đề thi môn phương pháp tính

Bài 2: Dùng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần x3 + 3x2 - = với độ xác 10-3, biết khoảng phân ly nghiệm (-3 ; -2) Lời giải : Ta có: f (x) = x3 + 3x2 - f’ (x) = x2 +6x f’(x) = => x1 = x2 = -2 Bảng biến thiên: X -2 +∞ f (x) 0 +∞ -3 f (x) -∞ Ta có : f (-3) = - < Khoảng phân ly nghiệm [ -3; -2] f (-2) = > Áp dụng phương pháp chia đôi ta có: a+b (−3) + (−2) C1 = = = -2.5 => F1(C1) = 0.125 >0 => Khoảng phân ly nghiệm [ -3;-2.5 ] (−3) + (−2.5) C2 = = -2.75 => F2(C2) = -1.109 < => Khoảng phân ly nghiệm [-2.75; -2.5 ] (−2.75) + (−2.5) C3 = = -2.625 => F3(C3) = - 0.416 < => Khoảng phân ly nghiệm [-2.625; -2.5 ] (−2.625) + (−2.5) C4 = = -2.5625 => F4(C4) = - 0.127 < => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5625; -2.5 ] (−2.5625) + (−2.5) C5 = = -2.53125 => F5(C5) = 0.004 >0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5625; -2.53125 ] C6 = -2.546875 => F6(C6) = - 0.061 < => Khoảng phân ly nghiệm [-2.546875; -2.53125 ] C7 = -2.5390625=> F7(C7) = - 0.029 < => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5390625; -2.53125 ] C8 = -2.53515=> F8(C8) = - 0.012 < => Khoảng phân ly nghiệm [-2.53515; -2.5390625 ] C9 = -2.537106=> F9(C9) = - 0.020 < => Khoảng phân ly nghiệm [-2.537106; -2.5390625 ] C10 = -2.538084=> F10(C10) = - 0.024 < => Khoảng phân ly nghiệm [-2.538084; -2.5390625 ] Ta lấy nghiệm gần đúng: = - 2.538084 |α – bn| ≤ bn - an = |-2.5390625 – Đánh giá sai số: (-2.538084) ξ | = 9,785.10 -4 < 10 -3 Bài 3: Dùng phương pháp lặp, tìm nghiệm với độ xác 10-3 a) x3 + 3x2 – = b) x +1 = , biết khoảng cách ly nghiệm ( -2.75; -2.5) x Lời giải : a) x3 + 3x2 – = , biết khoảng cách ly nghiệm [ -2.75; -2.5] x3 = - 3x2 (3 - 3x2 )1/3 Ta nhận thấy | f ’ (x) | ≤ 0.045< nên ta chọn hàm lặp  (x) = (3 - 3x2 )1/3 Để bắt đầu trình lặp ta chọn xo số € [ -2.75; -2.5] Do f (- 2.5) < nên ta chọn đầu b = - 2.5 cố định, chọn xấp xỉ đầu x0 = - 2.5 Ta có trình lặp Đặt  (x) = (3 - 3x2 )1/3 ’(x) = (3 – 3x)-2/3 = 3 (3 − x ) Để bắt đầu trình lặp ta chọn xo số € [ -2.75; -2.5] xo = - 2.5 ; q = ta có: | ’(x) | Vì α ≤ ∀ € [ -2.75; -2.5] x € [ -2.75; -2.5];  (x) < ’ ∀ x € [ -2.75; -2.5] xn + = (3 - 3x2 )1/3 xo = - 2.5 x1 = (3 – 3.(-2.5)2 )1/3 = -2.5066 x2 = (3 – 3.( x1)2 )1/3 = -2.5119 x3 = (3 – 3.( x2)2 )1/3 = -2.5161 x4 = (3 – 3.( x3)2 )1/3 = -2.5194 x5 = (3 – 3.( x4)2 )1/3 = -2.5221 x6 = (3 – 3.( x5)2 )1/3 = -2.5242 x7 = (3 – 3.( x6)2 )1/3 = -2.5259 x8 = (3 – 3.( x7)2 )1/3 = -2.5272 x9 = (3 – 3.( x8)2 )1/3 = -2.5282 x10= (3 – 3.( x9)2 )1/3 = -2.590 x11 = (3 – 3.( x10)2 )1/3 = -2.5296 x12 = (3 – 3.( x11)2 )1/3 = -2.5301 ξ Ta lấy nghiệm gần đúng: | Đánh giá sai số: b) x +1 Đặt f(x) = = α = - 2.5301 - x |= 12 x x +1 - x q 1− q | x12 - x11 | = 2.5.10 - < 10-3 Từ đồ thị ta có : f (0.7) = - 0.12473 < f (0.8) = 0.09164 >  f (0.7) f (0.8) < Vậy ta có khoảng phân ly nghiệm [ 0.7; 0.8] Ta có: x +1 x = = (x + ) - 1/2 Đặt  (x) = Ta nhận thấy (x + ) - 1/2 ’(x) = - | f ’ (x) | ≤ 0.4141< 1 (x + 1) - 3/2 = - nên ta chọn hàm lặp  ( x + 1)3 (x) = (x + ) - 1/2 Để bắt đầu trình lặp ta chọn xo số € [ 0.7; 0.8] Do f (0.7) < nên ta chọn đầu b = 0.8 cố định, chọn xấp xỉ đầu x0 = 0.7 Ta có trình lặp q = 0.4141 ta có: | α Vì ’(x) | € [ 0.7; 0.8] ≤2 ∀ x € [ 0.7; 0.8] ;  (x) < ’ ∀ x € [ 0.7; 0.8] xn + = (x + ) -1/2 xo = 0.7 x1 = (0.7 + ) -1/2 = 0.766964988 x2 = (x1+ ) -1/2 = 0.75229128 x3 = (x2+ ) -1/2 = 0.755434561 x4 = (x3+ ) -1/2 = 0.754757917 ξ Ta lấy nghiệm gần đúng: Đánh giá sai số: | α = 0.754757917 - x |= q 1− q | x4 – x3 | = 4,7735.10-4 < 10-3 Bài 4: Dùng phương pháp dây cung tiếp tuyến, tìm nghiệm với độ -2 xác 10 a) x3 + 3x2 + = b) x4 – 3x + = Lời giải : a) x3 + 3x2 + = Tìm khoảng phân ly nghiệm phương trình: f (x) = x3 + 3x2 + x3 = - 3x2 Đặt y1 = x3 y2 = - 3x2 y -2   1 -1 -2 Từ đồ thị ta có: f (-2 ) = - < Khoảng phân ly nghiệm [ - ; -1 ] f (-1 ) = > Vì f (-2 ) f (-1 ) < * Áp dụng phương pháp dây cung ta có: Do f (-2 ) = - < => chọn xo = -2 x1 = xo – f ( x0 ).( b − a ) f (b) − f ( a ) = -1.1 f (x1) = 0.036 > => Khoảng phân ly nghiệm [ - ; -1.1 ] x x2 = x1 – f ( x1 ).( b − a) f (b) − f (a ) = -1.14 f (x2) = 0.098 > => Khoảng phân ly nghiệm [ - ; -1.14 ] x3 = x2 – f ( x ).( b − a) f (b) − f ( a ) = -1.149 f (x3) = 0.0036> => Khoảng phân ly nghiệm [ - ; -1.149 ] x4 = -1.152 => f (x4) = 0.015> => Khoảng phân ly nghiệm [- ; -1.152 ] x5 = -1.1534 => f (x5) = 0.0054 > => Khoảng phân ly nghiệm [- ;-1.1534 ] x6 = -1.1539 => f (x6) = -1.1539 < => Khoảng phân ly nghiệm [- ;-1.1539 ] ξ Ta chọn nghiệm gần ξ Đánh giá sai số: | ∀ ξ x € [-2 ;-1] | = - 1.53 - x6 | - x6 | ≤ ≤ | f ( x) m | với m số dương : < m 1.36 10 -3 < 10 -2 * Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) ta có: f ’(-2) = 19 > f ’’(-2) = -12 < => f ’(-2) f ’’(-2) < nên ta chọn x0 = -2 Với x0 = -2 ta có: x1 = x0 - x2 = x1 - f ( x0 ) f ' ( x0 ) f ( x1 ) f ' ( x1 ) = -1.4 = -1.181081081 ≤ f’(x) f ( x2 ) f ' ( x2 ) x3 = x2 - = -1.154525889 f ( x3 ) f ' ( x3 ) x4 = x3 - = -1.15417557 ξ Ta chọn nghiệm gần ξ Đánh giá sai số: | ∀ ξ x € [-2 ;-1] | = - 1.154 - x4 | - x4 | ≤ ≤ | f ( x) m | với m số dương : | f’(x) | 1.99 10 - < 10 -2 b) x4 – 3x + = Tìm khoảng phân ly nghiệm : f (x) = x4 – 3x + 3 f’(x) = 4x - f’(x) = => => x = = 0.75 Bảng biến thiên: X -∞ f (x) -∞ 0.75 f (x) - 1.044 Ta có : f (0) = > f (1) = -1< Khoảng phân ly nghiệm [ ; ] ; [ 1; ] f (2) = 11> * Áp dụng phương pháp dây cung khoảng [ ; ] ta có: Do f (1 ) = - < => chọn x1 = xo – f ( x0 ).( b − a ) f (b) − f ( a ) xo = 0.5 =1 +∞ +∞ ≥ m>0 f (x1) = - 0.4375 Khoảng phân ly nghiệm [ 0; 0.5 ] x2 = x1 – f ( x1 ).( b − a) f (b) − f (a ) = 0.3478 f (x2) = - 0.0288 Khoảng phân ly nghiệm [ ; 0.3478] x3 = x2 – f ( x ).( b − a) f (b) − f ( a ) = 0.3380 f (x3) = - 0.00095 < => Khoảng phân ly nghiệm [ ; 0.3380] x4 = 0.3376 => f (x4) = 0.0019 > => Khoảng phân ly nghiệm [0.0019; 0.3380] Ta chọn nghiệm gần | Đánh giá sai số: ∀ x€ | ξ - x4 | ξ ≤ - x4 ξ | = 0.3376 ≤ | f ( x) m | với m số dương : < m ≤ f’(x) 1.9.10 - < 10 -2 * Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) khoảng [ ; ] ta có: f ’(1) = > f ’’(1) = 12 > => f ’(1) f ’’(1) > nên ta chọn x0 = Với x0 = ta có: x1 = x0 - x2 = x1 - f ( x0 ) f ' ( x0 ) f ( x1 ) f ' ( x1 ) = 0.3333 = 0.33766 f ( x2 ) f ' ( x2 ) x3 = x2 - = 0.33766 ξ Ta chọn nghiệm gần ξ Đánh giá sai số: | ∀ ξ x€[0;1] | - x3| ≤ ≤ - x3| = 0.3376 | f ( x) m | với m số dương : | f’(x) | 10 - < 10 -2 * Áp dụng phương pháp dây cung khoảng [ 1; ] ta có: Do f (1 ) = - < => chọn x1 = xo – f ( x0 ).( b − a ) f (b) − f ( a ) xo =1 = 1.083 f (x1) = - 0.873 Khoảng phân ly nghiệm [1.083; 2] x2 = x1 – f ( x1 ).( b − a) f (b) − f (a ) = 1.150 f (x2) = - 0.7 Khoảng phân ly nghiệm [1.150; 2] x3 = x2 – f ( x ).( b − a) f (b) − f ( a ) = 1.2 f (x3) = - 0.526< => Khoảng phân ly nghiệm [1.2 ; 2] x4 = 1.237 => f (x4) = -0.369 < => Khoảng phân ly nghiệm [1.237 ; 2] x5 = 1.2618 => f (x5) = -0.25 < => Khoảng phân ly nghiệm [1.2618 ; 2] x6 = 1.2782 => f (x6) = - 0.165 < => Khoảng phân ly nghiệm [1.2782 ; 2] x7 = 1.2889 => f (x7) = - 0.1069 < => Khoảng phân ly nghiệm [1.2889; 2] ≥ m>0 x8 = 1.2957 => f (x8) = - 0.068 < => Khoảng phân ly nghiệm [1.2957; 2] x9= 1.3000 => f (x9) = - 0.0439 < => Khoảng phân ly nghiệm [1.3; 2] x10= 1.3028 => f (x10) = - 0.027 < => Khoảng phân ly nghiệm [1.3028; 2] ξ Ta chọn nghiệm gần | Đánh giá sai số: ∀ x€ | ξ - x10 | ξ ≤ - x10 = 1.30 | ≤ | f ( x) m | với m số dương : < m ≤ f’(x) -2.8.10 - < 10 -2 * Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) khoảng [ 1; ] ta có: f ’(1) = > f ’’(1) = 12 > => f ’(1) f ’’(1) > nên ta chọn x0 =2 Với x0 = ta có: x1 = x0 - x2 = x1 - x3 = x2 - x4 = x3 - f ( x0 ) f ' ( x0 ) f ( x1 ) f ' ( x1 ) f ( x2 ) f ' ( x2 ) f ( x3 ) f ' ( x3 ) = 1.6206896 = 1.404181 = 1.320566 = 1.307772 sin(0, 46) = 0, 44394 ± 5.10 −5 Bài 13 Cho bảng giá trị: X Y 7,32 8,24 9,20 10,19 10 11,01 12 12,05 Hãy tìm công thực nghiệm có dạng y = ax + b Xi 10 12 42 N=6 Tổng Yi 7,32 8,24 9,20 10.9 11,01 12,05 58,01 X2i 16 32 64 100 144 364 xi.yi 14,64 32,96 55,20 81,52 110,1 144,6 439,02 Giá trị công thức na+b∑xi =∑yi a∑xi +b∑xi2 = ∑xiyi Ta có hệ phương trình : a = 6,373333338  b = 0,470714285 6a + 42b = 58,01  42a + 346b = 439,02 a = 6,4  b = 0,5 => => Vậy công thức nghiệm có dạng: y=6,4x +0,5 Bài 13: Cho bảng giá trị x y= f(x) 7,23 8,24 9,20 10,19 Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y = ax + b Ta lập bảng số: n= ∑ xi xi2 yi xi y i 10 12 42 16 36 64 100 144 364 7,32 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05 58,01 14,64 32,96 55,2 81,52 110,1 144,6 439,02 10 11,01 12 12,05 Áp dụng công thức: n.a + b∑ xi = ∑ y i a.∑ xi + b.∑ xi2 = ∑ xi y i Thay số ta có hệ phương trình: 6a + 42b = 58,01 a = 6,373333333 ≈ 6,4 ⇒  42a + 364b = 439,02 b = 0,470714285 ≈ 0,5 y = 0,5 + 6,4 x Vậy công thức thực nghiệm cần tìm Bài 14: Cho bảng giá trị x 0,78 1,56 2,34 3,12 y= f(x) 2,50 1,20 1,12 2,25 Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y = a + bx + cx2 3,81 4,28 Ta lập bảng số: xi xi2 xi3 xi4 yi xi y i xi2 yi 0,78 1,56 2,34 0,6084 2,4336 5,4756 0,474552 3,796416 12,812904 2,50 1,20 1,12 1,95 1,872 2,6208 1,521 2,92032 6,13312 3,12 9,7344 30,371328 2,25 7,02 21,9024 3,81 14,5161 55,306341 4,28 16,3068 62,128908 11,61 32,7681 102,76154 0,37015056 5,92240896 29,9821953 94,7585433 210,717159 341,750457 11,35 29,7696 94,605748 n= ∑ Áp dụng công thức: n.a + b a a ∑x i ∑x i ∑x i + c.∑ xi2 = ∑ y i + b.∑ xi2 + c ∑ xi3 = ∑ xi y i + b.∑ xi3 + c ∑ xi4 = ∑ xi2 y i Ta có hệ phương trình : 5a + 11,61b + 32,7681c = 11,35  11,61a + 32,7681b + 102,761541c = 29,7696 32,7681a + 102,761541b + 341,7504574c = 94,605748  a = 5,022553658 ≈  ⇒ b = −4,014714129 ≈ −4 c = 1,002440262 ≈  Vậy công thức thực nghiệm cần tìm : y = − 4x + x CHƯƠNG 5: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài 15: Cho bảng giá trị x 50 55 60 y=f(x) 1,6990 1,7404 1,7782 Tính gần y’(55) y’(60) hàm số y = lgx So sánh với kết tính đạo hàm hàm số y = lgx Bài giải Ta sử dụng công thức nội suy Niwtơn tiến bước đều: f’(x)= (1) Để tính gần đạo hàm Lập bảng sai phân: x y y0 y0 50 55 60 1,6990 1,7404 1,7782 > > 0,0414 0,0378 > - 0,0036 Thay vào công thức (1) ta được: +) f’(55)= = 0,00864 +) f’(60)= = 0,00792 *) So sánh với kết tính đạo hàm hàm số y = lgx - Tính đạm hàm đúng: Ta có:  (lg55)’ =  - So sánh: +) +) Bài 16: Cho bảng giá trị x 0,11 0,13 0,15 0,17 1,18 y=f 81,818 69,230 60,000 52,941 50,000 (x) 182 769 000 176 000 Hãy tính y’(0,11) Kết làm tròn đến chữ số lẻ thập phân Bài giải: Lập bảng tỉ hiệu: x y 0,11 81,81818 69,230769 60,00000 52,941176 50,00000 0,13 0,15 0,17 0,18 ∆y ∆2 y - 629,37065 419,805 - 461,53845 - 352,9412 - 294,1176 2714,93125 1960,78666 ∆y ∆4 y -24681,22917 137119,1073 - 15082,89166 Ta có: ⇒ P4 ( x) = 81,818182– 629,37065 (x - 0,11) + 4195,805(x - 0,1)(x – 0,13) – - 4681,2291 (x- 0,11)(x- 0,13)(x- 0,15) + + 137119,1073 (x- 0,11)(x- 0,13)(x- 0,15) (x- 0,17) ⇔ P4 ( x) ⇒ P'4 ( x) = 137119,1073x4 - 101467,9292 x3 + + 29809,57226 x2- 4338,14816x+ 313,9906839 = 548476,4292 x3 – 304403,7876 x2 + 59619,144452x- 4338,148167 y / (0,11) = P’4(0,11)= 548476,4292 (0,11)3 – 304403,7876(0,11)2 + 59619,144452 (0,11)- 4338,148167 = -733,3059747 Vậy ta có  y / (0,11) = P’4(0,11)= -733,3059747 Câu 17 Cho bảng giá trị x 0,12 y 8,333333 0,15 0,17 0,2 0,22 6,666667 5,882353 5,000000 4,545455 y / (0,12) Hãy tính Kết làm tròn tới chữ số thập phân Giải: Lập bảng tỉ hiệu: x y 0,12 0,15 0,17 0,2 0,22 8,333333 6,666667 5,882353 5,000000 4,545455 ∆y ∆2 y - 55,555533 326,796666 - 39,215700 - 29,411767 - 22,727250 196,078660 133,690340 ∆y ∆4 y -1633,975075 7427,133610 - 891,261714 ⇒ P4 ( x) x = 8,333333 – 55,555533 ( -0,12) + 326,796666( x − 0,12)( x − 0,15) − 1633,975075(x - 0,12) ( x − 0,15) ( x − 0,12) ( x − 0,15) ⇔ P4 ( x) x ( -0,17)( ( x − 0,2) x ( -0,17) + 7427,133610 7427,133610 x − 6387 ,340585 x + 2173,927294 x − 365,847435x + 30,427706 = ⇒ P4/ ( x ) = 29708,53444x − 19162,02176 x + 4347,854588 x − 365,847435 y / (0,12) Vậy ta có = P (0,12) = 29708,53444.0,12 − 19162,02176 x + 4347,854588 x − 365,847435 / = -68,689650 y (x) y / Câu 18 Tính gần y (1) hàm 0,98 x y = y (x) = dựa vào bảng giá trị : 1,00 0,7739332 0,7651977 1,02 0,7563321 Giải: Theo ta có h = 0,02 f / ( x0 ) ≈ Áp dụng công thức Taylo, ta có: y / (1) = f / (1) ≈ f ( x + h) − f ( x ) h f (1,02) − f (1,00) 0,7563321 − 0,7651977 = = −0,44328 0,02 0,02 Thay số ta có: Vậy y / (1) ≈ − 0,44328 Câu 19 dx ,1 (1 + x ) 1,1 ∫ Cho tính phân: a Tính gần tích phân công thức hình thang tổng quát chia đoạn thành 10 đoạn b Đánh giá sai số giá trị gần tìm Giải: a h= Theo ta có Lập bảng giá trị : b − a 1,1 − 0,1 = = 0,1 n 10 i x y 0,1 0,2 0,510204081 0,308641975 [ 0,1;1,1] 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 10 1,1 Áp dụng công thức hình thang IT = 0,206611570 0,147928994 0,111111111 0,086505190 0,069252077 0,056689342 0,047258979 0,040000000 0,034293552 h [ y0 + y10 + 2( y1 + y + y3 + y + y5 + y6 + y7 + y8 + y9 ) ] 0,1 [ Thay số ta có: IT = 0,510204081 +0,034293552 + 2(0,308641975 + 0,206611570 + + 0,147928994 +0,111111111+ 0,086505190 + 0,069252077 + 0,056689342 + 0,047258979 + 0,040000000 ) Vậy IT = 0,134624805 b Đánh giá sai số, ta có: ] = 0,134624805 M h I − IT ≤ ( b − a ) ; 12 Với M = f // ( x) Max , với x ∈ [ a, b ] / f ( x) = Ta có   − 32 x − 1 /  ⇒ f ( x ) =  (1 + x)  = (1 + x) (1 + x)   /  − 32 x −  − 32(1 + x) − 16(1 + x) (−32 x − 8) 384 x + 96  ⇒ f ( x ) =  = =  (1 + x ) (1 + x)  (1 + x )  // f // (0,1) = f // ( x) Ta nhận thấy, Max ⇒ Sai số 384.0,1 + 96 = 24,98958767 (1 + 4.0,1) = 24,98958767 0,12.(1,1 − 0,1) = 0,020824656 I − IT ≤ 12 ∫ 3, Câu 20 Cho tích phân: 1+ x dx 1− x a Tích gần tích phân công thức Símson tổng quát chia đoạn thành 12 đoạn b Đánh giá sai số giá trị vừa tìm Giải: h= a Theo ta có b − a 3,5 − = = 0,125 n 12 [ 2;3,5] Lập bảng giá trị : i 10 11 12 x y 2,125 2,25 2,375 2,5 2,625 2,75 2,875 3,0 3,125 3,25 3,375 3,5 -3 -2, 777777778 -2,6 -2,454545455 -2, 333333333 -2,230769231 -2,142857143 -2,066666667 -2 -1,941176471 -1, 888888889 -1,842105263 -1,8 Áp dụng công thức Símson IS = = h [ y + y12 + 4( y1 + y3 + y5 + y7 + y9 + y11 ) + 2( y + y + y + y8 + y10 )] = 0,125 [ − − 1,8 + 4.( -2, 777777778 - 2,454545455 - 2,230769231 - 2,066666667 - 1,941176471 - ] - 1,842105263) + 2.( -2,6 -2, 333333333 -2,142857143 -2 -1, 888888889) = = -3.332596758 I S = -3.332596758 Vậy I − IS ≤ b Đánh giá sai số: Trong Ta có: M = f //// M h ( b − a ) 180 ( x) Max với a≤ x≤b 1+ x 4x − − 12 x + 24 x + 20 // /// ⇒ f / ( x) = ⇒ f ( x ) = ⇒ f ( x ) = 1− x − 2x + x (1 − x + x ) (1 − x + x ) 64.(1 − x) ⇒ f //// ( x) = (1 − x + x ) f ( x) = Ta nhận thấy: Max f //// ( x) = f //// (2) = 64 ⇒ I − I S ≤ 64.0,125 4.( 3,5 − 2) = 0,0001302083 333 180 CHƯƠNG 6: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 21 Dùng công thức Simpson tổng quát để tính gần tích phân: ∫ Chia [0;1] thành 10 đoạn nhau, suy h = 1 x3 + dx 1− = 0,1 Ta tính bảng sau : Thứ tự x f(x) = x3 + 1 10 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Is = 0,90961 1,00000 0,99950 0,99602 0,98677 0,96946 0,94281 0,90685 0,86290 0,81325 0,76051 0,70711 Áp dụng công thức Simpson : Is = [ y0+ y10 + 4( y1+ y3+ h y5+ y7+ y9 )+ 2( y2+ y4+ y6+ y8 ) Is = [1 + 0,70711+ 0,1 4(0,99950 + 0,98677 + 0,94281 + 0,86290 + 0,76051)+ 2(0,99602 + 0,96946 + 0,90685 + 0,81325 ) Bài 22 Dùng công thức Simpson tổng quát để tính gần tích phân ,8 ∫ −0,8 Chia [-0,8; 0,8] thành 16 đoạn nhau, suy h = 0,8 − (−0,8) 16 Ta tính bảng sau : f(x) = Thứ tự x sin x − cos x sin x dx − cos x = 0,1 10 11 12 13 14 15 16 - 0,8 - 0,7 - 0,6 - 0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0.934412 0.855826 0.762860 0.656932 0.539743 0.413236 0.279557 0.141009 0.000141 0.141009 0.279557 0.413236 0.539743 0.656932 0.762860 0.855826 0.934412 Áp dụng công thức Simpson : Is = [y0+y16 + 4(y1+y3+y5+ y7+ y9+ y11+y13+ y15)+ 2(y2+ y4+ y6+ y8+ y10+ y12+ y14 h ) Thay số tính toán ta kết Is = 0,824459 Bài 23 Dùng công thức Simpson để tính gần tích phân 0, ln(cos x) ∫−0,5 ln(1 + cos x)dx Chia [-0,5;0,5] thành đoạn ta có h =0,125 Ta tính bảng sau : Thứ tự x - 0,5 - 0,375 - 0,250 - 0,125 0,000 0,125 0,250 f(x) = ln(cos x) ln(1 + cos x) - 0,207281 - 0,109497 - 0,046615 - 0,011365 0,000000 - 0,011365 - 0,046615 0,375 - 0,109497 0,5 - 0,207281 Áp dụng công thức Simpson : Is = [ y0+ y8 + 4( y1+ y3+ y5+ y7 )+ 2( y2+ y4+ y6 ) h Thay số tính toán ta kết Is = - 0,065330 Bài 24: Cho toán Cauchy: y’= y2 - x2 Hãy tìm nghiệm gần phương pháp Euler [1,2], chọn bước h= 0,1 Bài giải: Theo đầu ta có: h= 0,1; U0= y(1)= 1, x0 = Áp dụng công thức Euler: Ui+1= Ui+ hf(xi ; yi) Ta tính U1= U0+ hf(x0 ; y0) = 1+ 0,1(12-12)= U2= U1+ hf(x1 ; y1) = 1+ 0,1(12-1,12)= 0,979 U3= U2+ hf(x2 ; y2) = 1+ 0,1(0,9792-1,22)= 0,9308441 U4= U3+ hf(x3 ; y3) = 1+ 0,1(0,93084412-1,32)= 0,848491173 U5= U4+ hf(x4 ; y4) = 1+ 0,1(0,8484911732-1,42)= 0,724484901 U6= U5+ hf(x5 ; y5) = 1+ 0,1(0,7244849012-1,52)= 0,551972738 U7= U6+ hf(x6 ; y6) = 1+ 0,1(0,5519727382-1,62)= 0,326440128 U8= U7+ hf(x7 ; y7) = 1+ 0,1(0,3264401282-1,72)= 0,048096444 U9= U8+ hf(x8 ; y8) = 1+ 0,1(0,0480964442-1,82)= - 0,275672228 U10= U9+ hf(; y9) = 1+ 0,1[(- 0,275672228)2-1,92) = - 0,629072711 U11= U10+ hf(x10 ; y10) = 1+ 0,1- 0,629072711)2-22) = - 0,989499463 Vậy nghiệm gần cần tìm là: U11= α =- 0,989499463 y/ = y − 2x y Câu 25 Cho toán Cauchy ≤x≤ y(0) = 1, Hãy tìm nghiệm gần phương pháp Euler cải tiến ( lặp lần),chọn bước h = 0,2 so sánh kết với nghiệm Giải: Theo ta có Vì xi = x +ih x0 0,0 x1 0,2 u = y (0) = 1; h = 0,2 , ta có bảng giá trị x : x2 0,4 x3 0,6 x4 0,8 x5 1,0 Theo phương pháp Euler cải tiến ( Phương pháp hình thang) u i(+01) = u i + hf ( x i , u i ) [ u i(+m1+1) u1( ) Từ (1) (2) ta có u1(1) = u + (1) h = u i + f ( x i , u i ) + f ( x i +1 , u ( m ) i +1 ) [ ] (2) = + , ( − ) = 1,2 = u + hf ( x , u ) h f ( x , u ) + f ( x , u1( ) ) ]  2.0   2.0,2  = + 0,11 −   + 1,2 −   1,2   u 2( ) = u1(1) + 0,2 f ( x , u1(1) ) = 1,186667 + 0,2( 1,186667 − u 2(1) = u1(1) 2.0,2 1,186667 = 1,186667 ) = 1,356585 [ h + f ( x , u1(1) ) + f ( x , u 2( ) ) ] =  2.0   2.0,4  = 1,186667 + 0,11,186667 −  + 1,356585 −  = 1,348325 1,186667   1,356585   2.0,4   u 3( 0) = u 2(1) + 0,2 f ( x , u 2(1) ) = 1,348325 + 0,21,348325 −  = 1,499325 1,348325   u 3(1) = u 2(1) + [ h f ( x , u 2(1) ) + f ( x , u 3( ) ) ] =  2.0,4   2.0,6  = 1,348325 + 0,11,348325 −  + 1,499325 −  = 1,493721 , 348325 , 499325      2.0,6   u 4( 0) = u 3(1) + 0,2 f ( x , u 3(1) ) = 1,493721 + 0,21,493721 −  = 1,631793 1,493721  u 4(1) = u 3(1) + [ h f ( x , u 3(1) ) + f ( x , u 4( ) ) ] =  2.0,6   2.0,8  = 1,493721 + 0,11,493721 −  + 1,631793 −  = 1,627884 1,493721  1,631793   2.0,8   u 5( ) = u 4(1) + h f ( x , u 4(1) ) = 1,627884 + 0,21,627884 −  = 1,756887 1,627884   u 5(1) = u 4(1) [ h + f ( x , u 4(1) ) + f ( x , u 5( ) ) ] =  2.0,8   2.1  = 1,627884 + 0,11,627884 −  + 1,756887 −  = 1,754236 1,627884   1,756887   Vậy nghiệm gần cần tính u5(1) α ≈ 1,754236 = y = x+ y / Câu 26 Cho toán Cauchy y(0)= Hãy tìm nghiệm gần phương pháp Euler cải tiến với độ xác đến chữ số lẻ thập phân trùng nhau, giá trị y(0,1) chọn bước h = 0,05 Giải: Theo bước h = 0,05 f(x,y) = x + y Theo công thức Euler cải tiến ta có: u i(+m1+1) =u i + u ( 0) i +1 [ h f ( x i , u i ) + f ( xi +1 , u i(+m1) ) = u i + hf ( xi , u i ) ] (1) (2) u1( ) = u + hf ( x , u ) = + 0,05(0 + 1) = 1,05 Từ (1) (2) ta có: [ ] [ ] u1(1) =u + h 0,05 f ( x , u ) + f ( x1 , u1( ) ) = + [ ( + 1) + ( 0,05 + 1,05) ] = 1,0525 2 u1( ) =u + h 0,05 f ( x , u ) + f ( x1 , u1(1) ) = + [ ( + 1) + ( 0,05 + 1,0525) ] = 1,05256 2 Ta thấy u1 u1( 2) u1(1) - = 1,0526 Tính tiếp cho u = 1,05256 – 1,0525 = 0,00006 < 10-4 đạt yêu cầu xác, lấy gần (0) u2 , ta có: = u1 + h f ( x1 , u1 ) = 1,0526 + 0,05(0,05 + 1,0526) = 1,1077 [ ] [ ] u 2(1) =u + h 0,05 f ( x , u1 ) + f ( x , u 2( 0) ) = 1,0526 + [ ( 0,05 + 1,0526) + ( 0,1 + 1,1077 ) ] = 1,11036 2 u 2( ) =u + h 0,05 f ( x , u1 ) + f ( x , u 2(1) ) = 1,0526 + [ ( 0,05 + 1,0526) + ( 0,1 + 1,11036) ] = 1,11042 2 Cũng với u2 ≈ 1,1104 u1 ta có u 2( ) − u2(1) = 0,00006[...]... B1:tìm khoảng phân ly Ta tách phương trình (1)thành y1 = 2 x y2 = 4 x Dựa vào phương pháp đồ thị ta tìm dươc khoảng phân ly là : f ( o ) × f (0,5) < 0 f (0,5) < 0 B2: tìm nghiệm của phương trình nên ta chọn f , < 0; f ,, > 0 → f , × f ,, < 0 ≤ 1.9.10 - 4 < 10 -2 phương pháp tiếp tuyếnvới độ chính xác vậy m>0 -7.486.10 - 3< 10 -2 Bài tập 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình f(o) > 0 ≥ x0 = a... bài toán Cauchy ≤x≤ y(0) = 1, 0 1 Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến ( chỉ lặp 1 lần),chọn bước h = 0,2 và so sánh kết quả với nghiệm đúng Giải: Theo bài ra ta có Vì xi = x 0 +ih x0 0,0 x1 0,2 u 0 = y (0) = 1; h = 0,2 , ta có bảng giá trị của x : x2 0,4 x3 0,6 x4 0,8 x5 1,0 Theo phương pháp Euler cải tiến ( Phương pháp hình thang) u i(+01) = u i + hf ( x i , u i ) [ u i(+m1+1)... -1,61538 0,80657 3,93754 19,07 3,21 -18,25 7,33462 -18,79386 25,75772 -2,29409 9,96378 1 2,53045 -4,33508 1,77810 1 Bài 7: Giải hệ phương trình: − 8 x + y + z  x _ 5 y + z x + y − 4z = 7  (I) Bằng phương pháp lặp đơn ,tính lặp 3 lần,lấy x(a)=g và đánh giá sai số của x3 Giải: Từ phương trình (I)  x = y.1 / 8 + z.1 / 8 − 1 / 8   y = x.1 / 5 + z.1 / 5 − 16 / 5  z = x.1 / 4 + y.1 / 4 − 7 / 4  => B= ... So sánh với kết quả đúng tính đạo hàm của hàm số y = lgx Bài giải Ta sử dụng công thức nội suy Niwtơn tiến bước đều: f’(x)= (1) Để tính gần đúng đạo hàm Lập bảng sai phân: 2 x y y0 y0 50 55 60 1,6990 1,7404 1,7782 > > 0,0414 0,0378 > - 0,0036 Thay vào công thức (1) ta được: +) f’(55)= = 0,00864 +) f’(60)= = 0,00792 *) So sánh với kết quả đúng tính đạo hàm của hàm số y = lgx - Tính đạm hàm đúng: Ta có:... 02359 = 0,3099 −3,14521 x3 = 0,3099 − 0, 00002 = 0,30991 −3,14076 x4 = 0,30991 − 0, 00001 = 0,30991 −3,14075 Vậy ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là : x= 0,30991 Bài tập 6: Dùng phương pháp Gauss để giải những hệ phương trình Ax=b Các phép tính lấy đến 5 số lẻ sau dấu phẩy: a  1,5 −0,1 0,1  A =  −0,1 1,5 −0,1 ÷ ÷  −0,3 0, 2 −0,5 ÷    0, 4  b =  0,8 ÷ ÷  0, 2 ÷    x1  ... k 4 ) = 0,6841334 + (0,293607701 + 2.0,338091342 + 6 6 + 2.0,345582905 + 0,412063133) = 1,029636621 Bài 28: Dùng phương pháp trung điểm giải bài toán sau: Với ; y(0) =1, chọn bước h =0,2 Kết quả làm tròn 6 chữ số lẻ thập phân Bài giải Ta có: U0= y(0) =1 Áp dụng phương pháp trung điểm ta tính được: + 1= U0 + (U0- ) = 1  U1= U0 + h(1- )) = 1,000999 + 2= U1 + (U1- ) = 1,003088  U2= U1 + h(2- )) = 1,010495... 1,126575  U5= U4 + h(5- )) = 1,177547 + 6= U5 + (U5- ) = 1,229245  U6= U5 + h(6- )) = 1,2982670 Bài 29: Dùng phương pháp trung điểm giải bài toán sau: Với ; y(0,3) =0,943747, chọn bước h =0,1 Kết quả làm tròn 6 chữ số lẻ thập phân Bài giải Ta có: U0= y(0) =0,943747 Áp dụng phương pháp trung điểm ta tính được: +) = 0,926822832  = 0,891524 +) = 0,859038  = 0,813037 +) = 0,764708  = 0,696278 Vậy nghiệm... Is = [ y0+ y8 + 4( y1+ y3+ y5+ y7 )+ 2( y2+ y4+ y6 ) h 3 Thay số và tính toán ta được kết quả Is = - 0,065330 Bài 24: Cho bài toán Cauchy: y’= y2 - x2 Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler trên [1,2], chọn bước h= 0,1 Bài giải: Theo đầu bài ta có: h= 0,1; U0= y(1)= 1, x0 = 1 Áp dụng công thức Euler: Ui+1= Ui+ hf(xi ; yi) Ta tính được U1= U0+ hf(x0 ; y0) = 1+ 0,1(12-12)= 1 U2= U1+ hf(x1 ; y1)... = 0,1 tính gần đúng sin(0,4) và đánh giá sai số của giá trị nhận được b Dùng đa thức nội suy lùi xuất phát từ x3 =0,4 tính gần đúng sin (0,46) và đánh giá sai số Giải: a Đa thức nội suy bước đều với h=0,1 ta có bảng sai phân: X Y 0,1 0,09983 ∆ ∆ Y 2 Y ∆ 3 Y 0,09884 0,2 0,19867 -0,00199 -0,00096 0,3 0,29552 0,09685 -0,00295 0,4 0,38942 0,09390 Áp dụng công thức đa thức nội suy Niwton tiến ta tính: Sai... b Dùng đa thức nội suy nhận được tính giá trị f(0,25) Giải : Đa thức vừa lặp là đa thức nội suy Niwton bước không đều a Ta có bảng ký hiệu X Y -1 3 THC1 THC2 THC3 THC4 -9 0 -6 6 5 15 3 39 1 41 13 6 822 7 1611 261 132 89 Đa thức nội suy : p4(x) = 3-9(x+1)+6(x+1)x+5(x+1)x(x-3)+(x+1)x(x-3)(x-6) = 3-9x-9+6x2+6x+5x3-10x2-15x+x4-8x3 +9x2 +18x  p4(x) = x4-3x3 +5x2 – 6 b Tính f(-0,25) = (-0,25)4 - 3(0,25)3