Các thành phần của phép tính - Các số hạng trong phép cộng, số bị trừ - số trừ - hiệu trong phép trừ - Các thừa số trong phép nhân, số bị chia – số chia – thương – số dư trong phép chia
Trang 1CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG
TOÁN LỚP 4
MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC THÀNH PHẦN
PHÉP TÍNH
Họ và tên học sinh: ………… ………
Lớp: ………
Năm học: ………
- 2015 -
Trang 2Sau khi nắm chắc các kỹ năng thực hiện phép tính trong việc tính toán trực tiếp, tính nhanh,
chúng ta cần biết cách vận dụng vào những bài toán đố, những bài toán có sự thay đổi điều kiện hoặc khuyết thành phần trong 1 phép toán nào đó
I Kiến thức cần nhớ
1 Các thành phần của phép tính
- Các số hạng trong phép cộng, số bị trừ - số trừ - hiệu trong phép trừ
- Các thừa số trong phép nhân, số bị chia – số chia – thương – số dư trong phép chia
- Các tích riêng trong phép nhân, phép chia
2 Sự thay đổi các thành phần của phép tính
- Nếu thêm ( bớt) 1 số hạng của tổng bao nhiêu đơn vị thì tổng cũng thêm (bớt) bấy nhiêu đơn vị
- Trong 1 hiệu, nếu thêm (bớt) số bị trừ bao nhiêu đơn vị thì hiệu cũng thêm (bớt) bấy nhiêu đơn
vị
- Trong 1 hiệu, nếu thêm (bớt) số trừ bao nhiêu đơn vị thì hiệu cũng bớt (thêm) bấy nhiêu đơn vị
- Trong 1 tích, nếu gấp lên (giảm đi) 1 thừa số bao nhiêu lần thì tích cũng gấp lên (giảm đi) bấy
nhiêu lần
- Trong 1 thương, nếu số bị chia gấp lên (giảm đi) bao nhiêu lần thì thương cũng gấp lên (giảm đi) bấy nhiêu lần
- Trong 1 thương, nếu số chia gấp lên (giảm đi) bao nhiêu lần thì thương giảm đi (gấp lên) bấy
nhiêu lần
II Các dạng bài tập
Dạng 1 Vận dụng mối quan hệ để tìm thành phần của phép tính
Bài 1 a) Hai số có hiệu là 4275 Nếu thêm vào số bị trừ 1027 đơn vị và bớt ở số trừ 2148 đơn vị
thì được hiệu mới bằng bao nhiêu ?
b) Hai số có hiệu là 5729 Nếu thêm vào số trừ 2418 đơn vị và bớt ở số bị trừ 1926 đơn vị thì
được hiệu mới bằng bao nhiêu ?
Giải:
a) Ở đây bài toán có 2 sự thay đổi về thành phần phép toán Ta khai thác lần lượt từng sự thay đổi
để tránh nhầm lẫn
Lần 1: Thêm vào số bị trừ 1027 đơn vị > Hiệu tăng 1027 đơn vị
Lần 2: Bớt đi số trừ 2148 đơn vị > Hiệu tăng tiếp 2148 đơn vị
Như vậy, sau 2 lần thay đổi thì hiệu cũng có 2 lần tăng
Hiệu mới là: 4275 + 1027 + 2148 = 7450
b) Tương tự như ở câu a, ta thấy
Trang 3Lần 1: Bớt số trừ 2148 đơn vị > Hiệu tăng 2148 đơn vị
Lần 2: Bớt số bị trừ 1926 đơn vị > Hiệu giảm 1926 đơn vị
Hiệu mới là: 5729 + 2148 - 1926 = 5951
Bài 2 a) Tìm hai số biết số lớn gấp 8 lần số bé và số bé gấp 6 lần thương
b)Tìm hai số biết số thương bằng 1/7 số lớn và số lớn gấp 6 lần số bé
Giải:
a) Ta cần phân tích được, ở đây Số lớn và số bé có vai trò là Số bị chia và số chia
Như vậy: Số lớn : Số bé = 8 ( vì gấp 8 lần)
Suy ra Thương = 8 Từ đó tính được Số bé = 6 x 8 = 48
Số lớn bằng = 48 x 8 = 364
b) Thương bằng 1/7 số lớn, tức là số lớn gấp 7 lần thương
Vì Số lớn = Số bé x Thương nên Số bé = 7
Số lớn = 7 x 6 = 42
Bài 3 a) Trong một phép chia có số chia bằng 46, thương bằng 12 và số dư là số lớn nhất có thể
có Tìm số bị chia
b)Tìm một số biết rằng nếu đem số đó chia cho 15 thì được thương là 20 và số dư là số dư lớn
nhất
Giải:
Trong phép chia, số dư luôn nhỏ hơn số chia Vì vậy số dư lớn nhất thì kém số chia 1 đơn vị
a) Số dư lớn nhất = Số chia - 1 = 46 - 1 = 45
Số bị chia = Thương x Số chia + Số dư = 12 x 46 + 45 = 597
b) Số dư lớn nhất = 15 - 1 = 14
Số bị chia = 20 x 15 + 14 = 314
Bài 4 a) Một phép chia có số chia bằng 47, số dư bằng 14 Hỏi phải bớt đi ở số bị chia ít nhất bao
nhiêu đơn vị để được phép chia hết Khi đó thương thay đổi thế nào?
b) Một phép chia có số chia bằng 24, số dư bằng 11 Hỏi phải thêm vào số bị chia ít nhất bao
nhiêu đơn vị để được phép chia hết Khi đó thương thay đổi thế nào?
Giải:
a) Phép chia hết tức là không còn tồn tại số dư Như vậy muốn giảm số bị chia để phép chia ban
đầu thành phép chia hết thì ta phải bỏ đi số dư, tức là số bị chia sẽ bị giảm đi 1 lượng đúng bằng
số dư
Số bị chia = 47 x Thương + 14
Trang 4Số bị chia - 14 = 47 x Thương
Lúc này, thương vẫn không đổi
b) Muốn thêm vào số bị chia để thành phép chia hết, thì ta cần thêm 1 lượng đúng bằng hiệu giữa
số chia và số dư, tức là cần thêm 24 - 11 = 13 đơn vị
Số bị chia = 24 x Thương + 11
Số bị chia + 13 = 24 x Thương + 24 = 24 x (Thương +1)
Lúc này, thương tăng 1 đơn vị
Bài 5 Một phép chia có số chia bằng 8, số dư bằng 3 Hỏi phải thêm vào số bị chia ít nhất bao
nhiêu đơn vị để được phép chia hết và có thương tăng thêm 4 đơn vị
Giải:
Như bài số 4, để thành phép chia hết thì trước tiên ta cần thêm vào số bị chia 8 -3 = 5 ( đơn vị)
Lúc này thương tăng 1 đơn vị Để thương tăng 4 đơn vị thì ta cần tăng thêm 3 đơn vị nữa
Mặt khác, số bị chia = Thương x Số chia, ở đây Thương và Số chia cũng có thể coi là các thừa số trong phép chia Ta đã biết trong 1 tích, nếu thừa số thứ nhất tăng 3 đơn vị thì tích sẽ tăng thêm 3 lần thừa số thứ hai
Vậy để thương tăng thêm 3 đơn vị nữa thì ta cần tăng số bị chia thêm 3 x 8 = 24 ( đơn vị )
Tổng cộng cần thêm: 5 + 24 = 29 ( đơn vị )
Bài 6 Một phép chia có số bị chia bằng 79, thương bằng 9, số dư là số dư lớn nhất có thể có Tìm
số chia
Giải:
Cách 1: Như các bài tập trên ta đã biết, số dư lớn nhất kém số chia 1 đơn vị, như vậy nếu ta thêm vào số bị chia 1 đơn vị thì sẽ thành phép chia hết và thương tăng 1 đơn vị, còn số chia không đổi
Số bị chia mới là: 79 + 1 = 80
Thương mới là: 9 + 1 =10
Số chia là: 80 :10 = 8
Cách 2: Đưa về bài toán tìm X
Gọi số chia là x thì số dư la X -1 Ta có
9 x X + (X-1)=79
9 x X + X - 1= 79
X x ( 9+1) -1 = 79
X x 10 = 80
X = 80 : 10
X = 8
Trang 5* Bài tập tự luyện
Bài 1 - Cho một phép trừ Nếu thêm vào số bị trừ 3107đơn vị và bớt ở số trừ 1738 đơn vị thì được
hiệu mới là 7248 Tìm hiệu ban đầu của phép trừ
- Cho một phép trừ Nếu thêm vào số trừ 1427 đơn vị và bớt ở số bị trừ 2536 đơn vị thì được hiệu mới là 9032 Tìm hiệu ban đầu của phép trừ
Bài 2 Khi thực hiện phép trừ 2 số, một bạn đã sơ ý viết sai như sau: Ở số trừ có hai chữ số cuối cùng
là 49 đã viết thành 94 nên phép trừ sai có kết quả là 1935 Tìm hiệu ban đầu của phép trừ
Bài 3 Tìm số bị chia của một phép chia biết thương gấp 24 lần số chia và có số dư lớn nhất là 78 Bài 4 a) Tìm hai số biết thương bằng 1/6 số lớn và gấp 10 số bé
b) Tìm hai số biết số bé bằng 1/7 thương và thương bằng 1/5 số lớn
Bài 5 a) Một số tự nhiên chia cho 45 được thương là 36 và dư 25 Nếu lấy số đó chia cho 27 thì được
thương bằng bao nhiêu? số dư bằng bao nhiêu?
b) Một số tự nhiên chia cho 38 được thương là 75 và số dư là số dư lớn nhất Nếu lấy số đó chia cho
46 thì được thương bằng bao nhiêu? số dư bằng bao nhiêu?
Bài 6 Tìm số bị chia và số chia bé nhất để có thương bằng 125 và số dư bằng 47
Bài 7 - Một phép chia có số chia bằng 17, số dư bằng 4 Hỏi phải thêm vào số bị chia ít nhất bao
nhiêu đơn vị để được phép chia hết và có thương tăng thêm 5 đơn vị
- Một phép chia có số chia bằng 19, số dư bằng 11 Hỏi phải bớt ở số bị chia ít nhất bao nhiêu đơn vị
để được phép chia hết và có thương giảm đi 4 đơn vị
Bài 8 a) Một phép chia có số bị chia bằng 95, thương bằng 7, số dư là số dư lớn nhất có thể có Tìm
số chia
b) Một phép chia có số bị chia bằng 97 , thương bằng 9, số dư kém số chia 3 đơn vị Tìm số chia
Dạng 2 Vận dụng kĩ thuật tính để giải toán
Bài 1 Tổng của hai số là 102 Nếu gấp số hạng thứ nhất lên 4 lần và giữ nguyên số hạng thứ hai
thì được tổng mới là 132 Tìm hai số đó
Phân tích: Giả sử 2 số đó là A và B, theo đề bài thì:
A + B = 102
A x 4 + B = 132
So sánh 2 kết quả trên ta thấy giống nhau ở số hạng B, và sự chênh lệch nằm ở A và A x 4, tức là tổng mới hơn tổng cũ là A x 4 - A = A x 3
Từ đó ta có lời giải sau:
Nếu gấp số hạng thứ nhất lên 4 lần và giữ nguyên số hạng thứ hai thì tổng ban đầu sẽ tăng thêm 3 lần số thứ nhất
Trang 63 lần số thứ nhất là: 132 - 102 = 30
Số thứ nhất là: 30 : 3 = 10
Số thứ hai là: 102 - 10 = 92
Chú ý: Như vậy ở dạng bài này, chúng ta cần minh họa được các phép tính có trong đề bài, từ
phép tính ban đầu cho đến phép tính mới, xem giữa 2 phép tính đó có sự thay đổi của thành phần nào và thay đổi như thế nào ( tăng thêm hay bớt đi, bao nhiêu đơn vị hay bao nhiêu lần ) để từ
đó tìm ra lời giải
Bài 2 a) Hiệu của hai số là 1285 Nếu gấp số bị trừ lên 3 lần thì được hiệu mới là 5195 Tìm hai
số đó
b) Hiệu của hai số là 2387 Nếu gấp số trừ lên 3 lần thì được hiệu mới là 1163 Tìm hai số đó
Giải:
a) Nếu gấp số bị trừ lên 3 lần thì hiệu sẽ tăng thêm 2 lần số bị trừ ( cách phân tích đề bài giống
như bài 1)
2 lần số bị trừ là: 5195 - 1285 = 3910
Số bị trừ là: 3910 : 2 = 1955
Số trừ là: 1955 - 1285 = 670
b) Tương tự câu a, lưu ý rằng, nếu số trừ tăng lên thì hiệu sẽ giảm
Bài 3 Tìm 2 số có tích bằng 120, biết nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất và thêm thừa số thứ hai 5
đơn vị thì được tích mới bằng 170
Giải:
Ta đã biết, trong 1 tích, nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất và thêm thừa số thứ hai 5 đơn vị thì tích
sẽ tăng thêm 5 lần thừa số thứ nhất
5 lần thừa số thứ nhất là: 170 - 120 = 50
Thừa số thứ nhất là: 50 : 5 = 10
Thừa số thứ hai là: 120 : 10 = 12
Bài 4 Tổng của hai số là 192 Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên phải số thứ nhất và giữ nguyên số
thứ hai ta được tổng mới bằng 383.Tìm 2 số đó
Giải:
Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên phải số thứ nhất thì số thứ nhất tăng thêm 10 lần và 2 đơn vị Như vậy, tổng mới sẽ tăng thêm 9 lần số thứ nhất và 2 đơn vị
9 lần số thứ nhất là: 383 - 192 - 2 = 189
Số thứ nhất là : 189 : 9 = 21
Trang 7Số thứ hai là: 192 - 21 = 171
Chú ý: Ở dạng bài này, cần nắm được 1 số vấn đề như sau:
- Viết thêm (hay xóa đi) chữ số 0 vào bên phải 1 số thì số đó gấp lên ( hay giảm đi ) 10 lần
- Viết thêm chữ số a vào bên phải 1 số thì số đó gấp lên 10 lần và a đơn vị
- Nếu xóa bỏ chữ số a ở bên phải 1 số thì số đó giảm đi a đơn vị, sau đó giảm đi 10 lần ( Ví dụ
152, bỏ đi chữ số 2 thì còn 15, tức là (152 -2) : 10 = 15 )
Bài 5 Tổng của hai số là 60 Nếu tăng số thứ nhất lên 5 lần và tăng số thứ hai lên 10 lần thì được
tổng mới là 565 Tìm hai số đó
Phân tích:
Ta minh họa
A + B = 60
A x 5 + B x 10 = 565
Rõ ràng từ 2 phép tính này chúng ta chưa thể đưa ngay về lời giải như của các bài trên, do ở đây
có sự thay đổi đồng thời cả A và B
Để giải quyết được vấn đề này, ta sẽ đưa thêm 1 phép tính phụ, đó là
(A+B) x 5 = 60 x 5 = 300 hay A x 5 + B x 5 = 300
Phép tính phụ này và phép tính A x 5 + B x 10 = 565 có sự tương đồng về A x 5 và như vậy sự
chênh lệch chỉ đến từ B x 5 và B x 10
Lời giải:
Nếu gấp cả 2 số hạng lên 5 lần thì ta được tổng là: 60 x 5 = 300
Nếu tăng số thứ nhất lên 5 lần và tăng số thứ hai lên 10 lần thì ta có tổng sẽ hơn tổng trên là 5 lần
số hạng thứ hai
5 lần số thứ hai là: 565 - 300 = 265
Số thứ hai là: 265 : 5 = 53
Số thứ nhất là: 60 - 53 = 7
* Bài tập tự luyện:
Bài 1 Hai số có tổng bằng 1990 Gấp số hạng thứ hai lên 7 lần thì tổng mới bằng 2368 Tìm 2 số
đó
Bài 2 a) Tích của hai số là 1932 Nếu thêm vào thừa số thứ nhất 8 đơn vị thì được tích mới là
2604 Tìm hai số đó
b) Tích của hai số là 1692 Nếu bớt ở thừa số thứ hai 17 đơn vị thì được tích mới là 893 Tìm hai
số đó
Bài 3 - Tổng của hai số là 270 Nếu tăng số thứ nhất lên 2 lần và tăng số thứ hai lên 4 lần thì tổng
Trang 8mới tăng thêm 370 đơn vị Tìm hai số đó
Bài 4 Trong một phép chia, nếu ta lấy số bị chia chia cho 2 lần số chia thì được 6, nếu lấy số bị
chia chia cho 3 lần thương ta cũng được 6 Hãy viết phép chia ban đầu
Bài 5 Tìm 2 số có tổng bằng 165, biết nếu viết thêm 1 chữ số 0 vào bên phải số thứ nhất và giữ
nguyên số thứ hai thì được tổng mới bằng 318
Bài 6 Tìm 2 số có hiệu bằng 8 biết nếu viết thêm 1 chữ số 3 vào bên phải số bị trừ và giữ nguyên
số trừ ta được hiệu mới bằng 866
Bài 7 Tìm hai số có tổng bằng 140, biết nếu gấp số thứ nhất lên 3 lần và gấp số thứ hai lên 5 lần
rồi cộng lại ta được tổng mới bằng 516
Bài 8 Một phép chia có số chia bằng 64 và thương bằng 25 Nếu bớt số bị chia 27 đơn vị ta được
phép chia hết và thương không đổi Tìm số bị chia
Dạng 3 Bài toán liên quan đến đặt phép tính theo hàng dọc
Bài 1 Khi cộng 7805 với một số có 2 chữ số, do sơ xuất, một học sinh đã đặt phép tính như sau:
7805 ab
Nên kết quả phép tính đã tăng thêm 567 đơn vị Tìm kết quả đúng của phép tính
Giải:
Khi đặt phép tính sai như trên đồng nghĩa với việc bạn đó đã thực hiện phép tính cộng giữa 7805
và ab0:
7805 ab0
Tức là đã gấp số hạng thứ hai thêm 10 lần Như vậy tổng sẽ tăng thêm 1 lượng đúng bằng 9 lần số hạng thứ hai
Số hạng thứ hai là: 567 : 9 = 63
Kết quả đúng của phép tính là: 7805 + 63 = 7868
Bài 2 Khi trừ một số có 5 chữ số với một số có 2 chữ số, 1 học sinh đã đặt phép tính như sau:
abcde ik
Trang 9Và nhận được kết quả là 25061 Biết kết quả đúng bằng 33080 Tìm số bị trừ và số trừ của phép
tính đó
Giải:
Khi đặt phép tính sai như trên đồng nghĩa với việc bạn đó đã thực hiện phép tính trừ giữa abcde và ik00:
abcde ik00
Tức là đã gấp số trừ lên 100 lần Như vậy hiệu sẽ giảm đi 99 lần số trừ
99 lần số trừ là : 33080 – 25061 = 8019
Số trừ là: 8019 : 99 = 81
Số bị trừ là: 33080 + 81 = 33161
Chú ý: Qua 2 bài tập trên, chúng ta có thể tổng kết về phương pháp giải khi gặp bài toán
“Cộng – trừ đặt sai thứ tự hàng dọc” như sau:
- Nhận biết xem các thành phần phép tính bị lệch bao nhiêu hàng so với thứ tự đúng của nó và lệch về phía nào ( trái hay phải )
- Nếu lệch về phía trái 1,2,3… hàng tức là thành phần đó được gấp lên 10, 100, 1000… lần;
còn nếu lệch về phía bên phải 1,2,3… hàng tức là thành phần đó bị giảm đi 10, 100, 1000,…
lần Sau đó dựa vào kết quả về sự tăng giảm phép toán ( đã được học kĩ ở tiết 1-2) để tìm ra
phép tính đúng
Bài 3 Khi cộng một số có 4 chữ số cho một số có 1 chữ số, do đãng trí, một bạn học sinh đã đặt
số hạng thứ hai thẳng với chữ số hàng trăm nên đã được kết quả là 7938 mà lẽ ra kết quả đúng
phải là 7344 Tìm 2 số hạng đó
Giải:
Với cách đặt sai như vậy tức là bạn đó đã lùi số thứ hai 2 hàng sang bên trái ( lẽ ra phải thẳng
hàng đơn vị của số thứ nhất thì lại đặt thẳng hàng trăm ) Có nghĩa là số thứ hai được gấp lên 100 lần, và tổng sẽ tăng thêm 99 lần số thứ hai
99 lần số thứ hai là: 7938 – 7344 = 594
Trang 10Số thứ hai là: 594 : 99 = 6
Số thứ nhất là: 7344 – 6 = 7338
Bài 4 Khi nhân một số tự nhiên với số 78, một bạn học sinh đã sơ ý đặt hai tích riêng thẳng cột
với nhau Vì vậy tìm được kết quả sai là 3735 Em hãy tìm tích đúng của phép nhân đó
Giải:
Phân tích: Cần nắm được thế nào là các tích riêng trong phép nhân:
- Tích riêng thứ nhất: Thừa số thứ nhất x 8
- Tích riêng thứ hai: Thừa số thứ nhất x 7
Thực hiện phép tính đúng là tích riêng thứ hai phải lùi vào 1 hàng Còn khi đã đặt thẳng cột tức là
đã làm như 1 phép cộng thông thường, hay là ta đã lấy Thừa số thứ nhất x 8 + Thừa số thứ nhất x
7 để được kết quả là 3735
Từ đó ta có lời giải sau:
Khi bạn học sinh đã sơ ý đặt hai tích riêng thẳng cột với nhau tức là bạn đó đã lấy thừa số thứ nhất lần lượt nhân với 8 và 7 rồi cộng 2 kết quả với nhau Hay là bạn đó đã nhân thừa số thứ nhất với:
7 + 8 = 15
Kết quả nhận được là 3735 nên thừa số thứ nhất là: 3735 : 15 = 249
Tích đúng là: 249 x 78 = 19422
Bài 5 Khi nhân một số tự nhiên với số 65, một bạn học sinh đã sơ ý đặt tích riêng thứ hai lùi vào
2 hàng thay vì 1 hàng như thông thường Vì vậy tìm được kết quả tăng thêm là 6642 đơn vị Em
hãy tìm tích đúng của phép nhân đó
Giải:
Đặt tích riêng thứ hai lùi vào 2 hàng tức là tích riêng đã được đặt lệch sang bên trái 1 hàng so với cách đặt đúng Có nghĩa là tích riêng thứ hai được gấp lên 10 lần, và kết quả nhận được sẽ tăng
thêm 9 lần tích riêng thứ hai