GIÚP HỌC SINH ÔN TẬP TÍNH NHANH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Các dạng toán tính nhanh giá trị biểu thức kì kiểm tra thông thường mà thường gặp đề thi chọn học sinh giỏi toán Tuy nhiên, gặp dạng toán loại nhiều em học sinh tỏ lúng túng toán yêu cầu tính nhanh mà lại "tính chậm" Chúng ta tìm hiểu qua toán sau : Dạng Vận dụng tính chất giao hoán tính chất kết hợp phép cộng Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau: A = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 + 0,10 + 0,11 + … + 0,19 ( 19 số hạng) (Đề thi HSG lớp 5, TP Hà Nội, năm 2000) Giải: Ta có: M = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 = (0,1 + 0,9) + (0,2 + 0,8) + (0,3 + 0,7) + (0,4 + 0,6) + 0,5 = + + + + 0,5 = 4,5 N = 0,10 + 0,11 + 0,12 + 0,13 + 0,14 + 0,15 + 0,16 + 0,17 + 0,18 + 0,19 = (0,10 + 0,19) + (0,11 + 0,18) + (0,12 + 0,17) + (0,13 + 0,16) + (0,14 + 0,15) = 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29 = 0,29 x = 1,45 Vậy: A = M + N = 4,5 + 1,45 = 5,95 Dạng Vận dụng tính chất dãy số cách Ví dụ : Tính nhanh tổng sau: S = + + + + + … + 100 + 101 Giải: Cách S = + + + + + … + 100 + 101 S = 101 + 100 + 99 + 98 + 97 +…+ + Cộng vế với vế ta có: x S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + (4 + 98) + … + (100 + 2) + (101 + 1) x S = 102 + 102 + 102 + 102 + … + 102 + 102 (có 101 số 102) x S = 102 x 101 = 10 302 S = 10 302 : = 5151 Cách Viết thêm số vào tổng cho S = + + + + + +…+ 100 + 101 = (0 + 101) + (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51) = 101 + 101 + 101 + … + 101 Tổng có 102 số hạng nên số cặp ghép là: 102 : = 51 (cặp) Vậy S = 101 x 51 = 5151 Cách Viết thêm số 102 vào tổng cho S = + + + + + … + 100 + 101 S + 102 = + + + + + … + 100 + 101 + 102 S + 102 = (1 + 102) + (2 + 101) + (3 + 100) + … + (51 + 52) S + 102 = 103 + 103 + 103 + … + 103 S + 102 = 103 x 51 = 5253 S = 5253 - 102 = 5151 Cách Tách số hạng đứng S = + + + + + … + 100 + 101 S = + (2 + 101) + (3 + 100) + (4 + 99) + … + (51 + 52) S = + 103 + 103 + 103 + … + 103 S = + 103 x 50 = + 5150 = 5151 Cách Tách số hạng cuối đứng S = + + + + + … + 100 + 101 S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51) + 101 S = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 S = 101 x 50 + 101 = 101 x 51 = 5151 Cách Tách riêng số hạng đứng S = + + + + + … + 100 + 101 S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + … + (50 + 52) + 51 S = 102 + 102 + 102 + … + 102 + 51 = 102 x 50 + 51 = 5100 + 51 = 5151 Dạng Vận dụng tính chất giao hoán tính chất kết hợp phép nhân Ví dụ : Tính nhanh: B = x x 125 x x x 25 Giải: B = x x 125 x x x 25 B = (5 x 2) x (8 x 125) x (4 x 25) = 10 x 1000 x 100 = 000 000 Dạng Vận dụng quy tắc nhân số với tổng Ví dụ : Tính cách nhanh nhất: 241,324 x 1999 + 241,324 (Đề thi HSG lớp 5, tỉnh Hà Tĩnh, năm 2002) Giải: 241,324 x 1999 + 241,324 = 241,324 x 1999 + 241,324 x = 241,324 x (1999 + 1) = 241,324 x 2000 = 482 648 Dạng Vận dụng quy tắc nhân số với hiệu Ví dụ : Cho A = 1993 x 427 B = 477 x 1993 Tính hiệu B - A mà không tính riêng tích A tích B (Thi HSG lớp toàn quốc, năm học 1992 - 1993) Giải: B - A = 477 x 1993 - 1993 x 427 =1993 x (477 - 427) = 1993 x 50 = 99 650 Dạng Vận dụng tính chất "a x = 0" Ví dụ : Tính giá trị biểu thức: (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x (1 + 1 : - ) 2 (Thi HSG lớp TP Hà Nội, năm 2000) Giải: 1 1 :1 -1 =1+ : -1 2 2 1 1 = + x - = 1+ - = - = 3 3 3 Ta có: + Vậy: (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x (1 + 1 : - ) = (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x = 2 Dạng Vận dụng tính chất "0 : a = 0" (với a khác 0) Ví dụ : Tính nhanh: ( 1 1 : 0,5 - : 0,25 + : 0,125 : 0,1) : (1 + + + + 2006 + 2007 + 2008) 10 1 1 1 1 1 1 Giải: Ta có: : 0,5 - : 0,25 + : 0,125 : 0,1 = : - : + : : = 10 2 4 8 10 10 1 1 - + - = Vậy: ( : 0,5 - : 0,25 + : 0,125 : 0,1) : (1 + + + + 2006 + 10 2007 + 2008) = : (1 + + + + 2006 + 2007 + 2008) = Dạng Sử dụng phương pháp khử liên tiếp Ví dụ : Tính nhanh tổng sau: 1 1 + + + + 1x 2 x3 3x4 2007 x 2008 1 1 1 1 1 Ta có: =1- ; = - ; = - ; ; = 1x 2 x3 3x4 2007 x 2008 2007 2008 A= Vậy ta có: 1 1 1 1 1 1 ) + ( - ) + ( - ) + + ( ) = - + - + - + + 2 3 2007 2008 2 3 1 2007 =1= 2007 2008 2008 2008 A = (1 - Dạng Nhóm số lại với để có kết Ví dụ : Tính giá trị biểu thức: A = 181 + - - + + - - + 10 + 11 - 12 - 13 + 14 + 15 - 16 - 17 + 18 + 19 Ta nhóm lại sau: A = 181 + (3 - - + 6) + (7 - - + 10) + (11 - 12 - 13 + 14) + (15 - 16 - 17 + 18) + 19 = 181 + + + + + 19 = 200 Dạng 10 Đưa dạng toán "Tìm thành phần chưa biết phép tính Ví dụ : Tính nhanh: 1 1 1 + + + + + 16 32 64 128 (Thi HSG lớp tỉnh Bắc Giang, năm 2001) Giải: Đặt: S= 1 1 1 + + + + + 16 32 64 128 Cùng nhân vế với ta được: Sx2=( 1 1 1 1 1 1 + + + + + )x2= + + + + + 16 32 64 128 16 32 64 Ta thấy S S x khác hai số hạng đầu cuối Vậy: S x - S = 1 128 Từ ta tính được: S = 63 128 Chúc em học giỏi ! ... 13 + 14) + (15 - 16 - 17 + 18) + 19 = 181 + + + + + 19 = 200 Dạng 10 Đưa dạng toán "Tìm thành phần chưa biết phép tính Ví dụ : Tính nhanh: 1 1 1 + + + + + 16 32 64 128 (Thi HSG lớp tỉnh Bắc Giang,... Vận dụng tính chất giao hoán tính chất kết hợp phép nhân Ví dụ : Tính nhanh: B = x x 125 x x x 25 Giải: B = x x 125 x x x 25 B = (5 x 2) x (8 x 125) x (4 x 25) = 10 x 1000 x 100 = 000 000 Dạng Vận... 1998 x 1997) x (1 + 1 : - ) = (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x = 2 Dạng Vận dụng tính chất "0 : a = 0" (với a khác 0) Ví dụ : Tính nhanh: ( 1 1 : 0,5 - : 0,25 + : 0,125 : 0,1) : (1 + + + + 2006