Nhị thức niu ton và ứng dụng

Khãa luËn tèt nghiÖp LỜI CẢM ƠN Trong thời gian nghiên cứu hoàn thành khóa luận, nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy cô giáo tổ phương pháp bạn sinh viên khoa toán Qua gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo tổ phương pháp, đặc biệt cô Dương Thị Hà, người định hướng cho chọn đề tài, dẫn dắt bảo tận tình chu đáo, giúp nhanh chóng hoàn thành khóa luận thời gian Xin cám ơn tất thầy cô giáo bạn sinh viên! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Vân SV: NguyÔn ThÞ V©n Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành nhờ quan tâm, giúp đỡ thầy cô giáo khoa toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình cô Dương Thị Hà nỗ lực thân Trong trình nghiên cứu thực khóa luận, có tìm hiểu số tài liệu tham tác giả khác có liên quan đến đề tài Tôi xin cam đoan đề tài kết việc học tập, nghiên cứu nỗ lực thân tôi, không trùng lặp với kết tác giả khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Vân SV: NguyÔn ThÞ V©n Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận B NỘI DUNG Chương 1: Nhị thức Niu-tơn ứng dụng 1.1 Nhị thức Niu-tơn 1.1.1 Tổ hợp 1.1.2 Công thức nhị thức Niu-tơn 1.1.3 Tính chất nhị thức Niu-tơn 1.1.4 Tam giác Pascal hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn 1.1.5 Một số khai triển hay sử dụng 1.2 Ứng dụng nhị thức Niu-tơn 1.2.1 Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-tơn 1.2.2 Dạng 2: Bài toán xác định hệ số số hạng khai triển 11 1.2.3 Dạng 3: Biết trước giá trị hệ số hay số hạng khai triển Tìm giá trị ẩn tham gia 16 1.2.4 Dạng 4: Chứng minh đẳng thức chứa Cnk hay tính tổng tổ hợp 17 1.2.5 Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức chứa Cnk 22 SV: NguyÔn ThÞ V©n Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp 1.3 Một số sai lầm học sinh ứng dụng nhị thức Niu-tơn 23 TiÓu kÕt 29 Chương 2: Xây dựng hệ thống tập liên quan đến ứng dụng nhị thức Niu-tơn chương trình môn Toán phổ thông 30 2.1 Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-tơn 30 2.2 Dạng 2: Bài toán xác định hệ số số hạng khai triển 31 2.3 Dạng 3: Biết trước giá trị hệ số hay số hạng khai triển.Tìm giá trị ẩn tham gia 41 2.4 Dạng 4: Chứng minh đẳng thức chứa hay tính tổng tổ hợp 45 2.5 Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức chứa 58 Tiểu kết 61 C KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO SV: NguyÔn ThÞ V©n Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tổ hợp lĩnh vực quan trọng toán học rời rạc Hiện lí thuyết tổ hợp ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học khác lí thuyết số, hình học hữu hạn, biểu diễn nhóm, thống kê xác suất, quy hoạch thực nghiệm, … Từ máy tính phát triển thịnh hành, tổ hợp trở thành lĩnh vực toán học ứng dụng với phát triển mạnh mẽ Nó cầu toán cần giải với công cụ tính toán máy tính Trong chương trình môn toán trung học phổ thông, tổ hợp, đặc biệt nhị thức Niu-tơn đại số giải tích lớp 11 mảng kiến thức bản, quan trọng, thiếu tương đối khó Học sinh cung cấp hiểu biết ban đầu tổ hợp, nhị thức Niu-tơn tam giác Pascal, thấy số tổ hợp (hệ số tổ hợp) có liên quan chặt chẽ với việc khai triển lũy thừa nhị thức mối quan hệ hệ số nhị thức Niu-tơn với số nằm hàng tam giác Pascal Song song với nó, học sinh bước đầu làm quen với dạng tập ứng dụng nhị thức Niu-tơn khai triển nhị thức; xác định hệ số hay hạng tử cuả khai triển; chứng minh đẳng thức chứa hay tính tổng tổ hợp… Thực tế cho thấy việc dạy cho học sinh kiến thức nhị thức Niu-tơn việc áp dụng trực tiếp công thức khó khăn Tuy nhiên, ta nhận thấy vấn đề mà học sinh tỏ quan tâm tính đa dạng toán ứng dụng nhị thức Niu-tơn khó định hướng giải tập thuộc mảng kiến thức Với lí đó, mạnh dạn vào nghiên cứu đề tài: ”Nhị thức Niu-tơn ứng dụng” nhằm củng cố SV: NguyÔn ThÞ V©n Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp kiến thức, rèn luyện kĩ ứng dụng nhị thức Niu-tơn vào giải toán, thông qua nhằm nâng cao hiệu dạy học môn Toán nói riêng dạy học nói chung nhà trường phổ thông Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng nhị thức Niu-tơn chương trình môn Toán nhà trường phổ thông Trên sở xây dựng hệ thống tập minh họa cho ứng dụng nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán nhà trường phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng nhị thức Niu-tơn chương trình môn toán nhà trường phổ thông xây dựng hệ thống tập minh họa cho ứng dụng nhị thức Niu-tơn Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Cấu trúc khóa luận A Mở đầu B Nội dung Chương 1: Nhị thức Niu-tơn ứng dụng Chương 2: Xây dụng hệ thống tập liên quan đến ứng dụng nhị thức Niu-tơn chương trình môn Toán phổ thông C Kết luận SV: NguyÔn ThÞ V©n Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp B NỘI DUNG Chương 1: NHỊ THỨC NIU-TƠN VÀ ỨNG DỤNG 1.1 Nhị thức Niu-tơn 1.1.1 Tổ hợp Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm chập n phần tử khác Một tổ hợp n phần tử (  k  n ; k , n  ) tập hợp gồm khác lấy từ phần tử phần tử phần tử xếp tùy ý Công thức: Số tổ hợp chập k n phần tử: Cnk  n! k ! n  k ! Tính chất: 1) Cnk  Cnn  k ; 2) Cnk  Cnk 1  Cnk11 1.1.2 Công thức nhị thức Niu-tơn a, b  R; n  n a  b   : n  Cnk a nk b k  Cn0a n  Cn1a n1b   Cnnb n k 0 n  a  b n    1k Cnk a nk b k  Cn0a n  Cn1a n1b    1n Cnnbn k 0 Quy uớc: a  1, (a  0) Công thức nhị thức Niu-tơn gọi tắt nhị thức Niu-tơn 1.1.3 Tính chất nhị thức Niu-tơn 1) Số số hạng công thức n  1; 2) Tổng bậc a b số hạng bậc nhị thức: (n  k )  k  n ; SV: NguyÔn ThÞ V©n Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp 3) Số hạng tổng quát nhị thức Tk 1  Cnk a n  k b k Đây số hạng n thứ k  khai triển  a  b  ; 4) Các hệ số nhị thức cách hai số hạng đầu, số hạng cuối Cnk  Cnn  k ; 5) n  Cn0  Cn1   Cnn ; n 6)  Cn0  Cn1    1 Cnn 1.1.4 Tam giác Pascal hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn n 1 n2 1 n3 n4 1 n5 10 10 Nhận xét: 1) Các số hàng thứ n tam giác Pascal dãy gồm n  số Cn0 ; Cn1 ; Cn2 ; ; Cnn 2) Trong tam giác này, hàng thứ 2, số hàng thứ n từ cột thứ đến cột thứ n  tổng hai số đứng hàng cột cột trước Sở dĩ có quan hệ có công thức truy hồi: Ckm 1  Ckm  Ckm1; 3) Ta vận dụng hệ số khai triển nhị thức tam giác Pascal để khai triển nhị thức Niu-tơn với lũy thừa đủ nhỏ n Ví dụ minh họa: Xét khai triển  a  b  , n  SV: NguyÔn ThÞ V©n Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp n  1: n  2: n  3: n  4:  a  b 1  1.a  1.b;  a  b 2  1.a  2.ab  1.b2 ;  a  b 3  1.a3  3.a 2b  3.ab2  b3;  a  b 4  1.a  4.a3b  6.a 2b  4.ab3  1.b4 1.1.5 Một số khai triển hay sử dụng 1) n  Cn0  Cn1   Cnn ; n 2)  Cn0  Cn1    1 Cnn ; n 3)  x  1  Cn0 x n  Cn1 x n 1   Cnn ; n n 4) 1  x   Cn0  Cn1 x    1 x nCnn ; n n 5)  x  1  Cn0 x n  Cn1 x n 1    1 Cnn 1.2 Ứng dụng nhị thức Niu-tơn 1.2.1 Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-tơn Phương pháp giải: Sử dụng trực tiếp công thức nhị thức Niu-tơn Lưu ý: Khi khai triển nhị thức (a  b)n , ta cần nắm kĩ sau:  Số hạng tổng quát khai triển Cnk a n  k b k ,  k  n;  Từ ta có số hạng khai triển : + k  , ta có số hạng thứ Cn0a nb0  a n ; + k  , ta có số hạng thứ hai Cn1 a n 1b1; ……………………………………………… + k  n , ta có số hạng thứ n  (số hạng cuối) Cnn a 0bn  bn n Khi khai triển nhị thức  a  b  , ta cần ý quy tắc đan dấu, số hạng k thứ k có dấu  1 ,  k  n Ví dụ (Đại số giải tích 11 - Cơ bản) Khai triển biểu thức  x   SV: NguyÔn ThÞ V©n Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp Giải Áp dụng nhị thức Niu-tơn ta có:  x  34  C40  x 4  C41  x 3  C42  x 2 32  C43.2 x.33  C44 34  16 x  96 x3  216 x2  216 x  81 Nhận xét: Cách 2: Ta sử dụng hệ số khai triển nhị thức tam giác Pascal để khai triển sau: Từ tam giác Pascal ta thấy hệ số khai triển lũy thừa là:  x  34  1. x 4  4. x 3  6. x 2 32  4.2 x.33  1.34  16 x  96 x3  216 x  216 x  81 Đối với toán khai triển nhị thức Niu-tơn với a, b có số mũ hữu tỉ số thực, ta áp dụng nhị thức Niu-tơn tương tự Lưu ý: +) ∀ > 0, ∈ ∗ ta có: √ = +) ∀ ≠ 0, ∈ ∗ ta có: x n  xn Mở rộng: Khai triển lũy thừa có nhiều số hạng  Nếu khai triển lũy thừa chứa số hạng ta đưa cách khai triển lũy thừa chứa hai số hạng, tức :  x  y  z n n k   Cnk x n  k  y  z  ; k 0 k Sau xem  y  z  nhị thức tiếp tục khai triển: n n k k 0 i 0  x  y  z n   Cnk x n  k  y  z k   Cnk x n  k  Cki y k i z i k 0 n k    Cnk Cki x n  k y k i z i k 0 i 0 SV: NguyÔn ThÞ V©n 10 Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp 100 Bài 40 Tính tổng: S  2C100  3C100  4C100   101C100 Giải Cách 1: Nhân thêm trước lấy đạo hàm cấp 1: Chọn khai triển: 100 100 x  C100 x  C100 x   C100 x  x  1100  C100 100 100 101  x  x  1  C100 x  C100 x  C100 x3   C100 x 100 99 100 100   x  1  100 x  x  1  C100  2C100 x  3C100 x   101C100 x Chọn x  ta có: 0 2`100  100.299  C100  2Cn1  3Cn2   ( n  1) Cnn  C100 S  S  2`100  100.299   51.2100  Cách 2: Tách hệ số để hệ số tập con: Ta có: 100 S  1  1 C100    1 C100   100  1 C100    100 100  C100  2C100   100C100  C100  C100   C100   S1  S Chọn khai triển: 100 100 x  C100 x  C100 x   C100 x  x  1100  C100 99 100 99 100  x  1  C100  2C100 x  3C100 x   100 C100 x (1) (2) Thay x  vào (1) (2) ta có: 2100  C100  S1  99 100.2  S2  S  S1  S2  51.2100   Bài tập đề nghị Bài 41 Tính tổng: S  2.31Cn1  3.32 Cn2  4.33 Cn3   n.3n Cnn Hướng dẫn: Tương tự 38 thay x  SV: NguyÔn ThÞ V©n 50 Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp Đs: S    3n  4n 1  Bài 42 (Đề thi đại học luật năm 2001) Cho n   ; n  Chứng minh: Cn1 3n 1  2Cn2 3n 1  3Cn3 3n    nCnn  n.4n 1 n Hướng dẫn: Chọn khai triển  x  1 - Đạo hàm cấp - Thay x  Bài 43 Tính tổng: S  C21 n  3C23n  5C25n   (2n  1)C22nn 1 Giải Chọn khai triển:  x  12 n  C20n x  C21n x1  C22n x   C22nn x n  x  12 n  C20n x  C21n x1  C22n x   C22nn x n   x  1 2n   x  1  2n  x  1 n 1 2n  2.( C21n  C23n x3  C25n x5  C22nn 1x n 1 )  2n  x  1 n 1   C23n x  5C25n x  (2n  1)C22nn 1x n  Chọn x  ta có: S  2n.22 n 1  S  n.22 n  b Sử dụng đạo hàm cấp Bài 44 Tính tổng: 200 S  2.1.30.C200  3.2.31.C200  4.3.32.C200   200.199.3198.C200 Giải Chọn khai triển: 200 200 x  C200 x  C200 x  C200 x   C200 x  x  1200  C20 x  C200 199 200 199  200  x  1  C200  2C200 x  3C200 x  4C200 x   200 C200 x 198 200 198  200.199  x  1  2C200  3.2C200 x  4.3C200 x   200.199C200 x Chọn x  3 , ta có: 200 200.199.2198  2C100  3.2.31.C200  4.3.32.C200   200.199.3198.C200 S SV: NguyÔn ThÞ V©n 51 Líp: K35D - To¸n  Khãa luËn tèt nghiÖp Vậy S  200.199.2198 Bài 45 Tính tổng: S  12 Cn1  22 Cn2  32 Cn3  42 Cn4   n 2Cnn Giải Nhận xét: Các hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 12 ; 22 ; 32 ; ; n (không kể dấu) nên ta tách tổng để đưa số hạng dạng đặc trưng đạo hàm S  1.1.Cn1  2.2.Cn2  3.3.Cn3  4.4.Cn4   n.n.Cnn S  C n1  1  1 Cn2  3.  1 Cn3    1 Cn4   n  n  1  1 Cnn  S  Cn1  2.1.Cn2  3.2.Cn3   n. n  1 Cnn   C0n  2Cn1  3Cn2   nCnn    S1  S Chọn khai triển:  x  1n  Cn0 x  Cn1 x1  Cn2 x  Cn3 x3   Cnn x n n 1  n  x  1  Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x   nCnn x n 1 n2  n  n  1 x  1  2.1.Cn2  3.2.Cn3 x   n. n  1 Cnn x n 1 (1) (2) Thay x  vào (1) (2) ta có: n.2n 1  Cn1  2Cn2  3Cn3  4Cn4   nCnn  S2 n(n  1).2n   2.1.Cn2  3.2.Cn3  4.3.Cn4   n.( n  1).Cnn  S1 Vậy S  S1  S  n(n  1).2n   n.2n 1  n(n  1).2n   Bài tập đề nghị Bài 46 (Đại học An Ninh khối A năm 1998) n Cho f ( x )  1  x  ; n  ; n 2 a Tính f "(1) b Chứng minh rằng: 2.1.Cn2  3.2.Cn3    n  1 n.Cnn  n  n  1 2n  Giải a f '( x )  n 1  x  n 1 SV: NguyÔn ThÞ V©n 52 Líp: K35D - To¸n  Khãa luËn tèt nghiÖp f "( x )  n  n  11  x  n2  f "(1)  n  n  1 2n  (1) b.Ta có: n n k 1 k 1 n f ( x )  1  x    Cnk x n  k  f '( x)    n  k  Cnk x n  k 1 n  f ''( x)    n  k  n  k  1 Cnk x n  k  k 1 n  f ''(1)    n  k  n  k  1 Cnk  2.1.Cn2  3.2.Cn3    n  1 nCnn (2) k 1 Kết hợp (1) (2) ta có đpcm 2.4.3 Phương pháp 3: Dùng tích phân 21 22 23 2n 1 n Cn Bài 47 Tính: S  Cn  Cn  Cn   n 1 Giải n n Chọn khai triển:  x  1   Cnk xk k 0    x  1 n n dx    Cnk x k dx k 0   x  1n 1  n 1  n k k 1 C  nx k 0 k  n 1 3n 1    Cnk 2k 1  S n 1 k 0 k   Vậy S   3n 1  n 1  SV: NguyÔn ThÞ V©n  53 Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp Bài 48 (Đề thi đại học khối A năm 2007) Cho n  1 2n1 22n  C2n  Chứng minh rằng: C2n  C2n   2n 2n  Giải Chọn khai triển:  x  12 n  C20n x  C21n x1  C22n x   C22nn x n  x  12 n  C20n x  C21n x1  C22n x   C22nn x 2n   x  1 2n   x  1 2n   C21 n  C23n x  C25n x  C22nn 1 x n 1   x  12 n   x  12n  dx     C 2n    C23n x3   C22nn 1x 2n 1 dx 1 1    x  12n 1   x  12n1    C21n x   C22nn 1x2n  2n  2n  2n  0 2 0 1 1   22n1    C21n  C23n   C22nn1   2S 2n  2n 2    S  22 n  2n    21 23 2101 100 C100 Bài 49 Tính tổng: S  C100  C100   101 Giải Cách 1: Chọn cận đối xứng Xét khai triển: 100 100 x  C100 x  C100 x   C100 x  x  1100  C100    x  1 2  100 dx   C 0 100 x  2 100 100  C100 x  C100 x   C100 x dx 2 1 2 100 101 x  C100 x  C100 x   C100 x  x  1101  C100 2 101 101 SV: NguyÔn ThÞ V©n 54 Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp 21  (  2)1 2  (  2) 2101  (  2)101 100 101  1  C100  C100   C100 101 101  21 101 23 2101 100      C100  C100   C100   S 101 101       S  101 1 101   Cách 2: Chọn hai khai triển làm tập lẻ Ta có: 100 100 x  C100 x  C100 x   C100 x  x  1100  C100 100 100 x  C100 x  C100 x   C100 x  x  1100  C100 100 100 100 100   x  1   x  1  2. C100  C100 x  C100 x  C100 x  2 0   100 100 100 100    x  1   x  1 dx   C100  C100 x  C100 x  C100 x dx     100 101  101 101  x  1   x  1   2. C100 x  C100 x   C100 x   0 101  101  0  21 101 23 2101 100      C100  C100   C100   S 101 101   101  S (3  1) 101     Bài 50 Cho tích phân: I   x x  2006 dx a Tính I 1 1 2006  C2006  C2006   C2006 b Tính: S  C2006 4014 Giải a Đặt x   t  xdx  dt  xdx  dt SV: NguyÔn ThÞ V©n 55 Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp 2 1 I   t 2006dt  t 2007  (22007  1) 4014 2.2007 b Ta có: 2006  x  1  x  x  1 2  2 2006 4012  C2006  C2006 x  C2006 x   C2006 x 2006    x x 1 2006 4013  C2006 x  C2006 x  C2006 x   C2006 x 2006 C 2006 x  C2006 x dx    2006 4013  C2006 x5   C2006 x dx 1 1 2006 4014  I   C2006 x  C2006 x  C2006 x6   C2006 x 0 S 4014 2  Vậy S  22007  4014   Bài tập đề nghị Bài 51 Chứng minh: 99 24 97 2100 99 5100   2.3101 C100  C100   C100  100 202 22 Giải Chọn khai triển: 98 99 100  399 x1C100  398 x 2C100   31 x 99C100  30 x100C100  x  3100  3100 C100 98 99 100  399 x1C100  398 x 2C100   31 x 99C100  30 x100C100  x  100  3100 C100 (1) (2) Lấy (1) trừ (2) ta có: 97 99  397 x 3C100   31 x 99C100  x  3100   x  3100   399 x1C100  2 0 100 100 97 99     x  3   x  3 dx  2 399 x1C100  397 x3C100   31 x99C100  dx    100  99 x 2  101 101  97 x 97 1x 99 x   x   C  C   C100       100 100  101 100  SV: NguyÔn ThÞ V©n 56 Líp: K35D - To¸n 2  0 Khãa luËn tèt nghiÖp  99 5101   2.3101 24 97 2100 99    2. C100  C100   C100   S 101 100   S  5100   2.3101 (đpcm) 202   Bài 52 Cho tích phân: I   x x  2n dx ; n  ; n chẵn a Tính I 1 1 1 C n  Cn  Cn   Cnn  2n  2( n  1) b Chứng minh: Hướng dẫn:Tương tự 50 2.4.4 Phương pháp 4: Đồng hệ số Bài 53 Tính tổng: S  C80C12  C81C12  C82C12   C88C12 Giải Chọn khai triển:  x  18  C80  C81 x  C82 x   C88 x8  x  112  C120 x12  C81x11  C82 x10   C88 x   C128 x8  C127 x   C120 x 12   x  1  x  1    C80C12  C81C12  C82C12   C88C12  x8  12 Mặt khác:  x  1  x  1   x  1 20 8   C20 x  Vậy S  C20 Bài 54 Cho ∈ ℕ Chứng minh: 2       Cn0  Cn1  Cn2     Cnn  C2nn Giải Chọn khai triển: SV: NguyÔn ThÞ V©n 57 Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp  x  1n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n   x  1 n  x  1n    Cn0   Mặt khác:  x  1 n    C   Cn1 n 2    x   Cnn  x  1n   x  12 n   C2nn x n  n  (1) (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh  Bài tập đề nghị Bài 55 Cho số nguyên dương lẻ Chứng minh rằng: n n 2 n C   C   C      Cnn  Giải Chọn hai khai triển:  x  1n  Cn0 x  Cn1 x1  Cn2 x   Cnn x n  x  1n  Cn0 x n  Cn1 x n 1  Cn2 x n    Cnn x   x  1 n  x  1n    Cn0   2      Cn1  Cn2 (do n lẻ ) 2   Cnn  x n     Mặt khác :  x  1n  x  1n  ( x  1) n  Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x   C2nn x n   Hệ số bậc lẻ Do ta có điều phải chứng minh! 2.5 Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức chứa Bài 56 Cho hai số dương a ; b thỏa mãn a  b  Chứng minh với số tự nhiên ta có: a n  bn  n 1 Giải Đặt a  1 h&b h 2 Khi đó: SV: NguyÔn ThÞ V©n 58 Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp n n 1  1  a  b    h    h 2  2      h h2 h h2   n  Cn1 n 1  Cn2 n      n  Cn1 n 1  Cn2 n    2 2 2  2  h h  n1  Cn2 n3  Cn4 n5   n1 2 2 n n  Điều phải chứng minh ! n Bài 57 Cho n  ; n  Chứng minh rằng:  n  1  n n 1 (1) Giải n  n 1 (1)      1  n n  n  n Xét khai triển: n n!  1 11 n   1    Cn  Cn  Cn   Cn n    n n n 2!(n  2)!n nn  n  1  1    1  n n n  1  1    n (đpcm)  n Bài 58: Cho số m ; n  * : m  n Chứng minh rằng: n m 1  1  1        n  m Giải Xét khai triển nhị thức: n  1 11 n 1     Cn  Cn  Cn   Cn n n n n n  n n! n! 11    n 2!(n  2)!n 3!(n  3)!n n SV: NguyÔn ThÞ V©n 59 Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp 11 n  (n  1)(n  2)    n 2n 3!n n         n 1     1    1  1     1   1    n  3! n  n  n! n   n  Tương tự:   1    n 1 n 1   Cn1 1 1  Cn21   Cnn11 n 1 (n  1) (n  1) n 1 1     n     1     1   1    n 1 (n  1)!  n    n   n 1    So sánh:    &    n n 1   Từ suy m ; n  * n 1 n 1    ta có:        n n 1   n 1 : m  n thỏa mãn toán Bài 59 Chứng minh rằng: Cn1  2Cn2   nCnn  n! ,  n  ; n  n Giải Ta có : 1  x n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x n  n 1  x  n 1  Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x   nCnn x n 1 Chọn x  ta có: n.2n 1  Cn1  2Cn2  3Cn3   nCnn Cn1  2Cn2   nCnn   2n 1 n Ta chứng minh: 2n 1  n! (*) n  ; n  phương pháp quy nạp toán học Với n  ta có: 22  ((*) đúng) Giả sử (*) với n  k , ( k  , k  ) , tức k 1  k ! (1) SV: NguyÔn ThÞ V©n 60 Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp Ta chứng minh (*) với n  k  , tức 2k  ( k  1)! 2k  2.2k 1  2.k ! (theo (1))  ( k  1) k !  k  ,k 3  (k  1)!  (*) với n  ;n3 Vậy ta có điều phải chứng minh!  Bài tập đề nghị Bài 60 Cho số m ; n  : n  m  Chứng minh rằng:  1 1    n n 1 1   1    m m 1 Hướng dẫn: m 1 1  1   Chứng minh:  m  m  m    1   m 1  TIỂU KẾT: Ở chương 2, đưa hệ thống 60 tập tương ứng với dạng toán ứng dụng nhị thức Niu-tơn nhằm giúp em thêm lần nắm vững kiến thức nhị thức Niu-tơn, qua rèn luyện cách thành thạo kĩ vận dụng nhị thức Niu-tơn dạng toán Với hệ thống tập phần giúp học sinh nâng cao khả phân tích gặp toán khắc phục định hướng sai lệch không đáng có.Trong đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học cao đẳng thường xuất toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn, đối tượng học sinh đặc biệt học sinh giỏi việc phân chia hệ thống tập điều thật cần thiết SV: NguyÔn ThÞ V©n 61 Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp C KẾT LUẬN Khóa luận trình bày cụ thể chi tiết dạng toán chủ đề “Nhị thức Niu-tơn ứng dụng” chương trình phổ thông Thông qua việc nghiên cứu đề tài đạt số kết sau: Thứ nhất, vào nghiên cứu nhị thức Niu-tơn ứng dụng Tôi đưa dạng toán ứng dụng nhị thức Niu-tơn, đồng thời dạng toán trình bày cụ thể phương pháp giải, toán mở rộng ví dụ tương ứng đồng thời đưa số sai lầm thường mắc phải học sinh phổ thông ứng dụng nhị thức Niu-tơn cách khắc phục sai lầm nhằm cung cấp phản ví dụ giúp học sinh nắm kiến thức cách vững Thứ 2, xây dựng hệ thống tập minh họa cho dạng toán ứng dụng nhị thức Niu-tơn Ở dạng toán đưa tập mức độ khác nhau, từ dễ đến khó, trường hợp đặc biệt mở rộng tập trình bày lời giải cụ thể Phần tập đề nghị nhằm củng cố kiến thức, mở rộng nâng cao trình tư cho học sinh Với việc phân chia xây dựng hệ thống dạng tập vậy, học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo, linh hoạt việc sử dụng nhị thức Niu-tơn thấy vai trò việc giải toán Do lần nghiên cứu đề tài toán học với lực có hạn thân nên có lẽ khóa luận chưa đưa hết dạng toán ứng dụng nhị thức Niu-tơn đề cập hết sai lầm thường gặp học sinh giải dạng toán Với việc nghiên cứu đề tài, hi vọng phần giúp học sinh hiểu nhiều SV: NguyÔn ThÞ V©n 62 Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp sâu nhị thức Niu-tơn ứng dụng nó, từ em giải thành thạo tập có liên quan Bản thân thấy tư liệu quý báu phục vụ cho công việc giảng dạy sau Tôi kính mong nhận góp ý qúy thầy cô để đề tài hoàn thiện SV: NguyÔn ThÞ V©n 63 Líp: K35D - To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Giáo dục Đào tạo (2007), Đại số giải tích 11 (nâng cao), Nhà xuất Giáo dục Bộ Giáo dục Đào tạo (2007), Bài tập đại số giải tích 11 (nâng cao), Nhà xuất Giáo dục Đậu Thế Cấp, Huỳnh Công Thái (2007), Giải toán tự luận trắc nghiệm Các chuyên đề tổ hợp xác suất - Biên soạn theo tinh thần tự luận trắc nghiệm, Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Hà Văn Chương (2011), Phương pháp giải toán giải tích tổ hợp xác suất (giải chi tiết), Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Văn Lộc (2011), Chuyên đề toán tổ hợp - Thống kê – Xác suất – Số phức (Bồi dưỡng học sinh giỏi – Luyện thi đại học), Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Huỳnh Công Thái (2007), Phương pháp giải tự luận trắc nghiệm Tổ hợp xác suất 11, Nhà xuất Hải Phòng SV: NguyÔn ThÞ V©n 64 Líp: K35D - To¸n [...]... khi ng dng nh thc Niu- tn Bi toỏn ng dng nh thc Niu- tn rt a dng, phong phỳ v tng i khú ũi hi s vn dng linh hot nh thc Niu- tn, cỏc tớnh cht ca nú, cỏc phng phỏp tớnh tớch phõn v c bit l kh nng nhn dng cỏc dng toỏn ny Qua vic quan sỏt, tỡm hiu v kin thc v k nng ca hc sinh cú th thy rng trong quỏ trỡnh gii hc sinh thng mc phi mt s sai lm khụng ỏng cú dn n li gii sai nh: 1 Vn dng sai nh thc Niu- tn i vi tng... nay) ch a ra mt s ng dng c bn v n gin ca nh thc Niu- tn Vỡ vy hc sinh gp nhiu hn ch v kin thc cng nh kh nng phõn tớch khi gii cỏc bi toỏn ny Theo chng trỡnh mi thỡ mng kin thc chng trỡnh SGK lp 11 ch gii c cỏc dng toỏn vi s m nguyờn T cỏc dng bi toỏn c bn ng dng trc tip nh thc Niu- tn nh khai trin nh thc Niu- tn, xỏc nh h s hay s hng trong khai trin nh thc Niu- tn, tụi m rng cỏc ng dng thnh cỏc dng m vi... gii c nh mt s dng toỏn nh thc Niu- tn vi a, b cú s m hu t, s thc; khai trin ly tha cú nhiu s hng; xỏc nh h s ln nht trong khai trin nh thc Niu- tn; c bit l cỏc bi toỏn liờn quan n o hm, tớch phõn Vic phõn dng cỏc ng dng ny nhm nõng cao kin thc v k nng vn dng cỏc ng dng nh thc Niu- tn mt cỏch thnh tho v hiu qu trong cỏc kỡ thi l tht s cn thit Núi chung, cỏc ng dng nh thc Niu- tn tuy khụng quỏ nhiu nhng... trỡnh, bt phng trỡnh cú ng dng ca nh thc Niu- tn cng thuc dng bi tp ny 1.2.4 Dng 4: Chng minh ng thc cha hay tớnh tng t hp Thc cht ca dng toỏn ny l liờn quan n tng cỏc h s khai trin ca nh thc Niu- tn Do ú, dng ny cú nhiu phng phỏp gii nờn ta cn da vo c trng ca tng s hng la chn phng phỏp gii cho phự hp Cỏc phng phỏp c bn thng dựng vi dng toỏn ny gm: Thun nh thc Niu- tn; Dựng o hm cp, cp 2; SV: Nguyễn... vng cỏc kin thc v nh thc Niu- tn v cỏc ng dng c bn ca nú, trờn c s ú nhn dng cỏc dng bi tp liờn quan n tng ng dng cú phng phỏp gii hp lớ l mt vic lm cú ý ngha thc tin Trong chng 2, tụi s i xõy dng h thng bi tp c th minh ha cho nhng ng dng ú SV: Nguyễn Thị Vân 29 Lớp: K35D - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chng 2: XY DNG H THNG BI TP LIấN QUAN N NH THC NIU- TN TRONG CHNG TRèNH MễN TON PH THễNG 2.1 Dng 1:... Bit trc giỏ tr ca h s hay s hng no ú trong khai trin Tỡm giỏ tr ca n tham gia Phng phỏp gii: Khai trin nh thc Niu- tn ri da vo h s hoc s hng tỡm giỏ tr ca n Vớ d 8: (Bi 24-SGK/trang 67 - i s v gii tớch 11 - Nõng cao) n Bit rng h s ca x n2 1 trong khai trin x bng 31 Tỡm 4 Gii Theo cụng thc Niu- tn, ta cú: n n 1 1 x Cnk x n k 4 k 0 4 Khi ú h s ca Theo gi thit ta cú: trong khai trin k... thc Niu- tn i vi tng cú an du; 2 Cha nm vng tớnh cht ca nh thc Niu- tn; 3 Nhm ln gia hai dng toỏn s dng o hm v tớch phõn do nh nhm cụng thc o hm, tớch phõn; 4 Gii sai hoc tớnh toỏn nhm do k nng cha thnh tho, cha nm vng nhng kin thc cú liờn quan v do yu t tõm lớ, Sau õy tụi xin a ra mt s vớ d in hỡnh cho nhng sai lm ca hc sinh khi ng dng nh thc Niu- tn: n Vớ d 1: Khai trin 2 x +) Li gii sai: Ta cú: ... vng nhng kin thc c bn v nh thc Niu- tn v cỏc ng dng c bn ca nú SV: Nguyễn Thị Vân 27 Lớp: K35D - Toán Khóa luận tốt nghiệp +) Cn cho hc sinh nhn dng bi toỏn, nm c phng phỏp gii tng dng toỏn thụng qua cỏc vớ d v thng xuyờn rốn luyn k nng phõn tớch bi toỏn, lm bi tp +) Sau khi hc xong o hm v tớch phõn, giỏo viờn cn cho hc sinh ỏp dng kin thc mi vo mt s bi toỏn v nh thc Niu- tn dng n gin +) Trong quỏ trỡnh... biu thc m mi biu thc l mt nh thc Niu- tn n A Cnk x y nk z t k k 0 Tng quỏt: i vi khai trin ly tha cha n s hng ta cng a ly tha v tớch cỏc nh thc ri khai trin.Tuy nhiờn cỏc dng m rng vi n 5 , ớt gp chng trỡnh ph thụng Tựy theo yờu cu ca bi toỏn m ta cú nhng cỏch khai trin thớch hp sao cho bi toỏn tr nờn n gin d gii õy l dng toỏn c s ca cỏc dng toỏn ng dng nh thc Niu- tn Cỏc dng toỏn tip theo u... nh thc Niu- tn; Dựng o hm cp, cp 2; SV: Nguyễn Thị Vân 17 Lớp: K35D - Toán Khóa luận tốt nghiệp Dựng tớch phõn; ng nht h s a Phng phỏp 1: Thun nh thc Niu- tn Du hiu nhn bit: Khi cỏc s hng ca tng cú dng Cnk a n k b k thỡ ta s dựng trc tip cụng thc Niu- tn: a b n n Cnk a n k b k Cn0 a n Cn1 a n 1b Cnn 1ab n 1 Cnnbn k 0 Vic cũn li chn cho khộo a v b.Ta cú th xột khai trin ( x b)n , sau ú