Sử dụng khai triển nhị thức niu tơn và tính chất tổ hợp vào bài toán tính tổng có chứa tổ hợp

Khi xem nội dung quyển sách này tôi cũng thấy rất rõ sự kết hợp khai triển nhị thức Niu-Tơn và phép toán đạo hàm, tích phân để tạo nên những tổng mới, ý tưởng này còn xuất hiện ở rất nhi

MỤC LỤC

Trang

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.4 Hiệu quả đạt được của sáng kiến kinh nghiệm 13

3.1 Kết luận 14 3.2 Kiến nghị 14

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong quá trình giảng dạy môn toán phổ thông ở phần “ Nhị thức Niu-Tơn”, ta bắt gặp bài toán: Tính tổng nhờ khai triển nhị thức Niu-Tơn, kết hợp với việc lựa chọn giá trị phù hợp, lấy đạo hàm, lấy tích phân.Ý tưởng này được thể hiện rất rõ ở nhiều cuốn sách tham khảo, đặc biệt được in lên trang bìa hình ảnh như sau:

Đạo hàm

0

n

n k





x=1

0

(1 x)

n

n k

C x



1

0

n n k

C









�

1 0 (x)

�

�

“Phương pháp giải tích tổ hợp”

Lê Hồng Đức NXB Hà Nội, 2005

Khi xem nội dung quyển sách này tôi cũng thấy rất rõ sự kết hợp khai triển nhị thức Niu-Tơn và phép toán đạo hàm, tích phân để tạo nên những tổng mới, ý tưởng này còn xuất hiện ở rất nhiều sách tham khảo khác nữa

Còn sách giáo khoa hiện nay thì chương “Tổ hợp - Xác xuất” lại được sắp xếp ở kỳ 1 lớp 11 Khi các em chưa được học đạo hàm, tích phân Nhiều năm liền tôi cũng như nhiều giáo viên tạm gác lại nội dung này, chờ đến khi các em được học đạo hàm, tích phân thì mới bổ sung lại nên kiến thức bị gián đoạn Khi được bổ sung lại các em đã quên kiến thức cũ nhiều

Vì vậy với mong muốn, làm thế nào để một học sinh lớp 11 chỉ với kiến thức sẵn có vẫn có thể làm được bài toán tính tổng mà không cần kết hợp với

đạo hàm, tích phân, tôi nghiên cứu đề tài: “Sử dụng khai triển nhị thức

Niu-Tơn và tính chất tổ hợp vào bài toán tính tổng có chứa tổ hợp”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Góp phần giải quyết chỉ một lớp các bài toán tính tổng có sử dụng khai

triển nhị thức Niu-Tơn và tính chất của tổ hợp:

1 1



1

1 k 1 k





 vào bài toán tính tổng.

- Bồi dưỡng cho học sinh lớp 11 nâng cao về phương pháp, kĩ năng giải toán nhị thức Niu-Tơn Qua đó, học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

- Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ bản thân để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp và đóng góp một phần nào đó vào việc nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường phổ thông

1.3 Đối tượng nghiên cứu

-Đối tượng nghiên cứu của tôi chỉ là dạng bài toán tính tổng có áp dụng

khai triển nhị thức Niu-Tơn và tính chất tổ hợp

-Đề tài được áp dụng cho học sinh lớp 11

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu liên quan, SGK, SGV, SBT, tài liệu về Nhị thức Niu-Tơn

- Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm

- Phương pháp thực nghiệm, đối chiếu, so sánh

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận

Để thực hiện đề tài tôi đã dưạ vào các công thức, hệ quả, chú ý, nhận xét

ở bài “ Nhị thức Niu-Tơn” và công thức và tính chất tổ hợp ở bài “Hoán

vị-Chỉnh hợp-Tổ hợp” thuộc chương II- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích

11,NXB giáo dục,2007

* Khai triển nhị thức Niu-Tơn: với mọi cặp số thực a,b và mọi số n nguyên dương ta có:

(a b)n n . n . n k. n k k C n n

(a b)n . n . n . n ( 1) k k n k k ( 1) C n n n

* Công thức tính chất tổ hợp dùng trong sáng kiến này:

1 n k !(n k)!!

n C

k



 (0 k n; k, n� � �N*)

2 k n k

n n

C C  *

(0 k n; k, n N ) � � �

1 k . k

4 1

1

.



 

5 0 1 n 2n

6 0 1 2 ( 1) n n 0

C C C    C 

2.2 Thực trạng của đề tài

* Trước đây, khi chưa đổi sách giáo khoa (trước năm 2006) khi gặp bài toán: Tính tổng: 1 2 3

1 2 3 . n

2

n

n

Chúng ta vẫn thường sử dụng khai triển nhị thức Niu-Tơn kết hợp đạo hàm để giải quyết (trong tổng S1); hoặc khai triển nhị thức Niu-Tơn kết hợp tích phân để giải quyết ( trong tổng S2)

* Cụ thể hơn, ta phân tích về tổng S1: Ta thấy các hệ số đứng trước tổ hợp

cứ tăng dần ta nghĩ đến đạo hàm

Xuất phát từ khai triển (1 x)n 0 1 2 2 n n

Lấy đạo hàm 2 vế theo x: n.(1 x)n 1 1 2 2 3 3 2 n n 1

Thay x 1 vào 2 vế, ta được:

n.2n 1 1 2 2 3 3 n

Vậy 1

1 2n

* Tuy nhiên, cách giải trên không phù hợp với lớp 11 hiện tại đang học.Tình cờ, tôi bắt gặp cách giải khác như sau:

Dễ dàng chứng minh được: 1

1 k . k

1 1 1 1 n1 1 1 1 n1

.(1 1)n .2n

Vậy ra, sẽ có giải pháp thay thế cho cách truyền thống là dùng đạo hàm, tích phân

Để trả lời đầy đủ cho vấn đề này, tôi bắt đầu suy nghĩ xem, tất cả những ý tưởng dùng đạo hàm, tích phân để tính tổng liên quan đến khai triển nhị thức Niu-Tơn phải được thay thế bởi công thức của tổ hợp nào đó Cuối cùng, tôi đã đưa ra được dạng toán, phương pháp giải quyết bài toán tính tổng dựa vào khai triển nhị thức Niu-Tơn và 2 công thức tổ hợp được chứng minh là: 1

1 k . k





1

1 k 1 k





2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

2.3.1 Hướng dẫn học sinh phát hiện công thức (1) và liên hệ với các toán tử trong tổng cần tính.

a.Phát hiện công thức: 1

1 k . k

k C n C  và liên hệ.

!(n k)! (k 1)! (( 1) (k 1) !







�

Suy ra, khi phát hiện trong đề có toán tử . k

n

k C thì biến đổi thành: 1

1 k n

n C

Chẳng hạn, tính tổng 1 2 3 4

Trong tổng S1 có nhiều toán tử dạng: . k

n

k C nên ta nghĩ đến công thức (1):

1

1

k C nC  áp dụng công thức cho từng toán tử ta được:

1

1

1

1

1

n C











�



�

�

�

�

�

1 1

.(1 1)

.2

n n

n

n







2.3.2 Hướng dẫn học sinh phát hiện công thức (2) và liên hệ với các toán tử trong tổng cần tính.

Từ công thức (1) : 1

1 k . k

k C n C  Suy ra: 1

1

.







Hay thấy: 1

1

1

. k n

C k



 biến đổi hết thành 1. k

n

C n

1 1 k . k

Chẳng hạn, tính tổng: 0 1 2 1

1

n

n





Trong tổng S2 có nhiều toán tử dạng: 1

1

1 k n

C k



 nên ta nghĩ đến công thức (2)

1

1



 

Áp dụng công thức cho từng toán tử ta được:

1

1

1

1 1

.

n

n

n











�

�

�

�

�

�

1

1

n

n





1

1

n

n





  1

1

2 1

n n



Trên đây, bước đầu tôi hướng dẫn học sinh chứng minh công thức(1),(2)

và áp dụng ở mức độ đơn giản hai công thức ấy vào bài toán tính tổng Tuy nhiên, với mong muốn thay thế toàn bộ ý tưởng dùng đạo hàm, tích phân một lần hoặc nhiều lần vào bài toán tính tổng Tôi đã cố gắng chia dạng toán này thành nhiều loại có ví dụ và phân tích để làm, có nhận xét và bài tập tương tự để học sinh tự rèn luyện phương pháp

2.3.3 Phân loại dạng toán

LOẠI 1: Trong bài toán tính tổng chứa tổ hợp các toán tử có dạng

. k

n

k C ở đó *

(k, n Σ�N ,0 k n).

Phương pháp: sử dụng công thức: 1

1

VD 1.1: Tính tổng sau:

S C  C  C     n C

* Phân tích: Tổng trên các hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần từ

1,2,3,4, ,n Tức là, các toán tử của tổng có dạng . n

n

k C Vì vậy, có thể áp dụng công thức: lần lượt vớ với k=1,2, ,n.1

1





* Bài giải:

+ Áp dụng công thức lần lượt với k=1,2, n

Ta có:

1

1

1 1 1

2 C

(n 1).C

n C

n C











�



�

�

�

�

�

+ Cộng vế với vế tất cả các đẳng thức trên ta được:

 0 1 2 1

S n C  C   nC  C  n.(1 1)  n 1 n.2n 1

* Cách giải áp dụng khai triển Niu-Tơn kết hợp đạo hàm:

Lấy đạo hàm theo x hai vế của đẳng thức trên ta được:

(1 )n 2 (n 1).Cn n .n n (*)

n x  C  C x    x  n C x  Thay x 1 vào (*), ta được: .2n 1 1 2 2 (n 1).Cn 1 n

n  C  C     n C Vậy S n 2n 1

* Nhận xét: Rõ ràng, với việc sử dụng công thức 1

1



 ta đã làm

được bài toán mà đáng lẽ ra phải đợi khi học phép toán đạo hàm mới giải quyết được

VD 1.2: Tìm số nguyên dương n sao cho:

2 1 2.2 2 1 3.2 2 1 4.2 2 1 (2 n 1).2 n 2n1 2019(*)

* Phân tích và hướng giải:

Xét tổng ở vế trái của hệ thức (*), ta thấy mỗi toán tử cũng có xuất hiện các hệ số đứng trước các tổ hợp tăng dần và có dạng: 1

2 1 k .2k n

k C   nên áp dụng

.Ck (2 n 1) Ck

k     lần lượt với k=1,2, ,2n+1 nó chính là công thức:

1

1

. k . k



 khi thay n bởi 2n 1

Vế trái của hệ thức (*) được biến đổi thành:

(2 1)( 2 2 2 n.2 ) (2n 1)(1 2) n 2 1

Từ đó, ta tìm được n=1009

* Nhận xét: Có thể tổng quát hóa cho học sinh bài toán tính tổng dạng:

Cho a>0, n là số nguyên dương, tính tổng:

2 2 1 2 2 1 3 2 1 (2 1). n 2n1

LOẠI 2: Trong bài toán tính tổng chứa tổ hợp các toán tử có dạng

.(k 1). k

n

k  C ở đó (k, n �N* ,1 k n)  � .

1 1 k . k

Phương pháp: sử dụng công thức: 1

1

kC nC  hai lần

VD 2.1: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:

3.2 4.3 (n 1).Cn (n 1).2n

*Phân tích: Toán tử tổng quát có dạng (k 1).Ck

n

k  áp dụng công thức

1

1

. k . k

k C n C hai lần ta được:

   1 1

(k 1).Ck (k 1) . k (k 1) k (k 1).Ck

      � �

2 (k 1).Ck (n 1).Ck

k  n   lần lượt cho k 2,3, 4, ,n

ta được :

2

2

2

2 2

2.1 (n 1).C

3.2 (n 1).C

4.3 (n 1).C

(n 1).C (n 1).C











�

�

�

�

�

�

+ Cộng vế với vế tất cả các đẳng thức trên ta được:

( Bài toán được chứng minh)

* Cách giải kết hợp kiến thức Niu-Tơn và đạo hàm hai lần : Xét khai

triển : (1 x)  n  0 1 2 2 3 x 3 Cn n

vế của khai triển trên ta được:

(n 1)(1 x)n 2.1 3.2 (n 1) Cn n

Thay x 1 vào hai vế ta được điều phải chứng minh

* Nhận xét 1: Một lần nữa khẳng định lại rằng, những bài toán mà ý

tưởng là phải kết hợp khai triển Niu-Tơn và đạo hàm 1 lần hoặc nhiều lần đều đã được giải bằng cách sử dụng công thức: 1

1

k C nC  một hoặc nhiều lần

* Nhận xét 2: Có thể tổng quát hóa dạng toán mà tất cả các toán tử có

dạng : .(k 1)(k 2) (k ).Ck (0 m k n)

n

k   m �  � bằng cách sử dụng công thức

1

1

.

kC n C  m lần.

3 1.2.3 2.3.4 (n 2)(n 1) n.Cn

LOẠI 3 : Trong bài toán tính tổng có chứa tổ hợp, các toán tử có dạng : 1

1

1 k n

C k





Phương pháp : Sử dụng công thức 1

1



 

VD 3.1 : Rút gọn biểu thức :

n

n



2 2 (n 1).Ck

n

(Giải tích tổ hợp LÊ HỒNG ĐỨC)

* Phân tích : Tổng trên các hệ số đứng trước tổ hợp có dạng là một phân

số mà mẫu số tăng dần 1, 2,3 n1 Tức là các toán tử của tổng có dạng : 1 1

. k n

C k



Vì vậy có thể áp dụng công thức 1

1



  , khi n 1 thay bởi n ta được :

1

1

.

1







 và áp dụng lần lượt cho

0,1, 2, ,

*Bài giải :

+ Áp dụng công thức : 1

1

1







 lần lượt với k 1, 2,3 ta được :

1

1

1

1 1

.

n

n

n











�

�

�

�

�

�

Cộng vế với vế tất cả các đẳng thức trên ta được :

      1

n





* Cách giải áp dụng khai triển nhị thức Niu-Tơn kết hợp tích phân :

Lấy tích phân theo xcận từ 0 đến 1 của (*), ta được :

0 1 2 2

1

(1 x) (C C x C x C x )

n

n n





n

* Nhận xét : Với việc sử dụng công thức : 1

1



  đã giải quyết được

bài toán tính tổng mà nếu sử dụng tích phân thì phải chờ tới cuối năm lớp 12

mới giải quyết được

VD 3.2 : (Đề thi ĐH khối B năm 2003)

Cho n là số nguyên dương tính tổng :

4

n

n

n





* Bài giải : Tách và áp dụng công thức : 1

1



 

4

n n

 

n





LOẠI 4 : Trong bài toán tính tổng có chứa tổ hợp, các toán tử có dạng :

1

(k 1)(k 2)

k n

C

Phương pháp: sử dụng công thức : 1

1



 

hay chính là công thức : 1

1







VD 4.1 : Chứng minh rằng tổng:

2

5

n n

n

  

* )

* Phân tích và hướng giải:

Mỗi toán tử ở vế trái có dạng 1 .

(k 1).(k 2)

k n

C

  ta biến đổi để áp dụng hai lần công

1

1







(*) (k 1)(k 2) (n 1)(n 2)





Áp dụng công thức (*) lần lượt với k 0,1, 2 ta được tổng

 

2 2

1

C (n 1)(n 2)

1

C (n 1)(n 2)

(2 n 2 1)

n

n

n n

n









 

(Điều phải chứng minh)

* Nhận xét: Qua VD4.1 có thể tổng quát hóa dạng toán tính tổng mà tất

cả các toán tử có dạng:

1

(k 1)(k 2) (k m)

k n

C

   thì sẽ sử dụng công thức

1 1



  m lần

VD4.2: Tính tổng:

6

1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)(n 2)(n 3)

n

* Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức: 1

1



  (3 lần)

LOẠI 5: Các ví dụ tổng hợp có biến đổi đưa về 4 loại trên

VD 5.1: Tính tổng:

7 1 2020 2 2020 3 2020 2020 2020

* Bài giải: Xét số hạng tổng quát:

2 k

n

k C (ở đó k  1, 2,3 , 2020;n 2020) (k 1) Ck . k

 1 1  1 1 2 1

(k 1) . k . k (k 1) Ck . k .(n 1).Ck . k

. k ( 1).Ck . k

k C n n  n C  Áp dụng cho k  1, 2,3, , 2020; n 2020

.(n 1).2n .2n

2018 2019 2018

2018

2019.2020.2 2020.2

2020.2 (2019 2)

2020.2021.2



VD5.2: Tính tổng:

8 n 5 2020 9 2020 8081.C 2020

Bài giải:

+ Xét số hạng tổng quát của tổng có dạng:

(4 k 1).Ck (n 2020,0 2020)

=4 . k k

n n

1

 �    � �    � 4 2n n 1  2n

Với n = 2020;

8 8080.2 2 2 (8080 2) 8082.2

VD 5.3: (Đại học mở 98).

Chứng minh rằng:

1

n n

n

 

* Bài giải: số hạng tổng quát của vế trái là:

1 1

k

n

C

1

.







Cũng chính là công thức: 1

1



1







1

1 1

n

n







1

3(n 1)

n 

 VP(điều phải chứng minh).

VD 5.4 : Tính tổng :

* Bài giải :

+ Số hạng tổng quát của S9 có dạng : 2020

1 2

k

C

+ Biến đổi : 2020 2020





2021 2021 2022

1

2021

2022 2022 2022

1

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :

Bài 1 : Chứng minh rằng :

2

n



Bài 2 : Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng :

 1 2 3 

1

Bài 3 : Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng :

2 3 1 1

n

Bài 4 : Với n �N* Chứng minh rằng :

1 2

n n

n

C

n



Bài 5 : Tìm n *

2 5 8 (3n 2).Cn 1600

Bài 6 : Tính tổng :

1

1.2.3 2.3.4 ( 1)(n 2)(n 3)

n

n



Bài 7 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn :

1 3 2 .3 2 2 3 .3 3 3 ( 1) 3n 1 n n 33792

Bài 8 : Tính tổng : 1.2 1 2.3 2 (n 1). n

Bài 9 : Chứng minh rằng :

n n n

C

Bài 10 : Rút gọn :

(C ) (C ) (C ) (C )

n

A

n



Bài 11 : Với n N� * CMR :

n

C

 

Bài 12 : Rút gọn :

n

n



Bài 13 : Tính tổng :

n

S

n

� � � � � �   � �



Bài 14 : Tính tổng :

n

2.4 Hiệu quả đạt được của sáng kiến kinh nghiệm

Sau khi được phân tích dạng toán, cung cấp kỹ thuật và rèn luyện hệ thống kiến thức trên, hầu hết các em học sinh khá, giỏi ở các lớp 11 tôi dạy đã tỏ

ra mạnh dạn, tự tin và linh hoạt hơn khi gặp bài toán dạng đã xét Đa số các em

đã hiểu và vận dụng được phương pháp, hiểu được xuất phát từ công thức quen thuộc, biến đổi thành công thức mới của tổ hợp, và biết nhận ra, áp dụng vào một dạng toán tính tổng có chứa tổ hợp mà trước đây khi chưa nghiên cứu đề tài này các em sẽ chưa làm được tại thời điểm lớp 11 Đặc biệt, nó cũng giúp các

em đỡ e ngại khi gặp bài toán tính tổng và hình thành thói quen tốt là phân tích

đề bài trước khi làm để định hướng đúng cách giải, rèn luyện được tính chủ động trong học tập Các em học sinh khá, giỏi đã biết tìm chọn, sáng tạo bài tập tương tự và làm được nhiều bài tập tương tự trong các tài liệu tham khảo

Trước đây, khi tôi chưa nghiên cứu đề tài này thì tới khi học đạo hàm và tích phân mới có thể ôn tập lại nhị thức Niu-Tơn và giao cho học sinh làm loại toán kết hợp khai triển nhị thức Niu Tơn với đạo hàm và tích phân.Tuy nhiên, phần đạo hàm ở chương 5 sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11, còn phần tích phân ở gần cuối sách giải tích lớp 12 nên mỗi khi dạy bổ sung lại, bản thân tôi và các em học sinh bị mất rất nhiều thời gian ôn tập, nhắc lại phần khai triển nhị thức Niu -Tơn và đại đa số các em học sinh bị quên.Giờ đây, khi áp dụng đề tài này cho học sinh lớp 11 tôi dạy năm học 2018-2019 và 2019-2020 tôi thấy đa

số các em học sinh đều rất hứng thú và tiếp thu tốt phần này ở trong các tiết tự chọn và ở buổi bồi dưỡng chuyên đề cho học sinh khá giỏi.Đánh giá khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức trong đề tài này nhờ vào việc kiểm tra 1 tiết ở hai lớp 11 tôi dạy vào hai năm học 2018-2019 và 2019-2020 tôi thấy kết quả như sau :

lên

Tính ra %

Kết quả trên, theo tôi là rất đáng khích lệ và trân trọng

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.

3.1 Kết luận

Dạy Toán ở trường THPT là một quá trình sáng tạo Mỗi giáo viên đều tự hình thành cho mình một con đường ngắn nhất, những kinh nghiệm hay nhất để đạt được mục tiêu giảng dạy là đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, những chủ nhân