SKKN Toán Lê Nam

A- ĐẶT VẤN ĐỀ I) Cơ sở lí luận: Ở trường THCS, học sinh xem việc giải toán hình thức chủ yếu hoạt động Toán học Các toán trường THCS phương tiện có hiệu thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng Toán học vào thực tiễn Hoạt động giải tập toán điều kiện để thực tốt mục đích dạy học Toán trường THCS Vì vậy, tổ chức tốt có hiệu việc dạy giải tập toán có vai trò định chất lượng dạy học Toán Trong dạy học môn Toán, tập toán sử dụng với dụng ý khác nhau, dùng để tạo tiền đề xuất phát, gợi động để làm việc với nội dung mới, để củng cố kiểm tra …Tất nhiên, việc giải tập cụ thể thường không nhằm dụng ý đơn giản mà thường bao hàm ý đồ nhiều mặt nêu Mỗi tập toán cụ thể đặt thời điểm cụ thể đó, tập chứa đựng tường minh, hay tiềm ẩn chức khác (chức dạy học, chức giáo dục, chức phát triển, chức kiểm tra, …) Những chức hướng tới việc thực mục đích dạy học Dạy học giải tập Toán trình suy luận, nhằm khám phá quan hệ lôgíc cho (giả thiết) với phải tìm (kết luận) Nhưng qui tắc suy luận chưa dạy tường minh Do đó, học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải tập Thực tiễn dạy học cho thấy với học sinh - giỏi thường tự đúc kết tri thức phương pháp cần thiết cho đường kinh nghiệm, học sinh trung bình yếu gặp nhiều lúng túng Để có kĩ giải tập phải qua trình luyện tập Tuy rằng, giải nhiều tập có kĩ Thực tế qua năm trực tiếp giảng dạy môn Toán trường THCS nhận thấy rằng: Việc luyện tập giải tập toán có hiệu quả, giáo viên biết khéo léo khai thác kết tập sang tập khác cách tương tự, nhằm vận dụng tính chất đó, nhằm rèn luyện phương pháp chứng minh Việc dạy học khai thác kết tập toán tiết luyện tập, buổi phụ đạo bồi dưỡng học sinh - giỏi, giúp học sinh đúc rút kinh nghiệm, phương pháp giải toán, để giải tập tương tự củng có kĩ quan trọng giải toán " quy lạ quen " sáng tác tập tương tự tự em đưa toán tổng quát cho dạng toán vừa thực giải Làm giàu thêm tri thức Toán học phương pháp giải toán cho Bởi lẽ xin trình bày kinh nghiệm nhỏ dạy học giải tập Toán trường THCS : "Phát triển tư cho học sinh thông qua khai thác kết số toán lớp " II) Cơ sở thực tiễn: * Tong trình dạy học toán để giúp HS khối THCS biết cách khai thác kết tập Toán bàng cách trả lời câu hỏi sau đây: - Hệ thống câu hỏi 1: + Qua tập củng cố cho ta kiến thức Toán học nào? + Từ kết tập em sáng tác tập có cách giải tương tự + Từ kết tập em đặt toán lật ngược vấn đề với toán đó? + Em nêu toán tổng quát dạng toán - Hệ thống câu hỏi 2: + Em gặp toán lần chưa ? Hay gặp toán dạng khác ? + Em có biết toán có liên quan không ? Một định lí dùng không ? + Đây toán có liên quan mà em giải Có thể sử dụng không ? Có thể sử dụng kết không ? - Từ phương pháp dạy học giải tập Toán cách khai thác sáng tác tập tương tự đây, học sinh vận dụng vào khai thác kết tập Toán sáng tác tập tương tự, tích luỹ thêm vốn kiến thức giải toán cho thân để giải toán tương tự, tích luỹ rèn luyện kĩ giải toán cho thân III Phương pháp nghiên cứu - Đọc nghiên cứu tài liệu - Trao đổi với đồng nghiệp từ buổi sinh hoạt chuyên môn - Các phương pháp phân tích tổng hợp, phương pháp suy diễn lôgic, phương pháp vấn đáp gợi mở - Phương pháp chọn lọc thử nghiệm thực tế IV Tài liệu tham khảo: - Sách giáo khoa, sách tập toán - Những vấn đề phát triển toán - Bài tập nâng cao chuyên đề Toán - 23 chuyên đề giải 1001 Toán sơ cấp phần Đại số… B PHẦN NỘI DUNG Để hình thành kĩ giải tập cho học sinh phải thông qua trình ôn luyện Tuy nhiên giải nhiều tập học sinh có kỹ giải toán Việc ôn luyện có hiệu giáo viên biết khéo léo khai thác kết toán để hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho toán mà học sinh " quy lạ quen" sáng tác toán tương tự phát biểu nên toán tổng quát Từ hình thành cho học sinh kỹ giải toán Sau đưa số toán mà trình dạy học thực hướng dẫn học sinh khai thác kết toán I Sử dụng khai thác kết toán vào tiết ôn luyện Đại số phần rút gọn biểu thức hữu tỉ chứng minh bất đẳng thức: Bài toán Với a ≠ b ≠ c, chứng minh: a + b + c = ⇔ a3 + b3 + c3 = 3abc Giải: * Chứng minh phần thuận: Từ a + b + c = => a + b =- c => (a + b) =- c3 => a3 + b3 + c3 = a3 + b3 - (a + b)3 = - 3a2b - 3ab2 = - 3ab(a + b) = - 3ab(- c) = 3abc Vậy a3 + b3 + c3 = 3abc Từ ta a + b + c = => a3 + b3 + c3 = 3abc (1) * Chứng minh phần đảo: Từ a3 + b3 + c3 = 3abc => a3 + b3 + c3 - 3abc = => a3 + b3 + 3ab(a + b)+ c3 3ab(a + b) - 3abc = => (a + b)3 + c3 - 3ab( a + b + c) = => (a + b + c)[ (a + b)2 - c(a + b) + c2] - 3ab(a + b + c) = => (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = => (a + b + c)(2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca) = => (a + b + c)[(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2] = (*) Do a ≠ b ≠ c nên (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≠ Vậy (*) xảy a + b + c = Từ ta được: a3 + b3 + c3 = 3abc => a + b + c = (2) Từ (1) (2) ta điều phải chứng minh Bài toán 1.1 Cho x3 + y3 + z3 = 3xyz Hãy rút gọn biểu thức xyz A = ( x + y )( y + z )( z + x ) Nhận xét: Ở tập 1.1 học sinh áp dung theo lối rút gọn truyền thống khó khăn em có kết toán dễ dàng thực toán cho sau: Giải: Từ kết toán ta có: x3 + y3 + z3 = 3xyz => (x + y + z)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] = x + y + z =  ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) = 2 x + y + z = ⇔  x = y = z * Nếu x + y + z = => x + y = -z, x + z = -y, y + z = - x xyz Khi A = (− z )(− y )(− z ) => A = -1 * Nếu x = y = z xyz Khi A = x.2 y.2 z => A = Bài toán 1.2: Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 a,b,c ≠ Chứng minh 1 + 3+ = abc a b c Nhận xét: Điều cần chứng minh tương tự vế sau toán để vận dung cần phải có thêm điều kiện 1 + + = , ta có cách a b c giải toán sau: Giải: Từ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 => ab + bc + ca = a, b, c # nên ta có ab + bc + ca 1 =0⇒ + + =0 abc a b c Vì 1 + + =0 a b c áp dụng kết toán ta 1 1 1 + + = = a b c abc a b c Bài toán 1.3 1 yz xz yz Cho x + y + z = Tính giá trị biểu thức B = x + y + x Giải: 1 1 1 1 xyz xyz Tính xyz Từ x + y + z = => x + y + z = x y z = xyz => x + y + z = yz xz xy => x + y + z = => B = Bài toán 1.4 Cho x + y + z = x, y, z # C = x2 y2 z2 + + x2 − y2 − z y2 − z − x2 z − x2 − y2 Giải Từ x + y + z = => x = -(y + z) => x2 - y2 - z2 = 2xy y = -(x + z) => y2 - z2 - x2 = 2zx z = -(x + y) => z2 - x2 - y2 = 2xy x2 y2 z2 x3 + y + z + + = Vậy C = yz xz xy xyz xyz m n Do x +y + z = => x3 + y3 + z3 = 3xyz => C = xyz = Bài toán2: Tìm số m, n∈ R để x( x + 1) = x + x + Cách tìm hai số m, n sau: m n m( x + 1) + nx (m + n) x + m = + ⇔ = = x( x + 1) x x + x( x + 1) x( x + 1) x( x + 1) đồng thức hai m + n =  n = −1 ⇔ m = m = vế ta có  1 Vậy ta có x( x + 1) = x − x + 1 1 Từ tổng quát lên: x( x + k ) = k ( x − x + 1) Đối với toán học sinh tiếp cận lớp với mức độ đơn giản lên lớp em áp dụng kết để tìm cách giải hợp lí cho số toán sau: Bài toán rút gọn Bài toán 2.1: Rút gọn biểu thức sau: b−c c−a a −b a,D = (a − b)(a − c) + (b − c)(b − a) + (c − a)(c − b) (a ≠ b ≠ c) x − yz y − zx z − xy + + b, E = ( x + y )( x + z ) ( y + z )( y + x) ( z + x)( z + y ) c, M = 1 1 + + + a − 5a + a − a + 12 a − 9a + 20 a − 11a + 30 Ở học sinh áp dụng phương pháp thông thường quy đồng mẫu toán phức tạp trí không giải Nhưng em có kiến thức toàn việc áp dụng giải toán đơn giản sau: a.A = 1 1 1 2 − + − + − = + + a−b a−c b−c b−a c−a c−b a−b b−c c−a x − yz x y = − b, Ta có ( x + y )( x + z ) x + z x + y y − xz y z z − xy z x = − ; = − Tương tự ta có: ( y + x)( y + z ) x + y y + z ( z + x)( z + y ) z + y z + x x y y z z x Vậy E = x + z − x + y + y + x − y + z + z + y − z + x = 1 1 + + + (a − 2)(a − 3) (a − 3)(a − 4) (a − 4)(a − 5) (a − 5)(a − 6) 1 1 1 1 = − + − + − + − a−2 a−3 a−3 a−4 a−4 a−5 a−5 a−6 1 = − a−2 a−6 −4 = (a − 2)(a − 6) M= Từ toán 2.1c giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu giải toán tổng quát: Bài toán tổng quát: Rút gọn biểu thức: 1 1 T = x + x + x + 3x + + x + x + + x + x + 12 + + x + (2n − 1) x + n − n Bài toán bất đẳng thức Bài toán chứng minh BĐT dạng toán khó chương trình toán THCS GV học sinh biết cách khéo léo lồng ghép sử dụng kiến thức biết ( kết toán bổ đề chứng minh) vào trình dạy học kết khả quan nhiều Sau xin đưa vài ví dụ minh hoạ có sử dụng kết toán Bài toán 3.1: Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ta có 1 1 1 a/ 2 + + + (2n) < 1 b/ + + + + (2n + 1) < Giải Áp dụng phương pháp làm trội sử dung kết toán a, Ta có: 1 1 < = − Nên ( n − 1).n n − n n 1 1 1 1 1 1 1 + + + ( + + + + ) < (1 + − + − + + − ) 2 = ( n) 4 2 n −1 n n = 1 2n − 1 (2 − ) = < n 4n ( n ≥ 1) => ĐPCM b, 1 1 1 1 1 + + + + < + + + = + + + = 2 2n.(2n + 2) (2n + 1) −1 −1 (2n) − 2.4 4.6 1 1 1 1 1 n = ( − + − + + 2n − 2n + ) = ( − 2n + ) = 4(n + 1) < => ĐPCM Bài toán 3.2 Chứng minh 2n + a/ N = + 36 + 144 + + n (n + 1) < b/ P = 1 1 + + + + < 3 n c/ Q = 1 1 + + + + < 12 n với n nguyên dương (n∈ N ; n ≥ 2) (n ≥ ) Cũng toán 3.1 biết cách áp dung kết toán giải toán 3.2 đơn giản nhiều so với sử dụng phương pháp khác Giải 2n + 1 a/ Nhận thấy n (n + 1) = n − (n + 1) 1 1 1 Vậy N = 1- 22 + 22 − 32 + + n − (n + 1) = − (n + 1) < => ĐPCM 1 < = 2( − ) 2 n − 2n + n 4n − b/ Vì 1 1 1 1 2n − 2 Vậy P < 2( − + − + + 2n − − 2n + 1) = 2( − 2n + 1) = 3(2n + 1) < => (ĐPCM) c/ Ta có 1 1 1  < = =  − n n − n (n − 1)n(n + 1)  (n − 1)n n(n + 1)  Do Q < 1 1 1 1  1 1    =  − + − + + − − <  2.3 3.4 3.4 4.5 ( n − 1) n ( n + 1) n   2.3 n(n + 1)  12 => (ĐPCM) Chú ý: Ngoài cách yêu chứng minh toán 3.1 3.2 cho dạng " chứng minh tổng số nguyên", cách làm tươmg tự III.Sử dụng khai thác kết toán 53 SGK tập – trang 34 Toán tiết ôn luyện Đại số phần giải phương trình: Bài toán 4: Bài tập 53 SGK – trang 34 Toán tập Giải phương trình x +1 x + x + x + + = + (3) Nhận xét: Cộng tử mẫu mối phân thức ta x + 10 Giải (3)  x +1 x+2 x+3 x+4 +1 +1 = +1 +1 10  x + 10 x + 10 x + 10 x + 10 + = +  x + 10 x + 10 x + 10 x + 10 + − − =0 1 1 1  (x+10)  + − −  = 9 6   Do  + − −  = ( − ) + ( − ) ≠ 9 6 Nên x + 10 =  x = -10 Vậy phương trình (3) có tập nghiệm S = { − 10} Áp dụng toán giáo viên hướng dẫn cho học sinh khai thác sử dụng kết vào số toán khác như: Bài toán 4.1; Giải phương trình sau: a/ 12 − x 11 − x 10 − x − x − x − x + + = + + (4) 1999 2000 2001 2002 2003 2004 b/ x + x + 3x + 20 x + 39 40 + + + + = 22 + + + + + (5) 39 39 b/ a+b− x a+c− x b+c−x 4x + + = 1− c b a a+b+c (6) (a,b,c số khác a + b + c # 0) Nếu toán học sinh áp dụng theo phương pháp giải biết chương trình SGK như: " Quy đồng hai vế - khử mẫu - chuyển vế thực giải phương trình bậc ẩn " khó khăn mẫu số lớn phức tạp Nhưng quy lạ quen giáo viên biết khéo léo khai thác toán học sinh thực cách dễ dàng sau: a PT (4) ⇔ ⇔ 12 − x 11 − x 10 − x 9− x 8− x 7−x +1+ +1+ +1 = +1+ +1+ +1 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2011 − x 2011 − x 2011 − x 2011 − x 2011 − x 2011 − x + + = + + 1999 2000 2001 2002 2003 2004 11 ⇔ ( 2011 - x).( 1 1 1 + + − − − )=0 1999 2000 2001 2002 2003 2004 1 1 1 + + − − − = 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Do 1 1 1 − + − + − >0 1999 2002 2000 2003 2001 2004 Nên ta có 2011 - x = ⇔ x = 2011 Vậy tập nghiệm phương trình (4) S1 = { 2011} b Ở toán giáo viên cho học sinh quan sát đưa nhận xét đặc điểm hai vế Từ hướng dẫn học sinh chuyển vế sử dụng tính chất kết hợp (gộp phân thức có mẫu chung) áp dụng toán vào giải PT (5) ⇔ x + x − 3x − 20 x − + + + + = 22 39 x +1 2x − 3x − 20 x − − 3) + ( − 1) + ( − 1) + + ( − 1) = 39 x − 2( x − 2) 3( x − 2) 20( x − 2) ⇔ + + + + =0 39 20  1 ⇔ ( x − 2) + + + +  = (*) 39  1 20 Do + + + + ≠0 39 ⇔( Nên (*) ⇔ x-2 = ⇔ x = Vậy PT (5) có tập nghiệm S2 = { 2} c Áp dụng câu a học sinh có phương pháp giải phương trình câu b sau: PT (6) ⇔ ⇔ a+b− x a+c−x b+c−x 4x +1+ +1+ +1 = − c b a a+b+c a + b + c − x a + b + c − x a + b + c − x 4(a + b + c − x) + + = c b a a+b+c ⇔ (a + b + c - x).( * Nếu 1 + + − )=0 a b c a+b+c 1 + + − ≠0 a b c a+b+c 12 Ta có a + b + c - x = ⇔ x = a + b + c Vậy tập nghiệm phương trình (5) S3 = { a + b + c} * Nếu 1 + + − =0 a b c a+b+c phương trình cho có vô số nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình (5) R Sau giải song toán 4.1 giáo viên yêu cầu học sinh đưa toán tương tự Từ kết phương pháp giải toán 4.1 giáo viên cho học sinh giải toán sau: Bài toán 4.2 Chứng minh tồn số a, b, c để phương trình sau có vô số nghiệm: x − ab x − ac x − bc + + = a + b + c (4) a+b a+c b+c Giải: Điều kiện xác định phương trình: a + b ≠ 0, b + c ≠ 0, a + c ≠ x − ab   x − ac   x − bc  − c +  − b +  − a =  a+b   a+c   b+c   Khi PT (4) ⇔  ⇔ x − ab − ac − bc x − ab − ac − bc x − ab − ac − bc + + =0 a+b a+c b+c 1   ⇔ ( x − ab − ac − bc) + + =0 a+b a+c b+c  Phương trình (4) vô số nghiệm ⇔  1  + +  = ,ta chọn a = 1, b = a+b a+c b+c 1  1  + + = − − =0 a+b a+c b+c 4 c = -5,  Vậy tồn số a, b, c để phương trình (4) có vô số nghiệm 13 C - KẾT LUẬN Ở trường THCS , dạy toán dạy hoạt động Toán học Giải toán vấn đề quan tâm, nghiên cứu giáo viên dạy toán nhà nghiên cứu Toán học, nhiên chưa có câu trả lời cho toán Để luyện tập khắc sâu kiến thức, tiết luyện tập, tiết phụ đạo giáo viên đề nghị học sinh tự làm tập thầy giáo Qua tập giáo viên yêu cầu học sinh khai thác kết toán vào số toán khác đề tập tương tự, xây dựng nên tập tổng quát làm phong phú thêm vốn kiến thức Toán học cho tích luỹ thêm kỹ giải toán Trong SKKN này, thân đưa kinh nghiệm nhỏ dạy học "Khai thác kết toán" để khai thác kết toán vừa giải tìm cách giải toán sáng tác tập có cách giải tương tự sử dụng kết tập giải Từ mà học sinh nắm bắt cách học tích luỹ kỹ thực hành giải toán cho thân Kết học sinh - giỏi sau làm tập tự rút cho toán tổng quát phát biểu toán tương tự nắm cách giải dạng toán Trên kinh nghiệm nhỏ thân tự rút trình giảng dạy, đề tài tiếp tục nghiên cứu năm tiếp theo, mong bạn đọc đóng góp ý kiến xây dựng cho đề tài ngày hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn! Định Tân, ngày 15 tháng năm 2011 Người viết SKKN 14 Lê Văn Nam 15 [...]... khai thác kết quả của bài toán vào một số bài toán khác và đề ra những bài tập tương tự, xây dựng nên bài tập tổng quát làm phong phú thêm vốn kiến thức Toán học cho mình và tích luỹ thêm được kỹ năng giải toán Trong SKKN này, bản thân tôi đưa ra kinh nghiệm nhỏ về dạy học "Khai thác kết quả của bài toán" để có thể khai thác kết quả của bài toán vừa giải tìm ra cách giải các bài toán mới cũng như sáng... luôn tồn tại các hằng số a, b, c để phương trình (4) có vô số nghiệm 13 C - KẾT LUẬN Ở trường THCS , dạy toán là dạy các hoạt động Toán học Giải toán như thế nào là vấn đề luôn được quan tâm, nghiên cứu của giáo viên dạy toán và các nhà nghiên cứu Toán học, tuy nhiên chưa có câu trả lời cho mọi bài toán Để luyện tập và khắc sâu được kiến thức, trong mỗi tiết luyện tập, tiết phụ đạo giáo viên đề nghị... =0 a b c a+b+c khi đó phương trình đã cho có vô số nghiệm Vậy tập nghiệm của phương trình (5) là R Sau khi đã giải song bài toán 4.1 giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra các bài toán tương tự Từ kết quả và phương pháp giải bài toán 4.1 giáo viên cho học sinh giải bài toán sau: Bài toán 4.2 Chứng minh rằng tồn tại các hằng số a, b, c để phương trình sau có vô số nghiệm: x − ab x − ac x − bc + + = a + b... quả của bài tập đã giải Từ đó mà học sinh đã nắm bắt được cách học và tích luỹ được kỹ năng thực hành giải toán cho bản thân Kết quả là học sinh khá - giỏi sau khi làm một bài tập có thể tự rút ra cho mình bài toán tổng quát và phát biểu được các bài toán tương tự và nắm chắc cách giải từng dạng toán Trên đây là một kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra trong quá trình giảng dạy, đề tài này tôi... − −  = ( − ) + ( − ) ≠ 0 1 9 1 8 1 7 1 6 1 9 1 7 1 8 1 6 Nên x + 10 = 0  x = -10 Vậy phương trình (3) có tập nghiệm S = { − 10} Áp dụng bài toán 4 trên giáo viên hướng dẫn cho học sinh có thể khai thác và sử dụng kết quả vào một số bài toán khác như: Bài toán 4.1; Giải phương trình sau: a/ 12 − x 11 − x 10 − x 9 − x 8 − x 7 − x + + = + + (4) 1999 2000 2001 2002 2003 2004 b/ x + 1 2 x + 3 3x + 5... tiếp tục nghiên cứu trong những năm tiếp theo, mong bạn đọc đóng góp ý kiến xây dựng cho đề tài ngày càng hoàn chỉnh hơn Tôi xin chân thành cảm ơn! Định Tân, ngày 15 tháng 3 năm 2011 Người viết SKKN 14 Lê Văn Nam 15 ... 2001 2004 Nên ta có 2011 - x = 0 ⇔ x = 2011 Vậy tập nghiệm của phương trình (4) là S1 = { 2011} b Ở bài toán này giáo viên cho học sinh quan sát và đưa ra nhận xét về đặc điểm của hai vế Từ đó hướng dẫn học sinh chuyển vế sử dụng tính chất kết hợp (gộp các phân thức có mẫu chung) và áp dụng bài toán 4 vào giải quyết PT (5) ⇔ x + 1 2 x − 1 3x − 1 20 x − 1 + + + + = 22 1 3 5 39 x +1 2x − 1 3x − 1 20... hằng số khác 0 và a + b + c # 0) Nếu trong bài toán này học sinh cứ áp dụng theo phương pháp giải đã biết trong chương trình SGK như: " Quy đồng hai vế - khử mẫu - chuyển vế rồi thực hiện giải như phương trình bậc nhất một ẩn " thì rất khó khăn bởi vì mẫu số hoặc là quá lớn hoặc quá phức tạp Nhưng khi quy lạ về quen và giáo viên biết khéo léo khai thác bài toán 4 thì học sinh có thể thực hiện một cách ... thức Toán học nào? + Từ kết tập em sáng tác tập có cách giải tương tự + Từ kết tập em đặt toán lật ngược vấn đề với toán đó? + Em nêu toán tổng quát dạng toán - Hệ thống câu hỏi 2: + Em gặp toán. .. tổng quát lên: x( x + k ) = k ( x − x + 1) Đối với toán học sinh tiếp cận lớp với mức độ đơn giản lên lớp em áp dụng kết để tìm cách giải hợp lí cho số toán sau: Bài toán rút gọn Bài toán 2.1:... LUẬN Ở trường THCS , dạy toán dạy hoạt động Toán học Giải toán vấn đề quan tâm, nghiên cứu giáo viên dạy toán nhà nghiên cứu Toán học, nhiên chưa có câu trả lời cho toán Để luyện tập khắc sâu