10 3 THIẾT kế bộ QUAN sát TRẠNG THÁI

10-3 THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT TRẠNG THÁI Trong thực tế không phải tất cả các biến trạng thái đều có thể lấy tín hiệu phản hồi được.. Một thiết bị hoặc một chương trình máy tính ước lượng hoặ

10-3 THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT TRẠNG THÁI

Trong thực tế không phải tất cả các biến trạng thái đều có thể lấy tín hiệu phản hồi được Khi đó chúng ta cần ước lượng các biến trạng thái không đo được này

Nên tránh lấy đạo hàm một biến trạng thái để tạo một biến khác Việc lấy đạo hàm một tín hiệu luôn luôn làm giảm tỷ số tín hiệu – nhiễu vì nhiễu nói chung dao động nhanh hơn tín hiệu Tỷ số tín hiệu – nhiễu có thể giảm vài lần sau một lần đạo hàm

Việc ước lượng các biến trạng thái không đo được thường được gọi là quan sát

Một thiết bị (hoặc một chương trình máy tính) ước lượng hoặc quan sát các biến trạng thái được gọi là bộ quan sát trạng thái hay nói gọn là bộ quan sát

Nếu bộ quan sát trạng thái quan sát được tất cả các biến trạng thái của hệ thống, dù có một số biến trạng thái là đo được trực tiếp, thì nó được gọi là bộ quan sát trạng thái bậc đủ

Có những trường hợp chúng ta chỉ cần ước lượng một số biến trạng thái Ví dụ, vì các biến ra là quan sát được và chúng tỷ lệ với các biến trạng thái, cho nên chúng ta không cần quan sát tất cả các biến trạng thái mà chỉ cần quan sát n — m biến trạng thái, với n là kích thước vec-tơ trạng thái và m là kích thước vec-tơ ra Bộ quan sát trạng thái chỉ quan sát một số tối thiểu các biến trạng thái được gọi là bộ quan sát trạng thái bậc tối thiểu, hay nói ngắn gọn là bộ quan sát bậc tối thiểu

Bộ ước lượng trạng thái

Một bộ ước lượng trạng thái ước lượng các biến trạng thái dựa trên việc đo các biến

ra và các biến điều khiển Các bộ quan sát có thể thiết kế được nếu và chỉ nếu thỏa mãn điều kiện về khả năng quan sát

Chúng ta sẽ ký hiệu x~ là vec-tơ trạng thái được quan sát Vec-tơ trạng thái quan sát

x

~ được sử dụng trong phản hồi trạng thái để tạo ra vec-tơ điều khiển mong muốn

Xét hệ thống sau

Bu Ax

~

~x& = A x + Bu + K e y −C x (10-27) Bộ quan sát trạng thái có y và u là các tín hiệu vào và x~ là tín hiệu ra Thành phần cuối cùng bên vế phải của phương trình (10-27), là một thành phần hiệu chỉnh những yếu tố liên quan đến sai lệch giữa tín hiệu ra đo được y và tín hiệu ra ước lượng C~x

Ma-trận Ke được gọi là ma-trận trọng số Th/phần hiệu chỉnh theo dõi trạng thái ~x Với hiện diện của sự không đồng nhất giữa các ma-trận A và B được sử dụng trong mô hình và trong hệ thống thực tế, thì việc thêm vào thành phần hiệu chỉnh sẽ làm giảm ảnh hưởng do sự sai khác giữa mô hình và hệ thống thực tế này

Hình 10-7 vẽ sơ đồ khối của hệ thống và bộ quan sát trạng thái bậc đủ

Chúng ta sẽ nghiên cứu chi tiết bộ quan sát trạng thái có đặc tính động học được đặc tính hóa bởi các ma-trận A và B và bởi thành phần hiệu chỉnh thêm vào Giả sử rằng các ma-trận A và B sử dụng trong mô hình và trong hệ thống thực là giống nhau

Hình 10-7 Sơ đồ khối của hệ thống và bộ quan sát trạng thái bậc đủ,

khi tín hiệu vào u và tín hiệu ra y là vô hướng

Bộ q/sát tr/thái bậc đủ

Bộ ước lượng trạng thái bậc đủ

Bậc của bộ ước lượng trạng thái được nghiên cứu là bằng với bậc của hệ thống

Để thiết lập phương trình sai lệch bộ quan sát, chúng ta trừ phương trình (10-25) cho phương trình (10-27)

x& − =x&% Ax − Ax&% − K Cx Cx− &% = A− K C x − x% −

Gọi sai lệch giữa x và x~ là vec-tơ sai lệch e, hay

x x

Nếu hệ thống là quan sát được hoàn toàn, thì có thể chứng minh được rằng có thể chọn ma-trận Ke sao cho A - KeC có các giá trị riêng mong muốn tùy ý Tức là ma-trận hệ số bộ quan sát Ke có thể xác định được để tạo ra ma-trận mong muốn A - KeC

Bài toán đối ngẫu (Dual problem)

Vấn đề thiết kế một bộ quan sát bậc đủ trở thành việc xác định ma-trận hệ số bộ quan sát Ke sao cho các sai lệch động học xác định bởi phương trình (10-29) là ổn định tiệm cận với tốc độ đáp ứng vừa đủ (Ổn định tiệm cận và tốc độ của đáp ứng động học sai lệch được xác định bởi các giá trị riêng của ma-trận A - KeC.) Vì vậy việc thiết kế bộ quan sát bậc đủ trở thành việc xác định Ke phù hợp sao cho A - KeC có các giá trị riêng mong muốn

Do đó, vấn đề ở đây trở nên giống vấn đề đặt cực mà chúng ta đã nghiên cứu ở bài 10-2 Xét hệ thống

Bu Ax

v C z A z

giả sử tín hiệu điều khiển v là v = −Kz

Nếu hệ thống đối ngẫu điều khiển được trạng thái hoàn toàn, thì ma-trận hệ số phản hồi trạng thái K có thể được xác định sao cho ma-trận A* - C*K sẽ tạo ra một tập hợp các giá trị riêng mong muốn

Nếu µ1, µ2, , µn là các giá trị riêng mong muốn của ma-trận bộ quan sát trạng thái, thì bằng cách lấy các µi như các giá trị riêng mong muốn của ma-trận hệ số phản hồi trạng thái của hệ thống đối ngẫu chúng ta có

) (

) )(

( )

Chú ý rằng các giá trị riêng của A* - C*K và của A - K*C là giống nhau, chúng ta có

)(

Điều kiện cần và đủ với việc quan sát trạng thái

Như đã nghiên cứu ở trên, điều kiện cần và đủ cho việc xác định ma-trận hệ số bộ quan sát Ke với các giá trị riêng mong muốn của A – KeC là tính đối ngẫu của hệ thống ban đầu

v C z

A

z & = ∗ + ∗

điều khiển được hoàn toàn trạng thái Điều kiện khả năng điều khiển trạng thái hoàn

toàn cho hệ thống đối ngẫu này là hạng của

[ ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗]

C A

C A

C M M M ( )n 1bằng n Đây là điều kiện cho tính quan sát được hoàn toàn của hệ thống ban đầu xác định bởi phương trình (10-25) và (10-26) Có nghĩa là điều kiện cần và đủ tính quan sát trạng thái của hệ thống xác định bởi (10-25) và (10-26) là hệ thống quan sát được hoàn toàn

Chúng ta sẽ đưa ra phương pháp trực tiếp (thay cho phương pháp bài toán đối ngẫu) để giải bài toán thiết kế bộ quan sát trạng thái Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp bài toán đối ngẫu để thiết lập công thức Ackermann để xác định ma-trận hệ số bộ quan sát Ke

Thiết kế bộ quan sát trạng thái bậc đủ

Xét hệ thống

Bu Ax

Cx

với x = vec-tơ trạng thái (n-vector)

y = tín hiệu ra (vô hướng)

u = tín hiệu điều khiển (vô hướng)

A = ma-trận hằng n x n

B = ma-trận hằng n x 1

C = ma-trận hằng 1 x n Giả sử rằng hệ thống là quan sát được hoàn toàn và cấu trúc của hệ thống tương tự như đã vẽ ở hình 10-7

Trong thiết kế bộ quan sát trạng thái bậc đủ, sẽ tiện lợi nếu chúng ta chuyển hệ thống cho bởi phương trình (10-30) và (10-31) sang dạng chuẩn tắc quan sát được Như đã đề cập ở trên, điều này có thể được thực hiện như sau: xác định ma-trận chuyển Q là

1 ) ( ∗ −

0 0 1

.

.

.

.

.

.

0 1

1

.

1

3 2

1 2

1

a

a a

a a

a

W

n n

n n

với a1, a2, , an-1 là các hệ số trong phương trình đặc tính của phương trình trạng thái

ban đầu cho bởi phương trình (10-30):

0

(Vì giả sử HT quan sát được hoàn toàn, cho nên nghịch đảo của ma-trận WN* tồn tại)

Định nghĩa vec-tơ trạng thái mới (n-vector) ξ là x = Qξ (10-34)

Khi đó phương trình (10-30) và (10-31) trở thành

Bu Q

1 0 0

.

.

.

.

.

.

0 1 0

0 0 1

0 0 0

a

a a a

AQ Q

n n n

(10-37)

0 1 1

0

1

b a b

b a b

b a b

B Q

n n

n n

(10-38)

CQ = [0 0 0 1] (10-39) [xem bài tập A-10-6 và A-10-7 để rút ra phương trình (10-37) - (10-39).]

Phương trình (10-35) và (10-36) là ở dạng chuẩn tắc quan sát được

Vì vậy, với một phương trình trạng thái và phương trình ra cho trước, chúng có thể được chuyển thành dạng chuẩn tắc quan sát được nếu hệ thống là quan sát được hoàn toàn và nếu vec-tơ trạng thái ban đầu x được chuyển thành vec-tơ trạng thái mới ξξξξ bằng cách sử dụng phép chuyển được cho bởi phương trình (10-34) Nếu ma-trận A có sẳn trong dạng chuẩn tắc quan sát được, thì Q = I

Như đã phát biểu ở trên, chúng ta chọn bộ quan sát trạng thái

)

~ (

~

x& = + + e − = (A − K e C)x~ + Bu + K e Cx (10-40)

Từ phương trình (10-41) và (10-40), chúng ta có

ξ ξ

ξ~& = Q−1(A − K e C)Q~ + Q−1Bu + Q−1K e CQ (10-42) Trừ phương trình (10-35) cho (10-42) chúng ta có

ξ& − ξ~& = Q−1(A − K e C)Q( ξ − ξ~) (10-43)

(10-43) trở thành ∈ & = Q−1(A − K e C)Q∈ (10-44)

Chúng ta yêu cầu sai lệch động học là ổn định tiệm cận và c(r) tiến tới 0 với tốc độ vừa đủ Chu trình để xác định ma-trận Ke trước hết là chọn các cực bộ quan sát mong muốn (các giá trị riêng của A – KeC) và sau đó xác định ma-trận Ke sao cho nó sẽ tạo ra các cực bộ quan sát mong muốn Chú ý rằng Q-1 = WN*, chúng ta có

n

n n

n n

e

k k

k k

CA CA

CA C

a

a a

a a

a

K Q

1

2 1

1

2 1

3 2

1 2

1

1

.

.

0 0 0

1

0 0 1

.

.

.

.

.

.

0 1 1 K

k k

k k

K

1

2 1

.

Vì Q-1Ke là n- vector, nên

.

δ

δ

δ

n n

e K

1

1 1

0 0

0

0 0

0

0 0

0

1 0

0

.

δ

δ δ

δ

δ δ

L

M M

M M

L

L

n n

n

e CQ K Q

2 2

1 1

1 0

0

0 1

0

0 0

1

0 0

0

δ

δ δ δ

a

a a a

n n

n n

n n

L

M M

M M

L L L

Phương trình đặc tính sI - Q-1(A - KeC)Q= 0

trở thành

1 1

2 2

1 1

1 0

0 0

0 1

0

0 0

0

0 0

0

δ

δ δ δ

+ +

−

+

−

+ +

a s

a s

a s

n n

n n

n n

M M

M M M

L L L

(Chú ý rằng các giá trị riêng mong muốn µi xác định mức độ trạng thái quan sát hội tụ về trạng thái thực tế nhanh như thế nào.) So sánh các hệ số của các thành phần cùng số mũ của s trong phương trình (10-46) và (10-47), chúng ta có

a1 + δ1 = α1

a2 + δ2 = α2

an + δn = αn từ đó chúng ta có

δ1 = α1 – a1

δ2 = α2 – a2

δn = αn - anKhi đó từ phương trình (10-45) chúng ta có

1 1

1

1 1

a

a

a K

n n

n n e

α

α α

δ

δ δ

M M

Do đó

1 1

1

1 1

1 1

*) (

a

a

a WN

a

a

a Q

n n

n n

n n

e

α

α α

α

α α

M

Phương trình (10-48) xác định ma-trận hệ số bộ quan sát trạng thái Ke

Như đã nói ở trên, phương trình (10-48) cũng có thể đạt được từ phương trình (10-13) bằng việc xem xét bài toán đối ngẫu Tức là, xét bài toán đặt cực với hệ thống đối ngẫu và thiết lập ma-trận hệ số phản hồi trạng thái K với hoàn toàn đối ngẫu Khi đó ma-trận hệ số bộ quan sát trạng thái Ke có thể được đưa ra bởi K* (xem bài tập A-10-9)

Các giá trị riêng mong muốn hoặc phương trình đặc tính nên được chọn sao cho bộ quan sát trạng thái đáp ứng nhanh gấp hai đến năm lần so với hệ thống vòng kín được xét Như đã nói ở trước, phương trình với bộ quan sát bậc đủ là

y K Bu

x C K A

x = ( − e )~ + + e

Phương pháp thay thế trực tiếp để thiết lập ma-trận hệ số bộ quan sát trạng thái Ke

Tương tự trường hợp đặt cực, nếu hệ thống có bậc thấp, thì thay thế trực tiếp ma-trận Kevào đa thức đặc tính mong muốn có thể đơn giản hơn Chẳng hạn, nếu x là 3-vector, thì viết ma-trận hệ số bộ trạng thái Ke là

e e

e e

k k

k K

Thay ma-trận Ke này vào đa thức đặc tính mong muốn:

sI – (A - KeC) = (s - µ1)(s - µ2)(s - µ3) Cân bằng các hệ số cùng số mũ của s ở hai vế của phương trình cuối cùng, chúng ta xác định được các giá trị ke1,ke2 và ke3 Phương pháp này thuận tiện nếu n = 1, 2, hoặc 3, với n là kích thước của vec-tơ trạng thái x (Mặc dù phương pháp này có thể được sử dụng khi n

= 4, 5, 6, , nhưng khối lượng tính toán sẽ rất nhiều.)

P/p khác để xác định ma-trận hệ số bộ quan sát trạng thái Ke là s/d công thức Ackermann

z B n

v C z A z

0 0

) (

1 0

0 0

*

*) (

*

1

1 2 1

1 2

M M

M M

n

n n

n e

CA CA

CA C

A

CA CA

CA C

A K

với φ(s) là đa thức đặc tính mong muốn với bộ quan sát trạng thái, hay

φ(s) = (s - µ1)(s - µ2) (s - µn) với µ1, µ2, , µn các giá trị riêng mong muốn Phương trình (10-53) được gọi là công thức Ackermann để xác định ma-trận hệ số bộ quan sát Ke

Nhận xét về việc lựa chọn hệ số Ke tốt nhất

Từ hình vẽ 10-7, chú ý rằng tín hiệu phản hồi qua ma-trận hệ số bộ quan sát Ke như là một tín hiệu – hiệu chỉnh đến mô hình đối tượng để bù cho những thành phần chưa biết trong đối tượng Nếu có các thành phần chưa biết khá lớn, thì tín hiệu phản hồi qua ma-

trận Ke sẽ khá lớn Tuy nhiên, nếu tín hiệu ra bị phá hỏng đáng kể do nhiễu và nhiễu đo, thì tín hiệu ra y là không tin cậy và tín hiệu phản hồi qua ma-trận Ke sẽ khá nhỏ Trong việc xác định ma-trận Ke, nên kiểm định cẩn thận ảnh hưởng của nhiễu và nhiễu đo có trong tín hiệu ra y

Ma-trận hệ số bộ quan sát Ke phụ thuộc vào phương trình đặc tính mong muốn

(s - µ1)(s - µ2) (s - µn) = 0 Việc chọn một tập hợp µ1, µ2, , µn trong nhiều trường hợp cá biệt, không phải là duy nhất Do đó, nhiều phương trình đặc tính khác nhau có thể được chọn để làm phương trình đặc tính mong muốn Với mỗi phương trình đặc tính mong muốn, chúng ta có một ma-trận

VÍ DỤ 10-3

Xét hệ thống

Cx y

Bu Ax

0 ,

0 1

6 20 0

1 0

0 6

.

20 1

6 20

2 1

2 2

= +

6 29 0

6 3

6 20 9

1 0

0 1 1

*) (

1

2 2

1

α α

e& = ( − e )

phương trình đặc tính với bộ quan sát là

sI – A + KeC = 0 Gọi

k

k K

Khi đó phương trình đặc tính trở thành

[ ]

2

1 2

1

1

6 20 1

0 0

1

6 20 0

0

0

e

e e

e

k s

k s

k

k s

ke1 = 29.6, ke2 = 3.6 hay

6 29

e K

Phương pháp 3: Chúng ta sẽ sử dụng công thức Ackermann được cho bởi phương trình (10-53):

(

1

CA

C A

=

−

6 3

6 29 1

0 0 1

1 0 6 29 6

3

16 74 6

29

1

0 0

1

1 0 9 6

3

1 2

I A

A

K e

Rõ ràng chúng ta có cùng Ke dù sử dụng 3 phương pháp khác nhau

Chú ý rằng hệ thống được xét trong ví dụ 10-1 và hệ thống hiện đang xét là đối ngẫu nhau Ma-trận hệ số phản hồi trạng thái đạt được trong ví dụ 10-1 là K = [29.6 3.6] Ma-trận hệ số bộ quan sát Ke đạt được ở đây quan hệ với ma-trận K bởi Ke = K* (Vì ma-trận K và Ke là số thực, cho nên chúng ta có thể viết là Ke = KT)

Phương trình cho bộ quan sát trạng thái bậc đủ được cho ở phương trình (10-49):

y K Bu

x C K A

x x

6 29 1

0

~

~ 6 3 1

9 0

phương trình đặc tính có các thông số chưa biết ke1,ke2, , ken

VÍ DỤ 10-4

Xét hệ thống

Cx y

Bu Ax

0 ,

6 11

6

1 0

0

0 1

0 1 0

0 0 1

*

*) (

1 0

0 1

s s

s A

2 2

3 3

1

*) (

a a

a MN

K e

α α α

Chuù yù raèng

0 1 6

1 6 11 ,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

6 1

0

1 0

0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 1

0 1 6

1 6 11

*) (

1 1

6 9

11 36

6 80

25 6

1

6 1

0

1 0

0

e K

Tham khảo phương trình (10-49), bộ quan sát trạng thái bậc đủ được đưa ra bởi

y K Bu

x C K A

x = ( − e )~ + + e

~&

hay

y u

x x x

x x x

1 0 0

~

~

~

6 11

5

1 0

7

0 1

3 2 1

Ackermann được trình bày ờ bài tập A-10-11.)

Ảnh hưởng của việc thêm bộ quan sát vào một hệ thống vòng kín

Trong quá trình thiết kế đặt cực, chúng ta giả thiết rằng trạng thái thực tế x(t) là có thể lấy phản hồi Tuy nhiên trong thực tế, trạng thái thực x(t) có thể không đo được, do đó chúng ta sẽ cần thiết kế một bộ quan sát và sử dụng trạng thái quan sát được x t%( ) để phản hồi như hình vẽ 10-8 Vì vậy quá trình thiết kế có hai giai đoạn, giai đoạn đầu tiên là xác định ma-trận hệ số phản hồi K để tạo ra phương trình đặc tính mong muốn và giai đoạn thứ hai là xác định ma-trận hệ số bộ quan sát Ke để tạo ra phương trình đặc tính bộ quan sát mong muốn

Bây giờ chúng ta nghiên cứu ảnh hưởng của việc sử dụng trạng thái quan sát ~x(t), hơn là trạng thái thực tế x(t), lên phương trình đặc tính của hệ thống điều khiển vòng kín

Xét hệ thống điều khiển được trạng thái hoàn toàn và quan sát được hoàn toàn được xác định bởi phương trình

Cx y

Bu Ax

u = − ~

Với điều khiển này, phương trình trạng thái trở thành

)

~ (

) (

x BK Ax

Sai lệch giữa trạng thái thực x(t) và trạng thái quan sát ~x(t) đã được định nghĩa là e(t):

) (

~ ) ( )

Thay vec-tơ sai lệch e(t) vào phương trình (10-55) cho

BKe x

BK A

x& = ( − ) + (10-56)

Hình 10-8 Hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái quan sát được

Chú ý rằng phương trình sai lệch bộ quan sát được cho bởi phương trình (10-29), là:

e C K A

e& = ( − e ) (10-57) Kết hợp phương trình (10-56) và (10-57), chúng ta có

BK BK

A e

−

C K A sI

BK BK

A sI

e

hay sI – A + BKsI – A + KeC = 0

Chú ý rằng các cực vòng kín của hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái được quan sát bao gồm các cực do thiết kế đặt cực cọng với các cực do thiết kế bộ quan sát Điều này có nghĩa là thiết kế đặt cực và thiết kế bộ quan sát là độc lập nhau Chúng có thể được thiết kế riêng biệt và kết hợp với nhau thành dạng hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái được quan sát Chú ý rằng nếu bậc của đối tượng là n, thì bộ quan sát cũng bậc n (nếu sử dụng bộ quan sát bậc đủ), và ptrình đặc tính kết quả cho toàn bộ hệ thống vòng kín sẽ là bậc 2n

Các cực vòng kín mong muốn được tạo ra bằng phản hồi trạng thái (đặt cực) được chọn