Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 103 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
103
Dung lượng
1,23 MB
Nội dung
MỤCLỤC
MỤCLỤC .............................................................................................................. 4
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ........................................................................ 6
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 7
CHƢƠNG 1 ..........................................................................................................10
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................................10
1.1.Một số khái niệm liên quan đến đề tài .........................................................10
1.1.1.Tư duy ..................................................................................................10
1.1.2.Khái niệm tư duy sáng tạo ....................................................................10
1.2. Phƣơng hƣớng rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh ...............................13
1.2.1.Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST ...............................13
1.2.2. Bồi dưỡng TDSTcần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác ....15
1.2.3. Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc phát hiện vấn
đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới .............................................................16
1.2.4. Bồi dưỡng TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các
khâu của quá trình dạy học ...........................................................................17
1.3. Một số cách dạy học nhằm phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh ............17
1.3.1. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề ..........................17
1.3.2. Dạy học khám phá ...............................................................................18
1.3.3. Dạy học hợp tác ..................................................................................18
1.4. Dạy học giải bài tập toán ở trƣờng trung học phổ thông .........................18
1.4.2. Phương pháp giải bài tập toán học .....................................................20
1.5. Dạy học nội dung giải phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng THPT ......24
1.5.1. Vị trí, nội dung phần phương trình, bất phương trình trong chương
trình toán THPT ............................................................................................24
1.5.2. Thực trạng của việc học phương trình, bất phương trình ở trường phổ
thông hiện nay ...............................................................................................24
1.5.3. Thực trạng của việc dạy phương trình, bất phương trình ở trường
THPT trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ..............................25
CHƢƠNG 2 .........................................................................................................27
PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI
PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH. .......................................................27
2.1. Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh khi giảng dạy lý thuyết ..................27
2.2. Rèn luyện và phát triển một số yếu tố của tƣ duy sáng tạo cho học sinh
thông qua các dạng bài tập giải phƣơng trình, bất phƣơng trình ........................37
2.2.1. Dạng bài tập có nhiều cách giải ..........................................................37
2.2.2. Dạng bài tập rèn luyện suy nghĩ không dập khuôn, máy móc ..................48
4
2.2.3. Bài tập rèn luyện khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp
mới ................................................................................................................55
2.2.4. Dạng bài tập rèn năng lực tư duy như: Tương tự, khái quát hóa, đặc
biệt hóa. ........................................................................................................61
2.2.5. Bài tập tìm sai lầm trong lời giải của bài toán. ...................................66
CHƢƠNG 3 ..........................................................................................................74
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................................................74
3.1.Mục đích, nội dung thực nghiệm sƣ phạm ...................................................74
3.1.1 .Mục đích của thực nghiệm sư phạm ....................................................74
3.1.2.Nội dung của thực nghiệm sư phạm......................................................74
3.2. Tổ chức thực nghiệm ..................................................................................74
3.2.1. Đối tượng và địa bàn thực nghiệm ......................................................74
3.2.2.Kế hoạch thực nghiệm ..........................................................................75
3.2.3. Giáo án thực nghiệm sư phạm .............................................................75
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ......................................................................103
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................105
5
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Viết tắt
Viết đầy đủ
TDST
Tƣ duy sáng tạo
GV
Giáo viên
HS
Học sinh
THPT
Trung học phổ thông
Tr
Trang
BBT
Bảng biến thiên
6
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong mọi hoàn cảnh và mọi thời đại thì phát triển giáo dục và đào tạo là động
lực quan trọng để thúc đẩy đất nƣớc, phát huy nguồn lực con ngƣời. Trong Nghị
quyết hội nghị Trung ƣơng IV của Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng khóa VIII đã
chỉ ra rằng: “Mục tiêu giáo dục đào tạo là đào tạo những con người lao động tự
chủ, tích cực, có năng lực giải quyết vấn đề, góp phần thực hiện mục tiêu lớn của
đất nước là :dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh”.
Và trong luật giáo dục (1998), điều 24 đã quy định: “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh,
phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học...”.
Nhƣ vậy có thể thấy rằng trong các mục tiêu giáo dục thì mục tiêu phát triển trí tuệ
cho học sinh đƣợc đặt lên hàng đầu.Tuy nhiên dạy học trong các trƣờng phổ thông
hiện nay đang đứng trƣớc thực trạng: nội dung dạy học nặng nề về cung cấp kiến
thức, phƣơng pháp dạy học chủ yếu hƣớng đến sử dụng, khai thác trí nhớ và khả
năng tƣ duy tái tạo của học sinh. Có thể là do chịu tác động nặng nề của mục tiêu
thi cử: học để thi đỗ, dạy để có thành tích thi cử tốt nhất. Thực trạng của việc dạy
môn Toán ở trƣờng Trung học phổ thông cũng không tránh khỏi những điều đáng
lo đó.
Để khắc phục điều đó, với lƣợng kiến thức và thời gian phân phối cho môn Toán
đòi hỏi mỗi giáo viên phải có một phƣơng pháp giảng dạy linh hoạt, biện pháp tích
cực. Nhƣ vậy thì mới có thể chuyển tải tối đa lƣợng kiến thức đến học sinh, mới
phát huy đƣợc tƣ duy sáng tạo cho học sinh, để đáp ứng không chỉ học tốt môn
7
Toán mà còn học tốt các môn học khác cũng nhƣ có thể ứng dụng linh hoạt những
kiến thức đã học vào yêu cầu cuộc sống.
Phƣơng trình, bất phƣơng trình là một nội dung quan trọng trong chƣơng trình toán
Đại số và Giải tích ở trƣờng THPT. Để giải đƣợc nhiều bài toán phƣơng trình, bất
phƣơng trình đòi hỏi học sinh phải biết kết hợp sáng tạo các kiến thức đã học có
liên quan trong suốt chƣơng trình THPT. Đây cũng là phần kiến thức có vai trò
quan trọng trong việc phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
Với những lí do nêu trên, với mong muốn góp phần phát triển tƣ duy sáng tạo cho
học sinh, tôi đã chọn đề tài: “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy
học phương trình, bất phương trình ở trường trung học phổ thông ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học phƣơng trình, bất phƣơng
trình ở trƣờng trung học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về tƣ duy, tƣ duy sáng tạo.
- Thiết kế các bài toán giải phƣơng trình, bất phƣơng trình nhằm rèn luyện và phát
triển tƣ duy cho học sinh.
- Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và kết quả của đề tài trong
dạy học.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu quá trình dạy học giải phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng
THPT.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng linh hoạt các biện pháp rèn luyện và phát triển tƣ duy sáng tạo cho
học sinh trong dạy học phƣơng trình, bất phƣơng trình thì sẽ phát huy đƣợc khả
năng tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
8
- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận.
- Phƣơng pháp điều tra, quan sát.
- Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo luận văn
dự kiến đƣợc trình bày trong 3 chƣơng:
- Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
- Chƣơng 2:Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải phƣơng
trình, bất phƣơng trình ở trƣờng trung học phổ thông.
- Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm.
9
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1.Một số khái niệm liên quan đến đề tài
1.1.1.Tư duy
Tƣ duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên
hệ và quan hệ có tính quy luật sự vật, hiện tƣợng trong hiện thực khách quan, mà
trƣớc đó ta chƣa biết.
Tƣ duy không phải là sự ghi nhớ mặc dù nó có thể giúp cho sự hoàn thiện trí nhớ.
Tƣ duy là một hình thức hoạt động của hệ thần kinh thể hiện qua việc tạo ra các
liên kết giữa các phần tử đã ghi nhớ, đƣợc chọn lọc và kích thích chúng hoạt động
để thể hiện sự nhận thức về thế giới xung quanh, định hƣớng cho hành vi phù hợp
với môi trƣờng sống.
Tƣ duy mang tính khái quát, tính gián tiếp, tính trừu tƣợng.
Sản phẩm của tƣ duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận để diễn đạt bằng
những từ, ngữ, câu, kí hiệu……
1.1.2.Khái niệm tư duy sáng tạo
1.1.2.1. Sáng tạo
Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới không bị phụ thuộc, gò bó vào
những cái đã có.
Ba yếu tố cơ bản của sáng tạo là:
- Tính mềm dẻo (Flexibility)
- Tính nhuần nhuyễn (Fluency)
- Tính độc đáo (Originatily)
10
Sáng tạo chỉ mang tính tƣơng đối (sáng tạo đối với ai), trí tƣởng tƣợng là điều kiện
cần để sáng tạo.
1.1.2.2. Bốn giai đoạn của quá trình sáng tạo
Quá trình sáng tạo trải qua 4 giai đoạn:
Giai đoạn 1: Là giai đoạn chuẩn bị cho công việc ý thức, nghĩa là hình thành vấn
đề đang giải quyết và giải quyết bằng các cách khác nhau.Vai trò của giai đoạn này
là huy động các thông tin hữu ích còn tiềm ẩn để có thể cho lời giải cần tìm.
Giai đoạn 2: Giai đoạn này còn đƣợc gọi là giai đoạn ấp ủ, đƣợc bắt đầu khi công
việc có ý thức ngừng lại. Công việc tiếp diễn là của tiềm thức.
Giai đoạn 3: “Giai đoạn bừng sáng trực giác”.Đây là giai đoạn nhảy vọt về chất
trong tiến trình nhận thức để quyết định cho quá trình tìm kiếm lời giải. Sự bừng
sáng trực giác này thƣờng xuất hiện đột nhiên không biết trƣớc hoặc có khi nó xuất
hiện sau khi đã có sự dự cảm sẽ biết đƣợc kết quả.
Giai đoạn 4: Đây là giai đoạn kiểm chứng. Ở giai đoạn này cần phải triển khai lập
luận, chứng minh logic và kiểm tra lời giải nhận đƣợc từ trực giác. Giai đoạn này
rất cần thiết vì tri thức nhận đƣợc bằng trực giác chƣa chắc chắn.
Nhƣ vậy sáng tạo là hoạt động đa dạng và phong phú của con ngƣời. Có thể phân
chia sáng tạo thành hai cấp độ nhƣ sau:
Cấp độ 1: Là hoạt động cải tạo, cải tiến, đổi mới, nâng cao những cái đã có lên một
trình độ cao hơn.
Cấp độ 2: Là hoạt động tạo ra cái mới về chất.
1.1.2.3. Tư duy sáng tạo
Tƣ duy sáng tạo là một dạng tƣ duy độc lập, tạo ra ý tƣởng mới độc đáo và có hiệu
quả giải quyết vấn đề cao.
Ý tƣởng mới đƣợc thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hƣớng đi mới, tạo ra
kết quả mới.
Tính độc đáo của ý tƣởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, không quen thuộc hoặc duy
nhất.
11
Theo J.Danton: “Tƣ duy sáng tạo là năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, những
mối quan hệ mới, là năng lực chứa đựng sự khái quát, sự phát minh, sự đổi mới, trí
tƣởng tƣợng…”
Theo George Polya: “Có thể gọi là tƣ duy có hiệu quả nếu dẫn đến lời giải bài tập
cụ thể nào đó. Có thể gọi là sáng tạo nếu tƣ duy đó tạo ra những tƣ liệu, phƣơng
tiện để giải bài tập”.
Tƣ duy sáng tạo có những yêu cầu về sự tích lũy kinh nghiệm hay tích lũy tri thức,
từ đó tìm ra cách giải quyết vấn đề không theo khuôn mẫu, cách thức định sẵn, gạt
bỏ những hiểu biết về kiến thức thông thƣờng nhƣng vẫn đảm bảo các tính chất cơ
bản nhƣ tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính hoàn thiện.
Tƣ duy sáng tạo là sự vận dụng các kinh nghiệm giải quyết vấn đề này cho những
vấn đề khác. Nếu một ngƣời chỉ có tƣ duy kinh nghiệm thì sẽ lúng túng khi gặp
phải vấn đề nằm ngoài kinh nghiệm.Tuy nhiên nếu ngƣời đó có tƣ duy sáng tạo thì
sẽ thì sẽ giải quyết đƣợc những vấn đề ngoài kinh nghiệm mà họ có.Tƣ duy sáng
tạo nhằm thay đổi kinh nghiệm hay tạo nên các kinh nghiệm mới dựa trên các kinh
nghiệm cũ và qua đó làm phong phú thêm kinh nghiệm để thay đổi về chất cho các
vấn đề, sự vật, sự việc mà nó giải quyết, tạo điều kiện phát triển kĩ năng sáng tạo.
Krutexki chỉ ra 3 vòng tròn đồng tâm phản ánh mối quan hệ của ba dạng tƣ duy nói
lên điều kiện cần của TDST là tƣ duy độc lập và tƣ duy tích cực.
- Tƣ duy tích cực (Học sinh chú ý nghe thầy
chứng minh định lí và cố gắng hiểu)
- Tƣ duy độc lập (Học sinh tự đọc định lí,
tự giải một bài toán dƣới sự hƣớng dẫn của
thầy giáo)
- Tƣ duy sáng tạo (Học sinh tự khám phá ra
12
định lí, bài toán mà trƣớc đó học sinh đó
chƣa biết)
Nhƣ vậy có thể nói tƣ duy sáng tạo là sự kết hợp ở đỉnh cao, hoàn thiện nhất của tƣ
duy tích cực và tƣ duy độc lập, nó tạo ra cái mới có tính giải quyết vấn đề một cách
hiệu quả và chất lƣợng.
1.2. Phương hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh
(Phần này được trình bày dựa theo cuốn khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của
HS)
1.2.1.Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST
Trong quá trình dạy học ngƣời giáo viên cần chú trọng, chú ý bồi dƣỡng từng yếu
tố cụ thể TDST nhƣ tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo.
●Tính mềm dẻo của tƣ duy sáng tạo.
Tính mềm dẻo của tƣ duy sáng tạo đƣợc thể hiện chủ yếu qua hai đặc trƣng nổi bật
sau:
- Một là năng lực chuyển hóa trong tƣ duy tức là chuyển từ cách nhìn này sang
cách nhìn khác; từ giải pháp này sang giải pháp khác. Năng lực điều chỉnh kịp thời
hƣớng suy nghĩ khi hƣớng suy nghĩ cũ không giải quyết đƣợc vấn đề hoặc khi gặp
trở ngại.
-Hai là suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng máy móc những kinh nghiệm,
kiến thức, kĩ năng đã có, đã biết vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới mà trong đó đã
có những yếu tố thay đổi. Cần có năng lực nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen
thuộc, chức năng mới của đối tƣợng quen biết.
●Tính nhuần nhuyễn của tƣ duy sáng tạo.
Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của
tình huống hoàn cảnh, đƣa ra giả thuyết mới, ý tƣởng mới.
Tính nhuần nhuyễn đƣợc đặc trƣng bởi khả năng tạo ra một số lƣợng nhất định các
ý tƣởng, là sự đa dạng của các cách xử lí bài toán, tìm nhiều giải pháp giải quyết
một bài toán dƣới nhiều góc độ khác nhau, tình huống khác nhau. Số ý tƣởng càng
nhiều thì có nhiều khả năng xuất hiện ý tƣởng độc đáo.
Tính nhuần nhuyễn của tƣ duy thể hiện rõ nét ở hai đặc trƣng sau:
-Một là: Tính đa dạng của các cách xử lí khi giải toán, khả năng tìm đƣợc nhiều
giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trƣớc một vấn đề phải
13
giải quyết, ngƣời có tƣ duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất đƣợc nhiều
phƣơng án khác nhau và từ đó tìm đƣợc phƣơng án tối ƣu.
-Hai là: Khả năng xem xét đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cái
nhìn sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật và hiện tƣợng chứ không phải cái
nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
Trong mỗi bài toán đều có những đối tƣợng, những quan hệ mà ta có thể nhìn
chúng dƣới những góc độ khác nhau, khía cạnh khác nhau. Tuy nhiên trong thực tế
khi giải toán thì học sinh thƣờng có thói quen khi đã nghĩ ra một cách giải đối với
một bài tập nào đó thì coi nhƣ chỉ biết đến cách đó mà thôi và coi nhƣ đã giải
xong. Hầu hết các em không có thói quen đi tìm một hƣớng giải khác mà thƣờng
coi hƣớng giải đã biết đó là duy nhất, cứ thế áp dụng nếu gặp bài toán tƣơng tự.
Làm nhƣ vậy sẽ không phát triển đƣợc tƣ duy, khả năng sáng tạo càng không có.
Và các em sẽ dễ dàng bị thất bại nếu gặp một bài toán hơi khác bài mà các em đã
biết. Chính vì vậy mà nhiệm vụ của ngƣời giáo viên cần cho học sinh tìm nhiều lời
giải cho một bài toán, qua các lời giải đó tìm lời giải tối ƣu nhất. Với việc làm nhƣ
vậy học sinh sẽ đƣợc rèn khả năng chuyển từ thao tác tƣ duy này sang các thao tác
tƣ duy khác, các em còn biết đánh giá vấn đề, đƣa ra nhận xét về cách hay, cách
chƣa hay.
●Tính độc đáo của tƣ duy sáng tạo.
Tính độc đáo của TDST đƣợc đặc trƣng bởi các khả năng sau:
1) Khả năng tìm ra những liên tƣởng và những kết hợp mới.
2) Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tƣởng nhƣ
không có liên hệ với nhau.
3) Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng quan hệ mật thiết
với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ
này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm đƣợc
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và
nhờ đề xuất đƣợc nhiều phƣơng án khác nhau mà có thể tìm đƣợc phƣơng án lạ,
đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố cơ bản này có quan hệ khăng khít với các yếu tố
khác nhƣ: tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề… Tất cả các yếu
tố đặc trƣng nói trên cùng góp phần tạo nên TDST.
14
Trong hoạt động toán ở trƣờng phổ thông, các yếu tố cơ bản của TDST nêu trên đã
biểu hiện rõ nét ở nhiều học sinh, đặc biệt rõ hơn ở học sinh khá và giỏi toán. Các
em đã biết di chuyển nhanh chóng các hoạt động trí tuệ , biết sử dụng xen kẽ các
thao tác phân tích và tổng hợp, dùng phân tích trong khi đi tìm lời giải và dùng
tổng hợp để trình bày lời giải. Khi làm các bài tập cùng loại các em đã biết phát
hiện các khác biệt của các bài, các điều kiện khác nhau của chúng để tránh cách
giải dập khuôn, máy móc. Các em rất hào hứng tìm nhiều cách giải khác nhau cho
cùng một bài toán, biết so sánh và đánh giá các cách giải và tìm ra cách giải hay
nhất, ngắn gọn nhất, đẹp nhất.
1.2.2. Bồi dưỡng TDSTcần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác
Việc bồi dƣỡng TDST cho học sinh cần đƣợc tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ
với các hoạt động trí tuệ khác nhƣ: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tƣợng hóa,
khái quát hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa…
Để phát triển tốt TDST thì cần bồi dƣỡng các thành phần của TDST, mà để bồi
dƣỡng các thành phần đó thì học sinh cần đƣợc tập luyện thƣờng xuyên năng lực
tiến hành phân tích, tổng hợp để nhìn thấy đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác
nhau, trong những mối liên hệ khác nhau.Từ đó đƣa ra đƣợc nhiều giải pháp để
giải quyết một bài toán.
Bên cạnh đó cũng cần rèn luyện cho học sinh biết so sánh những trƣờng hợp riêng
lẻ bằng phép đặc biệt hóa.Dùng phép tƣơng tự để chuyển từ trƣờng hợp này sang
trƣờng hợp khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tƣợng hóa, làm rõ mối
quan hệ riêng chung giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm đƣợc bằng cách đặc
biệt hóa và hệ thống hóa. Ta có thể tập luyện cho học sinh khái quát hóa tài liệu
toán học, tạo khả năng tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống
khác nhau. Khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài
tƣởng nhƣ không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất.
15
Những hoạt động trên góp phần bồi dƣỡng tính nhuần nhuyễn cũng nhƣ tính độc
đáo của TDST.Thực hiện tốt những hoạt động trên sẽ giúp học sinh phát triển
TDST.
1.2.3. Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc phát hiện vấn đề mới,
khơi dậy những ý tưởng mới
Việc phát hiện vấn đề mới, ý tƣởng mới của học sinh ngƣời giáo viên cần làm
trong khi giảng dạy cả lí thuyết và bài tập cho học sinh.
- Về giảng dạy lí thuyết cần tận dụng phƣơng pháp tập dƣợt nghiên cứu, trong đó
giáo viên tạo ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến
thức mới.
“ Tƣ duy chỉ hoạt động tích cực khi ở trong tình huống có vấn đề. Vì vậy cần chú ý
tạo tình huống có vấn đề trong giờ học. Có thể tạo tình huống có vấn đề theo một
số cách thông thƣờng sau đây:
-Xuất phát từ kiến thức cũ để đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức mới bằng cách lật
ngƣợc vấn đề, khái quát hóa, tƣơng tự hóa.
-Nêu lên lợi ích của kiến thức mới sắp học (để giải quyết một vấn đề thực tế, để
giải quyết một bài toán ngắn gọn hơn,…)
-Đặt học sinh vào tình huống phải lựa chọn: yêu cầu học sinh phát hiện và sửa
chữa sai lầm ”. [3, tr. 2-3]
- Về thực hành giải toán: Cần coi trọng các bài tập trong đó chƣa rõ điều phải
chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết
vấn đề. Ngƣời giáo viên cần phát huy tính tích cực tƣ duy của học sinh, đề nghị
học sinh tìm ra những giải pháp mới lạ, độc đáo.
16
1.2.4. Bồi dưỡng TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của
quá trình dạy học
Bồi dƣỡng TDST là một quá trình lâu dài, thƣờng xuyên mà ngƣời giáo viên cần
phải tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học cũng nhƣ hết tiết học này
sang tiết học khác, năm này sang năm khác.
Ngƣời giáo viên cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp đƣợc rèn luyện khả năng
TDST trong không chỉ các bài toán trên lớp mà còn trong các tình huống thực tế
đƣợc toán học hóa.
Một vấn đề đƣợc quan tâm là trong quá trình kiểm tra, đánh giá thì các đề kiểm tra,
các đề thi phải đƣợc soạn sao cho kiểm tra đƣợc năng lực TDST của học sinh, học
sinh chỉ có thể làm đƣợc các đề thi đó trên cơ sở bộc lộ rõ rệt năng lực TDST của
bản thân. [4, tr. 81]
1.3. Một số cách dạy học nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
1.3.1. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Đây là một trong những phƣơng pháp dạy học có thể phát triển tƣ duy sáng tạo cho
học sinh bởi lẽ khi dạy học bằng phƣơng pháp này học sinh sẽ tích cực tham gia
vào quá trình giải quyết vấn đề, các thao tác tƣ duy đƣợc rèn luyện, các thành phần
củ tƣ duy sáng tạo đƣợc bồi dƣỡng.
Để giải quyết một vấn đề toán học học sinh cần có các kĩ năng:
- Phát hiện vấn đề: Cần xác định các yếu tố của bài toán, nhận biết câu hỏi, đọc
đƣợc hình ảnh…
- Phám phá bài toán: Cần phân tích đầy đủ các dữ kiện của bài toán. Qua đó học
sinh đƣợc rèn luyện các thao tác tƣ duy. Đây là một trong những việc cần làm để
phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
- Chọn chiến lƣợc giải quyết bài toán: Học sinh cần phân tích bài toán sau đó tổng
hợp lại và đƣa ra chiến lƣợc giải. Bên cạnh đó cần nhìn bài toán dƣới nhiều góc độ
khác nhau.
17
- Giải bài toán: Học sinh cần thao tác tổng hợp các yếu tố của bài toán dựa trên
bƣớc chọn chiến lƣợc giải và đƣa ra phƣơng pháp giải tối ƣu. Ở bƣớc này học sinh
đƣợc rèn luyện kĩ năng tính toán, suy luận logic.
- Kiểm tra kết quả, đánh giá quá trình: Ở bƣớc cuối này học sinh đƣợc rèn luyện
các thao tác của tƣ duy nhƣ so sánh, đối chiếu …
Vì những kĩ năng cần phải có của học sinh trong phƣơng pháp dạy học phát hiện
và giải quyết vấn đề nên phƣơng pháp này đã giúp học sinh rèn luyện và phát triển
tƣ duy sáng tạo.
1.3.2. Dạy học khám phá
Dạy học khám phá là làm cho học sinh trực tiếp tham gia vào quá trình hoạt động
xây dựng nên kiến thức.Vì vậy học sinh cần có các thao tác tƣ duy nhƣ suy luận,
phân tích, so sánh, tổng hợp. Những năng lực này sẽ giúp học sinh rèn luyện đƣợc
các thành phần cơ bản của tƣ duy sáng tạo nhƣ tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn
và tính độc đáo bởi lẽ chúng có mối quan hệ hữu cơ với nhau.
1.3.3. Dạy học hợp tác
Đây là phƣơng pháp dạy học mà ngƣời giáo viên cần kích thích đƣợc tính chủ
động, tích cực và khả năng quan sát của học trò. Hơn thế nữa ngƣời thầy thông qua
phƣơng pháp này đã kích thích đƣợc các thao tác tƣ duy của học sinh.
Khi chia nhóm để học hợp tác thì mỗi thành viên trong nhóm đều đƣợc giao một
nhiệm vụ, với nhiệm vụ đƣợc giao đó học sinh cần tích cực, chủ động để giải quyết
bài toán.
1.4. Dạy học giải bài tập toán ở trƣờng trung học phổ thông
1.4.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Bài tập toán học có vai trò đặc biệt trong môn toán ở trƣờng phổ thông. Giải bài
tập toán là hình thức chủ yếu, cơ bản của hoạt động toán học. Thông qua việc giải
18
bài tập, học sinh thực hiện những hoạt động nhận dạng, thể hiện định nghĩa, định
lí, quy tắc, phƣơng pháp, những hoạt động toán học phức hợp.
Cũng qua việc giải bài tập toán đòi hỏi học sinh phải vận dụng các thao tác tƣ duy,
các hoạt động trí tuệ.
Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: Mục đích, nội dung và phƣơng
pháp của quá trình dạy học. Cụ thể:
-Về mặt mục đích dạy học: Bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhau
hƣớng đến việc thực hiện mục đích dạy học nhƣ:
●Hình thành, củng cố tri thức, rèn kĩ năng, kĩ xảo, kĩ năng ứng dụng toán học
ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
●Phát triển năng lực trí tuệ chung: rèn các thao tác tƣ duy, hình thành các phẩm
chất trí tuệ.
●Hình thành, bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng và những phẩm chất
của con ngƣời lao động tích cực.
-Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán học là phƣơng tiện hoạt động liên hệ với
những nội dung nhất định, nó là phƣơng tiện để cài đặt nội dung dƣới dạng tri thức
hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lí thuyết.
-Về mặt phƣơng pháp dạy học: Bài tập toán học là giá mang hoạt động để ngƣời
học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy
học khác. Khai thác tốt những bài tập nhƣ vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh
học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, và sáng tạo,
đƣợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lƣu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập đƣợc sử dụng với những dụng ý khác nhau
về phƣơng pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với
nội dung mới, củng cố, kiểm tra…Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phƣơng
tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ
phát triển tƣ duy của học sinh cũng nhƣ hiệu quả giảng dạy của giáo viên.
19
1.4.2. Phương pháp giải bài tập toán học
Phƣơng pháp chung cho việc giải một bài toán bao gồm 4 bƣớc:
- Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán, phát hiện vấn đề.
Để tìm hiểu nội dung bài toán HS cần thực hiện các thao tác : Phát biểu bài toán
dƣới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán, phân biệt cái đã cho
và cái phải tìm, phải chứng minh, dùng ngôn ngữ, công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ
trợ việc diễn tả đề bài.
Ở bƣớc này việc đánh giá đƣợc dữ kiện có thỏa mãn không, thừa hay thiếu là rất
quan trọng và đã bƣớc đầu thể hiện tƣ duy sáng tạo. Nếu làm tốt đƣợc bƣớc này sẽ
tạo điều kiện thuận lợi để tìm ra cách giải đúng bài toán.
- Bƣớc 2: Tìm cách giải (lập chiến lƣợc giải).
Để tìm đƣợc cách giải HS cần thực hiện những hoạt động sau:
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán nhƣ: Biến
đổi cái đã cho (giả thiết), biến đổi cái phải tìm, phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho với cái phải tìm. Liên hệ cái đã cho, cái phải tìm với cái đã biết, liên hệ bài
toán cần giải với bài toán tƣơng tự đã học (nếu có), một trƣờng hợp riêng hay một
bài toán tổng quát hơn, hay một bài toán liên quan. Sử dụng phƣơng pháp đặc thù
với từng dạng toán nhƣ chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, sử dụng điều
kiện cần và đủ……
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết
quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan.
Ngoài ra HS cần tìm thêm các cách giải khác, so sánh đối chiếu để chọn ra cách
giải hay, hợp lí nhất.
Thực hiện đƣợc các thao tác, hoạt động ở bƣớc 2 TDST của học sinh cũng đã đạt
đến cấp độ cao hơn.
- Bƣớc 3: Trình bày lời giải.
20
Trong quá trình tìm tòi cách giải học sinh đã phải áp dụng các thao tác tƣ duy nhƣ
mò mẫm, suy đoán. Vì vậy có thể còn có những ý tƣởng, những thao tác chƣa trọn
vẹn, còn rƣờm rà, phức tạp, thiếu dẫn chứng, suy luận dài dòng, vòng vo thậm chí
sai sót... Nhƣ vậy việc chỉnh sửa những ý tƣởng, thao tác hay suy luận là việc làm
rất cần thiết để có một bài giải đẹp, trọn vẹn.
Trên thực tế cho thấy còn nhiều học sinh đã hiểu rõ con đƣờng giải toán nhƣng lại
không thể trình bày một lời giải đúng. Vì vậy ngoài việc rèn luyện kĩ năng tìm tòi
lời giải của bài toán thì cần rèn luyện cho học sinh cách trình bày một lời giải sao
cho ngắn gọn, đầy đủ, chính xác.
- Bƣớc 4. Đánh giá kết quả, phát triển bài toán (nếu có).
Sau khi đã giải xong một bài toán cần nhìn lại phƣơng pháp đã sử dụng, so sánh
phƣơng pháp đã trình bày với các phƣơng pháp có thể có để kiểm tra tính tối ƣu
của phƣơng pháp.
Nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả bài toán.
Nghiên cứu những bài toán tƣơng tự, đặc biệt hóa, mở rộng nó hoặc lật ngƣợc vấn
đề.
Nên hệ thống hóa các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô hình nào đấy để
học sinh thấy đƣợc những tính chất đa dạng thông qua các chủ đề hay mô hình đó.
Đó cũng là cơ sở để phát triển tƣ duy sáng tạo trong quá trình hoạt động và nghiên
cứu.
-Ví dụ về 4 bƣớc giải phƣơng trình:
Tìm m để bất phƣơng trình
( x 1)(4 x) x 2 3x m nghiệm đúng x 1;4 .
*) Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Đây là bất phƣơng trình có chứa tham số và có căn thức.
*) Bƣớc 2: Tìm cách giải
Học sinh nhận thấy với bài toán này có các hƣớng giải nhƣ sau:
21
-Hướng 1:
Chuyển
tham số m sang một vế để đƣa bất phƣơng trình về dạng:
m ( x 1)(4 x) x 2 3x f ( x)
Sử dụng phƣơng pháp hàm số, xét dấu của f '( x) . Lập bảng biến thiên của f ( x) .
Từ đó suy ra bất phƣơng trình nghiệm đúng x 1;4 nếu m Max f ( x)
1;4
-Hướng 2:
Nhận thấy có mối liên hệ giữa ( x 1)(4 x) với ( x 2 3x) nên đặt ẩn phụ
t ( x 1)(4 x) .Khi đó biểu diễn bất phƣơng trình đã cho về bất phƣơng trình
ẩn t.
-Hướng 3: Sử dụng phƣơng pháp đồ thị.
y 0
2
Đặt y ( x 1)(4 x)
3
25
2
x 2 y 4
3
Suy ra đồ thị là nửa đƣờng tròn nằm trên trục hoành Ox có tâm I ( ;0) , bán
2
kính R
5
. Trong khi đó đồ thị của hàm số y x 2 3x m là một parabol có trục
2
3
đối xứng là đƣờng thẳng x .
2
Bài toán quy về tìm m để đồ thị hàm số y ( x 1)(4 x) nằm phía dƣới đồ thị
hàm số y x 2 3x m trên đoạn 1;4 .
Hướng 4: Sử dụng điều kiện cần và đủ.
*)Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Sau khi đƣa ra các hƣớng để giải quyết bài toán, học sinh sẽ chọn lựa một cách để
trình bày lời giải.
Giải:
22
Đặt t ( x 1)(4 x) . ( t 0 ) t 2 x2 3x 4
Vì x 1;4 nên ( x 1) và (4 x) là những số không âm.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
t ( x 1)(4 x)
x 1 4 x 5
2
2
5
Nhƣ vậy khi x 1;4 thì t 0;
2
Bài toán trở thành: Tìm m để bất phƣơng trình
m t 2 t 4 g (t ) nghiệm
5
đúng t 0; .
2
Ta có: g '(t ) 2t 1 g '(t ) 0 t
1
2
BBT của g (t )
t
1
2
0
g '(t )
-
5
2
0
+
19
4
-4
g (t )
17
4
23
Để bất phƣơng trình
m max
g (t ) m
5
0; 2
m t 2 t 4 g (t ) nghiệm đúng
5
t 0;
2
thì
19
.
4
*) Bƣớc 4: Đánh giá kết quả, phát triển bài toán.
-Việc thông qua ẩn phụ sẽ làm cho việc tính toán, xét dấu và lập bảng biến thiên
của hàm số trở nên đơn giản hơn.
-Tổng quát bài toán:
Bài toán trên có thể tổng quát thành:
Tìm m để bất phƣơng trình ( x a)(b x) x 2 (b a) x m nghiệm đúng
x a; b
1.5. Dạy học nội dung giải phương trình, bất phương trình ở trường THPT
1.5.1. Vị trí, nội dung phần phương trình, bất phương trình trong chương trình toán
THPT
Phần phƣơng trình, bất phƣơng trình trong chƣơng trình toán THPT chiếm một vị
trí rất lớn, nó có mặt ở cả ba lớp 10, 11 và 12, đóng vai trò quan trọng và then chốt
trong phần bài tập toán. Học sinh đƣợc học cách giải phƣơng trình, bất phƣơng
trình bằng nhiều cách nhƣ biến đổi tƣơng đƣơng, đặt ẩn phụ, đánh giá, điều kiện
cần và đủ, phƣơng pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số, đồ thị…
1.5.2. Thực trạng của việc học phương trình, bất phương trình ở trường phổ thông hiện
nay
Học sinh các trƣờng phổ thông hiện nay nói chung đang đứng trƣớc thực trạng là
phải học với nội dung học nặng về cung cấp kiến thức, phƣơng pháp dạy học chủ
yếu khai thác trí nhớ của học sinh. Môn Toán cũng là môn học mà phƣơng pháp
dạy học cũng có thực trạng đó và phần dạy học giải phƣơng trình, bất phƣơng trình
cũng không nằm ngoài thực trạng trên.
24
Thực trạng này dẫn đến học sinh tiếp thu bài một cách máy móc, ít yếu tố tìm tòi
sáng tạo, thƣờng đƣa ra những cách giải dập khuôn, sẵn có.
Để giải tốt đƣợc các bài tập phƣơng trình, bất phƣơng trình thì học sinh cần nắm
vững phần lí thuyết có liên quan cũng nhƣ nắm đƣợc các phƣơng pháp giải phƣơng
trình, bất phƣơng trình.Tuy nhiên khi giảng dạy tôi quan sát và điều tra thì nhận
thấy còn có những thực trạng nhƣ sau:
- Khi học lý thuyết:
Học sinh lúng túng, rất khó nhớ các công thức, các tính chất của phần lí thuyết liên
quan.
- Khi làm bài tập:
Ban đầu các em học sinh thấy khó giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình vì các
em chƣa biết áp dụng công thức nào cho hợp lí và áp dụng cách giải nào vào
phƣơng trình đó, các em cũng gặp khó khăn khi kết hợp nghiệm của phƣơng trình,
bất phƣơng trình. Đôi khi đã tìm ra một cách giải thì học sinh thƣờng hài lòng với
cách giải đó mà không suy nghĩ, tìm tòi những cách giải khác để so sánh đối chiếu,
chọn ra cách giải hay, tối ƣu.
1.5.3. Thực trạng của việc dạy phương trình, bất phương trình ở trường THPT trong việc
phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Thực tế trong các trƣờng phổ thông hiện nay, khi giảng dạy về phần PT, BPT một
số ít giáo viên đã có ý thức rèn luyện và phát triển tƣ duy cho học sinh, tuy nhiên
vẫn còn nhiều giáo viên chƣa quan tâm đến vấn đề này. Vì vậy khi dạy phần
phƣơng trình, bất phƣơng trình thì họ chỉ đƣa ra các dạng phƣơng trình, bất
phƣơng trình cũng nhƣ cách giải quyết với dạng đó và yêu cầu học sinh nhận dạng
để khi gặp thì sẽ giải quyết theo cách đó. Phƣơng pháp của giáo viên thƣờng là
diễn giảng và truyền thụ kiến thức một chiều. Điều này dẫn đến học sinh học tập
một cách thụ động, không tích cực tƣ duy, không chịu khó tìm hiểu xem ngoài
cách giải đã biết đó có còn những cách nào ngắn hơn, hay hơn không. Chính vì vậy
25
mà thực tế cho thấy khi bài toán đƣợc thay đổi đi một chút, không giống với dạng
ban đầu thì học sinh loay hoay không biết giải quyết thế nào, tâm lí lo lắng, sợ hãi
và nghĩ là chƣa đƣợc học nên không biết cách làm, không chủ động suy nghĩ nữa.
Kết luận chƣơng 1.
Chƣơng này đã trình bày một số vấn đề:
- Một số lí luận liên quan đến tƣ duy sáng tạo.
- Một số cách dạy học để phát triển tƣ duy sáng tạo của học sinh.
- Vai trò, vị trí của phần phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng THPT.
- Thực trạng của vấn đề dạy và học phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng THPT
hiện nay trong việc phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
- Dựa trên những căn cứ lí luận trên, những thực trạng đang tồn tại, tác giả xác
định phƣơng hƣớng, giải pháp để phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh THPT
thông qua các bài toán giải phƣơng trình, bất phƣơng trình.
26
CHƢƠNG 2
PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRONG DẠY
HỌC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH.
2.1. Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khi giảng dạy lý thuyết
Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài mà ngƣời giáo viên
cần tiến hành thƣờng xuyên từ tiết học này sang tiết học khác cũng nhƣ cần thực
hiện trong tất cả các khâu của quá trình dạy học. Khi giảng dạy về phần phƣơng
trình, bất phƣơng trình, muốn phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh thì chúng ta
không chỉ đề cập đến quá trình thực hành giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình
nhƣ thế nào mà một khâu cũng rất quan trọng là giảng dạy lý thuyết nhƣ thế nào để
phát triển đƣợc tƣ duy cho học sinh.
Khi giảng dạy lý thuyết ngƣời giáo viên cần tạo ra các tình huống có vấn đề, dẫn
dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới. Bên cạnh đó cần tập cho học sinh
cách suy luận có lý thông qua các năng lực trí tuệ nhƣ so sánh, đặc biệt hóa, khái
quát hóa, quy nạp, tƣơng tự.
Giả sử khi dạy học sinh về phần giải phƣơng trình sử dụng phép đặt ẩn phụ thì
ngoài việc đƣa ra các bƣớc của phép đặt ẩn phụ là:
Bƣớc 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ.
Bƣớc 2: Đƣa phƣơng trình (bất phƣơng trình) ban đầu về phƣơng trình có biến là
ẩn phụ, giải phƣơng trình (bất phƣơng trình) với ẩn phụ mới, đối chiếu điều kiện để
chọn nghiệm thích hợp.
Bƣớc 3: Kết luận nghiệm cho phƣơng trình ban đầu.
27
Ngƣời giáo viên cần tập cho học sinh cách suy luận, khả năng đánh giá nhìn nhận
một phƣơng trình để có thể đƣa ra đƣợc phép đặt ẩn phụ đúng, phù hợp và nhanh
đi đến kết quả.
Muốn làm đƣợc việc đó thì đòi hỏi học sinh cần có các năng lực trí tuệ nhƣ so
sánh, tƣơng tự…
-Xét ví dụ: Giải phƣơng trình: 1 1 x 2 x 1 2 1 x 2
Khi gặp phƣơng trình này thì việc làm đầu tiên của học sinh là phải tìm điều kiện
để phƣơng trình xác định. Tình huống có vấn đề ở đây là sau khi học sinh tìm ra
điều kiện x 1 , thì học sinh sẽ phải tƣ duy, liên tƣởng xem nên đặt ẩn phụ nhƣ thế
nào? x 1 có liên quan đến tập giá trị của hàm số nào? Lúc này ngƣời giáo viên
gợi ý, yêu cầu các em suy nghĩ. Sau khi suy nghĩ các em sẽ dễ dàng nhận ra mối
liên hệ giữa x 1 với tập giá trị của hàm y sin t , y cost .
Từ đó dự đoán đƣợc cách giải phƣơng trình
Giải:
Điều kiện: x 1
Đặt x sin t , t ; .Khi đó phƣơng trình trở thành:
2 2
1 1 sin 2 t sin t 1 2 1 sin 2 t
t
sin t sin 2t
2
1 cos t sin t 1 2cos t
2cos 2
t
3t
t
2cos 2sin cos
2
2
2
t
3t
2cos 2 sin 1 0
2
2
28
t
k
t k 2
t
2 2
c
os
0
3t
k 4
2
k 2 t
2 4
6
3
sin 3t 1
3t 3
k 4
2
2
t
k 2
2
4
3
2
t 6
Vì t ; nên t nhận các giá trị:
2 2
t
2
+) t
+) t
6
2
thì x
1
2
thì x 1
1
Kết luận: Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S ;1
2
Cũng là phƣơng pháp đặt ẩn phụ nhƣng nếu trong phƣơng trình hay bất phƣơng
trình đã cho có hai bộ phận có mối liên hệ đặc biệt với nhau thì có thể đặt mỗi bộ
phận là một ẩn mới.Khi đó phƣơng trình sẽ đƣa về hệ hai phƣơng trình với hai ẩn
mới. Muốn giải quyết tốt những bài toán nhƣ vậy thì đòi hỏi học sinh phải có thao
tác tƣ duy là phân tích mối liên hệ giữa các biểu thức trong phƣơng trình đã cho.
Ví dụ: Giải phƣơng trình:
4
57 x 4 x 40 5(1)
Với phƣơng trình này học sinh không nên lựa chọn cách biến đổi tƣơng đƣơng vì
nó sẽ rất dài và đƣa đến một phƣơng trình phức tạp. Do đó giáo viên cần chú trọng
cho học sinh cách tƣ duy, phân tích, nhìn nhận xem có mối liên hệ đặc biệt nào
giữa các biểu thức trong phƣơng trình hay không? Dƣới sự dẫn dắt của giáo viên,
29
học sinh dễ dàng nhìn ra mối liên hệ giữa 57 x và x 40 vì chúng có tổng là một
số không đổi.
Từ đó học sinh sẽ nhìn ra cách đặt ẩn phụ cho phƣơng trình này.
Giải:
ĐK: 40 x 57 .
Đặt u 4 57 x , u 0 ; v 4 x 40 , v 0 . Ta có u 4 v 4 97
u v 5(2)
Khi đó phƣơng trình (1) dẫn đến hệ phƣơng trình (I): u 4 v 4 97(3)
u 0, v 0(4)
Biến
đổi
(3)
u 4 v4 97 u 2 v 2 2u 2v 2 97 (u v)2 2uv 2u 2v 2 97 (5)
2
2
uv 6
Thay (2) vào (5) có: (uv) 2 50(uv) 264 0
uv 44
u 3
u v 5
v 2
▪Khi uv 6 hệ (I) uv 6
u 2
u 0, v 0
v 3
u 3
-Với
v 2
57 x 81
x 24
ta có
x 40 16
u 2
-Với
v 3
57 x 16
x 41
ta có
x 40 81
30
có:
u v 5
▪Khi uv 44 , hệ (I) uv 44 (hệ phƣơng trình này vô nghiệm do phƣơng
u 0, v 0
trình t 2 5t 44 0 vô nghiệm)
Kết hợp với điều kiện ta có phƣơng trình có hai nghiệm x 24 và x 41
●Trong khi dạy lí thuyết, khi hƣớng dẫn học sinh sử dụng phƣơng pháp đánh giá
để giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, giáo viên cần hƣớng dẫn và rèn cho học
sinh cách đánh giá tinh tế dựa trên các tính chất của bất đẳng thức. Làm đƣợc điều
đó học sinh sẽ dễ dàng nhìn ra nghiệm của phƣơng trình, bất phƣơng trình.
Phƣơng pháp này dựa trên nhận xét sau:
Nếu phƣơng trình f ( x) g ( x) , x D có tính chất sau:
f ( x) mx D
g ( x) mx D
f ( x) m
Khi đó f ( x) g ( x)
g ( x) m
Ví dụ 1: Cho phƣơng trình:
3x2 6 x 7 5x 2 10 x 14 4 2 x x 2 (1)
Câu a: Hãy đánh giá hai vế của phƣơng trình?
Câu b: Từ kết quả của câu a) hãy chỉ ra nghiệm của phƣơng trình?
●Nhận xét:
Với câu hỏi trên học sinh sẽ phải sử dụng các thao tác tư duy như phân tích, so
sánh, tổng hợp để thấy rằng mối liên hệ giữa hai câu hỏi.
Học sinh dễ dàng đánh giá đƣợc hai vế của phƣơng trình:
Câu a: VT= 3x 2 6 x 7 5x 2 10 x 14
3( x 1)2 4 5( x 1)2 9 2 3 5x R (2)
VP= 4 2 x x2 5 ( x 1)2 5x R (3)
31
Câu b):
VT (1) 5 x 1 0
Từ (2) và (3) suy ra
x 1
VP(1) 5 x 1 0
Vậy x 1 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình.
Ví dụ 2:Giải phƣơng trình.
3x 2 1 x 2 x x x 2 1
1
2 2
7x
2
x 4 (1)
▪Nhận xét:
Khi gặp phƣơng trình này học sinh thƣờng rất lúng túng, chƣa nhìn ra ngay đƣợc
cách đánh giá hai vế của phƣơng trình.
Giáo viên gợi ý để đánh giá hai vế của phƣơng trình ta thƣờng sử dụng các bất
đẳng thức quen thuộc nhƣ Bunnhiacopski, Cauchy, bất đẳng thức về giá trị tuyệt
đối.Khi đó đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ để vận dụng các bất đẳng thức trên nhƣ
thế nào vào bài toán này. Các em đƣợc rèn luyện thao tác tƣ duy phân tích, tổng
hợp vấn đề.
Giải:
x 1
ĐK:
x 3
3
Áp
dụng
bất
đẳng
thức
Bunnhiacopski
cho
hai
bộ
số: (1,1, x)
3x 2 1, x 2 x , x 2 1 ta có:
VT 3x 2 1 x 2 x x x 2 1
x
2
2 5x 2 x (2)
3x 2 1
Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi:
1
32
x2 x
1
x2 1
x 1
x
và
Vì x 1 hoặc x
3
nên 5x 2 x 0 khi đó biến đổi vế phải và áp dụng bất
3
đẳng thức Cauchy ta có:
VP
1
2 2
7x
1
2 2
2
x 4
1
2 2
5x
2
x 2( x 2 2)
5x
.2. 5 x 2 x 2 x 2 2
Dấu bằng xảy ra khi :
2
x x 2 2 (3)
x 1
5 x x 2( x 2) 3x x 4 0
4
x
3
2
2
2
Từ (2) và (3) suy ra phƣơng trình có nghiệm duy nhất là x 1
●Với phƣơng pháp sử dụng sự biến thiên của hàm số để giải phƣơng trình, bất
phƣơng trình khi dạy lí thuyết giáo viên cần đƣa ra các nhận xét để học sinh có thể
ghi nhớ và áp dụng sáng tạo vào các bài tập có liên quan.
Nhận xét 1:
- Cho hàm số y f ( x) xác định trên D R và đơn điệu trên đó.Giả sử
x0 D : f ( x0 ) m thì phƣơng trình f ( x) m có nghiệm duy nhất x x0
- Nếu hàm số y f ( x) xác định trên D R , liên tục và đơn điệu trên D thì
phƣơng trình f ( x) f ( y) có nghiệm x y .
-Cho y f ( x) và y g ( x) là hai hàm số xác định trên D. Nếu y f ( x) là hàm
đồng biến, còn hàm số y g ( x) nghịch biến hoặc là hàm hằng (ngƣợc lại
y f ( x) nghịch biến, y g ( x) đồng biến (hoặc hàm hằng)). Giả sử tồn tại
x0 D sao cho: f ( x0 ) g ( x0 ) thì phƣơng trình f ( x) g ( x) có nghiệm duy nhất
x x0
Nhận xét 2:
-Giả sử bất phƣơng trình có dạng: f ( x) k trên D.
33
Nếu hàm số y f ( x) là hàm đơn điệu trên D (giả sử là hàm đồng biến trên D),
x0 D : f ( x0 ) k
Khi đó:
Với x x0 f ( x) f ( x0 ) k thì bất phƣơng trình vô nghiệm.
Với x x0 f ( x) f ( x0 ) k thì bất phƣơng trình nghiệm đúng .Vậy x x0 là
nghiệm của bất phƣơng trình.
- Giả sử bất phƣơng trình có dạng f (u) f (v) .
Xét hàm số y f ( x) , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu trên D (giả sử
đồng biến). Khi đó f (u) f (v) u v .
Nhận xét 3:
-Tìm m để bất phƣơng trình m f ( x) có nghiệm trên D m max f ( x) .
D
- Tìm m để bất phƣơng trình m f ( x) nghiệm đúng x D m min f ( x) .
D
- Tìm m để bất phƣơng trình m f ( x) có nghiệm trên D m min f ( x) .
D
- Tìm m để bất phƣơng trình m f ( x) nghiệm đúng x D m max f ( x)
D
Ví dụ 1:Giải bất phƣơng trình sau:
x 2 2 x 3 x 2 6 x 11 3 x x 1
Tình huống đặt ra cho học sinh ở đây là xét hàm số nào?
Nếu giữ nguyên biểu thức vế trái nhƣ vậy và coi nó nhƣ một hàm số thì bài toán có
giải quyết đƣợc không?
Học sinh biến đổi nhƣ vậy thấy rất khó khăn và bài toán không giải quyết đƣợc.
Giáo viên cần gợi ý để học sinh khéo léo chuyển bất phƣơng trình về dạng
f (u) f (v) và xét tính đơn điệu của hàm số y f ( x) .
Với ví dụ này học sinh đƣợc rèn luyện tính mềm dẻo của tƣ duy, tránh lối suy nghĩ
dập khuôn.
34
Giải.
Điều kiện: 1 x 3
Viết lại bất phƣơng trình dƣới dạng:
x 2 2 x 3 x 1 x 2 6 x 11 3 x
( x 1)2 2 x 1 ( x 3)2 2 3 x (2)
Xét hàm số y f (t ) t 2 2 t trên 1;3
Ta có f '(t )
t
t 2
2
1
2 t
0t [1;3]
Suy ra y f (t ) t 2 2 t là hàm số đồng biến trên [1; 3]
Khi đó (2) f ( x 1) f (3 x) x 1 3 x x 2
Kết hợp với điều kiện có nghiệm của bất phƣơng trình là: 2 x 3
Ví dụ 2: Tìm m để bất phƣơng trình sau có nghiệm?
mx x 3 m 1(1)
Giáo viên yêu cầu học sinh suy nghĩ và đƣa ra hƣớng giải.
Vấn đề của bài toán đặt ra là đƣa bất phƣơng trình đó về dạng nào?
Học sinh đƣa ra các giải pháp: Đƣa bất phƣơng trình về dạng m f ( x) hoặc
m f ( x) sau đó tìm m để bất phƣơng trình có nghiệm, dựa vào nhận xét 3.
Dự kiến học sinh đƣa ra các tình huống:
-Cách 1:
Điều kiện: x 3
Bất phƣơng trình (1) trở thành: m( x 1) x 3 1
Với điều kiện x 3 thì x 1 0 nên có: m
x 3 1
f ( x)
x 1
Xét sự biến thiên của f ( x) và đƣa ra kết luận: m max f ( x) m
3;
35
1 3
4
-Cách 2:
Đặt ẩn phụ: t x 3 , đk t 0 .
Khi đó bất phƣơng trình (1) trở thành: m
t 1
g (t )
t2 2
Xét sự biến thiên của g (t ) và dễ dàng ra kết luận m max g (t ) m
0;
1 3
4
▪Nhận xét:
- Nên khuyến khích học sinh làm theo cách 2 vì các em sẽ dễ dàng xét đƣợc sự
biến thiên của hàm g (t ) hơn là xét sự biến thiên của hàm f ( x) ở cách 1.
- Sau khi làm xong bài toán học sinh đƣợc rèn luyện các thao tác tƣ duy phân tích,
so sánh, đối chiếu. Từ đó chọn ra cách làm hay, ngắn gọn.
●Khi dạy học sinh phần lý thuyết ứng dụng tính chất hình học vào giải phƣơng
trình, bất phƣơng trình, ngƣời giáo viên nên lƣu ý cho học sinh một số tính chất
của vectơ trong phẳng nhƣ:
Cho hai vectơ u ( x1; y1 ) , v( x2 ; y2 ) , w( x3 ; y3 ) . Giả sử u v w . Khi đó
▪ u x12 y12 , v x22 y22
▪ u v u v x32 y32 x12 y12 x22 y22 . Dấu bằng xảy ra khi hai vectơ
u, v cùng hƣớng.
Ví dụ: Giải phƣơng trình:
x 2 2 x 101 x 2 4 x 13 50
Giải:
Phƣơng trình viết lại thành:
( x 1)2 100 ( x 2) 2 9 50
36
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt u ( x 1;10) , v( x 2;3)
Ta có:
w u v (1;7) w 12 7 2 50
Khi đó phƣơng trình có dạng: u v 50
Mà : u v 50
Suy ra: u v u v u cùng hƣớng v
Vậy phƣơng trình
x 1 x 2
17
x .
10
3
7
Tóm lại, khi giảng dạy lý thuyết để phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh thì
ngƣời giáo viên cần tạo ra các tình huống có vấn đề, dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám
phá kiến thức mới. Bên cạnh đó cần tập cho học sinh cách suy luận có lý thông qua
các năng lực trí tuệ nhƣ so sánh, phân tích, tổng hợp…
2.2. Rèn luyện và phát triển một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh thông
qua các dạng bài tập giải phương trình, bất phương trình
2.2.1. Dạng bài tập có nhiều cách giải
Đây là dạng bài tập đòi hỏi học sinh cần có năng lực chuyển hóa trong tƣ duy tức
là chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, cũng nhƣ đòi hỏi
khả năng tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Khả
năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp quen thuộc khác.
Nếu làm tốt những bài tập dạng trên thì qua đó học sinh đã đƣợc rèn luyện các
thành phần cơ bản của tƣ duy sáng tạo đó là: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn.
Bài tập1:
Tìm nhiều phƣơng pháp giải phƣơng trình sau:
x2 4 x 5 2 2 x 5
37
Giáo viên tổ chức cho lớp hoạt động theo nhóm. GV chia lớp thành 4 nhóm, yêu
cầu các thành viên trong nhóm tích cực suy nghĩ, đề xuất các cách giải.
Dự kiến các tình huống mà học sinh có thể đề xuất:
▪Cách 1: Học sinh tìm điều kiện xác định của phƣơng trình và nhận thấy đây là
dạng quen thuộc
f ( x) g ( x) , nên học sinh biến đổi tƣơng đƣơng bằng cách
bình phƣơng hai vế.
▪Cách 2: Học sinh sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ, viết phƣơng trình về dạng
( x 2)2 1 2 2 x 5
Đặt u x 2 , v 2 x 5
u 2 1 2v
Khi đó phƣơng trình đƣợc đƣa về hệ phƣơng trình: 2
v 1 2u
Dễ dàng giải hệ phƣơng trình đối xứng loại 2 này tìm ra u , v
▪Cách 3: Học sinh sử dụng phƣơng pháp đánh giá để giải phƣơng trình này, áp
dụng bất đẳng thức để đánh giá.
Điều kiện của
để phƣơng trình xác định là x
5
2
Áp
bất
có
dụng
đẳng
thức
Côsi
:+)
( x 2)2 1 2( x 2)
+) 2 2 x 5 2 x 5 1 2( x 2)
Do đó phƣơng trình tƣơng đƣơng:
x 2 1
x3
2
x
5
1
▪Cách 4: Học sinh sử dụng phƣơng pháp hàm số để giải phƣơng trình
38
( x 2)2 1 2 2 x 5
Xét hàm số
5
y ( x 2)2 1 2 2 x 5 trên ;
2
2
2x 5
f '( x) (2 x 4)
f '( x) 0 (2 x 4)
2
0
2x 5
( x 3)(8x 2 28x 28) 0
x 3 (Vì 8x2 28x 28 0 vô nghiệm)
Bảng biến thiên
X
5
2
f’(x)
f(x)
3
-
+
0
+
5
4
0
5
Nhƣ vậy x ; thì f ( x) 0, f ( x) 0 x 3
2
▪ GV nhận xét, đề ra tiêu chí đánh giá các nhóm là dựa trên số cách giải và giải
chính xác mà nhóm đó đƣa ra.
▪GV tổ chức, giám sát cho mỗi nhóm lên trình bày một cách không trùng nhau.
▪Nhận xét:
Qua bài tập trên, học sinh đã đƣợc rèn luyện tính mềm dẻo của tƣ duy qua việc
chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, cụ thể là việc tìm nhiều
cách giải cho một bài toán nhƣ biến đổi tƣơng đƣơng, đặt ẩn phụ, đánh giá, phƣơng
39
pháp hàm số. Việc giải bài toán bằng nhiều cách giúp học sinh tích cực tƣ duy, vận
động trí óc một cách tích cực, sáng tạo.Việc làm này giúp các em biết cách nhìn
một bài toán, một đối tƣợng dƣới nhiều góc độ khác nhau, làm cho học sinh thấy
hứng thú vì phát hiện ra những thú vị trong từng cách giải. Nó cũng giúp học sinh
chủ động tƣ duy khi gặp một vấn đề mới, bài toán mới.
Bài tập 2: Giải phƣơng trình sau bằng nhiều cách khác nhau:
3 x 6 x (3 x)(6 x) 3
GV: Yêu cầu học sinh nêu điều kiện xác định của phƣơng trình. Gọi một số học
sinh đƣa phƣơng pháp làm?
-Dự kiến: sau khi đặt điều kiện cho phƣơng trình, học sinh sẽ đƣa ra các cách sau:
HS1:
Đƣa
pt
về
3 x 6 x (3 x)(6 x) 3 Vì cả hai vế đều dƣơng nên bình
phƣơng hai vế để đƣợc phƣơng trình tƣơng đƣơng.
GV: Nếu làm nhƣ vậy có gặp khó khăn gì không?
HS1: Nhận thấy nếu làm nhƣ vậy thì lại xuất hiện một phƣơng trình vô tỉ tiếp.
GV: Nhận xét cách làm vẫn đi đến đích, tuy nhiên hơi dài và phức tạp. GV yêu
cầu học sinh suy nghĩ cách khác. Gợi ý có thể đặt ẩn phụ!
HS2: Đặt ẩn phụ u 3 x 6 x , khi đó biều thức (3 x)(6 x) sẽ
biểu diễn qua u ta đƣợc một phƣơng trình bậc hai ẩn .
GV: Đây cũng là cách rất hay, dễ dàng tìm đƣợc
tuy nhiên khi tìm đƣợc thì
chúng ta sẽ phải giải phƣơng trình u 3 x 6 x
Có cách nào khác không?
HS3: Đặt hai ẩn phụ u 3 x , v 6 x
GV: Khi đặt hai ẩn nhƣ vậy thì có nhìn đƣợc mối liên hệ giữa hai ẩn phụ mà không
phụ thuộc vào x ?
HS3: Khi đó ta có: u 2 v 2 9
u 2 v 2 9
Và đƣợc hệ phƣơng trình:
u v uv 3
GV: Yêu cầu học sinh trình bày lời giải, nên lựa chọn hai cách sau.
Bài tập 3:
Tìm nhiều cách giải cho bài toán sau:
40
Tìm m để bất phƣơng trình: ( x 3)(5 x) x 2 2 x m
nghiệm đúng với mọi 3 x 5
GV hƣớng dẫn học sinh giải bài toán trên bằng phƣơng pháp dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề.
Để làm đƣợc bài toán này với phƣơng pháp đó học sinh cần có các kĩ năng:
- Phát hiện vấn đề.
- Khám phá bài toán.
- Chọn chiến lƣợc giải.
-Giải bài toán.
- Kiểm tra, đánh giá bài toán.
GV: tổ chức cho học sinh giải quyết bài toán.
Kĩ năng 1: Phát hiện vấn đề.
GV: Yêu cầu học sinh phát hiện vấn đề của bài toán?
HS: Đây là bài toán về bất phƣơng trình có chứa căn bậc hai và tìm tham số m để
bất phƣơng trình đúng với mọi x a; b .
Kĩ năng 2: Khám phá bài toán.
HS: Bài toán có thể nhìn dƣới những góc độ khác nhau nhƣ sau:
-Bài toán có mối liên hệ giữa biểu thức trong căn bậc hai
x 3 5 x
với biểu
thức ngoài căn bậc hai là x 2 2 x nên có thể sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ.
-Bài toán có thể đƣa về dạng m f ( x) trên đoạn 3;5
-Bài toán có thể nhìn dƣới góc độ: Tìm m để đƣờng cong y
x 3 5 x
nằm
dƣới đƣờng cong y x 2 2 x m ở những điểm có hoành độ thuộc đoạn 3;5 .
41
- Bài toán đúng trên đoạn 3;5 nên nó đúng tại những giá trị đặc biệt của đoạn
đó. Vì vậy có thể sử dụng phƣơng pháp điều kiện cần và đủ.
Kĩ năng 3: Chọn chiến lược giải.
Trên cơ sở khám phá bài toán, học sinh phân tích và đƣa ra chiến lƣợc giải nhƣ
sau:
●Hướng 1:
-Đƣa bất phƣơng trình (1) về
( x 3)(5 x) x 2 2 x m
Đặt f ( x) ( x 3)(5 x) x 2 2 x
Yêu cầu bài toán trở thành:
Tìm m để m ( x 3)(5 x) x 2 2 x x 3;5
Khi đó:
f '( x)
( x 1) 1 2 ( x 3)(5 x)
x 1
2x 2
( x 3)(5 x)
( x 3)(5 x )
Ta có: f '( x) 0 x 1
BBT:
x
-3
f '( x)
1
+
5
0
-
5
f ( x)
Từ bảng biến thiên suy ra m 5 là giá trị cần tìm .
●Hướng 2:
HS: Đặt t ( x 3)(5 x) thì x2 2 x 15 t 2 đƣa về bất phƣơng trình ẩn t
Tìm điều kiện của t bằng cách xét hàm số:
42
Xét hàm t g ( x) ( x 3)(5 x)
BBT:
x
-3
1
g '( x)
+
5
0
t g ( x)
-
4
0
0
Do đó khi x 3;5 thì t 0;4
GV hƣớng dẫn học sinh các cách khác để tìm điều kiện của t nhƣ dung tam thức
bậc hai, dúng bất đẳng thức Côsi.
HS: Bài toán trở thành: Tìm m để bất phƣơng trình: t 15 t 2 m có nghiệm
t 0;4
●Hướng 3:
Sử dụng phƣơng pháp đồ thị và hình học.
HS: Đi tìm đồ thị của hai hàm số y ( x 3)(5 x) và y x 2 2 x m
Đồ thị hàm số y x 2 2 x m là một parabol có bề lõm hƣớng lên trên, luôn nhận
đƣờng thẳng x=1 làm trục đối xứng.
Đồ thị của y ( x 3)(5 x) đƣợc xác định nhƣ sau:
y 0
y 0
y ( x 3)(5 x) 2
2
2
2
y x 2 x 15 ( x 1) y 16
Suy ra đồ thị của y ( x 3)(5 x) là nửa đƣờng tròn có tâm I(1;0), bán kính
R=4 và nằm phía trên trục hoành Ox.
43
(x-1)^2+y^2=16; y>0
f(x)=x^2-2x+5
x=1
y
8
6
4
2
x=1
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-4
-6
-8
●Hướng 4:
Học sinh áp dụng phƣơng pháp điều kiện cần và đủ để giải bài toán trên.
Điều kiện cần:
Thử với các giái trị đặc biệt của x nhƣ x 3 , x 5 , x 1 ( giá trị x 1 là giá trị
trung bình của đoạn 3;5 ).Từ đó suy ra giá trị của m.
Điều kiện đủ:
Với giá trị m vừa tìm đƣợc chỉ ra bất phƣơng trình
( x 3)(5 x) x 2 2 x m
nghiệm đúng x 3;5 .
Kĩ năng 4: Giải bài toán.
Sau khi đƣa ra các chiến lƣợc giải học sinh sẽ phân tích và chọn ra một cách giải
ngắn gọn, dễ hiểu.
HS: Chọn cách điều kiện cần và đủ để giải bài toán này.
▪Điều kiện cần:
Vì bất phƣơng trình
( x 3)(5 x) x 2 2 x m đúng với mọi x 3;5 nên bất
phƣơng trình đúng với những giá trị đặc biệt của x đó là:
44
-Bất phƣơng trình đúng với x 3 . Thay vào ta có: m 15 0 m 15 (1)
- Bất phƣơng trình đúng với x 5 . Thay vào ta có: m 15 0 m 15 (2)
- Bất phƣơng trình đúng với x 1 ( giá trị x 1 là giá trị trung bình của đoạn
3;5 ).Thay vào ta có: m 5 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra m 5 .
▪ Điều kiện đủ.
Với m 5 ta có:
VT ( x 3)(5 x)
x 35 x
4
2
VP x 2 2 x m ( x 1)2 m 1 m 1 4 (Vì m 5 )
Suy ra giá trị cần tìm của m là m 5
Kĩ năng 5: Kiểm tra, đánh giá.
Sau khi thực hiện xong bƣớc trình bày lời giải, đối chiếu, so sánh với các phƣơng
pháp mà chiến lƣợc giải vạch ra học sinh sẽ đánh giá đƣợc cách giải trên là ngắn
gọn hơn, dễ hiểu hơn. Nếu làm hƣớng 1 thì học sinh sẽ lúng túng khi xét dấu biểu
thức f '( x) . Nếu làm theo hƣớng 2 thì học sinh rất dễ mắc sai lầm là không tìm ra
đúng điều kiện của ẩn phụ t khi x 3;5 .
Với hƣớng giải 3 thì một số học sinh cũng gặp rắc rối khi xác định đồ thị của hàm
số y ( x 3)(5 x)
Nhƣ vậy việc kiểm tra đánh giá cũng giúp học sinh phát triển các thao tác tƣ duy
nhƣ so sánh, đối chiếu, tổng hợp.
Bài tập 4
Cho phƣơng trình:
x2 4 x 40 90 6 x x 2 226
Hãy giải phƣơng trình sau bằng các cách:
45
1. Biến đổi tƣơng đƣơng
2. Sử dụng phƣơng pháp tọa độ trong phẳng.
Giáo viên tổ chức cho học sinh làm bài theo yêu cầu đã ra.
Học sinh 1: Giải phƣơng trình trên bằng cách biến đổi tƣơng đƣơng.
ĐK: x
x2 4 x 40 90 6 x x 2 226
2 x 2 10 x 130 2 ( x 2 4 x 40)(90 6 x x 2 ) 226
( x 2 4 x 40)(90 6 x x 2 ) 48 5x x 2
2
48 5x x 0
2
2
2 2
(
x
4
x
40)(90
6
x
x
)
48
5
x
x
5 217
5 217
x
2
2
25 x 2 120 x 144 0
5 217
5 217
x
12
x
2
2
5
5 x 12 2 0
-Giáo viên hỏi học sinh nhận xét về cách làm trên.
Học sinh: Cách làm biến đổi tƣơng đƣơng trên đòi hỏi việc tính toán phải cẩn thận,
rất dễ bị nhầm.
Giáo viên yêu cầu học sinh làm cách 2 theo yêu cầu của bài toán.
Giáo viên gợi ý hãy phân tích biểu thức dƣới dấu căn bậc hai thành tổng các bình
phƣơng và nhìn mỗi căn đó là độ dài của một vectơ.
Học sinh 2 làm bài dƣới sự hƣớng dẫn trên:
46
x2 4 x 40 90 6 x x 2 226
( x 2)2 36 (3 x)2 81 226
( x 2)2 62 (3 x)2 92 226
Đặt u ( x 2;6) , v (3 x;9)
2
2
2
2
v
(3
x
)
9
u
v
(1;15)
u
v 226
u
x
2
6
Ta có:
;
;
u
Vậy bài toán trở thành: v u v
u
Khi và chỉ khi , v cùng hƣớng
x2 6
12
k 0 : u kv x 2;6 k (3 x;9)
x
3 x 9
5
Vậy x
12
là nghiệm duy nhất của phƣơng trình.
5
Lời bình:
Khi gặp bài toán trên học sinh thường sử dụng cách biến đổi tương đương, tuy
nhiên biến đổi như vậy thì khi gặp khó khăn trong tính toán, học sinh thường
không đủ kiên trì và bỏ cuộc. Vì vậy nếu giáo viên khéo léo hướng dẫn học sinh để
có những liên hệ đến hình học, tìm tòi, sáng tạo thì học sinh sẽ tìm được cách 2, sẽ
bớt đi việc tính toán phức tạp và sẽ thấy hứng thú hơn với việc học vì đã tìm thêm
được cách giải mới hay hơn cách giải đã biết và đã nhìn được bài toán đại số dưới
góc độ hình học.
●Nhận xét:
Nhƣ vậy qua những bài tập trên học sinh đƣợc rèn luyện các năng lực chuyển từ
hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, rèn khả năng xem xét đối tƣợng
dƣới những khía cạnh khác nhau. Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những
giải pháp quen thuộc khác.Qua đó học sinh đã đƣợc rèn luyện các thành phần cơ
bản của tƣ duy sáng tạo đó là: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn.
47
BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Tìm nhiều phƣơng pháp giải cho mỗi bài toán sau.
1) x 2 2 x 3 3 3x 5
2) x 4 6 x x 2 12 x 8
3) x 2 x 12 x 1 36
4) x 9 2 x 4 5 4.
5)( x 1)2 4 x 1 3 0
6) x x 2 1 x x 2 1 2
7) x 2 4 x 5 2 2 x 3
8. Tìm m để phƣơng trình có nghiệm:
3 x 6 x (3 x)(6 x) m
9. Biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình:
1 x2 x m
10. Tìm a để bất phƣơng trình sau nghiệm đúng với mọi x 4;6
( x 4)(6 x) x 2 2 x a
11. Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm duy nhất.
4 x x5 m
2.2.2. Dạng bài tập rèn luyện suy nghĩ không dập khuôn, máy móc
Dạng bài tập này giúp học sinh rèn luyện tính mềm dẻo của tƣ duy. Đó là dạng bài
tập mà thoạt nhìn học sinh sẽ lầm tƣởng là có thể giải quyết nó bằng cách đã biết,
đã rất quen thuộc. Tuy nhiên khi bắt tay vào làm thì cách làm đó không giải quyết
đƣợc vấn đề, hoặc nếu có giải quyết đƣợc thì cũng gặp rất nhiều khó khăn. Nhƣ
vậy việc suy nghĩ dập khuôn, máy móc không đạt kết quả nhƣ mong muốn, đòi hỏi
học sinh phải chuyển hƣớng suy nghĩ và tìm ra cách giải mới. Nói cách khác là
không thể áp dụng máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng đã có, đã biết
vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới mà trong đó đã có những yếu tố thay đổi. Cần có
48
năng lực nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, chức năng mới của đối
tƣợng quen biết.
Bài tập 5: Tìm m để mỗi phƣơng trình sau có ba nghiệm phân biệt.
a)( x 1)( x 2 2mx 3m 2) 0(1)
b) x3 x(m 3) m 2 0(2)
●Nhận xét:
Phần lớn học sinh sẽ dễ dàng làm được câu a, các em sẽ phát hiện ra phương trình
(1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình x2 2mx 3m 2 0 có hai nghiệm
phân biệt khác 1.
-Ở phương trình (2) rất nhiều em theo lối mòn làm câu a và cố tách phương trình
(2) thành tích, tuy nhiên các em gặp khó khăn, trở ngại vì không thể nhẩm được
nghiệm nên không thể tách như dạng của phương trình (1). Do đó đòi hỏi học sinh
phải điều chỉnh hướng tư duy, không thể tư duy dập khuôn theo lối mòn sẵn có.Vì
vậy để hướng dẫn và rèn luyện, phát triển tư duy cho học sinh, GV sẽ tổ chức hoạt
động cho học sinh thông qua phiếu học tập.
Giáo viên tổ chức hoạt động.
Để hƣớng dẫn học sinh giải bài toán trên, GV phát phiếu học tập cho học sinh với
câu hỏi nhƣ sau
Phiếu học tập.
Cho hai phƣơng trình:
( x 1)( x 2 2mx 3m 2) 0(1)
x3 x(m 3) m 2 0(2)
1. Chỉ ra một nghiệm đã biết của phƣơng trình (1)?
2. Phƣơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phƣơng trình
x3 x(m 3) m 2 0 Có nghiệm nhƣ thế nào?
3. Phƣơng trình (2) có tách thành phƣơng trình tích nhƣ dạng của phƣơng
trình (1) không? Tại sao?
4. Từ phƣơng trình (2) hãy rút m theo x (m= f(x))?
Lập bảng biến thiên cho f(x). Hãy suy ra giá trị của m cần tìm?
GV để thời gian học sinh suy nghĩ, quay trở lại từng câu hỏi và yêu cầu học sinh
đƣa ra các ý kiến.
Dự kiến câu trả lời của học sinh:
49
1. Phƣơng trình (1) luôn có một nghiệm
2. Có thể có các ý kiến sau:
Phƣơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phƣơng trình
x2 2mx 3m 2 0
- Có hai nghiệm phân biệt.
- Có hai nghiệm phân biệt khác 1.
GV phân tích và chỉ ra ý kiến một chƣa đúng, phân tích và nhận xét ý kiến thứ hai
đã đúng.
3. Phƣơng trình (2) không thể tách thành phƣơng trình tích nhƣ dạng của phƣơng
trình (1) vì không thể nhẩm đƣợc nghiệm.
x3 3x 2
4. Từ phƣơng trình (2) ta có: m
f ( x)
x 1
GV: Yêu cầu học sinh xét dấu f '( x) , lập bảng biến thiên cho
.
2 x3 3x 2 5 ( x 1)(2 x 2 5 x 5)
HS: f '( x)
2
2
x 1
x 1
f '( x) 0 x 1
BBT:
-
f '( x)
-1
-
1
0
+
+
+
+
+
+
f ( x)
0
-
Từ BBT suy ra giá trị cần tìm của m để phƣơng trình (2) có ba nghiệm phân biệt là
m0
●Nhận xét: Nhƣ vậy qua bài tập này học sinh đƣợc rèn luyện cách tích cực tƣ duy,
rèn luyện khả năng không suy nghĩ dập khuôn máy móc, rèn năng lực chuyển hóa
tƣ duy, phải biết áp dụng một cách sáng tạo những kiến thức đã đƣợc học vào
những bài toán mới, điều kiện mới.
50
Bài tập 6: Giải phƣơng trình: x 1 3x 5 7 2 x 3
▪Nhận xét:
Rất nhiều học sinh sau khi đặt điều kiện cho các căn có nghĩa thì sử dụng phƣơng
pháp biến đổi tƣơng đƣơng bằng cách bình phƣơng hai vế của phƣơng trình. Một
số
học
sinh
khác
giữ
nguyên
phƣơng
trình
x 1 3x 5 7 2 x 3
Sau đó sử dụng phép biến đổi hệ quả là cũng bình phƣơng hai vế đƣợc phƣơng
trình hệ quả
4 x 4 2 ( x 1)(3x 5) 2 x 52 14 2 x 3
Đến đây học sinh sẽ lúng túng không biết giải quyết tiếp theo nhƣ thế nào vì
không thể bình phƣơng tiếp đƣợc do sẽ dẫn đến một phƣơng trình rất phức tạp,
cũng không thể đặt ẩn phụ vì các biểu thức không dễ biểu diễn qua nhau và qua ẩn
phụ.
Nhƣ vậy cách nhìn một cách dập khuôn, máy móc cứ thấy căn bậc hai và hai vế
đều dƣơng thì bình phƣơng hai vế hoặc bình phƣơng hai vế để có phƣơng trình hệ
quả không giải quyết đƣợc bài toán này. Do vậy buộc học sinh phải tƣ duy, tìm ra
một cách khác.
- Nếu học sinh quan sát kĩ, để ý một chút sẽ thấy các hàm số dƣới dấu căn
là những hàm số tăng. Khi đó có thể nghĩ đến phƣơng pháp sử dụng hàm số.
Lời giải:
5
3
Xét hàm số y f ( x) x 1 3x 5 2 x 3 7
Điều kiện x
1
3
1
5
0x ;
2 x 1 2 3x 5
2x 3
3
5
Nên hàm số y f ( x) là hàm số đồng biến trên đoạn ;
3
Do đó f ( x) 0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất của phƣơng trình.
Nhận thấy f (3) 0 .Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất
Ta có f '( x)
Bài tập7
Cho hai phƣơng trình:
x2 (1 3m) x 3m 3 0(1)
51
1
1
(1 3m)( x ) 3m 1 0(2)
2
x
x
1. Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm?
x2
2. Có thể đƣa phƣơng trình (2) về dạng của phƣơng trình (1) không?
3. Nêu các hƣớng tìm m để phƣơng trình (2) có nghiệm?
Nhận xét:
-Hầu hết học sinh sẽ dễ dàng làm đƣợc câu hỏi 1.
-Dự kiến câu trả lời của học sinh ở câu 2 và 3:
1
Đặt t x
, Điều kiện của (có thể sẽ có các ý kiến sau)
x
+) t 2
+) t 2
GV Chỉ ra cho học sinh điều kiện t 2 là sai, đồng thời chỉ ra các cách để tìm điều
kiện của t
+) Sử dụng tam thức bậc hai.
+) Chia trƣờng hợp và sử dụng bất đẳng thức Côsi.
+) Sử dụng phƣơng pháp hàm số.
Kết luận điều kiện của t là t 2
1
Học sinh sẽ nhìn ra t 2 x 2 2 2
x
Đƣa phƣơng trình (2) về phƣơng trình ẩn t nhƣ sau:
t 2 2 (1 3m)t 3m 1 0
Hay: t 2 (1 3m)t 3m 3 0(3)
GV: Phƣơng trình (2) có nghiệm khi phƣơng trình (3) có nghiệm nhƣ thế nào?
Nêu cách làm?
Dự kiến câu trả lời của học sinh:
-Phƣơng trình (3) có nghiệm thỏa mãn t 2
-Cách làm:
+) Sử dụng định lí (đảo) của tam thức bậc hai.
+) Chia trƣờng hợp sau đó áp dụng định lí Viet.
+) Rút m ra và xét hàm số m= g (t) với t thỏa mãn t 2
52
GV nhận xét, chỉ ra ƣu điểm, nhƣợc điểm của từng cách mà học sinh đã nêu. GV
khuyên học sinh nên làm theo hƣớng thứ 3
Phƣơng trình (3) t 2 t 3 3m(t 1)
Nhận thấy t 1 không là nghiệm của phƣơng trình nên chia hai vế cho t 1 ta
đƣợc:
t2 t 3
Phƣơng trình (3) có nghiệm t 2 ⇔ 3m
có nghiệm t 2
t 1
t2 t 3
⇔ đƣờng thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y g (t )
tại những điểm có
t 1
t 2 2t 2 (t 1) 2 1
hoành độ thỏa mãn t 2 Ta có g '(t )
0 t : t 2
(t 1)2
(t 1)2
Bảng biến thiên:
-
-2
1
2
+
+
+
+
-
3
Từ bảng biến thiên suy ra phƣơng trình (3) có nghiệm t 2
1
Khi 3m
hoặc 3m 3
3
1
Hay m hoặc m 1
9
53
1
Kết luận: Phƣơng trình (2) có nghiệm khi m hoặc m 1
9
●Nhận xét
Ở bài tập này, khi làm câu hỏi số 3. Nếu không chú ý thì nhiều học sinh sẽ áp dụng
một cách máy móc, dập khuôn điều kiện của phƣơng trình (1) với phƣơng trình (3)
t 2 (1 3m)t 3m 3 0(3) là phƣơng trình này có nghiệm nếu 0 mà quên
mất điều kiện t 2 hoặc sẽ lúng túng không biết làm thế nào với điều kiện đó.
Qua bài này học sinh đã đƣợc rèn luyện khả năng áp dụng sáng tạo những kiến
thức đã biết, kiến thức cũ vào bài toán mới mà ban đầu tƣởng chừng nhƣ không
liên quan. Học sinh gạt bỏ đƣợc lối suy nghĩ dập khuôn, máy móc.
Bài tập 8:
Giảiphƣơngtrình: 4 x 1 4 x 2 1
3
x
2
GV: Phƣơng trình trên có dạng quen thuộc không?
HS: (Dự kiến câu trả lời): Học sinh có thể nhìn theo hƣớng
f ( x) g ( x) h( x)
GV: Nêu cách làm?
HS: Có thể đặt điều kiện rồi biến đổi tƣơng đƣơng bằng cách bình phƣơng hai vế.
GV: Nếu làm vậy các em gặp khó khăn gì?
HS: Nhận thấy xuất hiện tiếp một phƣơng trình phức tạp nữa và phải biến đổi tiếp,
sẽ ra một phƣơng trình bậc 4 khó giải vì không nhẩm đƣợc nghiệm.
GV: Yêu cầu học sinh điều chỉnh suy nghĩ theo hƣớng khác!
HS: Có thể coi vế trái là một hàm số y=f(x), vế phải là một hàm số y=g(x). Xét tính
đơn điệu của chúng trên tập xác định của phƣơng trình và từ đó đƣa ra đƣợc kết
luận nghiệm của bài toán.
HS: Nhận ra:
1
y 4 x 1 4 x2 1 là hàm số đồng biến trên D ; vì có
2
2
4x
1
f '( x )
0
x
;
4x 1
2
4 x2 1
3
+) Hàm số y g ( x) x là hàm nghịch biến trên D.
2
+) Hàm số
54
Vì vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất trên D.
GV: Yêu cầu học sinh trình bày lời giải.
HS: Trình bày lời giải:
Đặt y f ( x) 4 x 1 4 x 2 1
2
4x
1
Ta có: f '( x)
0
x
;
2
4x 1
4 x2 1
1
Suy ra y f ( x) là hàm số đồng biến trên ;
2
3
Đặt y g ( x) x .
2
1
Ta có: g '( x) 1 0x ;
2
1
Suy ra y g ( x) là hàm nghịch biến trên ; .
2
Vậy phƣơng trình f ( x) g ( x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
1
1
1
Nhận thấy: f g . Vậy x là nghiệm của phƣơng trình.
2
2
2
1
Kết luận : tập nghiệm của phƣơng trình là S .
2
2.2.3. Bài tập rèn luyện khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới
Đây là dạng bài tập mà nếu biến đổi thuần túy, không nhìn đƣợc mối liên hệ giữa
các yếu tố trong bài toán với các đối tƣợng toán học khác, không có đƣợc những
liên tƣởng thì việc giải quyết bài toán sẽ gặp khó khăn, dài dòng thậm chí không
giải quyết đƣợc.Tuy nhiên nếu tìm ra đƣợc những liên tƣởng và những kết hợp mới
thì bài toán sẽ đƣợc giải quyết một cách dễ dàng và đƣa ra đƣợc cách giải rất độc
đáo.
Đáp ứng đƣợc yêu cầu của dạng bài tập trên sẽ giúp học sinh rèn luyện đƣợc tính
độc đáo của tƣ duy sáng tạo.
Bài tập 9:
55
Giải phƣơng trình sau trong khoảng (0;1)
1
32 x( x 2 1)(2 x 2 1)2 1 (1)
x
▪Nhận xét:
Đây là một phương trình bậc cao, thoạt nhìn học sinh sẽ thấy không khó khăn vì
không thấy chứa căn thức và nhìn có vẻ đơn giản.Tuy nhiên khi bắt tay vào giải thì
học sinh gặp rắc rối.
Học sinh khai triển, nhân ra và quy đồng lên thì xuất hiện một phương trình bậc 8
và không nhẩm được nghiệm, vậy là hướng đi này không giải quyết được vấn đề.
Khi đó buộc các em phải chuyển hướng làm.
GV gợi ý: Vì nghiệm cần tìm x (0;1) vậy ta có liên tƣởng đặt x với ẩn phụ nào?
HS: Liên tƣởng đến sin và cos .
GV: Yêu cầu học sinh giải bài toán theo liên tƣởng đó.
HS: Đặt x cos , 0;
2
Phƣơng trình (1) trở thành:
1
(2)
cos
32cos 2 (cos 2 1)(2cos 2 1) 2 cos 1
32cos (cos 2 1)(2cos 2 1) 2 1
32cos 2 .sin 2 .(2cos 2 1) 2 1 cos
8sin 2 2 .cos 2 2 1 cos
2sin 2 4 1 cos
cos 1 2sin 2 4
cos cos8
56
9
7
.sin
0
2
2
9
9
sin 2 0
2 k
7
sin
7 k
0
2
2
2sin
2
4
2
Vì 0; nên có các giá trị 1
, 2
, 3
là các nghiệm của
9
9
7
2
phƣơng trình (2).
Vậy trong khoảng (0;1) phƣơng trình (1) có ba nghiệm là:
2
cos
9
4
2
, cos
và cos
9
7
Trong bài toán trên học sinh đã được rèn luyện khả năng tìm ra liên tưởng giữa
đại số với lượng giác, sự liên tưởng này đã làm cho việc giải quyết bài toán trở
nên dễ dàng hơn rất nhiều, cách giải trên cũng rất độc đáo!
Bài tập 10:
Biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình:
3
12 x 2 2m x
4
Nhận xét:
Giáo viên phát vấn học sinh:Biến đổi phƣơng trình trên nhƣ thế nào?
Học sinh: Phƣơng trình trên có dạng quen thuộc
f ( x) g ( x) do đó sử dụng
phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng.
Giáo viên chỉ ra nếu biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình trên thì việc biện luận sẽ
gặp khó khăn vì những điều kiện ràng buộc của x.
Vậy có liên tƣởng gì khi nhìn những biểu thức trong phƣơng trình?
57
3
Học sinh sẽ nhận ra nếu đặt ẩn phụ y 12 x 2 thì sẽ nhận đƣợc đồ thị là một
4
nửa hình elip, và y 2m x là một đƣờng thẳng.
Khi đó số nghiệm của phƣơng trình đƣợc quy về số giao điểm của elip và đƣờng
thẳng.
Lời giải.
3
Đk: 12 x 2 0 4 x 4
4
3
Đặt y 12 x 2 khi đó ta có:
4
y 0
y 0
2
3 2 x2 y 2
1
y 12 4 x
16 12
3
Nhƣ vậy đồ thị của hàm số y 12 x 2 là một nửa elip (phần nằm phía trên trục
4
hoành Ox)
Và y 2m x là một đƣờng thẳng luôn song song với đƣờng thẳng y x .Ta tìm
hai vị trí tới hạn của nó:
Đƣờng thẳng y 2m x đi qua A(-4;0) nếu 0 2m 4 m 2
và qua B(4;0) nếu 0 2m 4 m 2
Đƣờng thẳng
x2 y 2
1 khi
y 2m x tiếp xúc với nửa trên của (E)
16 12
16 12 4m2
m 7
m
0
58
f(x)=2sqrt(7)-x
x^2/16+y^2/12=1; y>0
f(x)=-4-x
f(x)=-x
f(x)=4-x
y
8
6
y=4-x
4
y=-x
2
y=-4-x
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
A(-4;0)
-3
-2
-1
1
2
3
4
B(4;0)
5
6
7
8
9
-2
-4
-6
-8
Từ đồ thị ta có:
m 7
+) Phƣơng trình có một nghiệm khi:
2 m 2
+) Phƣơng trình có hai nghiệm khi 2 m 7
m 2
+) Phƣơng trình vô nghiệm khi:
m 7
●Nhận xét:
Với bài tập này, học sinh được rèn luyện khả năng tìm ra những liên tưởng và kết
hợp mới, học sinh phải điều chỉnh tư duy một cách linh hoạt, nhận ra sự liên tưởng
giữa các biểu thức của phương trình với đồ thị hàm số để từ đó đưa ra được giải
pháp nhanh gọn và độc đáo.
59
Bài tập 11
Giải phƣơng trình:
4( x 1)2 2(2 x 10) 1 3 2 x
2
3
TXĐ: D ;
2
GV: Các biểu thức xuất hiện trong bất phƣơng trình có quan hệ với nhau không?
Có thể biểu diễn qua nhau đƣợc không?
GV gợi ý để học sinh có thể nhìn ra.
2
HS: 4( x 1) 2 có thể biểu diễn qua 1 3 2x đƣợc nhƣ sau:
1
3 2x
1
2
3 2x
2
1 (3 2 x) 4( x 1) 2
2
GV: Khi đó BPT đƣợc biến đổi nhƣ thế nào? Hãy giải tiếp BPT đó?
HS: BPT trở thành:
4( x 1)2 2(2 x 10) 1 3 2 x
1 3 2x
1
2
3 2x
2
2
(2 x 10) 1 3 2 x
2
1 3 2 x 0
x 1
x 1
2
1 3 2 x (2 x 10)
3 2x 3 x 3
Kết hợp với
điều kiện x
3
ta có tập nghiệm của bất phƣơng trình là
2
3
S ;3 \ 1
2
●Nhận xét:
Qua hoạt động này , học sinh đƣợc rèn luyện khả năng tìm ra mối liên hệ bên trong
của các biểu thức của bất phƣơng trình mà ban đầu thoạt nhìn tƣởng nhƣ chúng
60
không
1
3 2x
có
1
2
3 2x
mối
2
liên
hệ:
1 (3 2 x) 4( x 1) 2
2
Nếu không nhìn đƣợc mối liên hệ này thì học sinh sẽ rất khó có thể tìm ra lối thoát
cho bài toán.
Nhƣ vậy việc tìm ra những liên tƣởng và những kết hợp trong bản thân các biểu
thức trong bài toán là một việc làm không nên bỏ qua, nó tạo ra những cách giải
hay, độc đáo.
2.2.4. Dạng bài tập rèn năng lực tư duy như: Tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa.
Bài tập 12:
Phiếu học tập:
Câu 1: Giải các phƣơng trình a) 3 x 3 x 1 3 2 x 1
b) 3 2 x 3 3 x 4 3 3x 1
Câu 2: Các biểu thức dƣới dấu căn trong mỗi phƣơng trình trên có liên quan đến
nhau nhƣ thế nào?
Câu 3: Có thể tổng quát dạng phƣơng trình trên nhƣ thế nào? Nêu các nghiệm của
phƣơng trình ở dạng tổng quát?
Câu 1:
Với phiếu học tập trên giáo viên yêu cầu học sinh suy nghĩ đƣa ra hƣớng giải quyết
bài toán.
Học sinh: Đƣa ra hƣớng giải quyết bài toán là biến đổi tƣơng đƣơng bằng cách lập
phƣơng hai vế của phƣơng trình.
Giáo viên : Nhận xét hƣớng giải quyết đó đúng và gọi hai học sinh lên bảng làm.
61
-Học sinh thứ nhất giải câu a:
a) 3 x 3 x 1 3 2 x 1
3
x 3 x 1
x 3 x 1
3
x x 1 3
3
3
3
3
x( x 1) 2 x 1
x( x 1) 0
1
x
x ( x 1)
2
x 3 x 1 0
x0
x 0
x( x 1) 0
x 1
x 1 0
-Học sinh thứ hai giải câu b:
b) 3 2 x 3 3 x 4 3 3x 1
2x 3 x 4 (2x 3)( x 4) 3x 1
x 4 (2 x 3)( x 4) 0
2x 3 x 4 3
3
2x 3 3
3
3
3
3
1
x 3
2 x 3 ( x 4)
3 2x 3 3 x 4 0
3
2x 3 0
x
2
3 (2 x 3)( x 4) 0
x 4 0
x 4
Câu 2. Học sinh nhận ra mối liên hệ giữa hai biểu thức trong căn của vế trái có
tổng bằng biểu thức trong căn của vế phải.
Cụ thể:
-Ở câu a: Tổng hai biểu thức trong căn của VT= x ( x 1) 2 x 1 .
Trong khi đó biểu thức trong căn của biểu thức ở vế phải cũng là: 2 x 1
-Ở câu b: Tổng hai biểu thức trong căn của VT= (2 x 3) ( x 4) 3x 1.
Trong khi đó biểu thức trong căn của biểu thức ở vế phải cũng là: 3x 1
62
Câu 3:
Từ nhận xét của câu 2 học sinh đã nhận thấy mối liên hệ giữa các biểu thức dƣới
dấu căn của hai vế. Do đó học sinh sẽ đƣa ra đƣợc dạng phƣơng trình tổng quát cho
bài toán trên là:
3
ax b 3 cx d 3 (a c) x b d
b
x
a
d
Các nghiệm của phƣơng trình trên là: x
c
(b d )
x
ac
▪Nhận xét:
Qua hoạt động trên học sinh đã đƣợc rèn luyện các năng lực tƣ duy nhƣ khái quát
hóa, tƣơng tự. Khi chuyển từ ý a) sang ý b) của câu 1 là học sinh đã đƣợc rèn luyện
về phép tƣơng tự. Ở câu 3 học sinh đã đƣợc rèn luyện về phép khái quát hóa. Học
sinh đƣa ra đƣợc phƣơng trình dạng tổng quát nhờ vào quá trình giải các ý a, b và
trả lời câu đƣợc hỏi số 2.
Bài tập 13
Câu hỏi:
1.Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ đƣa ra cách giải phƣơng trình sau:
m
a f ( x) m b f ( x) c(*)
m
a f ( x) n b f ( x) k (**)
2.Áp dụng phƣơng pháp đó hãy giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau:
a) 3 x 1 3 3 x 3 2
b) 3 x 5 x 3
63
Giáo viên tổ chức cho học sinh giải quyết câu hỏi:
-Với câu hỏi 1, giáo viên cho học sinh nhận xét về mối liên hệ giữa các biểu thức
dƣới dấu căn.
Học sinh: Dễ dàng nhận ra khi cộng các biểu thức dƣới dấu căn thì triệt tiêu hết ẩn
và
chỉ
còn
lại
hằng
số.
GV: Yêu cầu học sinh đƣa ra cách đặt ẩn phụ cho hai phƣơng trình trên.
Học sinh:
+)
Với
phƣơng
trình m a f ( x) m b f ( x) c(*)
đặt
u m a f ( x), v m b f ( x)
u v c
Khi đó phƣơng trình trở thành hệ phƣơng trình: m
m
u v a b
+)
Với
phƣơng
trình m a f ( x) n b f ( x) k (**)
đặt
u m a f ( x), v n b f ( x)
u v k
Phƣơng trình trở thành hệ hai ẩn nhƣ sau: m
n
u v a b
GV: Nhận xét câu trả lời của học sinh là đúng, yêu cầu hai học sinh lên bảng giải
hai phƣơng trình đã cho.
Học sinh 1:
Giải phƣơng trình a) 3 x 1 3 3 x 3 2
Đặt u 3 x 1, v 3 3 x
u v 3 2
Phƣơng trình trở thành: 3 3
u v 2
64
u 0
3
3
u v 3 2
v 2
u v 2
3
3
uv
0
u v 3uv(u v) 2
u 2
v 0
u 0
-Với
ta có :
3
v
2
u 3 2
-Với
ta có:
v 0
3
x 1 0
x 1 0
x 1
3
3
3
x
2
3 x 2
3
3
x 1 2
x 1 2
x3
3
3
x
0
3 x 0
Kết luận: Vậy phƣơng trình có hai nghiệm: x 1 và x 3 .
Học sinh 2: Giải bất phƣơng trình b) 3 x 5 x 3
Đk: x 5
u v 3
Đặt u 3 x , v 5 x (v 0) ta có hệ: 3
2
u v 5
3
3
u 3 27 27v 9v 2 v3
u 3 v
u 3 v
3
3
2
2
3
2
u
5
v
u 5 v
u 5 v
5 v 2 27 27v 9v 2 v3
v3 10v 2 27v 22 0(1)
3
3
2
2
u
5
v
u 5 v
Xét bất phƣơng trình (1):
v3 10v 2 27v 22 0 (v 2)(v 2 8v 11) 0
v 4 5
2 v 4 5
-Với v 4 5 ta có:
x5
5 x 4 5
5 x 4 5
2
x 5
x 8 5 16
65
3
5 1 x 5
- Với 2 v 4 5 ta có:
x5
2 5 x 4 5
45 x 4 5
2
3
1 5 x 1
Kết luận:
3
Tập nghiệm của bất phƣơng trình là: S 1 5 ;1
5 1 ;5
3
▪Nhận xét:
Khi làm bài tập trên học sinh đã đƣợc rèn luyện năng lực đặc biệt hóa. Sau khi đƣa
ra phƣơng pháp chung cho trƣờng hợp tổng quát học sinh phải chỉ ra với phƣơng
pháp đó thì những trƣờng hợp đơn lẻ cũng đúng bằng cách giải hai phƣơng trình a,
b ở câu 2. Việc làm đó một lần nữa khẳng định việc khái quát đó là đúng.
2.2.5. Bài tập tìm sai lầm trong lời giải của bài toán.
Trong quá trình giải phƣơng trình, bất phƣơng trình học sinh thƣờng mắc các sai
lầm nhƣ diễn đạt không chính xác, sử dụng ngôn ngữ không đúng, thực hiện phép
biến đổi tƣơng đƣơng một cách không chính xác (bình phƣơng hai vế của phƣơng
trình khi chƣa biết dấu của chúng, giản ƣớc tùy tiện hai vế khi biểu thức chƣa khác
không, dẫn đến mất nghiệm), bỏ quên điều kiện của phƣơng trình…
Vì vậy trong quá trình dạy học, ngƣời giáo viên cần đƣa ra các bài tập tìm sai lầm
và sửa sai lầm với mục đích giúp học sinh rèn luyện tính chính xác, tránh các sai
lầm tƣơng tự, rèn tính nhuần nhuyễn trong tƣ duy, tăng khả năng phê phán.
Bài 14:Tìm sai lầm trong các lời giải sau. Nêu cách khắc phục?
Câu1.
x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 2 x 1 x 2 6 x 9 x 2
2
2
x 4 x 3 x 7 x 12
x 4 x 3 x 4 x 3
2
Câu 2.
Câu 3:
66
x3 x3
Tìm m để phƣơng trình có nghiệm:
mx 1 x 3m 5
x2
x2
Giải:
mx 1 x 3m 5
mx 1 x 3m 5 x(m 1) 4 3m 0
x2
x2
Phƣơng trình có nghiệm khi m 1 0 m 1 . Nghiệm đó là: x
3m 4
m 1
Để tổ chức đƣợc cho học sinh làm bài tập trên có hiệu quả giáo viên nên cho lớp
hoạt động theo nhóm nhƣ sau:
a)Chia lớp thành 4 nhóm
b)Yêu cầu các nhóm hoạt động theo yêu cầu sau:
-Yêu cầu mỗi học sinh trong nhóm đều suy nghĩ và có câu trả lời của riêng
mình.Sau đó thảo luận trong nhóm, tổng hợp ý kiến .
-Trình bày kết quả của nhóm: Chỉ ra sai lầm và cách khắc phục các sai lầm đó.
c) Giáo viên đánh giá kết quả của các nhóm dựa trên tiêu chí: Điểm của nhóm là
điểm sản phẩm của nhóm cộng với điểm trình bày của nhóm(Gọi một học sinh bất
kì trong nhóm trình bày). Sản phẩm đúng là sản phẩm phát hiện đƣợc chỗ mắc sai
lầm và nêu lên đƣợc cách khắc phục.
d) Kết luận vấn đề sau khi đã cho các nhóm thảo luận.
Câu 1:
-Sai lầm ở chỗ bình phƣơng hai vế khi chƣa đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu.
Nhƣ vậy phƣơng trình nhận đƣợc chỉ là phƣơng trình hệ quả chứ không phải
phƣơng trình tƣơng đƣơng.Việc làm trên dẫn đến ngộ nhận nghiệm ngoại lai
x 2 là nghiệm của phƣơng trình ban đầu.
-Cách khắc phục: Có hai cách.
67
Cách 1: Đƣa phƣơng trình đã cho về phƣơng trình hệ quả bằng cách bình phƣơng
hai vế, sau đó thử lại và kết luận x 2 không là nghiệm của phƣơng trình ban đầu.
x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 2 x 1 x 2 6 x 9 x 2
2
2
Thay x 2 vào phƣơng trình x 1 x 3 thấy không thỏa mãn. Vậy x 2 không
là nghiệm của phƣơng trình .
Cách 2:Biến đổi tƣơng đƣơng:
x 3 0
x 3
x 1 x 3
x
2
2
x
2
x
1
x
3
Vậy phƣơng trình vô nghiệm.
Câu 2:
-Sai lầm ở chỗ chia cả hai vế cho x 4 khi chƣa biết x 4 có khác không hay
không nên đã làm mất nghiệm x 4 của phƣơng trình.
-Cách khắc phục: Có hai cách.
Cách 1: Xét hai trƣờng hợp x 4 và x 4 .
Cách
2:
Chuyển
x 4
x 3 x 2 7 x 12
vế
và
đƣa
x 4 x 3 x 4 x 3 x 4
về
phƣơng
trình
tích.
x 4
x3 x3 0
x3 x30
Câu 3:
-Sai lầm ở chỗ: Coi phƣơng trình
mx 1 x 3m 5
(1) tƣơng đƣơng với phƣơng
x2
x2
trình mx 1 x 3m 5 (2). Việc biến đổi sai lầm này dẫn đến việc ngộ nhận
nghiệm của phƣơng trình (2) cũng là nghiệm của phƣơng trình (1).
-Cách khắc phục:
68
Khẳng đinh với x 2 thì phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với phƣơng trình (2). Vì
vậy khi m 1, x
3m 4
là nghiệm của phƣơng trình (2) sẽ là nghiệm của phƣơng
m 1
m 1
m 1
trình (1) nếu
5m 4
2
x
2
m
m 1
3
▪Nhận xét:
Mục đích của bài tập này là giáo viên làm cho học sinh thấy đƣợc các sai lầm
thƣờng mắc phải khi sử dụng phép biến đổi tƣơng đƣơng. Qua đó đƣa ra các hƣớng
khắc phục để có lời giải đúng.
Bài 15
Giải phƣơng trình:
3
2 x 1 3 x 1 3 3x 1
Sau đây là lời giải của một bạn học sinh A.Em hãy đánh giá lời giải trên, nếu có sai
lầm thì chỉ ra sai lầm và nêu cách khắc phục sai lầm đó?
Lời giải của học sinh A:
3
2 x 1 3 x 1 3 3x 1
2 x 1 x 1 3 3 2 x 1 x 1
3
2 x 1 3 x 1 3 x 1(1)
3
2 x 1 x 1
3
3
2 x 1 x 1
3x 1 1(3) (vì theo giả thiết
3
2 x 1 3 x 1 1(2)
3
2 x 1 3 x 1 3 3x 1 )
2 x 1 x 1 3x 1 1(4)
6 x3 7 x 2 0(5)
x 0
7
x
6
(6) .Vậy phƣơng trình có hai nghiệm x 0 và x
69
7
6
Dự kiến các câu trả lời của học sinh sau khi xem xét lời giải của học sinh A:
- Học sinh 1: Cho rằng lời giải trên là hợp logic và đúng.
- Học sinh 2: Nhận thấy nếu thay x 0 vào phƣơng trình ban đầu thì không
thỏa mãn, chứng tỏ x 0 không là nghiệm của phƣơng trình ban đầu.
Giáo viên nhận xét phát hiện của học sinh 2 là đúng vì x 0 không là nghiệm của
phƣơng trình ban đầu.
Vậy câu hỏi đặt ra là sai lầm ở đâu? Từ bƣớc nào? Các phép biến đổi tƣơng đƣơng
nhƣ vậy đã đúng chƣa?
Kết
luận
vấn
đề:
-Sai lầm ở phép biến đổi tƣơng đƣơng. Phép biến đổi từ bƣớc (2) sang bƣớc (3) chỉ
là phép biến đổi hệ quả. Tức là (1) 2;(2) (3);(3) (4);(4) (5);(5) (6)
-Cách khắc phục:
Nhƣ vậy do (3) là hệ quả của (1) nên sau khi có nghiệm x 0 và x
7
của (3) ta
6
phải có phép thử.
-Thay x 0 vào (1) ta có:
VT (1) 3 1 3 1 2;VP(1) 3 1 1
Vậy x 0 không là nghiệm của (1)
x
-Thay
VT (1)
Vậy x
3
7
6
vào
(1)
8 31
3
27
3
3 ;VP 3
3
6
6
6
6
6
7
là nghiệm của phƣơng trình (1).
6
▪Nhận xét:
70
ta
có:
Bài toán trên cho ta thấy nếu nhầm lẫn giữa phép biến đổi hệ quả với phép biến đổi
tƣơng đƣơng mà không thử lại nghiệm thì chúng ta sẽ lấy thừa các nghiệm “ngoại
lai”.
Bài 16:
Kiểm tra tính chính xác của lời giải sau, nêu sai lầm (nếu có).Nêu cách khắc phục?
Tìm m để phƣơng trình
mx +2 2 x 3 m
(1) vô nghiệm:
x2
x2
Lời giải:
Đk: x 2 . Với điều kiện trên phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng phƣơng trình
mx 2 2 x 3 m (2)
(2) x(m 2) 1 m
m 2 0 m 2
Phƣơng trình này vô nghiệm nếu
m2
1
m
0
m
1
Kết luận phƣơng trình (1) vô nghiệm khi m 2 .
-GV tổ chức cho học sinh nghiên cứu lời giải đó, chỉ ra sai lầm nếu có, nêu cách
khắc phục.
-Dự kiến các tình huống có thể xảy ra:
+) Tình huống 1: Học sinh kiểm tra thấy rõ rang phƣơng trình dạng ax b 0 vô
a 0
nghiệm nếu
b 0
Mà phƣơng trình trên có dạng đó. Vì vậy kết luận lời giải trên đúng.
+)Tình huống 2: Nhận xét lời giải trên chỉ đúng cho phƣơng trình (2). Do đó việc
kết luận m 2 mà phƣơng trình (1) vô nghiệm là chƣa đủ .
-Kết luận vấn đề:
Lỗi sai lầm của lời giải trên là đã bỏ qua việc đối chiếu điều kiện, trƣờng hợp
phƣơng trình (2) có nghiệm và nghiệm đó bằng 2 thì cũng làm cho phƣơng trình
(1) vô nghiệm. Vì vậy việc kết luận nhƣ trên dẫn đến thiếu giá trị cần tìm của m.
71
-Cách khắc phục:
Xét trƣờng hợp m 2 , phƣơng trình (2) có nghiệm duy nhất x
không là nghiệm của (1)nếu x
1 m
. Giá trị này
m2
1 m
5
2m .
m2
3
m 2
Vậy phƣơng trình (1) vô nghiệm nếu
5
m
3
Bài 17
Phiếu học tập:
Để giải phƣơng trình x 2 5x 4 x 2 9 0 , bạn Hải đã làm nhƣ sau:
x
2
5x 4
x 1
x 4
x2 5x 4 0
2
x 9 0 2
x 3
x 9 0
x 3
Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S 3,1,3,4
Em hãy đánh giá lời giải trên, phát hiện sai lầm nếu có và nêu cách khắc phục đó?
-Dự kiến các tình huống có thể xảy ra:
+) Học sinh thấy không có sai lầm vì nhận thấy các phép biến đổi có vẻ đúng .
+)Học sinh thay các phần tử trong tập S thì thấy x 1 làm cho biểu thức
x
2
9 trong căn bậc hai nhận giá trị âm, nên
x 2 9 không xác định khi x=1.Vì
vậy kết luận là có sai lầm.
-Kết luận vấn đề:
+)
Sai
lầm
ở
chỗ:
Không
đặt
điều
x 3
trình: x 2 9 0
x 3
72
kiện
xác
định
của
phƣơng
+) Cách khắc phục:
Lời giải đúng:
x
2
5x 4
x2 9 0
x2 9 0 x2 9 0
x2 5x 4 0
x 3
x 3
x 3
x 3
x 3
x 3
x 4
x
1
x 4
Nhƣ vậy với sai lầm của lời giải ban đầu, học sinh sẽ rút ra bài học là cần thiết phải
đặt điều kiện cho phƣơng trình.
Kết luận chƣơng 2
Trong chƣơng 2, luận văn đã thực hiện đƣợc những nội dung sau:
- Phát triển tƣ duy sáng tạo khi giảng dạy lý thuyết.
- Phát triển tƣ duy sáng tạo khi giảng dạy bài tập.
Khi giảng dạy bài tập để phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh tác giả đã đƣa ra 5
dạng bài tập về phƣơng trình, bất phƣơng trình, nhằm phát triển các yếu tố của tƣ
duy sáng tạo nhƣ tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, cũng nhƣ rèn
luyện một số năng lực tƣ duy nhƣ khái quát hóa, tƣơng tự hóa, đặc biệt hóa.
73
Với mỗi dạng bài tập đƣa ra tác giả đều lựa chọn phƣơng pháp dạy phù hợp nhằm
phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh nhƣ: Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải
quyết vấn đề, phƣơng pháp dạy học hợp tác, phƣơng pháp làm việc nhóm.
Thông qua hệ thống bài tập đó với những phƣơng pháp dạy học thích hợp chắc
chắn rằng sẽ góp phần làm phát triển tƣ duy sáng tạo của học sinh khi học phần
phƣơng trình, bất phƣơng trình nói riêng và các nội dung học khác nói c
CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1.Mục đích, nội dung thực nghiệm sư phạm
3.1.1 .Mục đích của thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sƣ phạm nhằm mục đích kiểm tra sự phát triển của các yếu tố của tƣ
duy sáng tạo của học sinh sau khi học các dạng bài tập về phƣơng trình, bất
phƣơng trình trong giáo án thực nghiệm.
3.1.2.Nội dung của thực nghiệm sư phạm
-Dạy giáo án đã soạn về phƣơng trình, bất phƣơng trình với mục đích phát triển tƣ
duy sáng tạo cho học sinh.
-Sau khi dạy xong, cho học sinh ở các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng làm bài
kiểm tra tự luận trong khoảng thời gian 60 phút.
3.2. Tổ chức thực nghiệm
3.2.1. Đối tượng và địa bàn thực nghiệm
-Đối tƣợng thực nghiệm là dạy học phần phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng
THPT (luận văn dừng lại ở phƣơng trình, bất phƣơng trình đại số).
74
-Địa bàn thực nghiệm là trƣờng Trung học phổ thông Lê Quý Đôn –Hà Đông –Hà
Nội. Trong đó lớp 12A4 chọn là lớp thực nghiệm và lớp 12A6 chọn là lớp đối
chứng.
3.2.2.Kế hoạch thực nghiệm
-Chuẩn bị giáo án thực nghiệm.
-Tiến trình thực nghiệm: Dạy thực nghiệm một số bài toán đã trình bày trong
chƣơng 2 của luận văn theo hƣớng phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh tại lớp
12a4.Sau khi dạy xong sẽ kiểm tra dƣới dạng tự luận ở lớp thực nghiệm 12A4 và
lớp đối chứng 12A6 để so sánh, đối chứng và đánh giá kết quả.
-Đánh giá kết quả thực nghiệm.
-Thời gian thực nghiệm: 20/3/2012 đến 20/4/2012
3.2.3. Giáo án thực nghiệm sư phạm
Giáo án 1
LUYỆN TẬP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Họ và tên ngƣời dạy: Lƣu Thị Hạnh
Ngày dạy: 20/3/2012
Lớp dạy: 12A4-Trƣờng THPT Lê Quý Đôn - Hà Đông
Lớp đối chứng: 12A6-Trƣờng THPT Lê Quý Đôn - Hà Đông
I.Mục tiêu
-Về kiến thức:
Giúp học sinh nắm đƣợc một số phƣơng pháp giải phƣơng trình nhƣ phƣơng pháp
sử dụng chiều biến thiên của hàm số, phƣơng pháp đặt ẩn phụ.
-Về kĩ năng:
Vận dụng các phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình một cách nhanh,
chính xác .Biến đổi các bƣớc linh hoạt, có thể đƣa ra nhiều cách giải cho một
phƣơng trình, bất phƣơng trình.
75
-Về tư duy, thái độ.
Rèn luyện tính mềm dẻo và tính nhuần nhuyễn của tƣ duy.Rèn năng lực chuyển
hóa trong tƣ duy tức là chuyển từ cách nhìn này sang cách nhìn khác, từ giải pháp
này sang giải pháp khác, năng lực điều chỉnh kịp thời hƣớng suy nghĩ khi hƣớng
suy nghĩ cũ không giải quyết đƣợc vấn đề hoặc khi gặp trở ngại.
Học sinh chủ động phát hiện vấn đề và chiếm lĩnh tri thức mới. Có tinh thần hợp
tác trong học tập.
II. Phƣơng pháp
Gợi mở vấn đáp, phát hiện và giải quyết vấn đề, thảo luận nhóm.
III. Chuẩn bị
-Về đồ dùng học tập: Sách giáo khoa, vở ghi và các vật dụng học tập cần thiết
khác.
-Về kiến thức : học sinh đã đƣợc học các phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất
phƣơng trình bằng cách biến đổi tƣơng đƣơng, đặt ẩn phụ, đánh giá và dùng chiều
biến thiên của hàm số.
IV.Tiến trình tổ chức bài học
1. Ổn định tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ
Câu hỏi:
Câu 1: Nêu các phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình đã đƣợc học?
Câu 2: Nêu điều kiện của m để :
Bất phƣơng trình:
▪ m f ( x) có nghiệm trên D.
▪ m f ( x) nghiệm đúng trên D
▪ m f ( x) có nghiệm trên D
▪ m f ( x) nghiệm đúng trên D
(D là tập con của )
Học sinh trả lời:
76
Câu 1:Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình là: Phƣơng pháp
biến đổi tƣơng đƣơng, phƣơng pháp đặt ẩn phụ, đánh giá và sử dụng chiều biến
thiên của hàm số.
Câu 2:
▪ m f ( x) có nghiệm trên D m max f ( x) .
D
▪ m f ( x) nghiệm đúng trên D m min f ( x)x D
D
▪ m f ( x) có nghiệm trên D m min f ( x)
D
▪ m f ( x) nghiệm đúng x D m max f ( x)
D
3. Luyện tập
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hoạt động 1
Ghi bảng
Bài 1
Cho phƣơng trình
HS: Khi m=2 phƣơng x 2 4 x 5 m 2 x 5
Hãy nêu cách giải trình
trở
thành: a)Giải phƣơng trình với m=2
Câu a)
phƣơng trình khi x 2 4 x 5 2 2 x 5
b)Tìm m để phƣơng trình có
m=2?
Giải bằng phƣơng pháp nghiệm?
biến đổi tƣơng đƣơng.
Phƣơng trình trở thành:
Giải.
a)Với m=2, phƣơng trình trở
x 2 4 x 5 2 4(2 x 5) thành:
GV nhận xét khi
x2 4 x 5 2 2 x 5
5
x
biến đổi tƣơng
2
2
x 2 1 2 2 x 5
đƣơng dẫn đến giải
-Cách 1: Đặt ẩn phụ
phƣơng trình bậc 4
HS:
Đặt u x 2, v 2 x 5
không đơn giản.
? Có phƣơng pháp Đƣa phƣơng trình về Điều kiện: v 0
nào khác không?
77
x 2
2
1 2 2x 5
? Đặt ẩn phụ nhƣ
Sử dụng phƣơng pháp
thế nào?
đặt ẩn phụ.
Khi đó có hệ:
u 2 1 2v
2
v 1 2u
u 2 1 2v
2
2
u v 2(v u )
Giáo viên yêu cầu
học sinh giải theo
cách đó.
u 2 1 2v
u v u v 2 0
Đặt
HS:
u 2 1 2v
u 1
u
v
v 1
2
2
u 1 2v
u 2u 5 0
Học sinh giải theo ẩn phụ
u
v
2
0
v 2 u
u, v vừa đặt.
u 1
v 1
u x 2, v 2 x 5
u 1
Với v 1
ta
Học sinh suy nghĩ trả lời.
có
:
x 2 1
x 3
x3
x
3
2
x
5
1
Vậy phƣơng trình có nghiệm duy
Có thể sử dụng
nhất x=3.
phƣơng pháp đánh
-Cách 2: Sử dụng phƣơng pháp
giá để giải quyết
đánh giá để giải quyết bài toán.
bài
Điều kiện của
toán
này
không?
Áp dụng bất đẳng thức xác định là x
Côsi.
để phƣơng trình
5
2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi có
▪ ( x 2)2 1 2( x 2)
Đánh giá nhƣ thế
78
Dấu bằng xảy ra khi x 2 1
nào?
▪ 2 2 x 5 2 x 5 1 2( x 2)
Do
x 2
đó
2
phƣơng
trình
1 2 2x 5
tƣơng đƣơng:
x 2 1
x3
2 x 5 1
Nêu một cách giải
khác?
Cách 3: Sử dụng chiều biến
thiên của hàm số.
Xét hàm số nào?
Học sinh suy nghĩ đến
cách sử dụng chiều biến
Xét
hàm
y f ( x) ( x 2)2 1 2 2 x 5
5
trên ;
2
thiên của hàm số.
2
2x 5
f '( x) (2 x 4)
Học sinh chỉ ra hàm số
cần
số
xét
là:
f '( x) 0 (2 x 4)
y ( x 2)2 1 2 2 x 5
2
0
2x 5
( x 3)(8x 2 28x 28) 0
x 3
(vì 8x2 28x 28 0 vô nghiệm)
Bảng biến thiên
x
f '( x)
79
5
2
3
0
f ( x) 5
4
0
Từ bảng biến thiên suy ra trên
5
nửa khoảng ; ta luôn có
2
f ( x) 0
f ( x) 0 x 3 .
và
Vậy phƣơng trình có nghiệm duy
nhất x 3 .
b)
b)Tìm m để phƣơng trình có
Nêu cách làm?
nghiệm: x 2 4 x 5 m 2 x 5
Xét hàm số nào?
Giải:
b)
Giáo viên chú ý Học sinh chỉ ra hàm số
cho học sinh cần lí cần
5
luận x không là
2
xét
là
x2 4 x 5
y f ( x)
2x 5
Điều kiện: x
5
2
5
Nếu x 2 thì phƣơng trình vô
nghiệm của phƣơng
nghiệm .
trình nên chia hai
Do đó chia hai vế của phƣơng
vế cho
2 x 5 ta
trình
2x 5
ta
có:
x2 4 x 5
m
2x 5
mới có hàm số
y f ( x)
cho
x2 4 x 5
2x 5
Đặt y f ( x)
x2 4 x 5
2x 5
Ta có:
f '( x)
80
x
2x 4 2x 5
2x 5
2
4 x 5
2x 5
2 x 4 2 x 5 x 4 x 5
f '( x)
2 x 5 2 x 5
2
3x 2 14 x 15
f '( x)
2 x 5 2 x 5
f '( x) 0 3x 2 14 x 15 0
x 3
5
x
3
BBT:
x
5
3
5
2
f '( x)
f ( x)
3
0
2
Từ bảng biến thiên suy ra phƣơng
trình có nghiệm khi m 2 .
Bài 2:
Cho hai phƣơng trình:
x 2 (1 3m) x 3m 3 0(1)
Gọi học sinh trả lời
câu hỏi 1
1
1
(1
3
m
)(
x
) 3m 1 0(2)
x2
x
Học sinh dễ dàng đƣa ra
1. Tìm m để phƣơng trình (1)
đƣợc câu trả lời là :
có nghiệm?
Phƣơng trình (1) có
x2
81
nghiệm khi biệt thức 2. Hãy đƣa phƣơng trình (2) về
0
9m2 18m 13 0
m
dạng phƣơng trình (1).
3. Tìm m để phƣơng trình (2)
có nghiệm?
Giải:
1.Phƣơng trình (1) có nghiệm khi
1 3m 4(3m 3) 0
2
9m2 18m 13 0
m
2.Đặt x
1
t.
x
Điều kiện t 2 .
Đƣa phƣơng trình
HS: Sử dụng phƣơng Khi đó : t 2 x 2 12 2
(2) về phƣơng trình
x
pháp đặt ẩn phụ có thể
(1) bằng cách nào?
Phƣơng trình (2) đƣa về phƣơng
đƣa phƣơng trình (2) về
trình
ẩn
t
nhƣ
sau:
phƣơng trình (1)
t 2 (1 3m)t 3m 3 0(3)
1
Đặt x t
x
Điều kiện của t?
Sau khi giáo viên gợi ý
Giáo viên cần lƣu
các cách tìm điều kiện 3.Phƣơng trình (2) có nghiệm khi
ý: Học sinh thƣờng
trình
của t, học sinh chỉ ra cụ phƣơng
chỉ ra điều kiện của
t 2 (1 3m)t 3m 3 0(3)
thể:
t là t 2 vì các em
Hƣớng 1:
có nghiệm t thỏa mãn t 2 .
hay mắc sai lầm
Điều kiện của t là phƣơng Cách 1:Sử dụng phương pháp
dùng luôn bất đẳng
1
trình x t có nghiệm hàm số.
thức
Côsi
x
Phƣơng trình (3)
82
1
1
x 2 x. 2
x
x
Mà
không
x2 tx 1 0
quan nghiệm khác 0.
tâm đến dấu của x
1
và .
x
t 2 (1 3m)t 3m 3 0(3)
2
có t t 3 3m(t 1)
Nhận thấy t 1 không là nghiệm
của phƣơng trình nên chia hai vế
cho
ta
đƣợc:
t 1
khác 0.
0
2
0 t.0 1 0
t 2 4 0
t 2
Do đó giáo viên
t
cần hƣớng dẫn học
Hƣớng 2:(dùng bất đẳng
sinh các hƣớng tìm
thức)
ra điều kiện đúng
Nếu
x 0 thì
của t là t 2 .
1
1
Hƣớng 1:Sử dụng t x x 2 x. x 2 (*)
tam thức bậc hai.
Nếu x 0 thì:
Hƣớng 2: Chia Đặt x ' x khi đó x ' 0
trƣờng hợp( x 0 và
x 0 ) và sử dụng Và t x 1 ( x ' 1 )
bất đẳng thức Côsi.
x
x'
Hƣớng 3: Sử dụng
phƣơng pháp hàm Mà x ' 1 2 x '. 1 2
số.
x'
x'
Suy ra t 2 (**)
Từ (*) và (**) suy ra điều
kiện của t là t 2 .
Hƣớng 3:(dùng hàm số)
t2 t 3
3m
t 1
Phƣơng trình
t 2
nghiệm
t 2 2t 2 (t 1) 2 1
g '(t )
0
(t 1)2
(t 1)2
t : t 2
Bảng biến thiên:
t
-2
1
2
g '(t )
+
+
1
3
1
x2
g (t )
83
có
⇔
t2 t 3
có nghiệm t 2
3m
t 1
⇔đƣờng thẳng y=3m cắt đồ thị
t2 t 3
hàm số y g (t )
tại
t 1
những điểm có hoành độ thỏa
t 2
mãn
Ta
có
1
t g ( x) x
x
g '( x) 1
(3)
3
x 1
g '( x) 0
x 1
Lập bảng biến thiên và
chỉ ra t 2 .
Giáo viên yêu cầu
học sinh nêu các Học sinh suy nghĩ và đƣa Từ bảng biến thiên suy ra phƣơng
cách để tìm m sao ra các cách làm khác trình (3) có nghiệm t 2 khi
cho phƣơng trình nhau:
3m 3
m 1
(3) có nghiệm thỏa Cách 1: Sử dụng chiều
1
1
3m
m
3
9
mãn t 2 ?
biến thiên hàm số.
Rút m ra theo t và xét Kết luận:
Vậy phƣơng trình (2) có nghiệm
hàm g(t)
t2 t 3
3m g (t )
t 1
Lập bảng biến thiên của
g(t) và từ đó suy ra giá trị
của m.
ý và phân tích cho Cách 2:Sử dụng tam thức
sinh
khi bậc hai.
tam thức bậc hai và áp dụng
Ta đi tìm m để phƣơng trình (3)
vô
nghiệm
với
t
thỏa
mãn: t 2 hay nói cách khác là
phƣơng trình (3) có
nghiệm
Cách 2: Sử dụng định lí đảo của
cách làm gián tiếp.
-Giáo viên cần chú
học
m 1
khi
1
m
9
tìm m để phƣơng trình (3) có
t 2 thì
nghiệm t thỏa mãn t 2 . Loại đi
tại sao có các điều
những giá trị m tìm đƣợc đó thì
còn lại là những giá trị m để
phƣơng trình (3) có nghiệm với
84
t 2.
0
a. f (2) 0
kiện: a. f (2) 0
2 S 2
2
Thật vậy phƣơng trình
t 2 (1 3m)t 3m 3 0(3)
Có nghiệm t thỏa mãn t 2 khi
0
a. f (2) 0
và chỉ khi: a. f (2) 0
2 S 2
2
9m 2 18m 13 0
9m 1 0
3m 3 0
2 3m 1 2
2
m
1
m
1
9
m 1
9
m 1
5
1 m
3
Vậy
1
m 1 thì phƣơng trình có
9
nghiệm t thỏa mãn t 2 , hay
phƣơng trình (3) có nghiệm t thỏa
m 1
mãn t 2 khi
1
m
9
Kết luận phƣơng trình (2) có
85
m 1
nghiệm khi
1
m
9
4. Củng cố kiến thức:
-Qua các bài tập trên cần chú ý khi đặt ẩn phụ trong một phƣơng trình, bất phƣơng
trình cần phải tìm điều kiện cụ thể cho ẩn phụ. Việc tìm điều kiện có thể áp dụng
các cách nhƣ: dùng bất đẳng thức, dùng tam thức bậc hai, dùng hàm số.
5. Bài tập về nhà.
Tìm m để phƣơng trình x 2
1
1
1
(2
m
1)
x
5
m
0 có nghiệm?
16 x 2
4
x
2
Giáo án 2
LUYỆN TẬP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Họ và tên ngƣời dạy: Lƣu Thị Hạnh
Ngày dạy: 15/4/2012
Lớp dạy: 12A4
Lớp đối chứng: 12A6
I.Mục tiêu
-Về kiến thức:
Giúp học sinh có khả năng tìm ra những liên tƣởng và những kết hợp mới, khả
năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác từ đó chọn ra cách giải
hay, độc đáo.
-Biết phát hiện sai lầm và cách khắc phục các sai lầm của một số lời giải cho trƣớc.
-Về kĩ năng:
86
Rèn kĩ năng vận dụng các phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình một
cách nhanh, chính xác . Tìm đƣợc mối liên tƣởng và những kết hợp mới.
Phát hiện nhanh vấn đề, tìm ra sai lầm và biết cách khắc phục sai lầm đó.
-Về tư duy, thái độ.
Học sinh biết điều chỉnh tƣ duy một cách linh hoạt, để từ đó tìm đƣợc cách giải
hay, độc đáo.
II. Phƣơng pháp
Gợi mở vấn đáp, phát hiện và giải quyết vấn đề, thảo luận nhóm.
III. Chuẩn bị
-Về đồ dùng học tập: Sách giáo khoa, vở ghi và các vật dụng học tập cần thiết
khác.
-Về kiến thức: học sinh đã đƣợc học các phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất
phƣơng trình bằng cách biến đổi tƣơng đƣơng, đặt ẩn phụ, đánh giá và dùng chiều
biến thiên của hàm số.
IV.Tiến trình tổ chức bài học
1. Ổn định tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi:
Thế nào là phép biến đổi tƣơng đƣơng? Phép biến đổi hệ quả?
3. Luyện tập
Hoạt động của thầy và trò
Ghi bảng
Bài 1 :
Tìm nhiều cách giải cho bài toán sau:
Tìm
m
để
bất
2
Thông qua vấn đáp , gợi mở,giáo trình: ( x 3)(5 x) x 2 x m
viên cho học sinh suy nghĩ và đƣa
nghiệm đúng với mọi 3 x 5
ra các ý kiến về các cách giải bất
phƣơng trình trên.
Dự kiến các tình huống mà học
Giải:
sinh đƣa ra:
-Học sinh 1:
●Cách 1:
87
phƣơng
(1)
Chuyển về dạng m f ( x)
cụ thể:
m ( x 3)(5 x) x 2 2 x
Sau đó áp dụng phƣơng pháp hàm
số để tìm m
GV: Khi nào thì bất phƣơng trình
m f ( x)x D
HS:
m max f ( x)
Đƣa
bất
phƣơng
trình
(1)
về
( x 3)(5 x) x 2 2 x m
Bài toán trở thành :Tìm m để bất phƣơng
trình:
m ( x 3)(5 x) x 2 2 x x 3;5
Đặt f ( x) ( x 3)(5 x) x 2 2 x
D
GV: yêu cầu học sinh làm theo
cách đó.
x 1
2x 2
( x 3)(5 x)
f '( x)
( x 1) 1 2 ( x 3)(5 x)
( x 3)(5 x )
Ta có: f '( x) 0 x 1
BBT
-3
x
f '( x)
1
+
0
5
-
5
f ( x)
Từ bảng biến thiên suy ra:
m ( x 3)(5 x) x 2 2 xx 3;5
m max f ( x) m 5
3;5
●Cách 2:
Đặt t g ( x) ( x 3)(5 x)
-Học sinh 2:
Ta có:
88
Đặt
t ( x 3)(5 x)
x2 2 x 15 t 2
đƣa
về
thì g '( x)
bất
phƣơng trình ẩn t, từ đó tìm m để
( x 1)
( x 3)(5 x)
g '( x) 0 x 1
bất phƣơng trình có nghiệm.
GV: Khi x 3;5 thì t thuộc
đoạn nào?Nêu cách tìm?
HS : Tìm đƣợc khi x 3;5 thì
t 0;4 bằng các phƣơng pháp :
+) Hàm số
BBT của g ( x)
-3
x
g '( x)
1
+
+)Bất đẳng thức côsi
+)Tam thức bậc hai.
HS: t ( x 3)(5 x) 0
Khi x 3;5 thì ( x 3) 0 và
(5 x) 0
Áp dụng bất đẳng thức côsi có:
x 35 x
( x 3)(5 x)
4
2
Vậy 0 t 4
0
-
4
g ( x)
GV: Áp dụng bất đẳng thức côsi
tìm điều kiện của t?
5
0
0
Nhƣ vậy x 3;5 thì t 0;4 .
Vì t ( x 3)(5 x)
t 2 3 x 5 x x 2 2 x 15
Bài toán trở thành:
Tìm m để bất phƣơng trình
t 15 t 2 m nghiệm đúng t 0;4
Hay: m t 2 t 15 nghiệm đúng t 0;4
Đặt f (t ) t 2 t 15 ta có:
f '(t ) 2t 1, f '(t ) 0 t
BBT của f (t )
89
1
2
t
1
2
0
f '(t )
-
0
4
+
-15
5
f (t )
61
4
Từ bảng biến thiên suy ra
m maxf(t) m 5 .
0;4
-GV: Đặt câu hỏi, hãy cho biết đồ ●Cách 3:
thị
của
hai
hàm
số Ta có:
y ( x 3)(5 x)
và
y ( x 3)(5 x)
y x 2 2 x m có hình dạng gì?
y 0
2
2
y x 2 x 15
-Dự kiến câu trả lời của học sinh:
y0
y x 2 2 x m có đồ thị là một
2
2
( x 1) y 16
parabol (P) có bề lõm hƣớng lên
trên, luôn nhận đƣờng thẳng x=1 Vậy đồ thị của hàm số y ( x 3)(5 x)
làm trục đối xứng.
là nửa đƣờng tròn (C ) nằm phía trên trục
-GV:hãy đặt điều kiện rồi bình hoành Ox, có tâm I(1;0), bán kính R=4.
90
phƣơng hai vế của biểu thức
y ( x 3)(5 x)
Sau đó cho biết đồ thị của hàm số
(x-1)^2+y^2=16; y>0
f(x)=x^2-2x+5
x=1
y ( x 3)(5 x)
y
-HS:
8
y ( x 3)(5 x)
6
4
y 0
2
y x 3 5 x
2
x=1
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
y 0
2
2
x 1 y 16
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-4
-6
Vậy đồ thị là nửa đƣờng tròn (C )
-8
nằm phía trên trục hoành Ox, có
tâm I(1;0), bán kính R=4
-GV: nêu yêu cầu của bài toán khi
đã xác định đƣợc hai đồ thị của hai
hàm số?
Xét parabol tiếp xúc với đƣờng tròn tại điểm
M (1;4) m 5 .
Vậy m 5 thì (P) nằm phía trên (C ).
m 5 thì bất phƣơng trình nghiệm đúng
HS: Ta tìm m để (C) nằm phía Hay
x 3;5 .
dƣới (P) với mọi x 3;5 .
●Cách 4: (Sử dụng điều kiện cần và đủ)
( x 3)(5 x) x 2 2 x m(1)
▪Điều kiện cần:
GV: Đặt câu hỏi có còn cách nào Vì
khác không?
bất
phƣơng
trình
đúng
với
mọi
x 3;5 nên bất phƣơng trình đúng với
GV: Gợi ý sử dụng phƣơng pháp x 3; x 5 và x 1 (giá trị x 1 là trung
91
điều kiện cần và đủ.
điểm của đoạn 3;5 .
▪Điều kiện cần:
Thay x 3 vào (1) ta có :
GV: Để bất phƣơng trình đúng với
mọi x 3;5 thì đúng với những
giá trị đặc biệt nào của x
m 15
x 5 vào
Thay
HS: bất phƣơng trình đúng với
x 3, x 5, x 1 (giá trị
(3 3)(5 3) (3)2 2(3) m
x 1 là
trung điểm của đoạn 3;5
GV: yêu cầu thử các giá trị đó và
tìm ra m
HS: tìm ra m 5
▪ Điều kiện đủ.
GV: Giả sử m 5 , hãy chỉ ra
( x 3)(5 x) x 2 2 x m(1)
nghiệm đúng với mọi 3 x 5
GV: hƣớng dẫn học sinh dùng bất
đẳng thức để đánh giá.
(1)
ta
có:
(5 3)(5 5) 52 2.5 m
m 15
Thay x 1 vào (1) ta có:
(1 3)(5 1) 12 2.1 m
m 5 .Kết hợp lại ta có điều kiện cần để
bất
phƣơng
trình: ( x 3)(5 x) x 2 2 x m
nghiệm
đúng x 3;5 là m 5
▪Điều kiện đủ.
Khi 3 x 5 thì ( x 3) 0 và (5 x) 0
Do đó áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
VT ( x 3)(5 x)
▪Nhận xét:
Với bài toán trên học sinh đã đƣợc
Xét với m 5 ta có:
VP x 2 2 x m
rèn luyện cách nhìn một đối tƣợng
( x 1) 2 m 1 m 1 4
toán học dƣới nhiều khía cạnh
khác nhau, từ đó đã đƣa ra đƣợc
nhiều phƣơng pháp giải toán. Qua
những phƣơng pháp đó học sinh sẽ
x 35 x
4
2
KL:
Vậy m 5 thì bất phƣơng trình
( x 3)(5 x) x 2 2 x m
92
(vì m 5 )
thấy cho riêng mình một cách giải nghiệm đúng x 3;5 .
hay, đáng nhớ và độc đáo.
Bài 2: Tìm k để phƣơng trình sau có hai
nghiệm phân biệt?
x 1 x2 k
Giải:
Hoạt động : Hƣớng dẫn tìm lời
2
giải (Giáo viên hỏi, học sinh trả Đặt y 1 x , điều kiện y 0 .
lời)
Khi đó ta có:
x2 y 2 1
-GV: Phƣơng trình trên có dạng Và x y k
quen thuộc không?
Bài toán trở thành:
Nêu một cách làm?
Tìm k để hệ
-HS: Nhận thấy phƣơng trình
x 1 x2 k 1 x2 k x
x y k
2
Có dạng f ( x) g ( x)
2
x y 1 có hai nghiệm phân biệt
Vì vậy bài toán trở thành tìm k để
y 0
phƣơng trình 1 x 2 k x có hai
x ; y ; x ; y với
x1 x2
nghiệm phân biệt thuộc đoạn [- 1 1 2 2
Ta có đồ thị nhƣ sau:
1;1]
-GV:Yêu cầu học sinh chỉ ra cụ
thể hơn (để thấy khó khăn khi làm
y
cách này!)
-HS:yêu cầu bài toán trở
thành:Tìm k để :
x^2+y^2=1; y>0
x+y=sqrt(2)
x+y=1
y[...]... pháp để phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua các bài toán giải phƣơng trình, bất phƣơng trình 26 CHƢƠNG 2 PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH 2.1 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khi giảng dạy lý thuyết Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài mà ngƣời giáo viên cần tiến hành thƣờng xuyên từ tiết học. .. luận chƣơng 1 Chƣơng này đã trình bày một số vấn đề: - Một số lí luận liên quan đến tƣ duy sáng tạo - Một số cách dạy học để phát triển tƣ duy sáng tạo của học sinh - Vai trò, vị trí của phần phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng THPT - Thực trạng của vấn đề dạy và học phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng THPT hiện nay trong việc phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh - Dựa trên những căn cứ... tiết học khác cũng nhƣ cần thực hiện trong tất cả các khâu của quá trình dạy học Khi giảng dạy về phần phƣơng trình, bất phƣơng trình, muốn phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh thì chúng ta không chỉ đề cập đến quá trình thực hành giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình nhƣ thế nào mà một khâu cũng rất quan trọng là giảng dạy lý thuyết nhƣ thế nào để phát triển đƣợc tƣ duy cho học sinh Khi giảng dạy. .. trạng của việc học phương trình, bất phương trình ở trường phổ thông hiện nay Học sinh các trƣờng phổ thông hiện nay nói chung đang đứng trƣớc thực trạng là phải học với nội dung học nặng về cung cấp kiến thức, phƣơng pháp dạy học chủ yếu khai thác trí nhớ của học sinh Môn Toán cũng là môn học mà phƣơng pháp dạy học cũng có thực trạng đó và phần dạy học giải phƣơng trình, bất phƣơng trình cũng không... thì học sinh thƣờng hài lòng với cách giải đó mà không suy nghĩ, tìm tòi những cách giải khác để so sánh đối chiếu, chọn ra cách giải hay, tối ƣu 1.5.3 Thực trạng của việc dạy phương trình, bất phương trình ở trường THPT trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Thực tế trong các trƣờng phổ thông hiện nay, khi giảng dạy về phần PT, BPT một số ít giáo viên đã có ý thức rèn luyện và phát triển. .. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Đây là một trong những phƣơng pháp dạy học có thể phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh bởi lẽ khi dạy học bằng phƣơng pháp này học sinh sẽ tích cực tham gia vào quá trình giải quyết vấn đề, các thao tác tƣ duy đƣợc rèn luyện, các thành phần củ tƣ duy sáng tạo đƣợc bồi dƣỡng Để giải quyết một vấn đề toán học học sinh cần có các kĩ năng: - Phát hiện vấn... dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới Bên cạnh đó cần tập cho học sinh cách suy luận có lý thông qua các năng lực trí tuệ nhƣ so sánh, phân tích, tổng hợp… 2.2 Rèn luyện và phát triển một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các dạng bài tập giải phương trình, bất phương trình 2.2.1 Dạng bài tập có nhiều cách giải Đây là dạng bài tập đòi hỏi học sinh cần có năng lực chuyển hóa trong. .. ƣu Ở bƣớc này học sinh đƣợc rèn luyện kĩ năng tính toán, suy luận logic - Kiểm tra kết quả, đánh giá quá trình: Ở bƣớc cuối này học sinh đƣợc rèn luyện các thao tác của tƣ duy nhƣ so sánh, đối chiếu … Vì những kĩ năng cần phải có của học sinh trong phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề nên phƣơng pháp này đã giúp học sinh rèn luyện và phát triển tƣ duy sáng tạo 1.3.2 Dạy học khám phá Dạy. .. giúp học sinh phát triển TDST 1.2.3 Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tư ng mới Việc phát hiện vấn đề mới, ý tƣởng mới của học sinh ngƣời giáo viên cần làm trong khi giảng dạy cả lí thuyết và bài tập cho học sinh - Về giảng dạy lí thuyết cần tận dụng phƣơng pháp tập dƣợt nghiên cứu, trong đó giáo viên tạo ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học. .. trong các tình huống thực tế đƣợc toán học hóa Một vấn đề đƣợc quan tâm là trong quá trình kiểm tra, đánh giá thì các đề kiểm tra, các đề thi phải đƣợc soạn sao cho kiểm tra đƣợc năng lực TDST của học sinh, học sinh chỉ có thể làm đƣợc các đề thi đó trên cơ sở bộc lộ rõ rệt năng lực TDST của bản thân [4, tr 81] 1.3 Một số cách dạy học nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 1.3.1 Phương pháp dạy ... cho học sinh Với lí nêu trên, với mong muốn góp phần phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh, chọn đề tài: Phát triển tư sáng tạo cho học sinh dạy học phương trình, bất phương trình trường trung học. .. trình, bất phƣơng trình 26 CHƢƠNG PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH 2.1 Phát triển tư sáng tạo cho học sinh giảng dạy lý thuyết Phát triển. .. học phổ thông ” Mục đích nghiên cứu Phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh dạy học phƣơng trình, bất phƣơng trình trƣờng trung học phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận tƣ duy, tƣ sáng