de thi lop 10 va loi giai

THI TUYN SINH VO LP 10 NM HC 2010-2011 P N TON CHUYấN Cõu a) Cho a, b, c l cỏc s thc tho iu kin a +b + c = a3 + b3 + c3 = Chng minh rng ba s a, b, c cú ớt nht mt s bng b) Gii h phng trỡnh x + y + z = (1) xy + yz + zx = ( 2) x + y + z + = 3( x + y + z ) (3) Gii a) (1 im) T a + b + c = suy c = -(a+b) T ú ta cú = a3 + b3 + c3 = a3 + b3 (a+b)3 = -3a2b-3ab2 = -3ab(a+b) = 3abc Vy abc = 0, suy mt s a, b, c bng (pcm) b) (1 im) Cỏch t x = a+1, y = b+1, z = c+1 Thay vo phng trỡnh (1) ta c a+b+c=0 Thay vo (2) vi chỳ ý a + b + c = 0, ta c ab + bc + ca = -4 (4) Thay vo (3) vi chỳ ý a + b + c = 0, ta c a3 + b3 + c3 = p dng cõu a), ta suy mt ba s a, b, c bng Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s a = Khi ú b = -c v thay vo (4) ta tỡm c b = T õy tỡm c x, y, z Kt lun : Phng trỡnh cú nghim (1 ; -1 ; 3) v cỏc hoỏn v (6 nghim) Cỏch T phng trỡnh (1) v phng trỡnh (2) ta suy x2 + y2 + z2 = (x+y+z)2 2(xy+yz+zx) = 11 Thay vo phng trỡnh (3), ta c x3 + y3 + z3 = 27 (5) T (1) v (5) ta suy = (x+y+z)3 (x3+y3+z3) = 3(x+y)(y+z)(z+x) T ú suy ba s x, y, z cú hai s cú tng bng Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s x + y = T (1) suy z = Thay vo (2) suy x = -1, y = hoc x = 1, y = -1 Kt lun : Phng trỡnh cú nghim (1 ; -1 ; 3) v cỏc hoỏn v (6 nghim) Cõu a) Gii phng trỡnh (2 x 1) = 12 x x + b) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A v cú din tớch bng Chng minh rng ta cú bt ng thc BC ( AB + AC 1) Gii a) (1 im) iu kin: x2 x x - x Ta bin i phng trỡnh v dng (2 x 1) = 12 x x + x x + = 12 x x + x x = x x t t = x x thỡ t2 = x2 x Thay vo phng trỡnh, ta c t2 + 3t = t = t = Vi t = 1, ta c x2 x = 0, suy x = 13 Vi t = 2, ta c x2 x = 0, suy x = -2, x = Cỏc nghim ny u tha iu kin Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l: x = -2, x = 3, x = 13 b) (1 im) t AB = c, AC = b thỡ theo iu kin bi, ta cú ab = Ngoi ra, theo nh lý Pythagore, ta cú BC = a + b V th nht ca bt ng thc cn chng minh cú th vit li thnh (ỳng, õy cú th dựng bt 2ab a + b a + b 2ab (a b) ng thc Cauchy) V th hai ca bt ng thc cú th vit li thnh a + b + (a + b) a + b + a + b + 2(a + b + 2ab) a + b a + b + ( a + b 2) Bt ng thc cui cựng hin nhiờn ỳng Bi toỏn c gii quyt hon ton Cõu a) Hóy ch mt b s nguyờn dng phõn bit m tng ba s bt k chỳng l mt s nguyờn t b) Chng minh rng khụng tn ti s nguyờn dng phõn bit cho tng ba s bt k chỳng l mt s nguyờn t Gii a) (0,5 im) Cú th ch b (1, 3, 7, 9) b) Do cỏc s nguyờn dng l phõn bit nờn tng ba s bt k ln hn Ta chng minh mt cỏc tng ú chia ht cho 3, t ú khụng th l s nguyờn t, suy pcm Xột s d phộp chia cỏc s ny cho Nu cỏc s d 0, 1, u xut hin thỡ ta ly ba s tng ng, ta s c s cú tng chia ht cho Nu cú s d no ú khụng xut hin thỡ cú s v ch cú nhiu nht s d, suy tn ti s cú cựng s d Ba s ny s cú tng chia ht cho Bi toỏn c gii quyt Cõu Cho trng trũn tõm O, bỏn kớnh R v dõy cung BC cú di BC = R A l mt im thay i trờn cung ln BC Gi E l im i xng ca B qua AC v F l im i xng ca C qua AB Cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc ABE v ACF ct ti K (K A) a) Chng minh K luụn thuc mt ng trũn c nh b) Xỏc nh v trớ ca im A tam giỏc KBC cú din tớch ln nht v tỡm giỏ tr ln nht ú theo R c) Gi H l giao im ca BE v CF Chng minh tam giỏc ABH ng dng vi tam giỏc AKC v ng thng AK luụn i qua mt im c nh Gii a) (1 im) Ta cú AKC = AFC (cựng chn cung AC) Mt khỏc AFC = FCA (do F i xng C qua AB) v FCA = 900 - A Nờn ta cú AKC = 900 A Hon ton tng t, ta cú AKC = 900 A Suy BKC = 1800 2A Suy K luụn thuc cung cha gúc nhỡn on BC di gúc 1800 2A b) (1 im) Tam giỏc KBC cú ỏy BC = R khụng i v K nm trờn cung cha gúc 1800 2A nờn din tớch tam giỏc KBC ln nht K l im gia K ca cung cha gúc, tc l tam giỏc KBC cõn ti K Khi ú A chớnh l trung im cung ln BC tớnh giỏ tr ln nht ca din tớch tam giỏc K0BC, ta chỳ ý rng vỡ BC = R nờn A = 600 Suy BKC = 1800 2A = 600 Suy tam giỏc K0BC l tam giỏc u cú cnh BC = R Vy din tớch ln nht bng R 3 / c) (1 im) Kộo di AC ct ng trũn ngoi tip tam giỏc ABE ti C Khi ú AC l ng kớnh Tng t, kộo di AB ct ng trũn ngoi tip ACF ti B thỡ AB l ng kớnh Suy AK, CC, BB l cỏc ng cao tam giỏc ABC Suy t giỏc BBCC ni tip v ta cú: ACB = ABC Ta cú BAH = 900 - ABC = 900 - ACB = KAC = KAC Mt khỏc theo chng minh phn 1, ta ó cú AKC = FCA = ABH T õy suy tam giỏc ABH ng dng vi tam giỏc AKC Vỡ BAH = KAC nờn theo mt tớnh cht quen thuc tam giỏc, ta cú AK i qua tõm ng trũn ngoi tip O ca tam giỏc ABC (pcm) Cõu Trong mt gii búng ỏ cú 12 i tham d, thi u vũng trũn mt lt (hai i bt k thi u vi ỳng mt trn) a) Chng minh rng sau vũng u (mi i thi u ỳng trn) luụn tỡm c ba i búng ụi mt cha thi u vi b) Khng nh trờn cũn ỳng khụng nu cỏc i ó thi u trn? Gii a) (1 im) Xột mt i búng A bt k Sau vũng u, A cha u vi i búng Gi S l hp tt c cỏc i búng cha u vi A Xột mt i búng B thuc S Do B mi u trn nờn B thi u nhiu nht vi i búng thuc S Suy B cha thi u vi ớt nht i búng thuc S Gi s B cha thi u vi C thuc S Khi ú A, B, C ụi mt cha thi u vi (pcm) b) (0,5 im) Kt lun l khụng? Ta chia 12 i thnh nhúm, mi nhúm i Cho cỏc i thi u vũng trũn nhúm thỡ sau nm vũng, i bt k thuc nhúm u ó thi u vi Ly i búng bt k, theo nguyờn lý Dirichlet cú hai i cựng nhúm, v vỡ vy cỏc i ny ó thi u vi Suy khụng tn ti i búng ụi mt cha thi u vi The end T ễN S 01 Thi gian: 120 phỳt BI Cõu (3.0 im) x x 3x x + : + Cho biu thc: P = ữ ữ ữ ữ x x x x x x + a) Rỳt gn P b) Tỡm x P > c) Tỡm x P = x + x Cõu (1.0 im) Tỡm cỏc s x thừa ng thi x3+x2-4x-4=0 v (x+1)(x2-2x+2)0 x x x 1; b/ iu kin: x < x > + 2; x x + PT ( x + x 1) x = 2( x 1) x + x 1(1) x 1; c/ iu kin: t x + x = y ( y 0).(1) y x = 2( x 1) y ( y 2)( y + x ) = y = x + x = x1 = + 6; x2 = y + 2x = Cõu 2: Phng trỡnh cú nghim: x = 1; 2; BPT x + < x = Cõu Gi thi gian d nh l t( tun) t > 0; Thi gian thc t l (t -1) (tun) Nng sut d nh l 140/t (tn/tun) ; Nng sut thc t 150/(t-1) (tn/tun) Ta cú phng trỡnh: 140 150 +5= t 3t 28 = t = 7; t = (loi) t t Cõu 4: ẳ ( k l im chớnh gia ca cung AB v PK ằ = BM ẳ ) a / AN = PK ( = BM ) ằAP = KM PK AN WANKP l hỡnh bỡnh hnh b/ KN = KM (= AP ) PCM NMK = 600 c / ( MA + MK + MB ) = MA + ( NM + MB ) = MA + ( NM + AN ) = 2MA R l Du = xy v ch MA l ng kớnh hay M C hay M ằ im chớnh gia ca cung BK ằ Vy: Max ( MA + MK + MB ) = R M l im chớnh gia ca cung BK ằ d / MEF cõn MEB = 450 ( H l im chớnh gia ca cung BC MAB = ẳ ằ sd BM = sd BD = 150 AMB = 600 ABM = 1050 .Ht T ễN S 02 BI Thi gian: 120 phỳt Cõu (3.0 im) Cho biu thc: x x x x +1 P = : ữ ữ ữ x 2ữ x +1 x + x + x + x + d) Rỳt gn P e) Tỡm x ( x + 1) P = x + f) Tỡm x x=1 v x=3 thừa món: mP = ( m 1) x m x + Cõu (1.0 im) Cho hm s: y=x2 v y=3x+m+1 a) Tỡm giao im ca th hm s m=-3 b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th hm s trờn ct ti im phõn bit Cõu (2.0 im) Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh: Mt b ng nc cú vũi: Vũi A a nc vo v vũi B thỏo nc Vũi A t nc cn n nc y (B khúa) lõu hn gi so vi vũi B thỏo nc t b y ti lỳc cn nc (A úng) Khi b cha 1/3 th tớch nc ca nú nu ngi ta m c vũi thỡ sau gi b cn ht nc Hi sau bao nhiờu gi riờng vũi A cú th chy y b v sau bao nhiờu thi gian vũi B cú th thỏo ht nc b? Cõu (4.0 im) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A (AB>AC) Trờn cnh AB ly im E Dng ng trũn ng kớnh BE ct cnh BC ti F CE ct ng trũn ti H Kộo di CA v BH ct ti K a) CM: Gúc FHB khụng ph thuc vo v trớ im E b) CM: AC, EF, HB ng qui ti K c) CM: E l tõm ng trũn ni tip tam giỏc AHF CB d) Tỡm v trớ ca E : CA.CK = .Ht HNG DN GII T ễN S 02 Cõu x a / x + x + = ( x + 1)( x + 2); DK : x x x x x +1 P = : ữ ữ ữ x +2 ữ x + ( x + 1)( x + 2) ( x + 1)( x + 2) = x ( x + 1)( x + 2) = x ( x + 1)( x + 2) b / ( x + 1) P = x + ( x + 1)(1 x ) = x + (1 x ) = x + x x + = x + x + = t = x + 2(t > 0) t = 1(loại ) x = 7(t / m) 2t = t = x + = t c / mP = ( m 1) x m x + m(1 x ) = ( m 1) x m x + m2 x x m + = Phng trỡnh cú nghim m2 m + = m2 m = x = 1, x = m =1 3m2 m + = 3m2 m = Cõu 2: a) Thay m=-3 vo hm s ta cú: y=3x-2 Ta giao im ca hm s trờn chớnh l nghim ca h : x = y = x y = x2 y =1 x = x 3x + = y = 3x y = Vy th ca hm s trờn ct ti im (1;1) v (2;4) b) S: m > 13 Cõu Gi thi gian vũi B thỏo ht nc b l: x (gi, x>0) Thi gian vũi A chy y b mt mỡnh l: (x+2) (gi, x>0) Trong h vũi B thỏo c: 1/x (b) Trong h vũi A chy c: 1/(x+2) (b) Trong 1h nu m c vũi thỡ c lng nc b l: 1 x x+2 Trong 8h nu m c vũi thỡ nc b gim l: ữ x x+2 1 Theo u bi ta cú PT: ữ= x = x x+2 Vy thi gian vũi B thỏo ht nc riờng b l: gi Vũi A chy y b l: gi Cõu 4: a / R BFE = 900 R EFC = 900 Xột WEACF ta cú: R EFC + R EAC = 1800 WEACF ni tip R ACF = RBEF ( cựng + RAEF = 180 ) M R BHF = R BEF nờn R ACF = RBHF = const b/ Gi s BH AC = K Ta cú E l trc tõm ca KBC nờn KE BC ( Do : R BFE = 900 ) KE EF hay EF cựng i qua K EF, BH , AC ng quy c/ Do WEACF ni tip nờn ABC = AHC m EHF = ABC AHC = EHF HE l phõn giỏc ca R AHF Ta cng cú HE l phõn giỏc ca gúc R AFH FE HE=E PCM d/ d / CKF CBA( g g ) CK CF CB CB = CK CA = CF CB CK CA = CF CB = CB CA 2 CF = CB F l trung im ca CB E l giao ca trung trc ca CB v AB .Ht Ngun: Hocmai.vn T ễN S 03 120 phỳt Cõu (3.0 im) BI Thi gian: x + x x x x : + Cho biu thc: P = ữ ữ ữ x 2ữ x +1 x x x x g) Rỳt gn P h) CM: P < i) Tỡm giỏ tr ln nht ca P Cõu (1.0 im) Tỡm cỏc s x,y thừa món: ( x + 1) + xy + y + y + x y = Cõu (2.0 im) Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh: Hai t cựng lm mt cụng vic 15 gi thỡ xong Nu t lm gi v t lm gi thỡ h lm c 25% cụng vic Hi mi t lm riờng vic ú thỡ bao lõu thỡ xong? Cõu (4.0 im) Cho ng trũn (O;R) v dõy c nh AB < 2R Gi K l im chớnh gia ca cung nh AB; N l im tựy ý trờn on thng AB ( N khỏc A,B) Ni KN v kộo di ct (O) ti im th l M e) CM: tam giỏc AKN v MKA ng dng f) CM: AK tip xỳc vi ng trũn ngoi tip tam giỏc ANM g) CM: Tng bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ANM v BNM khụng ph thuc vo v trớ im N h) Tỡm hp trung im I ca on thng ni tõm ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ANM v BNM, N di chuyn trờn on AB .Ht Ngun: Hocmai.vn Gii hn: - Nu N trựng B thỡ I trựng Q - Nu N trựng A thỡ I trựng P Vy I thuc ng trung bỡnh PQ *) Phn o: Ly I thuc PQ Ni CI kộo di ct AB ti N KN ct (O) ti M Gi O1;O2 l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AMN v BMN ta cn chng minh I l trung im ca O1O2 Tng t chng minh cõu c ta chng minh c t giỏc O1NO2C l hỡnh bỡnh hnh Vỡ N thuc PQ ( c/m phn thun) IF AB IF = CE CE AB K Xột VCNE cú : IF PCE ( AB ) IF IN 1 = = IN = CN CE CN 2 I l trung im ca CN m t giỏc O 1NO2C l hỡnh bỡnh hnh nờn I cng l trung im ca O1O2 Kt lun: Vy N di ng trờn AB thỡ trung im I ca on ni tõm O1,O2 ca ng trũn ngoi tip tam giỏc AMN v BMN chuyn ng trờn on PQ l on trung bỡnh ca ca tam giỏc ABC Ht Ngun: Hocmai.vn ==============Ht============== Ngun: Hocmai.vn HNG DN GII KIM TRA S 04 Cõu x a / x + x = ( x 1)( x + 2) Đ K : x P= = = 3x + x ( x 1)( x + 2) ( ( )( x + 2) ( x +1 )+ x 1) x x x x x 3x + x x + x 2x + x x + x +3 x +2 = = ( x 1)( x + 2) x ( x 1)( x + 2) ( x 1)( x + 2) ( x +2 )( )= x +1 x +1 ( x 1)( x + 2) x t +1 = 1+ t t t = x = t = P Â bội (t 1) t = x = t = t = x = b / Đ ặt t = x (t 0; t 1) P = Cõu 2: Gi thi gian vũi I chy mt mỡnh y l: x (gi) Gi thi gian vũi II chy mt mỡnh y l:y (gi) Nng sut ca vũi I l: 1/x (phn b) Nng sut ca vũi II l: 1/y (phn b) Nng sut ca c vũi l: 2/3 (phn b) Ta cú phng trỡnh: 1 + = (1) x y Trong 15 phỳt(1/4 gi) vũi I chy c: 1/4x (phn b) Trong 20phỳt(1/3 gi) vũi II chy c: 1/3x (phn b) Theo u bi vũi I chy 1/4 gi, vũi II chy 1/3 gi c 1/5 b nờn ta cú h phng trỡnh: 1 u = u + v = u = x + y = x 15 x = 3, 75 Coi : 1 1 1 y = 2,5 + v = u+ v= v = = y x y Vy vũi I chy mt mỡnh gi 45 phỳt v vũi II chy gi 30 phỳt thỡ y b Cõu 3: e) Khi m=-1 ta cú (d):y=-x+1 Ta giao im ca (d) v (C) l nghim ca h: ( ( ) y = x +1 y = x +1 y = x A1 2 2;3 2 x = x + x + x = y = x + A2 2;3 + 2 f) (d) tip xỳc vi (P) v ch phng trỡnh sau cú nghim nht: x = mx 2m x mx + 4(2m + 1) = m = + ' = m 4(2 m + 1) = m m = m = Cõu ) AM BM ( AB Đ.Kính) a) Ta có : OK / / MB AM KO ( VKAM can ) R AOM = R ABM ( Sole ) b) Xét VOMK VOIM có : R OMK = R OIM = 900 VOMK VOIM Đ ồng d ng Góc R KOM chung OM OK = OI.OK = OM = R2 = const OI OM c) Xét VAKO VOEB có : OA = OB = R VAKO =VOEB(g c g ) OK = BE R KAO = R EOB = 90 R KOA = R EBO(Đ ồng vị ) mà OK / / MB(cm tr ê n) hay OK / / BE WOKEB hbh d ) Xét VOKJ ta có : OE KJ ( Do KJ / / AB mà OE AB ) KM OJ ( Do KM tiếp tuyến) OE KM = P P trực tam VOKJ JP KO(1) Ta xét VKPE VOPM có : R KEP = R OMP = 900 VKPE =VOPM PK = PO KE = OM = OB = R S KPE = R OPM (ĐĐ) hay VKPO can Mà H tam WAOEK PH trung tuyến PH OK (2) Từ (1) (2) H, P, J thẳ ng hàng Cõu 5: p dng BT Bunhiacopxkia ta cú: ( a+b + b+c + c+a ) ( +1 +1 ) ( a + b + b + c + c + a) 2 2 = 6(a + b + c) = a + b + b + c + c + a Dấu " = " x ả y ta : a + b = b + c = c + a a = b = c = Ht Ngun: Hocmai.vn ====================Ht================== Ngun: Hocmai.vn HNG DN GII T ễN S 05 Cõu x a / x + x + = ( x + 1)( x + 2) Đ K : x P= = x + + x x ( x + 1)( x + 2) 2( x 1) x 2+ x ( ( 2 x ) )( (2 x) (2+ x) b/P>3 ) ( x + 1)( x + 2) 2( x 1) = x +1 x x +1 x 5 25 >3 < 1< x < 1< x < x x Cõu 2:Gi thi gian ngi th nht lm mt mỡnh xong vic l: x (gi) Gi thi gian ngi th lm mt mỡnh xong vic l: y (gi) Nng sut ca ngi th nht l: 1/x (cụng vic) Nng sut ca ngi th l: 1/y (cụng vic) Nng sut ca c ngi l: 1/4 (cụng vic) Ta cú phng trỡnh: 1 + = (1) x y x Khi lm 1/2 cụng vic ngi th nht dựng ht : 21 = ( gi) x y Khi lm 1/2 cụng vic cũn li ngi th dựng ht : = ( gi) y 1 x + y = x + y = 18 x, y l cỏc Theo u bi ta cú h phng trỡnh: xy = 72 x + y = 2 x = 12 y = nghim ca PT: X 18 X + 72 = Vy1 ngi lm 12 gi v ngi lm gi Cõu 3: g) Khi m=2 ta cú (d):y=2x-1 Ta giao im ca (d) v (C) l nghim ca h: ( ( ) A1 1; 2 y = x2 y = 2x y = 2x y = x x = x x + x = A2 1; 2 h) Honh giao im ca (d) v (P) l nghim ca PT: x mx + = hay x + mx = Do : = m + > Vy (d) luụn ct (P) ti im phõn bit Gi A(x1;y1) v B(x2;y2) Ta cn chng minh: OA2 + OB = AB x12 + x22 + y12 + y22 = x12 + x22 + y12 + y22 2( x1 x2 + y1 y2 ) x1 + x2 = m x1 x2 + y1 y2 = mà theo Viet : x1 x2 = y1 y2 = ( x1 x2 ) = = x1 x2 + y1 y2 = + Đ PCP Cõu ) Cõu 5: VABC có AB = AC a / Ta có : H trung diểm BC AH BC mà KB = KC nê n KH Đư ờng trung binh VBCN KH / /NC Mà : KH BC NC BC b / Trong tam giác vuông BNC có CK trung tuyến nê n : CK = NK R KNC = R KCN mà R KCN = R AKC(sole trong) Như ng R AKC = R AMC (cùng chắn cung AC) R KNC = R AMC mà R AMC + R BMC = 1800 R KNC + R BMC = 1800 WBMCN nội tiếp c / Do WBMCN nội tiếp R BMN = R BCN = 900 MN AB Mà M trung Đ iểm AB VANB can N d / Các em suy nghĩ thê m nhé! Theo Côsi ta có : x + = x 2010 + 2011 2011 x 2010 x 2010 (1) x +1 2011 Và x = x 2011 + 2010 2010 x 2011 x 2011 (2) x 2010 1 Cộng (1) (2) ta có : M + ữ 2010 2011 1 Max M = + ữ x = 4021 2010 2011 Ht Trng THPT chuyờn H Ni Amsterdam K kim tra th vo lp 10 Nm hc 2009 2010 Mụn thi: Toỏn - iu kin Thi gian lm bi: 120 phỳt Bi I (2 im) Cho biu thc C = x 4x + + 2x x ữ: ữ 4x 4x x a) Rỳt gn C b) Tỡm cỏc giỏ tr ca x C < C2 Bi II ( im) Cho phng trỡnh: x2 (m + 1) x m2 3m = ( m l tham s) a) Chng minh phng trỡnh cú nghim trỏi du vi mi giỏ tr ca m b) Tỡm m t s gia nghim ca phng trỡnh cú giỏ tr tuyt i bng 1/2 Bi III ( im) Trong mt phng ta Oxy cho ng thng (d) cú phng trỡnh: 2(m 1)x + (m 2)y = a) Tỡm ta ca im m (d) luụn i qua m thay i b) Tỡm m khong cỏch t gc ta O n ng thng (d) l ln nht Bi IV ( im) Cho tam giỏc ABC, gúc A = 600, ni tip ng trũn (O, R), trc tõm H im I l trung im ca BC ng thng OI ct ng trũn (O) ti E v G H HM v HN tng ng vuụng gúc vi AG v AE a) b) c) d) ng thng AH ct ng trũn (O) ti im th hai l J Chng minh AJEG l hỡnh thang cõn ng thng HN ct EG ti P Chng minh BC l trung trc HJ v HJEP l hỡnh thang cõn Chng minh im N, M, I thng hng Bit AG = AE Tớnh cỏc gúc tam giỏc ABC Khi ú chng minh AB + AC2 = 4R2 H v tờn Thớ sinh: Ch ký ca Giỏm th S bỏo danh: Ch ký ca Giỏm th Trng THPT chuyờn H Ni Amsterdam K kim tra th vo lp 10 Nm hc 2009 - 2010 Mụn thi: Toỏn - Tin Thi gian lm bi: 150 phỳt Bi I (2 im) Cho x = ( + 1) 10 + Hóy tớnh A = x 4x + x1999 Bi II (2 im) Tỡm iu kin cn v ca tham s m h phng trỡnh sau cú nghim nht x = ( m + ) y3 3y + my y = ( m + ) z 3z + mz z = ( m + ) x 3x + mx ( 1) ( 2) ( 3) Bi III (2 im) Trờn mt phng cho n im, ú khụng cú im no thng hng Bit din tớch tam giỏc bt k c to t n im trờn khụng vt quỏ (n v din tớch) Chng minh rng: n im ó cho cú th ph bi mt tam giỏc cú din tớch nh hn hoc bng Bi IV (4 im) Cho ng trũn tõm O, ng kớnh AB = 2R v mt im C trờn ng trũn (khỏc A, B) Tip tuyn Ax vi ng trũn thuc na mt phng b AB cha C im M l im chớnh gia cung AC nh Dõy AC v BM ct ti P Tia BC ct tia AM v Ax ti N v Q a) Tam giỏc ABN l tam giỏc gỡ ? b) Chng minh t giỏc APNQ l hỡnh thang c) Gi im K l im chớnh gia ca cung AB (khụng cha C) Cỏc im Q, M, K cú th thng hng khụng ? d) Cho ng trũn (O) l ng trũn ngoi tip tam giỏc MNQ tip xỳc vi (O) ti M Tớnh BC theo R H v tờn Thớ sinh: Ch ký ca Giỏm th S bỏo danh: Ch ký ca Giỏm th Trng THPT chuyờn H Ni Amsterdam Bi I (2 im) x = ( + 1) 10 - ỏp ỏn K kim tra th vo lp 10 Nm hc 2009 - 2010 + = - A = Bi II (2 im) t F(t) = (m + 2)t2 3t + m ; G(t) = (m + 2)t2 4t + m x 4x + =0 x1999 /k cn: Nu (x0 ; y0 ; z0) l mt nghim ca h thỡ (z0 ; x0 ; y0) cng l nghim h cú nghim nht nghim tha x0 = y0 = z0 nghim ca h chớnh l nghim ca pt: x2 = (m + 2)x3 3x2 + mx hay x.G(x) = (4) (x, y, z) = (0, 0, 0) l mt nghim ca h Suy G(x) = vụ nghim G < m(m + 2) < Ta c m < -1 - , hoc m > -1 + (*) k :Ta cm (*) cng l k T (*) suy G(t) mi t v (m + 2)G(t) > mi t (5) T iu kin (*) ta cú F = 4m(m + 2) < v (m+2)F(t) > mi t Xột pt (1) cú xF(x) = z2 mi x (m + 2)x 0, kt hp (5) suy xG(x) mi x Tng t, xột pt (2) ; (3) cng cú: yG(y) 0; zG(z) vi mi y; z Cng v ta cú xG(x) + yG(y) + zG(z) Du = xy x = y = z = (pcm) Bi III (2 im) Tp hp cỏc hu hn tn ti tam giỏc cú din tớch ln nht Gi s, ABC cú din tớch ln nht Qua cỏc nh v cỏc ng thng m ; m2 ; m3 tng ng // BC, AC, AB Chỳng ct to thnh MNP Cú SMNP = 4SABC Ta s c/m ú l tam giỏc cn tỡm Tht vy, gi s tn ti im K MNP Khụng mt tng quỏt, gi s K thuc 1/2 mt phng b m1 khụng cha C Khi ú SKBC > SABC Trỏi vi g.t ABC cú din tớch ln nht Vy Khụng tn ti K ngoi tam giỏc MNP Suy pcm Bi IV (4 im) a ABN l tam giỏc cõn b Do NP // AQ c Khụng Do nu thng hng thỡ QM l phõn giỏc gúc Q Khi ú M l tõm ng trũn ni tip QAC Suy CM vuụng gúc CK Vụ lớ d V (O) ngoi tip QMN Ta cú OMN = OMA Suy OBNO l hỡnh bỡnh hnh Suy QON = COB QN = BC = x p dng h thc lng tam giỏc vuụng ABQ ta cú x (2R + x) = 4R2 Gii ta cú x = - R + R (do x > 0) [...]... AB VANB can tại N d / Các em suy nghĩ thê m nhé! Theo Côsi ta có : x + 1 = x 2 010 + 2011 2 2011 x 2 010 x 2 010 1 (1) x +1 2 2011 Và x 1 = x 2011 + 2 010 2 2 010 x 2011 x 2011 1 (2) x 1 2 2 010 1 1 1 Cộng (1) và (2) ta có : M + ữ 2 2 010 2011 1 1 1 Max M = + ữ x = 4021 2 2 010 2011 Ht Trng THPT chuyờn H Ni Amsterdam K kim tra th vo lp 10 Nm hc 2009 2 010 Mụn thi: Toỏn - iu kin Thi. .. minh AB 2 + AC2 = 4R2 H v tờn Thớ sinh: Ch ký ca Giỏm th 1 S bỏo danh: Ch ký ca Giỏm th 2 Trng THPT chuyờn H Ni Amsterdam K kim tra th vo lp 10 Nm hc 2009 - 2 010 Mụn thi: Toỏn - Tin Thi gian lm bi: 150 phỳt Bi I (2 im) Cho x = ( 3 + 1) 3 6 3 10 7 + 4 3 Hóy tớnh A = x 4 4x 2 + 3 x1999 Bi II (2 im) Tỡm iu kin cn v ca tham s m h phng trỡnh sau cú nghim duy nht x 2 = ( m + 2 ) y3 3y 2 +... tip xỳc vi (O) ti M Tớnh BC theo R H v tờn Thớ sinh: Ch ký ca Giỏm th 1 S bỏo danh: Ch ký ca Giỏm th 2 Trng THPT chuyờn H Ni Amsterdam Bi I (2 im) x = ( 3 + 1) 3 6 3 10 - ỏp ỏn K kim tra th vo lp 10 Nm hc 2009 - 2 010 7 + 4 3 = - 3 A = Bi II (2 im) t F(t) = (m + 2)t2 3t + m ; G(t) = (m + 2)t2 4t + m x 4 4x 2 + 3 =0 x1999 /k cn: Nu (x0 ; y0 ; z0) l mt nghim ca h thỡ (z0 ; x0 ; y0) cng l... x 2 x ( x + 1)( x + 2) 2( x 1) 2 x 2+ x ( ( 2 2 x ) )( (2 x) (2+ x) b/P>3 ) ( x + 1)( x + 2) 2( x 1) = x +1 x 1 x +1 2 x 5 5 25 >3 < 0 1< x < 1< x < 2 4 x 1 x 1 Cõu 2:Gi thi gian ngi th nht lm mt mỡnh xong vic l: x (gi) Gi thi gian ngi th 2 lm mt mỡnh xong vic l: y (gi) Nng sut ca ngi th nht l: 1/x (cụng vic) Nng sut ca ngi th 2 l: 1/y (cụng vic) Nng sut ca c 2 ngi l: 1/4 (cụng vic) Ta cú phng... ).1 + 1 + 2 x 3 y 3 = 0 ( x + y + 1) 2 0 ( x + y + 1) + 2 x 3 y 3 = 0.Do : 2 x 3 y 3 0 2 x + y +1 = 0 x = 0 PT cú nghim (0; 1) 2 x 3 y 3 = 0 y = 1 Cõu 3 Gi thi gian t I lm mt mỡnh xong cụng vic l: x (gi, x>15) Gi thi gian t II lm mt mỡnh xong cụng vic l:y (gi, y>15) Nng sut ca t I l: 1/x (cụng vic) Nng sut ca t II l: 1/y (cụng vic) Nng sut ca c 2 t l: 1/15 (cụng vic) Ta cú phng trỡnh:... x +1 ( x 1)( x + 2) x 1 t +1 2 = 1+ t 1 t 1 t = 0 x = 0 t 1 = 2 P Â 2 là bội của (t 1) t = 2 x = 4 t 1 = 1 t = 3 x = 9 b / Đ ặt t = x (t 0; t 1) P = Cõu 2: Gi thi gian vũi I chy mt mỡnh y l: x (gi) Gi thi gian vũi II chy mt mỡnh y l:y (gi) Nng sut ca vũi I l: 1/x (phn b) Nng sut ca vũi II l: 1/y (phn b) Nng sut ca c 2 vũi l: 2/3 (phn b) Ta cú phng trỡnh: 1 1 2 + = (1) x y 3 Trong... KO ( VKAM can ) R AOM = R ABM ( Sole trong ) b) Xét VOMK và VOIM có : R OMK = R OIM = 900 VOMK và VOIM Đ ồng d ạ ng Góc R KOM chung OM OK = OI.OK = OM 2 = R2 = const OI OM c) Xét VAKO và VOEB có : OA = OB = R 0 VAKO =VOEB(g c g ) OK = BE R KAO = R EOB = 90 R KOA = R EBO(Đ ồng vị ) mà OK / / MB(cm tr ê n) hay OK / / BE WOKEB chính là hbh d ) Xét trong VOKJ ta có : OE KJ ( Do KJ / / AB mà... x12 + x22 + y12 + y22 = x12 + x22 + y12 + y22 2( x1 x2 + y1 y2 ) x1 + x2 = m x1 x2 + y1 y2 = 0 mà theo Viet : x1 x2 = 1 2 y1 y2 = ( x1 x2 ) = 1 0 = x1 x2 + y1 y2 = 1 + 1 Đ PCP Cõu 4 ) Cõu 5: VABC có AB = AC a / Ta có : H là trung diểm của BC AH BC mà KB = KC nê n KH là Đư ờng trung binh của VBCN KH / /NC Mà : KH BC NC BC b / Trong tam giác vuông BNC có CK là trung tuyến nê n : CK =... hỡnh bỡnh hnh nờn 2 ng chộo O1O2 v CN ct nhau ti trung im I ca mi ng T I k è vuụng gúc vi AB ti F Gi giao im ca CK v AB l E Vỡ CK l ng kớnh v K l im chớnh gia ca cung AB nờn CK vuụng gúc vi AB ti E Xột VAEF cú : IF PCE ( AB) IF NI 1 1 = = IF = CE CE CN 2 2 C, K c nh v AB khụng i nờn E c nh nờn CE khụng i I thuc ng trung bỡnh PQ ca tam giỏc CAB Gii hn: - Nu N trựng B thỡ I trựng Q - Nu N trựng A thỡ ... Đ iểm AB VANB can N d / Các em suy nghĩ thê m nhé! Theo Côsi ta có : x + = x 2 010 + 2011 2011 x 2 010 x 2 010 (1) x +1 2011 Và x = x 2011 + 2 010 2 010 x 2011 x 2011 (2) x 2 010 1 Cộng... (2) ta có : M + ữ 2 010 2011 1 Max M = + ữ x = 4021 2 010 2011 Ht Trng THPT chuyờn H Ni Amsterdam K kim tra th vo lp 10 Nm hc 2009 2 010 Mụn thi: Toỏn - iu kin Thi gian lm bi: 120 phỳt... d, thi u vũng trũn mt lt (hai i bt k thi u vi ỳng mt trn) a) Chng minh rng sau vũng u (mi i thi u ỳng trn) luụn tỡm c ba i búng ụi mt cha thi u vi b) Khng nh trờn cũn ỳng khụng nu cỏc i ó thi