Ổn định hầu chắc chắn đối với hệ MJLS

TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON HONG TH Lí N NH HU CHC CHN I VI H MJLS KHểA LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Ngi hng dn khoa hc ThS Nguyn Trung Dng H Ni - 2015 LI CM N Trc ht cho tụi by t lũng cm n sõu sc n thy giỏo Nguyn Trung Dng ó ht lũng giỳp , ng viờn tụi sut quỏ trỡnh nghiờn cu ti Tụi cng xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo khoa v cỏc bn sinh viờn ó úng gúp cho tụi nhng li khuyờn b ớch Trong quỏ trỡnh nghiờn cu khụng trỏnh nhng sai sút Vỡ vy tụi rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca bn c bi vit ca tụi c hon thin hn H Ni, ngy 03 thỏng nm 2015 Sinh viờn Hong Th Lý LI CAM OAN Khúa lun tt nghip "n nh hu chc chn ca h MJLS" c hon thnh s c gng, n lc tỡm hiu, nghiờn cu ca bn thõn cựng vi s giỳp tn tỡnh ca thy Nguyn Trung Dng Tụi xin cam oan khúa lun tt nghip ny khụng trựng lp vi kt qu ca cỏc tỏc gi khỏc H Ni, ngy 03 thỏng nm 2015 Sinh viờn Hong Th Lý M U Lý chn ti H MJLS (Markov Jump Linear System) l mt nhng lp h lai (hybrid) ca lý thuyt iu khin, ú cỏc nỳt (mode) c iu khin bi xớch Markov H MJLS thng c s dng lm mụ hỡnh cho cỏc h vt lý cú u vo ngu nhiờn, nhng h cú s sa cha, hng húc, Chớnh vỡ th, nghiờn cu tớnh n nh ca h MJLS úng vai trũ vụ cựng quan trng i vi quỏ trỡnh nghiờn cu lý thuyt cỏc h ng lc Trờn c s ú cựng vi s nh hng ca Thc s Nguyn Trung Dng, tụi chn ti: n nh hu chc chn ca h MJLS lm ti khúa lun tt nghip Mc ớch nghiờn cu - Tỡm hiu cỏc khỏi nim n nh hu chc chn, n nh hu chc chn m - Tỡm hiu cỏc tiờu chun n nh hu chc chn, hu chc chn m i vi h MJLS Nhim v nghiờn cu - Trỡnh by kin thc v h MJLS - Trỡnh by mt s tiờu chun n nh hu chc chn ca h MJLS i tng v phm vi nghiờn cu - i tng nghiờn cu: Kin thc v h MJLS - Phm vi nghiờn cu: Tiờu chun n nh hu chc chn v hu chc chn m ca h Cu trỳc khúa lun Ngoi phn m u, kt lun, danh mc ti liu tham kho thỡ khúa lun bao gm chng: Chng 1: Mt s kin thc c s Chng 2: Tiờu chun n nh hu chc chn v hu chc chn m Mc lc Chng Mt s kin thc c s 1.1 Xớch Markov 1.1.1 nh ngha v vớ d 1.1.2 Ma trn xỏc sut chuyn 1.1.3 Phõn phi ban u 1.2 Xớch Markov cú hu hn trng thỏi 1.3 H MJLS 11 1.3.1 Mụ hỡnh 1.3.2 Mt s khỏi nim n nh 11 11 1.4 Mt s bt ng thc ma trn tuyn tớnh 12 Chng Tiờu chun n nh hu chc chn v hu chc chn m 13 2.1 Tiờu chun n nh hu chc chn 13 2.1.1 Tiờu chun n nh hu chc chn 2.1.2 Vớ d 13 21 2.2 Tiờu chun n nh hu chc chn m 22 2.2.1 Thi gian ch v s ln chuyn ca mt xớch Markov 2.2.2 Tiờu chun n nh hu chc chn m 2.2.3 Vớ d 23 25 30 Chng Mt s kin thc c s 1.1 Xớch Markov 1.1.1 nh ngha v vớ d Cho {k , k Z+ } l mt dóy cỏc bin ngu nhiờn xỏc nh trờn khụng gian xỏc sut (, A , P) nhn giỏ tr m c E Tp hp E c gi l khụng gian trng thỏi, cỏc phn t ca E c kớ hiu l i, j, k, (cú ch s hoc khụng) nh ngha 1.1.1 Ta núi rng {k , k Z+ }l mt xớch Markov ri rc v thun nht nu P{n+1 = j|n = i, n1 = in1 , , = i1 , = i0 } = P{n+1 = j|n = i}, n Z+ v i0 , i1 , , in1 , i, j E Vớ d 1.1.1 Cho , , , n , l dóy bin ngu nhiờn (i lng ngu nhiờn) ri rc, c lp, Ek l hp cỏc giỏ tr ca k , Ek hu hn hay m c (k = 0, 1, , n, ).t E = k=0 Ek , rừ rng E l hp khụng quỏ m c Khi ú, ta thy P{n+1 = j|0 = i0 , , n1 = in1 , n = i} = P{n+1 = j} = P{n+1 = j|n = i} vi i0 E0 , i1 E1 , , in1 En1 , En , j En+1 Nh th, {n ; n = 0, 1, 2, } l xớch Markov Vớ d 1.1.2 Cho , , , n , l dóy bin ngu nhiờn (i lng ngu nhiờn) ri rc, c lp, nhn cỏc giỏ tr l nhng s nguyờn t Xn = + + + + n (n = 1, 2, ) Ta cú P{Xn+1 = j|0 = i0 , X1 = i1 , , Xn1 = in1 , Xn = i} = P{Xn + n+1 = j|0 = i0 , = i1 i0 , , n = i in1 } = P{n+1 = i j|0 = i0 , = i1 i0 , , n = i in1 } = P{n+1 = i j} v P{Xn+1 = j|Xn = i} = P{Xn + n+1 = j|Xn = + + + + n1 + n = i} = P{n+1 = j i|Xn = + + + + n1 + n = i} = P{n+1 = i j} Vy {Xn , n Z+ } l mt xớch Markov 1.1.2 Ma trn xỏc sut chuyn Cho {n , n Z+ } l mt xớch Markov thun nht vi khụng gian trng thỏi E t pi j = P(n+1 = j|n = i), i, j E Khi ú, pi j c gi l xỏc sut chuyn trng thỏi ca h t trng thỏi i thi im n(hin ti) sang trng thỏi j thi im n + 1(tng lai) Nu t cỏc bin c A = (n+1 = j), B = (n = i),C = (0 = i0 , , n1 = n1 ) thỡ tớnh Markov cú ngha l P(A|B) = P(A|BC) Theo cụng thc xỏc sut cú iu kin ta cú P(ABC) P(BC) ì P(A|BC) = P(B) P(B) P(B) ì P(C|B) ì P(A|B) = P(B) P(AC|B) = = P(C|B) ì P(A|B) T ng thc trờn, ta thy rng quỏ kh v tng lai c lp vi cho trc hin ti Kớ hiu ma trn P = (pi j ) Ma trn P c gi l ma trn xỏc sut chuyn sau bc Chỳ ý rng t cụng thc xỏc sut y ta cú ma trn P = (pi j ) cú cỏc tớnh cht: pi j 1, i, j E pi j = 1, i E jE Xỏc sut chuyn sau n bc c nh ngha theo cụng thc: (n) pi j = P(n+m = j|m = i) = P(n = j|0 = i) õy l xỏc sut h ti thi im ban u trng thỏi i, sau n bc chuyn sang (1) trng thỏi j Ta cú, pi j = pi j Chỳng ta quy c (0) pi j = 1, nu i = j, 0, nu trỏi li (n) v t P(n) = (pi j ) Ma trn P(n) c gi l ma trn xỏc sut chuyn sau n bc T cụng thc xỏc sut y v t tớnh Markov ta cú: P(n+1) = P P(n) , P(n+1) = P(n) P, P(n+m) = P(n) P(m) , P(n) = Pn 1.1.3 Phõn phi ban u nh ngha 1.1.2 Phõn phi ca xớch ti thi im n c cho bi cụng thc sau: (n) p j = P(n = j); n = 0, 1, 2, ; j E (n) t (n) = (p j , j E) v gi = (0) l phõn phi ban u ca xớch (n) Chỳng ta quy c, vit ((n) ) = (p j , j E) l vộc t hng Khi ú ta cú (n) = .P(n) (n+1) = (n) P (n+1) = (1) P(n) (n+m) = (n) P(m) Phõn phi ban u c gi l dng nu (n) khụng ph thuc vo n tc l = (n) hay = P Nh vy, mụ hỡnh ca xớch Markov ri rc v thun nht l b ba (n , , P), ú (n ) l dóy cỏc bin ngu nhiờn ri rc l phõn phi ban u ca xớch P l ma trn xỏc sut chuyn 1.2 Xớch Markov cú hu hn trng thỏi nh lý 1.2.1 (Ergodic) Gi s P = (pi j ) l ma trn xỏc sut chuyn ca xớch Markov (n ) cú khụng gian trng thỏi hu hn E = {1, 2, ã ã ã , N} Nu P chớnh quy theo ngha: tn ti n0 cho (n ) pi j > i, j (1.2.1) thỡ tn ti cỏc s , ã ã ã , N cho N j > 0, j = 1, (1.2.2) (n) (1.2.3) j=1 v vi mi j E lim pi j = j n Ngc li, nu tn ti cỏc s , ã ã ã , N tha cỏc iu kin (1.2.2) v (1.2.3) thỡ tn ti cỏc nghim tha (1.2.1) (xkT P(k1 )xk ) cỏc chng minh trc Khi ú V (x, i) = E{V (xk+1 , k )|xk = x, k+1 = i} V (x, i) ì E{[xkT H T (k )P(k )xk ] /2 (xT P(i)x) /2 } N = pi j [xT H T ( j)P( j)H( j)x] /2 (xT P(i)x) /2 j=1 T nhn xột trờn, ta thu c kt qu sau nh lý 2.1.2 Nu tn ti cỏc ma trn xỏc nh dng P(1), P(2), ã ã ã , P(N) cho N max ||x||2 =1 j=1 xT H T (i)P( j)H(i)x xT P(i)x pi j < 1, i N (2.1.9) thỡ h (2.1) l n nh hu chc chn H qu sau õy s cho ta mt tiờu chun kim tra d dng hn tớnh n nh H qu 2.1.4 Nu tn ti cỏc ma trn xỏc nh dng P(1), P(2), ã ã ã , P(N) cho N max (H T ( j)P( j)H( j)P1 ( j)) pi j < 1, i N (2.1.10) j=1 thỡ (2.1) l n nh hu chc chn H qu 2.1.5 Nu tn ti mt ma trn khụng suy bin M cho P(log ||MH(1)M ||2 , ã ã ã , log ||MH(N)M ||2 )T c xỏc nh t cỏc bt ng thc ma trn sau H T Qi Hi < i Qi Q j i j Qi , i,j = 1, 2, ã ã ã , N, i = j Chng minh Chn hm Lyapunov V (k) = xkT Q( (k))xk Xột mt dóy chuyn ã ã ã (sl1 1) = (sl1 ) = (sl1 + 1) = ã ã ã (sl 1) = (sl ) = ã ã ã (k 1) = (k) Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s h chuyn l ln (0, k] Cỏc thi im chuyn c kớ hiu bi sl , sl1 , ã ã ã mt chui thi gian gim Do vy, vi thi im k dóy chuyn trờn, t bt ng thc ma trn H T Qi Hi < i Qi Q j i j Qi , ta cú V (k) = xkT Q( (k))xk = xkT Q( (k 1))xk T = xk1 AT ( (k 1))Q( (k 1))A( (k 1))xk1 T < ( (k 1))xk1 Q( (k 1))xk1 = ( (k 1))V (k 1) 26 Bi vỡ, (k 1) = (k) = ã ã ã = (sl ), ( (k 1))V (k 1) ta cú th vit li nh sau ( (sl))V (k 1) Ta thy rng, khụng cú dóy chuyn no [s1 , k], ú V (k) < ( (sl ))V (k 1) < ( (sl ))2V (k 2) < ã ã ã < ksl ( (sl ))V (sl ) Khi ú, lu ý rng (sl1 ) = (sl1 ) = (sl1 + 1) = ã ã ã = (sl 1) = (sl ) v t bt ng thc ma trn trờn ta cú V (sl ) = xsTl Q( (sl ))xsl à( (sl 1) (sl ))xsTl Q( (sl 1))xsl = à( (sl 1) (sl ))xsTl AT ( (sl 1))Q( (sl 1))A( (sl 1))xsl < à( (sl 1)) (sl ) ( (sl 1))V (sl 1) p dng quỏ trỡnh tng t, ta cú V (k) < ksl ( (sl ))V (sl ) < ksl ( (sl ))à( (sl 1) (sl ))V (sl 1) < ksl ( (sl ))à( (sl 1) (sl )) sl sl1 ( (sl 1))V (sl1 ) (k) Ni=1, j=1,i= j T Nj=1 ( j j )V (0) (i) Kớ hiu (k) q(k) = Ni=1, j=1,i= j T Nj=1 ( j j ) Khi ú, (i) cú th vit li nh sau: V (k) < q(k)V (0) Mt khỏc, thi im k bt kỡ v vi bt kỡ iu kin ban u x0 , ta cú Q( (k) xkT xk < xkT Q( (k))xk = V (k) < q(k)V (0) q(k)max Q( (0)) x0T x0 27 Khi ú, ta thy EF ||xk || ln < EF ln ||x0 || max Q( (0)) q(k) Q( (k)) < (EF ln q(k) + EF ln max Q( (0) EF ln (Q( (k))) (ii) Vỡ f (x) = ln(x) l mt hm lừm, v da trờn bt ng thc Jensen, suy EF [ln max Q( (0)] ln EF max Q( (0)) N = ln fi max (Qi ) i=1 EF ln (Q (k) ) ln EF Q( (0)) N pki , (Q ) i i=1 = ln (iii) v N EF ln q(k) = (k) (EF [ni j ] ln ài j ) + N (k) (EF [Tj ] ln j ), j=1 i=1, j=1,i= j (k) ú, pi l xỏc sut m trng thỏi i kớch hot ti thi im k (k) Thay pi = i + cT Pk1 pi vo (iii) ta c EF ln N i + cT Pk1 pi max (Qi ) i=1 Q( (k)) ln Do ú, EF ||xk || ln < ||x0 || N (k) (EF [ni j ] ln ài j ) i=1, j=1,i= j N N i + cT Pk1 pi + fi max (Qi ) + ln (Qi ) j=1 i=1 28 k (k) EF [T j ] = j k + cT ( Pi1 )p j i=1 k (k) T EF [ni j ] = i pi j k + pi j c ( Pi1 )pi + ci pi j , i i=1 =j vo bt ng thc trờn ta thu c: EF ln ||xk || < kg1 + g2 (k) + g3 + EF ln ||x0 || nh lớ c chng minh nh lý 2.2.2 Xột h MJLS, nu tn ti cỏc ma trn Qi > v cỏc hng s i , ài j cho H T Qi Hi i Qi < 0, Qj i j Qi , N N i pi j ln ài j + i ln i < 0, (iv) i=1 i=1, j=1,i= j ú, i, j = 1, 2, ã ã ã , N, i = j thỡ h l n nh m hu chc chn Chng minh T cỏc iu kin AT Qi Ai i Qi < Qj ài j Qi v (ii) ca nh lý 2.2.1, ta cú ln maxx0 =0 (||xk ||/||x0 ||) k k ln q(k) + ln(max (Q( (0)))/(min (Q( (k))) < EF lim k k ln q(k) = EF lim k k EF lim 29 (v) Vỡ xớch Markov l ergodic, t hai ng thc u ca H qu 2.2.1: (k) E [T j ] = j k, (k) E [ni j ] = i pi j k ta cú ln q(k) ln q(k) = E k k k EF lim N = N i pi j ln ài j + i ln i (vii) i=1 i=1, j=1,i= j Chỳ ý rng ||A (k) ã ã ã A (0) || ||xk || = max ||x0 || x0 =0 x0 =0 ||x0 || ||A (k) ã ã ã A (0) || = max Khi ú, t (vi) (vii) v iu kin (iv) ta thu c ln ||A (k) ã ã ã A (0) || k k EF lim < N N i pi j ln ài j + i ln i < i=1 i=1, j=1,i= j Theo B 2.2.1, h MJLS l n nh m hu chc chn 2.2.3 Vớ d Vớ d 2.2.1 Vớ d ny minh cho nh lớ 2.2.2 0, 0, 0, Xột h MJLS ú, H1 = , H2 = v ma trn xỏc sut 0, 0, 0, 0, 0, Phõn phi bt bin nht l [0,2 0,8] 0, 0, p dng nh lớ 2.2.2, ta chn = 0, 2, = 1, 25, à12 = 6, 6, à21 = 0, v tng ng chuyn P = Q1 = 18, 9798 13, 1455 13, 1455 , 157, 9363 Q2 = 124, 8681 87, 1653 87, 1653 226, 7459 30 Khi ú, tt c cỏc iu kin nh lý 2.2.2 u c tha Do vy, h MJLS ny n nh hu chc chn m 31 KT LUN Trờn õy l ton b ni dung ca khúa lun "n nh hu chc chn ca h MJLS" Khúa lun ny ó nờu bt c nhng ni dung chớnh sau õy: Chng chng ny, tụi ó trỡnh by mt s khỏi nim v xớch Markov, h MJLS a khỏi nim v n nh Cung cp cỏc bt ng thc ma trn tuyn tớnh c bn thng dựng xột tớnh n nh ca bi toỏn Chng Chng ny a tiờu chun n nh hu chc chn v hu chc chn m cho h MJLS Song song vi vic lm khúa lun tt nghip vi ti: "n nh hu chc chn ca h MJLS", tụi cũn tỡm hiu v phn mm son tho Latex Bỏo cỏo trờn õy c hon thnh bng phn mm son tho Latex Tuy nhiờn thi gian thc hin khúa lun khụng nhiu cũn cú nhng sai sút, tụi rt mong nhn c s gúp ý ca quý thy cụ v bn c Tụi xin chõn thnh cỏm n! Ti liu tham kho [1] Y.Fang, A new general suffiicient condition for almost sure stability of Jump linear systems, IEEE Trans.Automat.control, 1997 [2] Y.Song, H.Dong, T.Yang, M.Fei, Almost sure stability of discrete - time Markov jump linear systems, EIT Control Theory and Applications, 2013 [3] Nguyn Duy Tin, Cỏc mụ hỡnh xỏc sut v ng dng, NXB i Hc Quc Gia H Ni, 2008 33 [...]... Một số khái niệm ổn định Định nghĩa 1.3.1 (Ổn định moment) Hệ (1.3.5) được gọi là ổn định moment nếu với mọi điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn , với mọi phân phối ban đầu p = (p1 , p2 , · · · , pN ) của θk ta có lim E{||xk (x, ω)||δ } = 0 k→∞ Đặc biệt, với δ = 2 thì hệ được gọi là ổn định moment cấp 2 Định nghĩa 1.3.2 (Ổn định hầu chắc chắn) Hệ (1.3.5) được gọi là ổn định hầu chắc chắn nếu với mọi điều kiện... biệt, (2.1) là ổn định hầu chắc chắn nếu P(log ||H(1)||, · · · , log ||H(N)||)T 0 thì (A + EFH)P(A + EFH)T APAT + εEE T + APH T (εI − HPH T )−1 HPAT 3 Nếu P − εEE T > 0 thì (A + EFH)T P−1 (A + EFH) 12 AT (P − εEE T )−1 A + ε −1 H T H Chương 2 Tiêu chuẩn ổn định hầu chắc chắn và hầu chắc chắn mũ 2.1 Tiêu chuẩn ổn định hầu chắc chắn 2.1.1 Tiêu chuẩn ổn định hầu chắc chắn Xét hệ Markov Jump... Khi đó, tất cả các điều kiện trong Định lý 2.2.2 đều được thỏa mãn Do vậy, hệ MJLS này ổn định hầu chắc chắn mũ 31 KẾT LUẬN Trên đây là toàn bộ nội dung của khóa luận "Ổn định hầu chắc chắn của hệ MJLS" Khóa luận này đã nêu bật được những nội dung chính sau đây: • Chương 1 Ở chương này, tôi đã trình bày một số khái niệm về xích Markov, hệ MJLS Đưa ra khái niệm về ổn định Cung cấp các bất đẳng thức ma... kính phổ 13 Định lí dưới đây cho chúng ta một điều kiện đủ để hệ (2.1) ổn định hầu chắc chắn Định lý 2.1.1 Giả sử {θk } là một xích Markov trạng thái hữu hạn với ma trận chuyển P = (pi j ) Nếu tồn tại các ma trận xác định dương P(1), P(2), · · · , P(N) sao cho N sup xT H T (i)P( j)H(i)x xT P(i)x ∏ ||x||2 =1 j=1 pi j < 1, ∀i ∈ N (2.1.1) thì khi đó hệ (2.1) là ổn định hầu chắc chắn Chứng minh Định nghĩa... x0 ∈ Rn , với mọi phân phối ban đầu p = (p1 , p2 , · · · , pN ) của θk ta có P( lim ||xk (x, ω)|| = 0) = 1 k→∞ Định nghĩa 1.3.3 (Ổn định hầu chắc chắn mũ) Hệ (1.3.5) được gọi là ổn định hầu chắc chắn mũ nếu ∃ρ > 0 sao cho với mọi điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn và với mọi phân phối ban đầu p = (p1 , p2 , · · · , pN ) ta có 1 P( lim sup ln ||xk (x0 , ω)|| x→∞ k −ρ) = 1 Ví dụ 1.3.1 Xét hệ (1.3.5) với H(1) =... nhất π, ta có được hệ quả sau đây Hệ quả 2.2.1 Nếu phân phối ban đầu bằng phân phối bất biến duy nhất của xích Markov, khi đó (k) Eπ [T j ] = π j k (k) Eπ [ni j ] = πi pi j k (k) Eπ [n j ] = π j (1 − pi j )k + pi j π j 2.2.2 Tiêu chuẩn ổn định hầu chắc chắn mũ Bổ đề 2.2.1 (Ishii) Hệ MJLS là ổn định mũ hầu chắc chắn nếu và chỉ nếu Eπ [λ ] < 0, trong đó số mũ Lyapunov λ được xác định như sau ln ||H(θ... thì (2.1) là ổn định hầu chắc chắn Chứng minh Áp dụng hệ quả (2.1.5) đối với các ma trận tam giác dưới H(i), chọn ma trận M có các phần tử trên đường chéo 1, ε, · · · , ε n−1 Hệ quả 2.1.7 Nếu tồn tại một chuẩn ma trận || || thỏa mãn tính chất nhân (tức là, ||AB|| ||A||.||B||) sao cho P(log ||H(1)||, · · · , log ||H(N)||)T + (P − I)y 0 và ma trận P đối ... niệm ổn định hầu chắn, ổn định hầu chắn mũ - Tìm hiểu tiêu chuẩn ổn định hầu chắn, hầu chắn mũ hệ MJLS Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày kiến thức hệ MJLS - Trình bày số tiêu chuẩn ổn định hầu chắn. .. −1 H T H Chương Tiêu chuẩn ổn định hầu chắn hầu chắn mũ 2.1 Tiêu chuẩn ổn định hầu chắn 2.1.1 Tiêu chuẩn ổn định hầu chắn Xét hệ Markov Jump Linear System ( MJLS) với thời gian rời rạc có dạng... (x, ω)||δ } = k→∞ Đặc biệt, với δ = hệ gọi ổn định moment cấp Định nghĩa 1.3.2 (Ổn định hầu chắn) Hệ (1.3.5) gọi ổn định hầu chắn với điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn , với phân phối ban đầu p = (p1