UBND HUYỆN CHÂU THÀNH Phòng Giáo dục & Đào tạo CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 2: (Học sinh không phải chép đề vào giấy thi) Bài 1) (3đ): 2009 2008 Cho biểu thức A=2(9 9 . 9 1) Chứng minh rằng A bằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp + + + + Bài 2) (4đ): )Rút gọn 4 10 2 5 4 10 2 5 )Tìm x để biểu thức sau có giá trò nhỏ nhất, tìm giá trò nhỏ nhất đó 2009 a B b C x x = + + + − + = − − Bài 3) (4đ) 3 3 3 2 2 2 )Chứng minh rằng nếu 0 thì 0 )Áp dụng tính chất trên để tính giá trò của biểu thức sau với 0 1 1 1 nếu biết 0 a a b c a b c abc b x y z xy xz yz D z y x x y z + + = + + − = × × ≠ = + + + + = Bài 4) (3đ) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 3 a b c E b c a a c b a b c = + + ≥ + − + − + − Bài 5) (3đ) Cho tam giác đều ABC từ 1 điểm M thuộc miền trong tam giác kẻ MH, MK, ML vuông góc với cạnh AB, BC , AC và có độ dài lần lượt là x, y, z. Gọi H là độ dài đường cao tam giác đều Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 3 x y z h+ + ≥ Bài 6) (3đ) Cho tam giác ABC (AB < AC) M là 1 điểm trên cạnh BC vẽ BI ⊥ AM, CK ⊥ AM. Xác đònh vò trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK nhỏ nhất. ---*--- HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009 Môn thi : TOÁN 9 Đề số 2: Bài 1: (3đ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2009 2008 2009 2008 2009 2008 2010 2 1005 1005 1005 1005 1005 2 9 9 . 9 1 4 8 9 9 . 9 1 4 9 1 9 9 . 9 1 4 9 1 9 1 4 9 1 9 1 9 1 ; 9 1 là hai số chẵn liên tiếp 4 2. .2 1 1 4 A A A A A A vì k k nên A k k vớ = + + + + ⇒ = + + + + = − + + + + = − − ⇒ = − + = − + + = = + * i k N∈ Bài 2: (4đ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ) 4 10 2 5 4 10 2 5 4 10 2 5 4 10 2 5 2 4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 16 10 2 5 8 2 6 2 5 8 2 5 1 8 2 5 1 6 2 5 6 2 5 5 1 a Rútgọn B B B B B B B B B = + + + − + ⇒ = + + + − + + + + − + = + − + = + − = + − = + − = + ⇒ = + = + 2 2 ) 2009 2009 1 3 2009 2009 2008 4 4 1 3 3 2009 2008 2008 2 4 4 1 " " 2009 0 2 1 2009 2 1 0 2 1 2009 4 1 2009 2 b C x x điềukiện x C x x x Dấu xảyra x x x x = − − ≥ = − − − + + = − − + ≥ ÷ = ⇔ − − = ⇔ − = ≥ ⇔ ⇔ = − = ÷ Vậy giá trò nhỏ nhất của C là 3 1 2008 2009 4 4 x⇔ = Bài 3: (4đ): a) Chứng minh rằng nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 thì 3 0 từ 0 3 3 Thay 3 0 a b c a b c abc a b c a b c a b c a b ab b a c a b abc c a b c a b c abc + + = + + − = + + = ⇒ + = − ⇒ + = − ⇒ + + + = − ⇒ + − = − + = − ⇒ + + − = 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 ) 0 theo câu a ta có 1 1 1 1 1 1 3 . . 0 2 2 1 1 1 3 do đó 1 1 1 3 = b Vì x y z x y x y x y z xyz xy xz yz xyz xyz xyz D z y x z y x xyz xyz x y z xyz + + = + + − = ÷ ÷ ÷ ⇒ + + = = + + = + + + + = = ÷ 3 Vậy 3D = Bài 4: (3đ): a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh rằng 3 Đặt 2 2 2 a b c E b c a a c b a b c x y b c a x c x z a c b y b y z a b c z a = + + ≥ + − + − + − + + − = = + + − = ⇒ = + + − = = ⇒ ( ) 2 2 2 1 2 1 = 2 1 2 2 2 3 (Áp dụng bất đẳng thức côsi) 2 3 y z x z x y E x y z y z x z x y x x y y z z y x z x z y x y x z y z E + + + = + + = + + + + + ÷ + + + + + ÷ ÷ ÷ ≥ + + = ⇒ ≥ Bài 5: (3đ): ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Gọi cạnh của đều ABC là a ta có: S 2 mà: 2 2 2 2 ABC BMC AMC AMB S S S ah ax ay az h x y z h x y z h x y z xy xz yz x y xy y z yz x z xz x y z xy xz yz h x y z xy x = + + ⇒ = + + ⇒ = + + ⇒ = + + = + + + + + + ≥ + ≥ + ≥ ⇒ + + ≥ + + ⇒ = + + + + V V V V V ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 z yz x y z x y z h x y z x y z h + ≤ + + + + + ⇒ ≤ + + ⇒ + + ≥ Bài 6: (3đ): Vẽ đường cao AH ta có: ( ) ( ) AH 1 1 . . 2 2 1 2 2 Vậy M . . Khi AM BC M là chân đường cao vẽ từ A đến cạnh BC ABM ACM ABC ABC ABC ABC S S S AM BI AM CK S AM BI CK S S BI CK BC AH BI CK BC ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ + = + = + = ⇒ + = = + = ⇒