Dãy số viết theo quy luật

Dãy số viết theo quy luật

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I Lý do chọn chuyên đề:……… 2

II Mục đích, phạm vi của chuyên đề:……… 3

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ. A NỘI DUNG: I Cơ sở lí luận:……… 3

II Cơ sở thực tiễn:……… 3

III Các kiến thức vận dụng ……… 4

IV Một số dạng toán về dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải 6 1 Dạng 1: Tính tổng của các lũy thừa với cơ số là số tự nhiên 8

2 Dạng 2: Tính tổng của các tích: 9

3 Dạng 3: Dãy phân số: ……… 13

4 Dạng 4: Tính tổng, tính số số hạng của dãy: ……… 18

5 Dạng 5: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức: … 20

B ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN VÀ CÔNG TÁC GIẢNG DẠY 1 Ứng dụng vào thực tiễn 22

2 Hiệu quả khi áp dụng chuyên đề 22

3 Bài học kinh nghiệm 22

PHẦN III: KẾT LUẬN. 1 Kết quả nghiên cứu: 23

2 Đề xuất 23

NHỮNG TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT

- THCS: Trung học cơ sở

- SGK: Sách giáo khoa

- GVG: Giáo viên giỏi

- BCNN: Bội chung nhỏ nhất

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I Lý do chọn chuyên đề:

Như chúng ta đã biết Toán học có một vị trí vô cùng quan trọng trong đờisống, nó không những giúp chúng ta có khả năng tính toán, phát triển tư duy, suyluận logic mà còn là tiền đề của các môn khoa học khác Vì thế Toán học được

gọi là môn “công cụ” Nhưng trong quá trình học toán đặc biệt là phần Đại số

việc nắm và vận dụng kiến thức, tìm ra phương pháp giải đối với học sinh là khókhăn Vì vậy với những người làm công tác giáo dục trong nhà trường có nhiệm

vụ trang bị kiến thức cũng như phương pháp giải đối với từng dạng toán cho họcsinh

Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh, tôi đã không ngừng học hỏi vàtrao đổi với đồng nghiệp Tôi nhận thấy trong việc giảng dạy môn Đại số cònnhiều mảng kiến thức mà học sinh chưa có phương pháp giải cụ thể như : Các bàitoán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, các dạng toán về biểu thức, các dạng

phương trình Đặc biệt là dạng toán “Dãy số viết theo quy luật” đây là dạng

toán tương đối khó đối với học sinh THCS Học sinh khó hiểu khi đứng trướcdạng bài toán này vì thế các em còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bàitập (chưa tìm ra quy luật của dãy số) Trong khi đó dạng toán này chưa đề cậpnhiều trong sách giáo khoa, chủ yếu chỉ đưa ra một vài bài toán trong sách nângcao, không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận động kiến

thức của mình Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài “Dãy số viết theo quy luật” để

giúp các em tháo gỡ khó khăn trên

II Mục đích, phạm vi của chuyên đề:

1 Mục đích của chuyên đề:

- Nhằm trao đổi kinh nghiệm giảng dạy phân môn Toán THCS

- Giúp học sinh THCS có phương pháp giải đối với từng dạng bài tập dãy

số viết theo quy luật.

2 Phạm vi của chuyên đề:

- Áp dụng cho dạng toán dãy số viết theo quy luật ở bậc THCS

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ.

A NỘI DUNG:

I Cơ sở lí luận:

Theo Polya thì phương pháp tìm lời giải thường được tiến hành theo 4 bước:

- Tìm hiểu đề toán

- Xây dựng chương trình giải

- Thực hiện chương trình giải

- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- Khai thác, phát triển bài toán

II Cơ sở thực tiễn.

- Từ thực tế giảng dạy của giáo viên và học toán của học sinh THCS

- Qua trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp

III Kiến thức vận dung:

1 Quy đồng mẫu số nhiều phân số:

- Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)

- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu

- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng

2 Các phép tính của phân số:

a Cộng, trừ phân số cùng mẫu:

M

B A M

B M

(M≠0)

M

B A M

B M

(M≠0, A≥B)

b Cộng, trừ phân số không cùng mẫu:

- Quy đồng mẫu các phân số.

- Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫuchung

c Nhân các phân số:

B.D

A D

C B

A = C (B, D≠0)

d Chia 2 phân số:

B.C

A D

C : B

c b

a + = c +a (b, d≠0)

- Phép nhân:

b

d d

c b

= +

c b n d

c b

c b n

d

c b

b

a n

d

c b

(a.b)m = am bm (m ≠ 0)(am)n = am.n (m,n ≠ 0) Quy íc:

a b

m x x

(x.y)m = xm ym

n

n n y

x y

Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d

IV Một số dạng toán về dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải.

1 Dạng 1: Tính tổng của các lũy thừa với cơ số là số tự nhiên.

1.1 Bài toán 1: Tính các tổng sau:

=> 2B+B=2101+1 => 3B=2101+1=> B=

3

1

2 101 +

* Ta nghĩ tới bài toán tổng quát:

- Tính tổng: S= 1+a+a 2 +a 3 +…+ a n-1 +a n (a> 1 ;n∈N) Ta nhân cả 2 vế của

S với a Rồi trừ vế với vế ta được S=

- Tính tổng: P= 1-a+a 2 -a 3 +…+ a 2n (a > 1 ;n∈N) Ta nhân cả 2 vế của P

với a Rồi cộng vế với vế ta được P=

1

1

1 2 +

2009 2009



−b) S=1-2009+20092-20093+…+ 20092008-20092009( S∈N)

2010 1

.

+

d

d n a

=333 300

Ta chú ý tới đáp số 99.100.101 là tích của 3 số, trong đó 99.100 là số hạngcuối của A và 101 là số tự nhiên liền sau của 100, tạo thành tích của 3 số tự nhiênliên tiếp Ta có kết quả tổng quát như sau:

Ta chưa biết cách tính tổng các bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ

1, nhưng liên hệ với bài toán 1, ta có:

6(12+32+52+ … +992)= 99.100.101

(12+32+52+ … +992)=

6

101 100 99

* Ta có bài toán tổng quát: P= 12+32+52+ +(2n+1)2=( ) ( ) ( )

6

3 2 2 2 1

 22+42+62+…+1002 =

6

102 101 100

* Ta có bài toán tổng quát: M=22+42+62+…+(2n)2= ( )( )

6

2 2 1 2

2n n+ n+

Khai thác 3

M=22+42+62+…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2) = ( )( )

6

2 2 1 2

2n n+ n+

* Ta có bài toán tổng quát: Q=12+22+32+…+n2= ( )( )

6

1 2 1 n+ n+

Trong bài toán 1 ta nhân A với 3, trong bài toán 2 ta nhân A với 6 Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách k giữa hai thừa số trong mỗi hạng tử.

3.3 Bài toán 3: Tính A = 1.2.3+2.3.4+…+98.99.100

Giải (3 hạng tử nhân với 4 lần khoẳng cách)

Trở lại bài toán 1, mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3

lần khoảng cách giữa hai thừa số đó Học tập cách đó, trong bài toán này ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số.

Ta giải được bài toán như sau.

4A= 1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+…+98.99.100.4

= 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5(6-2)+…+98.99.100(101-97)

= 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+…+98.99.100.101-97.98.99.100 = 98.99.100.101

⇒A =

4

101.100.99

98

= 24 497 550

* Ta có bài toán tổng quát:

A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-1)n(n+1)=( ) ( )( )

4

2 1

Với khoảng cách là a ta tách: (n-a)n(n+a)=n 3 -a 2 n

Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 8 ta có:

Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dãy sốbằng số hạng tổng quát theo quy luật của dãy

* Vận dụng cách giải trên hãy giải các bài toán sau:

1 Tính A = 1.99+2.98+3.97+ +49.51+50.50

3 3

2 2

1 100

1

3

1 2

*) Hướng dẫn tìm lời giải:

Đây là bài toán chứng minh đẳng thức, ta phải biến đổi vế trái bằng vế phải Ở bài này ta thấy vế phải của đẳng thức là tổng của các phân số có mẫu lớn hơn tử 1 đơn vị Để tổng mỗi phân số đó với một phân số nào đó bằng 1 thì

ta phải cộng vế phải với biểu thức trong ngoặc của vế trái Từ đó ta có điều phải chứng minh.

*) Cách giải:

100 -

100

99

4

3 3

2 2

1 100

1

3

1 2

3

1 2

3

1 2

3

1 2

4

3 3

2 2 1

3

1 2

1 1

là bình phương của một số tự nhiên n (n≥ 2)

100 số 1

=

2

1 1

1

=

3

1 2

1

=

4

1 3

1

=

100

1 99

b a

1

=

2

1 1

1

=

3

1 2

1

=

4

1 3

1

=

100

1 99

1

+

3 2

1

+

4 3

1

+ +

100 99 1

1

− +

4

1 3

1

− + +

100

1 99

< 1 (Điều phải chứng minh).

Mở rộng bài toán: Chứng minh rằng: A= 2

1 44 43

1

4 3

1 3 2

1 2 1

1 1

45

1 44

1 44

1 43

1

3

1 2

1 2

1 1 1

=

−

=

− +

− + +

− +

−

=

A A

Vì 1 2 = 2 ; 2 3 = 6 ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta có bài toán khó hơnchút xíu

3.4 Bài toán 4: Tính tổng :

1980

1 1892

1

12

1 6

1 2

Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược

3.5 Bài toán 5: Tìm x thuộc N biết :

( ) 45

44 1

1

3 2

1 2 1

+ + + +

x x

Hơn nữa ta có :

45 44

1 45

1

; ;

3 2

1 3

1

; 2 1

1 2

1

2 2

3

1 2

1

2 2

2 + + + <

Mặt khác 0< 2 2 2

45

1

3

1 2

1 + + +

Do vậy, cho ta bài toán “tưởng như khó”

3.7 Bài toán 7: Chứng tỏ rằng tổng :

2 2

1

3

1 2

1 + + +không phải là số nguyên

Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ; a44 là các số tự nhiên lớn hơn 1

và khác nhau thì

+ + + 2 ≤

44

2 2

2 1

1

1 1

a a

1

3

1 2

1 + + +

Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau :

3.8 Bài toán 8: Tìm các số tự nhiên khác nhau a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 sao cho

1 1 12 1

44

2 2

2 1

= + + +

a a

a

Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán 5 như sau :

3.9 Bài toán 9: Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ; a44 thỏa mãn

1 1 12 1

44

2 2

2 1

= + + +

a a

a

Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau

3.10 Bài toán 10: Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2

<a3 < < a44 < a45 và

1. 1. 4544

.

1

1

45 44 44 43 3

2 2 1

= +

+ + +

a a a a a

a a a

Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50

b) Biến đổi số chia:

Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia Vậy 1

Trong đó : n gọi là số số hạng của dãy cộng

d hiệu giữa hai số hạng liên tiếp

Từ (I) ta có: a n a1 1

n d

−

= + (II) Công thức (II) giúp ta tính được số số hạng của một dãy cộng khi biết : Sốhạng đầu a1, số hạng cuối a n và hiệu d giữa hai số hạng liên tiếp

2 Để tính tổng S các số hạng của dãy cộng: a a a a a1 , , , , , , 2 3 4 5 a n Ta viết:

b) Cũng hỏi như trên nếu viết từ 1 đến 1000000

Hướng dẫn: a) ta bổ sung thêm chữ số 0 vào vị trí đầu tiên của dãy số(không làm thay đổi kết quả) Tạm chưa xét số 100 Từ 0 đến 99 có 100 số, ghépthành 50 cặp: 0 và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp có tổng các chữ số bằng 18.Tổng các chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900 Thêm số 100 có tổng các chữ sốbằng 1 ĐS: 901

b) Tương tự: ĐS: 27000001

Bài toán 4: Cho

1 2 3 4

1 2,

3 4 5,

6 7 8 9,

10 11 12 13 14,

S S S S

Bài toán 5: Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố 7

với số mũ bằng bao nhiêu?

Bài toán 6: Tính số hạng thứ 50 của các dãy sau:

a) 1.6; 2.7; 3.8;

Thử trực tiếp ta thấy:

1

2 2

2 1

1

1 3 2

1 3 5 9 3

S S S

đặc biệt phân môn Đại số, trong những năm học vừa qua và cả năm học này tôi đã

áp dụng đề tài của mình một cách thường xuyên vào giảng dạy chủ yếu là BD HSG

2 Hiệu quả khi áp dụng đề tài.

* Hiệu quả khi áp dụng đề tài được đánh giá qua các cuộc giao lưu HSG hàngnăm

* Qua quá trình áp dụng đề tài, tôi thấy khả năng suy luận và chứng minh cácdãy số viết theo quy luật đã được nâng lên Hầu hết các em chứng minh và giảiđược những bài toán từ vận dụng thấp trở lên, nhiều em còn đưa ra được những bàitoán tổng quát, những bài toán ở mức độ vận dụng cao

3 Bài học kinh nghiệm.

Từ bước đầu nghiên cứu chuyên đề “ Dãy số viết theo quy luật " tôi thấy vấn

đề này rất cần thiết không những đối với học sinh mà cả đối với giáo viên, nhất làgiáo viên đang BD HSG

Vì vậy mỗi giáo viên chúng ta cần tích cực, thường xuyên trong công tác bồidưỡng và tự bồi dưỡng để tích luỹ chuyên môn, nghiệp vụ cho bản thân thông quacác hình thức: học hỏi bạn bè đồng nghiệp,đọc tài liệu , xem truyền hình, tạp chí

PHẦN III :KẾT LUẬN.

1 Kết quả nghiên cứu:

Trên đây là chuyên đề “ Dãy số viết theo quy luật " được rút ra trong quá trình

giảng dạy và bồi dưỡng HSG nhiều năm trở lại đây của trường THCS Thái Hòa cũng

như của bản thân Hầu hết học sinh, (chủ yếu là học sinh khá, giỏi) khi được trang bị

chuyên đề “ Dãy số viết theo quy luật " đều trở lên tự tin khi gặp những bài toán dãy

số, có em đã đưa ra được nhiều phương pháp giải hay, khai thác, mở rộng đượcnhiều bài toán Bước đầu phát hiện học sinh có năng lực, từ đó GV có phương phápdạy , bồi dưỡng nhằm phát huy trí tuệ, tính say mê sáng tạo của các em

Trước khi được áp dụng chuyên đề này nhiều em không làm được cũng nhưkhông biết hướng giải bài toán dãy số viết theo quy luật Nhưng khi áp dụng chuyên

đề nhiều em làm tốt những bài “ Dãy số viết theo quy luật " Từ thực nghiệm nhỏ

này khẳng định tính đúng đắn của chuyên đề đồng thời nói lên phần nào tác dụngcủa nó Đó là kết quả khiêm tốn của chuyên đề mà tôi đã nghiên cứu

2 Đề xuất.

Còn nhiều “ Dãy số viết theo quy luật " và nhiều ví dụ hấp dẫn khác mong

các bạn đồng nghiệp tiếp tục trao đổi vấn đề này

Vì khả năng và thời gian có hạn, còn nhiều yếu tố khách quan chưa đáp ứng kịp thời, đề tài này có thể chưa sâu và toàn diện, không tránh khỏi những thiếu sót,rất mong các thầy, cô giáo, và đồng nghiệp biết đến, quan tâm để cùng nhau xâydựng đề tài Rất mong được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo và các bạnđồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện, đạt hiệu quả và được dụng rộng rãi hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bộ SGK, SBT môn Toán lớp 6, 7 ,8, 9 của NXB GD

2 Nâng cao và phát triển Đại số lớp 6, 7, 8, 9 của tác giả Vũ Hữu Bình

3 Thực hành giải toán của Vũ Dương Thuỵ NXB GD 1998

4 Tuyển chọn những bài thi HSG Toán của Lê Hồng Đức

Thái Hòa, ngày 20 tháng 3 năm 2015

Người thực hiện

Nguyễn Quốc Hùng