PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề) Câu 1: (4 điểm ) a) Chứng minh với số tự nhiên m, n thì: x 6m+4 + x 6n+2 + chia hết cho x - x + b) Tìm tất số x, y nguyên dương lớn cho 2xy - chia hết cho (x - 1)(y - 1) Câu 2: (4 điểm ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử x ( x - ) - 36x Từ suy nghiệm phương trình x ( x - ) - 36x = b) Giải phương trình: x+9 x + 10 10 + = + 10 x + 10 x+9 Câu 3: ( điểm ) Tìm a, b cho đa thức f(x) = x + ax + b chia hết cho đa thức x − Câu 4: (2 điểm ) Biết ab + bc + ca = abc ≠ Tính giá trị biểu thức: A = bc ca ab + + 2 a b c Câu 5: ( điểm ) a) Ta biết hai tam giác vuông có độ dài cạnh số nguyên dương ( 5, 12, 13 ) ( 6, 8, 10 ) đồng thời có số đo diện tích tam giác số đo chu vi tam giác Hỏi tam giác vuông tính chất không ? b) Cho tam giác ABC Đường thẳng MN song song với cạnh BC; M, N thuộc cạnh AB AC Gọi I, J tương ứng trung điểm đoạn MN cạnh BC Chứng minh rằng: ba điểm A, I, J thẳng hàng Giáo viên coi thi không giải thích thêm Họ tên……………………………………… số báo danh…………… ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề) Câu Hướng dẫn giải x 6m+4 + x 6n+2 + 1= x 6m+4 - x + x 6n+2 - x + x + x + a Điểm 4đ 2đ = x (x 6m - 1) + x (x 6n - 1) + x + x + Do x 6m - 1Mx -1; x 6n - 1M x -1 x − = ( x + 1) ( x − 1) Mx − x + x + x + = ( x + 1) − x Mx − x + b a Đặt a = x - 1; b = y - với a, b số nguyên dương ta được: 2xy - = 2( a + )( b + ) - = ( 2a + 2b + 2ab + ) ( 2xy - 1) M ab ⇔ 2a + 2b + M ab Suy 2a + M b 2b + M a không tổng quát ta giả sử a ≥ b + Nếu a = b 2a + M a => 1M a = > a = b = => x = 2; y = + Nếu a > b ( 2b + 1) số lẻ nhỏ 3a nên chia 2b + cho a, ta có thương số lẻ nhỏ Do 2b + = a => 2a + = (4b + 3) M b = > M b ta b = b = Nếu b = a = => x = 4; y = Nếu b = a = => x = 8; y = Vì vai trò x, y nên ta nghiệm (x; y) (2; 2), (4; 2), (2; 4), (8; 4), (4; 8) x ( x - ) - 36x = ( x − 3) ( x − ) ( x − 1) x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) 1đ 0,5đ 0,5đ 4đ 1đ Từ suy x ( x - ) - 36x = 1đ Suy x = x = ± x = ± x = ± ĐKXĐ: x ≠ -9, x ≠ - 10 Thu gọn x( x + 19)(19x + 181) = 2đ ⇔ ( x − 3) ( x − ) ( x − 1) x ( x + 1) ( x + ) ( x + ) = b S = 0; −19; − 181 19 Giả sử phép chia f(x) cho x − có thương q(x), ( 1) f(x) = ( x - ) q ( x ) , ∀x Chọn giá trị riêng x cho x − = ⇔ x = ±2 + x = 16 + 2a + b = (2) + x =- 16 - 2a + b = (3) Từ (2) (3) ta nhận được: a = b = -16 3đ 1đ 1 1 1 + 3+ 3= a b c a b c abc 1 1 =3 Khi A = abc + + ÷ = abc abc a b c ab + bc + ca = ⇔ + + =0 ⇒ 1đ 7đ Gọi b, c độ dài cạnh góc vuông, a độ dài cạnh huyền tam giác vuông xét ( a, b, c nguyên dương b ≥ c) Theo định lí Pytago ta có: b + c = a (1) bc = 2( a + b + c ) (gt) (2) Từ (1) suy a ( b + c) - 2bc = a ⇒ ( b + c - ) = ( a + ) 2 ⇒ b + c - = a + ( Do b + c ≥ 2) ⇒a=b+c-4 (3) 1đ Thay (3) vào (2) ta được: bc = 4(b + c - 2) ⇒ ( b - ) ( c - ) = 8= 4.2 = 8.1 b - = ⇒ c - = b=8 ⇒c=6 a = 10 1đ b-4=8 c-4=1 1đ b = 12 c=5 a = 13 Như vây, hai tam giác vuông cho toán, không tam giác vuông có tính chất 1đ A M B b I N J C Do I, J nằm phía đường thẳng AB MI // BJ Vậy để chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng ta cần chứng tỏ MI AM = MN // BC nên theo định lí Thales áp dụng BJ AB MN AM MN MI = = = cho tam giác ABC có: AB BC BC BJ 1đ 2đ Người đề Lê Trung Hiếu ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề) Câu Hướng dẫn giải x 6m+4 + x 6n+2... 1đ Thay (3) vào (2) ta được: bc = 4(b + c - 2) ⇒ ( b - ) ( c - ) = 8= 4.2 = 8. 1 b - = ⇒ c - = b =8 ⇒c=6 a = 10 1đ b-4 =8 c-4=1 1đ b = 12 c=5 a = 13 Như vây, hai tam giác vuông... 19)(19x + 181 ) = 2đ ⇔ ( x − 3) ( x − ) ( x − 1) x ( x + 1) ( x + ) ( x + ) = b S = 0; −19; − 181 19 Giả sử phép chia f(x) cho x − có thương q(x), ( 1) f(x) = ( x - ) q ( x ) , ∀x Chọn giá