SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : Toán ( Hệ chuyên) Thời gian làm :150 phút Bài 1: (3,5 điểm) 1) Tính P = 15a - 8a 15 +16 a = + 25 - x - 10 - x = 3) Cho phương trình x2 + mx + n = Tìm m n để hiệu nghiệm phương trình hiệu lập phương nghiệm 35 2) Giải phương trình: Bài 2: (2,0 điểm) 1) Chứng minh : Nếu b số nguyên tố khác số A = 3n + + 2009b hợp số với n ∈ N 2) Tìm số tự nhiên n cho n +18n + 2020 số phương Bài 3: (1,0 điểm ) Cho x > Tìm giá trị x để biểu thức N = x ( x + 2010 ) đạt giá trị lớn Bài : (1,5 điểm) Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Gọi (O) đường tròn qua hai điểm B C Từ A kẻ hai tiếp tuyến AE, AF với đường tròn (O), (E, F tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC; FI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh : a) Hai điểm E, F nằm đường tròn cố định (O) thay đổi b) EK song song với AB Bài : (2,0 điểm) 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), với AD đường kính Biết AB = BC = cm; CD = 6cm Tính bán kính đường tròn (O) 2) Cho đường tròn (O; R) hai điểm A, B nằm bên đường tròn cho OA = 2R Tìm điểm M đường tròn (O; R) để tổng MA + 2MB đạt giá trị nhỏ - Hết Ghi : Giám thị coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh : Số báo danh Giám thị : Giám thị : SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (HỆ CHUYÊN) Tóm tắt cách giải Biểu điểm Bài (3,5 điểm) 1) (1,0 điểm) Rút gọn P P = 15a - 8a 15 +16 = (a 15) - 2a 15.4 + = (a 15 - = a 15 - Thế a = ) 0,25 điểm ( *) = + vào (*) ta được: P = 15 2) (1,0 điểm) Giải phương trình: 25 - x - 10 - x = 0,25 điểm 0,5 điểm ( 1) 25 - x ≥ x ≤ 25 ⇔ ⇒ x ≤ 10 ⇒ - 10 ≤ x ≤ 10 Điều kiện: 10 - x ≥ x ≤ 10 ( *) 0,25 điểm (1) ⇔ 25 − x = + 10 − x ⇔ 25 − x = + 10 − x + 10 − x ⇔ 10 − x = (2) Phương trình (2) có nghiệm x1 = ; x2 = −3 ( thỏa mãn với điều kiện ) Vậy nghiệm phương trình cho x1 = ; x2 = −3 0,5 điểm 0,25 điểm 3) (1,5 điểm) Điều kiện ∆ = m - 4n > Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Không tính tổng quát ta giả sử x2 > x1 x1 + x2 = −m Theo Vi-et ta có : x1x2 = n x − x = x + x − 4x x ( 1) ( ) Mặt khác : 3 x2 − x1 = ( x2 − x1 ) ( x1 + x2 ) − x1x2 25 = m − 4n m − 4n = 25 ⇔ Nên ta có : 2 m − n = 35 = m − n ( ) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm n = −6 thỏa mãn điều kiện toán m = ±1 m = 1; n = −6 Vậy giá trị cần tìm : m = −1; n = −6 0,5 điểm Giải hệ phương trình ta Bài 2: ( 2,0 điểm ) 1) (1,0 điểm) Vì b số nguyên tố khác nên b2 - M3 Ta có A = 3n + + 2009b2 = 3( n + + 669b2 ) + 2b2 - = 3( n + + 669b2 ) + 2(b2 - 1) M3 Do A > nên A hợp số với n ∈ N 2) (1,0 điểm) Để n +18n + 2020 số phương n +18n + 2020 = m m nguyên, dương, (1) ⇔ m -18n - n = 2020 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm (1) với ) ( ⇔ m - n +18n = 2020 ⇔ m - ( n + ) = 2020 -81 = 1939 ⇔ ( m - n - ) ( m + n + ) = 1939 Mà 1939 = 1939 = 277 m + n + = 1939 m + n + = 277 Nên m - n - = m - n - = m + n + = 1939 m + n = 1930 ⇔ ⇒ 2n = 1920 ⇒ n = 960 * Với m - n - = m - n = 10 m + n + = 277 m + n = 268 ⇔ ⇒ 2n = 252 ⇒ n = 126 * Với m - n - = m - n = 16 Thử lại giá trị n vừa tìm thỏa mãn đề Vậy n = 960 n = 126 số cần tìm Bài (1,0 điểm) Do x > nên N > ⇒ N lớn ⇔ nhỏ N Ta có : 2 x − 2010 ) ( ( x + 2010 ) x + 2.2010 x + 20102 = = = 4.2010 + ≥ 4.2010 N x x x dấu “ = “ xảy x = 2010 4.2010 = 8040 đạt x = 2010 N Vậy với x = 2010 N đạt giá trị lớn Giá trị lớn 8040 Suy giá trị nhỏ Bài (1,5 điểm) Vẽ hình a) Chứng minh E, F nằm đường tròn cố định (O) thay đổi 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm · Ta có AEB = ·ACE ( chắn cung EB ) E ⇒ ΔAEB : ΔACE (g-g) AE AB ⇒ = AC AE ⇒ AE = AB.AC A K B I C O Vì A, B, C cố định ⇒ AB AC không đổi Mà AE = AF ⇒ AE = AF không đổi (O) thay đổi 0,25 điểm F Vậy hai điểm E, F nằm đường tròn cố định tâm A bán kính AB.AC đường tròn (O) thay đổi b) Chứng minh EK // AB: Vì IB = IC ( giả thiết ) ⇒ OI ⊥ BC · Ta có AEO = ·AFO = ·AIO = 900 ⇒ năm điểm A, E, I, O, F thuộc đường tròn đường kính AO · » ) ⇒ AEF = ·AIF ( chắn cung AF · » ) AEF = ·EKF ( chắn cung EF · AIF = ·KIC ( đối đỉnh ) · ⇒ EKF = ·KIC ( hai góc vị trí so le ) ⇒ EK // AB Bài (2,0 điểm) 1) (1,0 điểm) Gọi R bán kính đường tròn (O); R > » = BC » ⇒ OB ⊥ AC I Do AB = BC = cm ⇒ AB Và IA = IC, ∆ ACD vuông C (nội tiếp đường tròn (O)) ⇒ OI // CD nên OI đường trung bình C CD B = cm tam giác ∆ ACD ⇒ OI = I Áp dụng đinh lý Pitago cho ∆ OIC ta có : OC2 = OI2 + IC2 ⇔ IC2 = R2 - A Mặt khác ∆ BIC vuông, ta có : ( BC2 = BI2 + IC2 ⇔ IC2 = ( Vậy R - = ) ) - ( R - 3) O 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm D 2 - ( R -3 ) ⇔ R - 3R -10 = ⇔ ( R + ) ( R - ) = Nghiệm dương phương trình R = thỏa mãn với điều kiện ban đầu Do bán kính đường tròn (O) R = 5cm 2) (1,0 điểm) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Gọi C giao điểm đoạn OA đường tròn, N trung điểm OC ON OM = = Ta có : OM OA ⇒ ∆ONM : ∆OMA ( c.g.c ) ⇒ AM = 2MN B A C 0,25 điểm M M N O Từ : MA + 2MB = 2MN + 2MB ≥ 2BN (không đổi) Vậy MA + 2MB đạt giá trị nhỏ 2BN Lúc M M0 giao điểm đoạn BN đường tròn (O; R) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Ghi chú: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải, cách giải khác cho điểm tối đa theo biểu điểm qui định -Đáp án có chỗ trình bày tóm tắt, biểu điểm có chỗ chưa chi tiết cho bước biến đổi, lập luận; tổ giám khảo cần thảo luận thống trước chấm -Điểm toàn không làm tròn số TUYẾN SINH VÀO THPT MA TRẬN THIẾT KẾ ĐỀ TOÁN CHUYÊN ( Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Phân môn Mạch kiến thức Mức độ Số học Số nguyên tố, hợp số Vận dụng Bài 2.1 CỘNG (2 câu) 1,0 Bài 2.2 Tìm số tự nhiên theo điều kiện cho trước Căn bậc hai : rút gọn tính giá trị biểu thức Đại số Nhận biết Thông hiểu 2,0 điểm 1,0 Bài 1.1 (4 câu) 1,0 Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đại số Phương trình bậc hai : Giải phương trình; điều kiện có nghiệm, nghiệm Bài 1,0 4,5 điểm Bài 1.2 1,0 Bài 1.3 họcHình Định lý Vi-et Đường tròn; yếu tố đường tròn; quĩ tích Bài 4.1a 1.5 Bài 4.1b 0,75 0,75 Bất đẳng thức, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hình học (4 câu) 1,0 Bài 3,5 điểm 1,0 câu TỔNG CỘNG Bài 4.2 2,75 điểm câu 4,25 điểm câu 3,0 điểm (10 câu) 10 điểm ... lớn ⇔ nhỏ N Ta có : 2 x − 2 010 ) ( ( x + 2 010 ) x + 2.2 010 x + 2 0102 = = = 4.2 010 + ≥ 4.2 010 N x x x dấu “ = “ xảy x = 2 010 4.2 010 = 8040 đạt x = 2 010 N Vậy với x = 2 010 N đạt giá trị lớn Giá trị... = + vào (*) ta được: P = 15 2) (1,0 điểm) Giải phương trình: 25 - x - 10 - x = 0,25 điểm 0,5 điểm ( 1) 25 - x ≥ x ≤ 25 ⇔ ⇒ x ≤ 10 ⇒ - 10 ≤ x ≤ 10 Điều kiện: 10 - x ≥ x ≤ 10 (...SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (HỆ CHUYÊN) Tóm tắt cách giải Biểu điểm Bài (3,5 điểm) 1) (1,0