + 2sin xcosx – 3cos x = 20) cos3x – 4cos2xsinx + cosxsin2x + 2sin3x = 3 *Phương trình đối xứng – Phản đối xứng* Bài 12 Giải phương trình sau: 1) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 3) 2sinx + cosx+ 3sin2x = 5) tanx + cotx = (sinx + cosx) 7) 3(sinx + cosx) – sin2x – = 9) cosx + 1 10 + sinx + = cos x sin x 3 3 2) 4) 6) 8) (cosx – sinx) + 2sin2x – = sinx – cosx+ 4sin2x = (1 + sin2x)(cosx – sinx) = cos2x 2sin4x + 3(sin2x + cos2x) + =  π 10) sin2x – sin  x + ÷ + = 4  Phương trình lượng giác không mẫu mực Bài 13 Giải phương trình sau: 1) sin25x + = cos23x 3) sinx + cosx = (2 – sin3x) 5) (cos4x – cos2x)2 = + cos23x 7) cos5x.sin3x = Gv:Trần Quốc Nghóa 2) 4) 6) 8) sin2x – 2sinx + = sin23x 2cos2x = 3sin25x + sinx + cosx = tanx + cotx sin2x + sin3x + sin4x = Trang 14 Lượng giác 11 Bài Phương trình lượng giác Phương trình dạng khác (tổng quát) Bài 14 Giải phương trình sau: 1) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x 3) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 5) 4sin3x + sin5x – 2sinxcos2x = 7) cos2x – cos8x + cos6x = 9) sin2x + cos2x + sin3x = cos3x 11) cos8x.cos5x = cos7x.cos4x 13 2tan2x – 3tanx + 2cot2x + 3cosx – = 15) cos2x + 4sin4x = 8cos6x 17) + 2sinx.sin3x = 3cos2x 19) sinx+sin2x+sin3x = 1+cosx+cos2x+cos3x 21) tanx + cot2x = 2cot4x 23) tanx + tan2x = sin3x.cosx + cos 2x sin 2x = 25) cos x − cos 2x 27) (1 – tanx)(1 + sin2x) = + tanx 1 + = 29) cos 2x sin 2x sin 4x 2) 4) 6) 8) 10) 12) 14) 16) 18) 20) 22) 24) sin24x + sin23x + sin22x + sin2x = sin2x + sin2x = cos23x + cos24x sin2x + sin22x = sin23x sinx + sin2x + sin3x + sin4x = sin6x.sin2x = sin5x.sinx sin7x.cosx = sin5x.cos3x sin3x + sin5x + sin7x = sinx = sin5x – cosx sinx+sin2x+sin3x = cosx+cos2x+cos3x + cosx + cos2x + cos3x = 2cos2x + sin10x = 5tanx – 2cotx = cos 2x 26) sin x + cos x = − sin 2x 28) 4sin x = sinx + cosx − cos 6x 30) sin4x + cos4x = Phương trình lượng giác có tham số Bài 15 Đònh m để phương trình: 1) msinx – 2m + = 2) mcosx – 2m + = (2m – 1)cosx 3) msinx + = 2(sinx + m) 4) cos2x – sinx.cosx – 2sin2x = m 5) (m + 2)sinx – 2mcosx = 2(m + 1) 6) mcos2x + (m + 1)sin2x = m + 7) sinx + mcosx = 8) (m + 2)sinx + mcosx = 9) (m2 + 2)cos2x – 2msin2x + = 10) sin2x – 4(cosx – sinx) = m có nghiệm có nghiệm vô nghiệm có nghiệm có nghiệm có nghiệm vô nghiệm vô nghiệm có nghiệm có nghiệm Phương trình lượng giác đề thi đại học, cao đẳng 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)  cos3x + sin 3x   sin x + ÷ = cos 2x + + 2sin 2x   sin23x – cos24x = sin25x – cos26x cos3x – 4cos2x + 3cosx – = , với x ∈ [0 ; 14] cos 2x cot x − = + sin x − sin 2x + tan x 2 cot x − tan x + 4sin 2x = sin 2x x π x sinh  − ÷tan x − cos2 = 2 4 5sinx – = 3(1 – sinx)tan2x (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx cos23x.cos2x – cos2x = Gv:Trần Quốc Nghóa ĐH – A – 2002 ĐH – B – 2002 ĐH – D – 2002 ĐH – A – 2003 ĐH – B – 2003 ĐH – D – 2003 ĐH – B – 2004 ĐH – D – 2004 ĐH – A – 2005 Trang 15 Lượng giác 11 Bài Phương trình lượng giác 10) + sinx + cosx + sin2x + cos2x =   π π 11) sin4x + cos4x + cos  x − ÷.sin  3x − ÷− = 4 4   x 3π   − cos x = + cos  x −  (với x ∈ (0 ; π)   π 3 13) 2 cos  x −  − cos x − sin x = 4  π cos x − 14) tan( + x) − tan x = cos x  3π  sin x =2 15) tan  − x ÷+   + cos x 12) sin 16) sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – = 2(cos6 x + sin x) − sin x cos x =0 17) − 2sin x  x 18) cot x + sin x  + tan x.tan ÷ = 2  19) cos3x + cos2x – cosx – = 2+3 20) cos3x.cos3x – sin3x.sin3x = π   21) 2sin  x −  + sin x + = 6  22) (2sin x – 1)tan22x + 3(2cos2x – 1) = 23) cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 24) cos3x + sin3x + 2sin2x = 25) 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 26) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = + sin2x 27) 2sin22x + sin7x – = sinx ĐH – B – 2005 ĐH – D – 2005 Dự bò ĐH – A – 2005 Dự bò ĐH – A – 2005 Dự bò ĐH – B – 2005 Dự bò ĐH – D – 2005 Dự bò ĐH – D – 2005 ĐH – A – 2006 ĐH – B – 2006 ĐH – D – 2006 Dự bò ĐH – A – 2006 Dự bò ĐH – A – 2006 Dự bò ĐH – B – 2006 Dự bò ĐH – B – 2006 Dự bò ĐH – D – 2006 Dự bò ĐH – D – 2006 ĐH – A – 2007 ĐH – B – 2007  x x 28)  sin + cos ÷ + cos x = 2 2  1 − = cot 2x 29) sin 2x + sin x − 2sin x sin 2x 30) cos2 x + sin x cos x + = 3(sin x + cos x) 3x  5x π  x π 31) sin −  − cos −  = cos  4 2 4 sin 2x cos 2x + = tan x − cot x cos x sin x π  33) 2 sin x −  cos x = 12   34) (1 – tgx)(1 + sin2x) = + tgx  7π  1 + = 4sin  − x÷  3π  35) sin x   sin  x − ÷   32) 36) sin3x – 2 cos x = sinxcos x – sin xcosx 37) 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = + 2cosx Gv:Trần Quốc Nghóa ĐH – D – 2007 Dự bò ĐH – A – 2007 Dự bò ĐH – A – 2007 Dự bò ĐH – B – 2007 Dự bò ĐH – B – 2007 Dự bò ĐH – D – 2007 Dự bò ĐH – D – 2007 ĐH – A – 2008 ĐH – B – 2008 ĐH – D – 2008 Trang 16 Lượng giác 11 Bài Phương trình lượng giác III.Bài tập trắc nghiệm: Nghiệm phương trình sinx = cosx là: π π π π π Ⓐ x= + k2π Ⓑ x=– + k2π Ⓒ x= +k Ⓓ x = ± + k2π 4 4 Nghiệm phương trình – cos2x = là: π π Ⓐ x= + k2π Ⓑ x = k2π Ⓒ x = kπ Ⓓ x= + k2π Nghiệm phương trình tan2x = là: π π Ⓐ x = k2π Ⓑ x= k Ⓒ x = kπ Ⓓ x= + kπ x Nghiệm phương trình cos = là: 3π 4π 3π π 4π π + k8π + k8π +k +k Ⓐ x= ± Ⓑ x= ± Ⓒ x= ± Ⓓ x= ± 4 8 π   Nghiệm phương trình cos  x +  + = là: 4  π + k 2π Ⓐ x= Ⓑ x = (2 k − 1)π Ⓒ Cả A B Ⓓ Đáp án khác Nghiệm phương trình cosx + cos = là: Ⓐ x = ± (π − ) + k π Ⓑ x = ± arccos + k 2π Ⓒ x = ± arccos − + k 2π Ⓓ x = arccos + k 2π π   Nghiệm phương trình cos  x +  + = là: 3  3 3 Ⓐ x = ± arccos  + kπ Ⓑ x = ± arccos  + k 2π  3  3 Ⓒ x = ± arccos −  + kπ Ⓓ x = ± arccos −  + k 2π Nghiệm phương trình tan4x – = là: π π π π π π + k 2π +k Ⓐ x= Ⓑ x= Ⓒ x = − + k 2π Ⓓ x= − +k 16 16 16 16 Nghiệm phương trình cot3x + = là: π π π π π π + k 2π +k Ⓐ x= Ⓑ x = − + k 2π Ⓒ x= Ⓓ x= − +k 12 12 12 12 3 10 Nghiệm phương trình cot(x + 300) + = là: Ⓐ x = 900 + k1800 Ⓑ x = – 300 + k1800 Ⓒ x = –900 + k1800 Ⓓ x = –300 + k3600 11 Nghiệm phương trình cos(x – 100) + sinx = là: Ⓐ x = 1400 + k1800 Ⓑ x = –1400 + k3600 Ⓒ x = –1400 + k1800 Ⓓ x = 1400 + k3600 π 12 Nghiệm phương trình sin6x = sin là: π π π π Ⓐ x= +k Ⓑ x= +k Ⓒ Cả nghiệm Ⓓ Kết khác 42 π  13 Nghiệm phương trình sinx – cos  x +  = là: 3  π π π π π π Ⓐ x= – – k Ⓑ x= – k Ⓒ x= – – k2π Ⓓ x = – k2π 24 24 24 24 14 Nghiệm phương trình sin(2x + 300) = sinx là: Ⓐ x = 300 + k3600 Ⓑ x = 500 + k1200 Ⓒ Cả nghiệm Ⓓ Kết khác 15 Nghiệm phương trình cot3x = là: ( Gv:Trần Quốc Nghóa ) Trang 17 Lượng giác 11 Bài Phương trình lượng giác π π π π π + kπ Ⓑ x= + kπ Ⓒ x= + k2π Ⓓ x= +k 6 16 Một nghiệm phương trình sin2x – cosx = là: π 2π π π π 2π Ⓐ x= +k Ⓑ x= + k2π Ⓒ x= + kπ Ⓓ x= +k 6 17 Nghiệm phương trình sinx + sin(x – 10 ) = là: Ⓐ x = 50 + k1800 Ⓑ x = –50 + k1800 Ⓒx = 50 + k3600 Ⓓ x = –50 + k3600 18 Nghiệm phương trình tan(x – 100) + cot2x = là: Ⓐ x = 1000 – k1800 Ⓑ x = –1000 – k1800 Ⓒ x = 800 – k1800 Ⓓ x = 800 + k1800 19 Số nghiệm phương trình sin2x = − (– π ; 0) là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 20 Số nghiệm phương trình cos(x – 2) = [0 ; π] là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 0 21 Số nghiệm phương trình tan(x – 10 ) = (–15 ; 15 ) là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 22 Phương trình sau vô nghiệm: 27 Ⓐ πcos(2x – 1) + = Ⓑ 2008cosx – 2007 = Ⓒ (1 + )cos7x + = Ⓓ cosx + cos2007 = 23 Với giá trò m phương trình sinx + m + = có nghiệm Ⓐ m≥–1 Ⓑ m≤–1 Ⓒ 0≤m≤2 Ⓓ – ≤ m ≤ 24 Với giá trò m phương trình sinx – m + = vô nghiệm Ⓐ m≥–1 Ⓑ m Ⓒ – ≤ m ≤ Ⓓ m ≤ – 25 Giá trò m để phương trình (m + 1)cosx + – m = có nghiệm là: Ⓐ m≥0 Ⓑ m≤0 Ⓒ m>0 Ⓓ m0 Ⓓ m0 Ⓓ m≠0 Gv:Trần Quốc Nghóa Trang 20 Lượng giác 11 Bài Phương trình lượng giác 59 Giá trò lớn nhất, nhỏ hàm số y = cosx + 2sinx thỏa: Ⓐ ymin + ymax = Ⓑ ymax – ymin = Ⓒ ymin + ymax = Ⓓ ymax – ymin= –2 60 Nghiệm phương trình sin2x + 2sinxcosx – 3cos2x = là: π π Ⓐ x = + k2π ; x = arctan(−3) + kπ Ⓑ x = + kπ ; x = arctan(−3) + kπ π π Ⓒ x = + k2π ; x = − arctan + kπ Ⓓ x = + kπ ; x = arctan(−3) + k2π 61 Nghiệm phương trình sin2x – 3cos2x = là: π π Ⓐ x = + kπ ; x = arccos + kπ Ⓑ x = − + kπ ; x = arccos + kπ π π Ⓒ x = − + kπ ; x = 3arccos + kπ Ⓓ x = + kπ ; x = arccos3 + kπ 62 Chọn câu đúng: Ⓐ cosx = nghiệm phương trình sin2x – 3cos2x = Ⓑ cosx = không nghiệm phương trình sin2x – 3cos2x = Ⓒ sinx = nghiệm phương trình sin2x – 3cos2x = Ⓓ Phương trình sin2x – 3cos2x = vô nghiệm 63 Nghiệm phương trình cos23xcos2x – cos2x = là: π π π π π Ⓐ x=k2 Ⓑ x = + kπ Ⓒ x= +k2 Ⓓ x = + k 2π sin 3x = thuộc đoạn [2π ; 4π] là: 64 Số nghiệm phương trình cos x + Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ  x π 65 Số nghiệm phương trình cos  + ÷ = thuộc đoạn (π ; 8π) là: 2 4 Ⓐ Ⓑ Ⓒ 66 Một nghệm phương trình sin2x + sin22x + sin23x = : π π π Ⓐ 12 Ⓑ Ⓒ  π 67 Số nghiệm phương trình sin  2x + ÷ = −1 thuộc đoạn [0 ; π] là: 4  Ⓐ Ⓓ π Ⓓ Ⓑ Ⓒ Ⓓ   π 68 Số nghiệm phương trình sin  x + ÷ = thuộc đoạn [π ; 2π] là: 4  Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ  π π 69 Khi x thay đổi nửa khoảng  − ;  y = cosx lấy giá trò thuộc :  3 1   1  1  1 Ⓐ  ; 1 Ⓑ − ; ÷ Ⓒ − ; 2 Ⓓ  −1 ;           5π 7π  ; 70 Khi x thay đổi khoảng  ÷ y = sinx lấy giá trò thuộc :        2 ; 1 ; 0 ÷ − Ⓐ  Ⓑ  −1 ; Ⓒ Ⓓ  −1 ; 1 ÷      71 Tập giá trò hàm số y = 4cos2x – 3sin2x + là: Ⓐ [3 ; 10] Ⓑ [6 ; 10] Ⓒ [–1 ; 13] Ⓓ [1 ; 11] 72 Phương trình cosx = sinx có số nghiệm thuộc đoạn [–π ; π] là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ   π cos 4x = tan 2x có số nghiệm thuộc khoảng  ; ÷ là: 73 Phương trình 2 cos 2x  Gv:Trần Quốc Nghóa Trang 21 Lượng giác 11 Bài Phương trình lượng giác Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 74 Nghiệm dương nhỏ phương trình sinx + sin5x = cosx + 2cos2x là: π 2π π π Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 75 Nghiệm âm lớn phương trình 2tan2x + 5tanx + = là: π π π 5π Ⓐ −3 Ⓑ −4 Ⓒ −6 Ⓓ −  π  76 Phương trình 2tanx + 2cotx – = có số nghiệm thuộc khoảng  − ; π ÷ là:   Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ  π 77 Hàm số y = sin3x y = sin  x + ÷ có giá trò khi: 4  π 3π π 3π π Ⓐ x = + k2π ; x = 18 + kπ Ⓑ x = + kπ ; x = 16 + k π 3π π π 3π π Ⓒ x = − + kπ ; x = − 16 + k Ⓓ x = − + kπ ; x = 16 + k 78 Hàm số y = cos(2x + 1) y = cos(x – 2) có giá trò khi: k2π k2π Ⓐ x = −3 + k2π ; x = + Ⓑ x = − arccos3 + k2π ; x = + k2π k2π Ⓒ x = −3 + k2π ; x = arccos + Ⓓ x = − arccos3 + k2π ; x = arccos + π  79 Hàm số y = tan3x y = tan  − 2x ÷có giá trò khi: 3  π π kπ π kπ + k2π Ⓒ x= + Ⓓ x= + 15 15 15  π 80 Nghiệm phương trình cosx =  3x − ÷ = − là: 6  π 7π 11π 7π Ⓐ x = − 36 + k2π; x = 36 + k2π Ⓑ x = 36 + k2π; x = − 36 + k2π π k2π 7π k2π 11π k2π 7π k2π Ⓒ x = − 36 + ; x = 36 + Ⓓ x = 36 + ; x = − 36 + -Ⓐ x= π + kπ 15 Gv:Trần Quốc Nghóa Ⓑ x= Trang 22 [...]... Ⓓ [1 ; 11] 72 Phương trình cosx = sinx có số nghiệm thuộc đoạn [–π ; π] là: Ⓐ 2 Ⓑ 4 Ⓒ 5 Ⓓ 6   π cos 4x = tan 2x có số nghiệm thuộc khoảng  0 ; ÷ là: 73 Phương trình 2 cos 2x  Gv:Trần Quốc Nghóa Trang 21 Lượng giác 11 Bài 2 Phương trình lượng giác Ⓐ 2 Ⓑ 3 Ⓒ 4 Ⓓ 5 74 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sinx + sin5x = cosx + 2cos2x là: π 2π π π Ⓐ 6 Ⓑ 3 Ⓒ 4 Ⓓ 3 75 Nghiệm âm lớn nhất của phương. .. là một nghiệm của phương trình sin2x – 3cos2x = 0 Ⓑ cosx = 0 không là nghiệm của phương trình sin2x – 3cos2x = 0 Ⓒ sinx = 0 là một nghiệm của phương trình sin2x – 3cos2x = 0 Ⓓ Phương trình sin2x – 3cos2x = 0 vô nghiệm 63 Nghiệm của phương trình cos23xcos2x – cos2x = 0 là: π π π π π Ⓐ x=k2 Ⓑ x = 4 + kπ Ⓒ x= 2 +k2 Ⓓ x = 4 + k 2π sin 3x = 0 thuộc đoạn [2π ; 4π] là: 64 Số nghiệm của phương trình cos x... 1 45 Nghiệm của phương trình 4sin2x + 3 3 sin2x – 2cos2x = 4 là: π π π Ⓐ x = k 6 ; x = 3 + kπ Ⓑ x = kπ ; x = 3 + kπ 0 0 0 Ⓒ x = k180 ; x = 60 + k180 Ⓓ B và C đúng Gv:Trần Quốc Nghóa Trang 19 Lượng giác 11 Bài 2 Phương trình lượng giác 46 Nghiệm của phương trình 2 sin3x + 1 = 0 là: π 5π Ⓐ x = − 12 + k2π ; x = 12 + kπ Ⓑ π 2π 5π 2π Ⓒ x = − 12 + k 3 ; x = 12 + k 3 Ⓓ π  47 Nghiệm của phương trình sinx...Lượng giác 11 Bài 2 Phương trình lượng giác Ⓒ x = π – arcsin2 + k2π Ⓓ Cả ba đều đúng 33 Nghiệm của phương trình 2 sin2x – sinx + 1 – 2 = 0 là: π π Ⓐ x = + kπ Ⓑ x = – + k2π Ⓒ x =kπ Ⓓ Đáp án khác 2 2 34 Nghiệm của phương trình sin2x + cosx + 1 = 0 là: Ⓐ x = π + k2π Ⓑ x = (2k + 1)π Ⓒ Cả hai đúng Ⓓ Đáp án khác 35 Nghiệm của phương trình cos2x + cosx = 0 là: π π Ⓐ x = π... Nghiệm của phương trình 5 sin2x + 2cos2x = 3 là: 1 1 5 5 Ⓐ x = – 2 arcsin 3 + kπ Ⓑ x = 2 arcsin 3 + kπ Ⓒ Phương trình vô nghiệm Ⓓ Đáp án khác 40 Nghiệm của phương trình π π π Ⓐ x=k6 ;x=−9 +k6 π π π Ⓒ x=k3 ;x=−9 +k3 3 cos3x – sin3x = 3 là: π π π Ⓑ x=k2 ;x=−9 +k2 π π π Ⓓ x=k3 ;x=−9 +k2 41 Nghiệm của phương trình sin3x – 3 cos3x = 0 là: π π π π π Ⓐ x = +k Ⓑ x = +k Ⓒ x=k 9 6 9 3 3 42 Giá trò của m để phương. .. giác 11 Bài 2 Phương trình lượng giác 59 Giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = cosx + 2sinx thỏa: Ⓐ ymin + ymax = 1 Ⓑ ymax – ymin = 0 Ⓒ ymin + ymax = 0 Ⓓ ymax – ymin= –2 5 60 Nghiệm của phương trình sin2x + 2sinxcosx – 3cos2x = 0 là: π π Ⓐ x = 4 + k2π ; x = arctan(−3) + kπ Ⓑ x = 4 + kπ ; x = arctan(−3) + kπ π π Ⓒ x = 4 + k2π ; x = − arctan 3 + kπ Ⓓ x = 4 + kπ ; x = arctan(−3) + k2π 61 Nghiệm của phương. .. Nghiệm của phương trình cos(tanx) = 1 là: Ⓐ x = k 2π Ⓑ x = kπ Ⓒ x= π + k 2π 2 Ⓓ x= π + kπ 2 49 Trong khoảng (–π ; π) phương trình 2cos2x = 3 + cos(π – 2x) có tập nghiệm là:  π π  π π Ⓐ S = −  Ⓑ S=   Ⓒ S= { 0} Ⓓ S = − ;   2 3  2 2 50 Trong đoạn [0 ; π] phương trình sin2x + cos2x = 0 có tập nghiệm là: π π Ⓐ S =  Ⓑ S=   Ⓒ { 0} 2  8  7π π  Ⓓ S=    8 2 51 Nghiệm của phương. .. phương trình cos x + 1 Ⓐ 2 Ⓑ 4 Ⓒ 5 Ⓓ 6  x π 65 Số nghiệm của phương trình cos  + ÷ = 0 thuộc đoạn (π ; 8π) là: 2 4 Ⓐ 1 Ⓑ 3 Ⓒ 2 66 Một nghệm của phương trình sin2x + sin22x + sin23x = 2 là : π π π Ⓐ 12 Ⓑ 3 Ⓒ 8  π 67 Số nghiệm của phương trình sin  2x + ÷ = −1 thuộc đoạn [0 ; π] là: 4  Ⓐ 1 Ⓓ 4 π Ⓓ 6 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ 0   π 68 Số nghiệm của phương trình sin  x + ÷ = 1 thuộc đoạn [π ; 2π] là: 4  Ⓐ... + kπ Ⓒ x= +k Ⓓ x = + k 2π 4 2 4 2 2 4 52 Nghiệm của phương trình cos2x – 3sinx – 1 = 0 là: π π π π Ⓐ x=k Ⓑ x = + kπ Ⓒ x = kπ Ⓓ x= +k 2 4 2 2 53 Nghiệm của phương trình cos2x – cosx + 3 = 0 là: π π Ⓐ x = + k 2π Ⓑ x = π + kπ Ⓒ x∈∅ Ⓓ x = ± + kπ 3 4 54 Số nghiệm của phương trình cos2x– cosx–2 = 0 trong khoảng (0 ; π) là: Ⓐ 0 Ⓑ 1 Ⓒ 2 Ⓓ 3 3 55 Nghiệm của phương trình 4tanx = = 0 là: cos2 x π π π π Ⓐ x = 6... π + k360 ; x = ±60 + kπ Ⓓ B và C đúng 1 36 Nghiệm của phương trình = 2tanx là: cos2 x π π π Ⓐ x = + kπ Ⓑ x = + k2π Ⓒ x = + kπ Ⓓ Đáp án khác 4 2 2 37 Nghiệm của phương trình 3 cot2x – (1 – 3 )tan2x + 1 = 0 là: π π Ⓐ x = π + kπ ; x = ± 6 + kπ Ⓑ x = π + k2π ; x = ± 3 + k2π π π π π Ⓒ x = 4 + k2π ; x = 3 + k2π Ⓓ x = 4 + kπ ; x = 3 + kπ 38 Giá trò m để phương trình cos22x + (m2 – m – 1)sin2x + 1 = 0 có một ... cosu.sinv = ±1 Gv:Trần Quốc Nghóa Trang 11 Lượng giác 11 Bài Phương trình lượng giác II Bài tập tự luận: Phương trình – Phương trình bậc theo hàm số lượng giác Bài Giải phương trình sau: 1) sinx = – sinx... nghiệm phương trình sin2x – 3cos2x = Ⓑ cosx = không nghiệm phương trình sin2x – 3cos2x = Ⓒ sinx = nghiệm phương trình sin2x – 3cos2x = Ⓓ Phương trình sin2x – 3cos2x = vô nghiệm 63 Nghiệm phương. .. = 2sin2x + 4sinxcosx + sin x + cos x − y= sin x − cos x + Phương trình bậc hai, bậc ba sinx cosx (Phương trình đẳng cấp) Bài 11 Giải phương trình sau: 1) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 3) sin2x