Chia một hình thành các phần bằng nhau

để giải các bài toán nâng cao thì phải hiểu thật sâu sắc bản chất của từng nội dung kiến thức.Phần II Giải quyết vấn đề Để giải các bài toán dạng “Chia một hình thành các phần có diện t

Giải toán dạng : Chia một hình thành các phần có diện tích bằng nhau

A Mở đầu:

1 Lí do chọn đề tài:

Toán học với t cách là môn khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới hiện thực có hệ thống kiến thức cơ bản và phơng pháp nhận thức rất cần thiết cho cuộc sông và lao động Môn toán có nhiều khả năng phát triển t duy logic, bồi dỡng và phát triển các thao tác trí tuệ cần thiết để nhận thức thế giới hiện thực trừu tợng hóa, khái quát hóa, phân tích và tổng hợp, so sánh và dự đoán, chứng minh và bác

bỏ Nó có vai trò to lớn trong phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp suy luận, phơng pháp giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, toàn diện, chính xác Môn toán còn có tác dụng phát triển trí thông minh, t duy độc lập, linh hoạt sáng tạo trong việc hình thành, rèn luyện nề nếp phong cách và tác phong làm việc khoa học

Trong các môn học, không có môn học nào lại giúp rèn luyện năng lực suy nghĩ và phát triển trí tuệ cho học sinh nh môn Toán Nhng trong bản thân môn toán lại không có phân môn nào giúp phát triển t duy logic, trí thông minh, óc sáng tạo nh phân môn hình học

Do đặc điểm này, nên việc giảng dạy các yếu tố Hình học cho học sinh tiểu học, đặc biệt là các học sinh giỏi luôn rất đợc coi trọng

Vì vậy, tôi viết bài này nhằm mong muốn trình bày tới các thầy cô giáo, học sinh và các bậc phụ huynh yêu thích môn Toán về vấn đề: “Giải bài toán dạng

qua cách giải các bài toán

2 Mục đích nghiên cứu:

Góp phần nâng cao chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi Toán lớp 5

Nhằm phát triển t duy logic, tính sáng tạo cho học sinh, là tiền đề, nền tảng cho sự phát triển nhân tài của đất nớc

Dựa trên chơng trình, kiến thức Toán lớp 5 - mở rộng, nâng cao kiến thức

để bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5

4 Nội dung mới của đề tài:

Nội dung có các bài toán, trong đó có các cách giải khác nhau Riêng cách giải thứ nhất là nội dung mới có tính logic chặt chẽ giữa các bài tập dạng này Từ cách giải cơ bản, học sinh có thể tự sáng tạo vận dụng để giải dạng bài toán này Còn các cách giải khác để tham khảo đã có đâu đó ở các tài liệu hoặc tự ta vận dụng tìm ra các cách giải, phần nhiều nó chỉ áp dụng đợc bài toán này nhng cha hẳn đã áp dụng đợc những bài toán khác Cách giải mới có thể triển khai một cách đa dạng đối với các bài toán dạng này Mặt khác, từ bài toán cụ thể ta sáng tác đợc các bài toán mới và tìm ra những cách giải hay

B Nội dung Phần i Cơ sở lí luận và thực tiễn

I Cơ sở lí luận:

Sử dụng, phát huy phơng pháp tìm tòi, sáng tạo Từ cái đã có sẵn, sáng tạo tìm

ra cái mới của đối tợng, cụ thể ở đây là giải toán Hình học Cách lập luận bám vào những kiến thức, cách trình bày nằm trong phạm vi chơng trình Toán tiểu học Từ những bài toán giải này, ngời thầy, cần biết vận dụng phơng pháp, cách thức tổ chức dạy - học sao cho phù hợp, với tinh thần “Lấy ngời học làm trung tâm” Ng-

ời học tự vận dụng, tự khai thác, tìm tòi, sáng tạo để chinh phục đối tợng dới dạng

mở

Ngời giáo viên có thể vận dụng phơng pháp sáng tác đề toán để xây dựng các

đề toán và tìm phơng pháp giải các bài toán

-Rèn luyện về phẩm chất toán học: Cẩn thận - Nhanh nhẹn - Chính xác - Khoa học - Sáng tạo

Dạy toán cho học sinh không chỉ dạy cụ thể một bài toán là xong, mà từ đó hình thành lên hình ảnh toán, cung cấp t liệu để hình thành kĩ năng- những phẩm chất trên Điều đó phụ thuộc vào khả năng tổ chức dạy học của ngời giáo viên Hạn chế : Vốn ngôn ngữ Toán của học sinh phần nào còn hạn chế Điều này cần phát huy ở khả năng tự nhiên của học sinh, môi trờng sống, thông qua các môn học, đặc biệt môn Toán

ở đây, có những vấn đề chỉ mới yêu cầu học sinh tiểu học nắm kiến thức sơ

đẳng ban đầu làm nền tảng cho học sinh học lên nữa Nhng đối với học sinh giỏi,

để giải các bài toán nâng cao thì phải hiểu thật sâu sắc bản chất của từng nội dung kiến thức.

Phần II Giải quyết vấn đề

Để giải các bài toán dạng “Chia một hình thành các phần có diện tích bằng

sinh nắm các kiến thức đó thông qua việc hớng dẫn giải các bài toán cơ bản Và xem sau mỗi bài, ta rút ra đợc điều gì?

Ta vận dụng kiến thức cơ bản để giải bài toán Tùy vào trình độ học sinh, giáo viên thiết kế bài dạy bằng phơng pháp, hình thức tổ chức dạy- học cho phù hợp,

đảm bảo yêu cầu phát huy tính tích cực, sáng tao của ngời học- những câu hỏi gợi

mở, cách thức tổ chức linh hoạt, hấp dẫn để học sinh dần dần khai thác kiến thức, hình thành kĩ năng giải toán

ở đề tài, ngời đọc cần đọc kĩ đề toán và tự tìm ra cách giải, sau đó nghiên cứu cách giải ở trong đề tài Và cuối cùng xem ta rút ra đợc điều gì ?

Phần các bài toán vận dụng, khi giải bài toán 1- ”Qua một đỉnh của tứ giác, kẻ một đờng thẳng chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau” Vậy qua trung điểm của cạnh tứ giác thì sao ? Ta sáng tác đợc bài toán 2 Còn nữa, nếu qua một điểm bất kì trên cạnh của tứ giác, ta có thể kẻ một đờng thẳng chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau không ? Ta sáng tác đợc bài toán 3… Rồi có những bài tập vận dụng tiếp theo Nếu qua một đỉnh chia diện tích hình tứ giác thành ba phần có diện tích bằng nhau thì sao ? Ta có bài toán 5…

Sau đây là những bài toán giải cụ thể:

Ta kẻ đờng cao AH của tam giác ABC,

cũng là đờng cao của hai tam giác ABM

Nên : SABM = SAMC

(Vì đó đều là đờng cao của hình thang ABCD)

Vì vậy: SADC = SBDC (Hai tam giác có

-Nắm đợc cách xác định SADI = SBIC nh bài toán 2

II Các bài toán

Bài 1.

Qua đỉnh A của tứ giác ABCD, hãy vẽ một đoạn thẳng chia tứ giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau

Bài giải Cách 1

-Nối B với D D

-Lấy I là trung điểm của đoạn BD A

-Nối A với I; C với I

-Ta có: SABI = SAID I

(Hai tam giác có chung chiều cao K

-Nối M với A cắt IC tại K

- Nối A với E cắt CD tại I

- Ta thấy: Tứ giác ACED là hình thang B M C E nên:

-Xác định trung điểm M của đoạn BE

Nối A với M (Trờng hợp M thuộc đoạn BC)

*Trờng hợp 2: M không thuộc đoạn BC A

Từ B kẻ đờng thẳng song song với AC

Qua trung điểm một cạnh của tứ giác ABCD, hãy vẽ một đoạn thẳng chia hình tứ giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau

Bài giải

Lấy K là trung điểm của cạnh CD

Từ A kẻ đờng thẳng song song với CD, cắt BC tại E

(Trờng hợp góc ABC là góc tù thì kẻ từ B)

-Lấy I là trung điểm của AE

-Nối B với I; I với K

Ta thấy: SAIKD = SIKCE N B

(Hai hình thang có các đáy AI =IE; A M E

DK = KC; và chiều cao bằng nhau) I

-Từ I kẻ đờng thẳng song song với BK, cắt AB tại N

-Nối K với N, cắt BI tại M

Ta thấy: SNMB = SIBK (2) (Vì SNKB = SIBK Hai tam giác có chung đáy BK và chiều cao bằng nhau; mà SBMK chung)

Từ (1) và (2) , suy ra:

SANKD = SNKCB

Kết luận: KN là đoạn thẳng cần tìm

Bài 3.

Qua một điểm trên cạnh của tứ giác ABCD, hãy vẽ đoạn thẳng chia hình tứ giác

đó thành hai phần có diện tích bằng nhau (Trừ điểm ở đỉnh, trung điểm của cạnh-

đã có ở 2 bài toán trên)

Bài giải Cách 1.

Qua điểm M bất kì vẽ đoạn thẳng B

chia tứ giác ABCD thành hai phần A P

có diện tích bằng nhau I K

Trên DC lấy điểm N sao cho: E

Tơng tự bài toán 2,

Đoạn thẳng MP chia diện tích tứ

giác ABND thành hai phần có D M N C

diện tích bằng nhau

*Mặt khác:

Từ N kẻ đờng thẳng song song với MB, cắt BC tại E.

Nối M với E, cắt BN tại L

Ta thấy: SMLN = SBLE

Cho nên: SADMP = S MPBN = SMPBE

(Vì SMPBL chung và đều cộng với S MLN ; SBLK) P B

A *Ta lại xét: Chia tứ giác PBCM E thành hai phần có diện tích bằng nhau G

Qua M kẻ hai đờng thẳng chia I

chia đôi diện tích hình tứ giác MPBG.

Trên LB ta lấy điểm H sao cho: LX = LH

Nh vậy ta có: SMHBG = SMGE (Vì SMIE - SMIG = SMLBG - SMLH

*Ta chia tứ giác ABMD thành A N

hai phần có diện tích bằng nhau

Thật vậy: I E

Ta lấy I là trung điểm của BD

Nối I với A, với M

*Ta thấy SADMN = SPMEB

Từ đó ta rút ra: SADMN + SMNP = SPMEB + SEMC

VËy MP lµ ®o¹n th¼ng chia tø gi¸c ABCD thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau (Trêng hîp N thuéc AD ta xÐt thªm)

Trªn BC lÊy N, sao cho BN = MC (h×nh vÏ)

Ta thÊy: SBAN = SAMC (1)

(Hai tam gi¸c chung chiÒu cao h¹ tõ A) E K

LÊy I lµ trung ®iÓm cña AN I

Ta thấy: SAIM = SIMN (2)

(Hai tam giác có đáy AI =IN; có cùng B N M C

chiều cao hạ từ M)

Từ (1) và (2), suy ra:

SABMI = SAIMC (3)

-Tiếp tục:

Từ I kẻ đờng song song với AM, cắt AB tại E

Nối M với E, cắt AN tại K

Ta thấy: SAEK = SMIK (4) (Vì SAEM = SAIM : Hai tam giác có chiều cao bằng nhau, chung đáy AM; mà SAKM chung)

-Lấy I là trung điểm của đoạn AB A

-Lấy K là trung điểm của đoạn AC N

-Nối M với I, với K E G K

Ta có: I D

SBIM = SAIM

(Hai tam giác có đáy AI =IB; có cùng

chiều cao hạ từ M) B M C Tơng tự:

SAMK = SMKC

*Tiếp theo:

Qua M, ta chia tứ giác AIMKthành hai phần có diện tích bằng nhau

-Nối I với K

Lấy D là trung điểm của IK

Nối D với A, với M

Dễ dàng thấy rằng:

Trên đoạn IN, ta lấy điểm E sao cho : AN = NE

-Nối B với D.

-Lấy I là trung điểm của BD

-Nối I với A, với C A B

*Đối với cách giải này, áp dụng đợc tất cả trờng hợp đờng chia cắt đi qua bất kì

đỉnh nào của hình thang

Còn các cách giải dới đây, thì với bài toán trên yêu cầu thêm điều kiện cần thiết “ Hình thang có đáy bé AB” mới thực hiện đợc các cách giải khác nh sau:

Cách 2.

Do AB < CD nên:

Trên đoạn CD lấy điểm E sao cho:

AB = DE A B

Nối A với E, với C

Ta thấy: SADE = SABC (1) (Hai tam giác

có chiều cao bằng nhau, đáy bằng nhau)

-Mặt khác:

Lấy M là trung điểm của EC

Nối A với M D E M C

Ta có: SAEM = SAMC (2) (Hai tam giác

có chung chiều cao hạ từ A, đáy bằng nhau)

*Cách giải thứ 3, nếu không có điều kiện AB < CD, thì phải xét thêm trờng hợp

M không thuộc đoạn CD (áp dụng trơng hợp 2, cách 2 của bài toán 1)

Bài 6.

Từ đỉnh A của tứ giác ABCD, hãy vẽ hai đoạn thẳng chia tứ giác đó thành ba phần

có diện tích bằng nhau

Bài giải Cách 1.

Nối B với D

Trên BD lấy I và K sao cho: D

BI = IK = KD A

Nối A; C với I và K K

Ta thấy:

SABCI = SAKCI = SAKCD I

Xét tứ giác ABCK: (tơng tự bài toán 1) N

Nối A với C

Từ trung điểm I của BK B M C

kẻ đờng thẳng song song với AC, cắt BC tại M

-ở đây, ta mới xét trờng hợp M thuộc

đoạn BC, N thuộc đoạn CE nh sau: I

*Lần 2 Ta chia tứ giác AMCD thàng hai phần có diện tích bằng nhau:

Qua M Kẻ đờng thẳng song song với AC, D

M C

F

*Cuối cùng, Ta có đoạn AM và AK D Chia tứ giác ABCD thành ba phần A

có diện tích bằng nhau

(Các trờng hợp M và N đều thuộc

đoạn BC hay M và N đều thuộc đoạn CE

Phần III Thiết kế bài dạy

Để áp dụng đề tài vào công tác dạy học có hiệu quả, ngời giáo viên phải biết thiết kế bài dạy tốt theo hớng tích cực hóa hoạt động của học sinh bằng những câu hỏi gợi ra sự tích cực đó, bằng những hình thức dạy học phong phú, những phơng tiện dạy học hấp dẫn, khoa học

Dới đây là một trong những bài soạn chúng tôi đã sử dụng để lên lớp:

Giải toán dạng : Chia một hình thành các phần có diện tích bằng nhau

I Mục tiêu:

Học sinh biết giải bài toán chia một hình thành các phần có diện tích bằng nhau bằng một đờng thẳng

Hình thành kĩ năng giải bài toán dạng này

II Các hoạt động dạy học:

Hoạt động 1 Kiến thức cơ bản

Để chuẩn bị giải các bài toán liên quan đến “Cách chia một hình thành các

qua các bài toán:

-Muốn so sánh diện tích hai tam giác, ta

phải so sánh những yếu tố nào?

- Yêu cầu HS trình bày bài giải

*Qua bài toán, ta rút ra đợc điều gì ?

-Muốn so sánh diện tích hai tam giác,

ta phải so sánh đáy và chiều cao của hai tam giác

Bài giải

Ta kẻ đờng cao AH của tam giác ABC, cũng là đờng cao của hai tam giác ABM và AMC

A

B H M C

2 Bài toán 2

Cho hình thang ABCD, có AC cắt BD tại I Hãy so sánh diện tích hai tam giác AID và BIC

+Muốn so sánh diện tích hai tam giác

AID và BIC, ta phải so sánh diện tích

của những hình nào ? Vì sao ?

HS trình bày bài giải

*Qua bài toán, ta rút ra đợc kết luận

SBIC = SBDC - SDIC Nên: SADI = SBIC

*-Hai đờng thẳng song song thì các

đoạn thẳng nối hai đờng thẳng đó và vuông góc với chúng thi luôn luôn bằng nhau (Các chiều cao của một hình thang luôn bằng nhau)

-Nắm đợc cách xác định SADI = SBIC nh bài toán 2

Hoạt động 2 Giải các bài toán

+Hãy tìm cách chia tứ giác thành hai

phần có diện tích bằng nhau bằng đờng

gấp khúc bởi hai đoạn thẳng ?

-Vì sao diện tích hình ABCI bằng diện

tích hình AICD ?

+Qua A hãy tìm cách kẻ đờng thẳng

chia tứ giác thành hai phần có diện tích

bằng nhau ?

Hãy tạo một hình thang có đáy là

AC; đờng chéo là IC; cạnh bên AI,

cạnh bên kia nằm trên BC

Ta thấy xuất hiện điều gì ?

(Giáo viên có thể dùng phấn đỏ; các

mảnh cắt bằng giấy màu để học sinh

dễ dàng nhận thấy mục đích việc cắt

- Dùng một đoạn thẳng chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.-HS làm việc

Qua A kẻ đờng gấp khúc AIC D A

I

B C-HS vận dụng kiến thức cơ bản để giải thích

Từ I kẻ đờng thẳng song song với đáy

AC, cắt BC tại M Ta đợc hình thang ACMI

D A

I

K

B M CDựa vào bài toán 2, ta thấy diện tích

SAIK = SMKC

Mà AIK thuộc AICD,còn MKC thuộc ABCI

-Ta có: SABI = SAID

(Hai tam giác có chung chiều cao hạ từ A và đáy BI = ID)

Và SBIC = SCID

Cho nên: SABCI = SAICD (1)

*Mặt khác: Nối A với C-Từ I kẻ đờng thẳng song song với AC

và cắt BC tại M

-Nối M với A cắt IC tại K

Ta thấy :

SAMC = SAIC (Hai tam giác

có chung đáy AC và chiều cao bằng nhau)

Vì có SAKC chung, nên:

SAIK = SMKC (2)

Từ (1) và (2), ta có:

SABM = SAMCD Vậy AM là đoạn thẳng cần tìm

-Dùng đờng gấp khúc để chia diện tích của hình đó thành hai phần có diện tích bằng nhau (Nên đờng gấp khúc bởi hai

đoạn thẳng đi qua điểm cần vẽ)-Tìm cách cách dùng đờng thẳng cắt xén phần diện tích của hai nửa hình bù trừ cho nhau (Tạo hai tam giác bù trừ cho nhau nh bài toán 2- tạo hình thang)

Hoạt động 3 Bài luyện tập

Tổ chức cho HS tự giải, có thể kết hợp thảo luận tìm cách giải

Phơng pháp:

Để thu dợc số liệu đáng tin cậy, chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên các lớp

để kiểm tra khả năng vận dụng sáng tạo của học sinh thông qua việc giải các bài toán dạng này:

Lớp 5A ; 5B: Trờng tiểu học Nghi Hng Năm học 2007- 2008

Mỗi lớp thành lập thành hai lớp bồi dỡng học sinh giỏi có chất lợng tơng đơng nhau gồm:

*Lớp thực nghiệm 5A1

Lớp đối chứng 5A2

*Lớp thực nghiệm 5B1

Lớp đối chứng 5B2

Cách thức: Hớng dẫn tổ chức cho học sinh khai thác giải các bài toán dạng

Cách chia một hình thành các phần có diện tích bằng nhau, sau đó ra một đề

toán dạng này để kiểm tra

Sau khi hớng dẫn học sinh giải với các cách giải cha sử dụng điểm mới của đề tài -đối với lớp đối chứng Lớp thực nghiệm đã sử dụng sáng kiến , thu đợc kết quả nh sau:

Kết quả cho thấy khi vận dụng phơng pháp giải các bài toán theo con đờng có

hệ thống chặt chẽ, logic thì hiệu quả chất lợng sáng tạo đợc nâng cao rõ rệt Từ đó

sẽ phát huy đợc niềm say mê sáng tạo, yêu thích môn toán nói riêng, các môn học nói chung cho học sinh

C Kết luận: