Phòng giáo dục đào tạo tÂN Kỳ Đề thi học sinh giỏi lớp Năm học : 2010 2011 Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề) Môn thi : Toán Đề thức Đề Bài ( 3điểm) Cho a,b,c số thoả mãn : a+bc b+ca c+ab = = c a b c a b Tính giá trị biểu thức: P= + + + a b c Phân tich đa thức sau thành nhân tử: 10a 17 a a + Bài (5điểm) Tìm x,y nguyên dơng thoã mãn phơng trình : xy 4x = 35 5y Chứng minh : ( a + b + c ) ( a + b + c ) M 24 a; b ; c ; tính chẵn lẻ 3, Cho 4x 3y = Tìm giả trị nhỏ biểu thức: M = 2x2 +5y2 Bài (4 điểm) Giải phơng trình: x x + + x = 2 2 x + ữ + x + 12 ữ x + 12 ữ x + ữ = ( x + 4) x x x x Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vuông góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM GB HD Tia AM cắt BC G Chứng minh: = BC AH + HC Bài (4 điểm) Một hình vuông hình tam giác Nếu hai hình có diện tích hình có chu vi lớn Cho số a; b; c thoả mãn : a + b + c = Chứng minh : a2 + b2 + c2 Phòng giáo dục đào tạo TÂN Kì Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp Năm học : 20010 2011 Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề) Môn thi : Toán Đề bài: Bài ( 3điểm) Câu1 ( 2điểm) Từ giả thiết ta suy ra: a+bc b+ca c+ab +2= +2= +2 c a b a+b+c b+c+a c+a+b = = c a b a + b b + c c + a ( c )( a )( b ) *Nếu : a+b+c=0 P = = = c b c abc *Nếu : a+b+c a=b=c P=2.2.2=8 (1,5 đ) (1,5đ) Câu 2: (1điểm) Ta có: 10a 17 a a +2 =10a 20a +3a 6a a +2 =10a ( a ) +3a ( a ) ( a ) = ( a )(10a +3a ) = ( a )( 2a +1)(5a 1) Bài 2: (4điểm) Câu 1(2điểm) : Ta có xy 4x = 35 5y x(y - 4) + 5y 20 = 15 x(y - 4) + 5(y - 4) = 15 (y - 4) (x+5) = 15 15 = 1.15 = = (-1)(- 15) = (-3)(- 5) Do x nguyên dơng nên x + > mà 15( x +5) x+5 Là ớc 15 x+5 =15 x= 10 y = y = Vởy nghiệm nguyên dơng phơng trình (x, y) = (10 , 5) Câu 2(2điểm) : Ta có ( a + b + c ) a + b3 + c biến đổi thành = 3(a+b)(b +c)(c +a) Khi a, b , c tính chẵn lẻ : + Với a lẻ b , c lẻ Nên a +b ; b +c ; c +a số chẵn a + b M2 b + c M2 (a +b)(b +c)(c +a) M8 c + a M2 Vậy (a +b)(b +c)(c +a) M8 + Với a chẵn b , c chẵn Nên a +b ; b +c ; c +a số chẵn a + b M2 b + c M2 (a +b)(b +c)(c +a) M8 c + a M2 Vậy (a +b)(b +c)(c +a) M8 ( ) Do với a, b , c tính chẵn lẻ : ( a + b + c ) ( a + b + c ) M 24 + 3y Câu ( 1điểm) Ta có x = Khi M = ( + y ) + y 64 49 y + 42 y + 49 M = - Biến đổi 2 ( y + 3) + 40 ( y + 3) M = = +5 8 y = Do (7y+3)2 suy M Vởy MMin = x = 10 Bài (4 điểm) Giải phơng trình: Câu (2điểm ) x x + + x = (1) + Nếu x : (1) ( x 1) = x = (thỏa mãn điều kiện x ) + Nếu x < : (1) x x + = x x ( x 1) = ( x 1) ( x ) = x = 1; x = (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có nghiệm x = 2 2 Câu ( 2điểm) x + ữ + x + 12 ữ x + 12 ữ x + ữ = ( x + ) (2) x x x x Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x 2 1 (2) x + ữ + x + ữ x + ữ x + ữ = ( x + ) x x x x 1 2 x + ữ x + ữ = ( x + ) ( x + ) = 16 x x x = hay x = x Vậy phơng trình cho có nghiệm x = 4,0 4.1 CDE CAB đồng dạng) 4.2 + Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung CD CA (Hai tam giác vuông = CE CB Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) ã Suy ra: BEC = ãADC = 1350 (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) Nên ãAEB = 450 tam giác ABE vuông cân A Suy ra: BE = AB = m BM BE AD Ta có: (do BEC : ADC ) = ì = ì BC BC AC mà AD = AH (tam giác AHD vuông vân H) BM AD AH BH BH (do ABH : CBA ) = ì = ì = = BC AC AC AB BE ã ã Do BHM : BEC (c.g.c), suy ra: BHM = BEC = 1350 ãAHM = 450 Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM phân giác góc BAC GB AB AB ED AH HD Suy ra: , mà = = ( ABC : DEC ) = ( ED // AH ) = GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó: = = = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC Gọi cạnh hình vuông x , cạnh tam Giác a, b, c có đờng cao ứng với cạnh a Đặt diện tích hai hinh S Ta có : S =x = a.ha x Vì b > ; c> nên b +c > 2.ha a + b + c > a + 2.ha áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có : a + 2.ha a.2ha mà a.ha =2S nên 4.3 Bài Câu 2điểm a + b + c > S = S mà S = x Vậy a +b +c > x Điều chứng tỏ chu vi tam giác lớn chu Vi hình vuông c b a Câu (2điểm) Ta có: a ữ a a + a + a 4 Tơng tự ta có: b2 + b c2 + c Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta đợc: 3 a + b + c + a + b + c Vì a + b + c = nên: 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ( Điều phải chứng minh) Dấu = xảy a = b = c = a2 + b2 + c ... + ữ = ( x + ) ( x + ) = 16 x x x = hay x = x Vậy phơng trình cho có nghiệm x = 4,0 4.1 CDE CAB đồng dạng) 4.2 + Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung CD CA (Hai tam giác vuông = CE CB Do... Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM phân giác góc BAC GB AB AB ED AH HD Suy ra: , mà = = ( ABC : DEC ) = ( ED // AH ) = GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó: = = = GC HC GB + GC HD + HC