Thông tin tài liệu
Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp MỤC LỤC Chuyên đề Trang PHẦN I: ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CÁC BÀI TOÁN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SỐ PHỨC ĐẠI SỐ TỔ HP VÀ XÁC XUẤT PHẦN II HÌNH HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN NHẬN DẠNG TAM GIÁC PHỤ LỤC - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp PHẦN I: ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH * BẤT ĐẲNG THỨC * 1/ Các tính chất bất đẳng thức: a) Tính chất: a > b b > c a > c Nếu c > a > b a.c > b.c b) Hệ quả: a > b c > d a + c > b + d a > b c > d a.c > b.d a > b0 a > b 1 a>b>0 a b 2/ Bất đẳng thức giá trò tuyệt đối: - a a a với a R x a x < -a x > a (với a>0) a > ba + c > b + c Nếu c < a > b a.c < b.c a+c>b a>b-c a > b n N* an > bn a > b a >3 b 1 a 0); a b ab a b c) d) a2 + b2 + c2 + 2(a + b + c), a, b, c R; a b (a, b > 0); b a 2 e) x + y + z2 xy + yz + zx; f) a2 + b2 + ab + a + b Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức sau dựa vào bất đẳng thức CauChy: a) (a + b)(b + c)(c + a) 8abc (a, b, c > 0); b) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) 9abc (a, b, c > 0); bc ca ab c) a + b + c (a, b, c > 0); d) a2009 > 2009(a - 1) với a > a b c Bài 3: Tìm giá trò lớn giá trò nhỏ hàm số f(x) = (x + 3)(5 - x) với -3 x Bài 4: Tìm giá trò nhỏ hàm số: 2 x 4x ,x 0; a) f(x) = x + với x > 1; b) f(x) = c) f(x) = x2 + , x > x x 1 x Bài 5: Đònh x để hàm số sau đạt giá trò nhỏ nhất: x 18 x 3x a) y = , x > 0; b) y = , x > 1; c) y = , x > -1; x x 1 x 1 x3 x x , < x < 1; d) y = ,x> ; e) y = f) y = , x > 2x 1 x x x2 Bài 6: Tìm x để hàm số sau đạt giá trò lớn nhất: Với a 0, b ta có: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp a) y = x(6 - x), x [0; 6]; b) y = (x + 3)(5 - 2x), x [- 3; ] - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp * BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI * I BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT: 1/ Giải biện luận bất phương trình: ax + b > (1) Bước 1: Ta biến đổi bất phương trình (1) dạng ax > -b Bước 2: Biện luận: b b Nếu a > (1) x > Tập nghiệm S = ( ; +) a a b b Nếu a < (1) x < Tập nghiệm S = (-; ) a a Nếu a = (1) 0x + b > Nếu –b < (1) thỏa mãn x R Nếu –b (1) vô nghiệm 2/ Giải hệ bất phương trình bậc ẩn: a x b1 có tập nghiệm S1 Cho hệ bất phương trình a2 x b2 có tập nghiệm S2 Tập nghiệm hệ S = S1 S2 * Chú ý: Chỉ cần bất phương trình vô nghiệm hệ vô nghiệm Ví dụ 1: Giải biện luận bất phương trình: mx + > x + m2 2 x Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình: x 3x II DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT: Xét dấu nhò thức f(x) = ax + b = (a 0) x - -b/a f(x) trái dấu với hệ số a với -b/a nghiệm nhò thức Ví dụ: Xét dấu biểu thức sau: a) A = (x - 3)(x + 1)(2 - 3x); + dấu với hệ số a b) B = x7 ( x 2)(2 x 1) III DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI: 1/ Xét dấu tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0): Tính = b2 - 4ac (hoặc ' = b'2 - ac b chẵn) Nếu < thì: phương trình f(x) = vô nghiệm x - + f(x) Cùng dấu với a b Nếu = thì: phương trình f(x) = có nghiệm kép x = 2a b - + x 2a f(x) Cùng dấu với a Cùng dấu với a Nếu > thì: phương trình f(x) = có nghiệm x1, x2 (x1 < x2) x - x1 x2 + f(x) Cùng dấu với a Trái dấu với a Cùng dấu với a 2/ Bất phương trình bậc hai: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp Dạng: ax2 + bx + c > (hoặc , 0, x R * Bài tập rèn luyện: Bài 1: Giải bất phương trình sau: 2x a) (- x + 2)(x + 1)(2x - 3) > 0; b) x x 1 x 1 x 1 Bài 2: Giải biện luận bất phương trình: a) x + m + > 2m(m – x); b) m(x – 4) < m2 – 3(x – 1); c) 3mx + 2(x + m) m(3m + 4); d) m(2x – 1) + m2 – 4x Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm: a) 2m(x – 1) > 3x + 1; b) m( x – 3) – < m2 – x; c) 4mx – 3(x + m) m2(x – 1) x 4m 2mx Bài 4: Tìm giá trò m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 3x x mx 3x m Bài 5: Tìm giá trò m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm: 4x x Bài 6: Tìm a, b để bất phương trình (x - 2a + b - 1)(x + a - 2b + 1) có tập nghiệm S = [0; 2] Bài 7: Tìm m để: a) mx2 - 10x - < nghiệm với x; b) f(x) = mx2 - 10x - x R Bài 8: Tìm để bất phương trình mx2 - x + m vô nghiệm * Bài tập tự luyện: Bài 1: Giải bất phương trình sau: a) 15x2 - 4x – < 0; c) -3x2 + 7x – ≥ 0; d) 5x2 + 4x + Bài 2: Giải bất phương trình sau: 4x x2 x a) b) c) 1; 3 ; 1; 2 x 3x x 4 2x 1 1 x 5x x d) ; e) ; f) x 6x x x 1 x x x 5x x Bài 3: Giải hệ bất phương trình sau: x 11x x 3x 20 x x 15 a) ; b) ; c) ; 4 x 20 x 21 x 3x x 6x x x 12 x x 30 x x 12 d) ; e) ; f) x x x x 12 x 5x Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x R: a) 5x2 - x + m > 0; b) m(m + 2)x2 + 2mx + > - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp * PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ * I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT: 1/ Giải biện luận phương trình ax + b = (1): Biến đổi phương trình (1) dạng: ax = - b (2) Biện luận: b Nếu a (2) có nghiệm x = a Nếu a = phương trình (2) trở thành: 0x = - b Nếu b phương trình (2) vô nghiệm Nếu b = phương trình (2) có nghiệm x R Ví dụ: Giải biện luận phương trình m2x + = x + 2m 2/ Điều kiện nghiệm số phương trình ax + b = (*): Phương trình (*) có nghiệm a 0; a Phương trình (*) vô nghiệm ; b a Phương trình (*) nghiệm với x b Ví dụ1: Tìm giá trò m để phương trình: a) (4m2 - 2)x = + 2m - x vô nghiệm; b) m2x - m = 25x - nghiệm x R; c) m(m - 1)x - m = m2 - có nghiệm * Bài tập rèn luyện: Bài 1: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: a) 2mx = 2x + m + 4; b) m(x + m) = x + Bài 2: Tìm giá trò q để phương trình sau có nghiệm với x R: a) 2qx - = x + q; b) q2x - q = 25x - Bài 3: Tìm giá trò m để phương trình sau có nghiệm: a) m(m - 1)x = m2 - 1; b) (x - m)(x - 1) = II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 1/ Giải biện luận phương trình ax2 + bx + c = (1): Trường hợp 1: a = (1) phương trình bậc (ta giải cụ thể) Trường hợp 2: a phương trình (1) phương trình bậc có: b = b2 – 4ac (hoặc ’ = b'2 – ac, với b' = ) Biện luận: Nếu < 0: phương trình (1) vô nghiệm b b' Nếu = 0: phương trình (1) có nghiệm kép x1 = x2 = (x1 = x2 = ) 2a a Nếu > 0: phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: b b b' ' b' ' x1 ; x2 ; x2 (hoặc x1 ) 2a 2a a a * Chú ý: Nếu ac < phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c Nếu a + b + c = phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm: x1 = 1; x2 a - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp c Nếu a – b + c = phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm: x1 = -1; x2 a Ví dụ: Giải biện luận phương trình: x - 2x = m(x - 1) - 2/ Điều kiện nghiệm số phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (1): Phương trình phương trình (1): a a a i/ vô nghiệm b ; ii/ có nghiệm kép ; c a a iii/ có nghiệm phân biệt ; iv/ có nghiệm ; a vi/ có nghiệm với x b c Ví dụ: Cho phương trình (m - 2)x - mx + 2m - = (*) Tìm m để: a) Phương trình (*) có hai nghiệm; b) Phương trình (*) vô nghiệm 3/ Đònh lí Viét: Đònh lí thuận: Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0) có hai nghiệm x1 x2 thì: b S x1 x2 a c P x1 x2 a Đònh lí đảo: Cho số u, v Khi u, v nghiệm phương trình: X2 - SX + P = 0, với S = u + v, P = uv (S2 4P) Ứng dụng đònh lí Viét: a) Tính giá trò biểu thức đối xứng nghiệm b) Dùng , S, P để xét dấu nghiệm phương trình bậc hai: 0 0 i/ x1 < < x2 P < 0; ii/ < x1 < x2 P ; iii/ x1 < x2 < P S 0 S 0 Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2x + m - = Với giá trò m phương trình cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 x22 = Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2mx + 3m - = Với giá trò m phương trình cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 5x1 + 3x2 = Ví dụ 3: Xét phương trình mx2 - 2(m - 1)x + 4m - = Tìm giá trò tham số m để phương trình có a) hai nghiệm trái dấu; b) hai nghiệm dương; c) hai nghiệm âm phân biệt * Bài tập rèn luyện: Bài 1: Giải biện luận phương trình sau: a) x2 + (1 - m)x - m = 0; b) (m - 3)x2 - 2mx + m - = Bài 2: Tìm m để phương trình sau: a) 2x2 + 2(m + 1)x + + 4m + m2 = có nghiệm; b) 3mx2 + (4 - 6m)x + 3(m - 1) = có hai nghiệm nhau; c) (m2 + m + 1)x2 + (2m - 3)x + m - = có hai nghiệm dương phân biệt; d) x2 - 6mx + - 2m + 9m2 = có hai nghiệm âm phân biệt - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp Bài 3: Chứng minh phương trình sau: a) x2 + (m + 1)x + m - = có nghiệm với tham số m; 2 b) (2m + 1)x - 4mx + = vô nghiệm với m Bài 4: Cho phương trình x2 - mx + 21 = có nghiệm 7, tìm m nghiệm lại Bài 5: Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình 2x2 - 11x + 13 = Hãy tính: x x a) x13 x23 ; b) x14 x24 ; c) (1 x22 ) (1 x12 ) x2 x1 Bài 6: Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2mx + = Hãy tìm tất giá trò m x x để có đẳng thức: ( ) ( ) x2 x1 Bài 7: Với giá trò a phương trình 2x2 - (a + 1)x + a + = có hai nghiệm hiệu hai nghiệm phương trình Bài 8: Tìm tất giá trò dương k để nghiệm phương trình 2x2 - (k + 2)x + = k2 trái dấu có giá trò tuyệt đối nghòch đảo Bài 9: Hãy tìm tất giá trò k để phương trình bậc hai (k + 2)x2 - 2kx - k = có hai nghiệm mà xếp trục số, chúng đối xứng qua điểm x = * Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm giá trò m để phương trình sau có hai nghiệm nhau: a) x2 - 2(m - 1)x + 2m + = 0; b) (m - 1)x2 - 2(m + 3)x - m + = 0; c) (m - 3)x2 - 2(3m - 4)x + 7m - = 0; d) (m - 2)x2 - mx + 2m - = Bài 2: Chứng minh phương trình sau có nghiệm với giá trò tham số m: a) x2 - 2(m - 1)x + m - = 0; b) x2 + (m + 2)x + m + = 0; 2 c) (m - 1)x + (3m - 2)x + - 2m = Bài 3: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm dù m lấy giá trò nào: a) x2 + (m + 1)x + m2 + m + = 0; b) x2 + 2(m - 3) + 2m2 - 7m + 10 = 0; c) x2 - ( - 1)x + m2 - m + = Bài 4: Với phương trình sau, biết nghiệm, tìm m nghiệm lại: a) x2 - 9x + m = có nghiệm -3; b) (m - 3)x2 - 25x + 32 = có nghiệm III MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI: 1/ Phương trình chứa ẩn mẫu: mx n Dạng: e với p px q q Tập xác đònh: D = R\ { } ; p Phương trình cho tương đương: mx + n = e(px + q) mx Ví dụ: Giải biện luận phương trình: x 1 * Bài tập rèn luyện: Bài 1: Giải phương trình sau: 2(x 1) x2 2x 5x 2 a) ; b) 2x 2x x 3x Bài 2: Giải biện luận phương trình: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp a) (x - 2)(x - mx + 3) = 0; b) ( x 1)(mx 2) x 3m x x 1 vô nghiệm x m x 1 2x m x m Bài 4: Đònh m để phương trình có nghiệm x 1 x * Bài tập tự luyện: Bài 1: Đònh m để phương trình sau vô nghiệm: xm x2 x 1 x a) b) 2; x 1 x 1 x a 1 x a Bài 2: Giải biện luận phương trình: 2mx m m a mx m a) b) c) 1; 1; 1; x x 2a x 1 x 1 3x k x k (m 1)x m 2a d) ; e) f) m; a2; x 3 x 3 x3 x2 xm x3 x m x 1 mx m m( x 1) g) h) c) 2; 2; x 1 x 1 x2 x2 x x 1 x m 2/ Phương trình trùng phương: Dạng: ax4 + bx2 + c = (a 0) Cách giải: Đặt t = x2 (t ≥ 0), phương trình cho trở thành: at2 + bt + c = Ví dụ: Với giá trò m phương trình x x m : a) Vô nghiệm? b) Có nghiệm? c) Có hai nghiệm? d) Có ba nghiệm? e) Có bốn nghiệm? Bài 3: Đònh m để phương trình IV ĐA THỨC - THUẬT TOÁN HORNER - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO: Đa thức bậc n có dạng: f(x) = anxn + an – 1xn -1 + an -2xn -2 + + a1x + a0 Số gọi nghiệm đa thức f(x) f() = 1) Thuật toán tìm nghiệm hữu tỉ đa thức: + Thử với x = có phải nghiệm f(x); + Tìm tất ước {r, r1, , rm}của a0 tất ước {s, s1, sm} an; r r r r r r + Lần lượt thử với x = , , , m , , , , m để tìm nghiệm f(x) s s s s1 s1 sm Ví dụ: Tìm nghiệm hữu tỷ đa thức g(x) = -3x4 + 2x3 + 4x2 + 7x + 2) Chia đa thức f(x) cho (x - ): Đònh lí Bezout: Dư phép chia đa thức f(x) cho x - a f(a) Hệ quả: f(x) (x – a) f(a) = Sơ đồ Horner: (Để tính hệ số đa thức thương đa thức dư phép chia đa thức f(x) cho (x - ) hay tìm r(x) f(x) = (x - )g(x) + r(x)) an an -1 an - a1 a0 an bn + an – bn - + an – b2 + a1 b1 + a0 = bn = bn - = bn - = b1 * Chú ý: Nếu b1 + a0 = f(x) = (x - )g(x) Ví dụ:Tìm thương dư phép chia đa thức f(x) = 2x4 – 3x2 + 4x – cho x + 3) Phương trình bậc ba: Dạng: ax3 + bx2 + cx + d = (a 0) Cách giải: - Tài liệu lưu hành nội 10 Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C tạo với mặt phẳng Oxy góc biết cos = Bài 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x 1 y z mặt phẳng 1 (P): 2x + y - 2z + = a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b) Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng (P), biết qua A vuông góc với d II PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU: 1/ Phương trình mặt cầu: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính R có dạng: (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 Ngược lại, phương trình x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = với A2 + B2 + C2 - D > phương trình mặt cầu tâm I(-A; -B; -C) có bán kính R = A2 B C D 2/ Giao mặt cầu mặt phẳng: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = mặt cầu (S) có phương trình (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 Gọi H hình chiếu tâm I(a; b; c) mặt cầu (S) Aa Bb Cc D mặt phẳng () thì: IH = d(I,()) = A2 B C a) Nếu IH < R giao () (S) đường tròn có tâm H bán kính R IH , từ ta có phương trình đường tròn: Ax By Cz D Aa Bb Cc D với R () (S) = , tức mặt phẳng () điểm chung với (S) * Bài tập rèn luyện: Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = mặt phẳng (): x + z = a) Chứng minh mp() cắt mặt cầu (S) b) Xác đònh tọa độ tâm tính bán kính đường tròn (C) giao tuyến () với (S) x t Bài 2: Cho đường thẳng d: y 1 2t mặt phẳng (): 2x - y – 2z –2 = Viết phương trình mặt z 2t cầu có tâm I (d) cách () đoạn cắt mặt phẳng () theo giao tuyến đường tròn có bán kính x y 1 z 1 Bài 3: Cho đường thẳng d: hai mặt phẳng (): x + y - 2z + = 0, (): 2x – y + z + 2 = Viết phương trình mặt cầu có tâm d tiếp xúc với hai mặt phẳng (), () x y z x y z 17 Bài 4: Cho đường tròn (C): x y 2z a) Tìm tâm bán kính (C) 70 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp b) Lập phương trình mặt cầu (S) chứa đường tròn (C) có tâm nằm mặt phẳng (): x + y + x + = Bài 5: Lập phương trình mặt tiếp diện mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + = điểm M(4; 3; 0) Bài 6: Lập phương trình mặt () tiếp xúc với mặt cầu x2 + y2 + z2 – 26x – 2y - 2z – 22 = 0, biết () song song với (): 3x – 2y + 6z + 14 = x 4t Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d: y 3t tiếp xúc với mặt cầu x2 + y2 + z 1 t z2 – 2x + 6y + 2z + = Một số tập đề thi tuyển sinh: Bài 1: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - 2y - z - = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z - 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác đònh tọa độ tâm tính bán kính đường tròn Bài 2: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z - = mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = a) Viết phương trình mp(Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z - = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Bài 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3) a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4) a) Tìm tọa độ đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1) b) Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N Tính độ dài MN - Tài liệu lưu hành nội - 71 Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp * HÌNH HỌC KHÔNG GIAN * I GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỔNG HP: 1) Quan hệ vuông góc: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc mặt phẳng 2) Góc: Góc hai đường thẳng: Góc đường thẳng mặt phẳng: Góc hai mặt phẳng: 3) Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: 4) Thể tích: * Bổ sung kiến thức: 1) Nếu tam giác có diện tích S hình chiếu có diện tích S' tích S với cosin góc mặt phẳng tam giác mặt phẳng chiếu: S ' S cos 2) Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Ta có: S A C' A' B' A C B A' H B V S A ' B 'C ' V S ABC SA ' SB ' SC ' SA SB SC C SA'BC = SABC.cos Một số tập đề thi tuyển sinh: Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 600 Gọi M trung điểm cạnh AA' N trung điểm cạnh CC' Chứng minh bốn điểm B', M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN hình vuông Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Bài 5: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = cm; AB = cm; BC = cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung điểm AD SC; I giao điểm 72 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy (0 < < 900) Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, góc ABD = góc BAD = 900, BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Bài 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Bài 13: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Bài 14: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc đỉnh A' mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA', B'C Bài 15: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B, AB = 2a, A'C = 3a Gọi M trung điểm đoạn A'C', I giao điểm AM A'C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Bài 16: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc đường thẳng BB' mặ t phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vuông C góc BAC 600 Hình chiếu vuông góc điểm B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN Bài 18: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM B'C Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mp(ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 6: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng Trên lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a Bài 9: Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O', bán kinh đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO'AB II GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vò trí gốc O) - Tài liệu lưu hành nội - 73 Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp Bước 2: Xác đònh toạ độ điểm có liên quan (có thể xác đònh toạ độ tất điểm số điểm cần thiết) Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải toán * Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA= a vuông góc với đáy a) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khỏang cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC) c) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với đáy Gọi M, N theo thứ tự trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD) 600 a) Tính MN SO b) Tính góc MN mặt phẳng (SBD) Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a AC = a, từ trung điểm H cạnh AB dựng SH (ABCD) với SH = a a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz, Ox, Oy, Oz lấy điểm A, B, C a) Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA = a, OB = b, OC = c b) Giả sử A cố đònh B, C thay đổi thỏa mãn OA = OB + OC Hãy xác đònh vò trí B C cho thể tích tứ diện OABC lớn Bài 5: Cho tứ diện OABC (vuông O), biết OA, OB, OC hợp với mặt phẳng (ABC) góc , , Chứng minh rằng: a) cos cos cos ; b) S 2OAB S 2OBC S 2OCA S 2ABC Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, sa vuông góc với đáy Gọi a 3a M, N hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC cho BM , DN Chứng minh hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với Bài 7: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông a góc với mặt phẳng (ABC) D lấy điểm S cho SD , CMR hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với Bài 8: Trong không gian cho điểm A,B,C theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi cho OA = a, OB = a , OC = c (a,c > 0) Gọi D điểm đối diện với O hình chữ nhật AOBD M trung điểm đọan BC (P) mặt phẳng qua A,M cắt mặt phẳng (OCD) theo đường thẳng vuông góc với AM a) Gọi E giao điểm (P) với OC, tính độ dài đọan OE b) Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện tạo thành cắt khối chóp C.AOBD mặt phẳng (P) c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) Bài 9: Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB= a , SC (ABC ) , ABC vuông A, điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM = CN = t (0 < t < 2a) a) Tính độ dài đoạn MN Tìm giá trò t để MN ngắn b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vuông góc chung BC SA 74 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi có AC = 4, BD = tâm O, SO = vuông góc với đáy Tìm điểm M thuộc đoạn SO cách hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AD, CD Lấy P BB' cho BP = 3PB' Tính diện tích thiết diện (MNP) cắt hình lập phương Bài 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a a) Tính theo a khoảng cách AD' B'C AM b) Gọi M điểm chia đoạn AD theo tỷ số Hãy tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng MD (AB'C) c) Tính thể tích tứ diện AB'D'C Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M, N trung điểm BC DD' a) Chứng minh AC' (A'BD) b) Chứng minh MN // (A'BD) c) Tính khoảng cách BD nà MN theo a Bài 14: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc A = 600, B'O vuông góc với đáy ABCD, cho BB' = a a) Tính góc cạnh bên đáy b) Tính khoảng cách từ B, B' đến mặt phẳng (ACD') Bài 15: Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm I Trên hai tia Ax, By chiều vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy hai điểm M, N Đặt AM = x, CN = y a) Tính thể tích hình chóp ABCMN b) Chứng minh điều kiện cần đủ để góc MIN = 900 2xy = a2 Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = , cạnh bên SC (ABC) SC = Gọi M trung điểm AC, N trung điểm AB a) Tính góc hai đường thẳng SM CN b) Tính độ dài đọan vuông góc chung SM CN Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a) Gọi M, N trung điểm AD, BB' Chứng minh A'C MN Tính độ dài đoạn MN b) Gọi P tâm mặt CDD'C' Tính diện tích MNP Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác cạnh a cạnh bên SA vuông góc với a mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA= Bài 19: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đôi vuông góc Gọi , , góc mặt phẳng (ABC) với mặt phẳng (OBC);(OCA) (OAB).Chứng minh rằng: cos + cos + cos Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB=AC=a góc BAC = 1200, cạnh bên BB' = a Gọi I trung điểm CC' Chứng minh tam giác AB'I vuông A Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'I) - Tài liệu lưu hành nội - 75 Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp * NHẬN DẠNG TAM GIÁC * I HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC: 1/ Hệ thức lượng tam giác a/ Đònh lí cosin tam giác: Cho ABC với cạnh tương ứng a, b, c a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC b/ Đònh lí sin tam giác: Trong tam giác ABC, với R bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: a b c 2R sin A sin B sin C 2/ Các công thức diện tích tam giác: Cho ABC với cạnh a, b, c tương ứng Gọi SABC diện tích ABC ha, hb, hc đường cao xuất phát từ đỉnh tương ứng; gọi R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp ABC A 1 aha bhb chc 2 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 abc 4R abc : nửa chu vi ABC) pr (p = p( p a)( p b)( p c) S ABC S ABC S ABC S ABC S ABC b r c hc hb R B a C 3/ Công thức độ dài đường trung tuyến: Cho ABC với cạnh tương ứng a, b, c Gọi ma, mb, mc độ dài đường trung tuyến kẻ từ A, B, C Trong tam giác ABC, ta có: A b2 c2 a2 ma2 ; a c2 b2 ; mb2 2 a b c2 mc2 c ma b mc mb B a C 4/ Đònh lý đường phân giác: Cho ABC với cạnh tương ứng a, b, c Gọi la, lb, lc độ dài đường phân giác kẻ từ A, B, C Ta có: A B C 2bc cos 2ac cos 2ab cos 2; 2; la lb lc bc ac ab 5/ Các hệ thức lượng tam giác vuông : 76 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp Trong tam giác vuông ABC Gọi b', c' độ dài hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền ta có hệ thức: b2 = ab', c2 = ac' A a2 = b2 + c2 h2 = b'.c' 1 2 h b c c b a.h = b.c h b = a.sinB = a.cosC, c = a.sinC = a.cosB c' b' b = c.tgB = c.cotgC C H B a c = b.tgC = b.cotgB II NHẬN DẠNG TAM GIÁC: Kiểu đề toán 1: là tam giác vuông là tam giác vuông cân Cho tam giác ABC thỏa mãn ΔABC tam giá c câ n THÌ " Điều kiện cho trước" là tam giác tam giá c có gó c đặ c biệ t Kiểu đề toán 2: là tam giác vuông là tam giác vuông cân Cho tam giá c ABC thỏ a mã n ΔABC là tam giác cân CẦN VÀ ĐỦ " Điề u kiệ n cho trướ c " là tam giác là tam giác có góc đặc biệt "Điều kiện cho trước" là: Đẳng thức lượng giác góc; Đẳng thức lượng giác + độ dài (cạnh, trung tuyến, phân giác, ); Đẳng thức độ dài; Hệ đẳng thức 1/ Nhận dạng tam giác vuông: Phương pháp: Sử dụng phép biến đổi tương đương hệ để biến đổi "Điều kiện cho trước" đến đẳng thức mà từ ta dể dàng kết luận tính chất tam giác sin A cos B tgA Chứng minh ABC vuông Ví dụ: Tam giác ABC có sin B cos A 2/ Nhận dạng tam giác cân: Phương pháp: Sử dụng phép biến đổi tương đương hệ để biến đổi "Điều kiện cho trước" đến đẳng thức mà từ ta dể dàng kết luận tính chất tam giác Ví dụ: Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện sau tam giác cân: C sin A sin B sin C A C 1) tgA tgB 2.cot g ; 2) cot g cot g sin A sin B sin C 2 3/ Nhận dạng tam giác đều: Ngoài phương pháp nêu ta giải toán theo cách sau: - Tài liệu lưu hành nội - 77 Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Gồm bước (áp dụng "Điều kiện cho trước" có dạng: đẳng thức A = B Bước 1: CM bất đẳng thức A B A B (1) Bước 2: Lập luận để đẳng thức (1) xảy mà đẳng thức (1) xảy tam giác ABC Ví dụ: Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện sau tam giác đều: 1) cos A.cos B.cosC ; A B C cos cos cos 3; 2) cos A cos B cosC A B C 3) cos A cos B cosC sin sin sin ; 2 1 1 1 4) cos A cos B cosC sin A sin B sin C 2 VÍ DỤ TỔNG HP Bài 1: Chứng minh ABC thỏa mãn điều kiện cos A cos 2B cos 2C tam giác tam giác vuông Bài 2: Xác đònh dạng tam giác ABC biết: C 1) a b tg (a.tgA b.tgB) ; b c a 2) ; cos B cosC sin B.sin C bc 3) cos B cosC ; a a.cos A b.cos B c.cosC 4) ; a bc Bài 3: Hãy tính góc tam giác ABC tam giác ta có: sin2 A sin2 B sin2 C 3cosC cos2 C 4 p( p a) bc Bài 4: Tính góc tam giác ABC biết A B C BC = a, AB = c, sin sin sin 2 abc p 78 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp * PHỤ LỤC: MỘT SỐ VẤN ĐỀ BỔ SUNG * ax bx c (aa' 0): a ' x b' * Bổ sung: Tiệm cận xiên: Điều kiện cần đủ để đường thẳng d tiệm cận đồ thò (C) lim [ f ( x) (ax b)] (hoặc lim [ f ( x) (ax b)] lim[ f ( x) (ax b)] ) I KHẢO SÁT HÀM SỐ y = x x x * Một số đề thi tuyển sinh: (2m 1)x m Bài 3: Cho hàm số y = (1) (m tham số) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C) hàm số (1) ứng với m = -1 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) hai trục tọa độ c) Tìm m để đồ thò hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x (*) (m tham số) x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số (*) m = b) Tìm m để hàm số (*) có cực trò khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên (Cm) x2 x 1 Bài 14: Cho hàm số y = x2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C) hàm số cho b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường tiệm cận xiên (C) mx x m Bài 4: Cho hàm số y = (1) (m tham số) x 1 a) Khảo sát hàm biến thiên vẽ đồ thò hàm số (1) m = -1 b) Tìm m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hoành độ dương x 2x Bài 6: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số y = (1) x2 2) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + - 2m cắt đồ thò hàm số (1) hai điểm phân biệt x 3x Bài 7: Cho hàm số y = (1) 2( x 1) a) Khảo sát hàm số (1) b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thò hàm số (1) hai điểm A, B cho AB = Bài 10: Gọi (Cm) đồ thò hàm số y = mx + x (m 1)x m (*) (m tham số) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số (*) m = b) Chứng minh với m bất kỳ, đồ thò (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng cách hai điểm 20 Bài 11: Gọi (Cm) đồ thò hàm số y = - Tài liệu lưu hành nội - 79 Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp x 2(m 1) x m 4m (1), m tham số x2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số (1) m = -1 b) Tìm m để hàm số (1) có cực đại cự tiểu, đồng thời điểm cực trò đồ thò với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O Bài 17: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3(m2 - 1)x - 3m2 - (1), m tham số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trò đồ thò hàm số (1) cách gốc tọa độ O mx (3m 2) x Bài 19: Cho hàm số y = (1), với m tham số thực x 3m a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số m = b) Tìm giá trò m để góc hai đường tiệm cận đồ thò hàm số (1) 450 Bài 16: Cho hàm số y = II CÁC ĐƯỜNG CÔNIC: 1/ Parabol - Elíp - Hypebol: Parabol Elíp x y2 1 a b2 (b2 = a2 - c2) e1 a a x = - x = e e x0 x y0 y 1 a2 b Phương trình tắc y2 = 2px Tâm sai e=1 p x=2 Phương trình đường chuẩn Tiếp tuyến điểm y0y = p(x0 + x) M0(x0; y0) thuộc cônic Điều kiện để đường thẳng pB2 = 2AC a2A2 + b2B2 = C2 (C 0) a2A2 - b2B2 = C2 (C 0) : Ax + By + C = tiếp xúc 2/ Đònh nghóa cônic: Cônic tập hợp điểm M mặt phẳng có tỉ số khoảng cách từ tới điểm cố đònh F đường thẳng cố đònh (không qua F) số e e tâm sai cônic F tiêu điểm đường chuẩn tương tứng với tiêu điểm F y a H1(- ; y) e - a e y a H2( ; y) e M(x; y) r1 -a F2(c; 0) r2 O F1(-c; 0) a H1 x r1 x a F1(-c; 0) e - a e O a F2(c; 0) e * Chú ý: M(x; y) thuộc cônic có đường chuẩn , tiêu điểm F tâm sai e tỉ số 3/ Các ví dụ: 80 - Tài liệu lưu hành nội - MF = e d ( M , ) Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp VD1: Viết phương trình cônic có tiêu điểm F(3; 1), đường chuẩn : x = tâm sai e = VD2: Lập phương trình tiếp tuyến parabol (P): y2 = x M(1; 1) VD3: Lập phương trình tiếp tuyến parabol (P): y2 = 4x biết tiếp tuyến qua điểm M(3; 4) x2 y2 VD4: Lập phương trình tiếp tuyến Elip (E): biết tiếp tuyến qua điểm M(5; 2) 25 x2 y2 VD5: Lập phương trình tiếp tuyến Hypebol (H): biết tiếp tuyến song song với 16 đường thẳng d: x - y + = Bài 1: Cho (E) có hai tiêu điểm F1( 3;0); F2 ( 3;0) đường chuẩn có phương trình x Viết phương trình tắc (E) M điểm thuộc (E) Tính giá trò biểu thức: P F1M F2 M 3OM F1M.F2 M Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục hoành cắt (E) hai điểm A, B cho OA OB Bài 2: Lập phương trình tắc (E) có tiêu điểm F1 ( 15;0) , tiếp xúc với (d): x 4y 10 Viết phương trình tiếp tuyến với (E) vuông góc với (d): x y x y2 đường thẳng (d): mx y Chứng minh với giá trò m, đường thẳng (d) cắt (E) hai điểm phân biệt Viết phương trình tiếp tuyến (E), biết tiếp tuyến qua điểm A(1;-3) Bài 4: Lập phương trình tắc (E) có tiêu điểm F1 ( 10,0); F2 ( 10;0) , độ dài trục lớn Bài 3: Cho Elíp (E) : 18 Đường thẳng (d) tiếp xúc (E) M cắt hai trục toạ độ A B Tìm M cho diện tích OAB nhỏ x y2 Bài 5: Cho Elíp (E) : đường thẳng (d): x y CMR (d) cắt (E) hai điểm phân biệt A,B Tính độ dài AB Tìm toạ độ điểm C thuộc (E) cho ABC có diện tích lớn x y2 x y2 Bài 6: Cho hai Elíp : (E1 ) : (E2 ) : Viết phương trình tiếp tuyến chung hai 16 9 16 elíp x y2 Bài 7: Cho Elíp (E) : Xét hình vuông ngoại tiếp (E) ( tức cạnh hình vuông tiếp xúc 24 12 với (E) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình vuông x y2 Bài 8: Cho Elíp (E) : Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) a,b hai số thay đổi Xác đònh toạ độ giao điểm I đường thẳng AN BM Chứng minh điều kiện cần đủ để đường thẳng MN tiếp xúc với (E) ab=4 Với a,b thay đổi , tiếp xúc với (E) Tìm quỹ tích điểm I Bài 1: Cho Hypebol (H): x y2 1 16 - Tài liệu lưu hành nội - 81 Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp Tìm độ dài trục ảo, trục thực , tâm sai , tiêu điểm F1,F2 (H) Tìm (H) điểm cho MF1 MF2 x y2 a2 b2 CMR tích khoảng cách từ điểm M0 (H) đến hai tiệm cận số không đổi Bài 3: Cho Hypebol (H): x y2 10 Viết phương trình tiếp tuyến với (H) A( ; ) 3 Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết vuông góc với đường thẳng : : x y Viết phương trình tiếp tuyến với (H) kẻ từ M(2;-1) x y2 Bài 4: Cho Hypebol (H): mặt phẳng Oxy a b Tìm a,b để (H) tiếp xúc với hai đường thẳng (D1 ) : 5x y 16 (D2 ) :13x 10 y 48 Bài 2: Cho Hypebol (H): Bài 1: Cho (P): y2= 16x Lập phương trình tiếp tuyến (P), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) : 3x-2y+6=0 Lập phương trình tiếp tuyến với (P) kẻ từ M(-1;0) đến (P) x y2 Bài 2: Lập phương trình tiếp tuyến chung elíp : parabol: y 12 x Bài 3: Cho A(3;0) (P): y=x2 Cho M (P) xM a Tính AM Tìm a để AM ngắn Chứng minh AM ngắn AM vuông góc tiếp tuyến M (P) Bài 4: Cho (P):y2= 2x cho A(2;-2); B(8;4) Giả sử M điểm di động cung nhỏ AB (P) Xác đònh tọa độ M cho tam diác AMB có diện tích lớn Bài 5: Cho (P): y x điểm I(0;2) Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc (P) cho IM 4IN Bài 27: Viết phương trình đường cônic trường hợp sau: a) Tiêu điểm F(3; 1), đường chuẩn : x = tâm sai e = 1 c) Tiêu điểm F(2; -5), đường chuẩn ứng với tiêu điểm F : y = x tâm sai e = d) Tiêu điểm F(-3; -2), đường chuẩn ứng với tiêu điểm F đường thẳng : x - 2y + = có tâm sai e = Bài 28: Lập phương trình tiếp tuyến của: a) Parabol (P): y2 = x M(1; 1) b) Parabol y2 = 4x, biết tiếp tuyến qua điểm M(3; 4) c) Parabol y2 = -2x, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2x - y + = Bài 29: Lập phương trình tiếp tuyến của: x2 y2 , biết tiếp tuyến qua điểm M(5; 2) a) Elip (E): 25 x2 y2 , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x + y - 1= b) Elip (E): 16 Bài 30: Viết phương trình tiếp tuyến của: x2 y2 , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: x - y + = a) Hypebol (H): 16 b) Tiêu điểm F(-1; 4), đường chuẩn ứng với tiêu điểm F : y = tâm sai e = 82 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp b) Hypebol (H): 5x2 - y2 = 4, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 5x - 2y + 10 = Hãy tìm tọa độ tiếp điểm * Các toán đề thi tuyển sinh: x2 y2 Tìm tọa độ điểm A, B thuộc (E), biết hai điểm A, B đối xứng với qua trục hoành tam giác ABC tam giác Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C(2; 0) elip (E): Bài 18: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y2 = 16x điểm A(1; 4) Hai điểm phân biệt B, C (B C khác A) di động (P) cho góc BAC = 900 Chứng minh đường thẳng BC qua điểm cố đònh Bài 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình tắc elip (E) biết (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 I CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG TỪ NĂM 2002 ĐẾN NĂM 2009 * Bài tập tự giải: Bài 1: Giả sử a, b, c, d bốn số ngun thay đổi thỏa mãn a < b < c < d 50 Chứng minh bất đẳng thức: a c b b 50 b d 50b a c b 1 HD: c b + 1, a 1, d 50 , dấu "=" xảy a = 1, d = 50, c = b + b d b 50 Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích Gọi a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB ha, hb, hc tương ứng độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C tam giác 1 1 1 Chứng minh rằng: ( )( ) a b c hb hc 1 1 1 1 1 1 ) ( )(a b c) Áp dụng BĐT HD: S = aha = bhb = chc ( )( a b c h b hc 2S a b c 2 1 1 1 CauChy cho ( )( ) a b c hb hc y x Bài 3: Chứng minh với x, y > ta có: (1 x)(1 )(1 HD: + x = + ) 256 Đẳng thức xảy nào? y y3 x3 x x x y y y y =1+ 44 3 , 44 , + x 3 3 x 3x 3x 3x 1+ 3 33 =1+ 44 ) y y y y y3 Chứng minh : a 3b b 3c c 3a Khi đẳng thức xảy ra? a 3b b 3c a 3b (a 3b).1.1 , b 3c , 3 Bài 4: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn : a + b + c = (HD: - Tài liệu lưu hành nội - c 3a c 3a 83 Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp a bc Dấu "=" xảy abc ) 4 a 3b b 3c c 3a 1 Bài 5: Chứng minh y x x y y x Đẳng thức xảy nào? (HD: Ta có x x x2 x y y x 1 x y y x + 4 0 y x x 1 2 1) y x + yx + yx = x y Dấu "=" xảy x x y 4 yx Bài 6: Cho x, y, z ba số dương xyz = Chứng minh rằng: x2 y2 z2 1 y 1 z 1 x x2 y y2 1 z z2 1 x HD: x, y, z 1 y 1 z 1 x x2 y2 z2 xyz 3 x y z (x y z) , mà x + y + z 3 xyz = 3.) 1 y 1 z 1 x 4 4 Bài 8: Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x y Tìm GTNN biểu thức: A 3x y x 1 y y xy (HD: Ta có: A = 2( ) 2.3 Dấu "=" x 8 y 4x y x x xảy y x = y = 2) y 84 - Tài liệu lưu hành nội - [...]... 3x + 2) + 2 = x; d) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4; - Tài liệu lưu hành nội bộ - 11 Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp e) 2(x2 + x + 1)2 - 7(x - 1)2 = 13(x3 - 1); 12 f) 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp * PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC * I... x 2 3 Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp x2 c) 2 x 2 5x 2 x 2 x 2 3x 6 ; d) e) 2 x 2 5x 7 3( x 2 7 x 6) 7 x 2 6 x 1 ; 5 g) 3 ( x 2) 2 3 ( x 3) 2 3 ( x 2)( x 3) ; 2 x3 i) 4 x 1 3x 2 ; 5 f) 2 x 2 8x 6 x 2 1 2 x 2 ; k) 2 x 2 3x 5 2 x 2 3x 5 3x ; * Một số bài tập trong các đề thi tuyển sinh: Giải... 3 2 x 2 5x 4 * Một số bài tập trong các đề thi tuyển sinh: Bài 1: Giải các bất phương trình sau: a) ( x 3x) 2 x 3x 2 0; 2 b) 2 2( x 2 16) x3 x3 7x x3 ; c) 5x 1 x 1 2 x 4 Bài 2: Giải các bất phương trình sau: a) 8x 2 6 x 1 4 x 1 0 ; 16 b) 2 x 7 5 x 3x 2 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh... cosx(2tan2x - 1) = 2; 3 - Tài liệu lưu hành nội bộ - 25 Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp x x e) sin 2 ( ) tan 2 x cos 2 0 ; 2 4 2 2 (2 sin 2 x) sin 3x g) tan 4 x 1 ; cos 4 x 2 i) 3 tan x cot 2 x 2 tan x ; sin 4 x 1 k) cot 3x cot 2 x 0; sin 3x sin 2 x sin x * Một số bài tập trong các đề thi tuyển sinh: Bài 1: Giải các phương trình sau: a) sin23x... 2 Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp a) y = x.ex - 1 trên đoạn [-2; 2]; b) y = x 2 4 trên đoạn [-1; 3]; e) f(x) = x2 - 3x + 2 trên đoạn [-10; 10] : Đồ thò hàm số chứa giá trò tuyệt đối: Bài toán: Từ đồ thò hàm số y = f(x) suy ra đồ thò các hàm số chứa giá trò tuyệt đối f(x) nếu f(x) 0 Vận dụng tính chất f (x) f(x) nếu f(x) 0 Bài tập rèn luyện:... liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp a) cos4x 6sin x cos x m 0 có nghiệm x [0; ] 4 1 1 1 b) sin x cos x 1 (tgx cot gx ) m có nghiệm x (0; ) 2 sin x cos x 2 * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hàm số y = (x2 + mx + m2 - 3)(x - 2) Tìm trên trục tung các điểm mà với mọi m, đồ thò hàm số đã cho không đi qua Bài 2: Cho hàm số y... x3 x + (*) (m là tham số) 3 3 2 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò của hàm số (*) khi m = 2 - Tài liệu lưu hành nội bộ - 33 Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp b) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x - y = 0 Bài 7: 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò của hàm số y = 2x3 - 9x2 + 12x... trình sau có nghiệm: x2 + 2x - m+ m2 + m - 1 0 * Bài tập tự luyện: Bài 1: Giải các bất phương trình sau: a) x2 - 2x - 3 3x - 3; b) 1 - 4x > 2x + 1; c) 4x3 - 3x 1 Bài 2: Giải các bất phương trình sau: x 2 4x 3 x2 x 2 5x 4 1 1; a) b) 2 c) 2 3; x x5 x2 4 x 5x 6 18 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp * HỆ...Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp + Tìm nghiệm hữu tỷ của phương trình + Đưa phương trình về dạng (x - )(Ax2 + Bx + C) = 0 Ví dụ 1: Giải các phương trình x3 - x2 - 8x + 12 = 0 Ví dụ 2: Với giá trò nào của m thì phương trình (x - 1)(x2 + mx + m) = 0 có 3 nghiệm phân biệt * Bài tập rèn luyện: Bài 1: Giải các phương trình sau:... cos 3x sin 3x ) cos 2 x 3 Bài 5: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình: 5(sin x 1 2 sin 2 x k) tan( 26 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp * CÁC BÀI TOÁN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ * : Tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0): Tính = b2 - 4ac (hoặc ' = b'2 - ac nếu b chẵn) Nếu < 0 thì: phương trình f(x) = 0 vô nghiệm ...Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng... Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp a) y = x(6 - x), x [0; 6]; b) y = (x + 3)(5 - 2x), x [- 3; ] - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh... - 37 Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng – TQT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp e x e y ln(1 x) ln(1 y) yx a 38 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu ôn thi môn Toán Võ Thanh Hùng
Ngày đăng: 31/10/2015, 18:33
Xem thêm: ôn thi ĐH môn Toán toàn tập
