Dãy số viết theo quy luật
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nguyễn Quốc Hùng MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU I. Lý do chọn chuyên đề:……………………………………………… 2 II. Mục đích, phạm vi của chuyên đề:………………………………… 3 PHẦN II: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ. A. NỘI DUNG: I. Cơ sở lí luận:………………………………………………………… 3 II. Cơ sở thực tiễn:……………………………………………………… 3 III. Các kiến thức vận dụng …………………………………………... 4 IV. Một số dạng toán về dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải. 6 1. Dạng 1: Tính tổng của các lũy thừa với cơ số là số tự nhiên .............. 8 2 . Dạng 2: Tính tổng của các tích: .......................................................... 9 3. Dạng 3: Dãy phân số: ……………………………………………… 13 4. Dạng 4: Tính tổng, tính số số hạng của dãy: ……………………… 18 5. Dạng 5: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức: … 20 B. ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN VÀ CÔNG TÁC GIẢNG DẠY 1. Ứng dụng vào thực tiễn...................................................................... 22 2. Hiệu quả khi áp dụng chuyên đề........................................................ 22 3. Bài học kinh nghiệm........................................................................... 22 PHẦN III: KẾT LUẬN. 1. Kết quả nghiên cứu:............................................................................ 23 2. Đề xuất............................................................................................... 23 NHỮNG TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT - THCS: Trung học cơ sở. - SGK: Sách giáo khoa. - GVG: Giáo viên giỏi - BCNN: Bội chung nhỏ nhất. 1 Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nguyễn Quốc Hùng PHẦN I: MỞ ĐẦU I. Lý do chọn chuyên đề: Như chúng ta đã biết Toán học có một vị trí vô cùng quan trọng trong đời sống, nó không những giúp chúng ta có khả năng tính toán, phát triển tư duy, suy luận logic mà còn là tiền đề của các môn khoa học khác. Vì thế Toán học được gọi là môn “công cụ” . Nhưng trong quá trình học toán đặc biệt là phần Đại số việc nắm và vận dụng kiến thức, tìm ra phương pháp giải đối với học sinh là khó khăn. Vì vậy với những người làm công tác giáo dục trong nhà trường có nhiệm vụ trang bị kiến thức cũng như phương pháp giải đối với từng dạng toán cho học sinh. Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh, tôi đã không ngừng học hỏi và trao đổi với đồng nghiệp. Tôi nhận thấy trong việc giảng dạy môn Đại số còn nhiều mảng kiến thức mà học sinh chưa có phương pháp giải cụ thể như : Các bài toán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, các dạng toán về biểu thức, các dạng phương trình ... Đặc biệt là dạng toán “Dãy số viết theo quy luật” đây là dạng toán tương đối khó đối với học sinh THCS. Học sinh khó hiểu khi đứng trước dạng bài toán này vì thế các em còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật của dãy số). Trong khi đó dạng toán này chưa đề cập nhiều trong sách giáo khoa, chủ yếu chỉ đưa ra một vài bài toán trong sách nâng cao, không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận động kiến thức của mình. Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài “Dãy số viết theo quy luật” để giúp các em tháo gỡ khó khăn trên. II. Mục đích, phạm vi của chuyên đề: 1. Mục đích của chuyên đề: - Nhằm trao đổi kinh nghiệm giảng dạy phân môn Toán THCS. - Giúp học sinh THCS có phương pháp giải đối với từng dạng bài tập dãy 2 Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nguyễn Quốc Hùng số viết theo quy luật. 2. Phạm vi của chuyên đề: - Áp dụng cho dạng toán dãy số viết theo quy luật ở bậc THCS. PHẦN II: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ. A. NỘI DUNG: I. Cơ sở lí luận: Theo Polya thì phương pháp tìm lời giải thường được tiến hành theo 4 bước: - Tìm hiểu đề toán. - Xây dựng chương trình giải. - Thực hiện chương trình giải. - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. - Khai thác, phát triển bài toán. II. Cơ sở thực tiễn. - Từ thực tế giảng dạy của giáo viên và học toán của học sinh THCS. - Qua trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp. III. Kiến thức vận dung: 1. Quy đồng mẫu số nhiều phân số: - Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu) - Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu. - Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. 2. Các phép tính của phân số: a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu: A B A+B + = (M ≠ 0) M M M A B A−B − = (M ≠ 0, A ≥ B) M M M b. Cộng, trừ phân số không cùng mẫu: 3 Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nguyễn Quốc Hùng - Quy đồng mẫu các phân số. - Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung. c. Nhân các phân số: A C A.C . = B D B.D A C A.D : = B D B.C d. Chia 2 phân số: (B, D ≠ 0) (B, C, D ≠ 0) 3. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số: a. Tính chất giao hoán: - Phép cộng: a c c a + = + b d d b - Phép nhân: a c c a . = . b d d b (b, d ≠ 0) (b, d ≠ 0) b. Tính chất kết hợp : a c m a c m - Phép cộng : + + = + + (b, d, n ≠ 0) b d n b d n a c m a c m - Phép nhân: . . = . . (b, d, n ≠ 0) b d n b d n c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép công (trừ): a c m a m c m + . = .. + . (b, d, n ≠ 0) b d n b n d n 4. Các phép tính về lũy thừa. a. §Þnh nghÜa luü thõa víi sè mò tù nhiªn a.a.........a an = (n ∈ N*) n thõa sè b. Mét sè tÝnh chÊt : Víi a, b, m, n ∈ N am. an = am+n, am. an . ap = am+n+p (p ∈ N) am : an = am-n (a ≠ 0, m > n) 4 Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nguyễn Quốc Hùng (a.b)m = am. bm (m ≠ 0) (am)n = am.n Quy íc: (m,n ≠ 0) a1 = a a0 = 1 (a ≠ 0) Víi : x, y ∈ Q; m, n ∈ N; a, b ∈ Z x.x......... 2 43x xn = 14 n (x ∈ N*) n an a = n b b (b ≠ 0, n ≠ 0) xo = 1 xm . xn = xm+n xm = x m−n n x x-n = (x ≠ 0) 1 xn (x ≠ 0) (xm)n = xm.n (x.y)m = xm. ym n x xn = n y y (y ≠ 0) 5. Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b Tính chất: - Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c thì a > c - Tính chất đơn điệu của phép cộng: Nếu a > b thì a + c > b + c - Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a > b thì a . c > b . c (c > 0) - Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều: 5 Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nguyễn Quốc Hùng Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d IV. Một số dạng toán về dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải. 1. Dạng 1: Tính tổng của các lũy thừa với cơ số là số tự nhiên. 1.1 Bài toán 1: Tính các tổng sau: 1) A= 1+3+32+33+…+ 399+3100 2) B= 1-2+22-23+24- … -299+2100 Giải 1) Ta có: 3A=3+32+33+…+ 399+3100+3101 => 3A-A= 3 3101 − 1 -1 => A= 2 101 2) 2B=2-22+23-24+25- … -2100+2101 => 2B+B=2101+1 => 3B=2101+1=> B= 2101 + 1 3 * Ta nghĩ tới bài toán tổng quát: - Tính tổng: S= 1+a+a2+a3+…+ an-1+an ( a > 1; n ∈ N ) . Ta nhân cả 2 vế của a n +1 − 1 S với a. Rồi trừ vế với vế ta được S= . a −1 - Tính tổng: P= 1-a+a2-a3+…+ a2n ( a > 1; n ∈ N ) . Ta nhân cả 2 vế của P với a. Rồi cộng vế với vế ta được P= a 2 n +1 + 1 . a +1 * Khai thác bài toán: Vì S, P là các sổ nguyên nên (a n+1 − 1) ( a − 1) và (a 2 n +1 + 1) ( a + 1) . Ta có bài toán 2 1.2 Bài toán 2: Chứng minh rằng a) 2009 2009 − 12008 b) 2009 2010 − 12010 Giải: a) Xét tổng S=1+2009+20092+20093+…+ 20092007+20092008 ( S∈ N) 6 Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nguyễn Quốc Hùng => 2009.S= 2009+20092+20093+…+ 20092008+20092009 => 2009.S-S= 20092009-1 => S= 2009 2009 − 1 2009 2009 − 12008 2008 b) S=1-2009+20092-20093+…+ 20092008-20092009( S ∈ N) => 2009.S= 2009-20092+20093-…-20092010 => 2009.S+S= -20092010+1 − (2009 2010 − 1) =>S= => 2009 2010 − 12010 2010 1.3 Bài toán 3: Tính tổng 1) A= 1+32+34+…+ 398+3100 2) B= 1-23+26-29+ … +296-299 Giải: a) Vấn đề đặt ra là nhân cả hai vế của A với số nào, để khi trừ 2 vế cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu? Ta thấy số mũ của hai số liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32, rồi trừ cho A, ta được: 32.A- A = (32+34+…+ 398+3100+3102) - (1+32+34+…+ 398+3100) 8.A=3102-1 =>A= 3102 − 1 8 b) Tương tự phần a, ta nhân cả hai vế của B với 2 3 rồi cộng vế với vế cho B ta được: 23.B+B=(23-26+29- … -296+299)+( 1-23+26-29+ … +296-299+2102) 9.B=2 102 2102 + 1 +1B = 9 * Bài toán tổng quát: - Tính tổng: S= 1+ad+a2d+a3d+…+and ( a > 1; n ∈ N ) . Ta nhân cả 2 vế của S với ad. Rồi trừ vế với vế ta được S= 7 a ( n +1) d − 1 . ad −1 Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nguyễn Quốc Hùng - Tính tổng: P= 1-ad+a2d-a3d+…+ a2nd ( a > 1; n ∈ N ) . a ( 2n+ 2) d + 1 Ta nhân cả 2 vế của S với a . Rồi cộng vế với vế ta được P= d . a +1 d * Bài tập vận dụng: 1.Tính tổng: a) A=2+33+ 25+…+ 399+3101 b) B=1-53+56-59+ … +596-599 2. Chứng minh rằng: a) 3000 2009 − 12009 b) 3000 2009 + 13001 2. Dạng 2: Tính tổng của các tích: 2.1 Bài toán 1 : Tính tổng A= 1.2+2.3+3.4+ …+ 98.99+99.100 Lời giải Nhận xét: Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân cả hai vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được: 3A=3.( 1.2+2.3+3.4+ …+ 98.99+99.100) = 1.2(3-0)+2.3(4-1)+…+99.100(101-98) = 1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+ … + 98.99.100-98.99.100+99.100.101 = 99.100.101 => A= 99.100.101 =333 300 3 Ta chú ý tới đáp số 99.100.101 là tích của 3 số, trong đó 99.100 là số hạng cuối của A và 101 là số tự nhiên liền sau của 100, tạo thành tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Ta có kết quả tổng quát như sau: A = 1.2+2.3+3.4+ …+ (n-1)n= ( n − 1) n( n + 1) 3 8 Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nguyễn Quốc Hùng Khai thác 1 3A = 3.( 1.2+2.3+3.4+ …+ 98.99+99.100) = 3(0.1+1.2+2.3+ …+ 99.100) = 3[1( 0 + 2) + 3( 2 + 4) + 5( 4 + 6 ) + ... + 99( 98 + 100) ] = 3(1.1.2+3.3.2+5.5.2+ …+ 99.99.2) = 3.2(12+32+52+ … +992) = 6(12+32+52+ … +992) Ta chưa biết cách tính tổng các bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1, nhưng liên hệ với bài toán 1, ta có: 6(12+32+52+ … +992)= 99.100.101 (12+32+52+ … +992)= 99.100.101 6 * Ta có bài toán tổng quát: P= 12+32+52+ ...+(2n+1)2= ( 2n + 1).( 2n + 2).( 2n + 3) 6 Khai thác 2 Xét biểu thức: C= 1.2+2.3+3.4+ …+99.100+100.101 = (1.2+2.3)+( 3.4+4.5)+(5.6+6.7)+ … +(99.100+100.101) = 2(1+3)+4(3+5)+6(5+7)+…+100(99+101) = 2.4+4.8+6.12+…+100.200 = 2(22+42+62+…+1002)= 22+42+62+…+1002 = 100.101.102 3 100.101.102 6 * Ta có bài toán tổng quát: M=22+42+62+…+(2n)2= Khai thác 3 9 2n.( 2n + 1)( 2n + 2) 6 Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nguyễn Quốc Hùng M=22+42+62+…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2) = 2n.( 2n + 1)( 2n + 2) 6 * Ta có bài toán tổng quát: Q=12+22+32+…+n2= n.( n + 1)( 2n + 1) 6 2.2 Bài toán 2: Tính: A= 1.3+3.5+5.7+...+97.99 Giải: • Nhận xét: khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2, nhân hai vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được. 6A=1.3.6+3.5.6+5.7.6+...+97.99.6 = 1.3(5+1)+3.5(7-1)+5.7(9-3)+...+97.99(101-95) (2 hạng tử nhân với 3 lần khoẳng cách) = 3+97.99.101 A= 1 + 97.33.101 = 161651 2 Trong bài toán 1 ta nhân A với 3, trong bài toán 2 ta nhân A với 6. Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách k giữa hai thừa số trong mỗi hạng tử. 3.3 Bài toán 3: Tính A = 1.2.3+2.3.4+…+98.99.100 Giải (3 hạng tử nhân với 4 lần khoẳng cách) Trở lại bài toán 1, mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa hai thừa số đó. Học tập cách đó, trong bài toán này ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số. Ta giải được bài toán như sau. 4A= 1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+…+98.99.100.4 = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5(6-2)+…+98.99.100(101-97) = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+…+98.99.100.101-97.98.99.100 = 98.99.100.101 ⇒A = 98.99.100.101 = 24 497 550 4 10 Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nguyễn Quốc Hùng * Ta có bài toán tổng quát: A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-1)n(n+1)= ( n − 1) n( n + 1)( n + 2) 4 Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán: 2.4 Bài toán 4: Tính: A= 1.3.5+3.5.7+…+5.7.9+…+95.97.99 Giải: 8A=1.3.5.8+3.5.7.8+5.7.9.8+…+95.97.99.8 =1.3.5(7+1)+3.5.7(9-1)+5.7.9(11-3)+…+95.97.99(101-93) =1.3.5.7+15+3.5.7.9-1.3.5.7+5.7.9.11-3.5.7.9+…+95.97.99.101 -93.95.97.99 =15+95.97.99.101 ⇒ A= 15 + 95.97.99.101 =11 517 600 8 Trong bài 3 ta nhân A với 4(bốn lần khoảng cách). Trong bài 4 ta nhân a với 8 (bốn lần khoảng cách). Như vậy để giải bài toán dạng n ∑ n(n + k )(n + 2k ) ta nhân với 4k(bốn lần khoảng cách) sau đó tách: n =1 4kn(n+k)(n+2k)=n(n+k)(n+2k)(n+3k)-(n-k)(n+k)n(n+2k) Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán: 2.5 Bài toán 5: Tính A=1.2+3.4+5.6+…+99.100 Lời giải 1: A= 2+(2+1)4+(4+1)6+…+(98+1).100 =2+2.4+4+4.6+6+…+98.100+100 =(2.4+4.6+…+98.100)+(2+4+6+8+..+100) =98.100.102:6+102.50:2 11 Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nguyễn Quốc Hùng =166600+2550 =169150 Lời giải 2: A=1(3-1)+3(5-1)+5(7-1)+…+99(101-1) =1.3-1+3.5-3+5.7-5+…+99.101-99 =(1.3+3.5+5.7+…+99.101)-(1+3+5+7+..+99) =171650-2500 =169150 Trong bài toán này ta không nhân a với một số hạng mà tách ngay một thừa số trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. làm tương tự với các bài toán: 2.6 Bài toán 6: Tính: A= 1.2.3+3.4.5+5.6.7+…+99.100.101 Giải: A= 1.3(5-3)+3.5(7-3)+5.7(9-3)+…+99.101(103-3) =(1.3.5+3.5.7+5.7.9+...+99.101.103)-(1.3.3+3.5.3+...+99.101.3) =(15+99.101.103.105):8-3(1.3+3.5+5.7+...+99.101) =13517400-3.171650 =13002450 2.7 Bài toán 7: Tính: A=13+23+33+...+1003 Giải: Sử dụng: (n-1)n(n+1)=n3-n ⇒ n3=n+(n-1)n(n+1) ⇒ A= 1+2+1.2.3+3+2.3.4+...+100+99.100.101 =(1+2+3+...+100)+(1.2.3+2.3.4+...+99.100.101) =5050+101989800 12 Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nguyễn Quốc Hùng =101994850 Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 7 ta có bài toán: 2.7 Bài toán 8: Tính: A= 13+33+53+...+993 Giải: Sử dụng (n-2)n(n+2)=n3-4n ⇒ n3=(n-2)n(n+2)+4n ⇒ A= 1+1.3.5+4.3+3.5.7+4.5+...+97.99.101+4.99 = 1+(1.3.5+3.5.7+...+97.99.101)+4(3+5+7+...+99) = 1+ 12487503+9996 =12497500 Với khoảng cách là a ta tách: (n-a)n(n+a)=n3-a2n Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 8 ta có: 2.9 Bài toán 9: Tính: A= 1.22+2.32+3.42+...+99.1002 Giải: A= 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...99.100(101-1) =1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+99.100.101-99.100 =(1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+99.100.101)-(1.2+2.3+3.4+...+99.100) =25497450-333300 =25164150 Với cách khai thác như trên ta có thể khai thác, phát triển các bài toán trên thành rất nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải đòi hỏi học sinh phải có sự linh hoạt, sáng tạo. Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dãy số bằng số hạng tổng quát theo quy luật của dãy. * Vận dụng cách giải trên hãy giải các bài toán sau: 1. Tính A = 1.99+2.98+3.97+...+49.51+50.50 13 Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nguyễn Quốc Hùng 2. Tính B = 1.3+5.7+9.11+...+97.101 3. Tính C = 1.3.5-3.5.7+5.7.9-7.9.11+...-97.99.101 4. Tính D = 1.99+3.97+5.95+...+49.51 5. Tính E = 1.33+3.53+5.73+...+49.513 6. Tính F = 1.992+2.982+3.972+...+49.512 3. Dạng 3: Dãy phân số Các kiến thức 1 1 1 1) n(n + 1) = n − n + 1 . 2) k 1 1 = k × − ÷. n(n + 1) n n +1 3) 1 1 1 1 = × − ÷. n( n + k ) k n n + k 4) k 1 1 = − ÷. n( n + k ) n n + k 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 = = × − ÷ = × − ÷. 2n(2n + 2) 4n(n + 1) 2 2n 2n + 2 4 n n + 1 6) 1 1 1 1 = × − ÷. (2n + 1)(2n + 3) 2 2n + 1 2n + 3 1 1 1 7) n.(n + 1) < n 2 < (n − 1).n . (Trong đó: n, k ∈ N∗ , n > 1 ) 3.1 Bài toán 1: Chứng minh rằng 100 - 1 + + + ... + 1 2 1 3 1 1 2 3 99 = + + + ... + 100 2 3 4 100 *) Hướng dẫn tìm lời giải: Đây là bài toán chứng minh đẳng thức, ta phải biến đổi vế trái bằng vế phải. Ở bài này ta thấy vế phải của đẳng thức là tổng của các phân số có mẫu lớn hơn tử 1 đơn vị. Để tổng mỗi phân số đó với một phân số nào đó bằng 1 thì 14 Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nguyễn Quốc Hùng ta phải cộng vế phải với biểu thức trong ngoặc của vế trái. Từ đó ta có điều phải chứng minh. *) Cách giải: 100 - 1 + + + ... + 1 2 1 3 1 1 2 3 99 = + + + ... + 100 2 3 4 100 Cộng vào hai vế của đẳng thức trên với 1 + + + ... + 1 2 1 3 1 ta được đẳng 100 thức mới như sau: 100 - 1 + + + ... + 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 3 99 + 1 + + + ... + = + + + ... + 100 2 3 100 2 3 4 100 + 1 + + + ... + 1 2 1 3 1 100 1 1 1 2 1 3 1 99 + 100= 1+ + + + + + +…+ 2 2 3 3 4 4 100 100 100=1+1+1+1+…+1 100 số 1 100=100 (đpcm) 3.2 Bài toán 2: Chứng minh rằng: a) Cho S = b) 1 1 1 1 3 4 + + + ... + . Chứng minh rằng: < S < 31 32 33 360 5 5 1 1 1 1 S < => S > 10 10 10 47 48 4 + + = < = 30 40 50 60 60 5 10 10 10 37 36 3 + + = < = 40 50 60 60 60 5 b) Ta thấy các phân số trong tổng ở vế trái là các phân số có tử là 1 còn mẫu là bình phương của một số tự nhiên n. (n ≥ 2 ). 15 Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật 1 1 1 1 = − ; 2 < 1.2 1 2 2 GV: Nguyễn Quốc Hùng 1 1 1 1 = − 2 < 2.3 2 3 3 1 1 1 1 = − ; ... 2 < 3.4 3 4 4 1 1 1 1 = − 2 < 99.100 99 100 100 Sau đó áp dụng tính chất: a < b => a+c < b+d c < d Từ đó ta có điều phải chứng minh: 1 1 1 1 = − ; 2 < 1.2 1 2 2 1 1 1 1 [...]... toỏn1: Tỡm ch s th 1000 khi vit liờn tip lin nhau cỏc s hng ca dóy 19 Chuyờn : Dóy s vit theo quy lut GV: Nguyn Quc Hựng s l 1; 3; 5; 7; Bi toỏn 2: Cú s hng no ca dóy sau tn cựng bng 2 hay khụng? 1;1 + 2;1 + 2 + 3;1 + 2 + 3 + 4; Hớng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng: n(n + 1) 2 Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4 Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng... dng chuyờn ny nhiu em khụng lm c cng nh khụng bit hng gii bi toỏn dóy s vit theo quy lut Nhng khi ỏp dng chuyờn nhiu em lm tt nhng bi Dóy s vit theo quy lut " T thc nghim nh ny khng nh tớnh ỳng n ca chuyờn ng thi núi lờn phn no tỏc dng ca nú ú l kt qu khiờm tn ca chuyờn m tụi ó nghiờn cu 2 xut Cũn nhiu Dóy s vit theo quy lut " v nhiu vớ d hp dn khỏc mong cỏc bn ng nghip tip tc trao i vn ny Vỡ... hc mụn Toỏn, 22 Chuyờn : Dóy s vit theo quy lut GV: Nguyn Quc Hựng c bit phõn mụn i s, trong nhng nm hc va qua v c nm hc ny tụi ó ỏp dng ti ca mỡnh mt cỏch thng xuyờn vo ging dy ch yu l BD HSG 2 Hiu qu khi ỏp dng ti * Hiu qu khi ỏp dng ti c ỏnh giỏ qua cỏc cuc giao lu HSG hng nm * Qua quỏ trỡnh ỏp dng ti, tụi thy kh nng suy lun v chng minh cỏc dóy s vit theo quy lut ó c nõng lờn Hu ht cỏc em chng... Dóy s vit theo quy lut " tụi thy vn ny rt cn thit khụng nhng i vi hc sinh m c i vi giỏo viờn, nht l giỏo viờn ang BD HSG Vỡ vy mi giỏo viờn chỳng ta cn tớch cc, thng xuyờn trong cụng tỏc bi dng v t bi dng tớch lu chuyờn mụn, nghip v cho bn thõn thụng qua cỏc hỡnh thc: hc hi bn bố ng nghip,c ti liu , xem truyn hỡnh, tp chớ PHN III :KT LUN 1 Kt qu nghiờn cu: 23 Chuyờn : Dóy s vit theo quy lut GV:... 1 Kt qu nghiờn cu: 23 Chuyờn : Dóy s vit theo quy lut GV: Nguyn Quc Hựng Trờn õy l chuyờn Dóy s vit theo quy lut " c rỳt ra trong quỏ trỡnh ging dy v bi dng HSG nhiu nm tr li õy ca trng THCS Thỏi Hũa cng nh ca bn thõn Hu ht hc sinh, (ch yu l hc sinh khỏ, gii) khi c trang b chuyờn Dóy s vit theo quy lut " u tr lờn t tin khi gp nhng bi toỏn dóy s, cú em ó a ra c nhiu phng phỏp gii hay, khai thỏc,... trỡnh gii ũi hi hc sinh phi cú s linh hot, sỏng to Trong cỏc bi toỏn trờn ta cú th thay i s hng cui cựng ca dóy s bng s hng tng quỏt theo quy lut ca dóy * Vn dng cỏch gii trờn hóy gii cỏc bi toỏn sau: 1 Tớnh A = 1.99+2.98+3.97+ +49.51+50.50 13 Chuyờn : Dóy s vit theo quy lut GV: Nguyn Quc Hựng 2 Tớnh B = 1.3+5.7+9.11+ +97.101 3 Tớnh C = 1.3.5-3.5.7+5.7.9-7.9.11+ -97.99.101 4 Tớnh D = 1.99+3.97+5.95+... rói hn TI LIU THAM KHO 24 Chuyờn : Dóy s vit theo quy lut GV: Nguyn Quc Hựng 1 B SGK, SBT mụn Toỏn lp 6, 7 ,8, 9 ca NXB GD 2 Nõng cao v phỏt trin i s lp 6, 7, 8, 9 ca tỏc gi V Hu Bỡnh 3 Thc hnh gii toỏn ca V Dng Thu NXB GD 1998 4 Tuyn chn nhng bi thi HSG Toỏn ca Lờ Hng c Thỏi Hũa, ngy 20 thỏng 3 nm 2015 Ngi thc hin Nguyn Quc Hựng 25 Chuyờn : Dóy s vit theo quy lut GV: Nguyn Quc Hựng 26 ... v ca (2) vi 2k+1 ta cú: 1+3+5++(2k-1)+(2k+1) = k 2 + (2k + 1) Vỡ k 2 + ( 2k + 1) = ( k + 1) nờn ta cú (3) tc l Sk +1 = ( k + 1) 2 2 Theo nguyờn lý quy np bi toỏn c chng minh: 2 Vy Sn = 1 + 3 = 5 + + ( 2n 1) = n Tng t ta cú th chng minh cỏc kt qu sau õy bng phng phỏp quy np toỏn hc: 1,1 + 2 + 3 + + n = n ( n + 1) 2 2,12 + 22 + + n 2 = n ( n + 1) ( 2n + 1) 6 n ( n + 1) 3, 13 + 23 + + n3 = 2... + 7 + 8 + 9, S 4 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14, Tớnh S100 ? Hng dn: S s hng ca S1, , S99 theo th t bng 2; 3; 4; 5; 100 S: S100 = 515100 Bi toỏn 5: Khi phõn tớch ra tha s nguyờn t, s 100! cha tha s nguyờn t 7 vi s m bng bao nhiờu? Bi toỏn 6: Tớnh s hng th 50 ca cỏc dóy sau: a) 1.6; 2.7; 3.8; 20 Chuyờn : Dóy s vit theo quy lut GV: Nguyn Quc Hựng b) 1.4; 4.7; 7.10; Bi toỏn 7: Tớnh tng 100 s hng u tiờn ca... 22 32 42 52 62 992 99 ì ì ì ì L = 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50 5 Dng 5: Dựng phng phỏp quy np chng minh ng thc cha dóy s Trong mt s trng hp khi gp bi toỏn tớnh tng hu hn: S=S1+ S2+ S3+ + Sn Bng cỏch no ú ta bit c kt qu (d oỏn, hoc bi toỏn chng minh c Vớ d 1: Tớnh tng: Sn=1+3+5+ +(2n-1) 21 Chuyờn : Dóy s vit theo quy lut GV: Nguyn Quc Hựng S1 = 1 S2 = 1 + 3 = 22 Th trc tip ta thy: S1 = 1 + 3 + 5 = ... Dóy s vit theo quy lut GV: Nguyn Quc Hựng s vit theo quy lut Phm vi ca chuyờn : - p dng cho dng toỏn dóy s vit theo quy lut bc THCS PHN II: NI DUNG CA CHUYấN A NI DUNG: I C s lớ lun: Theo Polya... thừa với số mũ tự nhiên a.a .a an = (n N*) n thừa số b Một số tính chất : Với a, b, m, n N am an = am+n, am an ap = am+n+p (p N) am : an = am-n (a 0, m > n) Chuyờn : Dóy s vit theo quy lut... s vit theo quy lut GV: Nguyn Quc Hựng s l 1; 3; 5; 7; Bi toỏn 2: Cú s hng no ca dóy sau tn cựng bng hay khụng? 1;1 + 2;1 + + 3;1 + + + 4; Hớng dẫn: Số hạng thứ n dãy bằng: n(n + 1) Nếu số hạng