Khoá luận tốt nghiệp dạy học một số khái niệm trong môn toán THPT bằng con đường quy nạp

Hi vọng rằng con đường quy nạp là cầu nối đưa học sinh tới các khái niệm Toán học một cách dễ dàng hơn.Là một sinh viên sắp ra trường, với mong muốn nắm vững kiến thức phương pháp, nắm c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s u ' PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ LÝ

DẠY HỌC MỘT SỐ KHÁI NIỆM• • • • TRONG MÔN TOÁN THPT BẰNG CON ĐƯỜNG QUY NẠP

KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

HÀ NỘI 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s u ' PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ LÝ

DẠY HỌC MỘT SÓ KHÁI NIỆM• • • • TRONG MÔN TOÁN THPT BẰNG CON ĐƯỜNG QUY NẠP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

Người hướng dẫn khoa học ThS DƯƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI - 2005

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo và nghiên cứu khoa học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em nghiên cứu luận văn.

Xin cảm ơn Ban giám hiệu và các thầy cô trường THPT Trần Hưng Đạo và THPT Bình Giang đã động viên giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ nghiên cún của mình

Hà Nội,02 tháng 05 năm 2015

Nguyễn Thị Lý

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Nguyễn Thị Lý

Sinh viên: Lóp K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan đề tài “Dạy học một số khái niệm trong môn Toán

THPT bằng con đường quy nạp”là kết quả quá trình nghiên cứu, tìm tòi học hỏi của bản thân tôi dưới sự chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn Những kết quả nghiên cứu trong khóa luận chưa từng được công bố tại bất cứ công trình nghiên cứu nào

Hà Nội, ngày tháng năm

Sinh viên

Nguyễn Thị Lý

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tà i: 1

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu: 2

2.1.Mục đích nghiên cứu: 2

2.2.Nhiệm vụ nghiên cứu: 3

3 Đối tượng - phạm vi nghiên cứu: 3

3.1.ĐÔĨ tượng nghiên cứu: 3

3.2.Phạm vi nghiên cửu: 3

4 Phương pháp nghiên cứ u: 3

5 Cấu trúc khóa luận: 3

PHẦN NỘI DƯNG 6

Chương 1: Cơ sở lý luận 6

1.1 Khái niệm là gì ? 6

1.2.Vai trò của khái n iệm 6

1.2.1.Khái niệm vừa là sản phẩm vừa là phương tiện của quá trình tư duy 6

1.2.2.Khái niệm vừa là cơ sở của khoa học Toán học, vừa là động lực phát triển của Toán học 7

1.2.3.Hình thành các khái niệm Toán học cho học sinh là một trong những nhiệm vụ mấu chốt của dạy học Toán ở trường phổ th ô n g 8

1.3.Nội hàm và ngoại diên của khái niệm 9

1.3.1.Thuộc tính bản chất và thuộc tính đặc trưng của khái niệm 9

1.3.2.Nội hàm và ngoại diên của khái niệm 9

1.4.Định nghĩa khái niệm 10

1.4.1.Một số hình thức định nghĩa khái niệm 10

1.4.2.Khái niệm cơ b ả n 12

1.5 Yêu cầu của dạy học khái niệm: 13

1.6 Các con đường dạy học khái niệm 14

1.7.1 Các giai đoạn chủ yếu của con đường quy n ạ p 14

1.7.2 Ưu nhược điểmvà điều kiện hoạt động của con đường quy nạp trong dạy học khái niệm 18

1.11 Việc sử dụng con đường quy nạp trong dạy học khái niệm Toán ở THPT 19

l l l l H ệ thống hóa các khái niệm Toán trong SGK ỞTHPT 19

Chương 2.Vận dụng con đường quy nạp trong việc dạy học khái niệm 26

toán học ở trường TH PT 26

2.1 Dạy học khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến 26

2.2 Dạy học khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ 29

2.Dạy học khái niệm tam thức bậc h a i 31

2.4 Dạy học khái niệm vectơ pháp tuyến của đường th ẳn g 34

2.5 Dạy học khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng 35

2.6 Dạy học khái niệm cấp số cộng 37

2.7 Dạy học khái niệm cấp số nhân 40

2.8 Dạy học khái niệm hàm số liên tục: 44

2.9 Dạy học khái niệm phép biến hình 47

2.10 Dạy học khái niệm phép dời h ìn h 49

2.11 Dạy học khái niệm hai mặt phẳng song song 52

2.12 Dạy học khái niệm nguyên hàm 53

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

PHẢN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Luật giáo dục nước ta đã chỉ rõ:Phương pháp (PP) giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh (HS), phù hợp với đặc điểm của từng môn học trong nhà trường phổ thông Trong nhà trường, môn Toán giữ vị trí hết sức quan trọng Những tri thức và kĩ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong Toán học trở thành những công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế Vì vậy Toán học

là một thành phần không thể thiếu trong trình độ văn hóa phổ thông của con người Tuy nhiên, đối với học sinh đây là môn học có tính trừu tượng hóa cao độ

và là môn học khó và các khái niệm là nguồn gốc của những khó khăn, trở ngại đối với học sinh yếu về toán, các em thậm chí không hiểu các khái niệm cơ bản

về toán học Vì vậy, trong việc dạy học Toán, cũng như bất cứ một khoa học nào

ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng kiến thức đã học Quá trình hình thành khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới khách quan cho học sinh.Dạy học khái niệm Toán học là một trong các tình huống điển hình trong dạy học môn Toán Các con đường tiếp cận khái niệm (như con đường suy diễn, con đường quy nạp, con đường kiến thiết) mỗi con đường đều có những ưu, nhược điểm riêng,tùy theo từng trường hợp cụ thể mà giáo viên chọn cho mình một con đường thích hợp Theo tôi, việc học tập phải là một quá trình tích cực trong đó học sinh kiến tạo ý tưởng mới hay khái niệm mới trên cơ sở vốn kiến thức của họ, việc học phải làm sao khuyến khích học sinh tìm ra các dữ kiện và các mối liên hệ giữa các dữ kiện đó Và đối với

GVHD: ThS Dưong Thị Hà 1

việc học tập Toán học, tôi cũng tin rằng: "Toán học học được nhờ quá trình

đó sẽ được hiểu tốt hơn và dễ dàng hơn so với việc học được bằng cách thụ động" Khi xây dựng đề tài này tôi đặc biệt quan tâm tới ý kiến sau đây của

GS Nguyễn Cảnh Toàn:"Việc dạy Toán chỉ với mục đích truyền thụ kiến thức

sẽ dẫn tới việc coi trọng suy diễn và xem nhẹ quy nạp.Nhưng nếu đặt vấn đê rèn luyện óc thông minh sang tạo cho học sinh thì vai trò của quy nạp sẽ lên ngang với suy diễn” Hi vọng rằng con đường quy nạp là cầu nối đưa học sinh tới các khái niệm Toán học một cách dễ dàng hơn.Là một sinh viên sắp ra trường, với mong muốn nắm vững kiến thức phương pháp, nắm chắc kiến thức ở bậc THPT tạo tiền đề cho việc sau này dạy học, giúp học sinh không chỉ giảm bớt những khó khăn mà còn phát huy năng lực hoạt động tích cực của học sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung (trừu tượng hóa, khái quát hóa) và tạo điêu kiện nâng cao tính độc lập khi đưa ra khái niệm nên tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là:

“Dạy học một số khái niệm trong môn Toán THPT bằng con đường quy nạp”

+ Đe xuất một số tình huống dạy học khái niệm Toán học theo con đường quy nạp để thấy rõ ưu nhược điểm của con đường này, từ đó áp dụng vào việc dạy học khái niệm trong nhà trường phố thông, nhằm nâng cao chất lượng dạy học

2.2.Nhiệm vụ nghiên cún:

+ Nghiên cứu cơ sở lí luận về phương pháp dạy học khái niệm Toán, đặc biệt

là con đường quy nạp

+ Tổ chức dạy học một số khái niệm Toán THPT theo con đường quy nạp

3.ĐỐÌ tượng - phạm vi nghiên cứu:

3.1.ĐỐÌ tượng nghiên cứu:

+ Cơ sở lý luận của PPDH khái niệm bằng con đường quy nạp

+ Khái niệm Toán học

+ Quá trình dạy học khái niệm Toán học

+ Giáo viên và học sinh

3.2.Phạm vi nghiên cứu:

+ Một vài khái niệm Toán học cơ bản trong chương trình Toán THPT

4 Phương pháp nghiên cứu:

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận

+ Phương pháp quan sát, điều tra

+ Phương pháp tống kết kinh nghiệm

5 Cấu trúc khóa luận:

3.1 Đối tượng nghiên cứu

3.2 Phạm vi nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

5 Dự kiến cấu trúc khóa luận

Phần nội dung

Chương 1: Cơ sở lý luận

1.1 Khái niệm là gì?

1.2 Vai trò của khái niệm

1.3 Nội hàm và ngoại diên của khái niệm

1.4 Định nghĩa khái niệm

1.5 Yêu cầu dạy học của khái niệm

1.6 Các con đường dạy học của khái niệm

1.7 Con đường quy nạp

1.8 Việc sử dụng con đường quy nạp trong dạy học khái niệm Toán ở THPT Chương 2: Vận dụng con đường quy nạp trong việc dạy học một số khái niệm Toán ở THPT

2.1 Dạy học khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

2.2 Dạy học khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ

2.3 Dạy học khái niệm tam thức bậc hai

2.4 Dạy học khái niệm vectơ pháp tuyến của đường thẳng

2.5 Dạy học khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng

2.6 Dạy học khái niệm cấp số cộng

2.7 Dạy học khái niệm cấp số nhân

2.8 Dạy học khái niệm hàm số liên tục tại một điểm

2.9 Dạy học khái niệm phép biến hình

2.10 Dạy học khái niệm phép vị tự

2.11 Dạy học khái niệm hai mặt phẳng song song

2.12 Dạy học khái niệm nguyên hàm

Phần kết luận, khuyến nghị

Tài liệu tham khảo

GVHD: ThS Dưong Thị Hà 5

PHẦN NỘI DUNG Chương l:Cơ sở lý luận 1.1 Khái niệm là gì ?

Theo Alain Rieunier (2001):

• Khái niệm là một tư tưởng tổng quát và trừu tượng được gán cho một lóp

các đối tượng và dùng để tổ chức các kiến thức

Theo Nguyễn Bá Kim:

• Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng.

Ngoài ra còn có một số hình thức định nghĩa về khái niệm khác như:

• Khái niệm là một đối tượng, một hình thức cơ bản của tư duy (bao gồm một

ý tưởng, một ý nghĩa của một tên gọi chung trong phạm trù logic, hoặc một

sự suy diễn) phản ánh những thuộc tính chung, bản chất của các đối tượng

sự vật, quá trình, hiện tượng trong tâm lý học và mối liên hệ cơ bản nhất các đối tượng trong hiện thực khách quan

• Khái niệm là một hình thức tư duy, có chức năng phản ánh những mối quan

hệ tương đối bền vững và ổn định ở trong mỗi sự vật thể hiện những thuộc tính, bản chất sự vật ấy

Khái niệm tuy được diễn đạt không giống nhau nhưng về bản chất là như nhau Ta có thế hiểu khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng

1.2 Vai trò của khái niệm

1.2.1 Khái niệm vừa là sản phẩm vừa là phương tiện của quá trình tư duy

Trong việc nhận thức thế giới, con người có thể đạt tới các mức độ nhận thức khác nhau, từ thấp tới cao, từ đơn giản tới phức tạp Hai mức độ nhận thức thế giới của con người là:

Nhận thức cảm tính (bao gồm cảm giác và tri giác), trong đó con người phản ánh những cái bên ngoài, những cái đang trực tiếp tác động đến các giác quan của con người.

Nhận thức lí tính (còn gọi là tư duy), trong đó con người phản ánh những cái bản chất bên trong, những mối quan hệ có tính quy luật

Tư duy là mức độ nhận thức quan trọng, cơ bản nhất của con người để hiểu

và cải tạo thế giới

Kết quả của hành động (quá trình) tư duy là đi đến những sản phẩm trí tuệ: khái niệm, phán đoán, suy luận

Đen lượt mình, các khái niệm, các phán đoán đã được khắng định, các hình thức suy luận lại tạo cơ sở cho tư duy Tư duy không thể tách rời khái niệm, phán đoán và suy luận

Xét dưới quan điểm của logic hình thức, thì tư duy là hợp thành của ba yếu tố: khái niệm, phán đoán và suy luận

Như vậy khái niệm là một yếu tố không thể thiếu trong hoạt động tư duy của con người

1.2.2 Khái niệm vừa là cơ sở của khoa học toán học, vừa là động lực phát triển của toán học

Dù cho nguồn gốc của toán học là thực nghiệm, thì Toán học chủ yếu vẫn

là một khoa học suy diễn, nghĩa là một khoa học được xây dựng từ những khái niệm cơ bản và những tiên đề nhờ việc áp dụng những quy tắc và phương pháp suy luận logic Các khái niệm học trước là cơ sở xây dựng các khái niệm sau, các khái niệm sau được định nghĩa, minh họa, mô tả nhờ vào các khái niệm học trước, chúng tạo nên một hệ thốngtrong khoa học toán học mà ta có thể sơ đồ hóa như sau:

GVHD: ThS Dương Thị Hà 1

Hê tiên đê

1.2.3 Hình thành các khái niệm toán học cho học sinh là một trong những nhiệm vụ mấu chốt cùa dạy học toán ở trường phố thông

Hai trong các mục đích chủ yếu của dạy học Toán ở trường THPT là:

Cung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc những kiến thức và kỹ năng Toán học

Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ,chủ yếu là rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy, khả năng quan sát và tưởng tượng, rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

Việc hình thành khái niệm cho học sinh cần đạt được các mục tiêu:

“Trong việc dạy học Toản,cũngnhư việc dạy học bất cứ một khoa học nào khác ở trường phố thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc chohọc sinh một hệ thốngkhái niệm Đó là kiến thức Toán học của học sình, là một tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát

triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh (qua việc nhận thức đủng đắn quá trình phát sinh và phát trỉến các khái niệm toán học) ” (Hoàng Chúng, 1995, tr.l 16)

1.3 Nội hàm và ngoại diên của khái niệm

1.3.1 Thuộc tính bản chất và thuộc tính đặc trưng của khái niệm

• Thuộc tính bản chất của một đối tượng là thuộc tĩnh gắn liền với đối tượng Neu mất thuộc tính này, thì đối tượng không còn là nó, mà là một đối tượng khác Thuộc tính bản chất là điều kiện cần đế xác định đối tượng

• Thuộc tính bản chất của một khái niệm là thuộc tính chung của mọi đối tượng được phản ánh trong khái niệm

• Thuộc tính đặc trung của một khái niệm là thuộc tính mà chỉ có những đối tượng được phản ánh trong khái niệm mới có Thuộc tính này là điều kiện cần và đủ để xác định đối tượngbản chất của nó

1.3.2 Nội hàm và ngoạỉ diên của khái niệm

• Nội hàm của một khái niệm là tập hợp tất cả các thuộc tính bản chất của khái niệm, nghĩa tập hợp tất cả các thuộc tính chung, bản chất của tất cả các đối tượng được phản ánh trong khái niệm

• Ngoại diên (phạm vi) của một khái niệm là tập hợp tất cả các đối tượng

có những thuộc tính chung, bản chất được phản ánh trong khái niệm

Ví dụ: Các thuộc tính sau nằm trong nội hàm của khái niệm hình chóp đều:+ Hình chóp có đáy là đa giác đều

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

Ngoại diên của khái niệm này là tập hợp tất cả các hình chóp

• Quan hệ giữa nội hàm và ngoại diên : Nội hàm càng rộng thì ngoại diên càng hẹp, nội hàm càng hẹp thì ngoại diên càng rộng

GVHD: ThS Dương Thị Hà 9

Chẳng hạn,nếu ta mở rộng nội hàm của khái niệm hình chóp bằng cách bổ sung đặc điểm “đáy là đa giác đều” ta sẽ được lớp các hình chóp đều là

bộ phận thật sự của hình chóp

1.4 Định nghĩa khái niệm

1.4.1 Một số hình thức định nghĩa khái niệm

• Định nghĩa bang cách nêu rõ loại và thuộc tính đặc trưng của chủng

Logic hình thức vạch rõ ràng, định nghĩa một khái niệm không nhất thiết phải kèm theo việc nêu ra tất cả các thuộc tính bản chất của khái niệm đó Vả lại, điều này cũng có thể thực hiện được, vì tập hợp tất cả các thuộc tính này (nội hàm của khái niệm) thường rất đồ sộ

Đe vượt qua trở ngại này, phương pháp khá phổ biến là làm rõ nội hàm của khái niệm cần định nghĩa bằng cách chỉ ra khái niệm loại gần nhất của nó (nó thuộc loại nào) và dấu hiệu cho phép phân biệt các đối tượng phản ánh trong khái niệm cần định nghĩa với các đối tượng khác thuộc loại vừa nêu Đó chính là cách định nghĩa bằng cách nêu rõ loại và thuộc tính đặc trưng của chúng

Ta có thể sơ đồ hóa hình thức định nghĩa này như sau:

Khái niệm được

của chúng (diễn tả khác(Khái niệm mới)

biêt về chúnsl

(Def là viết tắt của từ definition - định nghĩa, dùng để phân biệt định nghĩa với mệnh đề, định lí)

Ví dụ:Định nghĩa khái niệm Lăng trụ đứng

“Một hình lăng trụ được gọi là lăng trụ đứng nếu các cạnh bên của nó vuông góc với đáy”

Định nghĩa này có thê phát biêu dưới dạng:

Lăng trụ đứng (khái niệm mới)

là hình lăng trụ (khái niệm loại)

có các cạnh bên vuông góc với (khái niệm đặc trưng của

Định nghĩa theo hình thức trên là đi từ khái niệm có ngoại diên rộng hơn đến khái niệm có ngoại diên hẹp hơn và thường được dùng để định nghĩa các khái niệm đối tượng

Ví dụ: Hình hộp — hình lăng trụ^hình lăng trụ đứng—»hình lăng trụ đều

—» hình hộp đứng —» hình hộp chữ nhật—» hình lập phương

• Định nghĩa bằng cách nêu rõ thuộc tính đặc trưng của chủng, còn khái niệm loại chỉ xuất hiện ngầm ẩn

Ví dụ 1: Định nghĩa khái niệm hai đường thẳng song song trong không gian

“Hai đường thẳng gọi là song song nếu chứng đồng phang và không có điểm chung”

Các khái niệm về quan hệ như hai đường thắng chéo nhau, hai phương trình tương đương ) thường được định nghĩa dưới hình thức này

* Trường hợp đặc b iệ t: Định nghĩa có sử dụng các lượng từ V, 3

Ví dụ: “Một đường thắng A gọi là vuông góc với (P) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng đó”

• Định nghĩa bang kiến thiết

Trong trường hợp này, người ta không vạch rõ khái niệm loại (nó thuộc loại nào) cũng như các thuộc tính bản chất của chủng, mà mô tả cách tạo ra đối tượng được xem là tổng quát và đại diện cho lớp đối tượng xác định khái niệm

Ví dụ: Cho hai hình tròn bằng nhau C(0,R) và С (О Д ’) có trục chung OO’

ứng với mỗi điểm M thuộc C(0,R), ta dựng điểm M’ sao cho MM' = 0 0 ' Khi

GVHD: ThS Dưong Thị Hà 11

điểm M chạy khắp hình tròn C(0,R), đoạn MM’ tạo thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay, được gọi tắt là hình trụ”

• Định nghĩa bang truy hồi

Có thể coi đây là trường hợp đặc biệt của kiến thiết

Ví dụ: Dãy (un) được định nghĩa như sau:

• Định nghĩa bằng quy ước

Vấn đề là nêu lên ý nghĩa của kí hiệu, danh từ mà ta mới đưa vào

Ví dụ: “Cho a là số thực khác 0 Ta định nghĩa a° = 1, a~l = —

• Định nghĩa bằng “phô bày ”

Định nghĩa bằng hình thức này không vạch rõ khái niệm loại cũng như thuộc tính bản chất của khái niệm, mà đơn thuần chỉ là sự “dán nhãn” cho một đối tượng được coi là tổng quát và đại diện cho lóp các đối tượng cụ thể xác định khái niệm đó

Ví dụ: Định nghĩa các khái niệm phương tích của một điểm đối với một hình tròn, Phương trình chính tắc của Elip là các định nghĩa phô bày

1.4.2 Khái niệm cơ bản

Định nghĩa một khái niệm đòi hỏi phải sử dụng một số khái niệm đã biết trước đó Cứ tiếp tục như thế, ắt phải đi đến các khái niệm ban đầu không được

định nghĩa Ta gọi đó là các khái niệm cơ bản của Toán học Chẳng hạn như khái niệm Điểm, Đường thẳng, Mặt phẳng, Tập hợp, Quy tắc,

Chú ý:

4- Nói các khái niệm đầu tiên này không được định nghĩa, theo nghĩa không được định nghĩa một cách tường minh, định nghĩa thông qua mô tả

4- Trong toán học, ngoài các khái niệm được định nghĩa và các khái niệm cơ

bản, cũng còn có những khái niệm khác, có “tên”, không có định nghĩa và được sử dụng một cách tường minh như khái niệm “Tham số”

1.5 Yêu cầu của dạy học khái niệm:

“Trong việc dạy học toán, cũng như ở việc dạy học bất kỳ các môn khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng nhất là hình thành vững chắc cho học sinh một hệ thống các khái niệm Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ,đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh”

Nhiệm vụ của dạy học khái niệm bao gồm: Dạy học tiếp cận khái niệm, củng cố khái niệm và phân chia khái niệm

Việc dạy học khái niệm Toán học ở trường trung học phổ thông phải làm cho học sinh dần dần đạt được các yêu cầu sau:

a Nắm vững các đặc điểm đặc trung cho một khái niệm

b Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem đối tượng cho trước

có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước

c Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa của một khái niệm

d Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và áp dụng vào thực tiễn

e Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

GVHD: ThS Dương Thị Hà 13

Những yêu cầu trên đây, có quan hệ chặt chẽ với nhau, song vì lí do sư phạm, các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ở mức độ như nhau với mọi khái niệm Chang hạn, khái niệm về “hướng của vecto” không được nêu thành định nghĩa một cách tường minh mà chỉ được diễn tả một cách trực quan dựa vào kinh nghiệm sống của học sinh.

1.6Các con đườngdạy học khái niệm

Việc dạy học khái niệm Toán học có thể được thực hiện theo những con đường khác nhau Nhưng nói chung,đa số các khái niệm toán học ở trường phổ thông, thường được dạy học theo ba con đường cơ bản sau:

+ Con đường suy diễn

+ Con đường quy nạp

+ Con đường kiến thiết

Mỗi con đường đều có những đặc trưng riêng nhưng chúng đều nhằm hìnhthành một khái niệm mới, tùy theo từng khái niệm mà GV chọn cho mình con đường phù họp Trong khuôn khổ luận văn này tôi chủ yếu nghiên cứu về con đường quy nạp

1.7 Con đường quy nạp

1.7.1 Các giai đoạn chủ yếu của con đường quy nạp

• Bước 1: Nghiên cứu một số trường hợp đơn lẻ và phác thảo định nghĩa

Giáo viên tổ chức cho học sinh nghiên cứu một số đối tượng riêng lẻ thuộc lớp các đối tượng xác định khái niệm cần định nghĩa và một vài đối tượng không thuộc lớp này, trong đó khái niệm xuất hiện dưới hình thức “có tên nhưng chưa

có định nghĩa” Tên của khái niệm do giáo viên thông báo, nhưng chưa cho định nghĩa khái niệm

Học sinh, dưới sự hướng dẫn của giáo viên,sẽ khám phá dần dần các thuộc tĩnh bản chất của khái niệm (nhờ vào các thao tác tư duy phân tích, so sánh, tống hợp) thể hiện trong các trường hợp đơn lẻ, cụ thể được nghiên cứu Từ đó, nhờ

vào thao tác khái quát hóa, trùn tượng hóa, học sinh trình bày phác thảo ban đầu

về định nghĩa khái niệm

Học sinh tiếp xúc với khái niệm, trước khi tìm cách định nghĩa nó Qua quan sát, phân tích các trường họp đơn lẻ mà học sinh hình thành (hay điều chỉnh) các biểu tượng được phản ánh trong khái niệm để đi đến xây dựng định nghĩa

Nói cách khác, khái niệm được trừu tượng hóa khỏi các khái niệm đơn lẻ của các tri giác riêng biệt và biểu tượng, là kết quả của khái quát hóa các tri giác

và biểu tượng này

Chú ý: Tên của khái niệm có thể được giáo viên thông báo vào một thời điểm thích hợp (không cố định): ngay từ đầu, hoặc sau khi học sinh nghiên cứu các trường hợp cụ thể đã cho,

Như vậy, mục đích chính của bước này là:

- Hình thành (hay điều chỉnh) biểu tượng về khái niệm

- Phát hiện một số thuộc tính bản chất của khái niệm

- Phác thảo định nghĩa khái niệm

• Bước 2: Trình bày định nghĩa chính thức

Trên cơ sở phác thảo định nghĩa của học sinh, giáo viên tổ chức cho họ tìm cách bổ sung, hoàn chỉnh,sau đó trình bày định nghĩa chính thức của khái niệm

và các kí hiệu liên quan

• Bước 3: Củng cố và vận dụng khái niệm

Cho các ví dụ, phản ví dụ và các bài tập củng cố khái niệm Người ta cũng

có thể nghiên cứu các thuộc tính (tính chất) khác của khái niệm (thường được cho dưới dạng định lí, hệ quả, ), hay có thể đưa vào các vấn đề trong đó cáckhái niệm được coi như là công cụ để giải quyết

Quá trình tiếp cận khái niệm chưa kết thúc khi phát hiện được định nghĩa khái niệm đó Một khâu quan trọng là củng cố khái niệm, khâu này thường được thực hiện bằng các hoạt động sau đây:

GVHD: ThS Dương Thị Hà 15

- Nhận dạng và thể hiện khái niệm

- Hoạt động ngôn ngữ

- Khái quát hóa, đặc biệt hóa

- Hệ thống hóa khái niệm, vận dụng khái niệm đã học

• Nhận dạng và thế hiện

Một trong những biểu hiện của chủ nghĩa hình thức trong quá trình họcmôn Toán là học sinh học thuộc cách phát biểu định nghĩa nhưng lại không nhậnbiết được một đối tượng cụ thế trong những tình huống khác nhau có thỏa mãn định nghĩa ấy hay không, không tự mình tạo ra được những đối tượng thỏa mãn định nghĩa Vì vậy, cần phải cho học sinh tiến hành những hoạt động “nhận dạng” và “thể hiện” để tránh và khắc phục tình trạng này

Vĩ dụ: Sau khi học sinh đã biết định nghĩa hai đường thẳng song song,hai đường thẳng chéo nhau thì nên cho học sinh tiến hành những hoạt động nhận dạng và thể hiện như:

+ Quan sát một tứ diện và có nhận xét gì về vị trí tương đối của sáu đường thẳng chứa sáu cạnh?

+ Cho hai đường thắng chéo nhau a, b và xét hai đường thẳng phân biệt

c, d cắt cả a lẫn b thì c và d không thể là hai đường thẳng song song

Việc nhận dạng và thể hiện khái niệm có thể dựa vào định nghĩa khái niệm cũngcó thể dựa vào các điều kiện cần, điều kiện đủ khác

Ví dụ, để nhận dạng và thể hiện khái niệm “Hai đường thẳng song song trong không gian” thì ngoài định nghĩa “Trong không gian, hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung và cùng nằm trên một mặt phang nào đó” thì còn có thể sử dụng định lí “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phang thì song song với nhau”hoặc định lí “Một mp (P) cắt hai mặt phang phân biệt (Q) và (R) theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song”

• Hoạt động ngôn ngữ

Đe giúp học sinh củng cố khái niệm và phát triển ngôn ngữ, cần chú ý hướng dẫn và khuyến khích học sinh diễn đạt một định nghĩa dưới nhiều hình thức khác nhau, bằng lời lẽ của bản thân

• Khái quát hóa, đặc biệt hóa

Khái quát hóa khái niệm - một hoạt động quan trọng cần rèn luyện cho họcsinh

Chẳng hạn, từ khái niệm tiếp tuyến của một đường tròn tới khái niệm tiếp tuyến của một đường cong, từ các khái niệm vận tốc tức thời của một chuyển động, hệ số góc của một tiếp tuyến tới khái niệm đạo hàm của một hàm số Ngược lại với hoạt động khái quát hóa là đặc biệt hóa

• Hệ thong hóa khái niệm và vận dụng khái niệm

Hệ thống hóa khái niệm, chủ yếu là biết sắp khái niệm mới vào hệ thống khái niệm đã học, nhận biết mối quan hệ giữa những khái niệm khác nhau trong

hệ thống khái niệm, đặc biệt chú ý đến quan hệ chủng - loại giữa hai khái niệm.Sau khi truyền thụ một khái niệm, cần tạo cơ hội cho học sinh vận dụng nó vào những bài toán, những hoạt động khác nhau, đặc biệt là những bài toán chứng minh Điều đó vừa có tác dụng củng cố, đào sâu khái niệm, lại vừa góp phần phát triển năng lực giải toán

Trong hoạt động trên thì hoạt động “nhận dạng và thể hiện” khái niệm có vai trò đặc biệt quan trọng vì các hoạt động này có tác dụng tích cực không chỉ trong giai đoạn củng cố khái niệm mà còn trong giai đoạn hình thành khái niệm

và vận dụng khái niệm, hơn nữa chúng là biện pháp chủ yếu để chống và khắc phục chủ nghĩa hình thức trong học tập

■ Sơ đồ hóa tiến trình:

Trong tiến trình này, khái niệm xuất hiện chủ yếu như là đối tượng nghiêncún Nó có cơ chế công cụ chỉ ở những thời điếm mà người ta sử dụng nó như làphương tiện để giải quyết vấn đề

GVHD: ThS Dương Thị Hà 17

Nghiên cửu các trường hợp đơn lẻđể:

- Phát hiện một số thuộc tính bản

chất của khái niệm

- Hình thành (hay điều chỉnh)

biểu tượng về khái niệm

- Phác thảo định nghĩa khái niệm

+ Thuận lợi cho việc phát huy hoạt động tích cực của học sinh

+ Góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo điều kiện cho họ nâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa

+ Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.

+ Khi đã định hình được một số đối tượng thuộc phạm vi của khái niệm cần hình thành

1.11 Việc sử dụng con đường quy nạp trong dạy học khái niệm Toán ở

* Khái niệm điều kiện cần và đủ

* Khái niệmtập con,tập họp bằng nhau, phép hợp, phép giao, hiệu hai tập họp

* Khái niệm sai số tuyệt đối và sai số tương đối, chữ số chắc

* Khái niệm hàm số, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, hàm số chẵn, hàm số lẻ

* Khái niệm hàm số bậc hai

* Khái niệm phương trình một ấn, phương trình hệ quả

* Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

* Khái niệm bất phương trình một ẩn, bất phương trình tương đương

* Khái niệm nhị thức bậc nhất

* Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

* Khái niệm tam thức bậc hai

* Khái niệm bất phương trình bậc hai

* Khái niệm tần số, tần suất

* Khái niệm số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn

GVHD: ThS Dương Thị Hà 19

* Khái niệm đơn vị đo rađian, góc lượng giác, số đo của góc lượng giác, cung lượng giác, số đo của cung lượng giác.

* Khái niệm đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác sin, cos, tan, cot

4- Hình học

* Khái niệm vectơ, vectơ không, hai cùng phương, hai vectơ bằng nhau

* Khái niệm tổng của hai vectơ, vectơ đối của một vectơ, hiệu của hai vectơ, tích của một vectơ với một số

* Khái niệm trục tọa độ, tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ, tọa độ cuả điểm

* Khái niệm giá trị lượng giác của một góc bất kì (0° đến 180°)

* Khái niệm góc giữa hai vectơ, tích vô hướng của hai vectơ

* Khái niệm vectơ pháp tuyến của đường thẳng, vectơ chỉ phương của đường thăng

* Khái niệm đường elip, tâm sai của elip, đường Hypebol, đường Prabol, đường Cônic

• Lớp 11

i- Đại số và giải tích

* Khái niệm hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx, hàm

tuần hoàn

* Khái niệm hoán vị, chỉnh họp,tổ hợp

* Phép thử ngẫu nhiên, biến cố, xác suất của biến cố, thống kê của sác xuất

* Khái niệm biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến cố giao, biến

cố độc lập, biến ngẫu nhiên rời rạc

* Khái niệm kì vọng,phương sai, độ lệch chuẩn

* Khái niệm dãy số,dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn

* Khái niệm cấp số cộng, cấp số nhân

* Khái niệm dãy sô có giới hạn 0, dãy sô có giới hạn hũu hạn, dãy sô có giới

* Khái niệm vi phân của hàm số tại một điếm

* Khái niệm đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao

4- Hình học

* Khái niệm phép biến hình, phép tịnh tiến, phép dời hình

* Khái niệm phép đối xứng trục, phép đối xứng của một hình

* Khái niệm phép quay, phép đối xứng tâm, tâm đối xứng của một hình

* Khái niệm hai hình bằng nhau

* Khái niệm phép vị tự, phép đồng dạng, hai hình đồng dạng

* Khái niệm hình chóp

* Khái niệm hai đường thẳng song song

* Khái niệm đường thẳng song song với mặt phang

* Khái niệm hai mặt phang song song

* Khái niệm phép chiếu song song, hình biểu diễn của một hình trong không gian

* Khái niệm sự đồng phang của các vectơ

* Khái niệm góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc

* Khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phang, phép chiếu vuông góc,góc giữa đường thẳng và mặt phang

* Khái niệm góc giữa hai mặt phang, hai mặt phang vuông góc

GVHD: ThS Dương Thị Hà 21

* Khái niệm hình lăng trụ đứng, hình lăng trụ đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

* Khái niệm hình chóp đều, hình chóp cụt đều

* Khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, mặt phẳng, giữađường thẳng và mặt phang song song, giữa hai mặt phang song song, giữa hai đường chéo nhau

• Lóp 12

4- Giải tích

* Khái niệm cực trị của hàm số

* Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

* Khái niệm tiêm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên của hàm số

* Khái niệm sự tiếp xúc của hai đường cong

* Khái niệm lũy thừa với số mũ 0, số mũ nguyên âm, căn bậc n, lũy thừa

vớisố mũ hữu tỉ, lũy thừa với số mũ thực.

* Khái niệm lôgarit, lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên

* Khái niệm hàm số mũ, hàm số lôgarit

* Khái niệm hàm lũy thừa

* Khái niệm nguyên hàm, khái niệm tích phân

* Khái niệm số phức, phép cộng, trò, nhân số phức, số phức liên hợp Môđuncủa số phức, phép chia cho số phức khác 0, căn bậc hai của số phức,Acgumen của số phức z ^ 0, dạng lượng giác của số phức

4- Hình học

* Khái niệm hình đa diện, khối đa diện, phép dời hình trong không gian, hai hình bằng nhau

* Khái niệm khối đa diện lồi, khối đa diện đều

* Khái niệm về thể tích khối đa diện

* Khái niệm mặt nón tròn xoay, diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, thế tích khối nón tròn xoay.

* Khái niệm mặt trụ tròn xoay, diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay, thể tích của khối trụ tròn xoay

* Khái niệm mặt cầu, điểm nằm trong và ngoài mặt cầu

* Khái niệm hệ trục tọa độ trong không gian, tích có hướng của hai vectơ

* Khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phang, phương trình tổng quát của mặt phang

* Khái niệm phương trình tham số của đường thẳng

Sau khi hệ thống hóa các khái niệm Toán trong SGK/NC, tôi thấy rằng con đường quy nạp có vai trò khá quan trọng bởi có khá nhiều khái niệm

mà SGK đã tiếp cận nó bằng con đường này Ví dụ như:

* Khái niệm mệnh đề

* Khái niệm mệnh đề phủ định

* Khái niệm mệnh đê kéo theo

* Khái niệm mệnh đề đảo

* Khái niệm mệnh đề tương đương

* Khái niệm sai số tương đối

* Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến

* Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ

* Khái niệm phương trình hệ quả

* Khái niệm tần số, tần suất

* Khái niệm phương sai, độ lệch chuẩn

* Khái niệm góc lượng giác

* Khái niệm vectơ, vectơ không, hai vectơ cùng phương, hai vectơ bằng nhau

* Khái niệm tổng của hai vectơ, tích của một vectơ với một số

GVHD: ThS Dương Thị Hà 23

* Khái niệm tọa độ của điểm.

* Khái niệm góc giữa hai vectơ,tích vô hướng của hai vectơ

* Khái niệm vectơ pháp tuyến của đường thẳng, khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng

* Khái niệm phép thử ngẫu nhiên, biến cố, xác suất của biến cố

* Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc

* Khái niệm dãy số

* Khái niệm cấp số cộng, cấp số nhân

* Khái niệm dãy số có giới hạn 0.

* Khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn,dãy số có giới hạn vô cực

* Khái niệm dãy số có giới hạn tại vô cực

* Khái niệm hàm số liên tục tại một điểm

* Khái niệm vi phân của hàm số tại một điểm

* Khái niệm phép biến hình

* Khái niệm trục đối xứng của một hình

* Khái niệm phép vị tự

* Khái niệm hai đường thẳng song song

* Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

* Khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

* Khái niệm góc giữa hai mặt phẳng

* Khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

* Khái niệm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

* Khái niệm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên của hàm số

* Khái niệm nguyên hàm

* Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong hệ thống khái niệm vừa liệt kê, tôi đã lựa chọn một số khái niệm sau

và tổ chức dạy học nó bằng con đường quy nạp vào việc dạy học:

* Dạy học khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến (ĐS - 10)

* Dạy học khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ (ĐS - 10)

* Dạy học khái niệm tam thức bậc hai (ĐS - 10)

* Dạy học khái niệm vectơ pháp tuyến của đường thẳng (HH - 10)

* Dạy học khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng (HH - 10)

* Dạy học khái niệm cấp số cộng (ĐS và GT - 11)

* Dạy học khái niệm cấp số nhân (ĐS và GT -11)

* Dạy học khái niệm hàm số liên tục tại một điểm (ĐS và GT -11)

* Dạy học khái niệm phép biến hình (HH -1 1 )

* Dạy học khái niệm phép vị tự (HH -1 1 )

* Dạy học khái niệm hai mặt phang song song (HH -1 1 )

* Dạy học khái niệm nguyên hàm (GT - 12)

Cách thức tổ chức dạy học các khái niệm này sẽ được trình bày theo các bước sau:

Bước 1: Gợi động cơ

Bước 2: Hình thành khái niệm

Bước 3: Củng cổ khái niệm

Và cách thức tổ chức dạy học các khái niệm này sẽ được trình bày chi tiết trong chương hai của đề tài

GVHD: ThS Dương Thị Hà 25