PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề) Câu 1: (4 điểm ) a) Cho a, b ∈ Z b > So sánh hai số hữu tỉ a a+1 b b+1 995 997 × × ××× × 998 1000 996 998 B = × × ××× × 999 1001 b) Cho A = So sánh A B Câu 2: (4 điểm ) 45 94 - 2.69 210 38 + 68 20 b) Tìm x biết: x + + x + = 3x a) Rút gọn biểu thức: A = Câu 3: ( điểm ) 99 100 Cho đa thức A ( x ) = x + x + x + .+ x + x a) Chứng minh x = - nghiệm A(x) b) Tính giá trị đa thức A(x) x = Câu 4: (2 điểm ) Cho a, b, c chiều dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a + b + c < ( ab + bc + ca ) Câu 5: ( điểm ) Cho tam giác ABC D E trung điểm cạnh AB AC Chứng minh rằng: DE // BC DE = BC Câu 6: ( điểm ) Cho tam giác ABC vuông A ·ABC = 600 Lấy điểm M thuộc cạnh BC · cho AB + BM = AC + CM Tính độ lớn góc CAM ? Giáo viên coi thi không giải thích thêm Họ tên……………………………………… số báo danh…………… ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề) Câu Hướng dẫn giải Để so sánh hai số hữu tỉ a ( b + 1) b ( a + 1) a a+1 ta so sánh hai số b b+1 Điểm 4đ 0,5đ Xét hiệu a ( b + 1) - b ( a + 1) = ab + a - ( ab + b ) = a - b a b a a+1 b b+1 a a+1 TH2: Nếu a - b < ⇔ a < b thì: a ( b + 1) - b ( a + 1) < ⇔ < b b+1 a a+1 TH3: Nếu a - b > ⇔ a > b thì: a ( b + 1) - b ( a + 1) > ⇔ > b b+1 a a+1 Theo a) áp dụng TH2: < với < a < b b b+1 997 998 < Ta có: < ; < ; ××××; 1000 1001 TH1: Nếu a - b = ⇔ a = b thì: a ( b + 1) - b ( a + 1) = ⇔ = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2đ Do lấy tích chúng A < B ( ) ( ) = a b A - ( 3.2 ) 4đ 2đ 210 38 ( - 3) −1 = 10 = ( + ) 210 38 + ( 2.3) ( 2 ) + Xét x ≤ -3 ta có: - x -3 -x -1= 3x ⇔ x = - 2đ ( loại ) + Xét - < x < - 1, ta có: x + - x - = 3x ⇔ 0x = > -1 ( loại ) + Xét x ≥ - 1, ta có: x + + x + = 3x ⇔ x = ( thỏa mãn ) Vậy x = A ( -1) = ( -1) + ( -1) + ( -1) + + ( -1) + ( -1) a b 99 100 = ( -1) + 1+ ( -1) + 1+ ( -1) + ( -1) + 1= Vì có 50 số (- 1) 50 số ⇒ x = -1 nghiệm đa thức A(x) 1 1 1 Với x = giá trị đa thức: A = + + + ××× + 99 + 100 2 2 2 1 ⇒ 2.A=1+ + + + 99 2 1 1 1 ⇒ 2A= ( + + + 98 + 99 + 100 ) + 1- 100 2 2 2 ⇒ A=1- 100 3đ 1đ 0,5đ 0,5đ 1đ Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a < b + c, a > ⇔ a.a < a.(b + c) = ab + ac 2đ Tương tự: b < bc + ab; c < cb + ca 2 Do a + b + c < ( ab + bc + ca ) 2đ A E D M B C Trên tia đối tia ED lấy M cho EM = ED Chứng minh ΔEAD = ΔECM ( c.g.c ) · · ⇒ AD = CM; ·DAE = MCE ( ·DAE MCE so le trong) · · ⇒ AD // CM ⇒ BDC = MCD · · Chứng minh ∆ BDC = ∆ MCD ( c.g.c) ⇒ DCB ; BC = DM = CDM · · DCB = ·CDM, ·DCB CDM so le => DE // BC DE = 1 DM; BC = DM => DE = BC 2 5đ B H 30o A M C Kẻ AH ⊥ BC ( H ∈ BC ); theo tính chất tam giác vuông có góc 300 ta có: BC = 2AB; AB = 2HB; AC = 2AH (1) Theo gt AB + BM = AC + CM => AB + 2BM = AC + (CM + BM) ⇒ AB + 2BM = AC + BC (2) Từ (1) (2) suy AB + 2BM = 2AH + 2AB ⇒ 2BM = 2AH + 2BH ⇒ ( BM - BH ) = 2AH ⇒ HM = HA · Vậy tam giác HAM vuông cân H nên HAM = 450 · Từ CAM = 900 - 300 - 450 = 150 1đ 1đ 1đ 2đ * Chú ý: Thí sinh có cách giải khác cho điểm tối đa Người đề Lê Trung Hiếu ...Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề) Câu Hướng dẫn giải Để so sánh hai số hữu tỉ a ( b + 1) b ( a... H nên HAM = 450 · Từ CAM = 900 - 300 - 450 = 150 1đ 1đ 1đ 2đ * Chú ý: Thí sinh có cách giải khác cho điểm tối đa Người đề Lê Trung Hiếu ... a > b thì: a ( b + 1) - b ( a + 1) > ⇔ > b b+1 a a+1 Theo a) áp dụng TH2: < với < a < b b b+1 9 97 998 < Ta có: < ; < ; ××××; 1000 1001 TH1: Nếu a - b = ⇔ a = b thì: a ( b + 1) - b ( a + 1) = ⇔