ôn thi ĐH môn Toán toàn tập

MỤC LỤC PHẦN I: ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH  BẤT ĐẲNG THỨC  BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI  PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ  PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC  PHƯƠNG TRÌNH VÀ B

Trang 1

MỤC LỤC

PHẦN I: ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH

 BẤT ĐẲNG THỨC

 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 CÁC BÀI TOÁN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT

 BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT

 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

 SỐ PHỨC

 ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC XUẤT

PHẦN II HÌNH HỌC

 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

 NHẬN DẠNG TAM GIÁC

 PHỤ LỤC

Trang 3

PHẦN I: ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH

11

b a

11



2/ Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:

 -a a a với aR  x a-a < x < a (với a>0)

 x ax < -a hoặc x > a (với a>0)  a  b  ab  a  b (với mọi a,bR)

3/ Bất đẳng thức CauChy:

Với mọi a0,b0 ta có: ab  ab

2 Đẳng thức xảy ra khi a = b

4/ Một số bất đẳng thức hiển nhiên đúng thường sử dụng:

 [A(x)]2  0 x  R  [A(x)]2 + [B(x)]2  0 x  R

* Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a4 + b4  a3b + ab3 (a, b  R); b)

b a b

41

1 (a, b > 0);

a

b b

a    (a, b > 0); d) a2 + b2 + c2 + 3  2(a + b + c), a, b, c  R; e) x2 + y2 + z2  xy + yz + zx; f) a2 + b2 + 1  ab + a + b

Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau dựa vào bất đẳng thức CauChy:

a) (a + b)(b + c)(c + a)  8abc (a, b, c > 0); b) (a + b + c)(a2 + b2 + c2)  9abc (a, b, c > 0); c)

c

ab b

ca a

bc   a + b + c (a, b, c > 0); d) a2009 > 2009(a - 1) với a > 0

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x + 3)(5 - x) với -3  x  5

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

x

x ; c) f(x) = x2 + 23

x , x > 0 Bài 5: Định x để các hàm số sau đây đạt giá trị nhỏ nhất:

Trang 5

* BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI *

I BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT:

1/ Giải và biện luận bất phương trình: ax + b > 0 (1)

Bước 1: Ta biến đổi bất phương trình (1) về dạng ax > -b

Bước 2: Biện luận:

Nếu –b < 0 thì (1) thỏa mãn x  R

Nếu –b  0 thì (1) vô nghiệm

2/ Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn:

Cho hệ bất phương trình

2

1 1

1

Snghiệmtập

có0bxa

Snghiệmtập

có0bxa

Tập nghiệm của hệ là S = S1  S2

* Chú ý: Chỉ cần một bất phương trình vô nghiệm thì hệ vô nghiệm

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình: mx + 1 > x + m2

Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình:

04

092

x x

f(x) trái dấu với hệ số a 0 cùng dấu với hệ số a

với -b/a là nghiệm của nhị thức

Ví dụ: Xét dấu các biểu thức sau:

a) A = (x - 3)(x + 1)(2 - 3x); b) B =

)12)(

2(

III DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI:

1/ Xét dấu tam thức f(x) = ax 2 + bx + c (a  0):

 Tính  = b2 - 4ac (hoặc ' = b'2 - ac nếu b chẵn)

 Nếu  < 0 thì: phương trình f(x) = 0 vô nghiệm và

x - +

f(x) Cùng dấu với a

 Nếu  = 0 thì: phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép x =

f(x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a

 Nếu  > 0 thì: phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 (x1 < x2) và

x - x1 x2 +

Trang 6

 Dạng: ax2 + bx + c > 0 (hoặc , <, )

 Cách giải: Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái rồi dựa vào bảng xét dấu chọn dấu "+" hoặc dấu "-" tùy vào chiều bất phương trình

3/ Giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn:

Cho hệ bất phương trình

2 2

1 1

2 1

Snghiệmtập

có0b

xa

Snghiệmtập

có0b

xa

2

1

c x

c

Tập nghiệm của hệ là S = S1  S2

* Chú ý: Chỉ cần một bất phương trình vô nghiệm thì hệ vô nghiệm

Ví dụ 1: Giải các hệ bất phương trình sau:

01132

x x

02732 2

x x

Ví dụ 2: Tìm m để f(x) = (m - 1)x2 - 2(m + 1)x + 3(m - 2) > 0, x  R

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

a) (- 2 x + 2)(x + 1)(2x - 3) > 0; b)

1

121

11

12

4 2

x x

mx m

4

3

x x

m x mx

Bài 6: Tìm a, b để bất phương trình (x - 2a + b - 1)(x + a - 2b + 1)  0 có tập nghiệm S = [0; 2]

Bài 7: Tìm m để:

a) mx2 - 10x - 5 < 0 nghiệm đúng với mọi x; b) f(x) = mx2 - 10x - 5  0 x  R Bài 8: Tìm để bất phương trình mx2 - x + m  0 vô nghiệm

* Bài tập tự luyện:

52

2    



x x

x

2

12

11

x

65

652

05112

2 2

x x

01522 2

x x

020392 2

x x

0122

2

x x

0122

2

x x

0302

2

x x

Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau đây nghiệm đúng với mọi x  R:

a) 5x2 - x + m > 0; b) m(m + 2)x2 + 2mx + 2 > 0

Trang 7

* PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ *

I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT:

1/ Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 (1):

 Biến đổi phương trình (1) về dạng: ax = - b (2)

Nếu b  0 thì phương trình (2) vô nghiệm

Nếu b = 0 thì phương trình (2) có nghiệm x  R

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình m2x + 2 = x + 2m

2/ Điều kiện về nghiệm số của phương trình ax + b = 0 (*):

 Phương trình (*) có nghiệm duy nhất  a  0;

 Phương trình (*) vô nghiệm 

0

b

a

Ví dụ1: Tìm các giá trị của m để phương trình:

a) (4m2 - 2)x = 1 + 2m - x vô nghiệm; b) m2x - m = 25x - 5 nghiệm đúng x  R; c) m(m - 1)x - m = m2 - 1 có một nghiệm

Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

1/ Giải và biện luận phương trình ax 2 + bx + c = 0 (1):

 Trường hợp 1: a = 0 thì (1) là phương trình bậc nhất (ta giải cụ thể)

 Trường hợp 2: a  0 thì phương trình (1) là phương trình bậc 2 có:

 = b2 – 4ac (hoặc ’ = b'2 – ac, với b' =

2

b) Biện luận:

Nếu  < 0: phương trình (1) vô nghiệm

Nếu  = 0: phương trình (1) có nghiệm kép x1 = x2 =

a

b x

Trang 8

 Nếu a – b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm: x1 = -1;

a

c

x2 

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình: x2 - 2x = m(x - 1) - 2

2/ Điều kiện về nghiệm số của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (1):

c b

a

Ví dụ: Cho phương trình (m - 2)x2 - mx + 2m - 3 = 0 (*) Tìm m để:

a) Phương trình (*) có hai nghiệm; b) Phương trình (*) vô nghiệm

a

b x x S

2 1

 Định lí đảo: Cho 2 số bất kỳ u, v Khi đó u, v là nghiệm phương trình:

X2 - SX + P = 0, với S = u + v, P = uv (S2  4P)

 Ứng dụng của định lí Viét:

a) Tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

b) Dùng , S, P để xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

a) hai nghiệm trái dấu; b) hai nghiệm dương; c) hai nghiệm âm phân biệt

Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau:

a) x2 + (1 - m)x - m = 0; b) (m - 3)x2 - 2mx + m - 6 = 0

Bài 2: Tìm m để các phương trình sau:

a) 2x2 + 2(m + 1)x + 3 + 4m + m2 = 0 có nghiệm;

b) 3mx2 + (4 - 6m)x + 3(m - 1) = 0 có hai nghiệm bằng nhau;

c) (m2 + m + 1)x2 + (2m - 3)x + m - 5 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt;

d) x2 - 6mx + 2 - 2m + 9m2 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt

Trang 9

Bài 3: Chứng minh rằng các phương trình sau:

a) x2 + (m + 1)x + m -

3

1= 0 luôn có nghiệm với mọi tham số m;

b) (2m2 + 1)x2 - 4mx + 2 = 0 vô nghiệm với mọi m

Bài 4: Cho phương trình x2 - mx + 21 = 0 có một nghiệm là 7, tìm m và nghiệm còn lại

Bài 5: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình 2x2 - 11x + 13 = 0 Hãy tính:

a) 3

2 3

1 x

2 4

1 x

1

2 2 2 2

1

x x

x x x

x

x x

Bài 1: Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có hai nghiệm bằng nhau:

Bài 4: Với mỗi phương trình sau, biết một nghiệm, tìm m và nghiệm còn lại:

a) x2 - 9x + m = 0 có một nghiệm là -3; b) (m - 3)x2 - 25x + 32 = 0 có một nghiệm là 4

III MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI:

1/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Dạng: e

q px

 Phương trình đã cho tương đương: mx + n = e(px + q)

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình: 2

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) 2(x21)2 x2 ; b) 2x5 x3

Trang 10

a) (x - 2)(x - mx + 3) = 0; b) 0

3

)2)(

mx

Bài 3: Định m để các phương trình

1x

1

xmx

2x

m

x    



 có nghiệm

Bài 1: Định m để các phương trình sau vô nghiệm:

1x

2x1x

x1

ax

1x

2mmmx

12x

3mmx

k

x3x

kx

2mx)1m

1a

1x1x

m x

2/ Phương trình trùng phương:

 Dạng: ax4 + bx2 + c = 0 (a  0)

 Cách giải: Đặt t = x2 (t ≥ 0), phương trình đã cho trở thành: at2 + bt + c = 0

Ví dụ: Với giá trị nào của m thì phương trình x42x2 3m:

a) Vô nghiệm? b) Có một nghiệm? c) Có hai nghiệm?

d) Có ba nghiệm? e) Có bốn nghiệm?

IV ĐA THỨC - THUẬT TOÁN HORNER - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO:

Đa thức bậc n có dạng: f(x) = anxn + an – 1xn -1 + an -2xn -2 + + a1x + a0 Số  được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f() = 0

1) Thuật toán tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức:

+ Thử với x =  1 có phải là nghiệm của f(x);

+ Tìm tất cả các ước {r, r1, , rm}của a0 và tất cả các ước {s, s1, sm} của an;

+ Lần lượt thử với x =

m

m m

s

r s

r

, ,,,, ,,

1 1 1

1 để tìm nghiệm của f(x)

Ví dụ: Tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức g(x) = -3x4 + 2x3 + 4x2 + 7x + 2

2) Chia đa thức f(x) cho (x - ):

 Định lí Bezout: Dư trong phép chia đa thức f(x) cho x - a là f(a)

Hệ quả: f(x)  (x – a)  f(a) = 0

 Sơ đồ Horner: (Để tính các hệ số của đa thức thương và đa thức dư trong phép chia đa thức f(x) cho (x - ) hay tìm r(x) trong f(x) = (x - )g(x) + r(x))

* Chú ý: Nếu b1 + a0 = 0 thì f(x) = (x - )g(x)

Ví dụ:Tìm thương và dư trong phép chia đa thức f(x) = 2x4 – 3x2 + 4x – 5 cho x + 2

3) Phương trình bậc ba:

 Dạng: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a  0)

 Cách giải:

Trang 11

+ Tìm nghiệm hữu tỷ  của phương trình

+ Đưa phương trình về dạng (x - )(Ax2 + Bx + C) = 0

Ví dụ 1: Giải các phương trình x3 - x2 - 8x + 12 = 0

Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì phương trình (x - 1)(x2 + mx + m) = 0 có 3 nghiệm phân biệt

a) 2x39x212x40; b) x3x2x24x1

Bài 2: Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt

a) x3 - 3x2 - mx + 4 - m = 0; b) x3 - 3x + 2 = kx - 3k + 20

4) Một số phương trình bậc cao thường gặp:

a) Phương trình phản phương:

1, t  R ta được phương trình bậc hai theo t

b) Phương trình hồi quy: ax4 + bx3 + cx2 + dx + k = 0 với ( )2 2( )

b

d t t b

d a

Đặt x +

x

t = y ta sẽ được phương trình bậc hai theo y

c) Phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m với điều kiện a + b = c + d:

Đặt y = (x + a)(x + b) ta sẽ được phương trình bậc hai theo y

d) Phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c:

Đặt y = x +

2

b

a sẽ được phương trình trùng phương theo y

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 4x3 - 10x2 + 6x - 1 = 0; b) 8x3 - 36x + 27 = 0; c) x3 - 15x2 - 33x + 847 = 0; d) x3 - 18x + 27 = 0; e) 7x3 - 12x2 - 8 = 0; f) 8x3 + 24x2 + 48x - 31 = 0; g) 4x3 - 12x2 - 15x - 4 = 0; h)x45x3x221x180;

a) x4 + x2 + 4x - 3 = 0; b) x4 - 2x3 - 5x2 + 10x - 3 = 0; d) x4 + 4x3 + 12x2 + 12x + 27 = 0; Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) 2x4 + 5x3 + x2 + 5x + 2 = 0; b) x4 + 2x3 - 4x2 - 2x + 1 = 0; c) (1 + x)4 = 2(1 + x4); d) x4 - 5x3 + 6x2 + 5x + 1 = 0; e) x4 - 5x3 + 6x2 - 5x + 1 = 0;

a) x4 + 6x3 + 18x2 = 16(x + 3)3; b) (x2 - 6x)2 - 2(x - 3)2 - 81 = 0;

Trang 12

e) 2(x2 + x + 1)2 - 7(x - 1)2 = 13(x3 - 1); f) 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0

Trang 13

thử nghiệm

phương trình hệ quả

không thử nghiệm

* PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC *

I KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1/ Điều kiện và tính chất cơ bản:

 A có nghĩa khi A  0  2

0

A khi A

 A 2 A

)( với A  0  AB = A B khi A, B  0

II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC:

1/ Phương trình chứa căn thức cơ bản:

A B

A 0 (hoặc B  0)

 Dạng 2:

2/ Một số phương pháp giải phương trình chứa căn thức thường sử dụng:

 Phương pháp biến đổi về dạng cơ bản

 Phương pháp nâng lên lũy thừa để khử căn thức (đặt điều kiện nếu có)

 Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ phương trình đại số

 Phương pháp biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 hoặc A.B.C = 0

 Phương pháp nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất theo các tính chất:

Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng (giảm) trên (a; b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá một nghiệm trên khoảng (a; b)

Tính chất 2: Nếu hàm số f tăng trên (a; b) và hàm số g là hàm giảm trên khoảng (a; b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên (a; b)

a) x2 = x - 4; b) 2x9 4x  3x1; c) x1 4x (x1)(4x) = 5; d) 3

2x = 1 - x1

* Một số phương pháp đặc biệt để giải phương trình chứa căn thức:

Phương pháp đánh giá hai vế:

c x f

)(

c x f

)(

0)(

x g

x f

BĐT BCS: Cho bốn số thực a, b, x, y ta có: (ax + by)2  (a2 + b2)(x2 + y2)

B B

A

Trang 14

a) x2 4x = x2 - 6x + 11; b) 3 (x1)2 23 x123 (x1)2 23 x10

Phương pháp lượng giác hóa:

121(

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) 3 x1 x3; b)3 24x  12x 6; c) 1 1

2

12

 ; c) 2x2 12x22 3x2 18x36 = -2x2 + 12x - 13 Bài 7: Giải phương trình x2+ 5x+(x2)(5x)= 4;

(HD: Đặt t = x2 5x , chứng minh phương trình theo t có 4 nghiệm trong đó loại 3 nghiệm

vì 2 nghiệm âm và 1 nghiệm thuộc (2; 5))

Bài 8: Giải và biện luận các phương trình sau:

2

26)1(22

m x m

2)2()1

11

Trang 15

c) 2x2 5x2  x2 x2 3x6; d) x x

x

2323

2(2

5)3()2

i)

5

32

31

* Một số bài tập trong các đề thi tuyển sinh:

Giải các phương trình sau:

a)2 x22 x1  x14; b) 2x1x2 3x10;

c)23 3x23 65x 80; d) 3x2 x14x92 3x2 5x2; e) 3x3 5x 2x4; f)2 x22 x1 x14;

g)x2 7x2 x1 x2 8x7 1

III BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC:

1/ Bất phương trình chứa căn thức cơ bản:

B A B

B A B B A

B

2/ Một số phương pháp giải bất phương trình chứa căn thức thường sử dụng:

 Phương pháp nâng lên luỹ thừa để khử căn thức (đặt điều kiện nếu có)

 Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

 Phương pháp biến đổi phương trình về dạng tích số hoặc thương số

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

a) x24x3 < x + 1; b) x2 4x5 + 2x  3;

c) x3 2x8 7x ; d) x2 + 2x + 5  4 2x2 4x3

Bài 1: Giải các bất phương trình

a) x + x2 4x < 1; b) (x1)(4x) > x - 2; c) x2 x6  x + 2; d) 2(x2 1)  x + 1; e) x2 x12 < x; f) 2x2 5x6 > 2 - x; g) x11  x4+ 2x1; h) 3 x- 5x5 > 1; i) x2- x1 x Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

Trang 16

a) (2x - 2) 2x1 6(x - 1); b) 1

4

35

a)2x(x1)1 x2 x1; b) 4

2

122

5

x

x x

c)

2

3121

1532

a)(x23x) 2x2 3x2  0; b)

3

733

)16(

x

; c) 5x1 x1 2x4

a) 8x2 6x14x10; b) 2x7 5x  3x2

Trang 17

* PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI *

I PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

1/ Phương trình chứa giá trị tuyệt đối cơ bản:

0

B A B

2/ Một số phương pháp giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối thường sử dụng:

 Phương pháp chia khoảng

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình 2ax + 3 = 5

a) 3x - 1 - 2x + 3 = 0; b) x2 - 5x + 4 = x + 4;

c) x - 1 - 2x - 2 + 3x - 3 = 4; d)

2x

1

ax 



Bài 3: Tìm tham số m sao cho:

a) Phương trình mx - 2= x + 4có nghiệm duy nhất; b) x - 1+ 2x - 3 = m có nghiệm

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

1/ Bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối cơ bản:

 Dạng 1: A > B  A2 > B2  (A + B)(A - B) > 0

0

B A

B A A

00

B A B B

Trang 18

B A

2/ Một số phương pháp giải bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối thường sử dụng:

 Phương pháp chia khoảng

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

a) x2 - 5x + 9 < x - 6 ; b)1- 4x 2x + 1

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x - 1 + 2 - x > 3 - x

x

; c) 2 2

x

x x

Bài 3: Định m để bất phương trình sau có nghiệm: x2 + 2x - m+ m2 + m - 1  0

x

5

342

x x

Trang 19

* HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ *

I HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:

Giải và biện luận hệ phương trình:

c by ax

(I) bằng phương pháp định thức

 Tính các định thức: D = ab a b

b a

''''   , Dx = cb c b

b c

''''   , Dy = ac a c

c a

''''    Biện luận:

Nếu D  0 thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất:

D x

y x

Nếu D = 0 mà

 Dx  0 hoặc Dy  0 (chỉ 1 trong 2) thì hệ phương trình (I) vô nghiệm

 Dx = Dy = 0 thì nghiệm của hệ phương trình (I) là nghiệm của 1 phương trình trong hệ

Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình:

m y mx

2my4mx

có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên

II HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

1/ Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất của hai ẩn:

Từ phương trình bậc I tính ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

52

2 22

y x

xy y

x

2/ Hệ phương trình đối xứng đối với x và y:

a) Hệ phương trình đối xứng loại 1:

Dạng 1: Mỗi phương trình trong hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x

Cách giải:

+ Đặt x + y = S và xy = P với S2  4P

+ Giải hệ phương trình theo S và P

+ Thế lần lượt từng cặp (S, P) vào phương trình X2 – SX + P = 0 để tìm nghiệm (x; y) của hệ phương trình đã cho

* Nhận xét: Hệ phương trình đối xứng có hai cặp nghiệm (x; y) hoặc (y; x)

Dạng 2: Khi đổi biến t = -x (hoặc t = -y) thì ta được hệ phương trình đối xứng

Cách giải: Đặt t = -x (hoặc t = -y), ta có một hệ đối xứng

b) Hệ phương trình đối xứng loại 2:

Dạng: Khi ta thay x bởi y và y bởi x của một phương trình thì phương trình đó trở thành phương trình kia

Cách giải:

+ Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số

+ Kết hợp một phương trình tích số với một trong hai phương trình của hệ để suy ra nghiệm

Trang 20

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:

xy y x

y xy x

2

xy y x

232

2 2

x x y

y y x

1 2 1 1 2 1

d y c xy b x a

(I) (tổng số mũ từng số hạng trong mỗi phương trình bằng nhau)

 Cách giải:

+ Giải hệ (I) với x = 0 (hoặc với y = 0)

+ Với x  0 đặt y = tx (hoặc x = ty với y  0) Thay vào hệ (I) ta được hệ mới chứa 2 ẩn t, x (hoặc t, y) Từ hai phương trình ta khử x (hoặc y) để được phương trình theo t

+ Giải phương trình tìm t rồi suy ra x, y

Ví dụ: Giải hệ phương trình:

2

112

3

2 2

y xy x

4/ Một số hệ phương trình khác:

Ví dụ 1: Sử dụng phép cộng (trừ) và phép thế, giải hệ phương trình

0862 2

2 2

y x y x

2 2

y x y

x

y y x

yyxx2 2

3 3

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau :

y x

122

2

y y x x

y x y

2

xy y x y x

y x

42 2

y y y

x x

y y x x

2

xy y x y x

y x xy

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:

71

x y

1212

y

x y

x

y x

14

2

2 2

xy y

y xy x

562

6

2 2

y xy x

xy y x

y x xy

132 2

xy y x

y x

2 2

y x

xy y x

x y y x

344 4

y x

y x x

y y

x

Trang 21

x xy x

32

2

23

2

2 2

x y y

y x

xxxy

2 3 2

1111

x

x y

y

y x

2

13

56y2xyx

6

2 2

5yxx2

2 3

14

2

2 2

y xy x

y x

y x y

114 4

x y

y x

411

2 2 2 2

y x y x

1

181

1

2 2

y y

x y x y

x x

y y

x y x y

x

11

3

x y

y

y x

y x y

3

y x

xy y

2

131

71

y xy

y x

5)(

03)1(

2 2

x y x

y x x

922

2

2 2 3 4

x xy x

x y x y x x

23

y

x x

x

y y

y y x

y x y x xy

2212

45

2 4

3 2

x xy y x

xy y x y x

2

2 2

)(7

)(3

y x y

xy x

y x y

xy x

28

2 2

3 3

y x

y y x x

y x

y x y y x

)2)(

1(

4)()1(2

42

2

y y y

x

y x y x

3

2 2 3 4

xy x y x

y x y x x

11

2

y x

y x y

y x x

y x

31

511

3 3 3 3

m y

y x x

y

y x x

có nghiệm thực

Trang 22

* PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC *

I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:

1/ Phương trình lượng giác đặc biệt:

2/ Phương trình lượng giác cơ bản:

2

2sin

k v u

k v u v

2

2cos

k k v u

k v u v

),2,(u v k kZ

Z k k a x

,2arcsin

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP:

1/ Phương trình bậc I và phương trình bậc II đối với một hàm số lượng giác:

 Cách giải:

Đặt ẩn phụ (t) cho hàm số lượng giác (đặt điều kiện cho t (nếu có))

Giải phương trình theo t

Từ nghiệm t suy ra nghiệm x của phương trình

2/ Phương trình bậc I đối với sinx và cosx:

 Dạng: asinx + bcosx = c (a, b, c  R, a.b  0)

 Cách giải:

Điều kiện có nghiệm của phương trình: a2 + b2  c2

Chia hai vế phương trình cho 2 2

b

a  , ta được:

2 2 2

2 2

b a

c x

b a

b x

b a

Trang 23

2 2

b a b b a

a

ta được phương trình:

2 2

)sin(

cossinsin

cos

b a

c x

x x

3/ Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:

 Dạng: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (a, b, c  R)

4/ Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

 Dạng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (a, b, c  R)

 Cách giải: Đặt t = sinx + cosx = )

4sin(

* Chú ý:

Phương pháp này cũng được áp dụng để giải phương trình phản xứng:

a(sinx - cosx) - bsinxcosx = c

Đặt t = sinx – cosx  sinxcosx =

2

1t2

Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2cos2x + 2 cosx - 2 = 0; b) 3sinx - 3cosx = 2 3;

c) 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x= 0; d) 4sin2x + 3 3sin2x - 2cos2x = 4;

e) 2(sinx + cosx) + 6sinxcosx - 2 = 0; f) 6(sinx - cosx) - sinxcosx = 6

 Chú ý : Phương trình dạng asin[f(x)] + bcos[f(x)] = 2 2

b

a  sin[g(x)]

 sin[ ( )] cos[ ( )] sin[ ( )]

2 2 2

b a

b x

f b a

Trang 24

Đưa phương trình F(x) = 0 (*) về phương trình tương đương: f(x).g(x).h(x) = 0 

0)(

x h

x g

x f

Khi đó nghiệm của phương trình (*) là hợp nghiệm của các phương trình thành phần f(x) = 0, g(x)

= 0, h(x) = 0

Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cosx.cos7x = cos3x.cos5x; b) sin2x + sin4x = sin6x;

c) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x; d) sin3x + cos3x= cos2x

e) sin2x.sinx + sin3x = 6cos3x; f) 4cos2x + 3tan2x - 4 3cosx + 2 3tanx + 4 = 0

IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC MỘT ẨN:

Phương pháp giải: Giải một phương trình của hệ rồi thế nghiệm tìm được vào các phương trình còn

lại (hoặc giải từng phương trình rồi tìm nghiệm chung của các phương trình)

* Chú ý:

1) Khi giải các phương trình của hệ ta phải viết các họ nghiệm với các tham số nguyên khác nhau để

so sánh nghiệm được chính xác

2) Việc giải phương trình lượng giác có thể dẫn đến giải hệ phương trình lượng giác

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

sin

01cos2

x

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x = 3sin25x + 2; b) sinx + 2sin2 x sinx 2sin2 x 3

Bài 1: Giải các phương trình :

a) 2cos2x5sinx 4 0; b) cos2 4cos 5 0

2

6cos(

)2cos32

a) cosx 3sinx 1; b) cosx 3sinx 2;

c)4(sin4xcos )4x  3sin4x2; d)

x

cos

13tan   Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) 2 3cos2x + 6sinx.cosx = 3 + 3; b) 4sinx + 6cosx =

x

cos

a) 1 sin 3 cos3 3sin2x

2

a) x ) 2sinx

4(

3cosx - sinx = sin3x - cos3x

a) sin(sin2x) = 1; b)

2

2)]

Trang 25

a) 2sinx(cosx - 1) = 3cos2x; b) cos3x - sinx = 3(cosx - sin3x);

c) (sinx + 3cosx)sin3x = 2; d) 2( 3sinx - cosx) = 3sin2x + 7cos2x;

e) cos2x - 3sin2x - 3sinx - cosx + 4 = 0

a) x ) cos3x

3(cos

)4sin(

sin(

2

1)210

3

x x

6sin(

5)32

a) (tanx + 7)tanx + (cotx + 7)cotx + 14 = 0; b) 2tan 5tan 5cot 4 0

sin

2  x x x 

c) 3(tan2 xcot2x)2( 31)(tanxcotx)42 30;

a)cos4xsin4xcos2x; b) 1 cos 4xsin4x2cos2x;

c)4(sin4xcos4x)sin4x20; d)sin6xcos6xcos4x;

4

2

g)4cos3xcos2x4cosx10; h) sin4xcos22x2;

i)sin4xcos4xsinx.cosx0; j) 2sin3xcos2xcosx0

a) 2cos cos2x x 1 cos2xcos3x; b) 2sinxcosxsin2x1;

c) cos3xcos2xcosx10; d) cos7xsin8xcos3xsin2x

2cos(

)cos(sin

sin2

3cos2

7

e)9sinx6cosx3sin2xcos2x8; f) sinx.cos4x – sin22x = 4sin2

2

7)24( x  ;

22(cos)2(

2

2sincos

x

2sin21

3sin3cos(sin

c)

)4(sin2

2sin12

sin

2

sin2cos

2

4 4

x x

2sin8

12

cot2

12

sin5

cossin4  4   ; f)cos (cos2 1) 2(1 sin )

a) cotx - tanx = 2tan2x; b) tanx = cotx + 2cot32x;

c) tan2x - tanx = 1cosx.sin3x; d) cos2x + cosx(2tan2x - 1) = 2;

Trang 26

e) 0

2costan

)42(sin2 x 2 x 2 x ; f) tanx + cosx - cos2x = sinx(1 + tanx.tan

2 4

cos

3sin)2sin2(1



x x

x

2sin

23cottan

i)

x x

4sin

2tan

22cottan

1cot

)sin(cos

22

cottan

x

sin.2sin.3sin

12

cot3

x x x x

x x

2sin

22

sin4tan

a) sin23x - cos24x = sin25x - cos26x; b) 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tan2x;

x

2sin2

1sintan

1

2cos  2 

)sin1)(

sin21(

cos)sin21

i) 2sin22x + sin7x - 1 = sinx; j) ) 3cos 2

2

cos2

a) (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx; b) )

4

7sin(

4)2

3sin(

1sin

1

x x

sin22

cossin)sin(cos

3 = 0

a) cos3x + sin3x + 2sin2x = 1; b) cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0;

c) 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0; d) (2sin2x - 1)tan2 2x + 3(cos2x - 1) = 0;

2 ; g) 4sin2

cos

12costan

3)2

cos1

sin)

 ; l) sin2x + cos2x + 3sinx - cosx - 2 = 0;

m)

2

3cos2)42cos(

)42

5sin( x   x   x; n) sin2x + sinx -

x

1sin

2

1

 = 2cot2x; o) 2cos2x + 2 3sinx.cosx + 1 = 3(sinx + 3cosx)

Bài 4: Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0

Bài 5: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình: ) cos2 3

2sin21

3sin3cos(sin

Trang 27

* CÁC BÀI TOÁN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ *

: Tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a  0):

 Tính  = b2 - 4ac (hoặc ' = b'2 - ac nếu b chẵn)

 Nếu  < 0 thì: phương trình f(x) = 0 vô nghiệm và

x - +

f(x) Cùng dấu với a

 Nếu  = 0 thì: phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép x =

f(x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a

 Nếu  > 0 thì: phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 (x1 < x2) và

x - x1 x2 +

f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

 Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Định m để tam thức bậc 2 luôn luôn dương:

a/ f(x) = x2  mx + m + 3; b/ f(x) = (m  1)x2  2(m + 1)x + 3(m  2)

Bài 2: Định m để tam thức bậc 2 luôn luôn âm:

a/ f(x) = x2 + (m + 1)x  1; b/ f(x) = mx2  4(m + 1)x + m  5

: So sánh nghiệm của tham thức bậc hai với số thực :

 Bài toán: So sánh các nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0) với số thực 

 ° f(x) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 <  < x2  x1 -  < 0 < x2 - : đặt t = x - , g(t) = f(t + ), bài toán trở thành f(x) có hai nghiệm trái dấu

° f(x) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  x2 <   x1 -   x2 -  < 0: đặt t = x - , g(t) = f(t + ), bài toán trở thành f(x) có hai nghiệm cùng âm

° f(x) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn  < x1  x2  0 < x1 -   x2 - : đặt t = x - , g(t) = f(t + ), bài

toán trở thành f(x) có hai nghiệm cùng dương

Bài 1: Cho phương trình (3 - m)x2 + 2mx + m + 2 = 0 Tìm những giá trị của m để phương trình:

a) có hai nghiệm nhỏ hơn 1; b) có một nghiệm thuộc (-1; 3), nghiệm kia lớn hơn 3

Bài 2: Xác định m để phương trình (m + 1)x2 - 2(2m - 1)x + 6m - 3 = 0 có một nghiệm nhỏ hơn -1, còn nghiệm kia lớn hơn 1

: Chiều biến thiên của hàm số:

 Bài toán: Xác định m để hàm số y = f(x, m) đơn điệu trên R

 Hàm số y = f(x) đơn điệu tăng (giảm) khi y'(x, m) > 0 x  R (y'(x, m) < 0 x  R)

Trang 28

Bài 1: Cho hàm số y = -(m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x - 5 Xác định m để hàm số đơn điệu trên R Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến? vì sao?

Bài 2: Xác định m để hàm số y =

3

1 x3 - 2x2 + mx - 2 đồng biến trên khoảng (-; +)

Bài 3: Cho hàm số y = a x ax (3a 2)x

3

)1





 Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến

Bài 4: Xét sự biến thiên của hàm số y = 4x3 + mx tùy thuộc vào giá trị của m

Bài 5: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1)

Bài 6: Cho hàm số y =

-3

1 x3 + (m - 1)x2 + (m + 3)x - 4 Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3)

Bài 7: Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + m - 1 Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên (-; 0)

: Cực trị của hàm số:

 Bài toán: Tìm m để hàm số y = f(x, m)có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

 Nếu x0 là cực trị của hàm số y = f(x) thì f'(x0) = 0

Bài 1: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 3(m + 1)x - m - 6 Xác định m sao cho:

a) Hàm số có cực trị; b) Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu

Bài 2: Xác định m để hàm số y = x3 - mx2 + (m -

x Xác định m sao cho hàm số có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau

: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

 Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a; b) hoặc trên đoạn [a; b]

 ° Trên khoảng (a; b): vẽ bảng biến thiên

° Trên đoạn [a; b]: - Tìm các điểm tới hạn x0, x1, , xn thuộc (a; b)

- max ( )

]

; [ f x

b = max{ f(a), f(x0), f(x1), f(xn), f(b)}

min ( )

]

; [ f x

b = min{ f(a), f(x0), f(x1), f(xn), f(b)}

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây trên các khoảng tương ứng:

1

38

2 





x x

Trang 29

a) y = x.ex - 1 trên đoạn [-2; 2]; b) y = x24 trên đoạn [-1; 3];

e) f(x) = x2 - 3x + 2 trên đoạn [-10; 10]

: Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối:

 Bài toán: Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy ra đồ thị các hàm số chứa giá trị tuyệt đối

 Vận dụng tính chất

0f(x)nếuf(x))

(x

Bài 1: Cho hàm số : yx3 3x (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b)Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:

x x y

a)   3 3 ; b)y x3 3x ; c) y x3 3x; Bài 2: Cho hàm số :

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (2)

b) Từ đồ thị (C) đã vẽ hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:

1

1)

b) Vẽ đồ thị (C') của hàm số y =

1

43

: Điểm cố định của họ đồ thị:

 Bài toán: Tìm những điểm cố định trên họ đồ thị hàm số y = f(x, m) khi m thay đổi

Họ đồ thị hàm số y = x 3 - (m + 1)x 2 - (2m 2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1)

 Biến đổi phương trình y = f(x, m) ra dạng một đa thức theo biến m như sau:

+ A(x, y)m2 + B(x, y)m + C(x, y) = 0

0),(

y x C

y x B

y x A

để tìm tọa độ điểm cố định của họ đồ thị

Trang 30

Bài 1: Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1) khi m thay đổi

Bài 2: Chứng minh họ đồ thị (Cm) của hàm số y = (1 - 2m)x2 - (3m - 1)x + 5m - 2 luôn đi qua 2 điểm cố định với mọi m

Bài 3: Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số y =

x với mọi giá trị của m

Bài 4: Chứng minh họ đồ thị (Hm) của hàm số y =

m x

 Bài toán: Định m để đường thẳng : y = f(x) cắt đường cong (C): y = g(x) tại n điểm

 cắt (C) tại n điểm khi và chỉ khi phương trình f(x) = g(x) có n nghiệm phân biệt

Bài 1: Cho hàm số y(x1)(x2mx m )(1) Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại

3 điểm phân biệt

Bài 2: Cho hàm số y2x33x21 (C) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm M(0; -1) và có hệ số góc bằng k Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt

Bài 3: Cho hàm số y x3 3x2 (C) Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc bằng m Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt

Bài 4: Cho hàm số y x 4mx2 m 1(1) Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

Bài 5: Cho hàm số y = -x4 + 10x2 - 8 + k (1) Xác định k để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3, x4 (x1 < x2 < x3 < x4) lập thành một cấp số cộng

Bài 6: Cho hàm số y = x3 + 3(m - 1)x2 + 2(m2 - 4m + 1)x - 4m(m - 1) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

x có đồ thị là (C)

a) Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N;

b) Xác định m sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất

x2

1x2



 có đồ thị (C) và đường thẳng dm có phương trình y = -5x + m

a) Xác định m để đường thẳng dm cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B

b) Tìm một hệ thức độc lập giữa các hoành độ của A và B độc lập đối với tham số m

1

12

: Các bài toán về tiếp tuyến:

 Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)

 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số có hệ số góc là f'(x0) và phương trình tiếp tuyến là: y - y0 = f(x0)(x - x0)

° Tiếp tuyến đi qua điểm A(x1; y1): - Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A

- Phương trình tiếp tuyến: y - y0 = f'(x0)(x - x0)

- Vì tiếp tuyến qua A nên y1 - f(x0) = f'(x0)(x1 - x0) ° Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước: - Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến có hệ số góc k

Trang 31

- Ta có: f'(x0) = k (hệ số góc của tiếp tuyến tại M là f'(x0 ))

 Chú ý: Cho 1: y = k1x + a, 2: y = k2x + b

° 1  2  k1.k2 = -1 ° 1// 2  k1 = k2

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 4 biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y =

Bài 9: Cho hàm số y = -x3 - 3x2 + 6 (1) Tìm những điểm trên đường thẳng y = 2 mà từ đó ta vẽ được

ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (1) trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau

: Một số bài toán tìm điểm M trên đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước:

Bài 1: Tìm tất cả các điểm trên đồ thị hàm số y =

2

)1(3





x

x có tọa độ nguyên

a) Tìm tất cả các điểm trên đồ thị hàm số (1) có tọa độ nguyên

b) Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số (1) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang

Bài 3: Cho hàm số 2 1

1

x y x

Trang 32

Bài 8: Cho hai hàm số y =

2

12





x

x và y = mx - (m + 3) Xác định m trong mỗi trường hợp sau:

a) Hai đồ thị có đúng một điểm chung

b) Hai đồ thị có hai điểm chung ở trên hai nhánh khác nhau

c) Hai đồ thị có hai điểm chung ở trên cùng một nhánh

: Dùng đồ thị giải và biện luận phương trình, bất phương trình:

 Bài toán 1: Dựa vào đồ thị (C) của hàm số y = f(x) hãy giải bất phương trình f(x) < c

 ° Tập nghiệm bất phương trình là tập hợp những giá trị x ứng với phần đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng y = c

 Bài toán 2: Dựa vào đồ thị (C) của hàm số y = f(x) hãy tìm m để phương trình (f)x = m có nghiệm thuộc [a; b]

 ° Phương trình (f)x = m có nghiệm thuộc [a; b] khi đường thẳng y = m cắt (C) tại các điểm có hoành

độ thuộc [a; b]

Bài 1: Cho hàm số y = 3

b) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để bất phương trình 2x3 - 3x2 + 1 - m > 0 có nghiệm x [0; 1]

Bài 2: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 1 (C1)

a) Dựa vào đồ thị (C1), tìm m để phương trình x4 - 2x2 + 1 + m = 0 có 2 nghiệm thuộc [-1; 1] b) Dựa vào đồ thị (C1), tìm m để bất phương trình x4 - 2x2 + 1 - m < 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc [0;

2

3]

: Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số giải quyết một số bài toán có tham số m:

 Bài toán 1: Định tham số để phương trình f(x) = m có nghiệm thuộc (a; b)

 Phương trình f(x) = m có n nghiệm thuộc (a; b) khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại n điểm có hoành độ x  (a; b)

 Bài toán 2: Định tham số để bất phương trình f(x) > m có nghiệm thuộc (a; b)

 Bất phương trình f(x) > m có nghiệm thuộc (a; b) khi đồ thị hàm số y = f(x) có phần nằm trên đường thẳng y = m với x  (a; b)

 Bài toán 3: Định tham số để bất phương trình f(x) > m nghiệm đúng x  (a; b)

 Bất phương trình f(x) > m nghiệm đúng x (a; b) khi đồ thị hàm số y = f(x) nằm trên đường thẳng y

= m "hoàn toàn" với x  (a; b)

Bài 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) 7x 2x (7x)(2x) m; b) 1x 8x (1x)(8x) m

Bài 2: Tìm m để các bất phương trình sau:

a) (12x)(3x) m(2x2 5x3) nghiệm đúng với mọi x  [

2

1

 ; 3];

b) (2x)(4x) x22xm nghiệm đúng với mọi x2;4

Bài 3: Tìm m để bất phương trình bất phương trình mx - x3m1 sau có nghiệm

Bài 4: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

4

12coscos

Trang 33

a)cos4x6sin cosx x m 0 có nghiệm x  [0;

4

 ]

x x

gx tgx

x

cos

1sin

1cot

(2

11cos

2

 )

Bài 1: Cho hàm số y = (x2 + mx + m2 - 3)(x - 2) Tìm trên trục tung các điểm mà với mọi m, đồ thị hàm số đã cho không đi qua

Bài 2: Cho hàm số y = -x4 + 2(m + 1)x2 - 2m - 1 Xác định m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3, x4 (x1 < x2 < x3 < x4) lập thành một cấp số cộng

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm:

a) sin2x4(cosxsinx)m; b)4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m4  4  6  6  2 

Bài 4: Tìm m để phương trình 2cos2x(sinx.cosxm)(sinxcosx)0có nghiệm x  [0;

4(

x m x

2

;0

Bài 7: Tìm m để bất phương trình bất phương trình sau có nghiệm x  [0;1 3]:

m( x2 2x21)x(2x)0 Bài 8: Tìm m để phương trình 4 x2   xm

1 có nghiệm

Bài 9: Giải và biện luận phương trình: x2 x = a - x

Bài 1: Cho hàm số y = -x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2 (1) (m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm k để phương trình -x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0 có ba nghiệm phân biệt

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

Bài 2: Cho hàm số y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10 (1) (m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị

Bài 3: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + m (1) (m là tham số)

a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2

3

1x3 - 2x2 + 3x (1) có đồ thị (C)

a) Khảo sát hàm số (1)

b) Viết phương trình tiếp tuyến  của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng  là tiếp của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 5: Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + 9x + 1 (1) với m là tham số

a) Khảo sát hàm số (1) khi m = 2

b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1

Bài 6: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y =

3

1x3 - 2

mx2 +

3

1 (*) (m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2

Trang 34

b) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x - y = 0

Bài 7: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4

2) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2x3 - 9x2 + 12x= m

Bài 8: Cho hàm số y = x3 - 3x + 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc là m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

1

2



x x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng

4

1 Bài 10: Cho hàm số y = 4x3 - 6x2 + 1 (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1; -9) Bài 11: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 4 (1)

b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > -3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn AB

32

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

Bài 13: Cho hàm số y = 2x4 - 4x2 (1)

b) Với giá trị nào của m, phương trình x2x2 - 2 = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

Bài 14: Cho hàm số y = x4 - (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số

a) Khảo sat sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0

b) Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x

ln2 trên đoạn [1; e3]

Bài 16: Xác định m để phương trình m( 1x2  1x2 2)2 1x4  1x2  1x2 có nghiệm Bài 17: Tìm m để phương trình x2mx2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt

Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 4 2

12

11

3 x m x  x  Bài 19: Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 + 2x - 8 = m(x2)

Bài 20: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 4 2x  2x24 6x 2 6x m (m  R) có đúng hai nghiệm thực phân biệt

Trang 35

* PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT *

I PHƯƠNG TRÌNH MŨ:

1/ Phương trình mũ cơ bản:

 ax = ab  x = b, (a > 0, a  1)  ax = c  x = logac,(a > 0, a  1, c > 0)

2/ Một số phương pháp giải phương trình mũ thường gặp:

 Phương pháp đưa về cùng một cơ số

 Phương pháp đặt ẩn số phụ

 Phương pháp lôgarít hoá

 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ: đoán nhận trước một nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 0,125.42x – 3 = x

)8

2( ; b) 5x = 100; c) 27x + 12x = 2.8x; d) (2 3)x(2 3)x 4; e)3x.2x2 1; f) 4x + 3x = 5x

a) 32x+ 8 - 4.3x + 5 + 27 = 0; b)2x2x 22xx2 3; c) x x x

27.218

8   ;

210

25x  x  x ; e) 6.9x - 13.6x + 6.4x = 0; f) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x Bài 2: Giải các phương trình sau:

a)2x2x 4.2x2x 22x 40; b)12.3x 3.15x 5x1 20

a)( 3 8)x( 3 8)x 6; b) 3

2)53(16)53

a) 2x 3x; b)2.2x3.3x 6x1; c) 9x + 2(x - 2).3x + 2x - 5 = 0 Bài 6: Giải phương trình 3.25x - 2 + (3x - 10).5x - 2 + 3 - x = 0

* Giải các bài toán có chứa tham số:

Bài 1: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 4x4 (2x1)0

Bài 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu(m3).16x(2m1)4xm10

Bài 4: Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có nghiệm 2 0

3

1

m x

.216

Trang 36

a) 3

17 7

5

128.25,0

250

8.212

27   ; c)3.8x 4.12x 18x 2.27x 0; d)2.22x 9.14x 7.72x 0; e) 25x + 10x = 22x + 1; f) 23x - 6.2x - 1

2

122

1

) 1 (

3x  x  ; g) 5.23x1 3.253x70; h) 2 2 6 9 2 3 5 2 2 6 9

5.315

.4

3 x  x  x  x  x  x Bài 3: Giải các phương trình sau:

Một số bài tập trong các đề thi tuyển sinh:

Bài 1: Giải phương trình 3.8x + 4.12x - 18x - 2.27x = 0

Bài 2: Giải phương trình 2x2x4.2x2x22x40

Bài 3: Giải phương trình 2x2x22xx2 3

Bài 4: Giải phương trình ( 21)x( 21)x2 20

II PHƯƠNG TRÌNH LÔGARÍT;

1/ Phương trình lôgarít cơ bản:

Với a > 0, a  1, b > 0 ta có: logax = logab  x = b

logax = c  x = ac

2/ Phương pháp giải một phương trình lôgarít thường gặp:

i) Phương pháp đưa về cùng một cơ số

ii) Phương pháp đặt ẩn phụ

iii) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số lôgarít

a) lg(152 + x3) = lg(x + 2)3; b) log4x2 = 3;

c) log3x + log9x + log27x = 11; d) log2x + log5(2x + 1) = 2

a) log ( 1) log ( 4) log (3 )

2

1

2 1 2

1 2

16

1loglog)16(log

3 1 2 1 2

9 9

x x

x) lg (10 ) 14 lg1100

Trang 37

a)log (4 4) log (2 1 3)

2 1

log

2)10(log.2log2

1   ; d) log2x + 2.log7x = 2 + log2x.log7x;

2 3

2 x x  ; b)2.log29xlog3x.log3( 2x11); d) log7xlog3( x2); e)

3 2 8

1 2

2

1log4log232log x x   ; f)log4(x1)22 log 2 4xlog8(4x3)

Bài 1: Cho phương trình log32x log32x12m10 (2) (m là tham số)

a) Giải phương trình (2) khi m = 2;

b) Tìm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3

3 ]

32.4

1log2)272.154(

a)logx2log2x4log 2x8; b) 3

8 2

1

2 1 log (3 ) log ( 1)log x  x  x ;

4

1loglog

)1(log

2 2x 4x 2  ; d) log3(3x - 1).log3(3x + 1 - 3) = 6;

e)log3(x1)2log 3(2x1)2; f) log 2

2

14log

1)

1(

1 2



x x

x

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT:

Bài 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương và phép thế giải các hệ phương trình sau:

44 4

8 log 8

log

y x

2

5)(

log

2 4

2 2 2

y x

.32

142

4

2 2 2 2

2 2 2 2 2

y x y

y y x x

644

2

y x

433)11(

3x y

2)3

1()

3(

y x y

x

y x y

x

Bài 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giải các hệ phương trình sau:

1log3

5log53log

3 2

y x

x x

x

22

24

452

1

2 3

2 2

4 4

1

y x

)9(log3

12

1

3 3 2

y

Trang 38

)x1ln(

e

ex y

Trang 39

* BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT *

I BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ:

)3

1(

3 x2 x  xx ; c) 4x – 2.52x < 10x d) 1 1 1

222

2x2 x   x2  x

2 22

1

2



  x x

1

3 6

1 1

3

)310()103

x

a)32x 8.3x x4 9.9 x4 0; b) ) 12

3

1(3)3

1

1 2



 x

21212

15 x   x   x ; d) 821x 4x 21x 5; e)(9 311 2)x 2(52 6)x 2( 3 2)x 1

a)3 x4 2 2x4 13; b)3 2213  24 3

x x x

c) 2.2x + 3.3x > 6x - 1; d) 0

14

23

a) 2x + 23 - x  9; b) 4x - 2x + 2 + 2 1

4x   0; c) 1 2 2 1 2 2 2 2

15.349

25 xx   xx  xx ;d)2.14x3.49x4x 0 e) 0

12

8

14

a)9 x22xx7.3 x22xx1 2; b) x x x x

22

.15

0)()

(log)(log

x g x f

x g x

g x

0)()

(log)(log

x g x f

x f x

g x

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

a) logx(5x2 - 8x + 3) > 2; b)log log9(3x9)1

2

12

24(



x x

Trang 40

d) 1

1

32

1 x  x ; f)

)13(log

1)

3(log

1

2 2

4 x  x  x Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a) 2log2x log2x; b)32log2x3log2x1 180; c)log2(3 2)2log3x2230

* Giải bài toán có chứa tham số:

Tìm m sau cho bất phương trình: 1log5(x21)log5(x2 4xm)0 có nghiệm x [2; 3]

Bài 1: Giải các bất phương trình

a)log5(12x)1log 5(x1); b)log log3 3 0

3

2 x  ; c)log2 x1log3 x9 1;

3log

3)(log

Bài 3: Giải bất phương trình (4x - 12.2x + 32)log2(2x - 1)  0

Bài 4: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y =

2

23log

2 2

)1(log2

2 3 , 0 8

x

Bài 1: Giải các bất phương trình:

a)log (log3(9x72))1

3 1

4(log

log

2 6 7 ,

1   

x

x ; e) log5(4x + 144) - 4log52 < 1 + log5(2x - 2 + 1)

Bài 2: Giải các bất phương trình:

a) logx + 1(-2x) > 2; b)(logx8log4 x2)log2 2x 0; c) ) 3

3

1(2

9x22x  2xx2 

Định dạng
Số trang	84
Dung lượng	1,75 MB