SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN QUỐC HỌC Khoá ngày 24.6.2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (1,5 điểm) Xác định tham số m để phương trình ( m + 1) x − ( m − 1) x + m − = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn: ( x1 + x2 ) = x1 x2 Bài 2: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + xy + y − x − y + 2010 số thực y thay đổi Giá trị nhỏ đạt giá trị x y x, Bài 3: (2,5điểm) a) Giải phương trình : x + + − x = 1 x+ y+ x + y +4=0 b) Giải hệ phương trình : xy + + x + y - = xy y x Bài 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = 5a, CA = 4a, AB = 3a Đường trung trực đoạn AC cắt đường phân giác góc BAC K a) Gọi (K) đường tròn có tâm K tiếp xúc với đường thẳng AB Chứng minh đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Chứng minh trung điểm đoạn AK tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 5: (2,0 điểm) 65 = 26 Hãy tìm tất số (a ; b ; c) gồm chữ số hệ thập phân a , b, c đôi khác ab b = khác cho đẳng thức ca c a) Với số (6 ; ; 2), ta có đẳng thức : b) Cho tam giác có số đo góc trung bình cộng số đo hai góc lại độ dài cạnh a, b, c tam giác thoả mãn: a + b − c = a + b − c Chứng minh tam giác tam giác - HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN QUỐC HỌC Khoá ngày 24.6.2010 Môn: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Bài Nội dung Điểm (1,5đ) a ≠0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > m +1 ≠ m ≠ −1 ⇔ ⇔ (*) m Ta có: ( m − 1) m−2 =7 m +1 m +1 ⇔ ( m − 1) = ( m − ) ⇔ m = −6 Thoả mãn (*) Vậy: m = − thoả mãn yêu cầu toán ( x1 + x2 ) = x1 x2 ⇔ BÀI Ta có: P = x + ( y − ) x + y − y + 2010 y − ( y − 2) P =x+ + y − y + 2010 ÷ − 0,5 0,5 3 6023 P = ( 2x + y − 2) + y − ÷ + 4 3 6023 P≥ với x, y 0,5 x= 2 x + y − = 6023 ⇔ P= khi: y − = y = 6023 Vậy giá trị nhỏ P Pmin = đạt x = y = 3 0,25 Bài 3.a (1đ) 0,25 (2đ) 0,25 2 0,25 0,25 2(m − 1) x1 + x2 = m + x x = m−2 m + 0,25 0,25 x+3 + 5− x = + 3 ( x + 3)(5 − x)( x + + − x ) = Lập phương hai vế phương trình 3 (1), ta được: ( x + 3)(5 − x) = (2) Giải (2) thử lại tìm : x = −3, x = hai nghiệm phương trình cho Dùng (1) ta có: 0,25 (2,5đ) 0,25 0,25 0,5 3.b (1đ,5) Điều kiện : x ≠ 0; y ≠ 1 1 x + ÷+ y + ÷ = −4 x y Viết lại hệ : x + y + = ÷ ÷ x y u + v = −4 Đặt : u = x + ; v = y + , ta có hệ : y x uv = Giải : u = −2; v = −2 Giải : x = −1 ; y = −1 Hệ cho có nghiệm : (x ; y) = (−1 ; −1) 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 BÀI (2đ) B K R O I A Q C T a (1đ) 4.b (1đ) 0,25 2 Do BC = AC + AB nên tam giác ABC vuông A Đường tròn (O) ngoại tiếp ΔABC có tâm trung điểm O BC, có bán kính r = a Gọi Q trung điểm AC R tiếp điểm (K) AB KQAR hình vuông cạnh 2a Đường tròn (K) có bán kính ρ = 2a Do OK= KQ – OQ = 2a – a = a = r – ρ, nên (K) tiếp xúc với (O) 2 Gọi I trung điểm AK, nối BI cắt OQ T Ta chứng minh T thuộc đường tròn (O) 0,25 Hai tam giác IQT IRB nên QT = RB = a Vì OT = OQ + QT = a + a = r nên T thuộc đường tròn (O) Từ T trung điểm cung AC đường tròn (O) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Suy BI phân giác góc ABC Vì I tâm nội tiếp ΔABC BÀI 5 a (1đ) 5.b (1đ) (2đ) Hãy tìm tất số (a ; b ; c) gồm chữ số a , b, c khác khác ab b = cho đẳng thức: ( 1) ca c Viết lại (1): (10a + b)c =(10c + a)b ⇔ 2.5.c(a – b) = b(a – c) Suy ra: ước số b(a – c) Do nguyên tố ≤ a, b, c ≤ 9; a ≠ c nên: 1) b = 2) a - c = 3) c - a = a ⇔ 2c = + + Với b = 5: 2c(a −5) = a − c ⇔ c = c = 2a − 2a − Suy ra: 2a −9 = ; (a ≠ 5, a ≠ c) Trường hợp tìm được: (a; b; c) = (6; 5; 2), (9; 5; 1) 2c + 10c + Với a = c + 5: 2c(c + − b) = b ⇔ b = Viết lại: 2b = 2c + − 2c + 2c + Suy ra: 2c + = ; (c ≠ 0) Trường hợp tìm được: (a; b; c) = (6; 4; 1), (9; 8; 4) 2a + 10a ⇔ + Với c = a + 5: 2(a + 5)(a − b) = −b b= 2a − 9.19 Viết lại : 2b = 2a + 19 + Suy ra: b > 9, không xét 2a − + Vậy: Các số thỏa toán: (a ; b ; c) = (6 ; ; 2), (9 ; ; 1), (6; ; 1), (9 ; ; 4) Từ giả thiết số đo góc trung bình cộng số đo hai góc lại , suy tam giác cho có góc 60o Ví dụ: Từ 2A = B + C suy 3A = A + B + C = 180o Do A = 60o Từ a + b − c = a + b − c (*), suy tam giác cho tam giác cân Thật vậy, bình phương vế (*): a + b − c = a + b + c + ab − cb − ac ⇒ c c − a + b a − c = ⇒ ( ( a− c )( ) ( ) 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 ) b− c =0 Vì tam giác có a = c b = c Tam giác cho tam giác cân có góc 60o nên tam giác 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Bài 1: (2,5 điểm) a) 1+ x x + 1÷ − ÷ ÷ x x −1 Rút gọn biểu thức P = Tính giá trị biểu thức P x = − b) Cho x − y = 8, tính giá trị biểu thức A = y + 3x − y + + × x y −8 Bài 2: (2,5 điểm) a) Giải phương trình ( x + 1) x = x + x y z − − 12 = b) Giả sử hệ phương trình có nghiệm ( x; y; z ) x y z + + =1 10 Chứng tỏ x + y + z không đổi Bài 3: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y = x có đồ thị (G) Trên đồ thị (G) lấy hai điểm A, B có hoành độ −1 a) Vẽ đồ thị (G) viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A B b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) Bài 4: (3,0 điểm) a) Cho điểm P đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn Từ trung điểm B đoạn PA kẻ cát tuyến BCD (C nằm B D) Các đường thẳng PC PD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E F Chứng minh DCE = DPE + CAF tam giác PBC đồng dạng tam giác DBP b) Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB Trong tam giác ABC lấy điểm O tùy ý Gọi I, J, K hình chiếu vuông góc điểm O đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh rằng: OI + OJ + OK < BC - HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG BÀI CÂU Bài Câu a 1,75 2,50 đ đ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỐP NỘI DUNG x > 0, x ≠ ĐK: x +1 x − x +1 x −1 P= + 1÷ ÷ x x −1 x +1 ( P= )( ( )( ) ) x x −1 = x x −1 x ( ) −1 P = −1 Bài Câu a 1,50 2,50 đ đ Câu b 1,00 đ Bài Câu a 100 đ 2,0 đ y +8 =4 x 4x − y = ⇒ y = 4x − x − y + = x − 2(4 x − 8) + = x − x + 16 + = −5 x + 20 = −5( x − 4) y − = x − 16 = 4( x − 4) 11 A = 4− = 4 Điều kiện x ≥ ( ( ) ( x −2 − )( ⇔ x x −1 ) x −2 =0 ) x −2 =0 Suy ra: x − = 0, x x − = ⇔ x = 1; x = KL: Nghiệm PT x = 1; x = 3 x − y − z = 12 (1) HPT ⇔ 10 x + y + z = 30 (2) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 (2) Trừ (1): ( x + y + z ) = 18 18 KL : x + y + z = không đổi HS vẽ đồ thị y = x 0,50 Ta có: A ( −1;1) , B ( 3;3) 0,25 x+ 2 Nhận xét tam giác OAB vuông O 1 = + Hạ OH vuông góc với AB ⇒ 2 OH OA OB KL: Khoảng cách cần tìm PT đường thẳng AB: y = Câu b 1,00 đ 0,50 0,25 4x − y = ⇒ PT ⇔ x x 0,50 0,25 Khi x = − P = Câu b 0,75 đ ĐIỂM 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 Bài Câu a 1,75 đ 3,0 đ A E B O C P F sđ DCE = D 1 sđ DE, sđ DPE = sđ(DE - CF), sđ CAF = sđ CF 2 0,50 1 sđ(DE - CF + CF) = sđ DE 2 Vậy: DCE = DPE + CAF BC BA = Ta có: BA2 = BC BD ⇒ BA = BP BA BD BC BP = ; PBC = PBD Do đó: BP BD Vậy: tam giác PBC DBP đồng dạng 0,25 Do sđ(DPE + CAF) = Câu a 1,25 đ 0,25 0,25 0,25 0,25 A F F K J O E AK J M E L M B L B X I D Y X I D Y C C Vẽ tia AO, BO, CO lần l;ượt cắt BC, CA, AB D, E, F ta có: (1) OI ≤ OD ; OJ ≤ OE ; OK ≤ OF Qua O vẽ đường thẳng song song với AB AC cắt BC điểm X Y Qua X vẽ đường thẳng song song với CF cắt AB M; qua Y vẽ đường thẳng song song với BE cắt AC L Ta có kết sau: (2) OE = YL ( OELY hình bình hành); OF = XM (3) ∆OXY ≈ ∆ ABC ⇒ OX < OY < XY mà 2OD < OX+OY ⇒ OD < XY (4) ∆MBX ≈ ∆ FBC ⇒ MX < BX (vì ∆FBC có cạnh BC lớn nhất) (5) ∆LYC ≈ ∆ EBC ⇒ YL < YC (vì ∆EBC có cạnh BC lớn nhất) Từ kết suy luận ta được: OI + OJ + OK ≤ OD + OE + OF < XY + YC + XM = BC 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 HƯỚNG DẪN CHẤM: • Học sinh có lời giải khác với đáp án chấm thi có lập luận dựa vào SGK hành có kết xác đến ý cho điểm tối đa ý đó; cho điểm đến phần học sinh làm từ xuống phần làm sau không cho điểm Điểm toàn thi không làm tròn số • Điểm ý nhỏ cần thảo luận kỹ để chấm thống Tuy nhiên , điểm câu ý không thay đổi …HẾT… ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THI N HUẾ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN QUỐC HỌC Khoá ngày 24.6.2010 Môn: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Bài Nội dung Điểm (1,5đ) a ≠0 Phương... VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Bài 1: (2,5 điểm) a) 1+... ≤ OD + OE + OF < XY + YC + XM = BC 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 HƯỚNG DẪN CHẤM: • Học sinh có lời giải khác với đáp án chấm thi có lập luận dựa vào SGK hành có kết xác đến ý cho điểm tối đa ý đó;