Bài tập: Học sinh tự chứng minh để tìm trường hợp đặc biệt phép quay quanh trục x, y, z) a) Phép quay tổng quát (quanh trục bất kỳ) (trùng với mục 3.4.2) Thực phép quay góc ϕ quanh trục r (vectơ r), vectơ r qua gốc tọa độ (hình 3.10) Theo sơ đồ hình vẽ, vectơ r biểu diễn: r = [ rx, ry, rz ] T Ta xây dựng ma trận quay Rot (r, ϕ) theo cách theo bước: Z Z θ θ a Quay cách rz rz a Quay cách r ry r β Y Y β rx rx X ry α X Hình 3.10: Phép quay quanh trục • Quay cách 1: Rot(r, θ) = Rot(x, -α) Rot(y, β) Rot(z, θ) Rot(y, -β) Rot (x, α) 1 = Cα -Sα Sα Cα Cβ Sβ Cϕ -Sϕ Cβ 0 S ϕ C ϕ -Sβ Cβ 0 1 Sβ -Sβ 1 0 Cβ 0 Cα -Sα Sα Cα • Quay cách 2: Rot(r, θ) = Rot(z, α) Rot(y, β) Rot(z, θ) Rot(y, -β) Rot(z, -α) Cα -Sα Cβ Sβ Cϕ -Sϕ Cβ = Sα Cα 0 Sϕ Cϕ 0 -Sβ Cβ 0 1 Sβ -Sβ Cα Sα -Sα Cα Cβ 0 Từ hình vẽ 3.10 ta có: Sinα = ry y z r +r Và đặt : Vϕ = ; Cosα = rz y ; Sinβ = rx ; Cosβ = z r +r ry2 + rz2 - Cosθ Sau nhân ma trận trên, thay giá trị sinα, cosα, sinθ, cosθ Vθ vào, rút gọn ta ma trận chuyển đổi phép quay tổng quát (2 cách kết quả): r Vθ + Cθ r r Vθ − r Sθ r r Vθ + r Sθ x Rot(r, θ ) = rx ry Vθ + rzSθ rx rz Vθ − rySθ x y z r Vθ + Cθ y ry rz Vθ + rxSθ x z y ry rz Vθ − rxSθ r Vθ + Cθ z (3.15) Chú ý : từ phép quay tổng quát suy phép quay quanh trục tọa độ Ví dụ quay quanh x góc ϕ Thay giá trị tương ứng vào (3.15) để kết phép quay : rx = ; ry = ; rz = ; Vϕ = - Cosϕ Rot(x, ϕ ) = 12 (1 − Cϕ ) + Cϕ 1.0(1 − Cϕ ) + 0Sϕ 1.0(1 − Cϕ ) − 0Sϕ Rot(x, ϕ ) = 0 1 0 Cϕ -Sϕ Sϕ Cϕ 0 0 0 1 1.0(1 − Cϕ ) − 0Sϕ 1.0(1 − Cϕ ) + 0Sϕ 02 (1 − Cϕ ) + Cϕ 0.0(1 − Cϕ ) −1Sϕ 0.0(1 − Cϕ ) + 1Sϕ 0 (1 − Cϕ ) + Cϕ 0 1 ... 0 Cϕ -Sϕ Sϕ Cϕ 0 0 0 1 1. 0 (1 − Cϕ ) − 0Sϕ 1. 0 (1 − Cϕ ) + 0Sϕ 02 (1 − Cϕ ) + Cϕ 0.0 (1 − Cϕ ) −1Sϕ 0.0 (1 − Cϕ ) + 1Sϕ 0 (1 − Cϕ ) + Cϕ 0 1 ... (3 .15 ) để kết phép quay : rx = ; ry = ; rz = ; Vϕ = - Cosϕ Rot(x, ϕ ) = 12 (1 − Cϕ ) + Cϕ 1. 0 (1 − Cϕ ) + 0Sϕ 1. 0 (1 − Cϕ ) − 0Sϕ Rot(x, ϕ ) = 0 1 0 Cϕ -Sϕ Sϕ Cϕ 0 0 0 1