Tiêu chuẩn lyapunov bàn về tính bị chặn của tiêu chuẩn lyapunov đối với hệ không tự trị

TR B GIÁO D C VÀ ÀO T O NG I H C BÁCH KHOA HÀ N I -*** LU N V N TH C S KHOA H C NGÀNH: I U KHI N VÀ T NG HOÁ TIÊU CHU N LYAPUNOV BÀN V TÍNH B CH N C A TIÊU CHU N LYAPUNOV I V I H KHÔNG T TR M C ÌNH HU N Hà N i 2008 HÀ N I 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI *********♦********* MẠC ĐÌNH HUẤN TIÊU CHUẨN LYAPUNOV BÀN VỀ TÍNH BỊ CHẶN CỦA TIÊU CHUẨN LYAPUNOV ĐỐI VỚI HỆ KHÔNG TỰ TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH: ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN DOÃN PHƯỚC HÀ NI 2008 i LờI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu thực Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực cha đợc công bố công trình khoa học Tác giả luận văn Mạc đình huấn ii MC LC Trang Trang Lêi cam ®oan i Mơc lơc ii Danh mơc hình vẽ iv Lời nói đầu CHƯƠNG I: đặt vấn đề 1.1 Định nghĩa ổn định 1.2 Tính bị chặn quỹ đạo trạng thái tự 1.2.1 Tính bị chặn quỹ đạo trạng thái tự hệ tuyến tính 1.2.2 Tính bị chặn quỹ đạo trạng thái tự hệ phi tuyến 1.3 Tính ổn định BIBO 1.3.1 Tính ổn định BIBO hệ tuyến tính 1.3.2 Tính ổn định BIBO hệ phi tuyến 1.4 Nhiệm vụ luận văn 6 12 CHƯƠNG II: tiêu chuẩn ổn định lyapunov 15 2.1 15 Lý thuyết chung tiêu chuẩn ổn định Lyapunov 2.1.1 Định nghĩa ổn định Lyapunov 15 2.1.2 Tiêu chuẩn Lyapunov áp dụng cho hệ tự trị 19 2.1.3 Tiêu chuẩn Lyapunov áp dụng cho hệ không tự trị 23 2.1.4 Các định nghĩa, định lý khác 30 2.2 áp dụng tiêu chuẩn ổn định Lyapunov việc xét tính ổn định 36 iii Trang đối tợng phi tuyến 2.2.1 Định nghĩa hàm Lyapunov 36 2.2.2 Các phơng pháp tìm hàm Lyapunov 37 2.3 Phơng pháp Lyapunov trực tiếp 51 2.4 Các hàm Like-Lyapunov 63 2.5 Phơng pháp Lyapunov gián tiếp 65 2.6 Tính ổn định hệ tuyến tính 67 CHƯƠNG III: khắc phục vấn đề hệ phi tuyến 77 3.1 Tính bị chặn quỹ đạo trạng thái tự 77 3.2 Tính ổn định BIBO 85 CHƯƠNG IV:kết luận chung luận văn 92 Tài liệu tham khảo 93 iv Danh mục hình vẽ Số hiệu Tên hình vẽ Hình 1.1 Quỹ đạo trạng thái x(t ) ví dụ 1.2 6/96 Hình 1.2 Minh hoạ định lý 1.2 8/96 Hình 1.3 Định vị miền giá trị riêng ma trận 10/96 Hình 2.1 Quỹ đạo trạng thái x(t ) 17/96 Hình 2.2 Một gợi ý việc kiểm tra tính ổn định hệ 20/96 Hình 2.3 Tạo họ đờng cong kín bao điểm cân 22/96 Hình 2.4 Minh hoạ ví dụ 2.2 27/96 Hình 2.5 Miền ổn định hệ ví dụ 2.3 28/96 Hình 2.6 Điều kiện đủ để hệ không ổn định 29/96 Hình 2.7 Mô tả phơng pháp Aiserman 47/96 Hình 2.8 minh hoạ ví dụ 2.9 50/96 Hình 3.1 Hàm xác định dơng có đờng đồng mức ứng với giá trị nhỏ bao đờng đồng mức ứng với giá trị lớn Trang 80/96 Hình 3.2 Khái niệm hàm xác định dơng, hợp thức 81/96 Hình 3.3 Miền hấp dẫn khái niệm ISS 86/96 Hình 3.4 Minh hoạ chứng minh định lý 3.3 89/96 Học viên thực hiện: Trang 1/96 Mạc Đình Huấn Lời nói đầu Một điều kiện, hay tiêu chuẩn chất lợng mà điều khiển cần phải mang đợc cho hệ thống tính ổn định Tại phải nh vậy? Từ khái niệm tính ổn định hệ thống điểm cân đà đợc nêu định nghĩa (Một hệ thống đợc gọi ổn định tiệm cận điểm cân x e nh có tác động tức thời (chẳng hạn nh nhiễu tức thời) đánh bật hệ khỏi x e đa tới điểm x0 thuộc lân cận x e sau hệ có khả tự quay đợc điểm cân x e ban đầu) ta thấy có hệ nhạy cảm với tác động nhiễu tác động không mong muốn nhỏ đà làm cho hệ bị bật khỏi điểm cân bằng( điểm làm việc) mà sau hệ khả tự quay điểm cân ban đầu chất lợng hệ thống gọi tốt đợc Bởi vậy, kiểm tra tính ổn định hệ (tại điểm cân bằng) nh miền ổn định O tơng ứng phải công việc ta cần tiến hành phân tích hệ thống Tiêu chuẩn Lyapunov công cụ hữu ích giúp ta thực đợc điều Trong luận văn xin trình bày khái niệm, định nghĩa, định lý tiêu chuẩn ổn định Lyapunov, nh vấn đề mà tiêu chuẩn ổn định khác không đề cập tới nhằm giúp cho ta có hiểu biết sâu tiêu chuẩn ổn định Lyapunov để ứng dụng tiêu chuẩn việc xét tính ổn định hệ phi tuyến nh giải tốt vấn đề bất cập thờng xuất hệ phi tuyến nh tính bị chặn quỹ đạo trạng thái tự do, tính ổn định BIBO Luận văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Học viên thực hiện: Trang 2/96 Mạc Đình Huấn Em xin chân thành cảm ơn thầy PGS TS: Nguyễn DoÃn Phớc môn Điều Khiển Tự Động Trờng ĐHBKHN đà tận tình giúp đỡ em suốt thời gian làm luận văn Học viên thực hiện: Mạc đình huấn Luận văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Trang 3/96 Học viên thực hiện: CHƯƠNG I: 1.1 Mạc Đình Huấn đặt vấn đề định nghĩa ổn định Để biết hệ có ổn định hay không điểm cân ta quan sát dạng họ đờng quỹ đạo trạng thái hệ Một cách trực quan ta dễ dàng nhận thấy hệ ổn định điểm cân x e quỹ đạo trạng thái x(t ) xuất phát từ điểm ban đầu x thuộc lân cận x e phải kết thúc x e , ta rút định nghĩa ổn định nh sau: Định nghĩa 1.1: Một hệ đợc gọi ổn định điểm cân x e nh có tác động tức thời (chẳng hạn nh nhiễu tức thời) đánh bật hệ khỏi x e đa tới điểm x thuộc lân cận x e sau hệ có khả tự quay đợc điểm cân x e ban đầu 1.2 Tính bị chặn quỹ đạo trạng thái tự Ta thấy định nghĩa 1.1 cha đề cập đợc tính bị chặn quỹ đạo trạng thái tự Vì phần ta xét tính bị chặn quỹ đạo trạng thái tự hệ tuyến tính hệ phi tuyến 1.2.1 Tính bị chặn quỹ đạo trạng thái tự hƯ tun tÝnh Ta cã thĨ cã kÕt ln r»ng theo định nghĩa ổn định 1.1 quỹ đạo trạng thái tự hệ tuyến tính bị chặn chứng minh đơn giản nh sau: Luận văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Học viên thực hiện: Trang 4/96 Mạc Đình Huấn Xét hệ tuyến tính có mô hình: d x = A x + Bu ⎪ ⎨ dt ⎪ y = C x + Du (1.1) Ta xét phơng trình thứ nhÊt cđa hƯ (1.1) x& = A x + Bu (1.2) Giả sử phơng trình vi phân (1.2) có trạng thái cân gốc toạ độ x e = Giả sử ta cho tác động đầu vào tín hiệu xung dirac u (t ) = (t ) trạng thái hệ nhảy từ điểm cân x e tới trạng thái ban đầu x Từ sau thời điểm t = ta cã u = vËy nªn ta đợc nghiệm (1.2) là: x (t ) = e At x NÕu ma trËn A cã phần thực âm tức ma trận A bền ta có: x(t ) = e At x ≤ e At x (1.3) Do gi¶ thiết ma trận A có phần thực âm A bền ta có: e At < ∞ VËy ta suy ra: x(t ) < ∞ LuËn văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Trang 82/96 Học viên thực hiện: Mạc Đình Huấn Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 3.1 (liên tục Lipschitz): Hàm f đợc gọi liên tục Lipschitz cơc bé theo x nÕu víi h > tồn l thoả mÃn: f ( x1 , t ) − f ( x , t ) ≤ l x1 − x (3.4) Víi mäi x1 , x ∈ Bh , t ≥ số l gọi số Lipschitz Định nghĩa cho hàm liên tục Lipschitz toàn cục sau yêu cầu (3.4) nhng x1 , x R n Định nghĩa cho hàm liên tục Lipschitz bán toàn cục sau yêu cầu (3.4) nhng x1 , x ∈ Bh víi h tuú ý nh−ng cịng cã thĨ l lµ mét hµm cđa h NÕu f liªn tơc Lipschitz theo x , nã liên tục theo x Mặt khác, f có đạo hàm phần giới hạn theo x nã lµ Lipschitz ChÝnh thøc nÕu: ⎡ ∂f ⎤ D1 f ( x, t ) := ⎢ i ⎥ ⎣⎢ x j tỏ ma trận đạo hàm phần f theo x thoả mÃn D1 f ( x, t ) l kéo theo f liên tơc Lipschitz víi h»ng sè Lipschitz l Ta cịng có thêm f giới hạn cục liên tục Lipschitz theo x , phơng trình vi phân (3.2) có lời giải Định lý 3.2 (LaSalle): Cho hệ phi tuyến không bị kích thích (3.2) cân gốc thoả mÃn điều kiện Lipschitz Gọi V (x) hàm khả vi, hợp thức (nên xác định dơng): Luận văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Trang 83/96 Häc viªn thùc hiƯn: γ ( x ) ≤ V ( x) ≤ γ ( x ) với ( z) K Mạc Đình HuÊn vµ γ ( z) ∈ K ∞ cã đạo hàm theo quỹ đạo nghiệm x(t ) (3.2) tho¶ m·n: LfV = ∂V f ( x) ≤ −W ( x) x (3.3) W (x) hàm liên tục Hệ là: a) ổn định W (x) hàm xác định bán dơng b) ổn định tiệm cận W (x) hàm xác định dơng c) ổn định tiệm cËn t¹i nÕu W ( x) = η ( x ) ∈ K Ngoµi ra, ta cã thĨ dƠ dàng thấy hệ ổn định nghiệm x(t ) (3.2) bị chặn thoả mÃn: lim W ( x(t )) = t →∞ (3.4) §Ĩ chứng minh cho kết luận ta từ định lý Lyapunov Nói chung định lý Lyapunov V ( x, t ) hàm xác định dơng hay hàm xác định dơng cục thoả m·n ®iỊu kiƯn dV ( x, t ) ∂V ( x, t ) ∂V ( x, t ) = + f ( x, t ) dt ( 3.2 ) ∂t ∂x Sù biÕn ®ỉi cđa V ( x, t ) theo quỹ đạo trờng véc tơ (3.2) đợc gọi đạo hàm giả định V ( x, t ) theo f ( x, t ) ta tổng hợp định lý Lyapunov nh sau: Luận văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Trang 84/96 Học viên thực hiện: STT Điều kiện V ( x, t ) Hàm xác định dơng cục Mạc Đình Huấn Điều kiện V ( x, t ) Kết luận ổn định cục Hàm xác định dơng cục ổn định cục giảm dần Hàm xác định dơng Hàm xác định dơng ổn định tiệm cận cục giảm dần Hàm xác định dơng Hàm xác định dơng ổn định tiệm cận giảm dần toàn cục Từ V hàm xác định dơng cục bộ, ta có với (ã) K V ( x, t ) ≥ α ( x ) x B s (3.5) Thêm ta có r»ng V& ( x, t ) ≤ 0, ∀t ≥ t , x ∈ Br (3.6) Cho ε > víi ε = min(ε , r , s) ta chän δ > tho¶ m·n: β (t , δ ) := sup V ( x, t ) < α (ε ) x ≤δ Ta cã δ tồn tại, từ (t , ) hàm liên tục theo ( ) > ta phải có x(t ) điều kéo theo x(t ) < ε :∀t ≥ t Ta chøng minh cho tính bị chặn quỹ đạo trạng thái tự x(t ) < ε : ∀t ≥ t cách giả sử ngợc lại (giả sử x(t ) > ε :∀t ≥ t ) Tõ α ( x(t ) ) ≤ V ( x(t ), t ) < α (ε ) Luận văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Học viên thực hiện: Trang 85/96 Mạc §×nh HuÊn Nã kÐo theo x(t ) ≤ ε Bây điều kiện x(t ) < không với t , với t1 > t khoảng thời gian cã x(t ) ≥ ε th×: V ( x(t1 ), t1 ) ≥ α (ε ) > V ( x(t ), t ) (3.7) Nhng điều vô lý theo điều kiện tiêu chuÈn Lyapunov ta ph¶i cã V& ( x(t ), t ) ≤ ∀ x < ε Nh− ta phải có điều ngợc lại, tức là: x(t ) < ε ∀t ≥ t VËy ta đà chứng minh đợc tính bị chặn quỹ đạo trạng thái x(t ) 3.2 Tính ổn định BIBO XÐt hƯ phi tun tỉng qu¸t sau: ⎧d x = f ( x, u ) ⎪ ⎨ dt ⎪ y = g ( x, u ) ⎩ (3.8) Víi điều kiện ban đầu g ( x, u ) liên tục x(0) = x Ta ký hiệu quỹ đạo trạng thái (tức nghiệm (3.8)) x(t , u ) để nhấn mạnh quỹ đạo trạng thái hệ (3.8) phụ thuộc vào thời gian t phụ thuộc vào tín hiệu vào u(t ) Từ nghiệm quỹ đạo trạng th¸i tù x(t , u ) ta thÊy: - Hệ (3.8) ổn định tiệm cận gốc nếu: Luận văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Trang 86/96 Học viên thực hiện: lim x (t , u ) = t →0 - với u(t ) Mạc Đình Huấn (3.9) Hệ (3.8) ổn định tiệm cận gốc ổn định tiệm cận có: x(t1 , d ) < x(t , d ) víi mäi t1 > t với u(t ) (3.10) Nói cách khác x(t , u ) tiến gốc theo thời gian điều không phụ thuộc vào tÝn hiƯu vµo u(t ) Cã thĨ dƠ dµng thÊy, cã sù hiƯn diƯn cđa tÝn hiƯu vµo u(t ) nên khả để hệ (3.8) có đợc hai chất lợng ổn định (3.9) (3.10) khó Bởi vậy, thay hai chất lợng đó, Sontag đa khái niệm ổn định mở rộng khác ổn định vào-trạng thái ISS (Input to State stable), nh tồn lân cận D gốc toạ độ cho quỹ đạo trạng thái tự x(t , u ) hệ (3.8) tức nghiệm hệ (3.8) không phụ thuộc vào tín hiệu vào u(t ) , tiến D lại (hình 3.3) Hình 3.3: Miền hấp dẫn khái niệm ISS Ta gọi toán thiết kế điều khiển tạo cho hệ (3.8) có đợc tính ổn định ISS với lân cận D nhỏ tốt Ta có định nghĩa sau: Luận văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Trang 87/96 Học viên thực hiện: Mạc Đình Huấn Định nghĩa 3.2 : Xét hệ (3.8) véc tơ tín hiệu vào u(t ) đợc giả thiết bị chặn: sup u (t ) = u ∞ ρ1−1 ρ ( u ) = ( u ) a) d) đơng nhiên v× cã: β + γ ≤ max{2β , 2γ } Vậy ta đà có đợc tính ổn định BIBO tiêu chuẩn Lyapunov Luận văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Trang 92/96 Học viên thực hiện: CHƯƠNG IV: Mạc Đình Huấn kết luận chung luận văn Qua luận văn với tảng lý thuyết ổn định Lyapunov ta đà giải đợc hai vấn đề mà lý thuyết khác không đề cập tới là: 1) Tính bị chặn quỹ đạo trạng thái tự lim x(t ) < 2) Tính ổn định BIBO, u < ∞ t →∞ ⇒ y ∞ < ∞ Víi vấn đề thứ nhất: hệ ổn định Lyapunov chắn quỹ đạo trạng thái tự bị chặn Nhờ kết luận ta đánh giá đợc chất lợng ổn định hệ Với vấn đề thứ hai: Với hệ phi tuyến liên tục theo t hệ ổn định Lyapunov hệ ổn định BIBO ( u < y < ) Vì nhờ vào kết luận ta áp dụng chúng việc thiết kế điều khiển thích nghi bề vững Luận văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Trang 93/96 Học viên thực hiện: Mạc Đình Huấn Tài liệu tham khảo Tiếng việt [1] Hệ Phi tuyến: Nguyễn DoÃn Phớc, Phan Xuân Minh Nhà xuất khoa học kỹ thuật 1999 [2] Lý thuyết điều khiển tuyến tính: Nguyễn DoÃn Phớc Nhà xuất khoa häc kü tht 2007 [3] Lý thut ®iỊu khiĨn phi tuyến: Nguyễn DoÃn Phớc, Phan Xuân Minh, Hán Thành Trung Nhà xuất khoa học kỹ thuật 2006 [4] Lý thuyết điều khiển nâng cao: Nguyễn DoÃn Phớc Nhà xuất khoa học kỹ thuật 2007 [5] Điều khiển tối u bền vững: Nguyễn DoÃn Phớc, Phan Xuân Minh Nhà xuất khoa học kỹ thuật 2000 [6] Lý thuyết điều khiển tự động: Phạm Công Ngô Nhà xuất khoa học kỹ thuật 2001 [7] Cơ sở lý thuyết điều khiển tự động: Nguyễn Văn Hoà Nhà xuất khoa học kỹ thuật 1998 [8] ổn định tiệm cận hệ phi tuyến điều khiển phản hồi đầu ra: Nguyễn DoÃn Phớc Chuyên san tháng 6-2007 Kỹ thuật điều khiển tự động, tạp chí tự động hoá ngày 2007 Luận văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Trang 94/96 Học viên thực hiện: Mạc Đình Huấn Tiếng anh [9] Robust mrac of a nonautonomos parabolic system with spatiotemporally varying coefficients and bounded disturbance: Kyung-Jinn Yang and Kyum-Shik Hong Asian journal of control, Vol 5, No 3, pp 350-363, September 2003 [10] Nonlinear phenomena and stability theory: Khalil Asian journal of control, Vol 5, No 3, pp 350-363, September 2006 [11] The Peaking phenomena and the globle stabilization of nonlinear system: H.J Sussman, senior member, IEEE, and P.V Kokotovic, fellow, IEEE [12] Difficulties in globle feadback control using estimated states: H.Shim Asian journal of control, Vol 5, No 3, pp 350-363, September 2003 [13] Tsutomu Mita:On Zeros and Responses of Linear Regulators and Linear Observers IEEE Transactions on automatic control, June 1977 [14] Patrick H Menold, Rolf Findeisen, Frank Allgöwer: Finite time convergent observers for linear time – varying systems Conference on Decision and Control Maui, Hawaii USA, December 2003 [15] Patrick H Menold, Rolf Findeisen, Frank Allgöwer: Finite time convergent observers for nonlinear systems Conference on Decision and Control Maui, Hawaii USA, December 2003 [16] Frederic Sauvage, Martin Guay, and Denis Dochain: Design of a Nonlinear Finite-Time Converging Observer for a Class of Nonlinear Luận văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Học viên thực hiện: Trang 95/96 Mạc Đình Huấn systems Hindawi Publishing Corporation, Journal of Control Science and Engineering, Volume 2007 [17] H Shim: Difficulties in Global Feedback Control using Estimated States June 2, 2004 [18] H.J Sussmann, P.V Kokotovic:The Peaking Phenomenon and the Global Stabilization of Nonlinear Systems, Rutgers University Center for System and Control, Rep SYSCON 89-05, March 1989 [19] H.J Sussmann, P.V Kokotovic:The Peaking Phenomenon and the Global Stabilization of Nonlinear Systems, IEEE Transactions on automatic control, Vol 36, No 4, April 1991 [20] W.Hahn, Stability of Montion New York: Springer – Verlag, 1967 [21] J Tsinias, Sufficient Lyapunovlike conditions for stabilization, Math Contr Signals Syst., vol 2, pp 343-357, 1989 [22] P.P Varaiya and R Liu, Bounded – input bounded – output stability of nonlinear time-varying systems, SIAM J Contr Optimiz., vol 4, pp 698-704, 1966 [23] Smooth stabilization implies coprime factorization, IEEE Trans Automat Contr., vol.34, pp 435-443, Apr 1989 [24] D Aeyels, Stabilization of a class of nonlinear systems by a smooth feedback, syst Contr Lett., vol 5, pp 181-191, 1985 [25] Stabilization by smooth feedback of the angular velocity of a rigit body, Syst Contr Lett., vol 5, pp 289-294, 1985 Luận văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Học viên thực hiện: [26] Trang 96/96 Mạc Đình Huấn Feedback stabilization about attractors and the problem of asymptotic disturbance rejection In Proc 28th IEEE conf 1988 [27] Global feedback stabilization of nonlinear minimum phase system, in Proc, 28th IEEE conf, 1988, pp 32-36 [28] Feedback stabilization of single – input nonlinear systems, syst Contr Lett., vol 10 pp 201-206, 1988 [29] H.J Sussmann,Limitations on the stabilizability of globally minimum phase systems, IEEE Trans Automat Contr., vol.35, pp 117-119, Apr 1990 [30] D.E Koditschek, Adaptive techniques for mechanical systems, in Proc 5th Yale Workshop on Adaptive syst., Yale University, New Haven, CT, 1987, pp 259265 [31] P.V Kokotovic and H.J Sussmann,: A Positive real condition for global stabilization of nonlinear systems, syst Contr Lett., vol 12, pp 125-134, 1989 [32] A Seberi, P.V Kokotovic and H.J Sussmann: Global stabilization of partially linear composite systems, SIAM J Contr Optimiz., vol 28, pp 14911503, 1990 Luận văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tù trÞ ... *********♦********* MẠC ĐÌNH HUẤN TIÊU CHUẨN LYAPUNOV BÀN VỀ TÍNH BỊ CHẶN CỦA TIÊU CHUẨN LYAPUNOV ĐỐI VỚI HỆ KHÔNG TỰ TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH: ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA... nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Trang 15/96 Học viên thực hiện: CHƯƠNG II: 2.1 Mạc Đình Huấn tiêu chuẩn ổn định lyapunov Lý thuyết chung tiêu chuẩn. .. ổn định O Đó tính bị chặn tiêu chuẩn ổn định Lyapunov (Ví dụ 2.3 cho thấy rõ điều đó) Luận văn tốt nghiệp: Tiêu chuẩn Lyapunov Bàn tính bị chặn tiêu chuẩn Lyapunov hệ không tự trị Trang 29/96