Ôn tập toán 12

ch-¬ng I. øng dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè 1. KiÕn thøc cÇn nhí 1.1 TËp x¸c ®Þnh Khi hµm sè ®-îc cho bëi biÓu thøc, tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè lµ tËp çc gi¸ trÞ cña ®èi sè lµm cho biÓu thøc cña hµm sè cã nghÜa. Tøc lµ tËp çc gi¸ trÞ cña ®èi sè sao cho çc phÐp to¸n cã mÆt trong biÓu thøc cña hµm sè ®Òu thùc hiÖn ®-îc. Ta ®· ®-îc häc phÐp céng (+); phÐp trõ (-); phÐp nh©n (x); phÐp chia (:); phÐp luü thõa ( xn ); phÐp khai c¨n ( n x ); phÐp mò (ax); phÐp l«garit (log a x). Trong sè ®ã th× phÐp chia (:), phÐp khai c¨n bËc ch½n ( 2k x ) vµ phÐp lÊy l«garit cña mét sè ph¶i cã ®iÒu kiÖn míi thùc hiÖn ®-îc. Cô thÓ: víi biÓu thøc cã d¹ng f ( x) ≠ 0 ; víi biÓu thøc cã d¹ng 1 th× ®iÒu kiÖn lµ f ( x) f ( x) th× ®iÒu kiÖn lµ f ( x) ≥ 0 ; víi biÓu thøc cã d¹ng log a f(x) th× ®iÒu kiÖn lµ f(x) > 0. Tõ ®ã, ta th-êng gÆp bµi to¸n t×m tËp x¸c ®Þnh cña çc hµm sè cã d¹ng: y = 1 ; y= f ( x) f ( x ) hoÆc y = loga f(x). Tuy nhiªn, bµi tËp cã thÓ cho theo d¹ng ®¬n hoÆc tæng hîp cña çc d¹ng nãi trªn. 1.2 TËp gi¸ trÞ Cho hµm sè y = f(x) (nh×n chung lµ hµm sè s¬ cÊp), nÕu ta biÕt ®-îc trªn tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®ã mµ m ≤ y ≤ M , trong ®ã m vµ M lµ hai sè thùc, th× ta nãi hµm sè ®· cho nhËn gi¸ trÞ trong ®o¹n [m; M]. L-u ý r»ng mäi hµm sè s¬ cÊp liªn tôc ®Òu trªn tËp x¸c ®Þnh. Ch¼ng h¹n, hµm sè y = cosx, lu«n nhËn gi¸ trÞ trong ®o¹n [-1; 1]. Trong mét sè tr-êng hîp, víi yªu cÇu t×m tËp gi¸ trÞ cña hµm sè, ta cã thÓ tiÕn hµnh theo çc b-íc sau: T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè.; §¸nh gi¸ m ≤ y ≤ M ; KÕt luËn. 1.3 TÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè §Ó xÐt tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ta dùa vµo ®Þnh lÝ: Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a; b). NÕu f’(x) > 0 víi mäi x thuéc kho¶ng (a; b) th× hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng ®ã. NÕu f’(x) < 0 víi mäi x thuéc kho¶ng (a; b) th× hµm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng ®ã. Chó ý: Hµm sè f(x) mµ f ’(x) lµ liªn tôc trªn çc kho¶ng x¸c ®Þnh cña nã, cã f’(x) gi÷ nguyªn mét dÊu trong kho¶ng ( x1 ; x2 ), trong ®ã x1 vµ x2 lµ nh÷ng ®iÓm liÒn kÒ nhau lµm cho ®¹o hµm triÖt tiªu hoÆc kh«ng x¸c ®Þnh. 1.4 Cùc trÞ cña hµm sè 1 a) Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a; b) ®iÓm x0 ∈ (a; b) vµ sè ∆ > 0. • Kho¶ng ( x0 − ∆ ; x0 + ∆) ®-îc gäi lµ mét ∆ - l©n cËn cña ®iÓm x0 . • Ta nãi hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x0 , nÕu ta cã f(x) < f( x0 ) víi mäi x thuéc mét ∆ - l©n cËn nµo ®ã (chøa trong kho¶ng (a; b) ) cña ®iÓm x0 , x ≠ x0 . • §iÓm x0 ®-îc gäi lµ ®iÓm cùc ®¹i cña hµm sè y = f(x), gi¸ trÞ f( x0 ) ®-îc gäi lµ gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hµm sè vµ kÝ hiÖu bëi fC§ = f( x0 ), cßn ®iÓm M( x0 ; f( x0 )) th× gäi lµ ®iÓm cùc ®¹i cña ®å thÞ hµm sè. • Ta nãi hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x0 , nÕu ta cã f(x) > f( x0 ) víi mäi x thuéc mét ∆ - l©n cËn nµo ®ã (chøa trongkho¶ng (a; b) ) cña ®iÓm x0 , x ≠ x0 . • §iÓm x0 ®-îc gäi lµ ®iÓm cùc tiÓu cña hµm sè y = f(x), gi¸ trÞ f( x0 ) ®-îc gäi lµ gi¸ trÞ cùc tiÓu cña hµm sè vµ kÝ hiÖu bëi f CT = f ( x0 ) , cßn ®iÓm M( x0 ; f( x0 )) th× gäi lµ ®iÓm cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè. • Çc ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu ®-îc gäi chung lµ ®iÓm cùc trÞ. Gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i ®iÓm cùc trÞ ®-îc gäi lµ cùc trÞ cña hµm sè. b) §iÒu kiÖn cÇn ®Ó hµm sè cã cùc trÞ §Þnh lý Fecma: NÕu hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm x0 vµ ®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm ®ã th× f ’( x0 ) = 0. Chó ý: ®iÓm x0 mµ f ’( x0 ) = 0 ®-îc gäi lµ ®iÓm tíi h¹n (hay ®iÓm dõng). Theo §Þnh lÝ trªn, mäi ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè y = f(x) ®Òu lµ ®iÓm tíi h¹n cña hµm sè ®ã. ý nghÜa h×nh häc cña §Þnh lý Fecma: NÕu f(x) cã ®¹o hµm t¹i x0 vµ ®¹t cùc trÞ t¹i ®ã th× tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ t¹i ®iÓm M ( x0 ; f( x0 )) song song víi trôc hoµnh. c) §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm sè cã cùc trÞ §Þnh lý: Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh vµ cã ®¹o hµm trong kho¶ng (a;b) ®ång thêi f ’( x0 ) = 0 víi x0 ∈ (a;b). - NÕu f’(x) > 0 trªn kho¶ng ( x0 - ∆ ; x0 ) vµ f ’(x) < 0 trªn kho¶ng ( x0 ; x0 + ∆ ) th× x0 lµ mét ®iÓm cùc ®¹i cña hµm sè f(x) - NÕu f’(x) < 0 trªn kho¶ng ( x0 - ∆ ; x0 ) vµ f’(x) > 0 trªn kho¶ng ( x0 ; x0 + ∆ ) th× x0 lµ mét ®iÓm cùc tiÓu cña hµm sè f(x) Nãi tãm l¹i: NÕu khi x qua gi¸ trÞ x0 mµ ®¹o hµm ®æi dÊu th× ®iÓm x0 lµ mét ®iÓm cùc trÞ. B¶ng biÕn thiªn d-íi ®©y minh ho¹ cho néi dung cña ®Þnh lÝ 2 x f’(x) f(x) x0 - ∆ x0 + ∆ x0 + 0 x - x0 - ∆ f’(x) C§ x0 + ∆ x0 - 0 + f(x) CT d) Qui t¾c t×m çc ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè ( Quy t¾c I). - T×m tËp x¸c ®Þnh vµ tÝnh ®¹o hµm f’(x) - T×m çc ®iÓm tíi h¹n (lµ nh÷ng ®iÓm lµm cho f’(x) = 0 hoÆc kh«ng x¸c ®Þnh) - XÐt dÊu cña ®¹o hµm - Tõ ®ã suy ra çc ®iÓm cùc trÞ e) Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn tËp D vµ A lµ mét sè thùc cho tr-íc. - NÕu f(x) ≤ A víi mäi x thuéc D vµ tån t¹i x0 thuéc D sao cho f(x0) = A th× A ®-îc gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè trªn tËp D. - NÕu f(x) ≥ A víi mäi x thuéc D vµ tån t¹i x0 thuéc D sao cho f(x0) = A th× A ®-îc gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè trªn tËp D. - T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè dùa vµo c«ng cô ®¹o hµm §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè trªn mét ®o¹n [a; b] dùa vµo c«ng cô ®¹o hµm ta cã thÓ tiÕn hµnh theo çc b-íc nh- sau: T×m tËp x¸c ®Þnh; T×m çc ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè; So s¸nh çc gi¸ trÞ cùc trÞ cña hµm sè víi gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i hai biªn (gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i a vµ t¹i b) 1.5 §-êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè - Cho hµm sè y = f(x) cã ®å thÞ (C) vµ M(x; y) thuéc ®å thÞ. Ta nãi (C) cã nh¸nh v« cùc nÕu Ýt nhÊt mét trong hai to¹ ®é x hoÆc y cña ®iÓm M(x; y) dÇn tíi ∞ . Khi ®ã ta còng nãi ®iÓm M(x; y) dÇn tíi v« cùc. a) TiÖm cËn ®øng - §-êng th¼ng x = a lµ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) nÕu lim [ f ( x )] = ∞ hoÆc lim [ f ( x )] = ∞ hoÆc lim [ f ( x ) ] = −∞ hoÆc lim [ f ( x) ] = −∞ . x→a + x → a− x→a − x→a + L-u ý: - §-êng th¼ng x = a lµ tiÖm cËn ®øng cña hµm ph©n thøc h÷u tØ y = f ( x) khi x = a g ( x) lµ nghiÖm (béi k) cña g(x) = 0 vµ kh«ng lµ nghiÖm hoÆc lµ nghiÖm béi nhá h¬n k cña f(x) = 0. 3 f ( x) kh«ng suy biÕn nÕu f(x) kh«ng chia hÕt cho g(x). g ( x) f ( x) Hµm ph©n thøc h÷u tØ y = cã tiÖm cËn ®øng nÕu nã kh«ng suy biÕn vµ g(x) = g ( x) - Hµm ph©n thøc h÷u tØ y = 0 cã nghiÖm. - Çch t×m tiÖm cËn ®øng cña hµm ph©n thøc h÷u tØ Bước 1 : Kiểm tra hàm số không suy biến.(Tøc lµ f(x) không chia hÕt cho g(x)) Bước 2 : Gi¶i ph-¬ng tr×nh g(x) = 0 (gi¶ sö cã nghiÖm x = a) Bước 3 : Kiểm tra x = a lµ nghiÖm béi k cña ph-¬ng tr×nh g(x) = 0 vµ lµ nghiÖm béi nhá h¬n k cña ph-¬ng tr×nh f(x) = 0. Bước 4 : Kết luận. §-êng th¼ng x = a lµ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm ph©n thøc h÷u tØ y = f ( x) . g ( x) b) TiÖm cËn ngang - §-êng th¼ng y = b lµ tiÖm cËn ngang cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) nÕu lim [ f ( x) ] = b hoÆc lim [ f ( x) ] = b x →+∞ x →−∞ - Hµm ph©n thøc h÷u tØ y = f ( x) cã tiÖm cËn ngang khi hµm sè kh«ng suy biÕn vµ g ( x) bËc cña g(x) lín h¬n hoÆc b»ng bËc cña f(x). - Çch t×m tiÖm cËn ngang cña hµm ph©n thøc h÷u tØ Bước 1 : Kiểm tra hàm số không suy biến.(Tøc lµ f(x) không chia hÕt cho g(x)) Bước 2 : Kiểm tra bËc cña f(x) nhá h¬n hoÆc b»ng bËc cña g(x). Bước 3 : Kết luận. * NÕu bËc cña f(x) nhá h¬n bËc cña g(x) th× tiÖm cËn ngang cña ®å thÞ hµm sè y= f ( x) cã ph-¬ng tr×nh y = 0. g ( x) * NÕu bËc cña f(x) b»ng bËc cña g(x) th× tiÖm cËn ngang cña ®å thÞ hµm sè y= f ( x) p cã ph-¬ng tr×nh y = , trong ®ã p, q t-¬ng øng lµ hÖ sè cña Èn x cã bËc g ( x) q cao nhÊt cña f(x) vµ g(x). c) TiÖm cËn xiªn - §-êng th¼ng y = ax + b ( a ≠ 0 ) lµ tiÖm cËn xiªn cña cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) khi vµ chØ khi lim [ f ( x) − ( ax + b)] = 0 hoÆc lim [ f ( x) − (ax + b) ] = 0 . x →+∞ x →−∞ f ( x) - Hµm ph©n thøc h÷u tØ y = cã tiÖm cËn xiªn khi hµm sè kh«ng suy biÕn vµ g ( x) bËc cña f(x) b»ng bËc cña g(x) céng thªm 1 ( hay bËc cña f(x) lín h¬n bËc cña g(x) mét ®¬n vÞ). - Çch t×m tiÖm cËn xiªn 4 f ( x)   a = lim x →∞ x * Çch 1: Tõ ®Þnh nghÜa cã  b = lim [ f ( x) − ax ]  x →∞ * Çch 2: Trong trường hợp hµm ph©n thøc h÷u tØ mà hàm số không suy biến và bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số 1 đơn vị, khi đó bằng cách chia tử số trong biÓu thøc cña hµm sè cho mẫu số cña nã ta được trong đó bậc của h(x) nhỏ hơn bậc của g(x). Khi đó , suy ra . Do đó, theo định nghĩa, y = ax + b là tiệm cận xiên của hàm số đã cho. 1.6 Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm sè a) Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm ®a thøc C¨n cø vµo kiÕn thøc ®-îc häc trong s¸ch gi¸o khoa, b¹n cã thÓ tiÕn hµnh kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm sè ®a thøc (bËc 3 vµ bËc 4 cã d¹ng trïng ph-¬ng) theo çc b-íc sau: - B-íc 1: T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè. - B-íc 2: XÐt chiÒu biÕn thiªn. TÝnh y’ (x) = ... T×m çc gi¸ trÞ cña x sao cho y’(x) = 0 XÐt dÊu y’(x) X¸c ®Þnh kho¶ng ®ång biÕn, kho¶ng nghÞch biÕn cña hµm sè T×m cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè X¸c ®Þnh nh¸nh v« cùc - B-íc 3: LËp b¶ng biÕn thiªn. - B-íc 4: VÏ ®å thÞ. b) Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm ph©n thøc C¨n cø vµo kiÕn thøc ®-îc häc trong s¸ch gi¸o khoa, b¹n cã thÓ tiÕn hµnh kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ çc hµm sè y= ax + b ( am ≠ 0) mx + n ax 2 + bx + c y= ( am ≠ 0) theo çc b-íc sau: mx + n - B-íc 1: T×m tËp x¸c ®Þnh. - B-íc 2: XÐt chiÒu biÕn thiªn. TÝnh y’ (x) = ... T×m çc gi¸ trÞ cña x sao cho y’(x) = 0 XÐt dÊu y’(x) X¸c ®Þnh kho¶ng ®ång biÕn, kho¶ng nghÞch biÕn cña hµm sè T×m cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè X¸c ®Þnh nh¸nh v« cùc T×m çc tiÖm cËn 5 vµ hµm sè - B-íc 3: LËp b¶ng biÕn thiªn. B-íc 4: VÏ ®å thÞ. 2.C©u hái vµ bµi tËp vËn dông 2.1 TÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè Bµi 1. XÐt chiÒu biÕn thiªn cña çc hµm sè sau a) y = 2x -5 b) y = -3x + 8 c) y = ax + b H-íng dÉn. a) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 2 > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x, nªn hµm sè ®· cho lu«n ®ång biÕn. b) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = - 3 < 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x, nªn hµm sè ®· cho lu«n nghÞch biÕn. c) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. Khi ®ã, y’(x) = a. NÕu a > 0 th× y’(x) = a > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x, nªn hµm sè ®· cho lu«n ®ång biÕn. NÕu a < 0 th× y’(x) = a < 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x, nªn hµm sè ®· cho lu«n nghÞch biÕn. Bµi 2. XÐt chiÒu biÕn thiªn cña çc hµm sè sau. a) y = x2 b) y = x2 - 6x c) y = x2 - 4x + 3 d) y = - x2 - 4x + 5 e) y = ax2 + bx + c, víi a ≠ 0. H-íng dÉn. a) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 2x. Do ®ã y’(x) > 0 ⇔ x > 0. VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn kho¶ng (0; +∞) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−∞;0) . b) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 2x - 6. Do ®ã y’(x) > 0 ⇔ x > 3. VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn kho¶ng (3; +∞) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−∞;3) . c) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 2x - 4. Do ®ã y’(x) > 0 ⇔ x > 2. VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn kho¶ng (2; +∞) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−∞; 2) . d) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = - 2x - 4. Do ®ã y’(x) > 0 ⇔ x < - 2. VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn kho¶ng (−∞; −2) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−2; +∞) . e) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 2ax + b. 6 b . Khi ®ã hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn 2a b b kho¶ng (− ; +∞) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−∞; − ) . 2a 2a b NÕu a < 0 th× y’(x) > 0 ⇔ x < − . Khi ®ã hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn 2a b b kho¶ng (−∞; − ) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (− ; +∞) . 2a 2a NÕu a > 0 th× y’(x) > 0 ⇔ x > − Bµi 3. XÐt chiÒu biÕn thiªn cña çc hµm sè sau. a) y = x3 b) y = x3 - 12x c) y = x3 - 1 d) y = x3 - 3x2 + 2 e) y = x3 - 3x + 2 f) y = - x3 + 6x2 - 4 g) y = ax3 + bx2 + cx + d, víi a ≠ 0. H-íng dÉn. a) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 3x2 ≥ 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x vµ y’(x) = 0 chØ t¹i x = 0. Do ®ã y’(x) > 0 ⇔ x ≠ 0. VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (0; +∞) vµ (−∞;0) . b) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 3x2 - 12, khi ®ã  x>2 . VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (2; +∞) y’(x) > 0 ⇔   x < −2 vµ (−∞; −2) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−2; 2) . c) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 3x2 ≥ 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x vµ y’(x) = 0 chØ t¹i x= 0. Do ®ã y’(x) > 0 ⇔ x ≠ 0. VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (0; +∞) vµ (−∞;0) . d) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 3x2 - 6x, khi ®ã x > 2 . VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (2; +∞) y’(x) > 0 ⇔  x < 0 vµ (−∞;0) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; 2) . e) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 3x2 - 3, khi ®ã  x >1 . VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (1; +∞) y’(x) > 0 ⇔   x < −1 vµ (−∞; −1) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−1;1) . f) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = -3x2 + 12, khi ®ã y’(x) > 0 ⇔ −2 < x < 2 . VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn kho¶ng (−2; 2) ; nghÞch biÕn trªn çc kho¶ng (−∞; −2) vµ (2; +∞) . g) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 3ax2 + 2bx + c. Ta cã ∆ y ' = b 2 − 3ac 7 - NÕu a > 0 vµ ∆ y ' < 0 th× y’(x) > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x. Do ®ã hµm sè ®· cho lu«n ®ång biÕn. - NÕu a < 0 vµ ∆ y ' < 0 th× y’(x) < 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x. Do ®ã hµm sè ®· cho lu«n nghÞch biÕn. - NÕu a > 0 vµ ∆ y ' = 0 th× y’(x) > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x ≠ − ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (−∞; − b . Do ®ã hµm sè 3a b b ) vµ (− ; +∞ ) . 3a 3a - NÕu a < 0 vµ ∆ y ' = 0 th× y’(x) < 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x ≠ − ®· cho nghÞch biÕn trªn çc kho¶ng (−∞; − b . Do ®ã hµm sè 3a b b ) vµ (− ; +∞ ) . 3a 3a - NÕu a > 0 vµ ∆ y ' > 0 th× y’(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt, gi¶ sö lµ x1 < x2 x > x 2 khi ®ã y’(x) > 0 ⇔  . Do ®ã hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng  x < x1 (−∞; x1 ) vµ ( x2 ; +∞ ) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng ( x1; x2 ) . - NÕu a < 0 vµ ∆ y ' > 0 th× y’(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt, gi¶ sö lµ x1 < x2 khi ®ã y’(x) > 0 ⇔ x1 < x < x2 . Do ®ã hµm sè ®· cho nghÞch biÕn trªn çc kho¶ng (−∞; x1 ) vµ ( x2 ; +∞) ; ®ång biÕn trªn kho¶ng ( x1; x2 ) . Bµi 4. XÐt chiÒu biÕn thiªn cña çc hµm sè sau. a) y = x4 b) y = x4 - 4x3 c) y = x4 - 4x d) y = x4 - 8x2 e) y = ax4 + bx2 + c, víi a ≠ 0. H-íng dÉn. a) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 4x3, do ®ã y’(x) > 0 ⇔ x > 0. VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn kho¶ng (0; +∞) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−∞;0) . b) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 4x3 – 12x2, khi ®ã y’(x) > 0 ⇔ x > 3. VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn kho¶ng (3; +∞) vµ nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−∞;3) . c) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 4x3 - 4. Do ®ã y’(x) > 0 ⇔ x > 1. VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn kho¶ng (1; +∞) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−∞;1) . 8 d) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 4x3 - 16x, khi ®ã x >3 . VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng  −2 < x < 0 (3; +∞) vµ (−2;0) ; nghÞch biÕn trªn çc kho¶ng (−∞; −2) vµ (0; 2) .  y’(x) > 0 ⇔  e) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx = x(4ax2 + 3bx + 2c). Ph-¬ng tr×nh 4ax2 + 3bx + 2c = 0 cã ∆ = 9b 2 − 32ac . - NÕu a > 0 vµ ∆ < 0 th× y’(x) > 0 ⇔ x > 0. Do ®ã hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn kho¶ng (0; +∞) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−∞;0) . - NÕu a < 0 vµ ∆ < 0 th× y’(x) > 0 ⇔ x < 0. Do ®ã hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn kho¶ng (−∞;0) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; +∞) . - NÕu a > 0 vµ ∆ = 0 th× (4ax2 + 3bx + 2c) > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x ≠ − 3b . Do 8a 3b . NÕu a.b > 0 th× hµm sè ®· cho ®ång biÕn 8a 3b 3b trªn kho¶ng (0; +∞) ; nghÞch biÕn trªn çc kho¶ng (−∞; − ) vµ (− ; 0) . Cßn 8a 8a khi a.b < 0 th× hµm sè ®· cho nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; +∞) ; ®ång biÕn trªn 3b 3b çc kho¶ng (−∞; − ) vµ (− ; 0) . 8a 8a 3b - NÕu a < 0 vµ ∆ = 0 th× (4ax2 + 3bx + 2c) < 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x ≠ − . Do 8a 3b . NÕu a.b > 0 th× hµm sè ®· cho nghÞch biÕn ®ã y’(x) > 0 ⇔ x < 0 vµ x ≠ − 8a 3b 3b trªn kho¶ng (0; +∞) ; ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (−∞; − ) vµ (− ; 0) . Cßn khi 8a 8a a.b < 0 th× hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn kho¶ng (0; +∞) ; nghÞch biÕn trªn çc 3b 3b kho¶ng (−∞; − ) vµ (− ; 0) . 8a 8a ®ã y’(x) > 0 ⇔ x > 0 vµ x ≠ − - NÕu a > 0 vµ ∆ y ' > 0 th× y’(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt, gi¶ sö lµ x1 < x2.  x>x 2 NÕu 0 < x1 < x2 khi ®ã y’(x) > 0 ⇔  . Do ®ã hµm sè ®· cho ®ång 0 < x < x1  biÕn trªn çc kho¶ng (−∞;0) vµ ( x2 ; +∞ ) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; x1 ) . NÕu x1 < 0 < x2 hoÆc x1 < x2 < 0 ®-îc xÐt t-¬ng tù. - NÕu a < 0 vµ ∆ y ' > 0 th× y’(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt, gi¶ sö lµ x1 < x2.  x>x 2 . Do ®ã hµm sè ®· cho nghÞch NÕu 0 < x1 < x2 khi ®ã y’(x) < 0 ⇔  0 < x < x1  biÕn trªn çc kho¶ng (−∞;0) vµ ( x2 ; +∞ ) ; ®ång biÕn trªn kho¶ng (0; x1 ) . 9 NÕu x1 < 0 < x2 hoÆc x1 < x2 < 0 ®-îc xÐt t-¬ng tù. Bµi 5. XÐt chiÒu biÕn thiªn cña çc hµm sè sau. 1 x x −1 b) y = x +1 x+2 c) y = x −1 ax + b d) y = , am ≠ 0 mx + n a) y = H-íng dÉn. 2 > 0. ( x + 1) 2 VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (−1; +∞) vµ (−∞; −1) . −3 < 0. b) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\{1}. MÆt kh¸c, y’(x) = ( x − 1) 2 VËy hµm sè ®· cho nghÞch biÕn trªn çc kho¶ng (1; +∞) vµ (−∞;1) . n c) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\{ − }. m an − bm . MÆt kh¸c, y’(x) = ( mx + n)2 n - NÕu an - bm > 0 th× hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (− ; +∞) ; vµ m n (−∞; − ) . m n - NÕu an - bm < 0 th× hµm sè ®· cho nghÞch biÕn trªn çc kho¶ng (− ; +∞ ) ; vµ m n (−∞; − ) . m a) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\{-1}. MÆt kh¸c, y’(x) = Bµi 6. XÐt chiÒu biÕn thiªn cña çc hµm sè sau. a) y = b) y = c) y = d) y = x 2 − 3 x + 11 x −1 2 x − 3x − 4 x −1 2 − x + 4 x − 12 x −1 2 − x + 3x + 7 x −1 10 e) y = ax 2 + bx + c , am ≠ 0 mx + n H-íng dÉn. x2 − 2 x − 8 a) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\{1}. MÆt kh¸c, y’(x) = . ( x − 1) 2  x>4 Do ®ã y’(x) > 0 ⇔  . VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng  x < −2 (4; +∞) vµ (−∞; −2) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−2; 4) . x2 − 2 x + 7 > 0. ( x − 1) 2 Do ®ã, hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (1; +∞) vµ (−∞;1) . b) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\{1}. MÆt kh¸c, y’(x) = c) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\{1}. MÆt kh¸c, y’(x) = − x2 + 2x + 8 . ( x − 1) 2  x>4 . Do ®ã y’(x) > 0 ⇔   x < −2 VËy hµm sè ®· cho nghÞch biÕn trªn çc kho¶ng (4; +∞) vµ (−∞; −2) ; ®ång biÕn trªn kho¶ng (−2; 4) . d) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\{1}. − x 2 + 2 x − 10 < 0. Do ®ã, hµm sè ®· cho nghÞch biÕn trªn ( x − 1) 2 çc kho¶ng (1; +∞) vµ (−∞;1) . n e) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\{ − }. m 2 amx + 2 anx + (bn − mc) Ta cã: y’(x) = . ( mx + n) 2 a bm − an cm 2 − bmn + an 2 + suy ra MÆt kh¸c y(x) = x + m m mx + n a m(cm 2 − bmn + an 2 ) y’(x) = − . Tõ ®ã y’(x) = 0 m ( mx + n) 2 MÆt kh¸c,y’(x) = ⇔ a m(cm 2 − bmn + an 2 ) a m(cm 2 − bmn + an 2 ) − = 0 ⇔ = ⇔ m ( mx + n) 2 m ( mx + n) 2 m 2 (cm 2 − bmn + an 2 ) a 2 2 m (cm − bmn + an 2 ) - NÕu am > 0 vµ ≤ 0 th× hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc a ⇔ ( mx + n) 2 = kho¶ng (− n n ; +∞ ) vµ (−∞; − ) . m m 11 m 2 (cm 2 − bmn + an 2 ) ≤ 0 th× hµm sè ®· cho nghÞch biÕn trªn a n n çc kho¶ng (− ; +∞) ; vµ (−∞; − ) . m m 2 2 2 m (cm − bmn + an ) >0 - NÕu th× y’(x) = 0 cã hai nghiÖm lµ a  n (cm 2 − bmn + an 2 )  x1 = − − n m a  . H¬n n÷a, ta lu«n cã x1 < − < x2 .  2 2 m  x2 = − n + (cm − bmn + an )  m a - NÕu am < 0 vµ Do ®ã: - NÕu am > 0 th× hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (−∞; x1 ) vµ ( x2 ; +∞) ; n m nghÞch biÕn trªn çc kho¶ng ( x1 ; − ) ; vµ (− n ; x2 ) . m - NÕu am < 0 th× hµm sè ®· cho nghÞch biÕn trªn çc kho¶ng (−∞; x1 ) vµ ( x2 ; +∞ ) ; ®ång biÕn trªn çc kho¶ng ( x1 ; − n n ) ; vµ (− ; x2 ) . m m Bµi 7. XÐt chiÒu biÕn thiªn cña çc hµm sè sau. x2 − 1 x2 +1 x2 − 4 x + 3 b) y = 2 x − x +1 x 2 − 8 x + 12 c) y = 2 x − 4x + 4 a) y = H-íng dÉn. 2x . Do ®ã ( x + 1)2 y’(x) > 0 ⇔ x > 0. VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn kho¶ng (0; +∞) vµ ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−∞;0) . a) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = b) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 2 3x 2 − 4 x − 7 . Do ®ã ( x 2 − x + 1) 2 7  x>  y’(x) > 0 ⇔ 3 . Nªn hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng   x < −1 7 7 ( ; +∞ ) vµ (−∞; −1) ; nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−1; ) . 3 3 12 c) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\{2}. MÆt kh¸c, y’(x) = 4 x 2 − 16 x + 16 . ( x 2 − 4 x + 4)2 Do ®ã y’(x) > 0 ⇔ x ≠ 2 . VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (2; +∞) vµ (−∞; 2) . Bµi 8. T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó hµm sè sau ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh cña chóng. a) y = (3m + 6)x – 7m – 9 b) y = (m 2 + 5m + 4)x – 11m – 19 c) y = mx2 – 2(m –3)x + 19 d) y = x3 – 3mx2 – 12mx +8 x 2 − 2(m + 2) x + 5m − 1 e) y = x +1 H-íng dÉn. a) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 3m + 6. Do ®ã y’(x) > 0 ⇔ m > -2. VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh khi m > - 2. b) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = m2 + 5m + 4. Do  m > −1 . ®ã y’(x) > 0 ⇔   m < −4  m > −1 VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh ⇔  .  m < −4 c) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 2mx - 2(m - 3). Do ®ã kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña m ®Ó y’(x) > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x. d) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 3x 2 - 6mx - 12m. Do ®ã, y’(x) > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x ⇔ m 2 + 6 m < 0 ⇔ −6 < m < 0 . VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh ⇔ −6 < m < 0 . e) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\{-1}. MÆt kh¸c, y’(x) = x 2 + 2 x − 7m − 3 . ( x + 1) 2 Do ®ã, y’(x) > 0 trªn 4 ⇔ x 2 + 2 x − 7 m − 3 > 0, ∀x ⇔ 1 + 7m + 3 < 0 ⇔ m < − . 7 4 7 VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh ⇔ m < − . Bµi 9. Chøng minh çc bÊt ®¼ng thøc sau. a) x3 - 2x2 +7x > 6 khi x > 1. b) x4 - 4x3 + 27 > 0 khi x > 3. 1 3 2 3 c) sin x − sin 3 x + ≥ 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x. d) 1 + x3 + x – cosx > 0 khi x > 0 13 tËp x¸c ®Þnh e) Chøng minh r»ng 4 1 sin3x + sin2x + > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x. 3 2 H-íng dÉn. a) XÐt y = x 3 - 2x2 + 7x, theo gi¶ thiÕt hµm sè x¸c ®Þnh khi x > 1 vµ ta cã y(1) = 6. MÆt kh¸c y’(x) = 3x2 - 4x +7 > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x. Tøc lµ hµm sè y(x) lu«n ®ång biÕn, suy ra khi x > 1 th× y(x) > y(1) ⇔ x3 - 2x2 +7x > 6 khi x > 1. b) XÐt y = x4 - 4x3, th× hµm sè x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x vµ y(3) = - 27. MÆt kh¸c y’(x) = 4x3 - 12x > 0 ⇔ x > 3. Tõ ®ã hµm sè y(x) ®ång biÕn khi x > 3, suy ra y(x) > y(3) ⇔ x4 - 4x3 > - 27 khi x > 3, hay x4 - 4x3 + 27 > 0 khi x > 3. 1 3 c) Gäi t = sinx, th× −1 ≤ t ≤ 1 víi mäi gi¸ trÞ cña x. XÐt hµm sè y = t − t 3 + 2 víi 3 −1 ≤ t ≤ 1 . Ta cã y’(x) = 1 - t2 > 0 ⇔ -1 < t < 1. Tøc lµ hµm sè y(x) lu«n ®ång biÕn 1 2 trªn kho¶ng −1 ≤ t ≤ 1 suy ra y(t) ≥ y(-1) ⇔ t − t 3 + > 0 khi t ≥ - 1. 3 3 1 3 2 VËy sin x − sin x + ≥ 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x. 3 3 d) Víi y = 1 + x 3 + x – cosx theo gi¶ thiÕt hµm sè x¸c ®Þnh víi çc gi¸ trÞ x > 0 vµ y (0) = 0. Ta cã y’(x) = 3x2 + 1 + sinx > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x. Tøc lµ, hµm sè y(x) lu«n ®ång biÕn, suy ra y(x) > y(0) ⇔ 1 + x3 + x – cosx > 0 khi x > 0. e) Gäi t = sinx, ta cã - 1 ≤ t ≤ 1 víi mäi gi¸ trÞ cña x. Khi ®ã, xÐt y = 4 3 2 1 t + t + víi - 1 ≤ t ≤ 1. 3 2 y’(t) = 4t2 + 2t. y’(t) = 0 khi t = 0 hoÆc t = - 1 . 2 XÐt b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè trªn ®o¹n [-1 ; 1]: x -1 y’(x) y + 1 2 0 0 - 0 7 12 +1 + 17 6 1 6 1 2 C¨n cø b¶ng biÕn thiªn ta cã y > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña t trong ®o¹n [-1; 1]. VËy y > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x, cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 2.2 Cùc trÞ cña hµm sè 14 Bµi 1. Dïng Quy t¾c I ®Ó t×m cùc trÞ cña çc hµm sè sau. a) y = b) y = c) y = d) y = x 2 − 4 x + 12 x −1 2 x − 4x + 3 x2 − x + 1 x 2 − 8 x + 12 x2 − 4 x + 4 x2 −1 x2 + 1 e) y = x4 g) y = x4 - 4x3 H-íng dÉn. a) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\{1}. MÆt kh¸c, y’(x) = x2 − 2 x − 8 , ( x − 1) 2  x=4 . nªn y’(x) = 0 khi   x = −2 B¶ng biÕn thiªn : x -∞ -2 y’ + 0 y -8 1 - - +∞ 4 0 + 4 C¨n cø b¶ng biÕn thiªn ta cã : Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x = - 2, gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ y (- 2) = - 8. Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x = 4, gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y (4) = 4. b) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) =  3x 2 − 4 x − 7 . Do ®ã ( x 2 − x + 1) 2 7 3.   x = −1 y’(x) = 0 ⇔  x= B¶ng biÕn thiªn : x y’ y -∞ -1 + 0 2 7 3 1 - - 0 2 11 15 +∞ + C¨n cø b¶ng biÕn thiªn ta cã : Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x = - 1, gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ y (- 1) = 2. Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x = 7 7 2 , gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y ( ) = . 3 3 11 4 x 2 − 16 x + 16 . ( x 2 − 4 x + 4)2 c) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\{2}. MÆt kh¸c, y’(x) = Do ®ã y’(x) > 0 ⇔ x ≠ 2 . VËy hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (2; +∞) vµ (−∞; 2) . Tõ ®ã hµm sè ®· cho kh«ng cã cùc trÞ. d) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 2x . Do ®ã ( x + 1)2 2 y’(x) = 0 ⇔ x = 0. B¶ng biÕn thiªn : x y’ y -∞ +∞ 0 - - 0 + -1 C¨n cø b¶ng biÕn thiªn ta cã : Hµm sè kh«ng cã ®iÓm cùc ®¹i. Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x = 0, gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y (0) = -1. e) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 4x3 , nªn y’(x) = 0 khi x = 0 . B¶ng biÕn thiªn : x -∞ 0 +∞ y’ 0 + y 0 C¨n cø b¶ng biÕn thiªn ta cã : Hµm sè kh«ng cã ®iÓm cùc ®¹i. Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x = 0, gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y (0) = 0. g) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. MÆt kh¸c, y’(x) = 4x3 – 12x2 , nªn y’(x) = 0 khi x = 0 hoÆc x = 3. B¶ng biÕn thiªn : x y’ y -∞ - 0 0 - 3 0 -27 16 +∞ + C¨n cø b¶ng biÕn thiªn ta cã : Hµm sè kh«ng cã ®iÓm cùc ®¹i. Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x = 3, gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y (0) = - 27. Bµi 2. Dïng Quy t¾c II ®Ó t×m cùc trÞ cña çc hµm sè sau. a) y = x4 - 4x b) y = x4 - 8x2 c) y = x3 - 12x + 2 d) y = x2 - 6x + 5 e) y = ax4 + bx2 + c, víi a ≠ 0. H-íng dÉn. a) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. Ta cã, y’(x) = 4x3 – 4 , nªn y’(x) = 0 khi x = 1. H¬n n÷a y”(x) = 12x2 nªn y”(1) = 12 > 0, do ®ã hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x = 1, gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y (1) = - 3. b) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. Ta cã, y’(x) = 4x3 – 16x , nªn y’(x) = 0 khi x = - 2 hoÆc x = 0 hoÆc x = 2. H¬n n÷a y”(x) = 12x2 – 16 nªn y”(-2) = y”(2) = 32 > 0, do ®ã hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i hai ®iÓm x = - 2, hoÆc x = 2, gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y (2) = y (- 2) = - 16. MÆt kh¸c, y”(0) = - 16 < 0, do ®ã hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i hai ®iÓm x = 0, gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ y (0) = 0. c) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. Ta cã, y’(x) = 3x2 – 12 , nªn y’(x) = 0 khi x = - 2 hoÆc x = 2. H¬n n÷a y”(x) = 6x nªn y”(-2 ) = - 12 < 0, do ®ã hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x = - 2, gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y (- 2 ) = 18. MÆt kh¸c, y”( 2 ) = 12 > 0, do ®ã hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x = 2, gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y (2) = -14. d) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. Ta cã, y’(x) = 2x – 6 , nªn y’(x) = 0 khi x = 3. H¬n n÷a y”(x) = 2 > 0 nªn y”(3) = 2 > 0, do ®ã hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x = 3, gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y (3) = - 4. e) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. Ta cã, y’(x) = 4ax3 + 2bx vµ y”(x) = 12ax2 + 2b. H¬n n÷a y’(x) = 0 ⇔ 2 x(2ax 2 + b) = 0 . - NÕu a.b > 0 th× y’(x ) = 0 chØ khi x = 0 vµ y”(0) = 2b. Cho nªn, khi b > 0 (tøc lµ a > 0) th× hµm sè ®· cho cã mét ®iÓm cùc tiÓu t¹i x = 0, gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y(0) = c; cßn khi b < 0 (tøc lµ a < 0) th× hµm sè cã mét ®iÓm cùc ®¹i t¹i x = 0, gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ y(0) = c. - NÕu a.b < 0 th× y’(x ) = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt x1 = − − x3 = − b , x2 = 0, 2a b . 2a +/ Tr-êng hîp b > 0 (tøc lµ a < 0) th× y”( ± − cã hai ®iÓm cùc ®¹i t¹i x = ± − b ) = - 4b < 0, hµm sè ®· cho 2a b b b2 , gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ y( ± − ) = c vµ 4a 2a 2a y”(0) = 2b > 0, cho nªn hµm sè ®· cho cã mét ®iÓm cùc tiÓu t¹i x = 0, gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y(0) = c; 17 b ) = - 4b > 0, hµm sè ®· cho 2a b2 b b cã hai ®iÓm cùc tiÓu t¹i x = ± − , gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y( ± − ) = c vµ 2a 2a 4a +/ Tr-êng hîp b < 0 (tøc lµ a > 0) th× y”( ± − y”(0) = 2b < 0, cho nªn hµm sè ®· cho cã mét ®iÓm cùc ®¹i t¹i x = 0, gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ y(0) = c; Bµi 3. T×m gi¸ trÞ cña tham sè m sao cho mçi hµm sè sau ®©y ®Òu cã cùc trÞ (tøc lµ cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu) x 2 − 2(m + 1) x + 5m − 8 a) y = x −1 1 3 b) y = x − ( m − 1) x 2 − (8m + 4) x + 2008 3 x 2 + mx c) y = 2 x +1 H-íng dÉn. Theo ®Þnh lÝ thuËn dÊu tam thøc bËc hai, f(x) = ax2 + bx + c mµ a ≠ 0 vµ ∆ > 0 th× lu«n ®æi dÊu qua mçi nghiÖm cña nã. Tõ ®ã: a) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\ {1} vµ y’(x) = x 2 − 2 x − 3m + 10 . ( x − 1)2 Yªu cÇu bµi to¸n t-¬ng ®-¬ng víi y’(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt, tøc lµ x 2 − 2 x − 3m + 10 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt ⇔ 1 + 3m − 10 > 0 ⇔ m > 3 . ax 2 + bx + c Chó ý: Víi y = th× ®iÒu kiÖn ®Ó hµm sè cã cùc trÞ lµ y’(x) = 0 cã mx + n hai nghiÖm ph©n biÖt mµ kh«ng cÇn thªm ®iÒu kiÖn nghiÖm ®ã ph¶i kh¸c víi ax 2 + bx + c n n , bëi v×: tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè lµ R\{ − }, khi ®ã y = = mx + n m m a bm − an cm 2 − bmn + an 2 a m(cm2 − bmn + an 2 ) x+ + suy ra y’(x) = − . m m mx + n m (mx + n) 2 Tõ ®ã y’(x) = 0 a m(cm 2 − bmn + an 2 ) a m(cm 2 − bmn + an 2 ) ⇔ − = 0 ⇔ = ⇔ m ( mx + n) 2 m ( mx + n) 2 − ⇔ ( mx + n) 2 = m 2 (cm 2 − bmn + an 2 ) . a 18 Do ®ã y’(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt nÕu m 2 (cm 2 − bmn + an2 ) > 0 , lóc ®ã a  n (cm 2 − bmn + an 2 )  x1 = − − n m a , dÔ thÊy x1 < − < x2 . hai nghiÖm lµ   2 2 m  x2 = − n + (cm − bmn + an )  m a b) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R vµ y’(x) = x2 - 2(m - 1)x – (8m + 4). Yªu cÇu bµi to¸n t-¬ng ®-¬ng víi y’(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt, tøc lµ 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x 2 − 2(m − 1) x − (8m + 4) =  m > −1 . ⇔ (m − 1) 2 + (8m + 4) > 0 ⇔ m 2 + 6m + 5 > 0 ⇔   m < −5 −mx 2 + 2 x + m c) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R vµ y’(x) = . ( x 2 + 1) 2 Yªu cÇu bµi to¸n t-¬ng ®-¬ng víi y’(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt, tøc lµ  m≠0 − mx2 + 2 x + m = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt ⇔  ⇔ m ≠ 0. 2 1 + m > 0 Bµi 4. Cho hµm sè y = ax3 + bx 2 + cx + d , a ≠ 0 . T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hµm sè cã cùc trÞ vµ t×m gi¸ trÞ cùc trÞ cña hµm sè. H-íng dÉn. TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè lµ R vµ y’(x) = 3ax 2 + 2bx + c . Hµm sè ®· cho cã cùc trÞ khi vµ chØ khi y’(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt ⇔ 3ax 2 + 2bx + c = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt ⇔ b 2 − 3ac > 0 (*). Khi ®ã, gi¶ sö y’(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 vµ x2, tøc lµ y’(x1) = 0 = y’(x2). b  6ac − 2b 2 9 ad − bc 1 y '( x ) x+ +  9a  9a 9a 3 b  6ac − 2b 2 9 ad − bc 6ac − 2b 2 9ad − bc 1 x1 + = x1 + , Suy ra: y ( x1 ) =  x1 +  y '( x1 ) + 9a  9a 9a 9a 9a 3 LÊy y(x) chia cho y’(x) ta ®-îc: y ( x) =  x + 1 3 vµ y ( x2 ) =  x2 + b  6ac − 2b 2 9ad − bc 6ac − 2b 2 9ad − bc y '( x ) + x + = x2 + . 2 2  9a  9a 9a 9a 9a VËy gi¸ trÞ cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè ®-îc tÝnh theo c«ng thøc : 6ac − 2b 2 9ad − bc x1 + 9a 9a 2 6ac − 2b 9ad − bc yx2 = x2 + 9a 9a yx1 = VÝ dô: Cho hä ®-êng cong y = x3 + 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x + m3 − 3m = 0 víi m lµ tham sè. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m hä ®-êng cong ®· cho cã cùc 19 trÞ. ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm cùc ®¹i, cùc tiÓu cña hä ®-êng cong ®ã. H-íng dÉn. Hä ®-êng cong ®· cho cã cùc trÞ khi vµ chØ khi y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt ⇔ 3x 2 + 6mx + 3 ( m 2 − 1) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt. DÔ thÊy ®iÒu nµy x¶y ra víi mäi gi¸ trÞ cña m, v× ∆ y ' ' = m 2 − ( m 2 − 1) = 1, ∀m . Gäi x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh y’(x) = 0, tøc lµ y’(x1) = 0 = y’(x2). 1 3 LÊy y(x) chia cho y’(x) ta cã: y ( x) =  x + m  y '( x) − 2 ( x + m ) . 3 Sö dông ®iÒu ®ã tÝnh ®-îc: m 1 y1 = y ( x1 ) =  x1 +  y '( x1 ) − 2 ( x1 + m ) = −2 ( x1 + m ) , do y '( x1 ) = 0. 3 3 m 1 y2 = y( x2 ) =  x2 +  y '( x2 ) − 2 ( x2 + m ) = −2 ( x2 + m ) , do y '( x2 ) = 0. 3 3 Tõ ®ã suy ra hai ®iÓm ph©n biÖt A(x1; y1) vµ B(x2; y2) cã to¹ ®é tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh y ( x) = −2 ( x + m ) víi mäi m. VËy ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm cùc ®¹i cùc tiÓu cña hä ®-êng cong ®· cho lµ y ( x ) = −2 ( x + m ) . Bµi 5. Cho hµm sè y = f ( x) , trong ®ã f(x), g(x) lµ çc ®a thøc. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó g ( x) hµm sè cã cùc trÞ vµ t×m gi¸ trÞ cùc trÞ cña hµm sè. H-íng dÉn. Ta cã thÓ chøng minh ®-îc ®Þnh lÝ sau:  g ( x0 ) ≠ 0 f ( x) f '( x0 )  . NÕu t¹i ®iÓm x0 mµ  g '( x0 ) ≠ 0 th× y( x0 ) = . Cho hµm sè y = g ( x) g '( x ) 0  y '( x ) = 0 0  '  f ( x)  f '( x).g ( x) − g '( x). f ( x) ThËt vËy, ta cã , suy y '( x) =  =  g 2 ( x)  g ( x)  f '( x0 ).g ( x0 ) − g '( x0 ). f ( x0 ) y '( x0 )' = =0 g 2 ( x0 ) f ( x0 ) f '( x0 ) f ( x0 ) f '( x0 ) ⇔ f '( x0 ).g ( x0 ) − g '( x0 ). f ( x0 ) = 0 ⇔ = ⇔ y ( x0 ) = = g ( x0 ) g '( x0 ) g ( x0 ) g '( x0 ) ⇔ y ( x0 ) = f '( x0 ) g '( x0 ) 20 ra  g ( x0 ) ≠ 0  VËy ®iÒu kiÖn ®Ó hµm sè ®· cho cã cùc trÞ t¹i ®iÓm x0 lµ  g '( x0 ) ≠ 0 , khi ®ã gi¸ trÞ  y '( x ) = 0 0  f '( x0 ) cùc trÞ lµ y ( x0 ) = . g '( x0 ) VÝ dô : Cho hä ®-êng cong cã ph-¬ng tr×nh y = x 2 − 2mx + (5m − 4 − m 2 ) , víi m x−2 lµ tham sè. ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm cùc ®¹i, cùc tiÓu cña hä ®-êng cong ®ã. H-íng dÉn. Hä ®-êng cong ®· cho cã tËp x¸c ®Þnh lµ R\{2}. Khi ®ã, ta cã y= x 2 − 2 mx + (9m − 8 − 3m 2 ) m − m2 = x + 2(m − 1) + . x−2 ( x − 2) Hä ®-êng cong ®· cho cã cùc trÞ khi vµ chØ khi y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt  m − m2 =0 1 − ⇔  ( x − 2) 2  x≠2   ( x − 2) 2 − ( m − m 2 ) =0  ⇔ ( x − 2)2  x≠2  cã hai nghiÖm ph©n biÖt cã hai nghiÖm ph©n biÖt ⇔ m − m 2 > 0 ⇔ 0 < m < 1 (*) Víi ®iÒu kiÖn (*), gäi x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña y’ = 0 ta cã y’(x1) = 0 = y’(x2) vµ x1 = 2 − m − m 2 < 2 vµ x2 = 2 + m − m2 > 2 . Theo ®Þnh lÝ trªn: 2 x1 − 2m 2 x − 2m = 2 x1 − 2m vµ y2 = y ( x2 ) = 2 = 2 x2 − 2m . Do ®ã, hai ®iÓm 1 1 ph©n biÖt A(x1; y1) vµ B(x2; y2) cã to¹ ®é tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh y ( x) = 2 ( x + m ) y1 = y ( x1 ) = víi ®iÒu kiÖn (*). VËy ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm cùc ®¹i cùc tiÓu cña hä ®-êng cong ®· cho lµ y( x) = 2 ( x + m ) víi ®iÒu kiÖn x < 2 hoÆc x > 2. Chó ý: NÕu kh«ng biÕt ®Þnh lÝ trªn ta cã thÓ lµm theo çch kh¸c nh- sau. Ta cã y = x 2 − 2mx + (9m − 8 − 3m 2 ) m − m2 = x + 2(m − 1) + ( x − 2) x−2 Hä ®-êng cong ®· cho cã cùc trÞ khi vµ chØ khi y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt  m − m2 =0 1 − ⇔  ( x − 2) 2  x≠2  cã hai nghiÖm ph©n biÖt 21  ( x − 2) 2 − ( m − m 2 ) =0  ⇔ ( x − 2)2  x≠2  cã hai nghiÖm ph©n biÖt ⇔ m − m2 > 0 ⇔ 0 < m < 1 (*) Víi ®iÒu kiÖn (*), gäi x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña y’ = 0 ta cã x1 = 2 − m − m 2 < 2 vµ x2 = 2 + m − m 2 > 2 . MÆt kh¸c ta cã 1− Vµ 1 − m − m2 m − m2 m − m2 = 0 ⇔ 1 = ⇔ x − 2 = 1 ( x1 − 2)2 ( x1 − 2)2 x1 − 2 m − m2 m − m2 m − m2 . = 0 ⇔ 1 = ⇔ x − 2 = 2 ( x2 − 2) 2 ( x2 − 2)2 x2 − 2 Khi ®ã: y ( x1 ) = x1 + 2(m − 1) + y( x2 ) = x2 + 2(m − 1) + m − m2 = x1 + 2(m − 1) + ( x1 − 2) = 2 x1 + 2m ( x1 − 2) m − m2 = x2 + 2(m − 1) + ( x2 − 2) = 2 x2 + 2m ( x2 − 2) Tõ ®ã suy ra hai ®iÓm ph©n biÖt A(x1; y1) vµ B(x2; y2) cã to¹ ®é tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh y( x) = 2 ( x + m ) víi ®iÒu kiÖn (*). VËy ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm cùc ®¹i, cùc tiÓu cña hä ®-êng cong ®· cho lµ y( x) = 2 ( x + m ) víi x < 2 hoÆc x > 2. 2.3 Gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè Bµi 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè y = x + 9 − x 2 . H-íng dÉn. Hµm sè x¸c ®Þnh víi çc gi¸ trÞ x sao cho 9 − x 2 ≥ 0 ⇔ -3 ≤ x ≤ 3, hay tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè lµ [-3; 3]. y’(x) = 1- x 9 − x2 y’(x) = 0 1- ⇒ 1 − ; x = 0 ⇒ x = 9 − x2 ⇒ x = 3 ; 2 9 − x2 3 ) = 3 2 ; y(3) = 3. Ta cã: y(-3) = -3; y( 2 3 3 3 Tõ ®ã Maxy/[-3;3] = max{y(-3); y( ) ; y(3)} = y( ) = 3 2 khi x = . 2 2 2 3 Miny/[-3;3] = min{y(-3); y( ) ; y(3)} = y(-3) = -3 khi x = -3. 2 Bµi 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè: y = 3sinx - 4 cosx + 5. H-íng dÉn. Hµm sè ®· cho x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x. 22 Ta cã (3sinx – 4 cosx)2 ≤ (32 + 42 )(sin2x + cos2x), tõ ®ã - 5 ≤ 3sinx - 4 cosx ≤ 5, suy ra 0 ≤ 3sinx - 4 cosx + 5 ≤ 10. VËy 0 ≤ y ≤ 10. Do ®ã Maxy = 10 ⇔ 3sinx - 4 cosx + 5 = 10 ⇔ 3sinx - 4 cosx = 5 π  sin( x − α ) = 1  x = α + + k 2π   2 ⇔ k∈Z . 3 ⇔  cosα = 5  cosα = 3  5 Miny = 0 ⇔ 3sinx - 4 cosx + 5 = 0 ⇔ 3sinx π  sin( x − α ) = −1  x = α − + k 2π   2 ⇔ k ∈Z . 3 ⇔ 3 = cos α   cosα = 5  - 4 cosx = -5 5 Chó ý: - Víi hµm sè cã d¹ng y = a.sinx + b.cosx + c th× y – c = a.sinx + b.cosx khi ®ã ( y – c)2 = (a.sinx + b.cosx)2 ≤ (a 2 + b2 )(sin 2x + cos2x). Tõ ®ã: c − a 2 + b2 ≤ y ≤ c + a 2 + b2 . - Víi hµm sè cã d¹ng y = a.sin 2x + b.sinx.cosx + c.cos2x + d ta cã thÓ sö dông c«ng thøc h¹ bËc ®Ó chuyÓn vÒ d¹ng trªn. - Víi hµm sè cã d¹ng y = asinx + b cos x + c ta cã thÓ chuyÓn vÒ d¹ng ban msinx + n cos x + p ®Çu sau khi t×m tËp x¸c ®Þnh vµ quy ®ång. - Víi hµm sè cã d¹ng y = asin 2 x + bsinx.cos x + c.cos 2 x ta cã thÓ chuyÓn vÒ msin 2 x + nsinx.cos x + p.cos 2 x d¹ng ban ®Çu sau khi h¹ bËc vµ quy ®ång. Bµi 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4). H-íng dÉn. Hµm sè ®· cho x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x. Ta cã (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4 = (x2 + 5x + 5) - 1 (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6 = (x2 + 5x + 5) + 1 5 vµ y = (t - 1)(t + 1) = t2 - 1 ≥ −1 . 4 −5 ± 5 Do ®ã Miny = - 1 ⇔ t = 0 ⇔ x2 + 5x + 5 = 0 ⇔ x = . 2 NÕu gäi t = x2 + 5x + 5 th× t ≥ − Chó ý. Víi hµm sè cã d¹ng y = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d), trong ®ã a, b, c, d theo thø tù lËp thµnh mét cÊp sè céng víi c«ng sai d ≠ 0, tøc lµ ta cã a + d = b + c, ®Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè ta cã thÓ tiÕn hµnh theo çch nh- trªn. Bµi 4. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f(x) = x3 − 3 x 2 − 4 trªn tËp sau ®©y : 23  1 1  a) − 1;  , 2  b)  ; 3 , 2  c) [3; 5). H-íng dÉn. Hµm sè ®· cho cã tËp x¸c ®Þnh lµ R. x = 0 x = 2 Ta cã f’(x) = 3 x 2 − 6 x nªn f’(x) = 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x = 3 x( x − 2) = 0 ⇔   1 1 2 min f ( x) = f ( −1) = −8 . a) Do 0 ∈ − 1;  ; f(0) = - 4 ; 2  VËy max f ( x) = f (0) = −4 ,   −1;  1  2  1  1 f(-1) = -8 ; f   = −   −1;  37 . 8 1  2  37 b) V× r»ng 0 ∉  ; 3; f   = − ; f (2) = −8; f (3) = − 4 8 2  2 VËy max f ( x) = f (3) = − 4 , min f ( x) = f ( 2) = −8 1  ;  2 1  ;  2  3   3  c) V× f’(x) > 0 trªn nöa ®o¹n [3; 5), nªn hµm f(x) ®ång biÕn trªn nöa ®o¹n [3; 5). Do ®ã min f ( x) = f (3) = − 4 , cßn max f ( x) kh«ng tån t¹i , v× nÕu cã x0 ∈ [1;3) ®Ó [ 3; 5 ) [ 3; 5 ) cho f(x 0 ) lµ gi¸ trÞ lín nhÊt, th× tõ x0 < 3 ⇒ ta t×m ®-îc x1 sao cho x0 < x1 < 3 vµ do f(x) ®ång biÕn nªn ta cã f(x0) < f(x1) < f(3), m©u thuÉn. Bµi 5. Trong s¶n xuÊt, ng-êi ta muèn t¹o ra nh÷ng chiÕc hép víi d¹ng h×nh hép cã ®¸y lµ h×nh vu«ng víi thÓ tÝch cho tr-íc vµ muèn cã ®-îc diÖn tÝch nhá nhÊt, ®Ó chi phÝ cho viÖc lµm vá hép lµ Ýt nhÊt. Tõ ®ã dÉn ®Õn bµi to¸n sau: Tõ mét miÕng b×a cã h×nh vu«ng ng-êi ta muèn c¾t bá ®i ë bèn gãc cña miÕng b×a ®ã 4 h×nh vu«ng ®Ó dùng lªn ®-îc mét h×nh hép (kh«ng n¾p) cã thÓ tÝch lµ 4000 cm3. Hái ph¶i c¾t bá ®i h×nh vu«ng víi kÝch th-íc lµ bao nhiªu ®Ó diÖn tÝch miÕng b×a cÇn dïng lµ Ýt nhÊt. H-íng dÉn. Gäi kÝch th-íc cña h×nh vu«ng ®¸y cña hép lµ x (cm), th× 0 < x . Gäi chiÒu cao cña hép lµ h (cm), th× 0 < h ≤ x. Gäi V lµ thÓ tÝch cña hép th× V = x2.h = 4000 (cm3 ), suy ra h = 4000 . x2 Gäi S lµ diÖn tÝch cÇn dïng ®Ó lµm vá hép th× S = x2 + 4hx = x2 + 16000 x x h 24 Khi ®ã S’(x) = 2x - 16000 2( x3 − 8000) = x2 x2 S’(x) = 0 khi x = 20. B¶ng biÕn thiªn x y’(x) y 0 - 20 0 +∞ + 1200 C¨n cø b¶ng biÕn thiªn cho thÊy, ®Ó diÖn tÝch nhá nhÊt th× kÝch thøc cña h×nh vu«ng cÇn c¾t ®i ë gãc cña miÕng b×a nªn lµ 20 (cm). Bµi 6. Trong sè çc h×nh ch÷ nhËt cã cïng chu vi 2p, h·y t×m h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lín nhÊt. H-íng dÉn. Gäi hai kÝch th-íc cña h×nh ch÷ nhËt lµ x vµ y (p > x > 0 vµ p > y > 0) th× ta cã 2p = 2(x + y). Gäi S lµ diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt ta cã S = x.y Tõ ®ã y = p – x vµ S = x (p - x). S’(x) = p – 2x. S’(x) = 0 khi x = p . 2 B¶ng biÕn thiªn x y’(x) y p 2 0 + p 0 2 p 4 C¨n cø b¶ng biÕn thiªn cho thÊy S lín nhÊt b»ng p2 p khi x = y = . 4 2 VËy, trong sè çc h×nh ch÷ nhËt cã cïng chu vi 2p, h×nh vu«ng cã kÝch th-íc p sÏ cã diÖn tÝch lín nhÊt. 2 Bµi 7. t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè y = | 3sinx – 2| + | 3cosx – 2| H-íng dÉn. Hµm sè ®· cho cã tËp x¸c ®Þnh lµ R. Ta cã y 2 = (3sinx - 2)2 + 2| 3sinx – 2| . | 3cosx – 2| + (3cosx - 2)2 = = (9sin2 x – 12sinx + 4) + 2| (3sinx – 2).(3cosx – 2)| + (9cos2 x – 12cosx + 4) = 17 – 12(sinx + cosx) + 2| 9sinx.cosx – 6(sinx + cosx) + 4| . 25 Gäi z = y2, gäi t = sinx + cosx th× − 2 ≤ t ≤ 2 vµ sinx.cosx = t 2 −1 , khi ®ã 2 t 2 −1 - 12t + 8 | = 17- 12t + | 9t2 - 12t - 1 | . 2   2+ 5  t ≥ 3  17 − 12t + (9t 2 − 12t − 1) khi    2− 5 Tõ ®ã z =  t ≥ 3    2− 5 2+ 5 17 − 12t − (9t 2 − 12t − 1) khi ≤t≤ 3 3    2+ 5   2 ≥t ≥ 3  z1 = 9t 2 − 24t + 16 = (3t − 4) 2 khi    2− 5 Hay z =  >− 2 t ≥ 3    2− 5 2+ 5  z2 = −9t 2 + 18 khi ≤t ≤ 3 3    2+ 5   2 ≥t ≥ 3  z1' = 18t − 24 khi    2− 5 Tõ ®ã z’(t) =  >− 2 t ≥ 3    2− 5 2+ 5  z2' = −18t khi ≤t ≤ 3 3    2+ 5 4 > 2 ≥t ≥   3 3  z1' = 0 ⇔ t = 4 khi   3  2− 5 z’(t) =0 ⇔  >− 2  t≥ 3    2− 5 2+ 5  z2' = 0 ⇔ t = 0 khi ≤t≤ 3 3  z = 17- 12t + | 18 Ta cã b¶ng biÕn thiªn : t -∞ - 2 z1’ z2’ z 2− 5 3 + + 0 0 26 2+ 5 3 4 3 0 + - 2 + - +∞ C¨n cø b¶ng biÕn thiªn ta cã: Maxz = Max{ y(- 2 ); y(0); y( 2 ) } = Max{ (3 2 + 4)2 ; 18 ; (3 2 - 4)2 } = (3 2 + 4)2 khi t = - 2 , suy ra Maxy = (3 2 + 4) khi sinx + cosx = - 2 π π ⇔ cos( x − ) = −1 ⇔ x = + π + k 2π , k ∈ Z . 4 4 2− 5 2+ 5 ); y( ) } = Min{ ( 5 - 2)2 ; ( 5 + 2)2 } = ( 5 - 2)2 3 3 2+ 5 2+ 5 khi t = , suy ra Miny = ( 5 - 2) khi sinx + cosx = hay sinx.cosx = 3 3  α   x = 2 + kπ , k ∈ Z  π −α 2 5 4 5  + kπ , k ∈ Z . ⇔ sin 2 x = ⇔ x=  2 9 9   4 5 sin α =  9  Minz = Min{ y( Chó ý. Víi hµm sè cã d¹ng y = | a.sinx + b | + | a.cosx + b |, ®Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt ta cã thÓ tiÕn hµnh theo çch trªn. Bµi 8. Cho hµm sè y = 3 + x + 6 − x + (3 + x)(6 − x) . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè ®ã. H-íng dÉn. Çch 1. TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ [-3 ; 6]. §Æt t = 3 + x + 6 − x víi −3 ≤ x ≤ 6 . 1 1 6 − x − 3+ x − = ; 2 3 + x 2 6 − x 2. 3 + x . 6 − x 9 6− x − 3+ x = 0 ⇔ 6 − x = 3+ x ⇔ x = ; 2 Coi t lµ hµm sè cña x th× t’(x) = t’(x) = 0 khi tõ ®ã, ta cã b¶ng biÕn thiªn: x - ∞ 9 2 -3 t’ t + 0 6 +∞ - 3 2 3 3 Nh- vËy, khi −3 ≤ x ≤ 6 th× 3 ≤ t ≤ 3 2 . MÆt kh¸c : t2 = ( 3 + x + 6 − x ) 2 = (3 + x) + 2 3 + x . 6 − x + (6 − x) = 9 + 2 (3 + x).(6 − x) 27 (3 + x).(6 − x) = suy ra : t2 − 9 . 2 1 2  t2 − 9  y = t +  y = t + 2t − 9 2 . Tõ ®ã, hµm sè ®· cho víi biÕn t lµ:  2 ⇔  3≤t ≤3 2  3≤t ≤3 2   Khi ®ã, y’(t) = t + 1, y’(t) = 0 khi t = -1. Ta cã b¶ng biÕn thiªn: x t’ t - ∞ -1 - 0 3 + +∞ 3 2 + + 9+6 2 2 3 C¨n cø b¶ng biÕn thiªn ta cã: Min y = 3 khi t = 3, tøc lµ x = 3 hoÆc x = 6 Max y = 9 9+6 2 khi t = 3 2 tøc lµ x = . 2 2 Çch 2. Ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n trªn theo çch kh¸c nh- sau : Gäi u = 3 + x vµ v = 6 − x , theo gi¶ thiÕt ta cã hÖ: u 2 + v2 = 9 (2) u + v + uv = y  u + v + uv = y   u2 + v2 = 9 (u + v) 2 − 2uv = 9 2    (u + v) + 2(u + v ) = 9 + y (3) ⇔ ⇔  u≥0 u≥0 (4)   u ≥ 0   v≥0 v≥0 (5)  v ≥ 0 Gäi t = u + v th×  1+ 9 + 2 y ≥ 0 y ≥ −5  t 2 + 2t − (9 + y ) = 0  . ⇔ t = −1 ± 10 + 2 y ⇔  (3) ⇔  > 0 t t = − 1 + 10 + 2 y     t >0  Khi ®ã hÖ ®· cho t-¬ng ®-¬ng  u 2 + v2 = 9 (2)   u + v = −1 + 10 + 2 y (3)  víi :  u ≥ 0 (4)  (5) v ≥ 0  y ≥ −5 (6) v 4 B BiÓu diÔn trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é, ta cã : u 2 + v 2 = 9 lµ ®-êng trßn (C) cã t©m O(0 ; 0) vµ b¸n kÝnh R = 3 ; u + v = 3 lµ ®-êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A(3 ; 0) (C) 2 d d' O 28 -2 -4 A u 5 vµ B(0 ; 3) ; u + v = −1 + 10 + 2 y lµ ®-êng th¼ng d song song víi ®-êng th¼ng AB; u + v = 3 2 lµ ®-êng th¼ng d’ song song víi ®-êng th¼ng AB ®ång thêi tiÕp xóc víi ®-êng trßn (C) ; u ≥ 0 lµ nöa mÆt ph¼ng bªn ph¶i cña trôc Ov ; v ≥ 0 lµ nöa mÆt ph¼ng phÝa trªn cña trôc Ou (nh- h×nh bªn). Tõ ®ã, hÖ cã nghiÖm khi vµ chØ khi ®-êng th¼ng d giao víi cung AB cña ®-êng trßn (C). Khi ®ã, ®-êng th¼ng d ph¶i n»m trong d¶i mÆt ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®-êng th¼ng song song lµ AB vµ d’. Tøc lµ ph¶i cã: 3 ≤ −1 + 10 + 2 y ≤ 3 2 ⇔ 3 ≤ y ≤ Bµi 9. Cho y = 9+6 2 . 2 1 + x6 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè ®· cho. (1 + x 2 ) 3 H-íng dÉn. Çch 1. DÔ thÊy hµm sè ®· cho x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x. §Æt t = x2 ≥ 0, khi ®ã, hµm sè ®· cho trë y= thµnh 1 + t3 1− t + t2 = (1 + t )3 (1 + t ) 2 víi ≥ t 0. DÔ 3(t 2 − 1) 3(t − 1) t2 − t +1 y x = 1 '( ) = = . MÆt kh¸c , suy ra y’(x) = 0 khi t x →∞ t 2 + 2t + 1 (1 + t ) 4 (1 + t )3 lim y = lim x →∞ thÊy = 1 hoÆc t = -1. Ta cã b¶ng biÕn thiªn: t - ∞ -1 y’ + 0 y 0 - 1 0 1 +∞ + 1 1 4 C¨n cø b¶ng biÕn thiªn ta cã: 1 khi t = 1, tøc lµ x = 1 hoÆc x = -1 4 Max y = 1 khi t = 0 tøc lµ x = 0 hoÆc x = ∞ . Min y = Çch 2. Ta cã thÓ t×m lêi gi¶i cña bµi to¸n theo çch kh¸c nh- sau. DÔ thÊy hµm sè ®· cho x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x, do ®ã ®Æt x = tant ta cã sin 6 t + cos 6 t 1 + tan t 3 cos6 t y= = = sin 6 t + cos 6 t = 1 − sin 2 2t . 2 3 1 (1 + tan t ) 4 ( 2 )3 cos t 2 Do 0 ≤ sin 2t ≤ 1 nªn : 2 tan t maxy = 1 khi vµ chØ khi sin22t = 0 ⇔ = 0 ⇔ tan t = 0 ⇔ x = 0 1 + tan 2 t 6 29 1 khi vµ 4  tan t = 1  x =1 . ⇔ cos 2 2t = 0 ⇔ tan 2 t = 1 ⇔  ⇔  tan t = −1  x = −1 miny = 1- 3 4 = chØ sin2 khi 2t = 1 2.4 §å thÞ cña hµm sè vµ phÐp tÞnh tiÕn hÖ to¹ ®é mµ ®å thÞ cña Bµi 1. Cho hµm sè y = f(x) = x2 – 2x + 3 (1). T×m hµm sè Y = f(X) uur nã nhËn ®-îc tõ ®å thÞ cña hµm sè (1) sau khi tÞnh tiÕn theo vect¬ OI = (3; 4) . H-íng dÉn. x = X + 3 (2). y =Y +4 Theo c«ng thøc chuyÓn to¹ ®é ta cã :  Thay (2) vµo (1) ta cã: Y + 4 = (X + 3)2 – 2( X + 3) + 3 , hay Y = X2 + 4X + 2. Bµi 2. Cho hµm sè y = f(x) cã ®å thÞ lµ ®-êng (C). a) H·y suy ra ®å thÞ cña hµm sè y = f(x + a), víi a lµ mét sè thùc cho tr-íc, tõ ®å thÞ (C) . b) H·y suy ra ®å thÞ cña hµm sè y = f(x + a) + b, víi a vµ b lµ çc sè thùc cho tr-íc, tõ ®å thÞ (C). H-íng dÉn. Gi¶ sö hµm sè cÇn t×m lµ T = g(t). x = X + a .  y =Y +0 uur a) TÞnh tiÕn ®å thÞ y = f(x) theo vect¬ OI = (a;0) ta cã :  Khi ®ã, y = f(x) ®-îc biÕn thµnh Y = f(x + a). VËy, ®å thÞ cña hµm sè cÇn t×m nhËn ®-îc tõ ®å thÞ (C) b»ng çch tÞnh tiÕn uur theo vect¬ OI = (a;0) . uur Chó ý. OI = ( a;0) = a (1; 0) , do ®ã OI song song víi Ox. Nªn ®å thÞ cña hµm sè cÇn t×m nhËn ®-îc tõ ®å thÞ (C) b»ng çch tÞnh tiÕn theo trôc Ox sang bªn ph¶i (hoÆc bªn tr¸i) cña trôc Oy mét ®o¹n lµ | a | ®¬n vÞ t-¬ng øng víi a < 0 (hoÆc lµ a > 0). VÝ dô: Suy ra ®å thÞ cña hµm sè y = sinx tõ ®å thÞ cña hµm sè y = cosx. π π   Ta biÕt r»ng y = sinx = cos  − x  = cos  x −  (cos - ®èi). 2 Do ®ã, ta sÏ cã ®å thÞ cña hµm sè y = sinx b»ng çch tÞnh tiÕn ®å thÞ cña hµm sè y = cosx sang bªn ph¶i trôc Oy mét π ®o¹n b»ng (nh- h×nh bªn).   2 2 g ( x) = sin( x) -5 5 f( x) = cos( x) 2 -2 uuur x = X + a .  y =Y −b b) TÞnh tiÕn ®å thÞ y = f(x) theo vect¬ OJ = ( a; −b) ta cã :  30 Khi ®ã, y = f(x) ®-îc biÕn thµnh Y – b = f(x + a) hay Y = f(x + a) + b. VËy, ®å thÞuuu cña hµm sè cÇn t×m nhËn ®-îc tõ ®å thÞ (C) b»ng çch tÞnh tiÕn r theo vect¬ OJ = ( a; −b) . uur Chó ý. IJ = (0; −b) = −b(0;1) , do ®ã IJ song song víi Oy. H¬n n÷a, uuur uur uur OJ = (a; −b) = ( a; 0) + (0; −b ) = OI + IJ , J ( a; −b) , do ®ã ®å thÞ cña hµm sè cÇn t×m nhËn ®-îc tõ ®å thÞuu(C) b»ng çch thùc hiÖn liªn tiÕp hai phÐp tÞnh tiÕn theo uur r vect¬ OI = (a;0) vµ IJ = (0; −b) . Tøc lµ, tr-íc hÕt ta tÞnh tiÕn theo trôc Ox (sang bªn ph¶i (hoÆc bªn tr¸i) trôc Oy mét ®o¹n lµ | a | ®¬n vÞ t-¬ng øng víi a < 0 (hoÆc a > 0)), sau ®ã tÞnh tiÕn theo trôc Oy (lªn trªn trôc Ox b ®¬n vÞ nÕu b > 0, xuèng d-íi trôc Ox b ®¬n vÞ nÕu b < 0). VÝ dô: Suy ra ®å thÞ cña hµm sè y = 1 + sinx tõ ®å thÞ cña hµm sè y = cosx. Tõ ®å thÞ cña hµm sè y = cosx h( x) = 1+sin( x) ta sÏ suy ra ®-îc ®å thÞ cña hµm g ( x) = sin ( x) sè y = 1 + sinx b»ng çch thùc hiÖn liªn tiÕp hai phÐp tÞnh tiÕn ®å thÞ. Tr-íc hÕt, tÞnh tiÕn ®å thÞ f( x) = cos( x) cña hµm sè y = cosx sang ph¶i π cña trôc Oy mét ®o¹n b»ng 2 -5 5 -2 2 ®Ó cã ®å thÞ cña hµm sè y = sinx; sau ®ã, tÞnh tiÕn ®å thÞ y = sinx theo Oy lªn phÝa trªn cña trôc Ox mét ®o¹n lµ 1 (nh- h×nh bªn). Bµi 3. Cho hµm sè y = x3 – 3x2 + 2 (1) vµ ®iÓm I(1; 0). Chøng minh r»ng ®iÓm I lµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ (1). H-íng dÉn. Ta biÕt, ®å thÞ cña mét hµm sè lÎ nhËn gèc to¹ ®é lµ t©m ®èi xøng. TÞnh tiÕn hÖ trôc xOy sang hÖ trôc XIY, trong ®ã I(1; 0), nh- h×nh vÏ (d-íi ®©y), ta cã: x = X +1 (2).  y = Y + 0 y Y Thay (2) vµo (1) ta cã: 4 Y + 0 = ( X + 1)3 − 3( X + 1) 2 + 2 ⇔ Y = X 3 − 3 X . DÔ dµng kiÓm tra ®-îc Y(X) lµ hµm sè lÎ, nªn ®å thÞ cña nã nhËn gèc to¹ ®é lµ t©m ®èi xøng, hay ®iÓm I(1; 0) lµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ. 2 I x X 5 Chó ý. I(1; 0) lµ ®iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè ®· cho. Kh¸i niÖm vµ çch t×m ®iÓm uèn ta sÏ ®-îc biÕt ë bµi sau. B»ng çch t-¬ng tù nh- trªn ta cã thÓ chøng minh ®-îc ®iÓm uèn lµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ hµm sè bËc ba. 31 -2 f( x) = ( x3- 3⋅x2) + 2 x 2 − 3x + 6 (1) vµ ®iÓm I(1; -1). Chøng minh r»ng ®iÓm I lµ Bµi 4. Cho hµm sè y = x −1 12 t©m ®èi xøng cña ®å thÞ (1). H-íng dÉn. Ta biÕt, ®å thÞ cña mét hµm sè lÎ nhËn gèc to¹ ®é lµ t©m ®èi xøng. TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\{1}. y Y 10 g ( x) = 8 ( x2-3⋅x) +6 x-1 6 4 x 2 − 3x + 6 4 (1’). Khi ®ã y = = x−2+ x −1 x −1 2 TÞnh tiÕn hÖ trôc xOy sang hÖ trôc XIY, trong ®ã I(1; 0), nh- h×nh vÏ, ta cã: x -5 5 10 I X -2 x = X +1 (2).   y = Y −1 -4 -6 Thay (2) vµo (1’) ta cã: -8 4 4 Y − 1 = ( X + 1) − 2 + ⇔Y = X + X ( X + 1) − 1 Tõ x ≠ 1 suy ra X ≠ 0, khi ®ã, dÔ dµng kiÓm tra -10 -12 ®-îc hµm sè Y(X) lµ hµm sè lÎ, do ®ã ®å thÞ cña nã nhËn gèc to¹ ®é lµ t©m ®èi xøng, hay ®iÓm I(1 ; -1) lµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ. Chó ý. I(1; -1) lµ giao ®iÓm cña hai ®-êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè ®· cho. Kh¸i niÖm ®-êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè vµ çch t×m tiÖm cËn ta sÏ ®-îc biÕt ë bµi sau. B»ng çch t-¬ng tù nh- trªn ta cã thÓ chøng minh ®-îc giao ®iÓm cña hai ®-êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm y= cã d¹ng y= ax + b , am ≠ 0 lµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ hµm sè ®ã. mx + n ax 2 + bx + c , am ≠ 0 mx + n hoÆc Bµi 5. Cho hµm sè y = x 4 + 4 x 3 + m.x 2 (1), trong ®ã m lµ tham sè. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ò ®å thÞ cña hµm sè ®· cho cã trôc ®èi xøng song song víi trôc Oy. H-íng dÉn. y Y Gi¶ sö ®å thÞ cña hµm sè ®· cho cã trôc ®èi xøng lµ ®-êng th¼ng x = a. TÞnh tiÕn hÖ trôc xOy sang hÖ trôc XIY, trong ®ã 4 3 x = X + a (2).  y =Y I(a; 0) nh- h×nh bªn, ta cã:  Thay (2) vµo (1) ta cã: 2 1 Y = ( X + a )4 + 4( X + a)3 + m( X + a ) 2 = X4 + 4X3a + 6X2a 2 + 4Xa3 + a 4 + 4X3 + 12X2a + 12Xa2 + 4a3 + mX2 + 2mXa + ma2 I O -1 -2 32 2 x 4 X Hay Y = X4 + 4(a + 1)X3 +(12a + m)X2 + 2(2a3 + 6a2 + ma)X + ( a4 + 4a3 + ma2). Tõ ®ã, ®å thÞ cña hµm sè ®· cho cã trôc ®èi xøng lµ ®-êng th¼ng x = a khi vµ chØ 4(a + 1) = 0  a = −1 . ⇔  3 2  2(2a + 6a + ma ) = 0 m = 4  khi Y(X) ph¶i lµ hµm sè ch½n víi X, tøc lµ  VËy gi¸ trÞ cÇn t×m lµ m = 4, khi ®ã y = x4 + 4 x3 + 4 x 2 cã trôc ®èi xøng lµ x = - 1. Bµi 6. Gi¶i ph-¬ng tr×nh sau: x 4 − 4 x 3 − 2 x 2 + 12 x − 5 = 0 . H-íng dÉn. Gäi y = x 4 − 4 x3 − 2 x 2 + 12 x − 5 (1), ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi y = 0. Gi¶ sö ®å thÞ cña hµm sè y = x 4 − 4 x3 − 2 x 2 + 12 x − 5 cã trôc ®èi xøng lµ ®-êng th¼ng x = a. x = X + a (2).  y =Y TÞnh tiÕn hÖ trôc xOy sang hÖ trôc XIY, trong ®ã I(a; 0), ta cã:  Thay (2) vµo (1) ta cã: Y = ( X + a) 4 − 4( X + a) 3 − 2( X + a ) 2 + 12( X + a ) − 5 = X4 + 4X3a + 6X2a2 + 4Xa3 + a4 - 4X3 - 12X2a - 12Xa2 - 4a3 - 4Xa - 2a2 - 2X2 + 12X + 12a - 5. Hay Y = X4 + 4(a - 1)X3 + 2(3a2 - 6a - 1)X2 + 4(a3 - 3a2 – a + 3)X + ( a4 - 4a3 - 2a2 + 12a - 5). Tõ ®ã, ®å thÞ cña hµm sè ®· cho cã trôc ®èi xøng lµ ®-êng th¼ng x = a khi vµ chØ 4(a − 1) = 0 a = 1 ⇔ ⇔ a = 1. 2  2( a − 3a − a + 3) = 0 0 = 0  khi Y(X) ph¶i lµ hµm sè ch½n víi X, tøc lµ  3 Khi ®ã Y = X 4 − 8 X 2 + 2 . Do y = Y, nªn y = 0 t-¬ng ®-¬ng víi  X 2 = 4 + 14 ( x − 1) 2 = 4 + 14 t 2 − 8t + 2 = 0 ⇔ ⇔ X − 8X + 2 = 0 ⇔  2 2 2 ( x − 1) = 4 − 14  t= X ≥0  X = 4 − 14  x = 1 ± 4 + 14 . ⇔  x = 1 ± 4 − 14   x = 1 ± 4 + 14 VËy, ph-¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm lµ:   x = 1 ± 4 − 14  4 2 Chó ý. §Ó gi¶i mét sè ph-¬ng tr×nh bËc 4 ®Çy ®ñ (trong mét sè tr-êng hîp ®Æc biÖt), ta cã thÓ dùa theo çch t×m trôc ®èi xøng song song víi trôc Oy (lµ ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh x = a) cña ®å thÞ mçi hµm sè nh- h-íng dÉn ë trªn, khi ®ã t×m ®-îc 33 gi¸ trÞ cô thÓ cña a. Sau ®ã, b¹n cã thÓ chuyÓn ph-¬ng tr×nh ®· cho vÒ ph-¬ng tr×nh trïng ph-¬ng víi biÕn sè X = x - a. Bµi 7. Cho hµm sè y = x3 + 3mx 2 − 2(m + 2) x + 6 (1), trong ®ã m lµ tham sè. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®· cho nhËn ®iÓm I (1; 2) lµm t©m ®èi xøng. y Y H-íng dÉn. Gi¶ sö ®å thÞ cña hµm sè ®· cho nhËn ®iÓm I (1; 2) lµm t©m ®èi xøng. TÞnh tiÕn hÖ trôc xOy sang hÖ trôc XIY, nh- h×nh x O vÏ, ta cã: 1 2 x = X +1 (2).  y = Y + 2 4 -1 Thay (2) vµo (1) ta cã: X Y + 2 = ( X + 1)3 + 3m( X + 1) 2 − 2(m + 2)( X + 1) + 6 -2 I = X3 + 3X2 + 3X + 1 2 + 3m + 3mX + 6mX - 2(m + 2)X - 2(m + 2) + 6. Hay Y = X3 + 3(m + 1)X2 + (4m - 1)X + (m +1). Tõ ®ã, ®å thÞ cña hµm sè ®· cho nhËn ®iÓm I (1; 2) lµm t©m ®èi xøng khi vµ chØ khi Y(X) ph¶i lµ hµm sè lÎ víi X, tøc lµ -3 -4 m + 1 = 0 ⇔ m = −1 .  m + 1 = 0 VËy gi¸ trÞ cÇn t×m lµ m = -1. Trong tr-êng hîp nµy th× y = x3 − 3 x 2 − 2 x + 6 , ®å thÞ cña nã cã t©m ®èi xøng lµ ®iÓm uèn. 2.5 §-êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè 2.5.1 §-êng tiÖm cËn ®øng Bµi 1. T×m tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm sè: y = x . x −1 H-íng dÉn. DÔ thÊy x – 1 = 0 khi x = 1, khi ®ã lim x → 1+ x x = +∞ , lim = −∞ nªn ®å thÞ − x −1 x→ 1 x − 1 cña hµm sè d· cho cã mét tiÖm cËn ®øng víi ph-¬ng tr×nh lµ x = 1. x x ≠ +∞ , lim− ≠ −∞, ∀a ≠ 1 , nªn ®å thÞ cña hµm sè ®· cho x → a x −1 x −1 kh«ng cã tiÖm cËn ®øng x = a, ∀a ≠ 1 . VËy, ®å thÞ cña hµm sè ®· cho chØ cã mét MÆt kh¸c, v× lim x→ a + tiÖm cËn ®øng víi ph-¬ng tr×nh lµ x = 1. 34 Bµi 2: T×m tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm sè: y = 2x2 −1 x 2 − 3x + 2 . H-íng dÉn. DÔ thÊy x2 – 3x + 2 = 0 khi x = 1 hoÆc x = 2. Do lim x → 1+ 2 x2 −1 2x2 −1 lim = +∞ = −∞ nªn x = 1 lµ mét tiÖm cËn ®øng vµ 2 x → 1− x − 3x + 2 x 2 − 3x + 2 cña ®å thÞ hµm sè ®·. T-¬ng tù, lim x → 2+ 2 x2 − 1 2x2 − 1 = +∞ = −∞ nªn x = 2 lµ mét tiÖm cËn lim vµ 2 x → 2− x − 3 x + 2 x 2 − 3x + 2 ®øng cña ®å thÞ hµm sè ®·. 2x2 − 1 2x2 − 1 ≠ ∞ , ∀ a ≠ 1 lim ≠ ∞, ∀a ≠ 2 , nªn ®å thÞ cña vµ x→ a x2 − 3x + 2 x→ a x 2 − 3x + 2 2x2 −1 MÆt kh¸c, v× lim hµm sè y = x 2 − 3x + 2 chØ cã hai ®-êng tiÖm cËn ®øng víi ph-¬ng tr×nh t-¬ng øng lµ lµ x = 1 vµ x = 2, Bµi 3: T×m tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm sè y = x 2 − 3x + 2 (1) x2 − 4 H-íng dÉn: Ta cã x2 – 4 = 0 khi x = 2 hoÆc x = - 2. V× lim x →2 x 2 − 3x + 2 ( x − 1)( x − 2) x −1 1 = lim = lim = − nªn ®-êng th¼ng cã ph-¬ng 2 x → 2 x → 2 x −4 x+2 ( x + 2)( x − 2) 4 tr×nh x = 2 kh«ng ph¶i lµ tiÖm cËn ®øng cña (1). Cßn lim+ x 2 − 3x + 2 ( x − 1)( x − 2) x −1 = lim+ = lim+ = −∞ vµ 2 x →−2 ( x + 2)( x − 2) x →−2 x + 2 x −4 lim− x 2 − 3x + 2 ( x − 1)( x − 2) x −1 = lim− = lim− = +∞ 2 x →−2 ( x + 2)( x − 2) x →−2 x + 2 x −4 x →−2 x →−2 nªn ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh x = - 2 lµ tiÖm cËn ®øng cña (1). x 2 − 3x + 2 ≠ ∞, ∀a ≠ −2 , nªn ®å thÞ cña hµm sè ®· cho chØ cã 1 tiÖm x→ a x2 − 4 MÆt kh¸c, lim cËn ®øng víi ph-¬ng tr×nh x = -2. Bµi 4: T×m tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm sè y = x3 − 4 x 2 − 7 x + 10 (1) x3 + x 2 − 5 x + 3 H-íng dÉn. Ta cã: x3 + x 2 − 5 x + 3 = ( x 2 − 2 x + 1)( x + 3) vµ x3 − 4 x 2 − 7 x + 10 = ( x 2 − 6 x + 5)( x + 2) , Tõ ®ã: 35 lim+ x →−3 lim− x →−3 x3 − 4 x 2 − 7 x + 10 ( x − 1)( x − 5)( x + 2) ( x − 5)( x + 2) = lim+ = lim+ = −∞ 3 2 x →−3 ( x − 1)( x − 1)( x + 3) x →−3 ( x − 1)( x + 3) x + x − 5x + 3 x3 − 4 x 2 − 7 x + 10 ( x − 1)( x − 5)( x + 2) ( x − 5)( x + 2) = lim− = lim− = +∞ 3 2 x →−3 ( x − 1)( x − 1)( x + 3) x →−3 ( x − 1)( x + 3) x + x − 5x + 3 nªn ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh x = -3 lµ tiÖm cËn ®øng cña (1). T-¬ng tù: lim+ x3 − 4 x 2 − 7 x + 10 ( x − 1)( x − 5)( x + 2) ( x − 5)( x + 2) = lim+ = lim+ = −∞ 3 2 x → 1 x → 1 x + x − 5x + 3 ( x − 1)( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3) lim− x3 − 4 x 2 − 7 x + 10 ( x − 1)( x − 5)( x + 2) ( x − 5)( x + 2) = lim− = lim− = +∞ 3 2 x → x → 1 1 x + x − 5x + 3 ( x − 1)( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3) x →1 x →1 nªn ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh x = 1 lµ tiÖm cËn ®øng cña (1). Ta còng dÔ dµng kiÓm tra ®-îc nh÷ng ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh x = a, trong ®ã x ≠ 1 vµ x ≠ -3 kh«ng lµ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm sè ®· cho. VËy ®å thÞ cña hµm sè ®· cho cã hai tiÖm cËn ®øng víi ph-¬ng tr×nh t-¬ng øng lµ x = 1 vµ x = -3. Bµi 5: T×m tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm sè y = x2 − 4x + 3 (1) 2x − 6 H-íng dÉn. TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè lµ R\{3}, khi ®ã y = x2 − 4 x + 3 1 = ( x − 1) . 2x − 6 2 x2 − 4x + 3 ≠ ∞, ∀a . VËy, ®å thÞ cña hµm sè ®· cho kh«ng cã tiÖm cËn x→ a 2x − 6 Tõ ®ã: lim ®øng. Chó ý. Víi hµm ph©n thøc h÷u tØ y = f ( x) (víi f(x) vµ g(x) lµ çc ®a thøc) th×: g ( x) - §-êng th¼ng x = a lµ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm ph©n thøc h÷u tØ khi a lµ nghiÖm ®¬n (hoÆc nghiÖm béi k) cña g(x) = 0 vµ kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña f(x) = 0 (hoÆc lµ nghiÖm béi nhá h¬n k cña f(x) = 0). - Hµm ph©n thøc h÷u tØ cã tiÖm cËn ®øng khi hµm sè ®ã kh«ng suy biÕn vµ g(x) = 0 cã nghiÖm. (Hµm ph©n thøc h÷u tØ y = f ( x) kh«ng suy biÕn khi f(x) kh«ng chia hÕt cho g(x)). g ( x) Hay cã thÓ ph¸t biÓu çch kh¸c lµ: - Hµm ph©n thøc h÷u tØ cã tiÖm cËn ®øng khi g(x) = 0 cã nghiÖm vµ mäi nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh g(x) = 0 kh«ng ®ång thêi lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh f(x) = 0. - Çch t×m tiÖm cËn ®øng cña hµm ph©n thøc h÷u tØ y = f ( x) . g ( x) Bước 1 : Kiểm tra hàm số không suy biến.(Tøc lµ f(x) không chia hÕt cho g(x)) Bước 2 : Gi¶i ph-¬ng tr×nh g(x) = 0 (gi¶ sö cã nghiÖm x = a) Bước 3 : Kiểm tra x = a lµ nghiÖm ®¬n (hoÆc nghiÖm béi k) cña g(x) = 0 vµ kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña f(x) = 0 (hoÆc lµ nghiÖm béi nhá h¬n k cña f(x) = 0). Bước 4 : Kết luận. 36 TiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm sè y = f ( x) cã ph-¬ng tr×nh x = a. g ( x) Bµi 6. Tuú theo gi¸ trÞ cña tham sè m t×m tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm sè sau : mx 2 − 6 x (1). y= 2 x − 3x + 2 H-íng dÉn. DÔ thÊy x2 – 3x + 2 = 0 khi x = 1 hoÆc x = 2. §-êng th¼ng x = 1 lµ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ (1) ⇔ x = 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh mx2 – 6x = 0, tøc lµ m – 6 ≠ 0, hay m ≠ 6. Tõ ®ã, khi m = 5 th× x = 1 kh«ng lµ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm sè ®· cho. §-êng th¼ng x = 2 lµ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ (1) ⇔ x = 2 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh mx2 – 6x = 0, tøc lµ 4m – 12 ≠ 0, hay m ≠ 3. Tõ ®ã, khi m = 3 th× x = 2 kh«ng lµ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm sè ®· cho. Nh- vËy: x =1 kh«ng lµ tiÖm cËn x = 2 - ®å thÞ cña hµm sè ®· cho kh«ng cã tiÖm cËn ®øng ⇔  m = 5 ⇔ VN . VËy ®å thÞ cña hµm sè ®· lu«n cã tiÖm cËn ®øng. m = 3 - ®å thÞ cña hµm sè ®· cho chØ cã mét tiÖm cËn ®øng ⇔ x = 1 lµ tiÖm cËn ®øng vµ ®øng cña ®å thÞ ⇔  x = 2 kh«ng lµ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hoÆc x = 2 lµ tiÖm cËn ®øng vµ x = 1 m ≠ 5  m = 3 m = 3 kh«ng lµ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ ⇔  . VËy, ®å thÞ cña hµm sè ®· ⇔  m = 5 m = 5   m ≠ 3 m = 3 . lu«n chØ cã mét tiÖm cËn ®øng ⇔  m = 5 - ®å thÞ cña hµm sè ®· cho cã hai tiÖm cËn ®øng ⇔ x = 1 vµ x = 2 ®Òu lµ tiÖm cËn m ≠ 5 . m ≠ 3 ®øng cña ®å thÞ ⇔  m ≠ 5 . m ≠ 3 VËy, ®å thÞ cña hµm sè ®· cã hai tiÖm cËn ®øng ⇔  Bµi 7. Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m ®å thÞ cña hµm sè sau kh«ng cã tiÖm cËn ®øng: y = x2 − 5x . x 2 − 2mx + 1 H-íng dÉn. XÐt ph-¬ng tr×nh x2 – 2mx + 1 = 0 cã ∆ = m 2 − 1 . - NÕu ∆ < 0 , tøc lµ - 1 < m < 1, th× x2 – 2mx + 1 > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x. Do ®ã, ®å thÞ cña hµm sè ®· cho kh«ng cã tiÖm cËn ®øng. - DÔ thÊy ∆ = 0 , tøc lµ m = - 1 hoÆc m = 1. 37 x2 − 1 ( x − 1)( x + 1) = suy ra 2 x + 2x +1 ( x + 1) 2 ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) lim+ y = lim+ = −∞ vµ lim− y = lim− = +∞ nªn x = -1 lµ mét 2 x →1 x →1 x →1 x →1 ( x + 1) ( x + 1) 2 Khi m = -1 ta y= cã tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm sè. VËy gi¸ trÞ m = -1 võa t×m ®-îc bÞ lo¹i. x2 − 1 ( x − 1)( x + 1) = suy ra 2 x − 2x +1 ( x − 1) 2 ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) lim+ y = lim+ = +∞ vµ lim− y = lim− = −∞ nªn x = 1 lµ mét 2 x →1 x →1 x →1 x →1 ( x − 1) ( x − 1)2 Khi m = 1 ta y= cã tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm sè. VËy gi¸ trÞ m = 1 võa t×m ®-îc bÞ lo¹i. - NÕu ∆ > 0 , tøc lµ m , -1 hoÆc m > 1, th× x2 – 2mx + 1 = 0 cã hai nghiÖm lµ x1 = m − m 2 − 1 vµ x2 = m + m 2 − 1 . Trong tr-êng hîp nµy ®å thÞ cña hµm sè ®· cho kh«ng cã tiÖm cËn ®øng ⇔ c¶ x1 vµ x2 ®Òu lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh 2 m − m − 1 = −1 m − m2 − 1 = −1 2 ⇔ ⇔ VN . x –1=0 ⇔ 2m = 0  m + m2 − 1 = 1  Tõ ®ã, çc gi¸ trÞ cÇn t×m lµ: - 1 < m < 1. 2.5.2. §-êng tiÖm cËn ngang Bµi 1. T×m tiÖm cËn ngang cña ®å thÞ hµm sè y = 2x 2 − 1 x 2 − 3x + 2 . H-íng dÉn. 2x2 − 1 2 x2 −1 = 2 lim = 2 nªn ®å thÞ cña hµm sè ®· cho cã vµ x → +∞ x 2 − 3 x + 2 x → −∞ x 2 − 3 x + 2 Ta cã lim mét tiÖm cËn ngang lµ ®-êng th¼ng y = 2. Bµi 2. T×m tiÖm cËn ngang cña ®å thÞ hµm sè y = 1 (1) x − 3x + 2 2 H-íng dÉn: Ta cã 1 1 = 0 vµ lim y = lim 2 = 0 nªn ®å thÞ cña x →+∞ x − 3 x + 2 x →−∞ x →−∞ x − 3 x + 2 lim y = lim x →+∞ 2 hµm sè ®· cho cã tiÖm cËn ngang y = 0. Bµi 3. T×m tiÖm cËn ngang cña ®å thÞ hµm sè y = x 2 + 5 x + 10 . 3x + 2 H-íng dÉn: Ta cã x 2 + 5x + 10 x 2 + 5x + 10 = −∞ vµ lim y = lim = +∞ nªn ®å thÞ x →−∞ x →+∞ x →+∞ 3x + 2 3x + 2 lim y = lim x →−∞ cña hµm sè ®· cho kh«ng cã tiÖm cËn ngang. 38 Bµi 4. T×m tiÖm cËn ngang cña ®å thÞ hµm sè y = x 2 + 7 x + 10 . 2x + 4 H-íng dÉn. x 2 + 7 x + 10 1 TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè lµ R\{-2}, khi ®ã y = = ( x + 5) 2x + 4 2 1 1 Ta cã lim y = lim ( x + 5) = −∞ vµ lim y = lim ( x + 5) = +∞ nªn ®å thÞ cña hµm x →−∞ x →−∞ 2 x →+∞ x →+∞ 2 sè ®· cho kh«ng cã tiÖm cËn ngang. Chó ý. - Víi hµm ph©n thøc h÷u tØ y = f ( x) , (trong ®ã f(x) vµ g(x) ®Òu lµ çc ®a thøc), g ( x) kh«ng suy biÕn, th× ®å thÞ cña nã cã tiÖm cËn ngang khi bËc cña f(x) nhá h¬n hoÆc b»ng bËc cña g(x). - Çch t×m tiÖm cËn ngang cña hµm ph©n thøc Bước 1 : Kiểm tra hàm số không suy biến.(Tøc lµ f(x) không chia hÕt cho g(x)) Bước 2 : Kiểm tra bËc cña f(x) nhá h¬n hoÆc b»ng bËc cña g(x). Bước 3 : Kết luận. * NÕu bËc cña f(x) nhá h¬n bËc cña g(x) th× ®å thÞ cña hµm ph©n thøc h÷u tØ cã tiÖm cËn ngang víi ph-¬ng tr×nh y = 0. * NÕu bËc cña f(x) b»ng bËc cña g(x) th× ®å thÞ cña hµm ph©n thøc h÷u tØ cã tiÖm cËn ngang víi ph-¬ng tr×nh y = p , trong ®ã p, q t-¬ng øng lµ hÖ sè cña Èn x cã q bËc cao nhÊt cña f(x) vµ g(x). Bµi 5. Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m th× ®å thÞ cña hµm sè : y = mx3 − 6 x (1) x 2 − 3x + 2 cã tiÖm cËn ngang. H-íng dÉn. §å thÞ cña hµm sè y = mx3 − 6 x cã tiÖm cËn ngang ⇔ hµm sè ®ã kh«ng suy x 2 − 3x + 2 biÕn vµ bËc cña tö sè nhá h¬n hoÆc b»ng bËc cña mÉu sè  m.13 − 6.1 ≠ 0  ⇔ m.23 − 6.2 ≠ 0 ⇔ m = 0 .  m=0  VËy gi¸ trÞ cÇn t×m lµ: m = 0. 2.5.3 §-êng tiÖm cËn xiªn Bµi 1: T×m tiệm cận xiên cña ®å thÞ hµm sè Hướng dẫn. Çch 1. 39 Ta biết nÕu y = ax + b là tiệm cận xiên của y = f(x) thì Từ đó, với thì =1 ; còn b = . Vậy tiệm cận xiên cña ®å thÞ hµm sè là y = x - 3. Cách 2 . TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R \ {-1; 1}, khi ®ã suy ra . Vậy y = x - 3 là tiệm cận xiên của hàm số. Chó ý. - Hµm ph©n thøc h÷u tØ y = f ( x) cã tiÖm cËn xiªn khi hµm sè ®ã kh«ng suy biÕn g ( x) vµ bËc cña f(x) b»ng bËc cña g(x) céng thªm 1 ( hay bËc cña f(x) lín h¬n bËc cña g(x) mét ®¬n vÞ). - Çch t×m tiÖm cËn xiªn Ta biÕt tiÖm cËn xiªn c¶u ®å thÞ hµm ph©n thøc h÷u tØ y = f ( x) lµ mét ®-êng g ( x) th¼ng cã d¹ng y = ax + b. f ( x)   a = lim x →∞ x . * Çch 1: Tõ ®Þnh nghÜa cã  b = lim [ f ( x) − ax ]  x →∞ Chó ý. §Ó t×m tiệm cận xiên cña ®å thÞ hµm sè ®· cho theo cách này bạn cần tiến hành theo các bước : Bước 1 : Kiểm tra hàm số ®· cho có suy biến hay không ? Bước 2 : Khi hàm số không suy biến, kiểm tra bậc của tử số có lớn hơn bậc của mẫu số 1 đơn vị hay không ? và Bước 3 : Tính Bước 4 : Kết luận. * Çch 2: Trong trường hợp mà hàm số không suy biến và bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số 1 đơn vị, bằng cách chia tử số trong biÓu thøc cña hµm sè cho mẫu số cña nã ta được trong đó bậc của h(x) nhỏ hơn bậc của g(x). Khi đó , suy ra . Do đó, theo định nghĩa, y = ax + b là tiệm cận xiên của hàm số đã cho. 40 Chó ý. §Ó t×m tiệm cận xiên cña ®å thÞ hµm sè ®· cho theo cách này bạn cần tiến hành theo các bước : Bước 1 : Kiểm tra hàm số có suy biến hay không ? Bước 2 : Khi hàm số không suy biến, kiểm tra bậc của tử số có lớn hơn bậc của mẫu số 1 đơn vị hay không ? trong đó bậc của Bước 3 : Chia tử số cho mẫu số ta được h(x) nhỏ hơn bậc của g(x). Bước 4 : Kết luận. x2 + x + 1 ? Bµi 3. T×m tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè y = H-íng dÉn. TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. x2 + x + 1 x2 + x + 1 = lim = 1 vµ x →+∞ x x2 Ta cã: lim x →+∞ lim x →+∞ ( x + x +1 − x 2 ) ( = lim )( x2 + x + 1 − x . ( x →+∞ x2 + x + 1 + x x2 + x + 1 + x ) ) = lim  x + x + 1 − x2   2 x →+∞  x + x +1 + x  2   1 x +1 = lim  = 2 x →+∞  x + x +1 + x  2 1 2 VËy khi x → +∞ ®å thÞ cña hµm sè cã tiÖm cËn xiªn lµ y = x + . x2 + x + 1 x2 + x + 1 = − lim = −1 vµ x →−∞ x x2 MÆt kh¸c: lim x →−∞ lim x →−∞ ( x + x +1 + x 2 ) ( = lim )( x2 + x + 1 + x . x →−∞ ( x2 + x + 1 − x x2 + x + 1 − x ) ) = lim  x + x + 1 − x   2 x →−∞  x + x +1 − x  2 2   x +1 1 = lim  =− 2 x →−∞ 2  x + x +1 − x  1 2 VËy khi x → −∞ ®å thÞ cña hµm sè cã tiÖm cËn xiªn lµ y = − x − . Chó ý. B»ng çch t-¬ng tù nh- trªn ta cã : Víi hµm sè y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0, b 2 − 4ac ≠ 0 , trªn tËp x¸c ®Þnh, lu«n cã hai tiÖm cËn xiªn lµ: TiÖm cËn xiªn phÝa ph¶i, khi x → +∞ vµ tiÖm cËn xiªn phÝa tr¸i, khi x → −∞ víi çc tiÕn ph-¬ng y = −x a − b 2 a hµnh tr×nh t-¬ng øng lµ , a ≠ 0, x → −∞ . 41 y=x a+ b 2 a , a ≠ 0, x → +∞ vµ Bµi 4. T×m tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè y = 2x – 3 + H-íng dÉn. TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R. Ta cã: x2 + x + 1 .  2x − 3  x2 + x + 1  2x − 3 + x2 + x + 1 x2 + x + 1   2x − 3  = lim  + + lim   = lim    x →+∞ x →+∞   x →+∞  x  x →+∞   x x x  x    lim 3 x2 + x + 1  lim  2 −  + lim = 2 +1 = 3 x →+∞ x  x →+∞ x2  ( ) vµ lim  2 x − 3 + x 2 + x + 1 − 3 x  = lim  x 2 + x + 1 − ( x + 3)  = x →+∞    x →+∞   x 2 + x + 1 − ( x + 3)  .  x 2 + x + 1 + ( x + 3)  ( x 2 + x + 1) − ( x + 3) 2      lim = lim = x →+∞ x →+∞   x 2 + x + 1 + ( x + 3)  x 2 + x + 1 − ( x + 3)      −5 x − 8 5 =− . = lim x →+∞  2 x 2 + x + 1 + ( x + 3)    5 VËy khi x → +∞ ®å thÞ cña hµm sè cã tiÖm cËn xiªn lµ y = 3 x − . 2 MÆt kh¸c:  2x − 3  x2 + x + 1  2x − 3 + x2 + x + 1 x2 + x + 1   2x − 3  = lim  + + lim   = lim    x →−∞ x →−∞   x →−∞  x  x →−∞   x x x  x    lim 3 x2 + x + 1  lim  2 −  − lim = 2 −1 = 1 x →−∞ x  x →−∞ x2  vµ lim  2 x − 3 + x 2 + x + 1 − x  = lim  x 2 + x + 1 + ( x − 3)  =   x →−∞  x →−∞    x 2 + x + 1 + ( x − 3)  .  x 2 + x + 1 − ( x − 3)  2 2    = lim ( x + x + 1) − ( x − 3)  = lim  x →−∞ x →−∞   x 2 + x + 1 − ( x − 3)  x 2 + x + 1 − ( x − 3)      7x − 8 7 = lim =− . x →−∞  2 2 x + x + 1 − ( x − 3)    7 VËy khi x → −∞ ®å thÞ cña hµm sè cã tiÖm cËn xiªn lµ y = x − . 2 ) ( Chó ý. B»ng çch tiÕn hµnh t-¬ng tù nh- trªn ta cã : Víi hµm sè y = mx + n + ax 2 + bx + c , a ≠ 0, b 2 − 4ac ≠ 0 , trªn tËp x¸c ®Þnh, lu«n cã hai tiÖm cËn 42 xiªn lµ: TiÖm cËn xiªn phÝa ph¶i, khi x → +∞ vµ tiÖm cËn xiªn phÝa tr¸i, khi x → −∞ víi çc ph-¬ng tr×nh t-¬ng øng lµ y = x( m + a ) + ( n + vµ y = x( m − a ) + (n − b b 2 a ), a ≠ 0, x → +∞ ), a ≠ 0, x → −∞ . 2 a 2.6 Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ cña mét sè hµm ®a thøc 2.6.1 Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ cña mét sè hµm sè cã b©c 3 Bµi 1. Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm sè y = x3 H-íng dÉn. - TËp x¸c ®Þnh R. - ChiÒu biÕn thiªn. y’(x) = 3x2 y’(x) = 0 khi x = 0 . + xÐt dÊu y’(x): + x 0 hµm sè ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (- ∞ ; 0) vµ (0; + ∞ ) ®å thÞ hµm sè kh«ng cã ®iÓm cùc trÞ. y”(x) = 6x; y”(x) = 0 khi x = 0. Do y”(x) lµ nhÞ thøc bËc nhÊt, nªn y” (x) = 0 vµ ®æi dÊu qua x = 0. VËy ®å thÞ hµm sè cã ®iÓm uèn t¹i x = 0, gi¸ trÞ hµm sè t¹i ®iÓm uèn lµ y(0) = 0. - Nh¸nh v« cùc: Ta cã lim x 3 = +∞ vµ lim x 3 = −∞ . x →+∞ x →−∞ - B¶ng biÕn thiªn x - ∞ y’(x) y”(x) y + - - ∞ +∞ 0 0 0 + + +∞ 0 - §å thÞ: §å thÞ ®i qua ®iÓm (0; 0). Khi x = -1 th× y = -1; khi x = 1 th× y = 1; khi x = - 2 th× y = - 8; khi x = 2 th× y = 8; . Ta cã ®å thÞ cña hµm sè nh- h×nh d-íi ®©y 43 4 f( x) = x3 2 -2 -4 NhËn xÐt ®iÓm uèn lµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ ®· vÏ. Bµi 2. Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm sè y = - x3 – 3x2 -3x - 9. H-íng dÉn. - TËp x¸c ®Þnh R. - ChiÒu biÕn thiªn. y’(x) = -3x2- 6x – 3 = -3 (x + 1)2 y’(x) = 0 khi x = -1 xÐt dÊu y’(x): - x -1 hµm sè nghÞch biÕn trªn çc kho¶ng (- ∞ ; -1) vµ (-1; + ∞ ), ®å thÞ hµm sè kh«ng cã ®iÓm cùc trÞ. y”(x) = - 6(x + 1); y”(x) = 0 khi x = -1. Do y”(x) lµ nhÞ thøc bËc nhÊt, nªn y” (x) = 0 vµ ®æi dÊu qua x = -1. VËy ®å thÞ hµm sè cã ®iÓm uèn t¹i x = - 1, gi¸ trÞ hµm sè t¹i ®iÓm uèn lµ y(- 1) = - 8. vµ Nh¸nh v« cùc: Ta cã lim (− x3 − 3x 2 − 3 x − 9) = −∞ x →+∞ lim ( − x − 3 x − 3x − 9) = +∞ . 3 2 x →−∞ - B¶ng biÕn thiªn x y’(x) y”(x) y - ∞ +∞ +∞ -1 + - 0 0 -8 44 + + -∞ 5 - §å thÞ: §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; - 9). §å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm (-3; 0). Khi x = 1 th× y = -16; khi x = 1 th× y = -8; khi x = - 2 th× y = - 7; Ta cã ®å thÞ cña hµm sè nhh×nh bªn 10 -5 -10 g ( x) = - x3- 3⋅x2- 3⋅x-9 NhËn xÐt ®iÓm uèn lµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ ®· vÏ. Bµi 3. Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm sè y = x3 – 3x2 + 2. H-íng dÉn. - TËp x¸c ®Þnh R. - ChiÒu biÕn thiªn. y’(x) = 3x2- 6x y’(x) = 0 khi x = 0 hoÆc x = 2. xÐt dÊu y’(x): -15 -20 + - + x 2 hµm sè ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (- ∞ ; 0) vµ (2; + ∞ ) ; nghÞch biÕn trªn 0 kho¶ng (0 ; 2); ®å thÞ hµm sè cã ®iÓm cùc ®¹i t¹i x = 0, gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ y(0) = 2; cã ®iÓm cùc tiÓu t¹i x = 2, gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ y(2) = -2; y”(x) = 6x – 6; y”(x) = 0 khi x = 1. Do y”(x) lµ nhÞ thøc bËc nhÊt, lu«n ®æi dÊu qua nghiÖm, nªn y” (x) = 0 vµ ®æi dÊu qua x = 1. VËy ®å thÞ hµm sè cã ®iÓm uèn t¹i x = 1, gi¸ trÞ hµm sè t¹i ®iÓm uèn lµ y(1) = 0. - Nh¸nh v« cùc: Ta cã lim ( x3 − 3x + 2 ) = +∞ vµ lim ( x3 − 3x + 2 ) = −∞ . x →+∞ - B¶ng biÕn thiªn x - ∞ y’(x) y”(x) y x →−∞ 0 + - 0 2 C§ 1 2 0 0 +∞ + + 0 CT -2 -∞ - §å thÞ: 45 +∞ §å thÞ c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm (0; 2) §å thÞ c¾t trôc Ox t¹i çc ®iÓm (1- 3 ; 0); (1 ; 0); (1 + 3 ; 0). Khi x = -1 th× y = -2; khi x = 3 th× y = 2. Ta cã ®å thÞ cña hµm sè nh- h×nh d-íi ®©y 6 4 2 -5 5 10 -2 -4 -6 NhËn xÐt ®iÓm uèn lµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ ®· vÏ. Bµi 4. Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm sè y = 3x- x3. H-íng dÉn. - TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè lµ R. - ChiÒu biÕn thiªn. y’(x) = 3 - 3x2 y’(x) = 0 khi x = - 1 hoÆc x = 1 ; xÐt dÊu y’(x): - + -1 1 x hµm sè nghÞch biÕn trªn çc kho¶ng (- ∞ ; -1) vµ (1 ; + ∞ ) ; ®ång biÕn trªn kho¶ng (-1 ; 1); ®å thÞ cña hµm sè cã ®iÓm cùc ®¹i t¹i x = 1, gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ y(1) = 2; cã ®iÓm cùc tiÓu t¹i x = -1, gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ y(-1) = - 2; y”(x) = - 6x; y”(x) = 0 khi x = 0. Do y”(x) lµ nhÞ thøc bËc nhÊt, nªn y” (x) = 0 vµ ®æi dÊu qua x = 0. VËy ®å thÞ cña hµm sè cã ®iÓm uèn t¹i x = 0, gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i ®iÓm uèn lµ y(0) = 0. - Nh¸nh v« cùc: Ta cã lim ( 3x − x3 ) = −∞ x →+∞ 46 vµ lim ( 3x − x3 ) = +∞ . x →−∞ - B¶ng biÕn thiªn x - ∞ y’(x) y”(x) y -∞ -1 0 + 0 + 0 1 0 +∞ - C§ 2 §U 0 CT -2 -∞ - §å thÞ: §å thÞ c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm (0; 0) §å thÞ c¾t trôc Ox t¹i çc ®iÓm (0; 0); (- 3 ; 0); ( 3 ; 0). Khi x = - 2 th× y = 2; Ta cã ®å thÞ cña hµm sè nh- h×nh d-íi ®©y. 4 h( x) = 3⋅x-x3 2 -2 -4 NhËn xÐt ®iÓm uèn lµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ ®· vÏ. Chó ý. §Ó cã thÓ nhËn biÕt ®-îc ®óng vµ nhanh vÒ d¹ng ®å thÞ cña hµm sè bËc 3, b¹n cÇn ghi nhí s¬ ®å sau: Hµm sè y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0) . TËp x¸c ®Þnh lµ R. y '( x) = 3ax 2 + 2bx + c ∆y ' = b 2 − 3ac 47 (1) NÕu ∆y ' = b 2 − 3ac < 0 vµ a > 0 th× y’(x) > 0 ∀x , khi ®ã ®å thÞ hµm sè cã d¹ng (2) NÕu ∆y ' = b2 − 3ac < 0 vµ a < 0 th× y’(x) < 0 ∀x , khi ®ã ®å thÞ hµm sè cã d¹ng 10 6 8 4 6 2 4 -5 5 10 2 -2 -10 -5 5 10 -4 (3) NÕu ∆y ' = b 2 − 3ac > 0 th× y’(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Khi ®ã, nÕu a > 0 ®å thÞ hµm sè cã d¹ng (4) NÕu ∆y ' = b2 − 3ac > 0 th× y’(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt. NÕu a > 0 khi ®ã ®å thÞ hµm sè cã d¹ng 10 6 8 4 6 2 -10 -5 4 5 10 2 -2 -5 5 -4 -2 -6 2.6.2. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè cña mét sè hµm sè bËc 4 trïng ph-¬ng Bµi 1. Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = x 4 H-íng dÉn. - TËp x¸c ®Þnh R. - ChiÒu biÕn thiªn. y’(x) = 4x3; 48 10 y’(x) = 0 khi x = 0. xÐt dÊu y’(x): - + x 0 hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (0; + ∞ ); nghÞch biÕn trªn kho¶ng (- ∞ ; 0) ; ®å thÞ hµm sè cã mét ®iÓm cùc tiÓu t¹i x = 0 , gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y(0) = 0; y”(x) = 12x2 y”(x) = 0 khi x = 0 nh-ng kh«ng ®æi dÊu qua nghiÖm, nªn ®å thÞ hµm sè kh«ng ®iÓm uèn. - Nh¸nh v« cùc: Ta cã lim x 4 = +∞ vµ lim x 4 = +∞ . x →+∞ x →−∞ - B¶ng biÕn thiªn x y’(x) y”(x) y - ∞ +∞ 0 + +∞ 0 0 + + +∞ CT 0 - §å thÞ: §å thÞ ®i qua ®iÓm (0; 0). Khi x = - 2 th× y = 16; khi x = -1 th× y = 1; khi x = 2 th× y = 16; khi x = 1 th× y = 1. Ta cã ®å thÞ cña hµm sè nh- h×nh d-íi ®©y 2 1.5 1 f( x) = x4 0.5 -1 1 Bµi 2. Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = 8 x 2 − x4 H-íng dÉn. - TËp x¸c ®Þnh R. 49 - ChiÒu biÕn thiªn. y’(x) = 16x - 4x3 y’(x) = 0 khi x = 0; x = 2 hoÆc x = -2. xÐt dÊu y’(x): + - + -2 - 0 x 2 hµm sè nghÞch biÕn trªn çc kho¶ng (- 2; 0) vµ (2; + ∞ ); ®ång biÕn trªn kho¶ng (- ∞ ; - 2) vµ (0; 2); ®å thÞ hµm sè cã mét ®iÓm cùc tiÓu t¹i x = 0, gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y(0) = 0; cã hai ®iÓm cùc ®¹i, t-¬ng øng t¹i x = -1 vµ x = 1, gi¸ trÞ cùc ®¹i t-¬ng øng lµ y(-2) = y(2) = 16; 3 3 hoÆc x = -2 . Do y”(x) lµ tam 3 3 3 3 thøc bËc hai, nªn y” (x) = 0 vµ ®æi dÊu qua x = 2 vµ x = -2 . VËy ®å thÞ 3 3 3 3 hoÆc x = -2 , gi¸ trÞ hµm sè t¹i ®iÓm uèn hµm sè cã 2 ®iÓm uèn t¹i x = 2 3 3 80 3 3 lµ y(2 ) = y(- 2 )= . 9 3 3 - Nh¸nh v« cùc: Ta cã lim (16 x 2 − x 4 ) = −∞ vµ lim (16 x 2 − x 4 ) = −∞ . y”(x) = 16- 12x2 ; y”(x) = 0 khi x = 2 x →+∞ x →−∞ - B¶ng biÕn thiªn x - ∞ y’(x) y”(x) y -2 + -2 3 3 0 0 + 0 3 3 2 0 - +∞ 2 - 0 0 C§ 16 + + C§ 16 80 9 80 9 CT -∞ 0 - §å thÞ: §å thÞ ®i qua ®iÓm (0; 1) §å thÞ c¾t trôc Ox t¹i çc ®iÓm (0 ; 0); (2 2 ; 0); (-2 2 ; 0). Ta cã ®å thÞ cña hµm sè nh- h×nh d-íi ®©y 50 -∞ g ( x) = 8⋅x2- x4 16 14 12 10 8 6 4 2 5 -2 Bµi 3. Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = ( x 2 − 1) 2 H-íng dÉn. - TËp x¸c ®Þnh R. - ChiÒu biÕn thiªn. y’(x) = 2.(x2- 1).2x y’(x) = 0 khi x = 0; x = 1 hoÆc x = -1. xÐt dÊu y’(x): - + - -1 0 + 1 x hµm sè ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (-1; 0) vµ (1; + ∞ ); nghÞch biÕn trªn kho¶ng (- ∞ ; -1) vµ (0; 1); ®å thÞ hµm sè cã mét ®iÓm cùc ®¹i t¹i x = 0, gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ y(0) = 1; cã hai ®iÓm cùc tiÓu, t-¬ng øng t¹i x = -1 vµ x = 1, gi¸ trÞ cùc ®¹i t-¬ng øng lµ y(-1) = y(1) = 0; y”(x) = 12x2 – 4; y”(x) = 0 khi x = 3 3 hoÆc x = . 3 3 Do y”(x) lµ tam thøc bËc hai, lu«n dæi dÊu qua hai nghiÖm, nªn y” (x) = 0 vµ 3 3 3 vµ x = . VËy ®å thÞ hµm sè cã 2 ®iÓm uèn t¹i x = 3 3 3 3 3 3 4 hoÆc x = , gi¸ trÞ hµm sè t¹i ®iÓm uèn lµ y( ) = y()= . 9 3 3 3 ®æi dÊu qua x = - Nh¸nh v« cùc: Ta cã lim ( x 2 − 1) = +∞ vµ lim ( x 2 − 1) = +∞ . 2 2 x →+∞ x →−∞ - B¶ng biÕn thiªn 51 x - ∞ y’(x) y”(x) y +∞ -1 + - 3 3 3 3 0 0 + 0 0 - - +∞ 1 0 0 + + C§ 1 4 9 4 9 0 CT 0 CT - §å thÞ: §å thÞ c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm (0; 1) §å thÞ c¾t trôc Ox t¹i çc ®iÓm (-1 ; 0); (1 ; 0). Khi x = -2 th× y = 9; khi x = 2 th× y = 9. Ta cã ®å thÞ cña hµm sè nh- h×nh d-íi ®©y 5 4 3 2 h( x) = ( x2-1) 2 1 2 Chó ý. B¹n cã thÓ nhËn d¹ng ®å thÞ hµm sè bËc 4 trïng ph-¬ng nh- b¶ng d-íi ®©y. §iÒu kiÖn vÒ hÖ a> 0 a< 0 sè a §iÒu kiÖn vÒ y’(x) 52 +∞ y’(x) = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt 6 6 4 4 2 2 -5 -5 5 5 10 10 -2 -2 -4 -4 -6 -6 y’(x) = 0 chØ cã 1 nghiÖm 6 6 4 4 2 2 -5 -5 5 5 10 10 -2 -2 -4 -4 -6 -6 Bµi 4. Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = x 4 − 4 x3 + 3 H-íng dÉn. - TËp x¸c ®Þnh R. - ChiÒu biÕn thiªn. y’(x) = 4x3 - 12x2 y’(x) = 0 khi x = 0 (nghiÖm kÐp) hoÆc x = 3. xÐt dÊu y’(x): - + 0 3 x hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (3; + ∞ ); nghÞch biÕn trªn kho¶ng (- ∞ ; 3). ®å thÞ hµm sè cã ®iÓm cùc tiÓu t¹i x = 3 , gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y(3) = - 24. y”(x) = 12x2 – 24x; y”(x) = 0 khi x = 0 hoÆc x = 2. Do y”(x) lµ tam thøc bËc hai, nªn y” (x) = 0 vµ ®æi dÊu qua mçi gi¸ trÞ x = 0 hoÆc x = 2, vËy ®å thÞ hµm sè cã 2 ®iÓm uèn t¹i x = 0 hoÆc x = 2, gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i ®iÓm uèn lµ y(0) = 3 vµ y( 2) = - 13. - Nh¸nh v« cùc: Ta cã lim ( x 4 − 4 x 3 + 3) = +∞ vµ lim ( x 4 − 4 x 3 + 3) = +∞ . x →+∞ x →−∞ - B¶ng biÕn thiªn 53 - ∞ x y’(x) y”(x) y 0 + 0 0 2 - +∞ 3 0 0 + + +∞ +∞ §U 3 §U -13 CT -24 - §å thÞ: §å thÞ c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm (0; 3) §å thÞ c¾t trôc Ox t¹i çc ®iÓm (1 ; 0); (3,95 ; 0). Khi x = -1 th× y = 8; khi x = 4 th× y = 3. Ta cã ®å thÞ cña hµm sè nh- h×nh d-íi ®©y 5 10 -5 -10 q ( x) = ( x4- 4⋅x3) + 3 -15 -20 2.7 Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ cña mét sè hµm ph©n thøc h÷u tØ ax + b ( am ≠ 0) mx + n x −1 Bµi 1: Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm sè y = . x +1 2.7.1 Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm sè y = H-íng dÉn. TËp x¸c ®Þnh R \ {−1} . 54 ChiÒu biÕn thiªn y '( x) = 1.( x + 1) − 1( x − 1) 2 = 2 ( x + 1) ( x + 1)2 Ta thÊy y’(x) > 0 trªn tËp x¸c ®Þnh, do ®ã hµm sè ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh. Tõ ®ã suy ra ®å thÞ kh«ng cã cùc trÞ.  x −1   x −1  Nh¸nh v« cùc: lim   = 1 vµ xlim   = 1. x →+∞ x + 1 →−∞ x + 1     TiÖm cËn:  x −1   x −1  Do lim   = −∞ vµ xlim   = +∞ nªn x = -1 lµ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ. x →−1  x + 1  →−1  x + 1  + −  x −1   x −1  Do lim   = 1 vµ xlim   = 1 nªn y = 1 lµ tiÖm cËn ngang cña ®å thÞ. x →+∞ x + 1 →−∞ x + 1     - B¶ng biÕn thiªn x -∞ -1 +∞ y’(x) y + + +∞ 1 1 - ∞ - §å thÞ: §å thÞ c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm (0; - 1) §å thÞ c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm (1 ; 0). Ta cã ®å thÞ cña hµm sè nh- h×nh d-íi ®©y 6 4 2 -5 5 t( x) = -2 -4 55 x-1 x+1 10 Bµi 1: Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm sè y = x +1 . x −1 H-íng dÉn. TËp x¸c ®Þnh R\{1}. ChiÒu biÕn thiªn y '( x) = 1.( x − 1) − 1( x + 1) −2 = 2 ( x − 1) ( x − 1) 2 Ta thÊy y’(x) < 0 trªn tËp x¸c ®Þnh, do ®ã hµm sè nghÞch biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh. Tõ ®ã suy ra ®å thÞ kh«ng cã cùc trÞ.  x +1   x +1 Nh¸nh v« cùc: lim   = 1 vµ xlim   = 1. x →+∞ x − 1 →−∞ x − 1     TiÖm cËn:  x +1   x +1   = +∞ vµ lim  = −∞ nªn x = 1 lµ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ. −  x → 1  x −1   x −1   x +1   x +1 = 1 vµ lim  Do lim    = 1 nªn y = 1 lµ tiÖm cËn ngang cña ®å thÞ. x →+∞ x − 1 x →−∞ x − 1     Do lim  x →1+ - B¶ng biÕn thiªn x -∞ y’(x) y +∞ -1 - +∞ 1 -∞ 1 - §å thÞ: §å thÞ c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm (0; - 1) §å thÞ c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm (-1 ; 0). Ta cã ®å thÞ cña hµm sè nh- h×nh d-íi ®©y 4 2 -5 5 r ( x) = -2 -4 56 x-1 x+1 Chó ý. ax + b ( am ≠ 0) b¹n cã thÓ theo lé tr×nh sau. mx + n  n B-íc 1: T×m tËp x¸c ®Þnh. R \  −  .  m §Ó nhËn d¹ng ®å thÞ hµm sè y = KiÓm tra tÝnh suy biÕn cña ®å thÞ: - NÕu gi¸ trÞ cña x lµm cho mÉu sè trong biÓu thøc cña hµm sè b»ng kh«ng ®ång thêi lµm cho tö sè trong biÓu thøc cña hµm sè b»ng kh«ng th× khi ®ã ®å thÞ suy biÕn thµnh hai nöa ®-êng th¼ng song song víi trôc Ox. 4 f( x) = 2 A 2 VÝ dô : y = 2x − 4 = 2, ∀x ≠ 2 . x−2 1 Do ®ã ®å thÞ cña nã lµ ®-êng th¼ng y = 2, bá ®i ®iÓm A(2 ; 2) nh- h×nh bªn. 1 2 -2 - NÕu gi¸ trÞ cña x lµm cho mÉu sè trong biÓu thøc cña hµm sè b»ng kh«ng ®ång thêi kh«ng lµm cho tö sè trong biÓu thøc cña hµm sè b»ng kh«ng th× chuyÓn qua b-íc 2. B-íc 2: XÐt sù biÕn thiªn vµ d¸ng ®iÖu ®å thÞ - TÝnh ®¹o hµm theo c«ng thøc y = ax + b an − mb → y '( x) = . mx + n ( mx + n) 2 - XÐt tÝnh ®ång biÕn, nghÞch biÕn vµ nhËn d¹ng ®å thÞ cña hµm sè. NÕu y’(x) > 0, ®å thÞ cã d¹ng NÕu y’(x) < 0, ®å thÞ cã d¹ng 6 6 4 4 2 2 -5 -5 5 5 10 -2 -2 -4 -4 -6 -6 - TÝnh hai tiÖm cËn (tiÖn cËn ®øng x = − n a vµ tiÖm cËn ngang y = ) m m 57 10 B-íc 3: XÐt ®iÓm ®Æc biÖt (b»ng çch t×m giao víi hai trôc to¹ ®é, nÕu cã) B-íc 4: KÕt luËn. ax 2 + bx + c (am ≠ 0) 2.7.2 Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm sè y = mx + n x2 − 2 x + 5 4 = x −1+ Bµi 1: Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm sè y = x −1 x −1 H-íng dÉn. x2 − 2 x + 5 . x −1 (2 x − 2).( x − 1) − 1( x 2 − 2 x + 5) x 2 − 2 x − 3 y '( x) = = , nªn ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 TËp x¸c ®Þnh R \ {−1} , khi ®ã y = ChiÒu biÕn thiªn, ta cã y’(x) = 0 khi x = - 1 hoÆc x = 3; xÐt dÊu y’(x): + - -1 + x 3 1 Tõ ®ã: hµm sè ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (- ∞ ; -1) vµ (3; + ∞ ); nghÞch biÕn trªn çc kho¶ng (-1 ; 1) vµ (1; 3); ®å thÞ cña hµm sè cã ®iÓm cùc ®¹i t¹i x = -1, gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ y(-1) = - 4; cã ®iÓm cùc tiÓu t¹i x = 3, gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y(3) = 4.  x2 − 2 x + 5   x2 − 2 x + 5  vµ lim = +∞    = −∞ . x →−∞ x −1  x −1     x2 − 2x + 5   x2 − 2 x + 5  Do lim+  = +∞ vµ lim−    = −∞ nªn x = 1 lµ tiÖm cËn ®øng cña x →1 x →1 x −1  x −1    Nh¸nh v« cùc: lim  x →+∞ ®å thÞ.  x2 − 2x + 5   4  − ( x − 1)  = lim   = 0 nªn y = x - 1 lµ tiÖm cËn xiªn cña ®å x →∞  x −1   x −1  Do lim  x →∞ thÞ. - B¶ng biÕn thiªn x y’(x) y -∞ + - ∞ -1 0 -4 1 - ∞ - 3 0 4 -∞ 58 +∞ + ∞ 10 - §å thÞ: §å thÞ c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm (0; - 5) §å thÞ kh«ng c¾t trôc Ox. Ta cã ®å thÞ cña hµm sè nhh×nh bªn. s( x) = 8 ( x2- 2⋅x) +5 x-1 6 4 2 -5 5 10 -2 -4 -6 -8 -10 − x 2 + 3x − 6 Bµi 2: Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm sè y = x −1 H-íng dÉn. − x 2 + 3x − 6 4 = −x + 2 − . x −1 x −1 (−2 x + 3).( x − 1) − 1( − x 2 + 3x − 6) − x 2 + 2 x + 3 = , nªn ChiÒu biÕn thiªn, ta cã y '( x) = ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 TËp x¸c ®Þnh R \ {−1} , khi ®ã y = y’(x) = 0 khi x = - 1 hoÆc x = 3; xÐt dÊu y’(x): - + + -1 1 3 x Tõ ®ã: hµm sè nghÞch biÕn trªn çc kho¶ng (- ∞ ; -1) vµ (3; + ∞ ); ®ång biÕn trªn çc kho¶ng (-1 ; 1) vµ (1; 3); ®å thÞ cña hµm sè cã ®iÓm cùc tiÓu t¹i x = -1, gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ y(-1) = 5; cã ®iÓm cùc ®¹i t¹i x = 3, gi¸ trÞ cùc tiÓu lµ y(3) = -3.  − x 2 + 3x − 6   − x 2 + 3x − 6  vµ = −∞ lim    = +∞ . x →−∞ x −1 x −1     2 2  − x + 3x − 6   − x + 3x − 6  Do lim+   = −∞ vµ lim  = +∞ nªn x = 1 lµ tiÖm cËn ®øng −  x →1 x → 1 x −1 x −1     Nh¸nh v« cùc: lim  x →+∞ cña ®å thÞ. 59  − x 2 + 3x − 6   −4  − ( − x + 2)  = lim   = 0 nªn y = - x + 2 lµ tiÖm cËn xiªn cña x −1   x →∞  x − 1  Do lim  x →∞ ®å thÞ. - B¶ng biÕn thiªn x -∞ y’(x) + ∞ y -1 0 1 - 3 0 C§ -3 - ∞ CT 5 +∞ + -∞ - §å thÞ: §å thÞ c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm (0; 6) §å thÞ kh«ng c¾t trôc Ox. Tõ ®ã, ta cã ®å thÞ cña hµm sè nhh×nh bªn. -∞ 10 5 g ( x) = -10 ( -x2+3⋅x) -6 x-1 10 -5 -10 Bµi 3: Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm sè y= x2 − 4 x −1 -15 H-íng dÉn. x2 − 4 3 = x +1− . TËp x¸c ®Þnh R \ {−1} , khi ®ã y = x −1 x −1 2 x.( x − 1) − 1( x 2 − 4) x 2 − 2 x + 4 ChiÒu biÕn thiªn, ta cã y '( x) = , suy ra y’(x) > 0 = ( x − 1) 2 ( x − 1)2 trªn tËp x¸c ®Þnh , nªn hµm sè lu«n ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh, tõ ®ã ®å thÞ hµm sè kh«ng cã ®iÓm cùc trÞ.  x2 − 4   x2 − 4  Nh¸nh v« cùc: lim   = +∞ vµ xlim   = −∞ . x →+∞ →−∞  x −1   x −1   x2 − 4   x2 − 4  Do lim+   = +∞ vµ lim   = −∞ nªn x = 1 lµ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ. x →1 x →1−  x −1   x −1  60  x2 − 4   −3  − ( x + 1)  = lim  Do lim   = 0 nªn y = x + 1 lµ tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ. x →∞  x −1  x →∞  x − 1  - B¶ng biÕn thiªn x -∞ 1 +∞ y’(x) + 0 0 + y +∞ +∞ -∞ - ∞ 6 - §å thÞ: §å thÞ c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm (0; 4) §å thÞ kh«ng c¾t trôc Ox t¹i çc ®iÓm (-2; 0) vµ (2; 0). Ta cã ®å thÞ cña hµm sè nh- h×nh d-íi ®©y 4 2 -5 5 -2 t( x) = x2-4 x-1 -4 Bµi 4. Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ hµm sè y = − x 2 + 3x + 2 x −1 H-íng dÉn. − x 2 + 3x + 2 4 = −x + 2 + . TËp x¸c ®Þnh R \ {−1} , khi ®ã y = x −1 x −1 (−2 x + 3).( x − 1) − 1( − x 2 + 3x + 2) − x 2 + 2 x − 5 ChiÒu biÕn thiªn, ta cã y '( x) = , nªn = ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 y’(x) < 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x thuéc tËp x¸c ®Þnh, suy ra hµm sè nghÞch biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh, tõ ®ã ®å thÞ hµm sè kh«ng cã ®iÓm cùc trÞ.  − x 2 + 3x + 2   − x 2 + 3x + 2  vµ = −∞ lim    = +∞ . x →−∞ x −1 x −1     Nh¸nh v« cùc: lim  x →+∞ TiÖm cËn:  − x 2 + 3x + 2   − x 2 + 3x + 2  vµ = +∞ lim    = −∞ nªn x = 1 lµ tiÖm cËn ®øng + x →1− x −1 x −1     Do lim  x →1 cña ®å thÞ. 61  − x 2 + 3x + 2   4  − (− x + 2)  = lim   = 0 nªn y = - x + 2 lµ tiÖm cËn xiªn cña x −1   x →∞  x − 1  Do lim  x →∞ ®å thÞ. - B¶ng biÕn thiªn x -∞ y’(x) y +∞ 1 - - ∞ ∞ - ∞ - §å thÞ: §å thÞ c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm (0; - 2) §å thÞ c¾t trôc Ox t¹i çc ®iÓm ( - ∞ 4 f( x) = 3 − 17 3 + 17 ; 0); ( ; 0). 2 2 -x2+3⋅x+2 x-1 2 Tõ ®ã, ta cã ®å thÞ cña hµm sè nh- h×nh bªn. 5 -2 -4 Chó ý. §Ó nhËn y= d¹ng ®å thÞ hµm sè ax + bx + c , (am ≠ 0) b¹n cã thÓ theo lé mx + n 2 tr×nh sau.  n  m B-íc 1: T×m tËp x¸c ®Þnh, R \  −  . KiÓm tra tÝnh suy biÕn cña ®å thÞ: - NÕu gi¸ trÞ cña x lµm cho mÉu sè trong biÓu thøc cña hµm sè b»ng kh«ng ®ång thêi lµm cho tö sè trong biÓu thøc cña hµm sè b»ng kh«ng th× khi ®ã ®å thÞ suy biÕn thµnh hai f( x) = x-3 nöa ®-êng th¼ng kh«ng song song víi trôc to¹ ®é. 2 VÝ dô : Víi y = x2 − 5x + 6 th× x = 2 ®ång thêi x−2 lµ nghiÖm cña tö sè vµ mÉu sè trong biÓu thøc cña hµm sè, do ®ã : 2 A -2 -4 62 5 -1 y= x 2 − 5x + 6 = x − 3, ∀x ≠ 2 . Do vËy ®å thÞ cña hµm sè nh- h×nh trªn. x−2 - NÕu gi¸ trÞ cña x lµm cho mÉu sè trong biÓu thøc cña hµm sè b»ng 0 nh-ng tö sè trong biÓu thøc cña hµm sè l¹i kh¸c 0 th× chuyÓn qua b-íc 2. B-íc 2: XÐt sù biÕn thiªn vµ d¸ng ®iÖu ®å thÞ - TÝnh ®¹o hµm . Chóng t«i h-íng dÉn b¹n mét sè çch ®Ó cã thÓ tÝnh nhanh ®¹o hµm cña hµm sè ax 2 + bx + c y= , (am ≠ 0) . mx + n Çch 1 : Cã thÓ tÝnh theo c«ng thøc y = ax 2 + bx + c amx 2 + 2anx + (bn − mc) → y '( x) = . mx + n (mx + n) 2 (ViÖc chøng minh c«ng thøc nµy kh«ng mÊy khã kh¨n, coi nh- bµi tËp víi b¹n). Çch 2: B¹n còng cã thÓ chia tö sè trong biÓu thøc cña hµm sè cho mÉu sè trong biÓu thøc cña hµm sè, cô thÓ : y = ax 2 + bx + c a bm − an cm 2 − bmn + an2 = x+ + , sau ®ã tÝnh mx + n m m2 m 2 (mx + n ) ®¹o hµm. - XÐt tÝnh ®ång biÕn, nghÞch biÕn, cùc trÞ cña hµm sè (nÕu cã). - X¸c ®Þnh hai tiÖm cËn: TiÖm cËn ®øng x = − n a bm − an ; TiÖm cËn xiªn y = x + . m m m2 B-íc 3: NhËn d¹ng ®å thÞ NÕu y’(x)>0 vµ am >0 ®å thÞ cã d¹ng NÕu y’(x)< 0 vµ am 0 ®å thÞ sÏ cã d¹ng 6 4 2 -5 5 10 -2 -4 -6 NÕu y’(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ a.m < 0 ®å thÞ sÏ cã d¹ng 6 4 2 -5 5 -2 -4 -6 2.8 Mét sè bµi to¸n th-êng gÆp vÒ ®å thÞ 2.8.1 Giao ®iÓm cña hai ®å thÞ 64 10 Bµi 1. a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = x3 – 3x2 + 2 . b) BiÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh x3 – 3x2 + m = 0. H-íng dÉn. a) ViÖc kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè coi nh- bµi tËp víi b¹n. b) Ta biÕn ®æi ph-¬ng tr×nh ®· cho ⇔ x3 – 3x2 + 2 = 2 - m (1). Khi ®ã y = x3 – 3x2 + 2 cã ®å thÞ nh- h×nh d-íi ®©y: 6 y = x3 – 3x2 + 2 4 y=2-m 2 -5 5 10 -2 -4 -6 Cßn y = 2- m lµ nh÷ng ®-êng th¼ng song song víi trôc Ox. Tõ ®ã, sè nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1) t-¬ng ®-¬ng víi sè giao ®iÓm cña hai ®å thÞ y = x3 – 3x2 + 2 vµ y = 2- m. Tõ ®ã, ta cã kÕt qu¶ biÖn luËn lµ: - NÕu 2 – m > 2 hoÆc 2 – m < -2 tøc lµ m < 0 hoÆc m > 4 th× ph-¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiÖm (®¬n). - NÕu 2 – m = 2 hoÆc 2 – m = - 2 tøc lµ m = 0 hoÆc m = 4 th× ph-¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm (trong ®ã cã 1 nghiÖm ®¬n vµ 1 nghiÖm kÐp). - NÕu - 2 < 2 – m < 2 tøc lµ 0 < m < 4 th× ph-¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 2. a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) = 1 3 x − 3x 4 b) BiÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh 1 3 x = 9 x − 12 3 + m 4 H-íng dÉn. a) ViÖc kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè coi nh- bµi tËp víi b¹n. 65 b) Ta biÕn ®æi ph-¬ng tr×nh ®· cho ⇔ 1 3 x − 3 x = 6 x − 12 3 + m (1). 4 1 3 x − 3 x cã ®å thÞ nh- h×nh 4 bªn, cßn y = 6 x − 12 3 + m lµ çc ®-êng Khi ®ã, y = th¼ng song song víi ®-êng th¼ng y = 6x. Tõ ®ã, sè nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1) b»ng sè giao ®iÓm cña ®å thÞ ®· vÏ vµ ®-êng th¼ng y = 6 x − 12 3 + m . Dùa vµo ®å thÞ, ta cã kÕt qu¶ biÖn luËn lµ: Khi m < 0: (1) cã mét nghiÖm Khi m = 0: (1) cã hai nghiÖm (mét ®¬n, mét kÐp) Khi 0 < m < 24 3 : (1) cã ba nghiÖm Khi m = 24 3 : (1) cã hai nghiÖm ( mét ®¬n , mét kÐp) Khi m > 24 3 : (1) cã mét nghiÖm Chó ý. - §iÓm M 0 ( x0 ; y 0 ) lµ giao ®iÓm cña ®å thÞ (C) cña hµm sè y = f(x) víi ®å thÞ ( C1 ) cña hµm sè y = g(x) khi vµ chØ khi ( x0 ; y0 ) lµ nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh  y = f ( x) . Do ®ã ®Ó t×m hoµnh ®é çc giao ®iÓm cña hai ®å thÞ (C) vµ ( C1 ) ta gi¶i   y = g ( x) ph-¬ng tr×nh f(x) = g(x). - §Ó cã thÓ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh b»ng ®å thÞ b¹n cÇn biÕn ®æi ph-¬ng tr×nh ®· cho vÒ d¹ng f(x) = m hoÆc f(x) = g(m) trong ®ã y = f(x) cã ®å thÞ mµ b¹n ®· biÕt (hoÆc cã thÓ kh¶o s¸t nhanh ®Ó cã ®-îc ®å thÞ cña nã). Khi ®ã, sè nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh b»ng sè giao ®iÓm cña hai ®å thÞ cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ ®å thÞ y = m hoÆc y = g(m). 2.8.2 Ph-¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm thuéc ®å thÞ Bµi 1.ViÕt ph-¬ng tr×nh tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm nằm trên đồ thị và có hoành độ x = 2, ta cã thÓ lµm nh- sau: H-íng dÉn. Ta có x0 = 2, khi đó y0 = y(2) = 5. , nên y’(2) = - 4. Mặt khác y’(x) = Từ đó, có phương trình tiếp tuyến là : y – 5 = - 4 (x - 2). Bµi 2. ViÕt ph-¬ng tr×nh tiếp tuyến với đồ thị hàm số và song song với đường thẳng d có phương trình y = 9x + 11, ta cã thÓ lµm nh- sau: Bµi lµm. 66 Ta có 9 = y’(x0) . Từ đó tìm được các tiếp điểm là (-1 ; - 4) và (3 ; 0). Suy ra phương trình tiếp tuyến là : y + 4= 9 (x +1) vµ y - 0 = 9(x - 3) tại điểm thuộc Bµi 3. ViÕt ph-¬ng tr×nh tiếp tuyến với đồ thị hàm số đồ thị và có tung độ y = - 2, ta cã thÓ lµm nh- sau: Bµi lµm. . Phương trình Khi ®ã ta tính được y’(1) = - 3 còn y’(- 2) = 0. Suy ra phương trình tiếp tuyến là : y + 2 = 0 vµ y + 2 = - 3(x - 1). Chó ý. Ta biết rằng tiếp tuyến tại điểm M(x0 ; y0) thuộc đồ thị hµm sè y = f(x) có phương trình là y – y0 = y’(x0)(x-x0)(*). Từ đó để xác định phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị ta cần biết 3 yếu tố là x0, y0, và y’(x0). Trong bài tập thường người ta cho trước một trong ba yếu tố đó. Tõ ®ã ta th-êng gÆp 3 d¹ng to¸n c¬ b¶n vÒ ph-¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm thuéc ®å thÞ hµm sè nh- sau : Bài toán 1 thuộc dạng cho trước x0, khi đó bạn cần xác định y0 và y’(x0). hoặc Lộ trình viÕt phương trình tiếp tuyến dạng này là : . Bài toán 2 thuộc loại cho biết k = y’(x0), bạn cần biết x0 bằng cách giải phương trình k = y’(x0), sau đó tìm y0. Lộ trình viÕt phương trình tiếp tuyến dạng này là: . Bài toán 3 là dạng toán cho biết y0, tr-íc hÕt bạn cần biết x0 bằng cách giải phương trình y0 = y(x0), sau đó tính y’(x 0). Lộ trình viÕt phương trình tiếp tuyến dạng này là: . 3. mét sè bµi tËp «n tËp ch-¬ng I. Bµi 1. Cho hä ®-êng cong cã ph-¬ng tr×nh y = x 3 – 2 (m – 1)x + 4m – 9, trong ®ã m lµ tham sè. a) Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ cña hµm sè khi m = 3. b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè ®· cho lu«n ®ång biÕn. c) T×m trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é nh÷ng ®iÓm mµ hä ®-êng cong lu«n ®i qua. H-íng dÉn. a) B¹n ®äc tù lµm. b) Yªu cÇu bµi to¸n ⇔ 3x2 - 2(m -1) > 0 víi mäi x ⇔ 02 – 4.3.[-2(m - 1)] < 0 ⇔ m < 1. c) Gäi ®iÓm M(x; y) lµ ®iÓm mµ hä ®-êng cong lu«n ®i qua, khi ®ã to¹ ®é cña ®iÓm M tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh cña hä ®-êng cong, víi mäi gi¸ trÞ cña m. 67 Tøc lµ y = x2 – 2 (m – 1)x + 4m – 3 víi ∀ m ⇔ 2m( 2 - x) + (x2 + 2x – 3 - y) = 0 víi ∀ m  2− x = 0 x = 2 . ⇔ 2 ⇔ x + 2 x − 3 − y = 0 y = 5   VËy, ®iÓm mµ hä ®-êng cong lu«n ®i qua lµ M(2 ; 5). Chó ý. Víi bµi to¸n: Cho hä ®-êng cong y = f(x, m) víi m lµ tham sè. T×m trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é nh÷ng ®iÓm mµ ®å thÞ lu«n ®i qua (hay cßn gäi lµ ®iÓm cè ®Þnh) ta th-êng lµm nh- sau: B-íc 1: Gäi ®iÓm M(x; y) lµ ®iÓm mµ hä ®-êng cong lu«n ®i qua, khi ®ã to¹ ®é cña ®iÓm M tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh cña hä ®-êng cong, víi mäi gi¸ trÞ cña m. Tøc lµ y = f(x, m) víi ∀ m . B-íc 2 : BiÕn ®æi ph-¬ng tr×nh y = f(x, m) vÒ ph-¬ng tr×nh víi biÕn sè m. Th«ng th-êng bµi tËp chØ cho m cã sè mò lµ 1 (hoÆc 2), tøc lµ ta th-êng cã ph-¬ng tr×nh víi m d¹ng : am + b = 0 (hoÆc am2 + bm + c = 0). Khi ®ã, yªu cÇu bµi to¸n t-¬ng ®-¬ng víi : am + b = 0 víi ∀ m (hoÆc am2 + bm + c = 0 víi ∀m ) a = 0 a = 0  (hoÆc b = 0 ) B-íc 3 : Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh  b = 0 c = 0  B-íc 4: KÕt luËn. a = 0 a = 0  (hoÆc b = 0 ) cã nghiÖm (x; y) th× M(x; y) lµ NÕu hÖ ph-¬ng tr×nh  b = 0 c = 0  ®iÓm cÇn t×m. a = 0 a = 0  NÕu hÖ ph-¬ng tr×nh  (hoÆc b = 0 ) v« nghiÖm (x; y) th× kh«ng cã ®iÓm b = 0 c = 0  M nµo tho¶ m·n bµi to¸n. NÕu c©u hái lµ: T×m trªn ®-êng th¼ng d, trong ®ã d lµ ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh d¹ng x = a hoÆc y = b hoÆc y = ax + b, nh÷ng ®iÓm mµ ®å thÞ lu«n ®i qua (hay cßn gäi lµ ®iÓm cè ®Þnh) ta th-êng gäi ®iÓm M(x; y) lµ ®iÓm thuéc ®-êng th¼ng d mµ hä ®-êng cong lu«n ®i qua, khi ®ã ®iÓm M sÏ cã to¹ ®é lµ M(u; v) vµ to¹ ®é cña ®iÓm M ph¶i tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh cña hä ®-êng cong, víi mäi gi¸ trÞ cña m. Tøc lµ v = f(u, m) víi ∀ m . Sau ®ã tiÕp tôc tiÕn hµnh t-¬ng tù nh- trªn ta cã ®¸p sè. Bµi 2. Cho hä ®-êng cong cã ph-¬ng tr×nh y = x2 – 2 (m – 1)x + 4m – 3, trong ®ã m lµ tham sè. T×m trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é nh÷ng ®iÓm mµ hä ®-êng cong kh«ng ®i qua. 68 H-íng dÉn. Gäi ®iÓm M(x; y) lµ ®iÓm mµ hä ®-êng cong ®· cho kh«ng ®i qua, khi ®ã to¹ ®é cña ®iÓm M kh«ng tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh cña hä ®-êng cong, víi mäi gi¸ trÞ cña m. §iÒu nµy t-¬ng ®-¬ng víi: To¹ ®é cña ®iÓm M lµm cho ph-¬ng tr×nh y = x2 – 2 (m – 1)x + 4m – 3 v« nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m. Tøc lµ y = x2 – 2 (m – 1)x + 4m – 3, v« nghiÖm , víi ∀ m ⇔ 2m( 2 - x) + (x2 + 2x – 3 - y) = 0, v« nghiÖm , víi ∀ m  2− x = 0 x = 2 . ⇔ 2 ⇔ y ≠ 5 x + 2x − 3 − y ≠ 0 VËy, nh÷ng ®iÓm cÇn t×m n»m trªn ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh x = 2 vµ bá ®i ®iÓm M(2 ; 5). Chó ý. Víi bµi to¸n: Cho hä ®-êng cong y = f(x, m) víi m lµ tham sè. T×m trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é nh÷ng ®iÓm mµ ®å thÞ kh«ng ®i qua ta th-êng lµm nh- sau: B-íc 1: Gäi ®iÓm M(x; y) lµ ®iÓm mµ hä ®-êng cong kh«ng ®i qua, khi ®ã to¹ ®é cña ®iÓm M kh«ng tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh cña hä ®-êng cong, víi mäi gi¸ trÞ cña m. §iÒu nµy t-¬ng ®-¬ng víi: To¹ ®é cña ®iÓm M lµm cho ph-¬ng tr×nh y = f(x, m) v« nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m. B-íc 2 : BiÕn ®æi ph-¬ng tr×nh y = f(x, m) vÒ ph-¬ng tr×nh víi biÕn sè m. Th«ng th-êng bµi tËp chØ cho m cã sè mò lµ 1 (hoÆc 2), tøc lµ ta th-êng cã ph-¬ng tr×nh víi m d¹ng : am + b = 0 (hoÆc am2 + bm + c = 0). Khi ®ã, yªu cÇu bµi to¸n t-¬ng ®-¬ng víi : am + b = 0 v« nghiÖm, víi ∀ m (hoÆc am2 + bm + c = 0, v« nghiÖm, víi ∀ m ). a = 0 a = 0  (hoÆc b = 0 ) B-íc 3 : Gi¶i hÖ  b ≠ 0 c ≠ 0  B-íc 4: KÕt luËn. a = 0 x =α  (hoÆc b = 0 cho kÕt qu¶  y ≠ β c = 0  nh÷ng ®iÓm cÇn t×m thuéc ®-êng th¼ng x = α vµ bá ®i ®iÓm M( α ; β ). a = 0 x =α cho kÕt qu¶  NÕu hÖ  b ≠ 0 y ≠ β ) th× a = 0 a = 0  NÕu hÖ ph-¬ng tr×nh  (hoÆc b = 0 ) v« nghiÖm th× kh«ng cã ®iÓm M b = 0 c = 0  nµo tho¶ m·n bµi to¸n. Víi c©u hái: T×m trªn ®-êng th¼ng d, trong ®ã d lµ ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh d¹ng x = a hoÆc y = b hoÆc y = ax + b, nh÷ng ®iÓm mµ ®å thÞ kh«ng ®i qua ta th-êng gäi M(x; y) lµ ®iÓm thuéc ®-êng th¼ng d mµ hä ®-êng cong kh«ng ®i qua, khi ®ã ®iÓm M sÏ cã to¹ ®é lµ M(u; v) vµ to¹ ®é cña ®iÓm M kh«ng tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh cña hä ®-êng cong, víi mäi gi¸ trÞ cña m. Tøc lµ 69 v = f(u, m) v« nghiÖm víi ∀ m . Sau ®ã tiÕp tôc tiÕn hµnh t-¬ng tù nh- trªn ta cã ®¸p sè. Bµi 3. Cho hä ®-êng cong cã ph-¬ng tr×nh: y = x 3 + 3mx2 + 3 ( m 2 − 1) x + m3 − 3m , trong ®ã m lµ tham sè. a) Khi m = 1, kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ cña hµm sè . b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hä ®-êng cong ®· cho nhËn ®iÓm I(2; -3) lµ t©m ®èi xøng. c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph-¬ng tr×nh sau cã 3 nghiÖm ph©n biÖt: x3 + 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x + m3 − 3m = 0 H-íng dÉn. a) B¹n ®äc tù lµm. b) B¹n ®äc tù tiÕn hµnh t-¬ng tù theo çch ®· chØ dÉn ë phÇn trªn. c) Gäi y = x 3 + 3mx 2 + 3(m 2 − 1)x + m 3 − 3m . Khi ®ã yªu cÇu bµi to¸n t-¬ng ®-¬ng víi y = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ §å thÞ cña hµm sè ®· cho c¾t trôc Ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt. Yªu cÇu nµy x¶y ra ⇔ ®å thÞ cña hµm sè ®· cho cã cùc trÞ (tøc lµ cã ®¹i vµ cùc tiÓu) ®ång thêi gi¸ trÞ cùc trÞ tr¸i dÊu (hay yC§.yCT < 0). Nh- thÕ, yªu cÇu bµi to¸n t-¬ng ®-¬ng víi 2  y '( x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vµ x2   y ( x1 ). y( x2 ) < 0 -2 Ta cã: y’(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt ⇔ 3x 2 + 6mx + 3 ( m 2 − 1) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt. DÔ thÊy ®iÒu nµy x¶y ra víi mäi gi¸ trÞ cña m, v× ∆ ' = m 2 − ( m 2 − 1) = 1, ∀m . Tøc lµ y’(x) = 0 lu«n cã hai nghiÖm x1 = - m – 1 vµ x2 = - m + 1 ( chó ý r»ng  x1 + x2 = − m . 2  x1.x2 = m − 1 x1< x2). Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã:  1 3 LÊy y(x) chia cho y’(x) ta cã: y ( x) =  x + m  y '( x) − 2 ( x + m ) . 3 Sö dông ®iÒu ®ã tÝnh ®-îc: y ( x1 ). y ( x1 ) = 4[ x1 .x2 + m ( x1 + x2 ) + m 2 ] = 4[(m 2 − 1) + m ( −m ) + m 2 ] = 4(m 2 − 1) . Nªn y( x1 ). y( x2 ) < 0 ⇔ m 2 − 1 < 0 ⇔ −1 < m < 1 . VËy çc gi¸ trÞ cÇn t×m lµ -1 < m < 1. Chó ý. * Ph-¬ng tr×nh bËc ba ax3 + bx2 +cx + d = 0 (a ≠ 0) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ §å thÞ cña hµm sè y = ax3 + bx2 + cx + d c¾t trôc Ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt ⇔ §å thÞ cña hµm sè ®ã cã cùc trÞ ®ång thêi gi¸ trÞ cùc trÞ tr¸i dÊu (hay yC§.yCT < 0) 70 5 ⇔  y '( x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vµ x2   y ( x1 ). y( x2 ) < 0 3ax 2 + 2bx + c = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vµ x2 ⇔  y( x1 ). y ( x2 ) < 0 2 *) Ph-¬ng tr×nh bËc ba ax + bx + cx + d = 0 (a ≠ 0) cã 3 nghiÖm d-¬ng ph©n biÖt ⇔ §å thÞ cña hµm sè y = ax3 + bx2 + cx + d c¾t trôc Ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é d-¬ng (nh- h×nh bªn) ⇔ ®å thÞ cña hµm sè ®ã cã cùc trÞ ®ång thêi gi¸ trÞ cùc trÞ tr¸i dÊu (hay yC§.yCT < 0) vµ ®iÓm cùc trÞ cã hoµnh ®é d-¬ng 3 2 5 -2  y '( x ) = 0 cã hai nghiÖm d-¬ng ph©n biÖt x1 vµ x2   y ( x1 ). y ( x2 ) < 0  ad < 0  ⇔ -4 3ax 2 + 2bx + c = 0 cã hai nghiÖm d-¬ng ph©n biÖt x1 vµ x2  ⇔  y( x1 ). y( x2 ) < 0  ad < 0  Bµi 4. Cho hµm sè y = x 2 − 3x + 11 . x −1 a) Kh¶o s·t vÏ ®ß thÞ cña hµm sè. b) T×m trªn ®å thÞ cña hµm sè ®ã nh÷ng ®iÓm ®èi xøng nhau qua ®-êng th¼ng d cã ph-¬ng tr×nh y = x - 11. H-íng dÉn. a) B¹n ®äc tù lµm. b) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\ { 1}. Gäi d’ lµ ®-êng th¼ng vu«ng gãc víi d, th× d’ cã ph-¬ng tr×nh d¹ng: y = - x + m y §Ó d’ c¾t ®å thÞ ®· cho t¹i hai ®iÓm A, B ph©n biÖt (nh- h×nh bªn) khi vµ chØ khi: 5 x − 3 x + 11 = − x + m cã hai nghiÖm ph©n biÖt x −1 2 x 2 − (4 + m) x + (11 + m) = 0(*) cã hai ⇔ x ≠1  2 O -10 w( x) = -x-18 10 u( x) = x-11 -5 nghiÖm ph©n biÖt d A  m>6 2 2.1 − (4 + m).1 + (11 + m) ≠ 0 ⇔ ⇔  m 2 − 72 > 0   m < −6 2 (**). t( x) = ( x2-3⋅x) +11 -10 I -15 x-1 B -20 -25 71 d' x Víi ®iÒu kiÖn (**), gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (*) th×: x1 + x2 = 4+m . 2 x +x 4+m    xI = 1 2  xI = ⇔ Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB, khi ®ã  . 2 4  yI = − xI + m  yI = − xI + m Tõ ®ã A, B ®èi xøng qua ®-êng th¼ng d khi vµ chØ khi ®iÓm I thuéc ®-êng th¼ng d, tøc lµ ph¶i cã: 4+m  4+m 4+m xI =    x x = = 4 I I  4 4  4 + m m + 11  = ⇒ m = −18  y = − x + m ⇔  x − 11 = − x + m ⇔  x = m + 11 ⇒ 4 2 I I  I  I  I 2  yI = xI − 11  yI = xI − 11  = y x I − 11  I Víi m = - 6 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (**)) th× ph-¬ng tr×nh (*) lµ 2x2 + 14x -7 = 0, cã  −7 − 63  x1 =  2 hai nghiÖm lµ:  .  x = −7 + 63  2 2  −7 − 63  x1 =  2 VËy, çc ®iÓm cÇn t×m cã hoµnh ®é lµ:  .  x = −7 + 63  2 2 Chó ý. Hai ®iÓm A vµ B ®èi xøng nhau qua ®-êng th¼ng d ⇔ ®-êng th¼ng AB vu«ng gãc d ®ång thêi ®-êng th¼ng AB c¾t d t¹i I th× I ph¶i lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB. Bµi 5. Cho hµm sè y = x 2 − 3x + 11 . x −1 a) Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b) Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m th× ®-êng th¼ng d cã ph-¬ng tr×nh y = (m - 1) x + 2m + 3 c¾t ®å thÞ ®· vÏ ë c©u a) t¹i hai ®iÓm thuéc hai nh¸nh kh¸c nhau. c) T×m hµm sè mµ ®å thÞ cña nã lµ ®èi xøng cña ®å thÞ hµm sè ®· cho qua ®-êng th¼ng d cã ph-¬ng tr×nh y = - 2. H-íng dÉn. a) B¹n ®äc tù lµm. b) §-êng th¼ng d cã ph-¬ng tr×nh y = (m - 1) x + 2m + 3 c¾t ®å thÞ ®· vÏ ë c©u a) t¹i hai ®iÓm thuéc hai nh¸nh kh¸c nhau ⇔ ph-¬ng tr×nh 72 x 2 − 3x + 11 = (m − 1) x + 2m + 3 cã hai nghiÖm tho¶ m·n x1 < 1 < x2 x −1 ⇔ (m − 2) x 2 + 2(m + 3) x − (2 m + 14) = 0 cã hai nghiÖm tho¶ m·n x1 < 1 < x2 ⇔ (m − 2) [( m − 2) + 2(m + 3) − (2m + 14) ] < 0 ⇔ (m − 2)(m − 10) < 0 ⇔ 2 < m < 10. c) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\ { 1}. Khi ®ã y = x 2 − 3 x + 11 9 = x−2+ (1) x −1 x −1 15 t( x) = LÊy ®iÓm M(x ; y) thuéc ®å thÞ (1), ta cã : ( x2-3⋅x) +11 x-1 10 9 y = x−2+ ; x ≠ 1. x −1 y M (x ; y) Gäi M’(X; Y) lµ ®èi xøng cña ®iÓm M qua ®-êng th¼ng y = - 2 (nh- h×nh bªn), râ rµng víi mçi ®iÓm m cho ta duy nhÊt mét ®iÓm M’ vµ khi ®iÓm M ch¹y trªn ®å thÞ ®· cho th× ®iÓm M’ vÏ nªn ®å thÞ cÇn t×m. Gäi I lµ giao ®iÓm cña ®-êng th¼ng MM’ víi ®-êng th¼ng d th× I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MM’. Ta t×m ®-îc I(x; -2), theo c«ng thøc to¹ ®é trung ®iÓm ta cã : 5 O x 10 I q 1( x) = -2 -5 -10  x= X  x= X  (2). ⇒  y +Y  2 = −2  y = −4 − Y Chó ý ®iÒu kiÖn x ≠ 1 ⇔ X ≠ 1 . M'(X ; Y) -15 Thay (2) vµo (1) cã y = x−2+ 9 9 9 . ; x ≠ 1 ⇔ −4 − Y = X − 2 + ⇔ Y = −X − 2 − x −1 X −1 X −1 Nh- vËy, to¹ ®é ®iÓm M’ tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh Y = −X − 2 − 9 . X −1 15 t( x) = 9 Do ®ã, hµm sè cÇn t×m lµ Y = − X − 2 − (®å X −1 ( x2-3⋅x) +11 x-1 10 y thÞ cña nã nh- h×nh bªn). M (x ; y) 5 Chó ý. B»ng çch t-¬ng tù nh- trªn ta suy ra ®-êng cong cã ®å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) cho tr-íc cã ph-¬ng tr×nh lµ y = - f(x). Tõ ®ã suy ra: Cho tr-íc ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) ta cã thÓ suy ra ®å thÞ cña hµm sè y = |f(x)| -10 O q 1( x) = -2 -5 -10 -15 73 x 10 I M'(X ; Y) r ( x) = -x-21 9 x-1 b»ng çch gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) n»m phÝa trªn cña trôc Ox, cßn phÇn ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) n»m phÝa d-íi cña trôc Ox th× lÊy ®èi xøng qua trôc Ox. 6 VÝ dô: Ta cã ®å thÞ cña hµm sè y = | x2 – 4 x + 3 | nhh×nh bªn. 4 f( x) = ( x2-4⋅x)+3 2 5 Bµi 6. g ( x) = ( x2-4⋅x)+3 a) Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = x − 7x + 6 . x +1 2 -2 b) T×m trªn ®å thÞ ®· vÏ çc ®iÓm ®èi xøng nhau qua ®-êng th¼ng y = x + 1 c) BiÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh sau: | x2 – 7x + 6 | = m | x + 1|. H-íng dÉn. a) B¹n ®äc tù lµm. b) B¹n ®äc tù lµm theo çch ®· h-íng dÉn trªn. c) DÔ thÊy gi¸ trÞ x = - 1 kh«ng nghiÖm ®óng ph-¬ng tr×nh ®· cho. x2 − 7 x + 6 . Khi x ≠ -1 ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi: m = x +1 x2 − 7 x + 6 Gäi y = th× ®å thÞ cña nã (®· ®-îc kh¶o s¸t vµ vÏ ë c©u a)), tõ ®ã suy x +1 x2 − 7 x + 6 25 ra ®å thÞ cña hµm sè : y = x +1 20 nh- h×nh bªn. C¨n cø ®å thÞ ta cã kÕt qu¶ biÖn luËn lµ: - Khi m < 0 ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. - Khi m = 0 hoÆc (6 + 2 14 ) > m > (2 14 - 6) ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm. - Khi m = (6 + 2 14 ) hoÆc m = (2 14 - 6) ph-¬ng tr×nh cã ba nghiÖm. - Khi m > (6 + 2 14 ) hoÆc 0 < m < (2 14 - 6) ph-¬ng tr×nh cã bèn nghiÖm. t( x) = ( x2-7⋅x) +6 15 x+1 10 5 -20 -10 10 -5 -10 u( x) = ( x2-7⋅x) +6 x+1 -15 -20 -25 74 20 Bµi 7. Cho hµm sè y = mx 2 + 3mx + 2m + 1 , trong x −1 ®ã m lµ tham sè. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®· cho cã cùc trÞ vµ çc ®iÓm cùc trÞ ®ã n»m vÒ 2 phÝa cña trôc hoµnh. H-íng dÉn. TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè lµ R\ {1}. Yªu cÇu bµi to¸n t-¬ng ®-¬ng víi y’(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ y(x) = 0 v« nghiÖm (nh- h×nh bªn). Ta cã y ' = mx 2 − 2mx − 5m − 1 , khi ®ã y’(x) = 0 cã hai ( x − 1) 2 10 5 -10 10 -5 -10 ⇔ mx 2 − 2mx − 5m − 1 = 0 cã hai  m>0 nghiÖm ph©n biÖt ⇔  1 m < − 6  ⇔ mx 2 + 3mx + 2m + 1 = 0 Ta cã y(x) = 0 v« nghiÖm v« m > 4 nghiÖm ⇔ m 2 − 4m < 0 ⇔  m < 0  m>4 Tõ ®ã, yªu cÇu bµi to¸n t-¬ng ®-¬ng víi  1. m < − 6  2 ax + bx + c ,( am ≠ 0) cã cùc trÞ vµ ®iÓm Chó ý. Muèn t×m ®iÒu kiÖn ®Ó hµm sè y = mx + n cùc trÞ ë vÒ cïng phÝa, kh¸c phÝa trôc Ox hay Oy b¹n cã thÓ sö dông ®å thÞ ®Ó chØ ra ®iÒu kiÖn thÝch hîp. -15 nghiÖm ph©n biÖt Bµi 8. Cho hµm sè y = x 2 − 4 x + 11 . x −1 a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b) T×m trªn ®å thÞ cña hµm sè ®ã nh÷ng ®iÓm cã tæng kho¶ng çch ®Õn hai ®-êng tiÖm cËn nhá nhÊt. H-íng dÉn. a) B¹n ®äc tù lµm. b) TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\ { 1}. Khi ®ã y= x 2 − 4 x + 11 8 . = x − 3+ x −1 x −1 DÔ dµng kiÓm tra ®-îc ®å thÞ cña hµm sè ®· cho cã mét tiÖm cËn ®øng lµ ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh x – 1 = 0 vµ cã mét tiÖm cËn xiªn lµ ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh x – y – 3 = 0 . 75 Gäi M(x0; y0) lµ ®iÓm thuéc ®å thÞ hµm sè ®· cho, ta cã y0 = x0 − 3 + hay x0 − y0 − 3 = − Gäi d1 = Gäi d1 = d1 lµ 12 + 0 2 lµ d2 1 + (−1) çch 2 tõ ®iÓm M ®Õn tiÖm cËn ®øng, ta cã tõ ®iÓm M ®Õn tiÖm cËn xiªn, ta cã = x0 − 1 . kho¶ng 1.x0 − 1. y0 − 3 2 8 , x0 ≠ 1 . x0 − 1 kho¶ng 1.x0 + 0. y0 − 1 8 , x0 ≠ 1 x0 − 1 = çch 1 1 −8 1 x0 − y0 − 3 = = 4 2. . x0 − 1 2 2 x0 − 1 Khi ®ã, d1 + d2 = x0 − 1 + 4 2. 1 ≥8 2. x0 − 1 Do ®ã min (d1 + d 2 ) = 8 2 ⇔ x0 − 1 = 4 2. 1 ⇔ ( x0 − 1) 2 = 4 2 ⇔ x0 = 1 ± 4 32 x0 − 1 VËy, ®iÓm cÇn t×m cã hoµnh ®é lµ x0 = 1 ± 4 32 . Chó ý . B¹n cã thÓ tiÕn hµnh t-¬ng tù nh- trªn víi bµi to¸n: T×m trªn ®å thÞ cña hµm ph©n thøc d¹ng y = ax 2 + bx + c ax + b ,( am ≠ 0) hoÆc y = , ( am ≠ 0) nh÷ng ®iÓm mx + n mx + n cã tæng kho¶ng çch ®Õn 2 ®-êng tiÖm cËn lµ nhá nhÊt (hoÆc b»ng h»ng sè p cho tr-íc). Bµi 9. Cho hµm sè y = x 2 − 4 x + 11 . x −1 a) Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b) T×m trªn ®å thÞ cña hµm sè ®ã mçi nh¸nh mét ®iÓm sao cho kho¶ng çch gi÷a chóng nhá nhÊt. H-íng dÉn. TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\ { 1}. Khi ®ã y = x 2 − 4 x + 11 8 = x −3+ . x −1 x −1 DÔ dµng kiÓm tra ®-îc ®å thÞ cña hµm sè ®· cho cã mét tiÖm cËn ®øng lµ ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh x – 1 = 0 . 8 , x1 ≠ 1 . x1 − 1 8 Gäi N(x2; y2) lµ ®iÓm thuéc ®å thÞ hµm sè ®· cho, ta cã y2 = x2 − 3 + , x2 ≠ 1 . x2 − 1 Gäi M(x1; y1) lµ ®iÓm thuéc ®å thÞ hµm sè ®· cho, ta cã y1 = x1 − 3 + 76 Khi ®ã, M vµ N thuéc hai nh¸nh kh¸c nhau khi vµ chØ khi chóng ë vÒ hai phÝa cña tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ. Gi¶ sö cã x1 < 1 < x2, tøc lµ  x1 = 1 − a x − 1 = −a , a > 0; b > 0 ⇔  1 ⇒ x2 − x1 = b + a vµ   x2 = 1 + b  x2 − 1 = b y2 − y1 = ( x2 − 3 + 8 8 8 8 8 ) − ( x1 − 3 + ) = ( x2 − x1 ) + ( + ) = (a + b)(1 + ) . x2 − 1 x1 − 1 b a ab Tõ ®ã MN2 =  16 8  8  64    ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = (a + b) + (a + b).(1 + )  = ( a + b )2 1 + (1 + )  = ( a + b) 2  2 + + ab  ab  ab (ab) 2     2 2 2 2 2 Suy ra  16  16 64  64  32   ≥ 4ab  2 + + = 8 ab + 8 +  ≥ 8 8 + 2 32  = 64(1 + 2) MN 2 = (a + b)2 2 + + 2 2 ab    ab (ab)   ab (ab)  Do ®ã a = b > 0  4 MN = 8 1 + 2 ⇔  32 ⇔ a = b = 32 . =  ab ab VËy, çc ®iÓm cÇn t×m cã hoµnh ®é lµ x = 1 ± 4 32 . Chó ý . B¹n cã thÓ tiÕn hµnh t-¬ng tù nh- trªn víi bµi to¸n: T×m trªn ®å thÞ cña hµm ph©n thøc d¹ng y = ax 2 + bx + c ax + b ,( am ≠ 0) hoÆc y = ,( am ≠ 0) mçi nh¸nh mx + n mx + n mét ®iÓm sao cho kho¶ng çch gi÷a chóng lµ nhá nhÊt. Bµi 10. Cho hµm sè y = x 2 − 4 x + 11 . x −1 a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b) T×m trªn ®å thÞ cña hµm sè ®ã nh÷ng ®iÓm mµ kho¶ng çch tõ ®iÓm ®ã ®Õn giao ®iÓm hai ®-êng tiÖm cËn nhá nhÊt. H-íng dÉn. TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ R\ { 1}. Khi ®ã y = x 2 − 4 x + 11 8 = x −3+ . x −1 x −1 DÔ dµng kiÓm tra ®-îc ®å thÞ cña hµm sè ®· cho cã mét tiÖm cËn ®øng lµ ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh x = 1 vµ cã mét tiÖm cËn xiªn lµ ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh y = x - 3 Suy ra, giao ®iÓm cña hai ®-êng tiÖm cËn lµ I(1; - 2). Gäi M(x0; y0) lµ ®iÓm thuéc ®å thÞ hµm sè ®· cho, ta cã y0 = x0 − 3 + suy ra y0 + 2 = x0 − 1 + 8 , x0 ≠ 1 . x0 − 1 77 8 , x0 ≠ 1 , x0 − 1 Khi ®ã kho¶ng çch tõ ®iÓm M ®Õn giao ®iÓm cña hai ®-êng tiÖm cËn lµ MI = 2  8  64 2 MI = ( x0 − 1) + ( y0 + 2) = ( x0 − 1) +  x0 − 1 + .  = 16 + 2( x0 − 1) + x0 − 1 ( x0 − 1)2  64 ≥ 16 + 2 2.64 = 16(1 + 2) Tõ ®ã MI 2 = 16 + 2( x0 − 1)2 + ( x0 − 1) 2 2 2 2 2 Do ®ã min MI = 4 1 + 2 ⇔ 2( x0 − 1) 2 = 64 ⇔ ( x0 − 1) 4 = 32 ⇔ x0 = 1 ± 4 32 2 ( x0 − 1) VËy, çc ®iÓm cÇn t×m cã hoµnh ®é lµ x0 = 1 ± 4 32 . Chó ý . B¹n cã thÓ tiÕn hµnh t-¬ng tù nh- trªn víi bµi to¸n: T×m trªn ®å thÞ cña hµm ph©n thøc d¹ng y = ax 2 + bx + c ax + b ,( am ≠ 0) hoÆc y = , ( am ≠ 0) nh÷ng ®iÓm mx + n mx + n cã kho¶ng çch ®Õn giao ®iÓm 2 ®-êng tiÖm cËn lµ nhá nhÊt (hoÆc b»ng h»ng sè p cho tr-íc). Bµi 11. (lµ mét c©u trong §Ò thi tèt nghiÖp Trung häc phæ th«ng n¨m häc 2002 – 2003) 1. Kh¶o s¸t hµm sè y = − x2 + 4 x − 5 x−2 2. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè y = − x 2 − ( m − 4) x + m 2 − 4m − 5 x+m−2 cã çc tiÖm cËn trïng víi çc tiÖm cËn t-¬ng øng cña ®å thÞ hµm sè kh¶o s¸t trªn. H-íng dÉn. 1) ViÖc kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè ®· cho coi nh- bµi tËp víi b¹n. Sau khi hoµn thµnh b¹n cã thÓ kiÓm tra l¹i ®å thÞ cña hµm sè ®· vÏ ®-îc cã trïng víi ®å thÞ sau kh«ng? 10 f( x) = ( -x2+4⋅x) -5 8 x-2 6 4 2 -5 5 -2 -4 -6 -8 78 10 2) TËp çc ®Þnh cña hµm sè lµ x ≠ 2 – m . Khi ®ã, ta cã y = − x + 2 + m2 − 6m − 1 x+m−2 . §å thÞ cña hµm sè (2) cã tiÖm cËn ®øng lµ x = 2 – m ⇔ m2 – 6m - 1 ≠ 0 m ≠ 3 − 10 ⇔ . m ≠ 3 + 10 Víi ®iÒu kiÖn trªn vÒ m th× ®å thÞ cña hµm sè (2) cã tiÖm cËn xiªn lµ y = - x + 2, m2 − 6m − 1 m 2 − 6m − 1 = 0 vµ lim [ y − ( − x + 2)] = lim = 0. x →∞ x + m − 2 x →−∞ x →−∞ x + m − 2 v× lim[ y − (− x + 2)] = lim x →∞ Tõ ®ã, tiÖm cËn ®øng x = 2 – m trïng víi tiÖm cËn ®øng x = 2 cña ®å thÞ hµm sè  m ≠ 3 − 10  kh¶o s¸t trªn ⇔  m ≠ 3 + 10 ⇔ m = 0 .  2 − m = 2 VËy víi m = 0 th× ®å thÞ cña hµm sè (2) cã çc tiÖm cËn trïng víi çc tiÖm cËn cña ®å thÞ trong c©u 1. 79 ch-¬ng II. Luü thõa. Mò. L«garit 1. KiÕn thøc cÇn nhí 1.1 PhÐp tÝnh luü thõa. Hµm sè luü thõa. -§Þnh nghÜa: a n = a.a....a, (a ∈ R, n ∈ N ) 1 , ∀a ≠ 0 an Më réng: NÕu lim( rn ) = α ⇒ aα = lim( a rn ) Quy -íc: a 0 = 1, ∀a ≠ 0 vµ a − n = - n →∞ n →∞ TÝnh chÊt cña luü thõa víi sè mò thùc: Cho a, b lµ çc sè d-¬ng vµ α , β lµ çc sè thùc, khi ®ã (víi ®iÒu kiÖn çc luü thõa tån t¹i) ta cã - aα .a β = aα + β aα = aα − β β a (a β )α = a β .α (a.b)α = aα .bα a aα ( )α = α b b NÕu a > 1 th× aα > a β khi vµ chØ khi α > β NÕu 0 < a < 1 th× aα < a β khi vµ chØ khi α > β - C¨n bËc n §Þnh nghÜa: Cho sè thùc b vµ sè nguyªn d-¬ng n. Sè a ®-îc gäi lµ c¨n bËc n cña sè b nÕu an = b. TÝnh chÊt cña c¨n b©c n (gi¶ sö çc c¨n bËc n ®-îc xÐt ®Òu cã nghÜa): n a . n b = n a.b n a na = b b n ( n a )m = n a m a = n.k a a an =  a n k n Khi n lÎ Khi n ch½n - Hµm sè luü thõa: y = xα víi α ∈ R Hµm sè luü thõa th-êng ®-îc xÐt trªn kho¶ng (0; + ∞ ) víi mäi α ∈ R . Ta cã b¶ng tãm t¾t: α >0 α 1 th× aα > a β khi vµ chØ khi α > β NÕu 0 < a < 1 th× aα < a β khi vµ chØ khi α > β 2 - Hµm sè mò: Hµm sè mò lµ hµm sè cã d¹ng y = a x , trong ®ã 0 < a ≠ 1; a ∈ R TÝnh chÊt cña hµm sè mò b¹n cã thÓ häc ®-îc qua ®å thÞ cña nã. §¹i diÖn ®å thÞ cña hµm sè mò cã thÓ xem h×nh d-íi ®©y. 10 f( x) = 5x g ( x) = 1x 8 5 6 4 2 -5 5 10 -2 Nh×n vµo ®å thÞ ta cã thÓ ®äc ®-îc çc tÝnh chÊt sau: TÝnh chÊt 1: §å thÞ hµm sè mò n»m hoµn toµn phÝa trªn cña trôc Ox, tøc lµ y = a x > 0, ∀x . Chó ý: Tõ tÝnh chÊt y = a x > 0, ∀x nÕu ®Æt Èn phô t = a x khi gi¶i ph-¬ng tr×nh mò b¹n cÇn cã ®iÒu kiÖn t > 0. TÝnh chÊt 2: §å thÞ hµm sè mò lu«n ®i qua ®iÓm (0; 1) vµ (1; a). TÝnh chÊt 3: §å thÞ hµm sè mò nhËn trôc Ox lµ ®-êng tiÖm cËn ngang. TÝnh chÊt 4: Hµm sè mò ®ång biÕn khi a > 1. Tøc lµ: Khi a > 1 th× a x > a x ⇔ x2 > x1 . Hµm sè mò nghÞch biÕn khi 0 < a < 1. Tøc lµ: Khi 0 < a < 1 th× a x > a x ⇔ x1 > x2 . B¹n cÇn nhí ®iÒu nµy khi gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh mò. §Æc biÖt, khi ®Æt Èn phô t = a f ( x ) trong qu¸ tr×nh gi¶i ph-¬ng tr×nh mò (hay bÊt ph-¬ng tr×nh mò) b¹n cÇn chuyÓn tõ ®iÒu kiÖn cña x sang ®iÒu kiÖn cña f(x), sau ®ã chuyÓn sang ®iÒu kiÖn cña t. VÝ dô: Do x 2 ≥ 0, ∀x ⇒ 3x ≥ 30 = 1, ∀x , vËy nÕu ®Æt t = 3x th× ®iÒu kiÖn cña t lµ 2 1 2 1 2 2 t = 3x ≥ 1 chø kh«ng ph¶i lµ t > 0. 2 Mét sè tÝnh chÊt kh¸c b¹n cã thÓ tù ®äc ®-îc tõ ®å thÞ cña hµm sè mò. 3 1.3 L«garit - §Þnh nghÜa : log a N = x ⇔ a x = N . Tõ ®Þnh nghÜa suy ra : 0 < a ≠ 1; N > 0 vµ a log N = N . Chó ý: Mò vµ l«garit lµ 2 hµm sè ng-îc nhau. Tøc lµ ®å thÞ cña chóng ®èi xøng nhau qua ®-êng ph©n gi¸c cña gãc phÇn t- thø nhÊt vµ cã cïng tÝnh biÕn thiªn. - Hµm sè l«garÝt. y = log a x §¹i diÖn ®å thÞ cña hµm sè logarit nh- h×nh d-íi ®©y a 4 2 f( x) = log ( x) 5 10 15 -2 -4 -6 TÝnh chÊt cña hµm sè logarit cã thÓ ®äc ®-îc dùa vµo ®å thÞ cña chóng. TÝnh chÊt 1: Hµm sè x¸c ®Þnh víi x > 0. (§å thÞ hµm sè n»m hoµn toµn bªn ph¶i trôc Oy) Chó ý: Tõ tÝnh chÊt nµy, khi gi¶i ph-¬ng tr×nh cã chøa Èn d-íi dÊu logarit b¹n cÇn ®Æt ®iÒu kiÖn cho biÓu thøc d-íi dÊu logarit kh«ng ©m. TÝnh chÊt 2: §å thÞ hµm sè logarit lu«n ®i qua ®iÓm (1; 0). TÝnh chÊt 3: Hµm sè y = loga x ®ång biÕn ⇔ a > 1. Tøc lµ : khi a> 1 ta cã log a x1 < log a x2 ⇔ x1 < x2 Hµm sè y = loga x nghÞch biÕn ⇔ 0 < a < 1. Tøc lµ : khi 0 < a < 1 ta cã log a x1 < log a x2 ⇔ x1 > x2 B¹n cÇn chó ý tÝnh chÊt nµy khi gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh logarit. TÝnh chÊt 4: Mäi ®-êng th¼ng song song víi trôc Ox c¾t ®å thÞ hµm sè y = log a x t¹i 1 ®iÓm, tøc lµ ph-¬ng tr×nh log a x = m chØ cã 1 nghiÖm. - PhÐp to¸n l«garit : Víi ®iÒu kiÖn phÐp to¸n thùc hiÖn ®-îc ta cã 4 log a MN = log a M + log a N log a M / N = log a M − log a N log a ( A1 ... An ) = log a A1 + ... + log a An log a N α = α . log a N - Çc c«ng thøc ®æi c¬ sè . Víi ®iÒu kiÖn phÐp to¸n thùc hiÖn ®-îc ta cã log a b = 1 log b a log aα M β = β log a M α log a b. log b c = log a c log a1 a 2 .... log an −1 a n = log a1 a n log c b log a b = log c a a log b c = c logb a 2. C©u hái vµ bµi tËp vËn dông 2.1 Luü thõa. Bµi 1. So s¸nh çc sè sau a) 31,75 vµ 3 2 b) 56 5 vµ 55 6 H-íng dÉn.  3 >1 ⇒ 32 > 31,75  2 > 1,75 a) Çch 1. Ta cã  Çch 2. B¹n cã thÓ sö dông m¸y tÝnh cÇm tay ®Ó so s¸nh hai sè ®ã víi nhau, chó ý r»ng A > B khi vµ chØ khi A – B > 0. Ch¼ng h¹n víi m¸y VINACAL Vn – 570 MS, sau khi bËt m¸y (bÊm phÝm ON) b¹n cã thÓ bÊm liªn tiÕp çc phÝm sau: 3; x2; - ; 3 ; ^; 1; . ; 7 ; 5 ; = ; (mçi phÝm chóng t«i ®Ó çch nhau bëi dÊu ; ) khi ®ã trªn mµn h×nh cho biÕt sè 2,161478829, tøc lµ ta cã 32 – 3 1,75 = 2,161478829 > 0. NghÜa lµ 32 > 31,75.  b) Çch 1. Ta cã  5 >1 6 5 > 5 6 ⇒ 56 5 > 55 6 Çch 2. B¹n cã thÓ sö dông m¸y tÝnh cÇm tay ®Ó so s¸nh hai sè ®ã víi nhau theo çch ®· h-íng dÉn ë trªn. 5 Bµi 2. Chøng minh r»ng 3 26 − 15 3 + 3 26 − 15 3 = 4 . H-íng dÉn. Çch 1. BiÕn ®æi vÕ tr¸i thµnh vÕ ph¶i. Ta (2 − 3 ) 3 (2 + 3) 3 cã 3 = 23 + 3.2 2. 3 + 3.2.( 3) 2 + ( 3)3 = 26 + 15 3 , = 23 − 3.22. 3 + 3.2.( 3) 2 − ( 3)3 = 26 − 15 3 , t-¬ng do tù: ®ã 26 − 15 3 + 3 26 − 15 3 = 3 (2 + 3)3 + 3 (2 − 3)3 = (2 + 3) + (2 − 3) = 4 . Çch 2. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc ®· cho (kh«ng dïng m¸y tÝnh cÇm tay). 3 Ta biÕt r»ng ( a + b ) = a3 + b3 + 3ab(a + b) 3 vµ 26 − 15 3. 3 26 − 15 3 = 3 262 − (15 3) 2 = 1 . Khi ®ã, nÕu gäi t = 3 26 − 15 3 + 3 26 − 15 3 th× t 3 = (26 + 15 3) + (26 − 15 3) + 3 3 (26 + 15 3)(26 − 15 3)( 3 26 + 15 3 + 3 26 − 15 3 ) , suy ra t 3 = 52 + 3t ⇒ t 3 − 3t − 52 = 0 ⇒ (t − 4)(t 2 + 4t + 13) = 0 ⇒ t = 4 . Çch 3. B¹n cã thÓ sö dông m¸y tÝnh cÇm tay ®Ó so s¸nh hai sè ®ã víi nhau, chó ý r»ng A = B khi vµ chØ khi A – B = 0. Ch¼ng h¹n víi m¸y VINACAL Vn – 570 MS, sau khi bËt m¸y (bÊm phÝm ON) ;3;); b¹n cã thÓ bÊm liªn tiÕp çc phÝm sau: Shift; 3 ; ( ; 2 ; 6 ; - ; 1 ; 5 ; x; 3 + ; Shift; ; ( ; 2 ; 6 ; + ; 1 ; 5 ; x; ; 3 ; ) ; - ; 4 ; = ; (mçi phÝm chóng t«i ®Ó çch nhau bëi dÊu ; ) khi ®ã trªn mµn h×nh cho biÕt sè 0, tøc lµ ®¼ng thøc x¶y ra. 1  2 + a 12  1+ a 2−a 2 . + 1 , víi a > 1. Bµi 3. §¬n gi¶n biÓu thøc P =   1 + a + 2 a (a 2 + 1)( a − 1)  a 1 2   H-íng dÉn. Ta cã P =  2+ a  1 + a  (2 + a )  1+ a 2− a 2− a + =  +   .  . 2 a a  1 + a + 2 a ( a + 1)( a − 1)   (1 + a ) ( a + 1)( a − 1)   (2 + a )( a − 1) − ( a − 2)( a + 1)  1 + a =   . (1 + a ) 2 ( a − 1) a    ( a + a − 2) − ( a − a − 2)  1 + a   1+ a 2 a =  =   .  . 2 2 (1 + a ) ( a − 1) a a    (1 + a ) ( a − 1)    2 2 . = = a − 1 (1 + a )( a − 1)   6 1 Bµi 4. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M = 1 1 a 3 .b 2 + b 3 .a a 1 6 +b 1 1 2 khi a = 27 vµ b = 125 6 H-íng dÉn. Çch 1. Ta ®¬n gi¶n biÓu thøc, sau ®ã thay sè ®Ó t×m kÕt qu¶. 1 M= 1 1 1 1 a 3 .b 2 + b 3 .a 2 2 = 3 2 1 1 a 6 .b 6 + b 6 .a 3 6 2 2 1 1 a 6 .b 6 (b 6 + a 6 ) = 1 1 a 6 +b 6 a 6 +b 6 Khi a = 27 vµ b = 125 th× M = 3 27.125 = 3 33.53 = 3.5 = 15 . a 6 +b 1 6 = ( ab) 2 6 = 3 ab Çch 2. Sö dông m¸y tÝnh cÇm tay ®Ó t×m kÕt qu¶ bµi to¸n. Ch¼ng h¹n, víi m¸y VINACAL Vn – 570MS, b¹n cã thÓ t×m ®-îc kÕt qu¶ bµi to¸n nµy b»ng çch viÕt biÓu thøc 1 M= 1 1 27 3.125 2 + 125 3.27 1 27 6 + 125 1 1 2 = 3 6 27. 125 + 3 125. 27 , sau ®ã nhËp biÓu thøc nµy vµo 6 27 + 6 125 m¸y vµ bÊm phÝm : = ; th× cã kÕt qu¶. 2.2 L«garit. Ph-¬ng tr×nh l«garit. BÊt ph-¬ng tr×nh l«garit. Bµi 1. TÝnh theo ®Þnh nghÜa M = 9log 2 H-íng dÉn. Sö dông c«ng thøc a log N = N . 3 a Ta cã M = 9 log 3 2 = (( 3 ) ) 4 log 3 2 = ( 3) 4.log 3 2 = (( 3 ) log 3 ) = 2 = 16 . 2 4 4 Bµi 2. Cho log 2 14 = a tÝnh theo a gi¸ trÞ cña log 49 32 H-íng dÉn. Tõ log 2 14 = a ⇒ log 2 (7.2) = a ⇒ log 2 7 + log 2 2 = a ⇒ log 2 7 = a − 1 . 5 2 5 1 5 . = 2 log 2 7 2(a − 1) MÆt kh¸c log 49 32 = log 7 25 = log 7 2 = . 2 Bµi 3. Víi ®iÒu kiÖn thùc hiÖn ®-îc phÐp tÝnh, chøng minh r»ng log ax (bx) = log a b + log a x . 1 + log a x H-íng dÉn. Sö dông c«ng thøc ®æi c¬ sè ta cã log a (bx) log a b + log a x log a b + log a x . = = log a (ax ) log a a + log a x 1 + log a x log a b + log a x . VËy log ax (bx) = 1 + log a x log ax (bx) = Bµi 4. Víi ®iÒu kiÖn thùc hiÖn ®-îc phÐp tÝnh, chøng minh r»ng 7 1 1 1 k ( k + 1) + + ... + = . log a x log a 2 x log a k x 2 log a x H-íng dÉn. Sö dông c«ng thøc ®æi c¬ sè ta cã 1 1 1 + + ... + = log x a + log x a 2 + log x a 3 + ... + log x a k = log a x log a2 x log ak x = log x a + 2 log x a + 3log x a + ... + k log x a (1 + k )k (1 + k ) k 1 . = (1 + 2 + 3 + .. + k ) log x a = log x a = . 2 2 log a x 1 1 1 k ( k + 1) VËy . + + ... + = log a x log a 2 x log a k x 2 log a x Bµi 5. Víi ®iÒu kiÖn thùc hiÖn ®-îc phÐp tÝnh, chøng minh r»ng c 2 = b 2 + a 2 ⇔ log c + b a + log c −b a = 2log c + b a log c −b a H-íng dÉn. Sö dông c«ng thøc ®æi c¬ sè ta cã log c + b a + log c − b a = 2 log c + b a log c −b a ⇔ 1 1 1 1 + = 2. . log a (c + b) log a (c − b) log a (c + b) log a (c − b) ⇔ log a (c − b) + log a (c + b) = 2 ⇔ log a [(c − b).(c + b)] = 2 ⇔ (c − b).(c + b) = a 2 ⇔ c2 − b2 = a2 ⇔ c2 = b2 + a2 . VËy c 2 = b 2 + a 2 ⇔ log c+b a + logc −b a = 2log c+b a logc −b a x  5 Bµi 6. TÝnh giíi h¹n lim 1 +  . x →∞  x H-íng dÉn.   1 x Ta cã lim 1 +  = e . x →∞ x  x   x  x 1  5 Víi lim 1 +  = lim 1 +  . §Æt t = th× x = 5t vµ khi x → ∞ th× t → ∞ . →∞ x →∞ x x 5  x    5 5 5 x 5t   1 t    1 t   5  1 5 lim 1 + = lim 1 + = lim Khi ®ã 1 +   =  lim   x →∞   1 +   = e . x →∞ x →∞ x →∞  x  t  t     t     a x Chó ý : B»ng çch t-¬ng tù ta cã thÓ t×m ®-îc : lim 1 +  = ea , a ≠ 0 . x →∞ x 1 Bµi 7. TÝnh giíi h¹n lim (1 + 3 x ) x . x →0 8  H-íng dÉn. 1 Ta cã lim (1 + x ) x = e . x →0 §Æt t = 3x th× x = t 1 3 vµ khi x → 0 th× t → 0 h¬n n÷a = . 3 x t 1 x (1 + 3x ) = lim (1 + t ) Khi ®ã lim x →0 t →0 3 t 3 3 1 1     t = lim (1 + t )  = lim (1 + t ) t  = e3 . t →0 t →0     1 Chó ý: B»ng çch t-¬ng tù ta cã thÓ t×m ®-îc : lim (1 + ax ) x = ea , a ≠ 0 . x →0 Bµi 8. TÝnh giíi h¹n lim x →0 ln(1 − 7 x ) . x H-íng dÉn. ln(1 + x) = 1. x §Æt t = - 7x , khi x → 0 th× t → 0 . ln(1 − 7 x ) ln(1 − 7 x ) ln(1 + t ) Khi ®ã lim = lim .( −7) = ( −7).lim = −7 . x →0 x → 0 t → 0 x −7 x t ln(1 + ax) = a, a ≠ 0 . Chó ý: B»ng çch t-¬ng tù ta cã thÓ t×m ®-îc : lim x →0 x Ta cã lim x →0  e4 x − 1  .  x  Bµi 9. TÝnh giíi h¹n lim  x→0 H-íng dÉn. ex −1 Ta cã lim = 1. x →0 x §Æt t = 4x , khi x → 0 th× t → 0 .  e4 x − 1   e4 x − 1   et − 1  Khi ®ã lim  = lim .4 = 4.lim      = 4. x →0 t →0  x  x →0  4 x   t   eax − 1   = a, a ≠ 0 . x→0  x  Chó ý: B»ng çch t-¬ng tù ta cã thÓ t×m ®-îc : lim   5x − 1  Bµi 10. TÝnh giíi h¹n lim  . x →0  x  H-íng dÉn. ex −1 = 1, vµ a log a N = N , 0 < a ≠ 1, N > 0 . x→0 x Ta cã lim  eln(5 ) − 1   5x − 1   e x ln(5) − 1  .ln 5  = lim  = lim     Ta cã thÓ biÕn ®æi lim  x→0  x.ln 5 x →0 x  x  x →0    x 9 §Æt t = x.ln5 , khi x → 0 th× t → 0 .  5x − 1   et − 1  Khi ®ã lim   = ln 5.lim   = ln 5 . x →0 t →0  x   t   ax −1  Chó ý: B»ng çch t-¬ng tù ta cã thÓ t×m ®-îc : lim   = ln a, a ≠ 0 . x →0  x   2 x − e3 x  .  x  Bµi 11. TÝnh giíi h¹n lim  x →0 H-íng dÉn.  eax − 1   ax −1  Theo çc vÝ dô trªn ta cã lim   = a , a ≠ 0 , lim   = ln a, a ≠ 0 . x→0 x →0  x   x   2 x − e3 x   2x − 1 + 1 − e3 x  Khi ®ã lim  = lim    x →0 x  x  x →0    2x − 1   1 − e3 x = lim  + lim   x→0  x  x →0  x   2x − 1   e3 x − 1  = lim − lim  x →0     = ln 2 − 3 .   x  x →0  x  Bµi 12. Gi¶i ph-¬ng tr×nh H-íng dÉn. log 2 ( x 2 + 3 x + 2) + log 2 ( x 2 + 7 x + 12) = 3 + log 2 3.  x 0  §iÒu kiÖn:  2 ⇔  2 < x < 3 (*)  x + 7 x + 12 > 0  x > 4 Víi ®iÒu kiÖn (*) ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi ( x 2 + 3 x + 2).( x 2 + 7 x + 12) = 24. ⇔ ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = 24  (t − 1)(t + 1) = 24  2 2 ⇔ ( x + 5 x + 4)( x + 5 x + 6) = 24 ⇔  5 2 t = x + 5 x + 5 ≥ − 4 t =5   x=0 ⇔ ⇔ 2 t = x + 5 x + 5  x = −5 So s¸nh víi ®iÒu kiÖn, ph-¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lµ x = -5 vµ x = 0. Bµi 13. Gi¶i ph-¬ng tr×nh log5 x + log 7 x = 1 + log5 x log 7 x . H-íng dÉn. §iÒu kiÖn x > 0. Khi ®ã, gäi u = log5 x vµ v = log7 x th× ph-¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh u + v = 1 + uv ⇔ (u - 1) + v(1- u) = 0 ⇔ (u - 1)(1- v) = 0 u = 1  log5 x = 1  x = 5 ⇔ ⇔ ⇔  v = 1 log 7 x = 1  x = 7 10 So s¸nh víi ®iÒu kiÖn, ph-¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lµ x = 5 hoÆc x= 7. L-u ý: Khi nhËn diÖn ®-îc ph-¬ng tr×nh, biÕt çch biÕn ®æi b¹n cã thÓ kh«ng cÇn ®-a vao Èn phô u vµ v, mµ cã thÓ nhãm trùc tiÕp çc sè h¹ng t-¬ng øng víi u , v ®· ®Æt, ®Ó ®i ®Õn kÕt qu¶ mµ kh«ng cÇn qua trung gian. Bµi 14. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 5 5 + x 5 = 10. H-íng dÉn. §iÒu kiÖn x > 0. DÔ thÊy x = 1 kh«ng lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh. (log x )2 Do 5(log5 x ) = 5(log5 x ).log5 x = ( 5log5 x ) 2 (log5 x )2 VËy 5 (log5 x )2 2.5 log5 x log x = x log5 x = xlog5 x , do ®ã ph-¬ng t×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi = 10 ⇔ 5 (log 5 x )2 x =5  log 5 x = 1 = 5 ⇔ (log5 x) = 1 ⇔  ⇔ 1 log 5 x = −1  x =  5 2 So s¸nh víi ®iÒu kiÖn, ph-¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lµ x = 5 hoÆc x = Bµi 15. Gi¶i ph-¬ng tr×nh log 2 x + log3 x + log 4 x + log5 x = 0 H-íng dÉn. §iÒu kiÖn x > 0 (*). Víi ®iÒu kiÖn (*), ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi log 2 x + log 3 2.log 2 x + log 4 2.log 2 x + log 5 2.log 2 x = 0 ⇔ (1 + l og3 2 + log 4 2 + log5 2) log 2 x = 0 ⇔ log 2 x = 0 ⇔ x = 1 . So s¸nh víi ®iÒu kiÖn (*), ph-¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x = 1. Bµi 16. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 5lg x + x lg 5 = 50 H-íng dÉn. §iÒu kiÖn x > 0. DÔ thÊy gi¸ trÞ x = 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm ph-¬ng tr×nh. Ta cã a log b c = c log b a nªn 5 = x Do ®ã ph-¬ng t×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi 2.5lg x = 50 ⇔ 5lg x = 25 ⇔ lg x = 2 ⇔ x = 100 . So s¸nh víi ®iÒu kiÖn, ph-¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x = 100. lg x lg 5 Bµi 17. Gi¶i ph-¬ng tr×nh x 3 = x + x 3 . H-íng dÉn. DÔ thÊy x = 0 lµ nghiÖm ph-¬ng tr×nh ®· cho. DÔ thÊy x = 1 kh«ng lµ nghiÖm ph-¬ng tr×nh ®· cho. log 8 Khi 0 < x ≠ 1 th× x log 3 8 log 5 = 8log3 x 11 1 . 5 x log3 5 = 5log 3 x x = x1 = x log3 3 = 3log3 x t Gäi t = log3 x ta cã x log 3 8 t = x+x log 3 5 3 5 ⇔ 8 = 3 +5 ⇔1=   +  8 8 t t t t t 3 5 XÐt hµm f(t) =   +   − 1 cã tËp x¸c ®Þnh lµ R. 8 8 t t  3  3  5  5 f’(t) =   ln   +   ln   < 0 , do ®ã y = f(t) lµ hµm sè nghÞch biÕn trªn tËp 8 8 8 8 x¸c ®Þnh. DÔ thÊy f(1) = 0, nªn f(t) = 0 ⇔ f(t) = f(1) ⇔ t = 1 ⇔ log3 x = 1 ⇔ x = 3. So s¸nh víi ®iÒu kiÖn, ph-¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm lµ x = 0 hoÆc x = 3. Bµi 18. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 6log 2 x = 1 + log x 2. H-íng dÉn. §iÒu kiÖn: 0 < x ≠ 1. Gäi t = log2 x ≠ 0 th× 1 log x 2 = , t ta cã 1  t=  1 2 6t = 1 + ⇔ 6t 2 − t − 1 = 0 ⇔  t t = − 1  3 1  x = 2  log 2 x = 2 Tõ ®ã ta cã  ⇔  1 1 x= 3 log x = −  2   2 3 x = 2 So s¸nh víi ®iÒu kiÖn, ph-¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm lµ  1 x= 3  2 Bµi 19. Gi¶i ph-¬ng tr×nh log (3+ x ) 6 + 2 log 0,25 (4 − x) =1 log 2 (3 + x) H-íng dÉn.  0 < 3 + x ≠ 1  −3 < x < 4 ⇔  4− x > 0  x ≠ −2 §iÒu kiÖn:  Víi ®iÒu kiÖn ®ã, ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi 12 ph-¬ng tr×nh log (3+ x ) 6 + 2 log 1 (4 − x) 4 log 2 (3 + x) = 1 ⇔ log (3+ x ) 6 + 2 log 2−2 (4 − x) log 2 (3 + x) = 1 ⇔ log (3+ x ) 6 + − log 2 (4 − x) =1 log 2 (3 + x)  6   6  2 ⇔ log (3+ x ) 6 − log (3+ x ) (4 − x) = 1 ⇔ log (3+ x )   =1⇔   = 3+ x ⇔ x − x −6 = 0  4−x  4−x  x =3 ⇔  x = −2 So s¸nh víi ®iÒu kiÖn, ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 3. Bµi 20. Gi¶i ph-¬ng tr×nh log3 (3x + 1) log3 (3x+2 + 9) = 6 . H-íng dÉn. Do 3x > 0 víi mäi x, nªn ph-¬ng tr×nh ®· cho thùc hiÖn ®-îc víi mäi x. Ta cã log3 (3x + 1) log3 (3x+ 2 + 9) = 6 ⇔ log 3 (3x + 1) log 3[32 (3x + 1)] = 6 ⇔ ⇔ log 3 (3x + 1)[log 3 32 + log 3 (3x + 1)] = 6 Gäi t = log3(3x +1) > log31 = 0 ta cã ph-¬ng tr×nh t(2 + t) = 6 ⇔ t2 + 2t - 6 = 0  t = −1 + 7 ⇔ ⇔ log3 (3x + 1) = −1 + 7 ⇔ 3x + 1 = 3−1+ 7 t = −1 − 7 (loai ) ⇔ x = log 3 (3−1+ 7 − 1) . −1+ 7 − 1) . VËy ph-¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x = log 3 (3 Chó ý. B»ng çch biÕn ®æi nh- trªn b¹n cã thÓ gi¶i ®-îc ph-¬ng tr×nh cã d¹ng: log aα ( a x + b ) log a β (a x + k + b.a k ) = m .  2 x + 2.3 x + y Bµi 21. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh  x x + y +1 3.2 + 3 = 55, = 74. H-íng dÉn. §Æt 2x = u > 0, 3 x+y = v > 0, hÖ ®· cho trë thµnh u + 2.v = 55,   u + v = 28. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh trªn ta ®-îc u = 1, v = 27. VËy  2x  x+y 3 = 1, ⇔ = 27. 13  x = 0,   y = 3. log 2 y = 3,  log 3 (3 y + 5 x ) = 2.  Bµi 22. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh  H-íng dÉn. y > 0, 3y + 5 x > 0.  §Ó hÖ ®· cho cã nghÜa, ta ph¶i cã   y Víi ®iÒu kiÖn nµy, hÖ ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi  3y + 5 x = 23 , = 32. Tõ ph-¬ng tr×nh thø nhÊt ta cã y = 8 vµ thay vµo ph-¬ng tr×nh thø hai, tÝnh ®-îc x = 3. §ã lµ nghiÖm cña hÖ x = 3, y = 8. Chó ý víi hai gi¸ trÞ nµy ta cã  y = 23 > 0,  2 3y + 5 x = 3 > 0. Bµi 23. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh log a x > 1 víi 0 < a ≠1. H-íng dÉn.  a >1   x > a log a x > 1 ⇔   1 > a > 0   0 < x < a Bµi 24. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh x1+ log a x > a 2 x 2 , trong ®ã 0 < a ≠ 1 . H-íng dÉn. §iÒu kiÖn: x > 0. log 1 Khi x > 0, bÊt ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi x a > a 2 .x Khi x = 1, bÊt ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi 1log 1 > a 2 .1 ⇔ 1 > a 2 ⇔ 1 > a > 0. VËy nÕu 0 < a < 1 th× x = 1 lµ nghiÖm cña bÊt ph-¬ng tr×nh. Khi 0 < x ≠ 1 vµ a > 1 ta cã a ( ) xloga x > a 2 x ⇔ log a x log a x > log a ( a 2 x ) ⇔ (log a x) 2 > 2 + log a x ⇔ (log a x) 2 − log a x − 2 > 0  x > a2  log a x > 2 ⇔ ⇔ 0 < x < 1 log x < − 1  a  a 14 Khi 0 < x ≠ 1 vµ 0 < a < 1 ta cã ( ) xloga x > a 2 x ⇔ log a xloga x < log a ( a 2 x ) ⇔ (log a x) 2 < 2 + log a x ⇔ (log a x) 2 − log a x − 2 < 0 ⇔ −1 < log a x < 2 ⇔ 1 > x > a2 a KÕt luËn :  x > a2 Khi a > 1 bÊt ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ  0 < x < 1  a  x =1 Khi 0 < a < 1 bÊt ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ  2 a < x < 1  a Bµi 25. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh H-íng dÉn. Gäi t = loga x th× (log a x) 2 − 4 log a x + 3 x > a 2.3 Ph-¬ng tr×nh mò. BÊt ph-¬ng tr×nh mò. Bµi 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh a) 3x = 27 b) 2x = 10 H-íng dÉn. a) Ta cã 3x = 27 ⇔ 3x = 33 ⇔ x = 3 . b) Ta cã 2 x = 10 ⇔ 2 x = 2 log 10 ⇔ x = log 2 10 . 2 Bµi 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh a) 3x + 3x+1 + 3x+2 = 351 b) 2x + 2x+1 + 2x+2 = 3x + 3x-1 +3x-2 H-íng dÉn. a) Ta cã 3 x + 3x+1 + 3x+2 = 351 15 cho t-¬ng ®-¬ng víi ⇔ 3x + 3.3x + 9.3x = 351 ⇔ 3x (1 + 3 + 9) = 13.27 ⇔ 3x = 27 ⇔ x = 3 b) Ta cã 2x + 2 x+1 + 2x+2 = 3x + 3x-1 +3x-2 1 1 ⇔ 2 x + 2.2 x + 4.2 x = 3x + .3x + .3x ⇔ 3 9 1 1 13 ⇔ 2 x (1 + 2 + 4) = 3x (1 + + ) ⇔ 9.2 x = .3x 3 9 9 x  2  13  13  ⇔  = ⇔ x = log 2   3  3  81  81  ( Bµi 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 3 + 2 2 ) x +1 ( = 3− 2 2 ) 2 x +8 H-íng dÉn. Ta cã 3 + 2 2 3 − 2 2 = 1 nªn ( (3 + 2 2 ) x +1 ( )( = 3− 2 2 ) ) 2 x +8 ( ⇔ 3+2 2 ) x +1 ( = 3+ 2 2 ⇔ x + 1 = −(2 x + 8) ⇔ x = −3 Bµi 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 12 + 6 x = 4.3 x + 3.2 x . H-íng dÉn. Ta cã ) − (2 x +8) 12 + 6 x = 4.3x + 3.2 x ⇔ (6 x − 4.3 x ) + (12 − 3.2 x ) = 0 ⇔ 3x (2 x − 4) + 3(4 − 2 x ) = 0  2x − 4 = 0 x = 2 x x . ⇔ (2 − 4)(3 − 3) = 0 ⇔  x ⇔  x =1 3 − 3 = 0 VËy ph-¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm lµ x = 1 hoÆc x= 2. Chó ý: - Ph-¬ng tr×nh trªn cã thÓ gi¶i b»ng çch ®Æt u = 3x vµ v = 2 x . Khi dã, ta cã ph-¬ng tr×nh 12+ uv = 4u + 3v ⇔ (12 – 4u) + (uv - 3v) = 0 ⇔ 4(3 - u) + v(u - 3) = 0 ⇔ (u -3)(v - 4) = 0. Tõ ®ã, ta ®i dÕn kÕt qu¶ nh- trªn. - Víi çc ph-¬ng tr×nh cã d¹ng AB + (a.b) x = Bax + Abx ta cã thÓ nhãm çc sè h¹ng ®Ó biÕn ®æi ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng (a x - A)(bx - B) = 0. Bµi 5. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 9 x − 10.3 x + 9 = 0 H-íng dÉn. §Æt t = 3x > 0 ta cã ph-¬ng tr×nh t2 – 10t + 9 = 0. Gi¶i ph-¬ng tr×nh nµy ta ®-îc hai nghiÖm lµ t = 1 hoÆc t = 9 ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn t > 0.  3x = 1 x = 0 ⇔ x x = 2 3 = 9 Tõ ®ã ta cã ph-¬ng tr×nh  VËy ph-¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm x = 0 hoÆc x = 2. Bµi 6. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 4 x − 6.2x + 8 = 0 H-íng dÉn. 2 2 16 §Æt t = 2 x , ®iÒu kiÖn t ≥ 1 ta cã ph-¬ng tr×nh t2 – 6t + 8 = 0. Gi¶i ph-¬ng tr×nh nµy ta ®-îc hai nghiÖm lµ t = 2 hoÆc t = 4 ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn t ≥ 1 . 2 2x = 2  x = ±1  x2 = 1 ⇔ 2 ⇔ . Tõ ®ã ta cã çc ph-¬ng tr×nh  2 x = 2 x = ± 2  2 x = 4   2 VËy ph-¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm x = -1; x = 1; x =    Aa 2 x + Ba x + C = 0 Chó ý. Ph-¬ng tr×nh cã d¹ng  2 f ( x ) ⇔  Aa + Ba f ( x ) + C = 0    2 ;x= 2.   At 2 + Bt + C = 0  x  t = a > 0  At 2 + Bt + C = 0  f ( x) ≤β α ≤ t = a  α = a m ; β = a M .  (trong ®ã : m = Min f(x), cßn M = Max f(x) vµ a > 1 trªn TX§ cña f(x); khi 0 < a < 1 bÊt ®¼ng thøc vÒ ®iÒu kiÖn cña t ®æi chiÒu so víi c«ng thøc nªu trªn) Bµi 7. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 6.9 x − 13.6 x + 6.4x = 0 H-íng dÉn. Chia hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh cho 4x ta cã ph-¬ng tr×nh 6t 2 − 13t + 6 = 0  t =  9 6 x 6   − 13.   + 6 = 0 ⇔  ⇔ 3 4 4 t =  t =  >0 2   x x 2  x = −1 3 ⇔ 3  x =1 2 Bµi 8. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 15.25x − 34.15x + 15.9 x = 0 H-íng dÉn. Chia hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh cho 9 x ta cã ph-¬ng tr×nh 2 2 2 2 15t 2 − 34t + 15 = 0 5  t=     25   15  3 x2 15   − 34.   + 15 = 0 ⇔  ⇔ 5    9  9 t = 3 (loai)  t =   ≥1 3    5  x2 x2 x2 5 5 ⇔   = ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1 3 3   VËy ph-¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm x = 1 hoÆc x = -1. Chó ý. 17    At 2 + Bt + C = 0 x     t =a >0     Aa 2 x + Ba x b x + Cb 2 x = 0  b   ⇔ Ph-¬ng tr×nh cã d¹ng  2 f ( x ) 2 f ( x) f ( x) 2 f ( x)   At + Bt + C = 0 + Ba b + Cb =0  Aa f ( x)   α ≤ t =  a  ≤β    b     (B»ng çch chia 2 vÕ cho b 2 x hoÆc b 2 f ( x ) .) Bµi 9. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 5 x + 51− x = 6 . H-íng dÉn. t = 2 . t = 3 5 t ®Æt t = 5x > 0 ta cã ph-¬ng tr×nh t + = 6 ⇔ t 2 − 6t + 5 = 0 ⇔  5 x = 2  x = log 5 2 . ⇔  x log 3 x = 5 = 3 5   Tõ ®ã ta cã ph-¬ng tr×nh  VËy ph-¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm x = log52 hoÆc x = log53 . +9 = 10 . Bµi 10. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 9 H-íng dÉn. Do sin2x + cos2x = 1 nªn cos2x = 1 - sin2x. Tõ ®ã ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi sin 2 x 9sin x + 91−sin 2 2 x cos 2 x  t =1 9  2   t + = 10  t − 10t + 9 = 0 t = 9 t = 10 ⇔  ⇔ ⇔  sin 2 x 2 t 1 9 9 ≤ = ≤ 1 ≤ t = 9sin x ≤ 9   sin 2 x  ≤9 1 ≤ t = 9  9sin x = 1 sin 2 x = 0  sinx = 0 π ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ ⇔ x = k ;k ∈ Z . sin x 2 = 9  sin x = 1 cosx = 0 9 2   At 2 + Ct + B = 0   x Aa x + Ba − x + C = 0   t = a > 0 ⇔ Chó ý. Ph-¬ng tr×nh cã d¹ng  f ( x )  At 2 + Ct + B = 0 + Ba − f ( x ) + C = 0 Aa   f ( x) ≤β  α ≤ t = a ( ) ( ) x x Bµi 11. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 2 + 3 + 2 − 3 = 4 . H-íng dÉn. 18 ( )( ) ( ) Do 2 + 3 2 − 3 = 4 − 3 = 1 ⇒ 2 − 3 = (2 + 3) + (2 + 3) x cho t-¬ng ®-¬ng víi ( ) 1 (2 + 3) −x ( = 2+ 3 ) −1 nªn ph-¬ng tr×nh ®· = 4. x §Æt t = 2 + 3 > 0 ta cã ph-¬ng tr×nh  t = 2 + 3  1 (2 + 3) x = 2 + 3  t 2 − 4t + 1 = 0  x =1 t + = 4 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ t     t = 2 − 3 t>0  x = −1  (2 + 3) x = 2 − 3   t > 0  > t 0  VËy ph-¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lµ x = 1 hoÆc x = -1. ( ) x ( ) x Bµi 12. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 7 + 3 5 + 5. 7 − 3 5 = 14.2 x . H-íng dÉn. Do 7 + 3 5 7 − 3 5 = 49 − 45 = 4 = 2 2 nªn ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi ( )( x ) 7+3 5   7 −3 5    + 5.    2   2  x 5  t + = 14  t  x = 14 ⇔  t =  7 + 3 5  > 0   2     7+3 5  t = 2 2    t − 14t + 5 = 0   7 −3 5   x ⇔   7 +3 5  ⇔  t = 2   > 0 t =   2      7 + 3 5 x t =   > 0    2  Tõ ®ã ta t×m ®-îc x = 1 hoÆc x = -1. VËy ph-¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lµ x = 1 hoÆc x = -1.    Au x + Bu − x = C    Au x + Bv x = C v x = u −x    Chó ý. Ph-¬ng tr×nh cã d¹ng  f ( x ) ⇔  Au f ( x ) + Bu − f ( x ) = C + Bv f ( x ) = C Au   v f ( x) = u − f ( x)   khi u.v =1.  Au x + Bv x = Cp x u v . = 1 th× ph-¬ng tr×nh  f ( x ) p p + Bv f ( x ) = Cp f ( x )  Au cã thÓ quy vÒ d¹ng trªn sau khi chia 2 vÕ cho p x hoÆc p f ( x ) . Cßn khi u.v = p 2 ⇔ Bµi 13. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 3x = 11- x. 19 H-íng dÉn. Ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi 3 x + x - 11 = 0. XÐt f(x) = 3x + x - 11 th× ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi f(x) = 0, tøc lµ xÐt giao ®iÓm cña ®å thÞ y = f(x) víi trôc hoµnh. TËp x¸c ®Þnh cña y = f(x) lµ R. y’(x) = 3x ln3 + 1 > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x. Do ®ã y = f(x) lµ hµm sè ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh. KiÓm tra ta thÊy f(2) = 0. VËy f(x) = 0 ⇔ f(x) = f(2) ⇔ x = 2. VËy ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2. Chó ý: - NÕu b¹n ch-a häc ®¹o hµm cña hµm sè y = ax th× cã thÓ nhËn biÕt y = 3x lµ hµm sè ®ång biÕn v× c¬ sè a = 3 > 1 cßn y = x – 11 lµ hµm sè ®ång biÕn v× cã hÖ sè a = 1 > 0. - Ta ®· dùa vµo tÝnh chÊt ®ång biÕn cña hµm sè f(x) = 3x +x - 11 ®Ó chØ ra nghiÖm duy nhÊt cña ph-¬ng tr×nh f(x) = 0. - V× hµm sè f(x) = 3x +x - 11 lu«n ®ång biÕn, cho nªn khi x > 2 th× f(x) > f(2) = 0; cßn khi < 2 th× f(x) < f(2) = 0 VËy f(x) = 0 ⇔ f(x) = f(2) ⇔ x = 2. - B¹n cã thÓ sö dông m¸y tÝnh cÇm tay, ch¼ng h¹n m¸y VINACAL Vn – 570 MS, víi chøc n¨ng SHIFT ; SOLVE trî gióp viÖc t×m nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: 3x + x - 11 = 0 b»ng çch nhËp biÓu thøc 3x + x - 11 vµo m¸y, nhê m¸y t×m nghiÖm, cã thÓ bÊm theo h-íng dÉn nh- d-íi ®©y (mçi lÇn bÊm phÝm ®-îc ghi çch nhau bëi dÊu ; ): ON; 3 ; ^ ; ALPHA ; X ; + ; ALPHA ; X ; - ; 1 ; 1 ; SHIFT ; SOLVE; Khi®ã m¸y hiÖn trªn mµn h×nh: X?, B¹n nhËp gi¸ trÞ ban ®Çu cña X, gi¸ trÞ X nhËp vµo cµng gÇn gi¸ trÞ nghiÖm cµng tèt. (B¹n cã thÓ nhÈm mét gi¸ trÞ ban ®Çu, ch¼ng h¹n X = 1 th× 3 + 1 – 11 = 7). Ch¼ng h¹n b¹n cho X = 1, tøc lµ bÊm : 1; =; SHIFT ; SOLVE; Khi ®ã m¸y hiÓn thÞ PROSESSING, tøc lµ m¸y ®ang trong qu¸ tr×nh tÝnh, b¹n cÇn chê Ýt phót, ®Õn khi m¸y hiÓn thÞ X = 2, th× ®ã lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh 3x + x - 11 = 0, tøc lµ t×m ®-îc f(2) = 0. Bµi 14. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 5 x.3x = 1 . H-íng dÉn. L«garit ho¸ víi c¬ sè 3 hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh ta cã 2 log 3 (5x.3x ) = log 3 1 ⇔ log 3 5x + log 3 .3x = 0 ⇔ x.log 3 5 + x 2 log 3 3 = 0 2 2  x=0 ⇔ x.log3 5 + x 2 log 3 3 = 0 ⇔   x = − log 3 5 20 VËy ph-¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm lµ x = 0 hoÆc x = - log35. Bµi 15. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh a) 3x > 27 b) 2x < 10 H-íng dÉn. a) Ta cã 3x > 27 ⇔ 3x > 33 ⇔ x > 3 . b) Ta cã 2 x < 10 ⇔ 2 x < 2log 10 ⇔ x < log 2 10 . 2 Bµi 16. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh a) 3x + 3x+1 + 3x+2 > 351 b) 2x + 2x+1 + 2x+2 < 3x + 3x-1 +3x-2 H-íng dÉn. a) Ta cã 3 x + 3x+1 + 3x+2 > 351 ⇔ 3x + 3.3x + 9.3x > 351 ⇔ 3x (1 + 3 + 9) > 13.27 ⇔ 3x > 27 ⇔ x > 3 b) Ta cã 2x + 2 x+1 + 2x+2 < 3x + 3x-1 +3x-2 1 1 1 1 13 ⇔ 2 x + 2.2x + 4.2x < 3x + .3x + .3x ⇔ 2 x (1 + 2 + 4) < 3x (1 + + ) ⇔ 9.2 x < .3x 3 9 3 9 9 x  2  13  13  ⇔  < ⇔ x > log 2   3  3  81  81  ( Bµi 17. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh 3 + 2 2 ) x +1 ( ≥ 3− 2 2 ) 2 x +8 H-íng dÉn. Ta cã 3 + 2 2 3 − 2 2 = 1 nªn ( (3 + 2 2 ) x +1 ( )( ≥ 3− 2 2 ) ) 2 x +8 ( ⇔ 3+2 2 ) x +1 ( ≥ 3+ 2 2 ) − (2 x +8) ⇔ x + 1 ≥ −(2 x + 8) ⇔ x ≥ −3 Bµi 18. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh 12 + 6 x > 4.3 x + 3.2 x H-íng dÉn. Ta cã 12 + 6 x > 4.3x + 3.2x ⇔ (6 x − 4.3x ) + (12 − 3.2 x ) > 0 ⇔ 3x (2 x − 4) + 3(4 − 2 x ) > 0  2x − 4 > 0  x > 2  x  x > 2  x >1  3 − 3 > 0 x x  . ⇔ (2 − 4)(3 − 3) > 0 ⇔  ⇔ ⇔ x x < 2 x 2 hoÆc x < 1 lµ nghiÖm. Bµi 19. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh 9 x − 10.3x + 9 > 0 H-íng dÉn. 21 §Æt t = 3x > 0 ta cã bÊt ph-¬ng tr×nh t2 – 10t + 9 > 0. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh nµy ta ®-îc 0 < t < 1 hoÆc t > 9 .  3x < 1 x < 0 ⇔ x x > 2 3 > 9 Tõ ®ã ta cã bÊt ph-¬ng tr×nh  VËy bÊt ph-¬ng tr×nh ®· cho nhËn çc gi¸ trÞ x < 0 hoÆc x > 2 lµ nghiÖm. Bµi 20. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh 6.9 x − 13.6 x + 6.4x > 0 H-íng dÉn. Chia hai vÕ cña bÊt ph-¬ng tr×nh cho 4x > 0 ta cã 6t 2 − 13t + 6 > 0   t < 9 6 x ⇔ 6   − 13.   + 6 > 0 ⇔  3 4 4 t >  t =  >0 2   x x 2  x < −1 3 ⇔ 3  x >1 2 VËy bÊt ph-¬ng tr×nh ®· cho nhËn çc gi¸ trÞ x < - 1 hoÆc x > 1 lµ nghiÖm. Bµi 21. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh 5 x + 51− x > 6 . H-íng dÉn. t < 2 . t > 3 5 t B»ng çch ®Æt t = 5x > 0 ta cã bÊt ph-¬ng tr×nh t + > 6 ⇔ t 2 − 6t + 5 > 0 ⇔  5 x < 2  x < log 5 2 ⇔  x > log 3 . x 5 3 > 5   Tõ ®ã ta cã bÊt ph-¬ng tr×nh  VËy bÊt ph-¬ng tr×nh ®· cho nhËn çc gi¸ trÞ x < log52 hoÆc x > log53 lµ nghiÖm. Bµi 22. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh H-íng dÉn. ( )( ) (2 + 3) + (2 − 3) x ( ) Do 2 + 3 2 − 3 = 4 − 3 = 1 ⇒ 2 − 3 = tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi ( ) (2 + x > 4. ( 1 = 2+ 3 (2 + 3) 3) + (2 + 3) > 4 . ) −1 nªn bÊt ph-¬ng −x x x §Æt t = 2 + 3 > 0 ta cã  t > 2 + 3  1 2 (2 + 3) x > 2 + 3   t 4 + > t 4 t 1 0 − + >   x >1  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   t   t < 2 − 3 t>0  x < −1  (2 + 3) x < 2 − 3   t > 0   t >0 VËy bÊt ph-¬ng tr×nh ®· cho nhËn çc gi¸ trÞ x > 1 hoÆc x < -1 lµ nghiÖm. Bµi 23. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh 3x > 11- x. H-íng dÉn. 22 BÊt ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi 3x + x - 11 > 0. XÐt f(x) = 3x +x - 11 th× bÊt ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi f(x) > 0. TËp x¸c ®Þnh cña y = f(x) lµ R. y’(x) = 3x ln3 + 1 > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x. Do ®ã y = f(x) lµ hµm sè ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh. KiÓm tra ta thÊy f(2) = 0. ( Sö dông m¸y tÝnh cÇm tay hç trî t×m nghiÖm cña ph-¬ng t×nh f(x) = 0 ®· nãi ë phÇn trªn) VËy f(x) > 0 ⇔ f(x) > f(2) ⇔ x > 2. VËy bÊt ph-¬ng tr×nh nhËn çc gi¸ trÞ x > 2 lµ nghiÖm. 3. Mét sè bµi tËp tù luyÖn Bµi 1. ViÕt d-íi d¹ng lòy thõa çc sè mò h÷u tû a) 5 c) 5 3 3 3 3 ; b) 13 2; 2 d) 4 52 3 5 ; a a a a . Bµi 2. Chøng minh r»ng víi mäi a > 0, a ≠ 1 vµ x1 > 0, ..., x n > 0, ta cã hÖ thøc log a (x1x2...x n) = log a x1 + log a x2 + L+ log a xn. Bµi 3. Gi¶i çc ph-¬ng tr×nh a) 3 x 2 − x −2 =9; b) 2x-1 + 22-x = 3; c) 3.4 x - 2.6x = 9 x; d) ( 2+ 3 ) ( x + 2− 3 ) = 14. x Bµi 4. Gi¶i çc ph-¬ng tr×nh sau a) log 2 [x(x - 1)] = 1; b) log3 x + log 3 (x - 1) = 1; c) lg(x2 - 6x + 7) = lg(x - 3); d) log 3 x log 9 9 x = log 9 3 x log 64 27 x Bµi 5. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: a) 9 x + (2 x − 14).3x + ( x2 − 14 x + 40) < 0 b) 25 x + (2 x − 33).5x + ( x 2 − 33 x + 162) ≤ 0 c) 4 x + (2 x − 21).2 x + ( x 2 − 21x + 220) > 0 d) 4 x+1 + (2 x − 29).2 x+1 + ( x 2 − 29 x + 290) ≥ 0 23 Bµi 6. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh  2yx 2 a)  5 x  y 3 x y = 2 .2 , 5 =3 2y +8 x x .y = 1, 2 2  lg x + lg y = 2.  b)  . Bµi 7. Gi¶i çc ph-¬ng tr×nh a) 52x - 7x - 35.52x + 36.7x = 0; b) ( 3− 2 ) ( x + 3+ 2 ) =2 . x x Bµi 8. Gi¶i çc ph-¬ng tr×nh a) log5 x 5 + log52 x = 1 ; x b) 2x - lg(52x + x - 2) = lg 4x. Bµi 9. Gi¶i çc bÊt ph-¬ng tr×nh a) 3x > 5x; b) log4 x - logx 4 ≤ 1 3 . 2 4  5  x −1  5  c)   ≥   ; 6 6 d) log 7 2x + 1 > 2. x+3 Bµi 10: Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh: a) 32x < 4 - 2x. b) 5 x+1 > 26 - x. c) 4x-2 < 7 - x. d) 23x+2 > 33 - x. 4. Bµi tËp ¤n tËp tæng hîp ch-¬ng II Bµi 1. Cho ph-¬ng tr×nh ( x − 2) log 2 4( x − 2) = 2α .( x − 2)3 . 24 a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh khi α = 2. b) T×m α ®Ó PT cã 2 nghiÖm tho¶ m·n 5 ≤ x1 ; x 2 ≤ 4 . 2 H-íng dÉn. log 4( x − 2) = 2 .( x − 2) a) Khi α = 2 ta cã ph-¬ng tr×nh ( x − 2) 2 §iÒu kiÖn: 0 < x − 2 ≠ 1 ⇔ 2 < x ≠ 3 Víi ®iÒu kiÖn trªn, ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi log 2 [( x − 2) log2 4( x − 2) ] = log 2 [22.( x − 2) 3 ] ⇔ 2 3 ⇔ 2.log 2 ( x − 2).log 2 ( x − 2) = 2 + 3log 2 ( x − 2) Gäi t = log2(x - 2) ta cã ph-¬ng tr×nh 2t2 - 3t – 2 = 0  x−2= 4  x=6  t=2  log 2 ( x − 2) = 2   ⇔ ⇔ ⇔ 1 ⇔ 1+ 2 2 t = − 1 log 2 ( x − 2) = − 1 x−2 = x=     2 2 2 2    x=6 So s¸nh víi ®iÒu kiÖn, ph-¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lµ  1 + 2 2 . x=  2 b) §iÒu kiÖn: 0 < x − 2 ≠ 1 ⇔ 2 < x ≠ 3 Víi ®iÒu kiÖn trªn, ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi log 2 [( x − 2) log 2 4( x − 2 ) ] = log 2 [2α .( x − 2) 3 ] ⇔ 2.log 2 ( x − 2).log 2 ( x − 2) = α + 3log 2 ( x − 2) Gäi t = log2(x - 2) ta cã ph-¬ng tr×nh 2t2 - 3t – α = 0 §Ó ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tho¶ m·n 5 5 1 1 ≤ x ≤ 4 ⇔ − 2 ≤ x − 2 ≤ 4 − 2 ⇔ < x − 2 < 2 ⇔ log 2 < log 2 ( x − 2) < log 2 2 . 2 2 2 2 ⇔ −1 < t = log 2 ( x − 2) < 1 . Yªu cÇu bµi to¸n t-¬ng ®-¬ng víi: ph-¬ng tr×nh 2t2 - 3t – α = 0 cã 2 nghiÖm    9 + 8α > 0  9  tho¶ m·n ⇔ −1 < t1 ; t2 < 1 ⇔ 2.(2.1 − 3( −1) − α ) > 0 ⇔ − < α < −1 8  2.(2.1 − 3(1) − α ) > 0  3   −1 < 4 < 1 9 VËy gi¸ trÞ cÇn t×m lµ: − < α < −1 . 8  e x − e y = (ln y − ln x)( xy + 1) (1) 2 2 (2) x + y = 1 Bµi 2 Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh  25 H-íng dÉn. §iÒu kiÖn: x > 0 vµ y > 0. Tõ ®iÒu kiÖn suy ra x.y > 0, tõ ®ã (1+ xy) > 0. Ta biÕt r»ng y = ex vµ y = lnx lµ çc hµm sè ®ång biÕn, v× cã c¬ sè lín h¬n 1. Cho nªn:  ex > ey  ex − ey > 0  ex − e y > 0 ⇒ ⇒ ln x > ln y ln y − ln x < 0 (ln y − ln x )(1 + xy) < 0 - Khi x> y > 0 th×  Chøng tá çc gi¸ trÞ cña x vµ y tho¶ m·n x> y > 0 kh«ng lµ nghiÖm ph-¬ng tr×nh (1). T-¬ng tù chøng minh ®-îc çc gi¸ trÞ cña x vµ y tho¶ m·n y > x > 0 còng kh«ng lµ nghiÖm ph-¬ng tr×nh (1).  ex = ey  ex − e y = 0  ex − e y = 0 ⇒ ⇒ ln x = ln y ln y − ln x = 0 (ln y − ln x)(1 + xy ) = 0 - Khi x = y > 0 th×  Chøng tá çc gi¸ trÞ cña x vµ y tho¶ m·n x = y > 0 lµ nghiÖm ph-¬ng tr×nh (1).  x = y > 0 (1) 2 ⇔ x= y= 2 2 2  x + y = 1(2) Tõ ®ã, hÖ ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi  VËy hÖ ph-¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x = y = B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ 2 . 2 gi¶i ®-îc hÖ ph-¬ng tr×nh: a x − a y = (log b y − log b x)( xy + α 2 ) (1)  n n (2)  x +y =β Trong ®ã a vµ b lµ hai sè cïng lín h¬n 1 (hoÆc cïng nhá h¬n 1) cßn α , β lµ hai sè thùc bÊt k×, n lµ mét sè tù nhiªn. Bµi 3 Gi¶i ph-¬ng tr×nh log 7 x = log3 (2 + x ) . H-íng dÉn. §iÒu kiÖn: x > 0. Víi ®iÒu kiÖn ®ã, ta biÕn ®æi  x = 7 2t  x = 7 2t  log 7 x = 2t ⇔ ⇔ log 7 x = log3 (2 + x ) = 2t ⇔   t t 2t 2 + 7 = 9 log3 (2 + x ) = 2t  2 + x = 3 t t 1 7 XÐt ph-¬ng tr×nh 2 + 7 t = 9t ⇔ 2   +   = 1 (*) 9 9 t t 1 7 Gäi f (t ) = 2   +   − 1 , th× f(t) x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña t, ph-¬ng tr×nh (*) 9 9 t-¬ng ®-¬ng víi f(t) = 0. t t 1 1 7 7 Ta cã f '(t ) = 2   .ln +   .ln < 0 , nªn hµm sè y = f(t) nghÞch biÕn trªn tËp 9 9 9 9 x¸c ®Þnh. 26 DÔ kiÓm tra ®-îc f(1) = 0 , do ®ã f(t) = 0 ⇔ f(t) = f(1) ⇔ t = 1. Tõ ®ã x = 7 2t = 7 2 = 49 . So s¸nh víi ®iÒu kiÖn, ph-¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x = 49. Bµi 4. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 4 x + (2 x − 17).2x + ( x 2 − 17 x + 66) = 0 . H-íng dÉn. Ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi 4 x + [( x − 6) + ( x − 11)].2 x + ( x − 6)( x − 11) = 0 ⇔ ⇔ 4 x + ( x − 6).2 x + ( x − 11).2 x + ( x − 6)( x − 11) = 0 ⇔ [4 x + ( x − 11).2 x ] + [( x − 6).2 x + ( x − 6)( x − 11)] = 0 ⇔ 2 x [2 x + ( x − 11)] + ( x − 6)[2 x + ( x − 11)] = 0 ⇔ [2 x + ( x − 11)][2 x + ( x − 6)] = 0  2 x + ( x − 11) = 0(*) ⇔ x  2 + ( x − 6) = 0(**) Víi ph-¬ng tr×nh (*) b»ng çch xÐt f(x) = 2x + x – 11, lu«n ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh, ta t×m ®-îc nghiÖm duy nhÊt cña ph-¬ng tr×nh f(x) = 0 lµ x = 3. Víi ph-¬ng tr×nh (**) b»ng çch xÐt g(x) = 2x + x – 6 , lu«n ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh, ta t×m ®-îc nghiÖm duy nhÊt cña ph-¬ng tr×nh g(x) = 0 lµ x = 2. VËy ph-¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm lµ x = 2 hoÆc x = 3. Chó ý: B¹n cã thÓ gi¶i ph-¬ng tr×nh ®· cho theo çch sau: Gäi t = 2x ta cã ph-¬ng tr×nh t 2 + (2 x − 17).t + ( x 2 − 17 x + 66) = 0 . Gi¶i ph-¬ng tr×nh nµy víi biÕn sè t (b»ng çch th«ng th-êng), t×m ®-îc çc nghiÖm t = 11- x vµ t = 6 - x.  2 x + ( x − 11) = 0(*) trong ®ã mçi ph-¬ng tr×nh cña Khi ®ã cã hÖ ph-¬ng tr×nh  x  2 + ( x − 6) = 0(**) hÖ b¹n ®· biÕt çch gi¶i nh- ®· nªu. Bµi 5. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 5 H-íng dÉn. Ta cã 5 x2 − 2 x + 2 2 − 2 x +1) +1 + 4x = 5( x −1) 2 − 2 x +3 = 4( x 2 − 2 x +1) + 2 = 4( x −1) 2 −2 x+ 4 = 3( x 2 − 2 x +1) +3 = 3( x −1) x2 − 2 x + 2 + 4x 4x 3x Nªn 5 = 5( x x 2 −2 x + 2 2 − 2 x +3 + 3x 2 2 2 +1 − 2 x +3 + 3x ≥ 51 = 5 2 +2 ≥ 42 = 16 2 +3 ≥ 33 = 27 −2 x+4 ≥ 48 27 2 −2 x+ 4 = 48 .  5 x −2 x + 2 = 5  2 = 48 ⇔  4 x − 2 x +3 = 16 ⇔ x = 1  x 2 −2 x + 4 = 27 3 2 x Do ®ã 5 2 −2 x+2 + 4x 2 −2 x +3 + 3x 2 −2 x+4 VËy ph-¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x = 1. 1 Bµi 6. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh log 1 H-íng dÉn. Thùc hiÖn ®æi c¬ > 2 x − 3x + 1 2 3 3 sè, ®Ó 1 (1). log 1 ( x + 1) biÕn ®æi (1) vÒ d¹ng: 1 1 1 1 (2) > ⇔ > log 3 ( x + 1) log3 2 x 2 − 3 x + 1 2 x 2 − 3 x + 1 − log3 ( x + 1) − log3 Ta cã: x + 1 = 0 khi x = - 1 2x2 - 3x + 1 = 0 khi x = 1 hoÆc x = 1 . 2 log 1 ( x + 1) = 0 khi x + 1 = 1 hay x = 0 3 log 1 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 khi 2x2 - 3x + 1 = 1 hay x = 0 hoÆc x = 3 LËp b¶ng xÐt dÊu: x - ∞ x+1 2 x − 3x + 1 log3 ( x + 1) 2 log3 2 x 2 − 3x + 1 -1 + + 0 1 2 0 + + + + - 0 + 0 + - C¨n cø b¶ng trªn th× çc gi¸ trÞ x ≤ - 1, x = 0, 0 3 2 1 + + - 0 3 2 +∞ + + + + + - + + 0 1 3 ≤ x ≤ 1 hoÆc x = 2 2 bÞ lo¹i. *) Khi – 1 < x < 0 th× log3 ( x + 1) < 0 cßn log 3 2 x 2 − 3 x + 1 > 0 kh«ng tho¶ m·n (2). Do dã – 1 < x < 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (1). 1 3 hoÆc 1 < x < th× log3 ( x + 1) > 0 cßn log3 2 x 2 − 3x + 1 < 0 2 2 1 3 lu«n tho¶ m·n (2). Do dã 0 < x < hoÆc 1 < x < lµ nghiÖm cña (1). 2 2 3 *) Khi < x th× log3 ( x + 1) > 0 vµ log 3 2 x 2 − 3 x + 1 > 0, nªn: 2 *) Khi 0 < x < 28 (2) ⇔ log3 2 x 2 − 3x + 1 > log3 ( x + 1) > 0 ⇔ 2 x 2 − 3x + 1 > x + 1 > 0  x > 5   x 5. ⇔ 2x - 3x + 1 > x + 2x + 1 ⇔ x - 5x > 0 ⇔   3   x > 2 1 3 Tõ ®ã, bÊt ph-¬ng tr×nh ®· cho cã tËp nghiÖm lµ: (0 ; ), (1 ; ), (5 ; +∞ ). 2 2 Chó ý. B»ng çch t-¬ng tù nh- trªn ta cã thÓ gi¶i ®-îc bÊt ph-¬ng tr×nh d¹ng : 1 logα ax 2 + bx + c > 1 , am ≠ 0 logα ( mx + n) Bµi 7. Gi¶i ph-¬ng tr×nh 2 log3 tgx = log 2 (sin x) (1). H-íng dÉn.  sinx > 0 (*). tanx > 0 §iÒu kiÖn:  2 log3 tan x = t  log 2 (sin x) = t Víi ®iÒu kiÖn trªn th× (1) ⇔ 2 log3 tan x = log 2 (sin x) = t ⇔   1 t  tan 2 x = 3t 1 + tan 2 x = 1 + 3t  2 = 1+ 3 ⇔ ⇔ ⇔  cos x t 2 t  sin x = 2  sin x = 4  sin 2 x = 4t 1 1  2  2 2 t cos x = sin x + cos x = 4 + t ⇔ 1+ 3 ⇔  1 + 3t 2 t sin x = 2t  sin x = 4    4 t 1  t t t t t t t t   1 4 = + 1 3 (4 12 ) 1 3 4 12 + = + + = +  t = −1  1 =   + 4 t ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 1+ 3     3 t t t sin x = 2 sin x = 2   sin x = 2  sin x = 2t  sin x = 2t  1  sin x = 2−1 sin x =  2   ⇔  sin x > 0 ⇔  sin x > 0  tanx > 0    tanx > 0  π   x = 6 + k 2π  π   x = π + k 2π ⇔  ⇔ x = + k 2π , k ∈ Z . 6 6   sin x > 0  tanx > 0  Bµi 8. Gi¶i ph-¬ng tr×nh log 5 log15 ( log 25 x )  = log 25 log15 ( log 5 x )  . H-íng dÉn. 29 x>0   x>0  log x > 0  x >1  x >1 5    §iÒu kiÖn:  log 25 x > 0 ⇔  x > 1 ⇔  x > 5 ⇔ x > 25 (*) log (log x ) > 0 log x > 1  x > 25 5   15  5 log15 (log 25 x) > 0 log 25 x > 1 Víi ®iÒu kiÖn (*), ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi: log 5 log15 ( log 25 x ) = 2 1 log 5 log15 ( log 5 x )  ⇔ log15 ( log 25 x )  = log15 ( log 5 x )  ⇔ 2 ⇔ log15 ( log 25 x )  =  log15 ( log5 25.log 25 x )  ⇔ log15 ( log 25 x )  = log15 ( 2.log 25 x )  ⇔  t 2 = t + log15 2 2 ⇔  log15 ( log 25 x ) = [log15 2 + log15 (log 25 x )] ⇔  t = log15 (log 25 x ) > 0 2 2  1 + 1 + 4 log15 2  1 + log15 240 1 + log15 240 t =  t= ⇔ ⇔ ⇔ log15 (log 25 x) = 2 2 2 t = log (log x ) > 0 t = log (log x ) > 0   15 25 15 25 1+ log15 240 ⇔ log 25 x = 15 ⇔ x = 25 1+ log15 240 2 15 2 . Chó ý. B»ng çch t-¬ng tù nh- trªn ta cã thÓ gi¶i ®-îc ph-¬ng tr×nh d¹ng : ( ) log a log b log a 2 x  = log a 2 log b ( log a x )  Bµi 9. TÝnh çc giíi h¹n sau.  5x − 2  a) lim   x →∞ 5 x + 3   x  9 −1  b) lim   x→0  x  c) lim x →0 2 x −7 ln (1 + 3 x 2 ) 1 − cos 7 x H-íng dÉn. 5x + 3 5 x − 2 (5 x + 3) − 5 5 1 1 , suy = = 1− = 1+ = 1 + víi t = − 5x + 3 5 5x + 3 5x + 3 5x + 3 t −5 3 41 ra x = - t − suy ra 2x – 7 = - 2t − vµ khi x → ∞ th× t → ∞ . 5 5 a) Ta cã Tõ ®ã  5x − 2     5x + 3  2 x −7  1 = 1 +   t − (2 t + 41 ) 5  1 = 1 +   t −2 t 30  1 . 1 +   t − 41 5 −2 41  1 t   1  − 5 =  1 +   .  1 +   t    t  2 x −7  5x − 2  nªn lim   = x →∞ 5 x + 3   41 41 2 − t t −2 −  −    1   1 5    1   1 5 lim  1 +   . 1 +   = lim 1 +   .lim 1 +  = e−2 .1. t →∞ t →∞ t →∞  t   t    t     t   b) Ta a loga N = N ⇒ 9 x = eln(9 biÕt x ) , do ®ã  eln(9 ) − 1   eln(9 ) − 1   9x − 1  lim   ln 9 = lim   ln 9 = ln 9 = 2 ln 3  = lim  x x →0 ln 9 x → 0  ln 9  x  x →0  x.ln 9    x x sin x ln (1 + x ) = 1 suy ra = 1 vµ lim x→0 x →0 x x 7x 7x   2sin .sin  − x 1 cos 7   2 2  lim  = lim    2 2 x →0 x x   x →0     c) Ta biÕt lim 2 7x 7x 7x     sin  sin 2 .sin 2 49  49  2  = 49 . = 2 lim  .  = 2.  lim 0 x→0 x → 7x 7x 7x  4  4  2   . 2 2 2     nªn ln (1 + 3x 2 )  ln (1 + 3x 2 ) 3x 2  = lim = lim  . x →0 1 − cos 3 x x →0 3x2 1 − cos 3x    ln (1 + x )   2 lim  ln (1 + 3 x )  1 3 2 x→0 x2 = 3lim  . = 3 = =  2 x →0 1 − cos 3 x 1 − cos 3 x 9 3 . 3 x   lim x→0 x2 x2 2   2 31 Ch-¬ng iii. Nguyªn hµm. TÝch ph©n. øng dông. 1. KiÕn thøc c¬ b¶n 1.1 Nguyªn hµm. a) §Þnh nghÜa: Cho hµm sè y = F(x) vµ y = f(x) x¸c ®Þnh vµ cã ®¹o hµm trªn tËp D. Hµm sè F(x) ®-îc gäi lµ nguyªn hµm cña y = f(x) trªn tËp D nÕu F’(x) = f(x). Tõ ®Þnh nghÜa suy ra • NÕu F(x) lµ nguyªn hµm cña y = f(x) th× y = F(x) + C (trong ®ã C lµ mét h»ng sè) còng lµ nguyªn hµm cña hµm sè ®ã vµ ®-îc gäi lµ hä nguyªn hµm cña hµm sè y = f(x). Ng-êi ta kÝ hiÖu hä nguyªn hµm cña hµm sè y = f(x) lµ • ∫ f ( x)dx = F ( x) + C Ta cã ( ∫ f ( x)dx ) ' = f ( x) vµ ∫ f '( x)dx = f ( x) + C • Nguyªn hµm cña mét hµm sè lµ mét hä çc hµm sè, kh«ng lµ mét sè. • Dùa vµo ®Þnh nghÜa ta cã mét ph-¬ng ph¸p t×m nguyªn hµm, chñ yÕu lµ dùa vµo b¶ng nguyªn hµm c¬ b¶n. Trong mét sè bµi tËp, t×m nguyªn hµm lµ t×m çch biÕn ®æi nguyªn hµm ®· cho vÒ mét trong çc d¹ng nguyªn hµm c¬ b¶n b) TÝnh chÊt - C«ng thøc tÝnh nguyªn hµm +/ ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx +/ ∫ k. f ( x)dx = k .∫ f ( x)dx +/ ∫ dx = x + C ; ∫ du = u + C ; ∫ dt = t + C +/ ∫ f ( x)dx = ∫ f (t ) dt = ∫ f (u )du +/ 1 ∫ f (ax + b)dx = a ∫ f (ax + b)d (ax + b) +/ ∫ x n dx = 1 n +1 x + C ( n ≠ −1) n +1 n ∈ℜ dx = ln x + C x 1 n +1 +/ ∫ u n du = u + C ( n ≠ −1), u = u ( x ) n +1 du +/ ∫ = ln u + C , u = u ( x). u +/ ∫ Dùa vµo çc tÝnh chÊt hoÆc çc c«ng thøc cã thÓ biÕn ®æi bµi to¸n ®· cho vÒ çc nguyªn hµm c¬ b¶n, tõ ®ã t×m ®-îc kÕt qu¶. c) Ph-¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm Ph-¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa. Ph-¬ng ph¸p 2: Ph-¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh. Ph-¬ng ph¸p 3: T×m nguyªn hµm dùa theo c«ng thøc: ∫ udv = uv − ∫ vdu Ph-¬ng ph¸p 4: §æi biÕn sè. Ph-¬ng ph¸p 5: Truy håi. 1 1.2 TÝch ph©n a) §Þnh nghÜa: Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn ®o¹n [a; b], nÕu F(x) b lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn ®o¹n [a; b] th× I = ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a ). a Chó ý: §Ó tÝnh tÝch ph©n I theo ®Þnh nghÜa, ta cÇn tiÕn hµnh 2 b-íc: B-íc 1: T×m nguyªn hµm cña y = f(x) lµ F(x) B-íc 2: ThÕ cËn ®Ó cã I = F(b) – F(a). b) TÝnh chÊt - C«ng thøc tÝnh tÝch ph©n Theo ®Þnh nghÜa, tÝch ph©n tõ a ®Õn b cña hµm y = f(x) ®-îc tÝnh theo c«ng thøc b ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a ) trong ®ã F(x) lµ mét nguyªn hµm cña f(x). Do ®ã a çc phÐp to¸n vµ c«ng thøc vÒ nguyªn hµm cßn dïng ®-îc khi thùc hiÖn phÐp to¸n tÝch ph©n. Ngoµi ra, ta cÇn nhí thªm çc c«ng thøc kh¸c sau ®©y: b b b a a +/ ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a b b +/ ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x) dx a b +/ ∫ a b +/ b f ( x)dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x)dx, (a < c < b) a c a ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx a a +/ a c b ∫ f ( x)dx = 0 a c) Ph-¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n Ph-¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa. Ph-¬ng ph¸p 2: Ph-¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh. Ph-¬ng ph¸p 3: T×m nguyªn hµm dùa theo c«ng thøc: ∫ udv = uv − ∫ vdu Ph-¬ng ph¸p 4: §æi biÕn sè. Ph-¬ng ph¸p 5: Truy håi. 1.3 øng dông a) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng §Ó tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng ta cÇn x¸c ®Þnh xem víi miÒn ®ã cã c«ng thøc tÝnh hay kh«ng. MiÒn cã c«ng thøc tÝnh ta gäi ®ã lµ miÒn c¬ b¶n cßn miÒn kh«ng cã c«ng thøc tÝnh ta gäi ®ã lµ miÒn kh«ng c¬ b¶n. 2 MiÒn c¬ b¶n lµ miÒn thuéc mét trong çc d¹ng sau - H×nh thang cong (nh- h×nh bªn), lµ h×nh ®-îc giíi h¹n bëi ®å thÞ cña çc ®-êng: y  x=a  x =b    y=0  y = f ( x) y = f(x) NÕu f(x) > 0 trªn ®o¹n [a; b] th× b S= ∫ f ( x)dx . a O x b a NÕu f(x) < 0 trªn ®o¹n [a; b] th× b S= ∫ a b f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx . a - Tam gi¸c cong (nh- h×nh bªn), lµ h×nh ®-îc giíi h¹n bëi ®å thÞ cña çc ®-êng: y x=a   x=b  y=0   y = f ( x)   f ( a) = 0 hoac f (b) = 0 y = f(x) NÕu f(x) > 0 trªn ®o¹n [a; b] th× b S= ∫ f ( x)dx . a a O x b NÕu f(x) < 0 trªn ®o¹n [a; b] th× b S= ∫ a b f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx . a - H×nh thang cã hai c¹nh cong (nh- h×nh d-íi ®©y), lµ h×nh ®-îc giíi h¹n bëi ®å thÞ cña çc ®-êng: y  x=a  x =b    y = g ( x)  y = f ( x) y = f(x) NÕu f(x) > g(x) trªn ®o¹n [a; b] th× b S = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx . a NÕu f(x) < g(x) trªn ®o¹n [a; b] th× O a b y = g(x) 3 x b S = ∫ [ g ( x) − f ( x)]dx . a b B¹n cã thÓ viÕt c«ng thøc tÝnh S = ∫ g ( x) − f ( x) dx a Sau ®ã chän gi¸ trÞ x0 bÊt k× thuéc ®o¹n [a; b] ®Ó xÐt dÊu cña [g(x) – f(x)] . b NÕu [g(x) – f(x)] > 0 th× S = ∫ [ g ( x) − f ( x)]dx . a b NÕu [g(x) – f(x)] < 0 th× S = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx . a - MiÒn giíi h¹n bëi hai ®-êng cong (nh- h×nh d-íi ®©y), lµ h×nh ®-îc giíi h¹n bëi ®å thÞ cña hai ®-êng: y  y = f ( x)   y = g ( x) §Ó tÝnh diÖn tÝch cña miÒn giíi h¹n bëi hai ®-êng giao nhau nhh×nh bªn, tr-íc hÕt b¹n cÇn t×m hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®-êng ®· cho, tøc lµ gi¶i ph-¬ng tr×nh f(x) = g(x) ®Ó t×m çc nghiÖm x1; x2; x3; .... Khi ®ã: y = f(x) y = g(x) x1 O x2 x3 x x2 S = ∫ g ( x) − f ( x) dx + x1 x3 ∫ g ( x) − f ( x) dx +... + x2 xn ∫ g ( x) − f ( x) dx xn−1 Víi mçi tÝch ph©n cã trong tæng S nãi trªn, b¹n cÇn chän gi¸ trÞ x0 bÊt k× thuéc ®o¹n [xi; xi+1] ®Ó xÐt dÊu cña [g(x) – f(x)] , tõ ®ã bá ®-îc dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ®Ó tÝnh tÝch ph©n. y Çc miÒn kh«ng c¬ b¶n, tøc lµ miÒn kh«ng cã c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña nã. Do ®ã, b¹n kh«ng thÓ ¸p dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch víi miÒn kh«ng c¬ b¶n. §Ó tÝnh diÖn tÝch miÒn kh«ng c¬ b¶n, ta cÇn lµm theo mét trong çc çch sau ®©y: - Çch 1: 4 y = h(x) y = f(x) y = g (x) O a b c x T×m giao ®iÓm cña çc ®-êng cong ®· cho (tøc lµ gi¶i ph-¬ng tr×nh ®Ó t×m ®-îc çc nghiÖm x1 = a; x2 = b ;... ). Sau ®ã tõ çc giao ®iÓm, kÎ çc ®-êng th¼ng song song víi trôc Oy (nh- h×nh trªn), ®Ó chia miÒn ®· cho thµnh çc miÒn c¬ b¶n ®· nãi trªn. - Çch 2: Ta cã thÓ sö dông hiÖu diÖn tÝch cña hai miÒn c¬ b¶n ®Ó tÝnh diÖn tÝch cña miÒn ®ang xÐt. Ch¼ng h¹n (nh- h×nh bªn) ®Ó tÝnh diÖn tÝch miÒn giíi h¹n bëi ®-êng cong OKIO lµ S, ta cã thÓ tÝnh diÖn tÝch cña miÒn OKJIO lµ S1 (lµ miÒn c¬ b¶n, nã lµ tam gi¸c cong) vµ tÝnh diÖn tÝch cña miÒn IKJI lµ S2 (lµ miÒn c¬ b¶n, nã lµ tam gi¸c cong). Khi ®ã diÖn tÝch S = S1 – S 2. y K O I J x Tõ ®ã, ®Ó tÝnh diÖn tÝch miÒn ph¼ng, tr-íc hÕt ta dùa vµo ®å thÞ cña çc hµm sè ®· cho ®Ó vÏ miÒn (nÕu vÏ ®-îc) vµ xÐt xem miÒn ®· cho thuéc lo¹i nµo. NÕu lµ miÒn c¬ b¶n, b¹n cã thÓ ¸p dông ngay c«ng thøc ®Ó tÝnh diÖn tÝch. NÕu kh«ng lµ miÒn c¬ b¶n, b¹n cÇn biÕn ®æi nã thµnh çc miÒn c¬ b¶n ®Ó tÝnh. b) øng dông tÝch ph©n ®Ó tÝnh thÓ tÝch cña çc vËt thÓ - Gi¶ sö vËt thÓ T ®-îc giíi h¹n bëi hai mÆt ph¼ng song song ( α ) vµ ( β ). Ta chän trôc Ox sao cho nã vu«ng gãc víi çc mÆt ph¼ng ( α ) vµ ( β ). Gäi çc giao ®iÓm cña Ox víi ( α ) lµ a , víi ( β ) lµ b (a < b). Gi¶ sö mÆt ph¼ng ( γ ) vu«ng gãc víi trôc Ox vµ c¾t Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x ( a ≤ x ≤ b ) c¾t vËt thÓ theo mét thiÕt diÖn cã diÖn tÝch S(x). Gi¶ thiÕt r»ng S(x) lµ mét hµm sè liªn tôc cña x. ThÓ tÝch V cña vËt thÓ T ®-îc tÝnh theo c«ng thøcsau: b V = ∫ S ( x) dx a - ThÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay: VËt thÓ T do h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi çc ®-êng th¼ng y = f(x), x = a, x = b, y = 0, quay xung quanh trôc hoµnh Ox t¹o thµnh. §ã lµ mét vËt thÓ trßn xoay. Ta h·y t×m thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay T nµy. 5 ThiÕt diÖn cña vËt thÓ T, víi mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi Ox t¹i ®iÓm x, lµ mét h×nh trßn b¸n kÝnh y (y = f(x)) nªn diÖn tÝch thiÕt diÖn S(x) = π y 2 . VËy: b V = π ∫ y 2 dx . a NÕu h×nh giíi h¹n bëi çc ®-êng x = g(y) (trong ®ã g(y) lµ mét hµm sè liªn tôc trªn ®o¹n [a ; b]), y = a, y = b vµ x = 0 quay xung quanh trôc Oy th× thÓ tÝch V b cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra ®-îc tÝnh theo c«ng thøc: V = π ∫ x 2 dy a 2. C©u hái vµ bµi tËp vËn dông 2.1 Nguyªn hµm Bµi 1: T×m çc nguyªn hµm sau a) ∫ x5 dx . b) dx ∫x 7 c) ∫ x 3 x 2 dx d) ∫x dx 7 x5 H-íng dÉn. Ta cã: x6 a) ∫ x dx = + C . 6 dx x −7 +1 x −6 −1 −7 +C = +C = 6 +C b) ∫ 7 = ∫ x dx = x −7 + 1 −6 6x 5 1+ 2 3 5 3 c) ∫ x 3 x 2 dx = ∫ x dx = ∫ x dx = d) ∫x dx 7 x5 =∫ dx 1+ x 5 7 =∫x − 12 7 5 +1 3 8 3 x 3x +C = +C 5 8 +1 3 − 12 +1 − Bµi 2. T×m çc nguyªn hµm sau a) ∫ e2 x dx b) dx ∫e 5 x 7 x 7 −7 dx = +C = +C = 5 +C 12 5 − +1 − 5x7 7 7 x 6 c) ∫ 3x dx dx ∫7 e) ∫ e dx, k ≠ 0 f) ∫ a dx , k ≠ 0 . d) x kx kx H-íng dÉn. Ta cã: a) ∫ e2 x dx = b) dx ∫e x 1 2x 1 e d (2 x) = e2 x + C . ∫ 2 2 = ∫ e − x dx = − ∫ e − x d ( − x ) = −e − x + C 1 1 3x x x ln 3.3 dx = d (3 ) = +C ln 3 ∫ ln 3 ∫ ln 3 dx 1 1 7− x −x −x ln 7.7 d ( − x ) = − d (7 ) = − +C d) ∫ x = ∫ 7− x dx = − 7 ln 7 ∫ ln 7 ∫ ln 7 1 1 e) ∫ ekx dx = ∫ e kx d ( kx) = ekx + C k k 1 1 1 ln a.a kx d ( kx) = .a kx + C d (a kx ) = f) ∫ a kx dx = ∫ ∫ k.ln a k .ln a k .ln a c) ∫ 3x dx = Bµi 3. T×m çc nguyªn hµm sau a) ∫ sin(2 x)dx b) ∫ cos(5x)dx c) ∫ sin(kx) dx, k ≠ 0 . d) ∫ cos(kx) dx , k ≠ 0 . H-íng dÉn. 1 1 sin(2 x) d (2 x) = − cos 2 x + C ∫ 2 2 1 1 b) ∫ cos(5 x) dx = ∫ cos(5 x)d (5 x) = sin 5 x + C 5 5 1 1 c) ∫ sin( kx)dx = ∫ sin(kx) d ( kx) = − cos kx + C k k 1 1 d) ∫ cos(kx) dx = ∫ cos(kx) d ( kx) = sin kx + C k k a) ∫ sin(2 x) dx = Bµi 4. T×m çc nguyªn hµm sau a) ∫ sin 1 dx (3x) 2 7 b) 1 ∫ cos (7 x) dx 2 1 dx, k ≠ 0 ( kx) 1 dx, k ≠ 0 d) ∫ 2 cos (kx) c) ∫ sin 2 H-íng dÉn. 1 1 d (3x) 1 dx = ∫ 2 = − cot(3 x) + C (3x) 3 sin (3x) 3 1 1 d (7 x) 1 dx = ∫ = tan(7 x) + C b) ∫ 2 2 cos (7 x) 7 cos (7 x) 7 1 1 d ( kx) 1 dx = ∫ 2 = − cot( kx) + C c) ∫ 2 sin ( kx) k sin ( kx) 3 1 1 d ( kx) 1 dx = ∫ = tan(7 x) + C d) ∫ 2 k cos 2 ( kx) k cos ( kx) a) ∫ sin 2 Bµi 5. T×m çc nguyªn hµm sau dx a) ∫ x +1 b) ∫ 3x − 2 c) ∫ ax + b dx dx H-íng dÉn. d ( x + 1) = ln x + 1 + C x +1 dx 1 d (3 x − 2) 1 b) ∫ = ∫ = ln 3 x − 2 + C 3x − 2 3 3x − 2 3 dx 1 d (ax + b) 1 = ∫ = ln ax + b + C c) ∫ ax + b a ax + b a a) dx ∫ x +1 = ∫ Bµi 6. T×m çc nguyªn hµm sau  x3 − 3x 2 + 5 x − 1   dx . x   a) ∫    1  1   1  b) ∫ 1 −  1 − 2  1 − 3  dx . x x x  H-íng dÉn. Ta cã :  x 3 − 3x 2 + 5 x − 1  1 x3 x2  2 dx = x − x + − dx = − + 5 x − ln x + C 3 5 3  ∫  x x  3 2   a) ∫  8  1  1  1  1 1 1  1 b) ∫ 1 −  1 − 2  1 − 3  dx = ∫ 1 − − 2 + 3  1 − 3  dx x  x   x  x  x   x x  1 1 1 1 1 1  = ∫  1 − − 2 + 3 + 4 + 5 − 6  dx x x x x   x x 1 1 1 1 1 1 = x − ln x − − 2 − 2 − 3 − 4 + 5 + C . x 2 x 2 x 3x 4 x 5 x Bµi 7: T×m çc nguyªn hµm sau a) ∫ ( x 2 − 3 x + 5) dx b) ∫ ( 2 + x ) dx ∫ (a x + a x 3 n c) n H-íng dÉn. Ta cã n −1 n −1 + ... + a1 x + a0 ) dx a) ∫ ( x 2 − 3 x + 5) dx = ∫ x 2 dx − 3∫ xd x + 5∫ dx = b) Çch 1: Çch 2: c) ∫ (a x ∫ (2 + x) 3 ∫ ( 2 + x) n n 3 x3 x2 − 3 + 5x + C 3 2 dx = ∫ (8 + 12 x + 6 x 2 + x3 ) dx = 8 x + 6 x 2 + 2 x3 + dx = ∫ ( 2 + x ) d (2 + x) = 3 x4 +C 4 (2 + x) 4 +C 4 + an−1 x n −1 + ... + a1 x + a0 ) dx = ∫ ∑ ai xi dx = ∑ ∫ ai xi dx = ∑ ai n n n i =1 i =1 i =1 xi +1 +C. i +1 Bµi 8: T×m çc nguyªn hµm sau a) ∫ (2 x − 5)5 dx . dx b) ∫ (4 x − 3) c) ∫ d) ∫ 3 7 (7 x − 2) 2 dx dx 7 (5x + 3)5 e) ∫ ( ax + b) n dx, n ≠ −1, a ≠ 0 H-íng dÉn. Ta cã: 1 1 (2 x − 5)6 (2 x − 5) 6 5 x − d x − = + C = +C . (2 5) (2 5) . 2∫ 2 6 12 dx 1 b) ∫ = ∫ (4 x − 3) −7 dx = ∫ (4 x − 3) −7 d (4 x − 7) 7 (4 x − 3) 4 a) ∫ (2 x − 5)5 dx = 9 1 (4 x − 3) −6 −1 . +C = +C . 4 −6 24(4 x − 3) 6 2 2 1 2 3 3 c) ∫ (7 x − 2) dx = ∫ (7 x − 2) dx = ∫ (7 x − 2) 3 d (7 x − 2) 7 = 1 (7 x − 2) = . 2 7 +1 3 dx d) ∫ 7 2 +1 3 (5 x + 3)5 +C = =∫ 5 3 3(7 x − 2) +C . 35 dx − 5 ( 5 x + 3) 7 5 − +1 5 = ∫ ( 5 x + 3) 7 dx = 5 1 − 7 d (5 x + 3) x 5 + 3 ( ) 5∫ 2 7 ( 5 x + 3) 7 1 ( 5 x + 3) 7 = . +C = +C . 5 5 10 − +1 7 1 1 ( ax + b) n +1 (ax + b) n +1 +C = +C e) ∫ ( ax + b) n dx = ∫ (ax + b )n d (ax + b ) = . a a n +1 a (n + 1) Bµi 9: T×m çc nguyªn hµm sau dx a) ∫ x+7 b) ∫ 2x + 9 dx x2 − 5x + 6 ∫ x − 2 dx x 2 dx d) ∫ 3 2x + 7 x2 + x − 6 dx e) ∫ 3 2 x + 3 x 2 − 12 x + 7 dx f) ∫ x ln x f '( x) dx g) ∫ f ( x) c) H-íng dÉn. Ta cã d ( x + 7) = ln x + 7 + C x+7 dx 1 d (2 x + 9) 1 = ∫ = ln 2 x + 9 + C b) ∫ 2x + 9 2 2x + 9 2 2 2 x − 2x + 6 ( x − 1) + 5 1 x2 c) ∫ dx = ∫ dx = ∫ ( x − 1 + 5 ) dx = − x + 5ln x − 1 + C x −1 x −1 x −1 2 a) dx ∫ x+7 = ∫ 10 x 2 dx 1 3x 2 dx 1 d ( x3 ) 1 d (2 x3 + 7) 1 3 = ∫ 2 x3 + 7 3 ∫ 2 x3 + 7 = 3 ∫ 2 x3 + 7 = 6 ∫ 2 x3 + 7 = 6 ln 2 x + 7 + C x2 + x − 2 1 6( x 2 + x − 2) dx = dx = e) ∫ 3 2 x + 3x 2 − 12 x + 7 6 ∫ 2 x3 + 3 x 2 − 12 x + 7 1 d (2 x 3 + 3 x 2 − 12 x + 7) 1 = ln 2 x3 + 3 x 2 − 12 x + 7 + C = ∫ 6 2 x3 + 3 x 2 − 12 x + 7 6 dx d (ln x) =∫ = ln ln x + C f) ∫ x ln x ln x d [ f ( x) ] f '( x) dx = ∫ = ln f ( x) + C g) ∫ f ( x) f ( x) d) Bµi 10 : T×m çc nguyªn hµm sau dx . −4 dx b) ∫ 2 . x − 4x + 3 dx c) ∫ 2 , a ≠ 0, ∆ = b 2 − 4ac > 0 . ax + bx + c a) ∫x 2 H-íng dÉn. Ta cã : a) ∫x = dx dx 1 1 1  1  dx dx  =∫ =∫  − −∫  dx =  ∫ = −4 ( x − 2)( x + 2) 4 x−2 x+2 4 x−2 x+2 2 1 1 x−2 +C ln x − 2 − ln x + 2 ) + C = ln ( 4 4 x+2 b) ∫x 2 1 1 1  1  dx dx dx dx  1 x − 3 =∫ =∫  − −∫ +C dx =  ∫  = ln − 4x + 3 ( x − 1)( x − 3) 2  x − 3 x −1  2  x − 3 x −1  2 x −1 c) NÕu ph-¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 vµ x2 th× ∫ ax = 2  1 dx dx 1 1  =∫ =∫ −  dx = + bx + c a ( x − x1 )( x − x2 ) a ( x2 − x1 )  x − x2 x − x2   dx x − x2 1 1 dx  −∫ ln +C. ∫ = a ( x2 − x1 )  x − x2 x − x1  a ( x2 − x1 ) x − x1 Bµi 11: T×m çc nguyªn hµm sau a) 2x − 3 dx 2 −4 ∫x 11 2x − 3 dx − 5x + 4 mx + n c) ∫ 2 dx, am ≠ 0, ∆ = b 2 − 4ac > 0 ax + bx + c b) ∫x 2 H-íng dÉn. a)  2  2x − 3 2( x − 2) + 1 1 + dx = ∫ dx = ∫  dx 2 −4 ( x − 2)( x + 2)  ( x + 2) ( x − 2)( x + 2)  ∫x dx dx 1 x−2 +∫ = 2 ln x + 2 + ln +C ( x + 2) ( x − 2)( x + 2) 4 x+2  2  2x − 3 2( x − 1) − 1 1 b) ∫ 2 dx = ∫ dx = ∫  − dx x − 5x + 4 ( x − 1)( x − 4)  ( x − 4) ( x − 1)( x − 4)  = 2∫ = 2∫ dx dx 1 x−4 −∫ = 2 ln x − 4 − ln +C 3 x −1 x − 4 ( x − 1)( x − 4)   m( x − x1 ) + ( n − mx1 ) n − mx1 mx + n m + dx = ∫ dx = ∫   dx 2 + bx + c a ( x − x1 )( x − x2 )  a ( x − x2 ) a ( x − x1 )( x − x2 )  c) ∫ ax = m dx n − mx1 dx m n − mx1 x − x2 + = ln x − x2 + ln +C . ∫ ∫ a ( x − x2 ) a ( x − x1 )( x − x2 ) a a ( x2 − x1 ) x − x1 Bµi 12: T×m çc nguyªn hµm sau dx − 5x2 + 4 dx b) ∫ 4 x − 10 x 2 + 9 a) ∫x 4 H-íng dÉn. Ta cã dx dx 1  1 1  1  dx dx  =∫ 2 = ∫ 2 − 2 dx =  ∫ 2 −∫ 2 = 2 2 − 5x + 4 ( x − 1)( x − 4) 3  x − 4 x − 1  3 x −4 x −1   1  1 x − 2 1 x −1  1 dx dx ln = ∫ −∫ = − ln +C .  3  ( x − 2)( x + 2) ( x − 1)( x + 1)  3  4 x + 2 2 x + 1  dx dx 1  1 1  1  dx dx  =∫ 2 = ∫ 2 − 2 dx =  ∫ 2 −∫ 2  = b) ∫ 4 2 2 ( x − 1)( x − 9) 8  x − 9 x − 1  8 x −9 x − 10 x + 9 x −1   1  1 x − 3 1 x −1  1 dx dx = ∫ −∫ = ln − ln +C.  8  ( x − 3)( x + 3) ( x − 1)( x + 1)  8  6 x + 3 2 x + 1  a) ∫x 4 Bµi 13: T×m nguyªn hµm sau ∫ cos 3 x.sin 2 x.dx H-íng dÉn. 12 Ta cã F(x) = = 1 2 1 ∫ cos 3x.sin 2 x.dx = ∫ 2 (sin 5 x − sin x).dx ( ∫ sin 5 xdx −∫ sin xdx ) = 12  − 51 cos5 x + cosx  + C . B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ tÝnh ®-îc nguyªn hµm cã d¹ng sau: ∫ cos(mx).co s(nx).dx hoÆc ∫ cos(mx).sin(nx).dx hoÆc ∫ sin(mx).sin(nx).dx dx Bµi 14: T×m ∫ 2x + 3 − 2x − 7 H-íng dÉn. Ta cã F(x) = dx 2x + 3 + 2 x − 7 dx 2x + 3 + 2x − 7 . =∫ =∫ dx = (2 x + 3) − (2 x − 7) 2x + 3 − 2x − 7 2x + 3 + 2 x − 7 2x + 3 − 2 x − 7 1 1 1 1  = 2 x + 3dx + ∫ 2 x − 7 dx =  ∫ 2 x + 3d (2 x + 3) + ∫ 2 x − 7 d (2 x − 7)  ∫ 10 10  2 2  ∫ ( ) 1 1 3 3  +1 +1   2 2 2 2   1 1 (2 x + 3) 1 (2 x − 7) 1  (2 x + 3) (2 x − 7) =  . + + +C =  1 1 10  2 2 10  3 3 +1 +1   2 2    +C    B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ tÝnh ®-îc nguyªn hµm cã d¹ng sau: ∫ dx hoÆc ax + b + ax + c ∫ dx ax + b − ax + c Bµi 15: T×m nguyªn hµm sau ∫ ( x 2 − 3x + 2)e x dx H-íng dÉn. Gäi F(x) = ∫ ( x 2 − 3x + 2)e x dx = (ax2 + bx + c)ex + C Theo ®Þnh nghÜa F’(x) = f(x) nªn ta cã (x2 -3x + 2)e x = (ax2 + bx + c)e x + (2ax + b)ex ⇔ (x2 -3x + 2) = ax2 + (b + 2a)x + (c + b)  a =1  a =1   ⇔ b + 2a = −3 ⇔ b = −5  c+b = 2  c=7   VËy F(x) = ∫ ( x 2 − 3 x + 2)e x dx = (x2 - 5x + 7)ex + C Chó ý. - Çch nµy cã thÓ thùc hiÖn víi nh÷ng nguyªn hµm cã d¹ng: P(x) lµ mét ®a thøc cña x. 13 ∫ P ( x )e kx dx , trong ®ã - B¹n còng cã thÓ t×m nguyªn hµm d¹ng nµy dùa theo ph-¬ng ph¸p ∫ udv = uv − ∫ vdu . Bµi 16: T×m nguyªn hµm sau dx ∫ ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x − 5) . H-íng dÉn. 1 A B C D E = + + + + ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x − 5) ( x − 1) ( x − 2) ( x − 3) ( x − 4) ( x − 5) Ta cã Sau khi quy ®ång ta ®i ®Õn: ⇔ 1 = A( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x − 5) + B( x − 1)( x − 3)( x − 4)( x − 5) + C ( x − 1)( x − 2)( x − 4)( x − 5) + D ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 5) + E ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) 1 ; 24 1 1 = B(1)(- 1)(- 2)(- 3), tõ ®ã B = − ; 6 1 1 = C(2)(1)(- 1)(- 2), tõ ®ã C = ; 4 1 1 = D(3)(2)(1)(- 1), tõ ®ã D = − ; 6 1 1 = E(4)(3)(2)(1), tõ ®ã E = . 24 Cho x = 1 ta cã: 1 = A(- 1)(- 2)(- 3)(- 4), tõ ®ã A = Cho x = 2 ta cã: Cho x = 3 ta cã: Cho x = 4 ta cã: Cho x = 5 ta cã: Tõ ®ã −1 −1 1 1  1  dx 6 + 4 + 6 + 24 dx  24 + = ∫ ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x − 5) ∫  ( x −1) ( x − 2) ( x − 3) ( x − 4) ( x − 5)    1 dx 1 dx 1 dx 1 dx 1 dx − ∫ + ∫ − ∫ + ∫ = ∫ 24 ( x − 1) 6 ( x − 2) 4 ( x − 3) 6 ( x − 4) 24 ( x − 5) 1 1 1 1 1 = ln x − 1 − ln x − 2 + ln x − 3 − ln x − 4 + ln x − 5 + C 24 6 4 6 24 = B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ t×m ®-îc nguyªn hµm d¹ng: ∫ ax 2 dx , trong ®ã ax 2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm (lµ hai nghiÖm kÐp hoÆc + bx + c ph©n biÖt); hoÆc dx ∫ ( x − x )( x − x ).....( x − x ) ; 1 2 n 14 hoÆc P( x)dx , trong ®ã P(x) lµ mét ®a thøc cña biÕn x. 2 ).....( x − x n ) ∫ ( x − x )( x − x 1 Bµi 17: T×m nguyªn hµm sau a) ∫ x 2 .e x dx b) ∫ x.sin x.dx c) ∫ x3 .ln 2 ( x)dx H-íng dÉn.  du = 2 xdx ⇒ x  dv = e dx  v = e  u = x2 a) Ta chän  x Th× F(x) = ∫ x 2 .e x dx = x 2 e x − ∫ e x .2 x.dx = x 2 e x − 2∫ x.e x .dx  u=x du = dx ta cã ⇒ x x  dv = e dx  v = e TiÕp tôc chän  ( ) F(x) = ∫ x 2 .e x dx = x 2 e x − 2 ∫ x.e x .dx = x 2 e x − 2 x.e x − ∫ e x .dx = x 2 e x − 2 x.e x + 2e x + C B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ t×m ®-îc nguyªn hµm cã d¹ng: ∫ P( x).e kx dx ;  du = dx ⇒  dv = sin xdx v = − cos x Th× F(x) = ∫ x.sin x.dx = − x.cos x + ∫ co s x.dx = − x.cos x + sin x + C  b) Ta chän  u=x B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ t×m ®-îc nguyªn hµm cã d¹ng: ∫ x .co s x.dx ; hoÆc ∫ x .co s n n 2 x.dx ; hoÆc ∫ x .sin n 2 ∫ x .sin x.dx n hoÆc x.dx ; dx  du = 2 ln( x).  u = ln ( x)  x ⇒ c) Ta chän  3  dv = x dx  v = 1 x4  4 1 1 dx 1 1 Th× F(x) = ∫ x3 .ln 2 ( x)dx = x 4 .ln 2 ( x) − ∫ x 4 .2ln( x). = x 4 .ln 2 ( x) − ∫ x3 .ln( x) dx 4 4 x 4 2 dx  du =  = u x ln( )   x ta cã TiÕp tôc chän  ⇒ 3  dv = x dx v = 1 x 4  4 1 1 1 1 dx 1 1 1 F(x) = x 4 .ln 2 ( x) −  x 4 .ln( x) − ∫ x 4 .  = x 4 .ln 2 ( x) − x 4 .ln( x) + ∫ x3dx = 4 24 4 x  4 8 8 1 1 1 1 1  1 1 = x 4 .ln 2 ( x) − x 4 .ln( x) + . x 4 + C = x 4  ln 2 ( x) − ln( x) +  + C . 4 8 8 4 4  2 8 2 15 B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ t×m ®-îc nguyªn hµm cã d¹ng: ∫x n . ln k ( x)dx . Bµi 18 : T×m çc nguyªn hµm sau a) ∫ x( x dx 2008 + 7) ( x + 1)dx 2 b) ∫ ( x + 1) c) ∫ sin x 1000 dx H-íng dÉn. a) Gäi F(x) = ∫ x( x dx 2008 + 7) §Æt t = x2008 ta cã F(x) = =∫ x 2007 dx 1 2008 x 2007 dx = x 2008 ( x 2008 + 7) 2008 ∫ x 2008 ( x 2008 + 7) 1 dt 1 1 t 1 x 2008 = . ln + C = ln +C 2008 ∫ t (t + 7) 2008 7 t + 7 14056 x 2008 + 7 B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ t×m ®-îc çc nguyªn hµm d¹ng: b) Gäi F(x) = dx ∫ x(ax n +1 + b) . ( x 2 + 1) dx ∫ ( x + 1)1000 §Æt t = x + 1 ta cã dt = dx; x = t – 1, suy ra x2 + 1 = (t -1)2 + 1 = t2 - 2t + 2. Tõ ®ã F(x) = = (t 2 + 2t + 2)dx 1 1  1 = ∫  998 − 2. 999 + 2. 1000 ∫ t1000 t t t dt dt dt  dt = ∫ 998 − 2 ∫ 999 + 2∫ 1000 = t t t  −1 −1 −1 1 2 2 −2 +2 +C = − + − +C 997 t 997 998t 998 999 t 999 997( x + 1) 997 998( x + 1) 998 999( x + 1) 999 B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ t×m ®-îc çc nguyªn hµm d¹ng: P ( x)dx ∫ ( x + a) n . , trong ®ã P(x) lµ ®a thøc víi x vµ n lµ mét sè tù nhiªn kh¸ lín. sinxdx d (cosx ) = −∫ 2 x 1 − co s 2 x 1 cos x − 1 d (t ) d (t ) 1 t − 1 =∫ 2 = ln + C = ln +C . ®Æt t = cosx ta cã F(x) = − ∫ 2 1− t t −1 2 t + 1 2 cos x + 1 c) Gäi F(x) = dx ∫ sin x = ∫ sin NÕu biÕn ®æi tiÕp ta sÏ ®-îc x 2sin 2 1 cos x − 1 1 − cos x + 1 1 2 + C = ln tan x + C . F(x) = = ln + C = ln + C = ln 2 cos x + 1 2 cos x + 1 2 2co s 2 x 2 2 dx dx B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ t×m ®-îc çc nguyªn hµm nh-: ∫ , ∫ 3 , cos x sin x dx ∫ cos3 x ,... 16 Bµi 19: T×m a) ∫ tanx.dx . b) ∫ tan 2 x.dx . H-íng dÉn. sinx d (cosx) dx = − ∫ = − ln cos x + C . cos x cos x dx  1  b) Ta cã F(x) = ∫ tan 2 x.dx = ∫  2 − 1 dx = ∫ 2 − ∫ dx = tanx − x + C cos x  cos x  B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ tÝnh ®-îc nguyªn hµm nh-: ∫ cotx.dx ; ∫ cot 2 x.dx ; a) Ta cã F(x) = ∫ tanx.dx = ∫ ∫ tan x.dx hoÆc ∫ cot n Bµi 20: T×m n x.dx . dx ∫ cos 4 x H-íng dÉn. dx 1 dx tan3 x 2 = = + x d tanx = tanx + +C . 1 tan ( ) ( ) ∫ cos4 x ∫ cos2 x cos2 x ∫ 3 dx dx B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ tÝnh ®-îc nguyªn hµm nh-: ∫ 4 ; ∫ 2 k hoÆc s in x cos x dx ∫ s in 2k x . Ta cã F(x) = Bµi 21: T×m ∫ cos 3 x.dx H-íng dÉn. sin 3 x +C . 3 B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ tÝnh ®-îc nguyªn hµm nh-: ∫ s in3 x.dx ; ∫ cos2 k +1 x.dx Ta cã F(x) = ∫ cos3 x.dx = ∫ cos 2 x.cos x.dx = ∫ (1 − sin 2 x).d (sin x) = sin x − hoÆc ∫ s in 2 k +1 x.dx . 2.2 TÝch ph©n 1 Bµi 1 : TÝnh I = x 2 dx ∫0 8 x3 + 1 . H-íng dÉn. Gäi F(x) = x 2 dx 1 3 x 2 dx 1 d ( x3 ) 1 1 d (8 x3 + 1) 1 3 ∫ 8 x3 + 1 = 3 ∫ 8x3 + 1 = 3 ∫ 8 x3 + 1 = 3 . 8 ∫ 8 x3 + 1 = 24 ln 8 x + 1 . 17 1 Khi ®ã I = x 2 dx 1 1 ∫0 8 x3 + 1 = F(1) – F(0) = 24 (ln 9 − ln1) = 12 ln 3 ≈ 0,091551024 . 1 Bµi 2 : TÝnh I = 2 dx ∫ ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) . 0 H-íng dÉn. Gäi F(x) = Ta cã dx ∫ ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) . 1 A B C D E = + + + + ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) ( x + 1) ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) Sau khi quy ®ång ta ®i ®Õn: ⇔ 1 = A( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) + B( x + 1)( x + 3)( x + 4)( x + 5) + C ( x + 1)( x + 2)( x + 4)( x + 5) + D ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 5) + E ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) 1 ; 24 1 Cho x = -2 ta cã: 1 = B(- 1)(1)(2)(3), tõ ®ã B = − ; 6 1 Cho x = -3 ta cã: 1 = C(- 2)( -1)(1)(2), tõ ®ã C = ; 4 Cho x = -1 ta cã: 1 = A(1)(2)(3)(4), tõ ®ã A = 1 6 1 Cho x = - 5 ta cã: 1 = E(- 4)(- 3)(- 2)(- 1), tõ ®ã E = . 24 Cho x = - 4 ta cã: 1 = D(- 3)(- 2)( -1)(1), tõ ®ã D = − ; Tõ ®ã , F(x) = −1 −1 1 1  1  dx 6 + 4 + 6 + 24 dx  24 + = ∫ ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) ∫  ( x + 1) ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5)    1 dx 1 dx 1 dx 1 dx 1 dx − ∫ + ∫ − ∫ + ∫ ∫ 24 ( x + 1) 6 ( x + 2) 4 ( x + 3) 6 ( x + 4) 24 ( x + 5) 1 1 1 1 1 = ln x + 1 − ln x + 2 + ln x + 3 − ln x + 4 + ln x + 5 + C . 24 6 4 6 24 1 Suy ra I = F( ) – F(0) = 2  1 3 1 5 1 7 1 9 1 11  =  ln − ln + ln − ln + ln 2   24 2 6 2 4 2 6 2 24 = 18 1 1 1 1  1  −  ln 1 − ln 2 + ln 3 − ln 4 + ln 5  6 4 6 24  24  = 2,582209125 1 ∫ x .e dx 2 Bµi 3 : T×m I = x 0 H-íng dÉn.  u = x2 du = 2 xdx th× I = ⇒ x x  dv = e dx  v = e 1 1 1 0 0 0 2 x 2 x 1 x x ∫ x .e dx = x .e 0 − ∫ 2 x.e dx = e − 2∫ x.e dx . Ta chän   u=x du = dx ta cã ⇒ x x  dv = e dx  v = e TiÕp tôc chän  1  1  0  ( I = e − 2 ∫ x.e x dx = e − 2  x.e x 10 − ∫ e x dx  = e − 2 e − e x 0 1 Bµi 4: TÝnh I =  1 0 ) = −e + 2(e − 1) = e − 2 . dx ∫ 1+ x 2 0 H-íng dÉn. dt ; cos 2 t §Æt x = tant th× dx = 1 + x2 = 1 + tan2t = 1 ; cos 2 t khi x = 0 th× t = 0; π khi x = 1 th× t = . 4 π 1 Tõ ®ã, ta cã I = dx ∫0 1 + x 2 = 1 Bµi 5: TÝnh I = ∫ dt = t π 0 0 4 = π 4 . x +1 dx 6 +1 ∫x 0 4 4 H-íng dÉn. x4 + 1 x4 + 1 ( x 4 − x 2 + 1) + x 2 dx = dx = ∫0 x 6 + 1 ∫0 ( x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1) ∫0 ( x2 + 1)( x 4 − x2 + 1)dx 1 Ta cã I = 1 1 1 1 1 1 dx x2 dx + ( x 2 + 1) ∫0 ( x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1) 0 =∫ 1 1 1 1 dx x2 dx 1 3x2 dx 1 d ( x3 ) + dx = + dx = + 2 ∫0 ( x6 + 1) ∫0 ( x2 + 1) 3 ∫0 ( x6 + 1) ∫0 ( x2 + 1) 3 ∫0 ( x3 )2 + 1 0 ( x + 1) =∫ dx 1 1 d (t ) 4 1 d (t ) 4 π π + = = . = (Dùa theo kÕt qu¶ phÇn trªn). 2 2 2 ∫ ∫ ( x + 1) 3 0 (t ) + 1 3 0 (t ) + 1 3 4 3 0 1 =∫ 19 x2 − 1 ∫1 x 4 + 1dx 2 Bµi 6: TÝnh I = H-íng dÉn. 3 2 1− 1 2 2 d(x + 1 ) 2 x2 − 1 dt x dx = Ta cã I = ∫ 4 dx = ∫ 2 x dx = ∫ dx = 2 ∫ 2 1 2 1 ) −2 1 x +1 1 x + 1 (x + 2 t −2 x x 2 t− 2 2 2 t+ 2 = −0,62322524 . = 1 3 ln 1 ∫x Bµi 7: TÝnh I = 2 2 0 = 1 2 2 (2 ln(3 − 2 2 ) − ln(3 − 2 2)) = 1 2 2 ln(3 − 2 2) dx +1 6 H-íng dÉn. dx 1 2 dx 1 (1 + x 4 − x4 + 1)dx = I= ∫ 6 = ∫ 6 x + 1 2 0 x + 1 2 ∫0 x6 + 1 0 1 1 1 1 1  1  1 + x4 ( x 2 − 1)( x 2 + 1) =  ∫ 6 dx − ∫ 2 dx  = 4 2 2  0 x +1 ( x + 1)( x − x + 1)  0 1 1 1 1 + x4 1 ( x 2 − 1) 1 = ∫ 6 dx − ∫ 4 dx = ( I1 − I 2 ) 2 2 0 x +1 2 0 ( x − x + 1) 2 x4 + 1 ( x 2 − 1) π (theo vÝ dô 2 ë trªn) cßn I = = dx = 2 ∫0 x 6 + 1 ∫0 ( x 4 − x 2 + 1) . 3 1 Trong ®ã I1 = 1 §Ó tÝnh I2, tr-íc hÕt ta t×m nguyªn hµm F(x) = 1− 1 2 d (x + 1 ) ( x 2 − 1) 1 dt t− 3 x ∫ ( x 4 − x 2 + 1)dx = ∫ x 2 − 1 + 1 2 dx = ∫ ( x + 1 )2x− 3 = ∫ t 2 − 3 = 2 3 ln t + 3 + C x x 1 (x + ) − 3 x2 − x 3 + 1 1 x ln ln 2 = +C = +C 2 3 (x + 1) + 3 2 3 x + x 3 +1 x 1 Tõ ®ã I2 = F(1) – F(0) =  1 1  2− 3 − ln1  = ln(2 − 3) = −0,760345996  ln  2 3  2+ 3 3  1 π VËy I =  + 0, 760345996  . 2 3  π 2 Bµi 8 : TÝnh In = ∫ co s n xdx 0 H-íng dÉn. 20 π π 2 In = ∫ co s xdx = n 0 π 2 ∫ co s n −1 2 ∫ co s x.cos x.dx = 0 n −1 x.d (sin x) 0  u = cos n−1 x du = −( n − 1)cos n − 2 x.sin xdx Chän  khi ®ã ⇒ v = sin x  dv = d (sin x)  In = sinx.co s n −1 x π π 2 0 + π 2 ∫ sin x.(n − 1)co s 0 π 2 x.sin x.dx = (n − 1) ∫ co sn −2 x.sin 2 x.dx n− 2 0 2 = = (n − 1) ∫ co s n −2 x.(1 − co s 2 x)dx 0 π = ( n − 1) π 2 ∫ co s n−2 x . d x − ( n − 1) 0 2 ∫ c o s n x d x = ( n − 1) I n − 2 + ( n − 1) I n 0 Tõ ®ã I n = (n − 1) I n − 2 − ( n − 1) I n ⇔ I n = Tøc lµ In ®-îc tÝnh qua In - 2. π Do vËy, nÕu biÕt I0 = 2 ∫ nÕu biÕt I1 = 2 co s xdx = ∫ dx =x 0 0 π π n −1 I n−2 . n π 0 0 2 ∫ co s xdx = sin x π 0 2 2 = π 2 ta t×m ®-îc I2; I4; I6; ..... = 1 ta t×m ®-îc I3; I5; I7; ..... 0 Chó ý r»ng ta cã I n = n −1 I n − 2 nªn n 1 I0 2 3 I4 = I2 4 I2 = ... I 2k = 2k − 1 I 2 k −2 2k Suy ra I 2 I 4 ...I 2 k = 1 3 5 2k − 1 1 3 5 2k − 1 1 3 5 2k − 1 π .... .... .... I 0 I 2 I 4 ...I 2 k ⇒ I 2 k = I0 = 246 2k 246 2k 246 2k 2 T-¬ng tù: 2 I1 3 4 I5 = I3 5 I3 = ... I 2 k +1 = 2k I 2 k −1 2k + 1 21 2 4 3 5 Suy ra I 3 I 5 ...I 2 k +1 = . .... 1 Bµi 9: TÝnh I = ∫ 0 2k 2 4 2k 2 4 2k I1I 3 I 5 ...I 2 k −1 ⇒ I 2 k +1 = . .... I1 = . .... .1 2k + 1 3 5 2k + 1 3 5 2k + 1 dx x − 10 x 2 + 9 4 H-íng dÉn. Çch 1: B¹n cã thÓ tÝnh ®-îc tÝch ph©n theo çch th«ng th-êng mµ b¹n ®· thµnh th¹o. Ch¼ng h¹n: Gäi F(x) = ∫ dx . x − 10 x 2 + 9 4 Ta cã x4 – 10x2 + 9 = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) 1 1 A B C D = = + + + 2 x − 10 x + 9 ( x − 1)( x + 1)( x − 3)( x + 3) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 3) ( x + 3) 1 1 1 1 => A = − ; B = , C = , D = − . 16 16 48 48 1 1 1 1 dx + + − ]dx Nªn ∫ 4 = ∫[ − 2 16( x − 1) 16( x + 1) 48( x − 3) 48( x + 3) x − 10 x + 9 1 1 1 1 1 = [− ln x − 1 + ln x + 1 + ln x − 3 − ln x + 3 ] 2 16 16 48 48 0 Khi ®ã 4 do ®ã 1 I =∫ 0 dx = x − 10 x 2 + 9 4 1 1 1 3 1 5 1 7 1 1 1 1 ln + ln + ln − ln ] − [− ln 1 + ln 1 + ln 3 − ln 3 ] 16 2 16 2 48 2 48 2 16 16 48 48 1 1 5 = [ ln 3 + ln ] = 0, 061653429 16 48 7 = [− Çch 2: B¹n cã thÓ sö dông m¸y tÝnh cÇm tay ®Ó tÝnh gi¸ trÞ cña tÝch ph©n nµy. Ch¼ng h¹n víi m¸y tÝnh VINACAL, Vn – 579MS, b¹n cã thÓ bÊm nh- sau ®Ó cã kÕt qu¶: B-íc 1: vµo chÕ ®é tÝnh tÝch ph©n: ON ; MOD; 1. B-íc 2: bÊm ∫ dx ; M¸y hiÓn thÞ ∫ ( . Lóc nµy b¹n cÇn nhËp vµo biÓu thøc cÇn tÝnh tÝnh ph©n nh- sau: 1; ÷ (kÝ hiÖu phÐp tÝnh chia trªn m¸y tÝnh cÇm tay); ( (kÝ hiÖu më ngoÆc ®¬n trªn m¸y tÝnh cÇm tay); Alpha; X; ^; 4; - (kÝ hiÖu phÐp tÝnh trõ trªn m¸y tÝnh cÇm tay); 10; Alpha; X; ^ 2; +; 9; ) (kÝ hiÖu ®ãng ngoÆc ®¬n trªn m¸y tÝnh cÇm tay); , (dÊu ph¶y); 0; , (dÊu ph¶y); 1; ab/c; 2; , (dÊu ph¶y); 8; =. 22 Khi ®ã m¸y hiÓn thÞ ch÷ PROCESSING..., b¹n chê Ýt phót ®Ó m¸y tÝnh, sau ®ã sÏ cho kÕt qu¶. Trªn mµn h×nh cña m¸y b¹n ®äc ®-îc 0,061653429. Tøc lµ b¹n cã kÕt qu¶ I = 0,061653429. KÕt qu¶ nµy trïng víi ®¸p sè ®· cã ë phÇn trªn. Chó ý. H-íng dÉn sö dông m¸y tÝnh cÇm tay ®Ó tÝnh tÝch ph©n. §Ó cã thÓ tÝnh tÝch ph©n nhê m¸y tÝnh cÇm tay, b¹n cÇn cã trong tay mét chiÕc m¸y tÝnh nµo ®ã, h¬n n÷a b¹n còng cÇn cã b¶n h-íng dÉn sö dông m¸y ®Ó cã thÓ sö dông tèt trong mét sè tr-êng hîp. Trong khu«n khæ cña cuèn s¸ch, ë phÇn nµy chóng t«i giíi thiÖu víi çc b¹n s¬ l-îc çch sö dông m¸y tÝnh VINACAL Vn – 570 MS (b¹n cã thÓ sö dông lo¹i m¸y kh¸c cã chøc n¨ng t-¬ng thÝch) ®Ó tÝnh tÝch ph©n. 1 Bµi 10: TÝnh I = ∫ x 4 .e x .dx ? 0 H-íng dÉn. Çch 1: B¹n cã thÓ tÝnh ®-îc tÝch ph©n nµy theo ®Þnh nghÜa hoÆc çch tÝnh tÝch ph©n nµo ®ã mµ b¹n ®· thµnh th¹o. Ch¼ng h¹n, gäi F(x) = ∫ x 4 .e x dx , khi ®ã theo kÕt qu¶ phÇn trªn, ta cã 1 I = ∫ x 4 .e x .dx = ( x 4 − 4 x3 + 12 x 2 − 24 x + 24)e x 0 1 0 = 9e − 24 . Çch 2: B¹n cã thÓ sö dông m¸y tÝnh cÇm tay ®Ó tÝnh gi¸ trÞ cña tÝch ph©n nµy. Ch¼ng h¹n víi m¸y tÝnh VINACAL, Vn – 579MS, b¹n cã thÓ bÊm nh- sau ®Ó cã kÕt qu¶: B-íc 1: vµo chÕ ®é tÝnh tÝch ph©n. BÊm çc phÝm theo lé tr×nh sau: ON ; MOD; 1. B-íc 2: BÊm ∫ dx ; M¸y hiÓn thÞ ∫ ( . Lóc nµy b¹n cÇn nhËp vµo biÓu thøc cÇn tÝnh tÝnh ph©n nh- sau: Alpha; X; ^; 4; x (kÝ hiÖu phÐp tÝnh nh©n trªn m¸y tÝnh cÇm tay); Alpha; e (hay phÝm ln); ^; X; , (dÊu ph¶y); 0; , (dÊu ph¶y); 1; , (dÊu ph¶y); 8; =. Khi ®ã m¸y hiÓn thÞ ch÷ PROCESSING..., b¹n chê Ýt phót ®Ó m¸y tÝnh, sau ®ã sÏ cho kÕt qu¶. Trªn mµn h×nh cña m¸y hiÓn thÞ sè 0,464536456, tøc lµ b¹n cã ®-îc gi¸ trÞ I = 0,464536456. KÕt qu¶ nµy trïng víi kÕt qu¶ 9e – 24 ë trªn. B¹n cã thÓ kiÓm tra kÕt qu¶ trªn m¸y tÝnh cÇm tay nµy b»ng çch bÊm: Alpha; e; = ; x (kÝ hiÖu phÐp tÝnh nh©n trªn m¸y tÝnh cÇm tay); 9 ; - (kÝ hiÖu phÐp trõ trªn m¸y tÝnh cÇm tay); 24; =. NÕu b¹n bÊm nhÇm, m¸y sÏ b¸o lçi: SYNTAX ERROR. Chó ý: *) §Ó cã thÓ tÝnh tÝch ph©n b»ng çch sö dông m¸y tÝnh cÇm tay b¹n cÇn theo h-íng dÉn sau: 23 Tr-íc hÕt b¹n h·y bËt m¸y b»ng çch bÊm phÝm ON. §Ó vµo ch-¬ng tr×nh tÝnh tÝch ph©n b¹n cÇn bÊm çc phÝm trªn m¸y theo lé tr×nh sau: ON ; MOD; 1. TiÕp theo b¹n cÇn bÊm ∫ dx ; khi ®ã m¸y hiÓn thÞ ∫ ( trªn mµn h×nh. b §Ó tÝnh ®-îc tÝch ph©n I = ∫ f ( x).dx th× bèn yÕu tè mµ b¹n cÇn nhËp ngay sau kÝ a hiÖu ∫( lµ: ∫ ( hµm sè, a, b, n). Trong ®ã hµm sè lµ biÓu thøc f(x) d-íi dÊu tÝch ph©n mµ bµi to¸n yªu cÇu cßn a vµ b t-¬ng øng lµ cËn d-íi vµ cËn trªn trong tÝch ph©n cÇn tÝnh, cuèi cïng n lµ sè ch÷ sè sau dÊu ph¶y mµ b¹n muèn. §Ó tÝnh tÝch ph©n b¹n cÇn nhËp biÓu thøc vµo m¸y theo có ph¸p ∫ ( hµm sè, a, b, n), cÇn ph©n çch çc ®¹i l-îng nhËp vµo bëi dÊu “,”. NÕu b¹n nhËp kh«ng ®óng có ph¸p (kh«ng ®óng c©u lÖnh) th× kh«ng m¸y sÏ b¸o lçi. Nhê sö dông m¸y tÝnh cÇm tay, b¹n cã thÓ tÝnh ®-îc tÝch ph©n ngay c¶ trong tr-êng hîp kh«ng t×m ®-îc nguyªn hµm cña f(x). Ch¼ng h¹n: B»ng çch bÊm m¸y 1 nh- ®· h-íng dÉn trªn, b¹n t×m ®-îc ∫e − x2 dx = 0,7468 , trong khi kh«ng t×m ®-îc 0 nguyªn hµm ∫ e− x dx . *) Trong mét sè tr-êng hîp b¹n nhËp ®óng biÓu thøc mµ m¸y vÉn b¸o lçi, kh«ng cho kÕt qu¶, th× b¹n còng cÇn hiÓu r»ng b¹n ®· m¾c lçi ë kh©u nµo ®ã. 2 2 Ch¼ng h¹n, víi tÝch ph©n I = dx ∫ x(8 + 7 x 2007 1 ) , nÕu b¹n bÊm çc phÝm theo ®óng h-íng dÉn th× m¸y vÉn b¸o lçi : SYNTAX ERROR. Trong tr-êng hîp nµy b¹n cÇn biÕt r»ng m¸y tÝnh kh«ng tÝnh tÝch ph©n b»ng çch t×m nguyªn hµm sau ®ã thÕ cËn, mµ m¸y tÝnh trùc tiÕp trªn çc sè b¹n cho. Do ®ã, trong tr-êng hîp nµy th× 22007 lµ mét sè rÊt lín mµ m¸y kh«ng tÝnh næi, tõ ®ã m¸y b¸o lçi. §Ó kiÓm tra ®iÒu ®ã, b¹n cho m¸y tÝnh tÝch ph©n cã d¹ng t-¬ng tù nh-ng víi sè 2 nhá h¬n, ch¼ng h¹n I = dx ∫ x(8 + 7 x 1 2π Bµi 11: TÝnh I = ∫ 7 ) , th× m¸y cho kÕt qu¶ lµ I = 0,013450913. 1 + cos 2xdx 0 H-íng dÉn. 2π Ta cã I = ∫ 0 1 + cos 2 xdx = 2π ∫ 0 2π 2 cos xdx = 2 ∫ cos x dx 2 0  π  3π  Ta biÕt r»ng cosx > 0 trªn ®o¹n 0;  vµ  ; 2π   2  2  24  π 3π  cosx < 0 trªn ®o¹n  ;  2 2  Do ®ã 3π 3π  π2   π2  2π 2π 2 2    I = 2  ∫ cos x dx + ∫ cos x dx + ∫ cos x dx  = 2  ∫ cos xdx − ∫ cos xdx + ∫ cos xdx  π 3π π 3π 0  0  2 2 2 2     = 2  sin x  L-u ý: π 0 2 − sin x 3π π 2 + sin x 2 2π 3π  = 2  1 − 0 − −1 − 1 + 0 + 1  = 4 2 ) ( ) ( ) .  ( 2  b - Khi gÆp tÝch ph©n cã d¹ng I = ∫ f ( x) dx , ®Ó tÝnh ®-îc b¹n cÇn tiÕn hµnh nh- sau: a B-íc 1: XÐt dÊu f(x) trªn ®o¹n [a; b], gi¶ sö f(x) > 0 trªn ®o¹n [a; c] vµ f(x) < 0  f ( x) x ∈ [a; c]  − f ( x) x ∈ [c; b] trªn ®o¹n [a; c] . Khi ®ã f ( x) =  b B-íc 2: TÝnh I = ∫ a c c c a b f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx a 2π - NÕu b¹n tÝnh I = b ∫ 0 1 + cos 2 xdx = 2π ∫ 0 c 2π 2 cos 2 xdx = 2 ∫ cos xdx = 2 sin x 2π 0 =0 0 nπ - B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ tÝnh ®-îc tÝch ph©n d¹ng: ∫ 1 ± cos(ax)dx 0 1 Bµi 12: TÝnh I = ∫ x x − m dx , trong ®ã m lµ tham sè. 0 H-íng dÉn. Ta cã x – m = 0 khi x = m. Do ®ã x – m > 0 khi x > m vµ x – m < 0 khi x < m Tõ ®ã, - NÕu m < 0 th× x – m > 0 trªn [0; 1], khi ®ã 1 1 x3 x2 1 1 m x x − m dx = x ( x − m ) dx = ( − m ) 0= − I= ∫ ∫ 3 2 3 2 0 0 - NÕu m >10 th× x – m < 0 trªn [0; 1], khi ®ã 1 1 x3 x2 1 1 m I = ∫ x x − m dx = − ∫ x ( x − m) dx = −( − m ) 0 = − + 3 2 3 2 0 0 - NÕu 0< m < 1 th× x – m < 0 trªn [0; m] vµ x – m > 0 trªn [m; 1], khi ®ã 1 m 1 x3 x 2 m x3 x2 1 I = ∫ x x − m dx = − ∫ x( x − m)dx + ∫ x( x − m)dx = −( − m ) 0 +( − m ) m = 3 2 3 2 0 0 m 25 m3 m2 1 m m3 m2 1 m m3 −m )+( − )−( −m ) = ( − )+ 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 m VËy I = = − khi m < 0 3 2 1 m I = = − + khi m > 1 3 2 1 m m3 khi 0 < m < 1 I =( − )+ 3 2 3 = −( β B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ tÝnh ®-îc tÝch ph©n cã d¹ng ∫ x x − m dx . α 2.3 øng dông tÝch ph©n tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng vµ thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay Bµi 1: TÝnh diÖn tÝch miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ cña çc ®-êng: x=0   x =1   y=0  3  y = x − 3 x 2 + 2 2 H-íng dÉn. Dùa vµo ®å thÞ cña hµm sè y = x3 – 3x2 + 2 trªn ®o¹n [0 ; 1] (nh- h×nh bªn) ta thÊy miÒn cÇn xÐt lµ tam gi¸c cong. Do ®ã diÖn tÝch cña nã cã thÓ tÝnh theo c«ng thøc: 1 f( x) = ( x3-3⋅x2) +2 -2  x4  5 (§VDT). − x3 + 2 x  10 = 4  4  S = ∫ ( x3 − 3 x 2 + 2)dx =  0 Bµi 2: TÝnh diÖn tÝch miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ cña çc ®-êng: x=0   x=2   y=0   y = x3 − 3 x 2 + 2 H-íng dÉn. Dùa vµo ®å thÞ cña hµm sè y = x3 – 3x2 + 2 trªn ®o¹n [0 ; 2] ta thÊy y > 0 trªn [0 ; 1] vµ y < 0 trªn ®o¹n [1; 2 ]. Do ®ã diÖn tÝch cña nã cã thÓ tÝnh theo c«ng thøc: 1 S= 2 3 2 3 2 ∫ ( x − 3x + 2)dx − ∫ ( x − 3x + 2)dx 0 1 x  x  5 5 10 (§VDT). =  − x3 + 2 x  10 −  − x3 + 2 x  12 = + = 4 4 4  4   4  4 4 26 Bµi 3: TÝnh diÖn tÝch miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ cña çc ®-êng: x=0   x=2   2  y = x +2  y = x3 − 3 x 2 − 2 4 g ( x) = x2+2 2 H-íng dÉn. Dùa vµo ®å thÞ cña çc hµm sè ®· cho trªn ®o¹n [0 ; 2] (nh- h×nh trªn) ta thÊy miÒn cÇn tÝnh lµ miÒn c¬ b¶n (lµ h×nh thang 2 c¹nh cong). Tõ h×nh bªn cho thÊy y = g(x) > y = h(x) trªn ®o¹n [0; 2] Do ®ã diÖn tÝch cña nã cã thÓ tÝnh ®-îc theo c«ng thøc: S= 2 2 0 0 -2 h( x) = x3-4 -3⋅x2-2 -6 2 3 2 ∫ [ g ( x) − h( x)] dx = ∫ ( x + 2) − ( x − 3x − 2) dx 1  44 4 = ∫ 4 x 2 + 4 − x3  dx =  x3 + 4 x − x 4  02 = . 4  3 3 0 2 Bµi 4: TÝnh diÖn tÝch miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ cña çc ®-êng:  y = x3 − 3x 2 + 2  2  y = x − 3x + 2 h1( x) = ( x2-3⋅x) +2 4 H-íng dÉn. Dùa vµo ®å thÞ cña çc hµm sè ®· cho (nh- h×nh bªn) ta thÊy miÒn cÇn tÝnh lµ miÒn c¬ b¶n. Hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®-êng ®· cho lµ nghiÖm ph-¬ng tr×nh : 2 x 3 − 3x 2 + 2 = x 2 − 3 x + 2 ⇒ x 3 − 4 x 2 + 3 x = 0 x = 0 2 ⇒ x( x − 4 x + 3) = 0 ⇒  x = 1  x = 3 5 -2 v( x) = ( x3-3⋅x2) +2 Tõ ®ã 1 3 S = ∫ ( x3 − 3x 2 + 2) − ( x 2 − 3x + 2)  dx + ∫ ( x 2 − 3x + 2) − ( x3 − 3x 2 + 2)  dx 0 1  x4 4 3 3 2  1  4 3 3 2 x 4  3 3 2 2 3 ( x − 4 x + 3 x ) dx + (4 x − 3 x − x ) dx =  − x + x  0 +  x − x −  1 = 3, 083333 ∫0 ∫1 2  2 4   4 3 3 1 3 VËy S = 3,083333. Bµi 5: TÝnh diÖn tÝch miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ cña çc ®-êng: 27  8  y= x  2 y= x  3 y = x  32 4 H-íng dÉn. Dùa vµo ®å thÞ cña çc hµm sè ®· cho (nh- h×nh trªn) ta thÊy miÒn cÇn tÝnh lµ miÒn kh«ng c¬ b¶n. Do ®ã ®Ó tÝnh ®-îc diÖn tÝch cña h×nh nµy ta cÇn chia nã thµnh çc miÒn c¬ b¶n. q ( x) = 2 8 x s( x) = x2 u( x) = x3 32 5 8 Gi¶i çc ph-¬ng tr×nh x = ⇒ x = 2 ; x 3 x 8 = ⇒x=4 32 x x3 x2 = ⇒ x=0 32 2 MiÒn cÇn tÝnh ®-îc chia thµnh 2 miÒn c¬ b¶n bëi çc ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh x = 0; x = 2; x= 4. Tõ ®ã 2 4 3 3 3 4 4 S = ∫  x 2 − x  dx + ∫  8 − x  dx =  x − x  20 +  8ln x − x  42 = 61 + 3, 670177444 32  x 32  128  24  3 128   0  2  VËy S = 3,670177444. Bµi 6. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng n»m gi÷a hai ®-êng f1 ( x) = x 3 − 3 x vµ f 2 ( x) = x Tr-íc hÕt ta t×m çc gi¸ trÞ cña biÕn x lËp nªn çc ®o¹n sao cho gi¸ trÞ t-¬ng øng cña hiÖu f1( x) − f 2 ( x) xÐt trªn ®o¹n ®ã ®Òu lµ kh«ng d-¬ng hoÆc ®Òu lµ kh«ng ©m. §ã çc nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 . ¸p dông: f1 ( x) − f 2 ( x) = x 3 − 4 x = x( x 2 − 4) = 0 ó x = -2 , x = 0 , x = 2. • víi -2 < x < 0 cã x3 - 4x > 0 • víi 0 < x < 2 cã x3 - 4x < 0 VËy cã diÖn tÝch ph¶i t×m lµ : 2 S= ∫ (x −2 0 3 − 4 x) dx = ∫ (x 2 3 −2 28 − 4 x) dx + ∫ (4 x − x 3 )dx 0 = ( x4 x4 − 2 x 2 ) − 02 + (2 x 2 − ) 20 4 4 = (0 - (-4)) + (4 - 0) = 4 + 4 = 8 Bµi 7. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh elip cã ph-¬ng tr×nh x2 a2 + y2 b2 = 1. H-íng dÉn. Ph-¬ng tr×nh elip lµ x2 a2 + y2 b2 = 1. Do tÝnh ®èi xøng diÖn tÝch cÇn t×m lµ S = 4S1 (trong ®ã S1 lµ diÖn tÝch cña 1/4 elip øng víi x vµ y ≥ 0) Ta cã S1 ®-îc giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y = b a 2 − x 2 (0 ≤ x ≤ a ) , ®-êng th¼ng a x = 0 vµ trôc Ox . a a b b a 2 − x 2 dx = 4 ∫ a 2 − x 2 dx a a0 0 S = 4∫ Do ®ã : a ∫ a 2 − x 2 dx = 0 πa 2 4 . VËy S = πab . Bµi 8. ThÓ tÝch cña khèi nãn côt (khèi chãp côt) VËt thÓ T ®-îc xÐt lµ khèi nãn côt (khèi chãp côt) giíi h¹n bëi hai mÆt ph¼ng song song ( α ) vµ ( β ) lµ hai mÆt ph¼ng ®¸y, cã hoµnh ®é h' vµ h chÝnh lµ y O OI = h vµ OI' = h' (h > h'), B lµ diÖn tÝch B' I' S ®¸y n»m trªn mÆt ph¼ng ( β ); cã diÖn tÝch BI x thiÕt diÖn S(x) = B 29 x2 h2 . VËy thÓ tÝch V cña h' x h nã b»ng h V= ∫B h' x2 h2 dx hay lµ h V= ∫B h' x2 h2 dx = B 3h 2 (h 3 − h ' 3 ) = B ( h − h' ) ( h 2 + hh'+ h' 2 ) ⋅ 3 h2 KÝ hiÖu B ' lµ diÖn tÝch cña ®¸y thø hai B ' = B h' 2 h2 vµ H lµ chiÒu cao cña khèi chãp côt H = h - h', ta thÊy l¹i c«ng thøc cña h×nh häc s¬ cÊp: V= H ( B + BB ' + B ' ) 3 Bµi 9. ThÓ tÝch cña khèi cÇu VËt thÓ T lµ khèi cÇu. VËt thÓ trßn xoay nµy ®-îc sinh ra do quay h×nh trßn cã t©m t¹i O vµ giíi h¹n bëi ®-êng trßn cã ph-¬ng tr×nh x 2 + y 2 = R 2 xung quanh trôc Ox. Theo c«ng thøc, ta cã R V = π ∫ ( R 2 − x 2 ) dx −R R   x3  2 R 3  4 3 = π  R 2 x −  = π  2 R 3 − = πR .  3 3 3   −R   3. Mét sè bµi tËp tù luyÖn Bµi 1. T×m çc nguyªn hµm sau: (5 x 4 + 9 x 2 + 7) dx ∫ ( x5 + 3x3 + 7 x + 9) dx b) ∫ x.ln x.(ln(ln x)) etanx dx c) ∫ cos 2 x dx d) ∫ 2 sin x − 5sinx.cos x + 6cos 2 x a) Bµi 2. T×m çc nguyªn hµm sau: 30 a) ∫ b) ∫ c) ∫ d) ∫ dx 3x + 5 − 3x − 8 dx 5x + 3 + 5x − 7 dx 9x +1 − 9x − 8 dx 12 x + 23 + 12 x − 77 Bµi 3. T×m çc nguyªn hµm sau: dx − 10 x 2 + 9 (5 x + 7)dx b) ∫ 4 x − 10 x 2 + 9 ( x3 + 2 x 2 + 3x + 7) dx c) ∫ x4 − 5x2 + 4 dx d) ∫ ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x − 1)( x − 2)( x − 3) a) ∫x 4 Bµi 4. T×m çc nguyªn hµm sau: a) ∫ x5 .ln( x)dx b) ∫ x5 .ln 2 ( x) dx c) ∫ x 2008 .ln 3 ( x) dx d) ∫ x 20 .ln 4 ( x)dx Bµi 5. T×m çc nguyªn hµm sau: a) ∫ ( x 2 − 3 x + 9)e x dx b) ∫ x 4 .e2 x dx c) ∫ ( x 4 − 3 x3 + 2 x 2 + 7 x + 9)e x dx d) ∫ ( x 4 − 3x 2 + 9)e5 x dx Bµi 6. a) dx 2 + 1) ∫ x( x xdx + 2008) b) ∫ x (x c) x 2 dx ∫ x3 ( x 2007 + 2006) 2 2000 Bµi 7. T×m çc nguyªn hµm sau: a) ( x3 + 5 x 2 − 7 x + 11)dx ∫ ( x − 1)1001 31 b) ( x5 + 5 x3 − 7 x + 51) dx ∫ ( x + 2) 2001 c) ( x 4 + 4 x3 − 9 x + 7) dx ∫ ( x − 2)2008 Bµi 8. T×m çc nguyªn hµm sau: dx a) ∫ sin b) ∫ co s x c) ∫ co s 3 x dx dx 3 x Bµi 9. T×m çc nguyªn hµm sau: dx a) ∫ b) ∫ c) ∫ x2 + 9 dx x2 + 2x + 8 dx x 2 + 3 x + 17 Bµi 10. T×m çc nguyªn hµm sau: a) ∫ tan3 x.dx b) ∫ tan4 x.dx c) ∫ cot 3 x.dx d) ∫ cot 4 x.dx Bµi 11. T×m çc nguyªn hµm sau: a) dx ∫ cos 6 x dx b) ∫ 4 s in x dx c) ∫ 4 cos x.sin 4 x dx d) ∫ 2 k cos x.sin 2 k x Bµi 12. TÝnh tÝch ph©n sau: 2π a) ∫ 0 100π b) ∫ 1 − cos 2xdx 1 + cos 2xdx 0 32 100π c) ∫ 1 − cos 2xdx 0 2008π d) ∫ 1 + cos 5xdx 0 Bµi 13. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi çc ®-êng sau : a) x = 0 , x = 1 , y = 0 , y = 5 x 4 + 3 x 2 + 3 ; b) y = x 2 + 1 , x + y = 3 c) y = x 2 + 2 , y = 3x d) y = 4x - x 2 , y = 0 e) y = lnx , y = 0 , x = e f) x = y 3 , y = 1 , x = 8 Bµi 14. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi: a) x = π 2 , x = π , y = 0, y = cos x b) y = x(x -1)(x -2) , y = 0. Bµi 15. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi çc ®-êng sau: parabol cã ph-¬ng tr×nh y = x 2 - 2x + 2; tiÕp tuyÕn víi nã t¹i ®iÓm M(3 ; 5) vµ trôc tung. Bµi 16.TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay, sinh ra bëi mçi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi çc ®-êng sau ®©y khi nã quay xung quanh trôc Ox: a) y = 0 , y = 2x - x 2 b) y = cosx , y = 0 , x = 0 , x = π 4 ; c) y = sin 2 x , y = 0 , x = 0, x = π d) y = xe x / 2 , y = 0, x = 0, x = 1 Bµi 17. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi çc ®-êng 33 y = sinx , y = 0, x = 0, x = π 4 khi nã quay quanh trôc Ox x2 Bµi 18.TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi elip a2 + y2 b2 = 1 khi nã quay quanh trôc Ox. 4. Mét sè bµi tËp «n tËp ch-¬ng Bµi 1: T×m nguyªn hµm sau ∫ (x dx n + 1).n 1 + x n H-íng dÉn. Ta cã ∫ (x =∫ = dx n + 1). 1 + x n n dx x n +1 −n ( x + 1) dx =∫ n +1 n 1 n =∫ dx 1 1+ n =∫ dx 1 1+ n =∫ dx n +1 ( xn + 1)( x n + 1) ( x n + 1) [ x n ( x −n + 1)] [ xn ( x − n + 1)] n 1 − (1+ ) 1 − n.x − ( n +1) dx 1 d ( x − n + 1) 1 −n n x = = = ( + 1) .d ( x − n + 1) = 1 1 ∫ ∫ ∫ 1 + 1 + −n −n −n ( x − n + 1) n ( x − n + 1) n 1 1 − (1+ ) +1 − 1 1 1 x . ( x − n + 1) n + C = ( x − n + 1) n = +C = +C . n n − n −(1 + 1 ) + 1 (1 + x − n ) (1 + x n ) n Chó ý r»ng çch nµy cã thÓ thùc hiÖn víi nh÷ng nguyªn hµm cã d¹ng: n ∫ u ( x).u '( x)dx , trong ®ã u(x) lµ hµm sè cña x. Bµi 2 : T×m çc nguyªn hµm sau a) ∫ dx x2 + 4 x 2001dx b) ∫ (1 + x 2 )1002 ( x 2 − 1)dx c) ∫ 4 x +1 dx d) ∫ 3 2x − 3 − 4 2x − 3 H-íng dÉn. a) Gäi F(x) = ∫ dx x2 + 4 . §Æt t = x + x 2 + 4 ta cã  x + x2 + 4    2x  x  dt = 1 + dx = + dx = 1   dx =    2 2   x2 + 4  x + 4  2 x +4     34 tdx x2 + 4 Suy ra dt = t dx x +4 2 ⇒∫ dt dx =∫ ⇒ F ( x) = ln t + C = ln x + x 2 + 4 + C . 2 t x +4 du ∫ B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ tÝnh ®-îc çc nguyªn hµm cã d¹ng: u2 + k b»ng çch ®Æt t = u + u 2 + k . 1000 x 2001dx x 2000 xdx 1  x2  b) Gäi F(x) = ∫ = = .   (1 + x 2 )1002 ∫ (1 + x 2 )1000 (1 + x 2 ) 2 2 ∫  1 + x 2  x2 2 x(1 + x2 ) − 2 x.x 2 2 xdx ⇒ = dt dx = §Æt t = t = 2 2 2 1+ x (1 + x ) (1 + x 2 ) 2 2 xdx (1 + x 2 ) 2 Khi ®ã F(x) = 1000 1  x2  = ∫  2  1 + x2  1001 2 xdx 1 1000 1 t1001 1  x2  = t . dt = . + C =   (1 + x 2 ) 2 2 ∫ 2 1001 2002  1 + x 2  +C . B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ t×m ®-îc çc nguyªn hµm cã d¹ng: x 2 m +1 dx x 2m xdx m = ∫ (1 + x 2 ) m+ 2 ∫ (1 + x 2 ) m (1 + x 2 ) 2 = ∫ u du . ( x 2 − 1)dx . c) Gäi F(x) = ∫ 4 x +1 1  1 dx+  1− 2 ( x 2 − 1)dx x  x dx = Ta cã F(x) = ∫ 4 =∫ 2 ∫ 1 x +1 1  x2 + 2 x+  −2 x x  ®Æt t = x + 1 ta cã F(x) = x ∫t dt 1 t− 2 = ln +C −2 2 2 t + 2 2 Thay trë l¹i biÕn x ta cã 1  x+ − 2 1 x2 − x 2 + 1 x F(x) = = +C = +C . ln  ln 2 2 2 x+ 1+ 2 2 2 x + x 2 +1   x  1 B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ t×m ®-îc çc nguyªn hµm cã d¹ng: ( x 2 − a 2 ) dx ∫ x4 + a4 . d) §Ó t×m nguyªn hµm F(x) = ∫ 3 dx ta gäi t = 2x − 3 − 4 2x − 3 12 t12 = 2 x − 3 ⇒ 12t11dt = 2dx vµ 3 2 x − 3 = 3 t 12 = t 4 ; 4 2 x − 3 = 4 t 12 = t 3 . 6t11dt t 8 dt 1  = 6 ∫  t 7 + t 6 + t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1 + dt Tõ ®ã F(x) = ∫ 4 3 = 6∫ t −t t −1 t  35 2 x − 3 khi ®ã  t8 t7 t6 t5 t4 t3 t2 = 6  + + + + + + + t + ln 8 7 6 5 4 3 2 VËy ta cã F(x)  t +C.   (12 2 x − 3)8 (12 2 x − 3)7 (12 2 x − 3)6 (12 2 x − 3)5 (12 2 x − 3)4 (12 2 x − 3)3  = 6  + + + + +  + 8 7 6 5 4 3    (12 2 x − 3)2 12 6.  + 2 x − 3 + ln 12 2 x − 3 2    + C .  B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ t×m ®-îc çc nguyªn hµm cã d¹ng: ∫ m dx . ax + b + n ax + c Bµi 3. T×m a) ∫ sin n xdx b) ∫ ta n n xdx H-íng dÉn. a) Gäi In = ∫ sin n xdx = ∫ sin n −1 x.sinxdx = − ∫ sin n −1 x.d (cosx )  u = si n n −1 x  du = (n − 1) si n n − 2 x.cos xdx ⇒ v = cos x  dv = d (cosx)  n −1 ta cã In = − sin x.cos x + ∫ cos x.(n − 1)sin n − 2 x.cosx.dx = Chän  = − sin n −1 x.cos x + (n − 1) ∫ sin n −2 x.cos 2 x.dx = − sin n −1 x.cos x + (n − 1) ∫ sin n −2 x.(1 − sin 2 x).dx = − sin n −1 x.cos x + ( n − 1) ∫ sin n − 2 x.dx −( n − 1) ∫ sin n x.dx = − sin n −1 x.cos x + (n − 1) I n − 2 − ( n − 1) I n Tøc lµ ta cã I n = − sin n −1 x.cos x + (n − 1) I n − 2 − ( n − 1) I n ⇔ nI n = − sin n −1 x.cos x + (n − 1) I n − 2 1 n −1 Tõ ®ã I n = − sin n−1 x.cos x + I n− 2 n n Tøc lµ In ®-îc tÝnh qua In-2. Tõ ®ã nÕu biÕt I0 = ∫ sin 0 xdx = ∫ dx = x + C ta t×m ®-îc I2; I4; I6; ..... nÕu biÕt I1 = ∫ sin xdx = −cosx + C ta t×m ®-îc I3; I5; I7; ..... b) Gäi In = ∫ ta n n xdx = 36 1 1 − 1)dx = ∫ ta n n − 2 x dx − ∫ ta n n − 2 xdx 2 2 cos x cos x 1 tan n −1 x n −2 n −2 n −2 = ∫ ta n x dx − ∫ ta n xdx = ∫ ta n xd (tan x) − I n− 2 = − I n −2 . cos 2 x n −1 = ∫ ta n n − 2 x.tan 2 xdx = ∫ ta n n − 2 x( Tõ ®ã ta cã : I n = tan n −1 x − I n− 2 . n −1 Tøc lµ In ®-îc tÝnh ®-îc qua In - 2. Do vËy, nÕu biÕt I0 = ∫ ta n 0 xdx = ∫ dx = x + C th× t×m ®-îc I2; I 4; I 6; ..... nÕu biÕt I1 = ∫ ta n xdx = − ln cosx + C th× t×m ®-îc I3; I5; I7; ..... π Bµi 4: TÝnh I = 2 ∫ 0 sin 5 x dx sin 5 x + cos5 x H-íng dÉn. π Gäi J = 2 ∫ 0 π cos5 x dx th× I + J = sin 5 x + cos5 x π π 2 ∫ 0 sin 5 x dx + sin 5 x + cos5 x π 2 ∫ 0 cos 5 x dx = sin 5 x + cos5 x π sin x + cos x π 2 = = dx dx x 0 = ∫0 sin 5 x + cos5 x ∫0 2 π MÆt kh¸c, ®Æt x = − t ta cã 2 2 5 5 2 dx = -dt; sinx = cost; cosx = sint; x = 0 th× t = cßn x = π Khi ®ã I = 2 ∫ 0 π π 2 th× t = 0. 2 0 sin 5 x co s5 t dx = (−dt ) = 5 ∫ 5 sin 5 x + cos5 x π sin t + cos t 2 π 2 ∫ 0 co s5 t dt = J . sin 5 t + cos5 t  I=J π  VËy ta cã  π ⇒I=J = . 4  I + J = 2 B»ng çch t-¬ng tù b¹n cã thÓ tÝnh ®-îc çc tÝch ph©n cã d¹ng π 2 ∫ 0 sin n x dx hoÆc sin n x + cos n x π 2 ∫ 0 co sn x dx sin n x + cos n x 37 π ∫π sin Bµi 5: TÝnh I = 2007 x.cos1000 xdx . − H-íng dÉn. Ta cã ®Þnh lÝ: NÕu y = f(x) lµ hµm sè x¸c ®Þnh, liªn tôc vµ lµ hµm sè lÎ trªn a ∫ ®o¹n [-a; a] th× f ( x)dx = 0. −a a ∫ Chøng minh: Ta cã I = f ( x) dx = −a Trong ®ã I1 = 0 ∫ −a a f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = I1 + I 2 0 a 0 ∫ f ( x) dx vµ I 2 = ∫ f ( x)dx . −a 0 §Æt x = - t ta cã dx = -dt; f(x) = f(-t) = -f(t); x = 0 th× t = 0; x= a th× t = - a; a −a a 0 0 0 khi ®ã I 2 = ∫ f ( x) dx = ∫ − f (t )(−dt ) = −∫ f (t ) dt = − I1 , suy ra I2 = -I1 tøc lµ I2 + I1 = 0. VËy I = I2 + I1 = 0. Víi bµi to¸n ®· cho dÔ thÊy f(x) = sin2007x.cos1000x lµ hµm sè x¸c ®Þnh, liªn tôc vµ lµ hµm sè lÎ trªn ®o¹n [ −π ; π ] , do ®ã π I= ∫π sin 2007 x.cos1000 xdx = 0. − 1 Bµi 6: TÝnh I = ∫ (1 − 2 x)3 e − x+ x .dx 2 0 H-íng dÉn. Do (-x + x2)’ = 2x – 1. 1 1 Nªn I = ∫ (1 − 2 x)3 e− x+ x .dx = ∫ (1 − 2 x) 2 (1 − 2 x)e− x+ x .dx 2 2 0  Chän  0 u = (1 − 2 x)  dv = (1 − 2 x)e Ta cã I = e − x+ x2 2 − x+x .(1 − 2 x) 2 du = 2(1 − 2 x).( −2)dx ⇒ 2 dv = −e − x + x dx  1 2 1 0 − 4 ∫ (1 − 2 x)e − x + x .dx = 4e− x + x 2 2 1 0 = 0. 0 1 B¹n cã thÓ chøng minh b»ng quy n¹p r»ng I n = ∫ (1 − 2 x) n e − x + x .dx = 0 víi mäi n 2 0 lµ sè tù nhiªn lÎ. Bµi 7. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 38 a) y = x3 ; x + y = 2 vµ trôc hoµnh b) y = 2x – x2; x + y = 0 c) y = x; y = x + sin 2x (0 ≤ x ≤ π ) H-íng dÉn. a) Cã x3 = 2 – x ⇔ x = 1. Täa ®é giao ®iÓm y = x3 vµ x + y = 2 lµ A(1; 1) 1 DiÖn tÝch S = S1 + S 2. Do ®ã : S = ∫x 0 2 3 dx + ∫ (− x + 2) dx = 1 3 (®vdt) 4 b) Cã 2x – x2 = -x ⇔ x = 0; x = 3. 3 3 x 3  9 DiÖn tÝch cÇn tÝnh lµ : S = ∫ (3 x − x 2 ) dx =  x 2 − (®vdt) = 2  3 2  0 0 3 c) Cã x + sin2x = x ⇔ sin2x = 0 ⇔ sinx = 0 (1) Trªn [0; π] , (1) cã nghiÖm x = 0, x = π. π π π 1 − cos 2 x 1 1  π VËy S = ∫ sin 2 xdx = ∫ dx =  x − sin 2 x  = (®vdt) 2 4 2 0 2 0 0 Bµi 8. Parabol y 2 = 2x chia diÖn tÝch h×nh trßn x2 + y2 = 8 theo tØ sè nµo ? H-íng dÉn. H×nh trßn x2 + y 2 = 8 cã R = 2 2 , do ®ã cã diÖn tÝch lµ πR2 = 8π . Ta cÇn tÝnh tØ sè S2 trong ®ã : S1 2 S1 = ∫ ( 2 x − x )dx + Squ¹t trßn OAB 0 2 14 2  +π =  x 2 x − x 2  + Squ¹t trßn OAB = 3 23 0 2  2 + π  = 3π − 3  3 ⇒ S2 = 4π -  39 2 S 3 = 9π − 2 VËy 2 = 2 3π + 2 S1 π+ 3 3π − Bµi 9. Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi çc ®-êng y = 2x – x2 vµ y = 0. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay quanh sinh ra bëi h×nh ph¼ng ®ã khi quay quanh: a) trôc Ox; b) trôc Oy. H-íng dÉn. XÐt h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®-êng y = 2x – x2 vµ y = 0. a) ThÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi h×nh ph¼ng ®ã khi quay quanh trôc Ox lµ : 2 4 3 x 5  16π 4  V = π ∫ ( 2 x − x ) dx = π  3 x − x + 5  = 15 (®vdt)  0 0 2 2 2 b) §å thÞ hµm sè y = 2x – x2 trªn [0; 2] cã thÓ coi lµ hîp cña cung AB cã ph-¬ng tr×nh x = 1 + 1 − y víi y ∈ [0; 1] vµ cung OA cã ph-¬ng tr×nh x = 1 - 1 − y víi y ∈ [0; 1] . Do ®ã thÓ tÝch cÇn tÝnh lµ hiÖu thÓ tÝch hai vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi (1) vµ (2) vµ trôc Oy khi quay quanh trôc Ox. 1 1 V = π ∫ (1 + 1 − y ) dy − π ∫ (1 − 1 − y ) 2 dy 2 0 [ 0 ] 1 = π ∫ (1 + 1 − y ) − (1 − 1 − y ) dy = 4π ∫ 1 − y dy 2 2 0 8 8π (®vdt) = − π (1 − y ) 1 − y = 3 3 0 1 Bµi 10. Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi çc ®-êng y = xex , x = 2 vµ y = 0. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay khi quay h×nh ph¼ng ®ã quanh trôc Ox. H-íng dÉn. Cho xex = 0 ⇔ x = 0. ThÓ tÝch cÇn t×m lµ : 40 2 2 V = π ∫ ( xe ) dx = π ∫ x 2 e 2 x dx x 2 0 0 du = 2 xdx u = x 2  §Æt  ⇒  1 2x v e = dv = e 2 x dx  2 2 2 2 2x 2x   x 2e2 x   2 2x  − π ∫ xe 2 x dx =  πx e − π xe + πe  V = π   2 2  2 4    0 0 0 = πe 2 x 4 2 ( 2 x − 2 x + 1) = 2 0 π 4 (5e 4 − 1) (®vdt) Bµi 11. (lµ mét c©u trong §Ò thi tèt nghiÖp Trung häc phæ th«ng n¨m häc 2002 – 2003) 1. T×m nguyªn hµm F(x) cña hµm sè f ( x) = biÕt r»ng F(1) = x 3 + 3x 2 + 3 x − 1 x2 + 2 x + 1 1 . 3 2. T×m diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ cña hµm sè y= 2 x 2 − 10 x − 12 x+2 vµ ®-êng th¼ng y = 0. H-íng dÉn. 1) Gäi F(x) = x 3 + 3x 2 + 3 x − 1 x3 + 3x 2 + 3x + 1 − 2 x3 + 3x 2 + 3x + 1 dx = = dx dx ∫ x2 + 2x + 1 ∫ x2 + 2x + 1 ∫ x2 + 2 x + 1 dx − 2∫ x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1)3 dx 1 =∫ dx − 2∫ = ∫ ( x + 1)dx + 2 ∫ d ( ) = x 2 + x + 2ln x + 1 + C . 2 2 ( x + 1) ( x + 1) x +1 1 1 5 Theo gi¶ thiÕt F(1) = ⇔ 1 + 1 + 2ln2 + C = ⇔ C = - - 2ln2 . 3 3 3 2) MiÒn cÇn tÝnh diÖn tÝch ®-îc vÏ nh- h×nh bªn, khi ®ã ta cã 41 10 g ( x) = 2⋅x2-10⋅x-12 x+2 5 -10 6 S= ∫ −1 6 2 x 2 − 10 x − 12 2 x 2 − 10 x − 12 dx = − ∫ dx = x+2 x+2 −1 6 6 16 2 )dx = −( x 2 − 14 x + 16 ln x + 2 ) −1 x+2 3 −1 44 136 = -(- 60 + 16ln8 + )= - 48ln2 3 3 = − ∫ (2 x − 14 + 10 -5 -10 -15 -20 -25 = 78,604398. -30 -35 -40 42 Ch-¬ng 4: Sè phøc 1. kiÕn thøc c¬ b¶n. 1.1 Sè i §Þnh nghÜa: i2 = -1. Tõ ®Þnh nghÜa sè i suy ra: i3 = i2.i = -i. i4 = i2.i2 = (-1)(-1) = 1. i5 = i4.i = (1).i = i. B»ng quy n¹p b¹n cã thÓ chøng minh ®-îc: i4k = 1. i4k+1 = i. i4k+2 = -1. i4k+3 = -i. 1.2 Sè phøc - §Þnh nghÜa: Mçi biÓu thøc cã d¹ng a + bi, trong ®ã a, b lµ sè thùc vµ i2 = -1 ®-îc gäi lµ mét sè phøc. - Ng-êi ta th-êng kÝ hiÖu sè phøc lµ z = a + bi. Sè i ®-îc gäi lµ ®¬n vÞ ¶o, sè a ®-îc gäi lµ phÇn thùc cßn sè b ®-îc gäi lµ phÇn ¶o cña sè phøc z. - Mäi sè thùc ®-îc coi lµ sè phøc cã phÇn ¶o b»ng 0, tøc lµ z = a + 0i. - Nh÷ng sè phøc mµ cã phÇn thùc b»ng 0 (a = 0) ®-îc gäi lµ sè ¶o (hay sè thuÇn ¶o), z = 0 + bi. - Sè 0 lµ sè duy nhÊt võa lµ sè thùc võa lµ sè ¶o. - VÝ dô: a) Sè phøc z = 2 – 3i cã phÇn thùc a = 2 vµ phÇn ¶o b = -3. b) Sè phøc z = – 5i cã phÇn thùc a = 0 vµ phÇn ¶o b = -5. c) Sè phøc z = 7 cã phÇn thùc a = 7 vµ phÇn ¶o b = 0. d) Sè phøc z = i cã phÇn thùc a = 0 vµ phÇn ¶o b = 1. e) Sè phøc z = 0 cã phÇn thùc a = 0 vµ phÇn ¶o b = 0. 1.3 BiÓu diÔn h×nh häc sè phøc Víi mÆt ph¼ng to¹ ®é xOy, mçi sè phøc z = a + bi ®-îc biÓu diÔn bëi mét ®iÓm M(a; b). V× lÏ ®ã mÆt ph¼ng to¹ ®é xOy víi viÖc biÓu diÔn sè phøc nh- trªn cßn C ®-îc gäi lµ mÆt ph¼ng phøc. 3 VÝ dô: Trªn h×nh bªn D Sè z = 3 + 3i ®-îc biÓu diÔn bëi ®iÓm C Sè z = - 3 + 2i ®-îc biÓu diÔn bëi ®iÓm D Sè z = – 2 - 2i ®-îc biÓu diÔn bëi ®iÓm E -2 1 3 -3 Sè z = 1 - i ®-îc biÓu diÔn bëi ®iÓm F -1 F Gèc to¹ ®é biÓu diÔn sè 0. 4 2 -5 5 E 1 -2 Çc ®iÓm trªn trôc Ox biÓu diÔn çc sè thùc, do ®ã trôc Ox cßn ®-îc gäi lµ trôc thùc. Çc ®iÓm trªn trôc Oy biÓu diÔn çc sè ¶o, do ®ã trôc Oy cßn ®-îc gäi lµ trôc ¶o. Sè thuÇn ¶o n»m trªn trôc Oy. Víi mÆt ph¼ng to¹ ®é xOy, mçi sè phøc z = a + bi ®-îc biÓu diÔn bëi mét uuuur ®iÓm M(a; b). Khi ®ã OM = a 2 + b 2 , trong ®ã O(0; 0), sè nµy còng ®-îc gäi lµ m«dun cña z, kÝ hiÖu lµ z = a 2 + b 2 . 1.4 PhÐp to¸n trªn sè phøc: a) Hai sè phøc b»ng nhau: - §Þnh nghÜa: Hai sè phøc z = a + bi vµ z’ = a’ + b’i (trong ®ã a, b, a’, b’ lµ çc sè thùc) ®-îc gäi lµ b»ng nhau khi vµ chØ khi a = a’ vµ b = b’. - VÝ dô: *) Sè phøc z = a + bi b»ng sè phøc z’ = 5 – 7i khi vµ chØ khi a = 5 vµ b = -7. *) Sè phøc z = a + bi b»ng sè phøc z’ = 0 – 8i khi vµ chØ khi a = 0 vµ b = -8. *) Sè phøc z = a + bi b»ng sè phøc z’ = 3 + 0i khi vµ chØ khi a = 3 vµ b = 0. *) Sè phøc z = a + bi b»ng sè 0 khi vµ chØ khi a = b = 0. b) PhÐp céng hai sè phøc - §Þnh nghÜa: Cho hai sè phøc z = a + bi vµ z’ = a’ + b’i (trong ®ã a, b, a’, b’ lµ çc sè thùc). Tæng cña hai sè phøc z vµ z’ ®-îc kÝ hiÖu lµ z + z’ lµ sè phøc x¸c ®Þnh bëi z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i. - VÝ dô: +/ Ta cã (5 – 3i) + ( 2 + 7i) = ( 5 + 2) + (- 3 + 7)i = 7 + 4i. +/ Ta cã (2 – 3i) + ( 5 - 6i) = ( 2 + 5) + (- 3 - 6 )i = 7 -9i. +/ Ta cã (7 + i) + ( 2 - 5i) = ( 7 + 2) + ( 1 – 5 )i = 9 - 4i. +/ Ta cã (1 + i) + ( 0 + 9i) = ( 1 + 0) + ( 1 + 9)i = 1 + 10i. +/ Ta cã ( 2 + 3i) + (2 – 3i) = (2 + 2) + (3 - 3)i = 4 + 0i = 4. Qua vÝ dô 5) nãi trªn cã thÓ kh¸i qu¸t: Víi hai sè phøc z = a + bi vµ z’ = a – bi th× z + z’ = (a + bi ) + (a – bi ) = 2a. (Hai sè phøc z = a + bi vµ z’ = a – bi gäi lµ hai sè phøc liªn hîp, tæng cua hai sè phøc liªn hîp lµ mét sè thùc). - TÝnh chÊt cña phÐp céng hai sè phøc: *) VÝ dô: Cho ba sè phøc z = 2 + 3i; z’ = 5 - 7i vµ z” = 9i. Khi ®ã z + z’ = (2 + 3i) + ( 5 – 7i) = 7 – 4i, suy ra (z + z’) + z” = (7 – 4i) + 9i = 7 + 5i. Tøc lµ (z + z’) + z” = 7 + 5i. MÆt kh¸c z’ + z” = ( 5 – 7i) + 9i = 5 + 2i, Suy ra z + (z’ + z”) = (2 + 3i) + (5 + 2i) = 7 + 5i. Tøc lµ z + (z’ + z”) = 7 + 5i. Tõ ®ã, ta cã (z + z’) + z” = z + (z’ + z”). Kh¸i qu¸t ta cã : 2 1) TÝnh chÊt kÕt hîp: (z + z’) + z” = z + (z’ + z”) víi mäi sè phøc z; z’; z”. *) VÝ dô: Cho hai sè phøc z = 3 + 5i; z’ = 2 - 9i. Khi ®ã z + z’ = (3 + 5i) + ( 2 – 9i) = 5 – 4i, MÆt kh¸c z’ + z = ( 2 – 9i) + (3 + 5i) = 5 – 4i, Tõ ®ã, ta cã z + z’ = z’ + z. Kh¸i qu¸t ta cã : 2) TÝnh chÊt giao ho¸n: z + z’ = z’ + z víi mäi sè phøc z; z’. *) VÝ dô: Cho hai sè phøc z = 3 + 5i; z’ = 0 + 0i. Khi ®ã z + z’ = (3 + 5i) + ( 0 + 0i) = 3 + 5i = z (tÊt nhiªn ta còng cã: z’ + z = z theo tÝnh chÊt giao ho¸n). Sè phøc z’ ë trªn ®-îc gäi lµ phÇn tö ®¬n vÞ cña phÐp céng (hay phÇn tö 0) cña tËp sè phøc. Kh¸i qu¸t ta cã : 3) PhÇn tö 0: z + 0 = 0 + z = z víi mäi sè phøc z. *) VÝ dô: Cho hai sè phøc z = 3 + 5i; z’ = - 3 - 5i Khi ®ã z + z’ = (3 + 5i) + ( - 3 - 5i) = 0 (tÊt nhiªn ta còng cã: z’ + z = 0 theo tÝnh chÊt giao ho¸n). Sè phøc z’ = - 3 - 5i ®-îc gäi lµ sè ®èi (hay phÇn tö ®èi) cña sè phøc z = 3 + 5i. Kh¸i qu¸t ta cã : 4) PhÇn tö ®èi: Víi mäi sè phøc z = a + bi, lu«n tån t¹i sè phøc z’ = - a – bi sao cho z + z’ = 0. Sè z’ trong ®¼ng thøc trªn ®-îc gäi lµ sè ®èi cña sè phøc z vµ ®-îc kÝ hiÖu lµ (-z). Ta cã : z + (-z) = (-z) + z = 0 víi mäi sè phøc z. Chó ý: NÕu sè phøc z’ lµ sè ®èi cña sè phøc z th× sè phøc z còng lµ sè ®èi cña sè phøc z’. Do ®ã, nÕu z + z’ = 0 th× ng-êi ta nãi z vµ z’ lµ hai sè ®èi nhau. H¬n n÷a víi sè phøc z = a + bi th× (- z) = - (a + bi ) = - a – bi. VÝ dô: *) Sè ®èi cña sè phøc (5 - 3i) lµ sè -(5 - 3i) = - 5 + 3i. *) Sè ®èi cña sè phøc (2 + 7i) lµ sè -(2 +7i) = - 2 -7i. *) Sè ®èi cña sè phøc (5 - 0i) lµ sè -(5 - 0i) = - 5 + 0i = -5. *) Sè ®èi cña sè phøc (0 - 3i) lµ sè -(0 - 3i) = - 0 + 3i = 3i. c) PhÐp trõ hai sè phøc - §Þnh nghÜa: Cho hai sè phøc z = a + bi vµ z’ = a’ + b’i (trong ®ã a, b, a’, b’ lµ çc sè thùc), khi ®ã theo tÝnh chÊt 4) ë trªn sè ®èi cña z’ lµ (-z’) = - a’ - b’i . HiÖu cña hai sè phøc z vµ z’ ®-îc kÝ hiÖu lµ z - z’ lµ sè phøc z + (- z’). Tøc lµ z – z’ = (a + bi) + (- a’ - b’i ) = (a - a’) + (b - b’)i. Trong thùc hµnh, hiÖu cña hai sè phøc lµ sè phøc cã phÇn thùc lµ hiÖu cña phÇn thùc cña sè thø nhÊt vµ phÇn thùc cña sè thø hai vµ cã phÇn ¶o lµ hiÖu cña phÇn ¶o cña sè thø nhÊt vµ phÇn ¶o cña sè thø hai. 3 - VÝ dô: *) Ta cã *) Ta cã *) Ta cã *) Ta cã (5 – 3i) - ( 2 + 7i) = ( 5 - 2) + (- 3 - 7)i = 3 - 10i. (2 – 3i) - ( 5 - 6i) = ( 2 - 5) + (- 3 + 6 )i = -3 +3i. (7 + i) - ( 2 - 5i) = ( 7 - 2) + ( 1 + 5 )i = 5 + 6i. (1 + i) - ( 0 + 9i) = ( 1 - 0) + ( 1 - 9)i = 1 - 8i. d) PhÐp nh©n hai sè phøc - §Þnh nghÜa: Cho hai sè phøc z = a + bi vµ z’ = a’ + b’i (trong ®ã a, b, a’, b’ lµ çc sè thùc), khi ®ã tÝch cña hai sè phøc z vµ z’ ®-îc kÝ hiÖu lµ z.z’ lµ sè phøc ®-îc x¸c ®Þnh nh- sau: z.z’ = (a + bi ).(a’+b’i ) = a.a’ + a(b’i) + (bi)a’ + (bi).(b’i) = a.a’ + a.b’i + b.a’.i + b’b’i2 = (a.a’ – b.b’) + (ab’ + ba’)i. Tõ ®ã: z.z’ = (a + bi ).(a’+ b’i ) = (a.a’ – b.b’) + (ab’ + ba’)i. Trong thùc hµnh, ®Ó nh©n hai sè phøc z = a + bi vµ z’ = a’ + b’i ta thùc hiÖn nh- phÐp nh©n hai nhÞ thøc (a + bi ).(a’+ b’i ) nh- th«ng th-êng, sau ®ã thay i2 = -1 lµ cã kÕt qu¶. - VÝ dô: *) Ta cã (3 – 4i)(5 + 6i) = [3.5 + (- 4i)(6i)] + [3.6i + (- 4i).5] = 39 - 2i. *) Ta cã ( 2 + 3i)(2 – 3i) = [2.2 + (3i).(-3i)] + [2.(-3i) + (3i).2] = 13 + 0i = 13. Chó ý: Víi vÝ dô trªn, nÕu ta thùc hiÖn nh- viÖc nh©n hai nhÞ thøc, theo h»ng ®¼ng thøc, th× cã kÕt qu¶ ( 2 + 3i)(2 – 3i) = 22 – (3i)2 – 4 + 9 = 13. Qua vÝ dô trªn cã thÓ kh¸i qu¸t: Víi hai sè phøc z = a + bi vµ z’ = a – bi th× zz’ = (a + bi )(a – bi ) = a2 + b2. (Ta cã: TÝch cña hai sè phøc liªn hîp lµ mét sè thùc). *) Ta cã (1 + 0i)(5 – 6i) = (1.5 - 0.6i2) + (0.5i - 1.6i) = 5 - 6i. Qua vÝ dô trªn ta cã thÓ kh¸i qu¸t: NÕu nh©n sè phøc z = a + bi víi sè phøc z’ = 1 + 0i ta sÏ ®-îc sè phøc z, hay z.1 = z. Ta còng gäi z’ = 1 = 1 + 0i lµ ®¬n vÞ cña phÐp nh©n çc sè phøc. *) Víi k lµ sè thùc bÊt k× ta cã: k.(5 – 6i) = (k + 0i)(5 – 6i) = (k.5 - 0.6i2) + (0.5i - k.6i) = 5k – 6ki. VËy k.(5 – 6i) = 5k – 6ki. Qua vÝ dô trªn ta cã thÓ kh¸i qu¸t: NÕu nh©n sè phøc z = a + bi víi sè thùc k ta sÏ ®-îc sè phøc kz = (ka + kbi). *) Ta cã (0 + 0i)(5 – 6i) = (0.5 - 0.6i2) + (0.5i - 0.6i) = 0 + 0i = 0. Qua vÝ dô trªn ta cã thÓ kh¸i qu¸t: NÕu nh©n sè phøc z = a + bi víi sè phøc z’ = 0 + 0i ta sÏ ®-îc sè 0. Tøc lµ ta cã z.0 = 0 víi mäi sè phøc z. *) Ta cã ( 3 – 2i)2 = ( 3 – 2i).( 3 – 2i) = 9 – 6 i – 6 i + 2i.2i = 5 – 12i 4 NÕu thùc hiÖn theo h¼ng ®¼ng thøc ta cã ( 3 – 2i)2 = 32 -2.3.2i + (2i)2 = 5 - 12 i. Kh¸i qu¸t, víi sè phøc z = a + bi ta cã z2 = (a + bi)2 = a2 + 2abi + (bi)2 = (a2 – b2) + 2abi. - TÝnh chÊt cña phÐp nh©n hai sè phøc: B¹n cã thÓ dÔ dµng chøng minh ®-îc çc tÝnh chÊt sau cña phÐp nh©n sè phøc: 1) TÝnh chÊt kÕt hîp: (z . z’). z” = z .(z’.z”) víi mäi sè phøc z; z’; z”. 2) TÝnh chÊt giao ho¸n: (z.z’) = (z’.z) víi mäi sè phøc z; z’. 3) PhÇn tö ®¬n vÞ: z. 1 = 1.z = z víi mäi sè phøc z. 4) TÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng: z.(z’ + z”) = z.z’ + z.z” víi mäi sè phøc z, z’ vµ z”. Qua çc tÝnh chÊt nãi trªn cho thÊy b¹n cã thÓ thùc hiÖn phÐp to¸n céng, trõ, nh©n çc sè phøc theo quy t¾c céng, trõ, nh©n çc sè thùc. e) PhÐp chia cho sè phøc kh¸c 0. - Sè nghÞch ®¶o cña sè phøc: Cho sè phøc z = a + bi kh¸c 0. 1 ( a − bi) , khi ®ã: z.t = a + b2 1 1 1 1 (a + bi). 2 ( a − bi) = 2 2 (a + bi )(a − bi ) = 2 2 ( a 2 − (bi) 2 ) = 2 (a 2 + b2 ) = 1 2 2 a +b a +b a +b a +b 1 1 VËy, víi z = a + bi kh¸c 0 vµ t = 2 2 (a − bi) th× z. t = 1, suy ra t = (hoÆc a +b z 1 z = ). t XÐt sè phøc t = 2 Sè phøc t trrong tr-êng hîp trªn ®-îc gäi lµ nghÞch ®¶o cña sè phøc z vµ ng-êi ta còng kÝ hiÖu lµ z -1. 1 (a − bi ) . a + b2 VËy víi sè phøc z = a + bi th× z -1 = 2 Nh- phÇn trªn ®· nªu, víi sè phøc z = a + bi th× z = a 2 + b 2 , tõ ®ã cã thÓ viÕt z -1 = - 1 1 ( a − bi) = 2 (a − bi ) . 2 a +b z 2 VÝ dô: 1 1 (3 − 4i ) = (3 − 4i ) . 2 3 +4 25 1 1 1 *) Víi sè phøc z = 3 + 0i th× z -1 = 2 2 (3 − 0i) = (3 − 0i ) = . 3 +0 9 3 1 1 *) Víi sè phøc z = 0 + i th× z -1 = 2 2 (0 − i) = (0 − i) = −i . 0 +1 1 *) Víi sè phøc z = 3 + 4i th× z -1 = 2 - §Þnh nghÜa: Cho sè phøc z = a + bi vµ sè phøc z’ = a’ + b’i. 5 Th-¬ng cña phÐp chia sè phøc z’ cho sè phøc z lµ sè phøc ®-îc kÝ hiÖu lµ ®-îc x¸c ®Þnh bëi - z' vµ z z' = z '.z −1 . z VÝ dô 1: 1 1 (7 + i ) = (7 + i) . 2 7 +1 50 z' 1 1 26 32 Khi ®ã = z '.z −1 = (3 − 5i). (7 + i) = (26 − 32i) = − i . z 50 50 50 50 Cho hai sè phøc z’ = (3 – 5i) vµ z = (7- i ) th× z -1 = - 2 VÝ dô 2: 1 1 (5 − i ) = (5 − i ) . 2 5 +1 26 z' 1 1 23 11 Khi ®ã = z '.z −1 = (4 + 3i ). (5 − i) = (23 + 11i) = + i . z 26 26 26 26 Cho hai sè phøc z’ = (4 + 3i) vµ z = (5 + i ), th× z -1 = MÆt kh¸c: 2 z ' 4 + 3i 4 + 3i 5 − i (20 + 3) + (15 − 4)i 23 11 = = . = = + i. z 5+i 5+i 5−i 52 + 12 26 26 Qua vÝ dô trªn, b»ng kh¸i qu¸t, ta cã thÓ chøng minh ®-îc (ë phÇn sau): Víi hai sè phøc lµ z’ = (a + bi) vµ z = (c + di) th× a + bi a + bi c − di (ac + bd ) + (bc − ad )i = . = . c + di c + di c − di c2 + d 2 Chó ý: *) Trong thùc hµnh, ®Ó t×m th-¬ng cña z’ víi z ta cã thÓ t×m z -1 sau ®ã nh©n z’ víi z -1 . * Ta còng cã thÓ thùc hiÖn a + bi a + bi c − di ( ac + bd ) + (bc − ad )i . = . = c + di c + di c − di c2 + d 2 1.5 Sè phøc liªn hîp. M« ®un cña sè phøc. - Sè phøc liªn hîp: Cho sè phøc z = a + bi. Sè phøc liªn hîp cña sè phøc z kÝ hiÖu lµ z lµ sè x¸c ®Þnh bëi z = a + bi = a − bi . - VÝ dô: *) Sè phøc liªn hîp cña sè z = 5 - 6i lµ sè phøc z = 5 − 6i = 5 + 6i . *) Sè phøc liªn hîp cña sè z = 3 + 4i lµ sè phøc z = 3 + 4i = 3 − 4i . *) Sè phøc liªn hîp cña sè z = 3 = 3 + 0i lµ sè phøc z = 3 + 0i = 3 − 0i = 3 . *) Sè phøc liªn hîp cña sè z = i = 0 + 1i lµ sè phøc z = 0 + 1i = 0 − 1i = −i . - Chó ý: *) Ta cã, víi mäi sè thùc a ta cã a = a + 0i suy ra th× a = a + 0i = a − 0i = a . *) NÕu biÓu diÔn hai sè phøc liªn hîp z = a + bi vµ z = a + bi = a − bi trªn mÆt ph¼ng phøc ta ®-îc hai ®iÓm ®èi xøng nhau qua trôc Ox. 6 *) Tæng cña sè phøc z = a + bi vµ sè phøc liªn hîp z = a + bi = a − bi lµ mét sè thùc z + z = 2a. *) HiÖu cña sè phøc z = a + bi vµ sè phøc liªn hîp z = a + bi = a − bi lµ mét sè thuÇn ¶o z - z = 2bi. Tõ ®ã suy ra: Víi mäi sè phøc z = a + bi th× 1 ( z + z) , 2 1 +) phÇn ¶o cña z lµ b = ( z − z ) 2i 1 1 1 1 Ta lu«n cã : z = ( z + z ) + ( z − z ) i = ( z + z ) + ( z − z ) . 2 2i 2 2 *) Cho tr-íc sè phøc z = a + bi ( b ≠ 0) vµ sè phøc liªn hîp z = a + bi = a − bi . NÕu z + z = 0 tøc lµ (a + bi) + ( a – bi ) = 0 ⇔ 2a = 0 ⇔ a = 0 ⇔ z = bi. VËy z + z = 0 ⇔ z lµ sè thuÇn ¶o. +) phÇn thùc cña z lµ a = *) TÝch cña sè phøc z = a + bi vµ sè phøc liªn hîp z = a + bi = a − bi lµ mét sè thùc z.z = a2 + b2. *) Víi hai sè phøc z = a + bi vµ z’ = a’ + b’i th× z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i. Khi ®ã z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i = ( a + a ') − (b + b ')i = (a − bi ) + (a '− b ' i) = z + z ' . VËy: z + z ' = z + z ' . *) Víi hai sè phøc z = a + bi vµ z’ = a’ + b’i th× z.z’ = (aa’- bb’) + (ab’ + ba’)i. Khi ®ã z.z ' = (a.a '− bb ') + ( ab '+ ba ')i = (a.a '− bb ') − (ab '+ ba ')i MÆt kh¸c z.z ' = a + bi.a '+ b ' i = (a − bi )( a '− b ' i) = ( a.a '− bb ') − ( ab '+ ba ')i Suy ra z.z ' = z.z ' . *) Víi hai sè phøc z = a + bi vµ z’ = a’ + b’i th× z ' a '+ b ' i a '+ b ' i a − bi (a.a '+ bb ') + ( ab '− a ' b)i = = . = z a + bi a + bi a − bi a2 + b2  z '  (a.a '+ bb ') − (ab '− a ' b)i Khi ®ã:   = a 2 + b2 z z ' a '+ b ' i a '− b ' i a '− b ' i a + bi (a.a '+ bb ') + (ab '− a ' b)i = = = = . a − bi a − bi a + bi a 2 + b2 z a + bi z'  z' Tõ ®ã suy ra =   . z z MÆt kh¸c 7 - §Þnh nghÜa: Víi sè phøc z = a + bi (trong ®ã a, b lµ çc sè thùc) th× m«dun cña z ®-îc kÝ hiÖu lµ z , lµ sè thùc z = a 2 + b 2 . Tõ ®Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt cña sè phøc liªn hîp ta cã z = a 2 + b2 = z.z . VÝ dô: *) Víi sè phøc z = 4 – 3i th× z = 4 2 + ( −3) 2 = 5 . *) Víi sè phøc z = 0 + i th× z = 02 + 12 = 1 *) Víi sè phøc z = 1 + 0i th× z = 12 + 0 2 = 1 *) Víi sè phøc z = a + 0i th× z = a 2 + 02 = a *) Víi sè phøc z = 0 + 0i th× z = 0 2 + 02 = 0 *) Víi sè phøc z = a + bi th× z = a 2 + b2 Víi sè phøc z’ = a - bi th× z ' = a 2 + ( −b) 2 = a 2 + b 2 Tõ ®ã z = z ' . - ¸p dông vµo phÐp chia hai sè phøc: Ta cã z = a + bi th× z = a 2 + b 2 vµ z −1 = Tõ ®ã 1 1 z z (a − bi ) = 2 z = 2 ⇒ z −1 = 2 2 a +b z z z 2 z' z '.z = z '.z −1 = 2 . z z VÝ dô: 5 − 4i (5 − 4i )(2 − 3i ) 22 − 23i 22 23 = = = − i. 2 + 3i 2 2 + 32 13 13 13 6 + 7i (6 + 7i )(5 + i) 23 + 41i 23 41 = 2 = = + i. *) Ta cã 5−i 5 + (−1) 2 26 26 26 1 (5 + 4i ) 5 4 *) Ta cã = 2 = + i. 5 − 4i 5 + 42 41 41 6 − 5i (6 + 5i ) = = −(6 + 5i) = −6 − 5i . *) Ta cã i i2 1 1 *) Víi sè phøc z = a + bi th× th× z -1 = = = 2 2 ( a − bi) . z a +b *) Ta cã *) BiÕt z(2 – 3i) = 7 + 2i. T×m z?. Ta cã z = 7 + 2i (7 + 2i )(2 + 3i ) 8 − 25i 8 25 = = = − i. 2 − 3i 2 2 + 32 13 13 13 1.6 C¨n bËc hai cña -1. a) Tõ ®Þnh nghÜa i2 = -1 ta cã VÝ dô: −1 = i . 8 *) −i = i 2 .i = i 3 = i i . *) i 7 = i 6 .i = i 3 i = −i i − a 2 = −1. a 2 = ia, a > 0, a ∈ R. b) C¨n bËc hai cña sè thùc ©m: VÝ dô 1: −3 = *) Ta cã *) T-¬ng tù, ta cã : 3 . −1 = 3 i. −5. −7 = 5. −1. 7. −1 = 5. 7 .i2 = - 5. 7 . 1.7 C¨n bËc hai cña sè phøc. Cho sè phøc z = a + bi vµ gi¶ sö tån t¹i mét sè phøc u + iv sao cho (u + iv) 2 = a + bi. Tõ ®¼ng thøc trªn suy ra hÖ ph-¬ng tr×nh u2 − v2 = a,   2uv = b. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh ®èi víi u vµ v, ta nhËn ®-îc ( ) ) ( u1 = 1 1 a + a2 + b2 , u2 = − a + a 2 + b2 , 2 2 v1 = 1 1 −a + a2 + b2 , v2 = − −a + a2 + b2 . 2 2 ( ) ) ( TÊt c¶ biÓu thøc d-íi c¨n ë trªn ®Òu cã nghÜa, v× ®¹i l-îng d-íi dÊu c¨n bËc hai lµ nh÷ng sè thùc kh«ng ©m. DÔ dµng kiÓm tra ®-îc r»ng víi çc sè z1 = u1 + iv1 vµ z2 = u2 + iv2 khi ®em b×nh ph-¬ng chóng sÏ cho sè z. Sè phøc u + iv t×m ®-îc ë trªn gäi lµ c¨n bËc hai cña sè z vµ ký hiÖu z = u + iv . VÝ dô 1: T×m c¨n bËc hai cña sè phøc z = -7 + 24i ? H-íng dÉn. Ta ph¶i t×m hai sè thùc x vµ y sao cho (x + iy)2 = -7 + 24i. 9 Tøc lµ ta cã : x2 - y2 + 2xyi = -7 + 24i . Theo ®Þnh nghÜa, suy ra  x 2 − y 2 = −7 ( x 2 − y 2 ) 2 = 49 ( x 2 + y 2 ) 2 = 625  x 2 + y 2 = 25  x 2 = 9 ⇒ ⇒ 2 ⇒ 2 ⇒ 2  2 2 2  2 xy = 24  4( xy ) = 576  x − y = −7  x − y = −7  y = 16 KÕt hîp víi xy = 12 > 0 nªn chØ cã kh¶ n¨ng: x = 3, y = 4 hoÆc x = -3, y = - 4. VËy, ta cã −7 + 24i = ±(3 + 4i ) . VÝ dô 2: T×m c¨n bËc hai cña sè phøc z = 0+ i ? H-íng dÉn. Ta ph¶i t×m hai sè thùc x vµ y sao cho (x + iy)2 = i. Tøc lµ ta cã : x2 - y2 + 2xyi = i . Theo ®Þnh nghÜa, suy ra 1  x = ± y  x2 = x − y = 0   2 ⇒x=± 2 ⇒ 1 ⇒  2 xy =  2 xy = 1  x2 = − 1 2   2 2 2 KÕt hîp víi 2xy = 1 > 0 nªn chØ cã kh¶ n¨ng: x = y = VËy, ta cã i =± 2 2 hoÆc x = y = . 2 2 2 (1 + i ) . 2 1.8 Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè thùc trªn tËp sè phøc . NÕu a, b, c lµ nh÷ng sè thùc vµ a ≠ 0, th× ax2 + bx + c = 0 (1) gäi lµ ph-¬ng tr×nh bËc hai. Ng-êi ta gäi ∆ = b2 − 4 ac lµ biÖt thøc cña ph-¬ng tr×nh bËc hai (1). Ta biÕt r»ng ph-¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm x1 vµ x 2 ®-îc tÝnh b»ng c«ng thøc x1 = −b + ∆ −b − ∆ , x2 = , trong ®ã c¨n bËc hai cña biÖt thøc ∆ 2a 2a ®-îc tÝnh nh- ë phÇn trªn. VÝ dô: Gi¶i ph-¬ng tr×nh : x2 + 4x + 5 = 0. H-íng dÉn. 10 Ta cã ∆ = 42 - 4.5 = - 4 = (2i)2. Khi ®ã, theo c«ng thøc nghiÖm ta ®-îc: x1 = −4 + 2i −4 − 2i , x2 = . 2 2 VËy ph-¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lµ: x1 = - 2 + i vµ x2 = -2 - i. Chó ý : B¹n cã thÓ gi¶i ph-¬ng tr×nh trªn b»ng çch tÝnh ∆ ' = 2 2 - 1.5 = - 1 = (i) 2. Tõ ®ã suy ra ph-¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lµ: x 1 = - 2 + i vµ x2 = -2 - i. 1.9 D¹ng l-îng gi¸c cña sè phøc vµ øng dông a) §Þnh nghÜa Theo phÇn trªn ta ®· biÕt r»ng mçi ®iÓm M = (a, b), víi nh÷ng täa ®é thùc lµ a vµ b, trªn mÆt ph¼ng täa ®é biÓu diÔn mét sè phøc z = a + bi . Sè d-¬ng r = a2 + b2 lµ ®é dµi ®o¹n th¼ng OM gäi lµ m«®un cña z vµ th-êng ký hiÖu lµ | z | = a 2 + b 2 . Ký hiÖu α lµ gãc ®Þnh h-íng xOM, ®-îc x¸c ®Þnh h-íng theo ng-îc chiÒu kim ®ång hå tõ Ox tíi OM lµ gãc d-¬ng, chiÒu ng-îc l¹i lµ gãc ©m. Khi ®ã bÊt kú gãc nµo trong d·y α ,α ± 360 0 ,α ± 7200 , ... ®-îc gäi lµ argument cña z = a + bi vµ ký hiÖu arg z = α . V× cosα = a b , sin α = , ta cã r r z = a + bi = r (cosα + i sin α ) . (1) D¹ng biÓu diÔn nµy gäi lµ d¹ng l-îng gi¸c cña sè phøc z = a + bi. VÝ dô:   a) Víi sè phøc viÕt d-íi d¹ng l-îng gi¸c z = 7  cos | z | = 7 vµ arg z = 3π . 11 11 3π 3π  + i sin  , ta cã 11 11  b) Víi sè phøc z = 1 + i, ta cã thÓ ®-a vÒ d¹ng l-îng gi¸c: z = r( cosα + i sin α ), trong ®ã r = 12 + 12 = 2 , 1+i= 2(cos π 2 cosα = 1 , 2 sin α = 1 , tøc lµ ra α = π 4 , do ®ã π + i sin ) . 4 4 b) Çc phÐp to¸n trªn sè phøc khi ë d¹ng l-îng gi¸c. Mét sè phÐp to¸n trªn sè phøc ë d¹ng l-îng gi¸c rÊt thuËn lîi cho viÖc tÝnh to¸n. Cho hai sè phøc ë d¹ng l-îng gi¸c z1 = r1 (cosα1 + i sin α1 ) vµ z2 = r2 (cosα 2 + i sin α 2 ) . Ta cã nh÷ng kÕt luËn sau: *) NÕu z 1 trïng víi z2, th× m«®un cña chóng b»ng nhau vµ argumen cña chóng t-¬ng øng lµ α1 ,α 2 sai kh¸c nhau mét sè nguyªn lÇn 2 π . *) TÝch cña hai sè phøc z = z1z2 = r1 (cos α 1 + i sin α 1 ) r2 (cosα 2 + i sin α 2 ) = r1 r2 [(cosα1 cosα 2 − sin α1 sin α 2 ) + i(cosα1 sin α 2 + sin α1 cosα 2 )] = r1 r2 [cos(α1 + α 2 ) − i sin(α1 + α 2 )] Nh- vËy, tÝch cña hai sè phøc viÕt d-íi d¹ng l-îng gi¸c cã m«®un lµ tÝch m«®un thõa sè (| z | = | z1| | z 2 | ) vµ argumen lµ tæng cña hai argumen thõa sè arg z1z2 = arg z1 + arg z 2. VÝ dô : Cho z1 = 2(cos  π π π π π π π  z = z1z2 = 2  cos  +  + i sin  +    4 6   4 6 = 2(cos π + i sin ) vµ z2 = 2(cos + i sin ) , khi ®ã 4 4 6 6 5π 5π + i sin ). 12 12 *) PhÐp chia hai sè phøc 12 z1 r1 (cosα1 + i sin α1 ) = z2 r2 (cosα 2 + i sin α 2 ) = r1 (cosα1 + i sin α1 )(cosα 2 − i sin α 2 ) r2 (cosα 2 + i sin α 2 )(cosα 2 − i sin α 2 ) = r1 [(cosα1 cosα 2 + sin α1 sin α 2 ) + i(sin α1 cosα 2 + cosα1 sin α 2 )] r2 = r1 [cos(α1 − α 2 ) + i sin(α1 − α 2 )] . r2 Do ®ã: z z1 z = 1 vµ arg 1 = arg z1 - arg z2. z2 z2 z2 VÝ dô : Cho z1 = 2(cos π π π π + i sin ) vµ z2 = 2(cos + i sin ) , khi ®ã 4 4 6 6  π π  z1  π π  = 1.  cos  −  + i sin  −   z2  4 6   4 6 z= = (cos π 12 + i sin π 12 ). c) C«ng thøc Moavr¬: Cho sè phøc bÊt kú d¹ng l-îng gi¸c z = r (cosα + i sin α ) , theo c«ng thøc nh©n ta cã z n = (r (cos α + i sin α ))n = r n (cosα + i sin α )n = r n (cos nα + i sin nα ), ë ®©y n lµ mét sè nguyªn d-¬ng bÊt kú. DÔ thÊy c«ng thøc Moavr¬ cßn ®óng cho nh÷ng sè nguyªn ©m: z −n 1   = (z ) =    r (cos α + i sin α )  n −1 n =  r −1 (cosα − i sin α ) = r − n [ cos( −α ) − i sin(−α )] n n = r − n [ cos(− nα ) − i sin(− nα )] n d) Chó ý: 13 - Dùa vµo c«ng thøc Moavr¬ ng-êi ta ®Þnh nghÜa c¨n bËc n cña mét sè phøc. - NÕu sè phøc cã d¹ng z = r (cosα + i sin α ) , trong ®ã r > 0 th× theo c«ng thøc Moavr¬ ta cã cã thÓ viÕt α z = r (cos z = r (cos α 2 + i sin 2 α 2 + i sin ) vµ α 2 ) vµ z = − r (cos z = r [cos( α 2 α 2 + i sin + π ) + i sin( α 2 2. bµi tËp vµ vÝ dô vËn dông Bµi 1: X¸c ®Þnh phÇn thùc vµ phÇn ¶o cña çc sè phøc sau ®©y. a) z = ( 0 - i) – (2 - 3i) + (7 + 8i). b) z = ( 0 - i).(2 + 3i). (5 + 2i). c) z = 6−i 3 + 2i d) z = (7 - 3i)2 - (2 - i) 2. H-íng dÉn: Gäi sè phøc lµ z = a + bi, cÇn t×m a = ? vµ b = ?. a) Ta cã z = ( 0 - i) – (2 - 3i) + (7 + 8i) = (0 – 2 + 7) + ( - 1 + 3 + 8)i = 5 + 10i. VËy sè phøc z ®· cho cã phÇn thùc a = 5 vµ phÇn ¶o b = 10 b) Ta cã z = ( 0 - i).(2 + 3i).(5 + 2i) = (3 - 2i)(5 + 2i) = 19 - 4i. VËy sè phøc z ®· cho cã phÇn thùc a = 19 vµ phÇn ¶o b = - 4. 6−i 6 − i 3 − 2i 16 − 15i 16 15 = . = = − i. 3 + 2i 3 + 2i 3 − 2i 32 + 2 2 13 13 16 15 VËy sè phøc z ®· cho cã phÇn thùc a = vµ phÇn ¶o b = − . 13 13 c) Ta cã z = e) Ta cã z = (7 - 3i)2 - (2 - i)2 = [(7- 3i) + (2 - i)].[(7- 3i) - (2- i)] = (9 – 4i)(5 - 2i) = 37 - 38i. VËy sè phøc z ®· cho cã phÇn thùc a = 37 vµ phÇn ¶o b = -38. Bµi 2: Cho sè phøc z = 4 – 3i. T×m: a) z2. 1 . z c) z . b) 14 α 2 + π )] ) hay d) z + z2 + z3. H-íng dÉn. a) Ta cã z2 = (4 – 3i) 2 = 42 - 2.4.3i + (3i)2 = 7 - 24i. 1 1 1 4 + 3i 4 + 3i 4 3 = = . = 2 2 = + i z 4 − 3i 4 − 3i 4 + 3i 4 + 3 25 25 c) Ta cã z = 4 − 3i = 4 + 3i b) Ta cã d) Ta cã z + z 2 + z3 = z( 1 + z + z 2) = (4 – 3i)[ 1 + ( 4 – 3i) + (4 – 3i)2] = (4 – 3i)[ 1 + ( 4 – 3i) + (7 – 24i)] = (4 – 3i)(12 - 27i) = - 33 - 144i. Bµi 3: Chøng minh r»ng víi hai sè phøc z vµ z’ ta cã: a) z.z ' = z . z ' b) z' z' khi z kh¸c 0. = z z c) z + z ' ≤ z + z ' H-íng dÉn. a) Víi hai sè phøc z = a + bi vµ z’ = a’ + b’i th× z.z’ = (aa’- bb’) + (ab’ + ba’)i. Khi ®ã z.z ' = ( a.a '− bb ') − ( ab '+ ba ')i = ( a.a '− bb ') 2 + (ab '+ ba ') 2 = (a.a ') 2 + (bb ') 2 + ( ab ') 2 + (ba ') 2 MÆt kh¸c z . z ' = a 2 + b2 a '2 + b '2 = (a.a ') 2 + (bb ')2 + ( ab ')2 + (ba ') 2 Suy ra z.z ' = z . z ' . b) Víi hai sè phøc z = a + bi vµ z’ = a’ + b’i th× z ' a '+ b ' i a '+ b ' i a − bi (a.a '+ bb ') + ( ab '− a ' b)i = = . = z a + bi a + bi a − bi a2 + b2 z' (a.a '+ bb ') 2 (ab '− a ' b)2 ( a.a ') 2 + (bb ')2 + (ab ') 2 + (a ' b) 2 Khi ®ã: = + = z (a 2 + b 2 ) 2 (a 2 + b 2 ) 2 (a 2 + b 2 ) 2 = a 2 (a '2 + b '2 ) + b 2 (b '2 + a '2 ) ( a '2 + b '2 )(a 2 + b 2 ) ( a '2 + b '2 ) z ' = = = (a 2 + b 2 ) 2 (a 2 + b2 )2 (a 2 + b2 ) z Tõ ®ã suy ra z' z' . = z z c) Víi hai sè phøc z = a + bi vµ z’ = a’ + b’i th× z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i. Khi ®ã z '+ z = (a + a ') 2 + (b + b ') 2 ; z ' = a '2 + b '2 ; z = a 2 + b2 . Ta cã 15 ( z' + z ) ( z '+ z ) 2 2 = ( a '2 + b '2 + a 2 + b 2 ) 2 = a '2 + b '2 + a 2 + b 2 + 2 (a '2 + b '2 )(a 2 + b 2 ) = (a + a ') 2 + (b + b ') 2 = a 2 + a '2 + b 2 + b '2 + 2(aa '+ bb ') Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki ta cã (a '2 + b '2 )( a 2 + b 2 ) ≥ ( a.a '+ bb ') ⇔ ⇔ a '2 + b '2 + a 2 + b2 + 2 ( a '2 + b '2 )(a 2 + b2 ) ≥ a 2 + a '2 + b 2 + b '2 + 2(aa '+ bb ') ⇔ ( a '2 + b '2 + a 2 + b 2 ⇔ ( z' + z ) = 2 ( ) 2 ≥ (a + a ') 2 + (b + b ') 2 a '2 + b '2 + a 2 + b 2 ) ≥ (a + a ') + (b + b ') 2 2 2 = ( z '+ z ) 2 ⇔ ( z ' + z ) ≥ ( z '+ z ) ⇔ z ' + z ≥ z '+ z . 2 2 Bµi 4: X¸c ®Þnh tËp hîp çc ®iÓm trong mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn çc sè phøc z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: a) z − i = 2 b) z2 lµ sè ¶o. 4 2 H-íng dÉn. a) Gäi z = a+ bi, khi ®ã z − i = 2 ⇔ (a + bi) − i = 2 ⇔ a + (b − 1)i = 2 ⇔ a 2 + (b − 1) 2 = 4 . 1 -1 VËy, trong mÆt ph¼ng phøc sè z = a + bi sao cho z − i = 2 ®-îc biÓu diÔn bëi nh÷ng ®iÓm M(a; b) -2 tho¶ m·n a 2 + (b − 1) 2 = 4 . Tøc lµ nh÷ng ®iÓm thuéc ®-êng trßn cã ph-¬ng tr×nh x 2 + ( y − 1)2 = 4 tho¶ m·n bµi to¸n. 4 b) Gäi z = a+ bi, khi ®ã z2 = (a2 – b 2) + 2abi. Khi ®ã z2 lµ sè thuÇn ¶o khi vµ chØ khi  a =b . (a2 – b2) = 0 ⇔   a = −b 2 r ( x) = x  a=b VËy çc sè phøc z = a + bi mµ   a = −b tho¶ m·n bµi to¸n. BiÓu diÔn trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é ®ã lµ çc ®iÓm n»m trªn çc ®-êng th¼ng cã -2 s( x) = -x  y=x . ph-¬ng tr×nh   y = −x Bµi 5: Trªn mÆt ph¼ng phøc, t×m tËp hîp ®iÓm biÓu diÔn sè phøc z cã tÝnh chÊt ®-îc chØ ra trong mçi tr-êng hîp sau ®©y: a) phÇn thùc cña z b»ng 3. 16 b) c) d) e) phÇn ¶o cña z b»ng -3. phÇn thùc cña z lµ mét sè lín h¬n -1 vµ nhá h¬n 2. phÇn ¶o cña z lµ mét sè thuéc ®o¹n [-2 ; 3]. phÇn thùc vµ phÇn ¶o cña z lµ nh÷ng sè mét sè thuéc ®o¹n [-2 ; 3]. H-íng dÉn. Ta biÕt r»ng trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é xOy th×: - Nh÷ng ®iÓm M(x; y), trong ®ã x = a thuéc ®-êng th¼ng song song víi trôc Oy vµ c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm A(a; 0). - Nh÷ng ®iÓm M(x; y), trong ®ã y = b thuéc ®-êng th¼ng song song víi trôc Ox vµ c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm B(0; b). - Nh÷ng ®iÓm M(x; y), trong ®ã x ≥ a thuéc nöa mÆt ph¼ng phÝa bªn ph¶i cña mÆt ph¼ng xOy, cã bê lµ ®-êng th¼ng x = a vµ c¶ nh÷ng ®iÓm thuéc ®-êng th¼ng x = a. - Nh÷ng ®iÓm M(x; y), trong ®ã x ≤ a thuéc nöa mÆt ph¼ng phÝa bªn tr¸i cña mÆt ph¼ng xOy, cã bê lµ ®-êng th¼ng x = a vµ c¶ nh÷ng ®iÓm thuéc ®-êng th¼ng x = a. - Nh÷ng ®iÓm M(x; y), trong ®ã x > a thuéc nöa mÆt ph¼ng phÝa bªn ph¶i cña mÆt ph¼ng xOy, cã bê lµ ®-êng th¼ng x = a nh-ng kh«ng lÊy nh÷ng ®iÓm thuéc ®-êng th¼ng x = a. - Nh÷ng ®iÓm M(x; y), trong ®ã y < b thuéc nöa mÆt ph¼ng phÝa bªn d-íi cña mÆt ph¼ng xOy, cã bê lµ ®-êng th¼ng y = b nh-ng kh«ng lÊy nh÷ng ®iÓm thuéc ®-êng th¼ng y = b. - Nh÷ng ®iÓm M(x; y), trong ®ã y > b thuéc nöa mÆt ph¼ng phÝa bªn trªn cña mÆt ph¼ng xOy, cã bê lµ ®-êng th¼ng y = b nh-ng kh«ng lÊy nh÷ng ®iÓm thuéc ®-êng th¼ng y = b. - Nh÷ng ®iÓm M(x; y), trong ®ã y ≤ b thuéc nöa mÆt ph¼ng phÝa bªn d-íi cña mÆt ph¼ng xOy, cã bê lµ ®-êng th¼ng y = b vµ c¶ nh÷ng ®iÓm thuéc ®-êng th¼ng y = b . - Nh÷ng ®iÓm M(x; y), trong ®ã y ≥ b thuéc nöa mÆt ph¼ng phÝa bªn trªn cña mÆt ph¼ng xOy, cã bê lµ ®-êng th¼ng y = b vµ c¶ nh÷ng ®iÓm thuéc ®-êng th¼ng y = b . Tõ ®ã: a) Sè phøc z = a + bi mµ phÇn thùc lu«n b»ng 3 tøc lµ a = 3. Khi ®ã ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z lµ M(3 ; b). Do ®ã ®iÓm M thuéc ®-êng th¼ng x = 3, song song víi trôc Oy vµ c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm A(3; 0) nh- h×nh 1 ë bªn. 4 2 g ( y) = 3 -5 5 H×nh 1 -2 -4 17 b) Sè phøc z = a + bi mµ phÇn ¶o lu«n b»ng -3 tøc lµ b = -3. Khi ®ã ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z lµ M(a ; -3). Do ®ã ®iÓm M thuéc ®-êng th¼ng y = -3, song song víi trôc Ox vµ c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm B(0; - 3) nh- h×nh 2 ë bªn. 2 -5 5 -2 h( x) = -3 c) Sè phøc z = a + bi mµ phÇn thùc lµ mét sè lín h¬n -1 vµ nhá h¬n 2, tøc lµ -1 < a < 2. Khi ®ã ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z lµ M(a ; b), H×nh 2 trong ®ã – 1 < a < 2. Do ®ã ®iÓm M thuéc d¶i mÆt ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®-êng th¼ng song song cã ph-¬ng tr×nh t-¬ng øng lµ x = - 1 vµ x = 2 nh-ng kh«ng lÊy çc ®iÓm thuéc mçi ®-êng th¼ng nµy, nh- h×nh 3 ë bªn. -4 4 f( y) = -1 g ( y) = 2 2 5 h( x) = 3 H×nh 3 2 d) Sè phøc z = a + bi mµ phÇn ¶o cña z lµ mét sè thuéc ®o¹n [-2 ; 3], tøc lµ −2 ≤ b ≤ 3 . Khi ®ã ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z lµ M(a ; b) mµ −2 ≤ b ≤ 3 . Do ®ã ®iÓm M thuéc d¶i mÆt ph¼ng giíi h¹n H×nh 4 q ( x) = -2 bëi hai ®-êng th¼ng song song cã ph-¬ng tr×nh t-¬ng øng lµ y = - 2 vµ y = 3, cã lÊy çc ®iÓm thuéc mçi ®-êng th¼ng nµy, nh- h×nh 4 ë trªn. -5 -2 4 s( y) = 3 e) Sè phøc z = a + bi mµ phÇn thùc vµ phÇn ¶o cña z lµ nh÷ng sè thuéc ®o¹n [-2 ; 3], tøc lµ −2 ≤ a ≤ 3 vµ −2 ≤ b ≤ 3 . Khi ®ã ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z lµ M(a ; b), trong ®ã −2 ≤ a ≤ 3 vµ −2 ≤ b ≤ 3 . Do ®ã ®iÓm M thuéc h×nh vu«ng (lÊy c¶ çc ®iÓm thuéc biªn cña h×nh) cã c¹nh thuéc çc H×nh 5 ®-êng cã ph-¬ng tr×nh t-¬ng øng lµ x = - 2; x = 3; y = - 2 ; y = 3, nh- h×nh 5 ë bªn. h( x) = 3 2 q ( x) = -2 5 -2 r ( y) = -2 18 5 Bµi 6: T×m z tho¶ m·n: a) iz + 2 – 3i = 0 b) (4 - 3i)z + 7 – 5i = 0 c) (4 - 3i)z + 7 – 5i = 2z d) z2 + 4 = 0 H-íng dÉn. a) Víi sè phøc z = a + bi ta cã iz + 2 – 3i = 0 ⇔ z = −2 + 3i ( −2 + 3i)i = = −(−2i − 3) = 3 + 2i i i2 b) Víi sè phøc z = a + bi ta cã (4 - 3i)z + 7 – 5i = 0 ⇔ z = −7 + 5i (−7 + 5i )(4 + 3i ) −43 − i 43 1 = = =− − i 2 2 4 − 3i 4 +3 25 25 25 c) Víi sè phøc z = a + bi ta cã (4 - 3i)z + 7 – 5i = 2z ⇔ z = −7 + 5i ( −7 + 5i)(2 + 3i) −29 − 11i 29 11 = = =− − i 2 2 2 − 3i 2 +3 13 13 13 d) Víi sè phøc z = a + bi ta cã z2 + 4 = 0  b = 0  a = 0   2  a 2 − b 2 = −4  a = −4 b = 2  2 2 ⇔ (a − b ) + 2abi = −4 ⇔  ⇔ ⇔  a = 0 a=0  ab = 0  2   b = 4 b = −2 VËy cã hai sè phøc tho¶ m·n bµi to¸n lµ z = 2i hoÆc z = -2i. Bµi 7. Gi¶i ph-¬ng tr×nh x 2 - 3x + 10 = 0. H-íng dÉn. Ta cã ∆ = 32 - 4.10 = - 31, suy ra ∆ = −31 = 31. −1 = i 31 . Khi ®ã, theo c«ng thøc nghiÖm ta ®-îc: x1 = 3 + i 31 3 − i 31 , x1 = . 2 2 VËy ph-¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lµ: x1 = 3 + i 31 3 − i 31 , x1 = . 2 2 Chó ý : B¹n cã thÓ gi¶i ph-¬ng tr×nh trªn b»ng çch tÝnh ∆ ' = 2 2 - 1.5 = - 1 = (i) 2. Tõ ®ã suy ra ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ: x 1 = - 2 + i vµ x2 = -2 - i. Bµi 8: Gi¶i ph-¬ng tr×nh x4 + 5x 2 + 4 = 0 (1). H-íng dÉn. 19  t = −1  x 2 = −1  x=i ⇔ 2 ⇔ Gäi t = x2, ta cã ph-¬ng tr×nh (1) ⇔ t2 + 5t + 4 = 0 ⇔   t = −4  x = 2i  x = −4 VËy ph-¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lµ x = i vµ x = 2i. Bµi 9. Gi¶i ph-¬ng tr×nh x2 + ix + i - 1 = 0. H-íng dÉn. Ta cã ∆ = i2 - 4(i - 1) = -1 - 4i + 4 = 3 - 4i. §Ó t×m c¨n cña ∆ ta ph¶i t×m hai sè thùc u vµ v sao cho (u + iv)2 = 3 - 4i. Theo c«ng thøc phÇn tr-íc ta cã u1 = v1 = Tøc lµ ta cã ( ) ( ) ( ) 1 1 1 + 25 = 3 , u2 = − 1 + 25 = − 3 , 2 2 ( ) 1 1 −1 + 25 = 2 , v2 = − −1 + 25 = − 2 . 2 2 ∆ = ±( 3 + i 2) . Tõ ®ã, suy ra çc nghiÖm lµ : x1 =  −i + 3 + i 2 3  2 = +  − 1  i , 2 2  2  x2 =  −i − 3 − i 2 3  2 =− −  − 1  i . 2 2  2  Chó ý: Víi gi¸ trÞ c¨n cßn l¹i cña ∆ sau khi thay vµo c«ng thøc nghiÖm, ta ®-îc nghiÖm trïng víi hai gi¸ trÞ trªn. 3. Mét sè bµi tËp tù luyÖn Bµi 1. TÝnh a) i14 ; b) 6i3 - 4i5 ; c) i6 + i4 + i2 + 1 ; d) 1 − i + i2 − i3 + i 4 . 1−i Bµi 2. Cho hai sè phøc z = 2 - 3i vµ w = 5 + 2i. H·y cho biÕt phÇn thùc, phÇn ¶o cña mçi sè phøc sau ®©y: 20 a) z ; w b) z + w ; d) z + w − z c) z + z ; Bµi 3. H·y cho biÕt phÇn thùc, phÇn ¶o cña mçi sè phøc sau ®©y: a) (2 - 3i) + (6 + 8i); b) (3 - 4i) - (-2 - 5i); c) (5 + 3i)(2 - i); d) 6−i 1+i Bµi 4. H·y cho biÕt phÇn thùc, phÇn ¶o cña mçi sè phøc sau ®©y: a) z + z ; b) z − z ; c) z.z ; d) z . z Bµi 5. Cho z = 5 - 6i vµ w = 8 + 3i. H·y cho biÕt phÇn thùc, phÇn ¶o cña mçi sè phøc sau ®©y: a) z − w ; b) z.w ; c) z − w ; d) z − w . Bµi 6: Chøng minh r»ng sè phøc vµ liªn hîp cña nã cã nh÷ng tÝnh chÊt sau: () 1) z = z ; 2) z − w = z − w ; 3) z.w = z.w . Bµi 7. T×m trªn mÆt ph¼ng phøc tËp hîp ®iÓm biÓu diÔn çc sè phøc Z cã mét trong çc tÝnh chÊt d-íi ®©y: a) z = 10 . b) z ≤ 3 . c) 5 < z ≤ 7 . d) z > 4 . Bµi 8. H·y biÓu diÔn sè phøc sau d-íi d¹ng l-îng gi¸c a) 5; b) - 2 ; c) -3i; d) 1 - i. 21 Bµi 9. BiÓu diÔn sè phøc 1 + cosα + i sin α d-íi d¹ng l-îng gi¸c, ë ®©y α lµ nh÷ng sè thùc. Bµi 10. Cho hai sè phøc z1 = 3(cos π π π TÝnh a) z1.z 2; b) z1 . z2 Bµi 11. Cho sè phøc z = 2 −1 (cos π π + i sin ) vµ z2 = 3(cos + i sin ) . 3 3 6 6 π + i sin ) . H·y tÝnh : 3 3 a) z n; b) zn. Bµi 12. T×m c¨n bËc hai cña çc sè phøc sau: a) 11 - 60i; b) 5 + 12i; c) i; d) 24 + 70i; Bµi 13. Gi¶i çc ph-¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: a) x2 - 7x + 12 = 0. b) x2 - 6x + 16 = 0. c) x4 +10x2 + 9 = 0. d) x2 + ix + i + 1 = 0. 4. Mét sè bµi tËp «n tËp tæng hîp Bµi 1. T×m nh÷ng sè thùc x vµ y tho¶ m·n : a) x + 2i = 5 + yi; b) (x + 1) + 3(y - 1)i = 5 - 6i; Bµi 2. T×m nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh sau z = z 2 , ë ®©y z lµ sè liªn hîp cña z. 22 Bµi 3. Gi¶i ph-¬ng tr×nh a) x2 - 2x + 5 = 0; b) x2 + (1 + i)x - (1 - i) = 0; Bµi 4. T×m m«dun vµ argumen cña sè phøc z= 1 + cosα + i sin α ,(0 < α < π ) . 1 + cosα − i sin α Bµi 5. Chøng minh r»ng 3(1 + i)100 = 4i(1 + i)98 - 4(1 + i)96 . H-íng®Én. Bµi 1. a) x = 5 vµ y = 2. b) x = 4 vµ y = -1. Bµi 2. Gäi z = a + bi, trong ®ã a vµ b lµ çc sè thùc, ta cã z = a − bi vµ z2 = (a2 – b2 ) + 2abi. Khi ®ã z = z 2 ⇔ T×m çc sè thùc a vµ b sao cho  b=0   2   a = a 2 2 a − b = a  ⇔ a = − 1   2  2ab = − b     2 3    b = 4   1 2 Gi¶i hÖ trªn ta ®-îc çc nghiÖm (0; 0), (1; 0), (- ; Bµi 3. a) Ph-¬ng tr×nh x2 - 2x + 5 = 0 cã nghiÖm x = 1 ± 2i . b) Ph-¬ng tr×nh x2 + (1 + i)x - (1 - i) = 0 Ta cã ∆ = (1 + i) 2 + 4(1 − i ) = 4 − 2i . Gäi z = x + yi sao cho (x + yi)2 = 4 - 2i th× 23 1 3 3 ), (- ; ). 2 2 2 2 2 2  x 2 − y 2 = 4 ( x 2 − y 2 ) 2 = 16  x − y = 2  y = 2 5 − 1 ⇒ ⇒ 2 ⇒  2 2 2  2 xy = −2  4( xy ) = 4  x + y = 4 5  x = 1 + 2 5  x =    y = −  KÕt hîp víi xy = -1 ta cã   x = −    y = 2 5 +1 2 5 −1 2 5 +1 2 5 −1 Tõ ®ã, ph-¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x = −(1 + i ) ± ( 2 5 + 1 − i 2 5 − 1) . 2 Bµi 4. T×m m«dun vµ argumen cña sè phøc z= 1 + cos α + i sin α ,(0 < α < π ) . 1 + cosα − i sin α H-íng dÉn. Ta cã z= 1 + cosα + i sin α (1 + cosα + i sin α ) (1 + cos α + i sin α ) = . = 1 + cosα − i sin α (1 + cosα − i sin α + (1 + cos α + i sin α ) 1 + cos2 α − sin 2 α + 2 cosα + 2isinα + 2i.cosα sinα = 1 + 2 cosα + cos2 α + sin 2 α 2 cosα (1 + cosα ) + i 2sin α (1 + cosα ) = = cos α + i.sinα 2(1 + cos α ) r = cos2 α + sin 2 α = 1  r =1  ⇒ Tøc lµ z = cosα + i.sinα ⇒  cosϕ = cosα ϕ = α  sin ϕ = sin α  Bµi 5. Chøng minh r»ng 3(1 + i)100 = 4i(1 + i)98 - 4(1 + i)96 . H-íng dÉn. Ta cã 3(1 + i)100 - 4i(1 + i)98 = (1 + i) 98 [3(1 + i)2 - 4i] = (1 + i)98 [3(1 + 2i - 1) - 4i] = (1 + i)98 . 2i = 2i.(1 + i)96 . ( 1 + i)2 = 2i.(1 + i)96 . ( 1 + 2i - 1) = - 4i .(1 + i) 96 . 24 Ch-¬ng 5: Khèi ®a diÖn 1. kiÕn thøc c¬ b¶n. 1.1. §a gi¸c §a gi¸c (®¬n) lµ ®-êng gÊp khóc ®¬n trong mÆt ph¼ng; çc c¹nh cña ®-êng gÊp khóc gäi lµ çc c¹nh cña ®a gi¸c; çc ®Ønh cña ®-êng gÊp khóc gäi lµ çc ®Ønh cña ®a gi¸c. Mét ®a gi¸c ®¬n chia mÆt ph¼ng thµnh hai miÒn lµ miÒn trong vµ miÒn ngoµi. MiÒn ngoµi cã thÓ chøa trän mét ®-êng th¼ng cßn miÒn trong kh«ng thÓ chøa trän mét ®-êng th¼ng nµo c¶. Mét ®a gi¸c cïng miÒn trong cña nã hîp thµnh mét h×nh gäi lµ miÒn ®a gi¸c. 1.2. H×nh ®a diÖn §Þnh nghÜa. H×nh ®a diÖn lµ h×nh ®-îc t¹o bëi mét sè h÷u h¹n miÒn ®a gi¸c tho¶ m·n hai tÝnh chÊt: a) Hai miÒn ®a gi¸c ph©n biÖt chØ cã thÓ hoÆc kh«ng giao nhau hoÆc chØ cã mét ®Ønh chung hoÆc chØ cã mét c¹nh chung. b) Mçi c¹nh cña mét miÒn ®a gi¸c nµo còng lµ c¹nh chung cña ®óng hai miÒn ®a gi¸c. Mçi miÒn ®a gi¸c trong ®Þnh nghÜa ®-îc gäi lµ mét mÆt cña ®a diÖn. Çc ®Ønh, c¹nh cña çc miÒn ®a gi¸c Êy còng ®-îc gäi lµ ®Ønh, c¹nh cña ®a diÖn. Mét trong hai miÒn ®ã chøa toµn bé mét ®-êng th¼ng, ta gäi ®ã lµ miÒn ngoµi. MiÒn cßn l¹i kh«ng chøa trän mét ®-êng th¼ng nµo, ®-îc gäi lµ miÒn trong cña khèi ®a diÖn. H×nh ®a diÖn cã 4 mÆt th-êng gäi lµ h×nh tø diÖn; h×nh ®a diÖn t¸m mÆt th-êng gäi lµ h×nh b¸t diÖn,.... Nh÷ng h×nh vÏ d-íi ®©y cho ta h×nh ¶nh cña mét sè h×nh ®a diÖn a b d c f e 1 H×nh ®a diÖn chia çc ®iÓm cßn l¹i cña kh«ng gian thµnh hai miÒn sao cho: a) BÊt k× hai ®iÓm n»m trong cïng mét miÒn ®Òu cã thÓ nèi víi nhau b»ng mét ®-êng gÊp khóc n»m hoµn toµn trong miÒn ®ã. b) BÊt k× ®-êng gÊp khóc nµo nèi hai ®iÓm thuéc hai miÒn kh¸c nhau ®Òu cã ®iÓm chung víi h×nh ®a diÖn. Mét trong hai miÒn ®ã chøa toµn bé mét ®-êng th¼ng, ta gäi ®ã lµ miÒn ngoµi. MiÒn cßn l¹i kh«ng chøa trän mét ®-êng th¼ng nµo, ®-îc gäi lµ miÒn trong cña h×nh ®a diÖn. 1.3. Khèi ®a diÖn §Þnh nghÜa. Khèi ®a diÖn lµ phÇn kh«ng gian ®-îc giíi h¹n bëi mét h×nh ®a C' D' diÖn, kÓ c¶ h×nh ®a diÖn ®ã. Tõ ®Þnh nghÜa ta cã thÓ hiÓu: H×nh ®a diÖn cïng víi miÒn trong cña nã gäi lµ khèi ®a diÖn. B' Khèi ®a diÖn chia çc ®iÓm cßn l¹i cña kh«ng A' gian thµnh hai miÒn sao cho: a) BÊt k× hai ®iÓm n»m trong cïng mét miÒn ®Òu cã thÓ nèi víi nhau b»ng mét ®-êng gÊp khóc n»m hoµn toµn trong miÒn ®ã. D C b) BÊt k× ®-êng gÊp khóc nµo nèi hai ®iÓm thuéc hai miÒn kh¸c nhau ®Òu cã ®iÓm chung víi A h×nh ®a diÖn. B Mét trong hai miÒn ®ã chøa toµn bé mét ®-êng th¼ng, ta gäi ®ã lµ miÒn ngoµi. MiÒn cßn l¹i kh«ng chøa trän mét ®-êng th¼ng nµo, ®-îc gäi lµ miÒn trong cña khèi ®a diÖn. VÝ dô. H×nh l¨ng trô, h×nh hép, h×nh chãp cïng víi miÒn trong cña chóng ®Òu lµ nh÷ng khèi ®a diÖn vµ lÇn l-ît gäi lµ khèi l¨ng trô, khèi hép, khèi chãp. Çc miÒn ®a gi¸c gäi lµ çc mÆt, çc c¹nh cña chóng lµ c¹nh, çc ®Ønh cña chóng lµ ®Ønh cña khèi ®a diÖn. Çc ®o¹n th¼ng nèi hai ®Ønh kh«ng cïng n»m trong mét mÆt gäi lµ çc ®-êng chÐo cña khèi ®a diÖn. *) Khèi ABCDEFGHMN ë h×nh bªn mÆc dï G E ®-îc cÊu t¹o bëi rÊt nhiÒu mÆt ph¼ng nh-ng A kh«ng ph¶i lµ h×nh ®a diÖn v× AB lµ c¹nh chung M C cña 4 miÒn ®a gi¸c mµ kh«ng ph¶i lµ c¹nh chung cña ®óng hai miÒn ®a gi¸c nh- ®Þnh H nghÜa. F TÊt nhiªn, trong tr-êng hîp nµy khèi B ABCDEFGHMN ë h×nh bªn còng kh«ng ph¶i lµ D N khèi ®a diÖn. 2 *) Khèi ABCDEFGHMNTP ë h×nh bªn mÆc dï ®-îc cÊu t¹o bëi rÊt nhiÒu mÆt ph¼ng nh-ng kh«ng ph¶i lµ h×nh ®a diÖn v× cã c¹nh AB lµ c¹nh chung cña 4 miÒn ®a gi¸c mµ kh«ng ph¶i lµ c¹nh chung cña ®óng hai miÒn ®a gi¸c nh- ®Þnh nghÜa. TÊt nhiªn, trong tr-êng hîp nµy ABCDEFGHMN ë h×nh bªn còng kh«ng ph¶i lµ khèi ®a diÖn. G E A M C T H F B D N P 1.4 Hai ®a diÖn b»ng nhau. 1.4.1 PhÐp biÕn h×nh vµ phÐp dêi h×nh trong kh«ng gian. - PhÐp biÕn h×nh trong kh«ng gian ®-îc ®Þnh nghÜa gièng nh- trong mÆt ph¼ng. Trong kh«ng gian, quy t¾c ®Æt t-¬ng øng mçi ®iÓm M víi mét ®iÓm M’ x¸c ®Þnh duy nhÊt ®-îc gäi lµ phÐp biÕn h×nh. d' - VÝ dô 1: Cho mÆt ph¼ng P vµ ®-êng th¼ng d d M c¾t mÆt ph¼ng P. Víi mçi ®iÓm M cã duy nhÊt ®-êng th¼ng d’ ®i qua M vµ song song víi d. Gäi M’ lµ giao ®iÓm cña d’ víi P. Khi ®ã quy D M' t¾c cho t-¬ng øng ®iÓm M víi M’ lµ mét phÐp biÕn h×nh. P - VÝ dô 2: Trong kh«ng gian, phÐp ®Æt t-¬ng øng mçi ®iÓm M víi chÝnh nã lµ mét phÐp biÕn h×nh vµ ®-îc gäi lµ phÐp biÕn h×nh ®ång nhÊt. H.5 - NÕu phÐp biÕn h×nh trong kh«ng gian mµ b¶o toµn kho¶ng çch gi÷a hai ®iÓm tuú ý th× ®-îc gäi lµ phÐp dêi h×nh. VÝ dô: PhÐp ®ång nhÊt lµ mét phÐp dêi h×nh. r 1.4.2 PhÐp tÞnh tiÕn theo vect¬rv . - PhÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ v lµ phÐp biÕn h×nh biÕn ®iÓm M thµnh ®iÓm M’r sao cho uuuuur r MM ' = v , th-êng ®-îc kÝ hiÖur lµ T v . - NÕu qua phÐp tÞnh tiÕn T v , mµ çc ®iÓm A A, Buuur biÕnrthµnhuuur çc ®iÓm t-¬ng øng lµ A’, B’ r th× AA ' = v vµuuur BB ' =r v .uuur uuur uuuuur Tõ ®ã suy ra AA ' = v = BB ' ⇒ AB = A ' B ' ⇒ AB = A ' B ' . 3 B v B' v A' r Tøc lµ phÐp tÞnh tiÕn T v b¶o toµn kho¶ng çch gi÷a hai ®iÓm bÊt k×.r Do ®ã phÐp tÞnh tiÕn T v lµ mét phÐp dêi h×nh. C' D' A' B' VÝ dô: Cho h×nh lËp ph-¬ng ABCDA’B’C’D’, qua phÐp tÞnh tiÕn theo uuur vect¬ AB th× çc ®iÓm D, D’, A’ ®-îc biÕn thµnh çc ®iÓm t-¬ng øng lµ C, C’, B’ (nh- h×nh bªn). D C A B 1.4.3 PhÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng. - PhÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng P lµ phÐp biÕn h×nh biÕn ®iÓm M thµnh ®iÓm M’ sao cho P lµ mÆt ph¼ng trung trùc cña ®o¹n th¼ng MM’, th-êng ®-îc kÝ hiÖu lµ DP. A L-u ý: B - Theo ®Þnh nghÜa, nh÷ng ®iÓm M thuéc mÆt ph¼ng P th× ®-îc biÕn thµnh chÝnh nã qua phÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng P. - Gi¶ sö qua phÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng H K P mµ çc ®iÓm A, B biÕn thµnh çc ®iÓm t-¬ng øng lµ A’, B’. NÕu A, B ®Òu thuéc P mÆt ph¼ng P th× h¼n nhiªn A trïng víi A’ vµ B trïng víi B’, do ®ã AB = A’B’. Khi B' A' cã mét trong hai ®iÓm A hoÆc B thuéc mÆt ph¼ng P th× ta cã ABA’ (hoÆc BAB’) lµ tam gi¸c c©n, do ®ã AB = A’B’. Khi A, B kh«ng thuéc mÆt ph¼ng P th× ABB’A’ lµ h×nh thang c©n, cã hai ®¸y lµ AA’ vµ BB’. Tõ ®ã suy ra AB = A’B’. Tøc lµ phÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng P b¶o toµn kho¶ng çch gi÷a hai ®iÓm bÊt k×. Do ®ã phÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng P lµ mét phÐp dêi h×nh. - Víi ®iÓm M kh«ng thuéc mÆt ph¼ng P, nÕu qua phÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng P mµ M biÕn thµnh M’ th× ta còng nãi M vµ M’ lµ hai ®iÓm ®èi xøng nhau qua P. - NÕu qua phÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng P h×nh H biÕn thµnh chÝnh nã th× P ®-îc gäi lµ mÆt ph¼ng ®èi xøng cña h×nh H, tÊt nhiªn h×nh H lµ h×nh cã mÆt ph¼ng ®èi xøng. VÝ dô 1: Cho h×nh lËp ph-¬ng ABCDA’B’C’D’, qua phÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng (BB’D’D) th× çc ®iÓm A, A’ ®-îc biÕn C' D' A' B' D A 4 C B thµnh çc ®iÓm t-¬ng øng lµ C, C’. Tøc lµ C vµ C’ ®èi xøng nhau qua mÆt ph¼ng (BB’D’D). Qua phÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng (BB’D’D) th× l¨ng trô ABDA’B’D’ biÕn thµnh l¨ng trô CBDC’B’D’. Tõ ®ã (BB’D’D) lµ mét mÆt ph¼ng ®èi xøng cña h×nh lËp ph-¬ng ®· cho. B¹n cã thÓ t×m ra çc mÆt ph¼ng ®èi xøng kh¸c n÷a cña h×nh lËp ph-¬ng. E VÝ dô 2: H×nh b¸t diÖn ABCDEF (nh- h×nh bªn) nhËn mÆt ph¼ng (ABCD) lµ mÆt ph¼ng ®èi xøng. B A D C F 1.4.4 PhÐp ®èi xøng t©m O. - PhÐp ®èi xøng t©m O lµ phÐp biÕn h×nh biÕn ®iÓm O thµnh chÝnh nã, ®iÓm M kh¸c O thµnh ®iÓm M’ sao cho O lµ M trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MM’, O B th-êng ®-îc kÝ hiÖu lµ DO. A - Víi ®iÓm M kh¸c ®iÓm O, nÕu qua M' P phÐp ®èi xøng t©m O mµ M biÕn thµnh M’ th× ta còng nãi M vµ M’ lµ hai ®iÓm ®èi xøng nhau qua O. - Gi¶ sö qua phÐp ®èi xøng t©m O çc ®iÓm A, M biÕn thµnh çc ®iÓm t-¬ng øng lµ B, M’. NÕu c¶ A vµ M ®Òu trïng víi O th× h¼n nhiªn B vµ M’ còng trïng víi O, khi ®ã ta cã AM = BM’. NÕu chØ cã mét trong hai ®iÓm A hoÆc M trïng víi O th× h¼n nhiªn O lµ trung ®iÓm cña MM’ (hoÆc AB), khi ®ã ta cã MO = M’O (hoÆc AO = BO), tøc lµ còng cã AM = BM’. Khi c¶ hai ®iÓm A vµ M ®Òu kh«ng trïng víi O th× AMBM’ lµ h×nh b×nh hµnh, do ®ã AM = BM’. D' Tøc lµ ®èi xøng t©m O b¶o toµn kho¶ng çch C' gi÷a hai ®iÓm bÊt k×. Do ®ã phÐp ®èi xøng t©m O lµ mét phÐp dêi A' h×nh. B' O D C 5 A B VÝ dô: Cho h×nh lËp ph-¬ng ABCDA’B’C’D’, gäi O lµ giao ®iÓm cña çc ®-êng chÐo AC’, DB’, BD’, CA’. Qua phÐp ®èi xøng qua t©m O th× çc ®iÓm A, B, C, D ®-îc biÕn thµnh çc ®iÓm t-¬ng øng lµ A’, B’, C’ vµ D’. Qua phÐp ®èi xøng qua t©m O th× mçi ®iÓm M thuéc h×nh lËp ph-¬ng ®-îc biÕn thµnh mét ®iÓm M’ còng thuéc h×nh ®ã. Ta nãi h×nh lËp ph-¬ng ®-îc biÕn thµnh chÝnh nã qua phÐp ®èi xøng qua t©m O. Do ®ã O lµ mét t©m ®èi xøng cña h×nh lËp ph-¬ng ®· cho. 1.4.5 PhÐp ®èi xøng qua ®-êng th¼ng. d - PhÐp ®èi xøng qua ®-êng th¼ng d lµ phÐp biÕn h×nh biÕn nh÷ng ®iÓm thuéc d thµnh chÝnh nã, biÕn nh÷ng ®iÓm M kh«ng thuéc d thµnh ®iÓm M’ sao cho d lµ trung trùc cña M H M' ®o¹n th¼ng MM’, th-êng ®-îc kÝ hiÖu lµ Dd. P - Víi ®iÓm M kh«ng thuéc d, nÕu qua qua ®-êng th¼ng d mµ M biÕn thµnh M’ th× ta còng nãi M vµ M’ lµ hai ®iÓm ®èi xøng nhau qua d. - Theo ®Þnh nghÜa ta cã thÓ chøng minh ®-îc phÐp ®èi xøng qua ®-êng th¼ng d lµ mét phÐp dêi h×nh. Nh- vËy, çc phÐp biÕn h×nh trªn ®©y ®Òu lµ phÐp dêi h×nh. Chó ý r»ng thùc hiÖn liªn tiÕp hai phÐp dêi h×nh ta l¹i ®-îc mét phÐp dêi h×nh. 1.4.6 Hai h×nh b»ng nhau. - §Þnh nghÜa: Hai h×nh ®-îc gäi lµ b»ng nhau nÕu cã mét phÐp dêi h×nh biÕn h×nh nµy thµnh h×nh kia. - VÝ dô 1: Trong mét h×nh lËp ph-¬ng ABCDA’B’C’D’, ta ®· biÕt qua phÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng (BB’D’D) th× l¨ng trô ABDA’B’D’ biÕn thµnh l¨ng trô CBDC’B’D’, do ®ã l¨ng trô ABDA’B’D’ D' C' vµ l¨ng trô CBDC’B’D’ lµ b»ng nhau. - VÝ dô 2: Víi h×nh lËp ph-¬ng ABCDA’B’C’D’, gäi O lµ giao ®iÓm cña A' B' çc ®-êng chÐo AC’, DB’, BD’, CA’. Qua phÐp ®èi xøng qua t©m O th× çc ®iÓm A, B, C, D ®-îc biÕn thµnh çc ®iÓm t-¬ng O øng lµ A’, B’, C’ vµ D’. Tøc lµ, qua phÐp D ®èi xøng t©m O th× tø diÖn OABCD ®-îc C biÕn thµnh tø diÖn OC’D’A’B’. Do ®ã tø diÖn OABCD vµ tø diÖn OC’D’A’B’ b»ng nhau. A B 6 - Chó ý: V× thùc hiÖn liªn tiÕp hai phÐp dêi h×nh ta l¹i nhËn ®-îc mét phÐp dêi h×nh, do ®ã sù b»ng nhau cña hai h×nh cã tÝnh b¾c cÇu. - §Þnh lÝ: Hai h×nh tø diÖn b»ng nhau nÕu chóng cã çc c¹nh t-¬ng øng b»ng nhau. Tøc lµ, nÕu hai h×nh tø diÖn ABCD vµ A’B’C’D’ cã AB = A’B’, BC = B’C’, CD = C’D’, DA = D’A’ th× b»ng nhau. 1.4.7 PhÐp vÞ tù trong kh«ng gian vµ sù ®ång d¹ng cña çc khèi ®a diÖn. - §Þnh nghÜa: Cho sè k kh«ng ®æi kh¸c 0 D' vµ mét ®iÓm O cè ®Þnh. PhÐp biÕn h×nh biÕn ®iÓm M thµnh ®iÓm M’ sao cho uuuuur uuuur OM ' = kOM ®-îc gäi lµ phÐp vÞ tù. A' B' §iÓm O gäi lµ t©m vÞ tù, sè k gäi lµ tØ sè vÞ tù. - VÝ dô 1: Víi h×nh lËp ph-¬ng O ABCDA’B’C’D’, gäi O lµ giao ®iÓm cña D çc ®-êng chÐo AC’, DB’, BD’, CA’. Khi ®ã, qua phÐp vÞ tù t©m O, tØ sè k = -1 th× çc ®iÓm A, B, C, D ®-îc biÕn thµnh çc ®iÓm t-¬ng øng lµ C’, D’, A’ vµ B’. A C' C B E - VÝ dô 2: Cho h×nh b¸t diÖn ABCDEF (nhh×nh bªn) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC, BD, EF. Khi ®ã phÐp vÞ tõ t©m O tØ sè k = -1 A biÕn çc ®iÓm A, B, E thµnh çc ®iÓm t-¬ng øng lµ C, D, F. Chó ý: D *) Theo ®Þnh nghÜa, phÐp vÞ tù t©m O, tØ sè k biÕn uuuuur uuuur ®iÓm M thµnh ®iÓm M’ th× OM ' = kOM . Do ®ã , nÕu phÐp vÞ tù t©m O tØ sè k biÕn hai ®iÓm M, N thµnh ®iÓm t-¬ng øng lµ M’, N’ th× ta cã uuuuuur haiuuuu r F M ' N ' = k MN , suy ra M’N’ = |k| MN. *) PhÐp vÞ tù b¶o toµn tÝnh th¼ng hµng cña ba ®iÓm. *) PhÐp vÞ tù tØ sè k = -1 chÝnh lµ phÐp ®èi xøng t©m O. *) PhÐp vÞ tù tØ sè k = 1 lµ phÐp dêi h×nh. *) PhÐp vÞ tù biÕn tø diÖn thµnh tø diÖn. B C 7 - §Þnh nghÜa: Hai h×nh ®-îc gäi lµ ®ång d¹ng nÕu cã phÐp vÞ tù biÕn h×nh nä thµnh h×nh kia. - VÝ dô: Cho h×nh chãp SABCD, cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi A’, B’, C’ D’ t-¬ng øng lµ trung ®iÓm cña SA, SB, SC, SD. Khi ®ã, qua phÐp vÞ tù t©m S tØ sè 2 th× h×nh chãp SA’B’C’D’ biÕn thµnh h×nh chãp SABCD. Theo ®Þnh nghÜa hai h×nh chãp SA’B’C’D’ vµ h×nh chãp SABCD ®ång d¹ng víi nhau. S B' A' O' C' D' B A O D C 1.5. Ph©n chia khèi ®a diÖn thµnh nhiÒu khèi ®a diÖn - VÝ dô 1. Ta xÐt khèi ®a diÖn lµ khèi chãp tø gi¸c S.ABCD: Hai khèi chãp S.ABC vµ S.ACD cã chung nhau mÆt (SAC). MÆt (SAC) chia miÒn trong cña khèi chãp S.ABCD thµnh hai miÒn: miÒn trong cña khèi chãp S.ABC vµ miÒn trong cña khèi chãp S.ACD. Khi ®ã ta nãi: khèi ®a diÖn SABCD A ®-îc ph©n chia thµnh hai khèi ®a diÖn SABC vµ SACD. S D B C - VÝ dô 2: Ta biÕt r»ng mét h×nh hép ABCDA’B’C’D’ cã thÓ ph©n chia thµnh hai l¨ng trô tam gi¸c ABDA’B’D’ vµ CBDC’B’D’. Mçi khèi l¨ng trô tam gi¸c ABC.A'B'C' cã thÓ ph©n chia thµnh hai khèi ®a diÖn, ch¼ng h¹n: khèi chãp tø gi¸c ABB'C'C vµ khèi tø diÖn AA'B'C'. Víi khèi chãp tø gi¸c ABB'C'C ta l¹i cã thÓ ph©n chia thµnh hai khèi tø diÖn ABB'C vµ AB'C'C. Nh- vËy, khèi l¨ng trô tam gi¸c ABC.A'B'C' cã B A thÓ ®-îc ph©n chia thµnh ba khèi tø diÖn lµ : AA'B'C', ABB'C, ACC'B'. C Chó ý: - B¹n còng cã thÓ ph©n chia khèi l¨ng trô ABCA’B’C’ thµnh ba khèi tø diÖn theo çch kh¸c n÷a. - Qua çc vÝ dô nãi trªn, mét çch kh¸i qu¸t ta thÊy: Mét khèi ®a diÖn bÊt k× lu«n cã thÓ ph©n chia ®-îc thµnh çc khèi tø diÖn. 8 A' B' C’' 1.6. Khèi ®a diÖn ®Òu 1.6.1. Khèi ®a diÖn låi. Khèi ®a diÖn ®-îc gäi lµ låi nÕu ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm bÊt k× cña ®a diÖn ®ã lu«n thuéc khèi ®a diÖn ®ã. §a diÖn x¸c ®Þnh khèi ®a diÖn låi ®-îc gäi lµ ®a diÖn låi. VÝ dô: *) Çc khèi chãp, khèi l¨ng trô, khèi hép ®Òu lµ khèi ®a diÖn låi. Do ®ã H×nh chãp, h×nh l¨ng trô, h×nh hép lµ çc ®a diÖn låi. Mét tr-êng hîp ®Æc biÖt: Khèi ®a diÖn cã tÊt c¶ çc ®-êng chÐo n»m bªn trong nã lµ khèi ®a diÖn låi. *) Çc khèi ®a diÖn nh- h×nh d-íi ®©y kh«ng ph¶i lµ ®a diÖn låi. Çc khèi d-íi ®©y kh«ng ph¶i lµ khèi ®a diÖn do ®ã kh«ng thÓ lµ ®a diÖn låi. G E G A A M C M C T T H F H B B D D N N P P Ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng: Mét khèi ®a diÖn lµ khèi ®a diÖn låi khi vµ chØ khi miÒn trong cña nã lu«n n»m vÒ mét phÝa ®èi víi mçi mÆt ph¼ng chøa mét mÆt cña nã. 1.6.2 §Þnh lÝ ¥le. 9 a) §Þnh lÝ: Gäi d, c, m theo thø tù lµ sè ®Ønh, sè mÆt vµ sè c¹nh cña mét khèi ®a diÖn låi. Khi ®ã ta cã mèi liªn hÖ gi÷a çc ®¹i l-îng trªn lµ: d – c + m = 2. §¼ng thøc d – c + m = 2 ®-îc gäi lµ c«ng thøc ¥le. b) VÝ dô: - Ta biÕt h×nh lËp ph-¬ng cã 8 ®Ønh, 6 mÆt vµ 12 c¹nh tho¶ m·n d + m = c + 2. - Víi ®a diÖn kh«ng låi th× c«ng thøc ¥le nh×n chung lµ kh«ng ®óng, b¹n cã thÓ kiÓm nghiÖm víi ®a diÖn kh«ng låi ®Ò cËp ë trªn. 1.6.3 Khèi ®a diÖn ®Òu. §Þnh nghÜa. Khèi ®a diÖn ®Òu lµ khèi ®a diÖn låi cã tÝnh chÊt: - Mçi mÆt cña nã lµ mét miÒn ®a gi¸c ®Òu p c¹nh - Mçi ®Ønh cña nã lµ ®Ønh cña ®óng q mÆt. NÕu mçi mÆt cña khèi ®a diÖn ®Òu cã p ®Ønh vµ mçi ®Ønh cña khèi ®a diÖn cã q mÆt ®i qua th× khèi ®a diÖn ®Òu ®ã ®-îc gäi lµ khèi ®a diÖn ®Òu kiÓu (p, q). Theo c«ng thøc ¥le, cã 5 lo¹i khèi ®a diÖn ®Òu. Sè ®Ønh, sè c¹nh cña çc khèi ®a diÖn ®Òu ®-îc cho trong b¶ng sau: Khèi ®a diÖn Sè c¹nh ë Sè c¹nh ë Sè mÆt Sè Sè c¹nh mçi mÆt mçi ®Ønh ®Ønh 1. Tø diÖn ®Òu 3 3 4 4 6 2. Lôc diÖn ®Òu 4 3 6 8 12 3. B¸t diÖn ®Òu 3 4 8 6 12 4. ThËp nhÞ diÖn ®Òu 5 3 12 20 30 5. NhÞ thËp diÖn ®Òu 3 5 20 12 30 Khèi tø diÖn ®Òu 4 mÆt, 4 ®Ønh, kiÓu (3, 3) (H. 21a); Khèi lôc diÖn ®Òu (hay h×nh lËp ph-¬ng) 6 mÆt, 8 ®Ønh, kiÓu (4, 3) (H. 21b); Khèi b¸t diÖn ®Òu 8 mÆt, 6 ®Ønh, kiÓu (3, 4) (H. 21c); Khèi thËp nhÞ diÖn ®Òu 12 mÆt, 20 ®Ønh, kiÓu (5, 3) (H. 21d); Khèi nhÞ thËp diÖn ®Òu 20 mÆt, 12 ®Ønh, kiÓu (3, 5) (H. 21e). a b c d 10 e Chó ý: *) Khèi 12 mÆt ®Òu (ThËp nhÞ diÖn ®Òu) cã bao nhiªu c¹nh? bao nhiªu ®Ønh?. Khèi 12 mÆt ®Òu lµ lo¹i ®a diÖn ®Òu lo¹i (5; 3), tøc lµ mçi mÆt cã 5 c¹nh, mçi ®Ønh cã ®óng 3 c¹nh ®i qua. Khi ®ã, tÊt nhiªn khèi 12 mÆt ®Òu ph¶i cã 12 mÆt, mµ mçi mÆt cña nã cã ®óng 5 c¹nh, do ®ã víi 12 mÆt sÏ cã 5.12 = 60 c¹nh. Ta biÕt r»ng mçi c¹nh cña ®a diÖn chØ lµ c¹nh chung cña ®óng hai mÆt, do ®ã sè c¹nh cña ®a diÖn lµ 60 : 2 = 30. VËy khèi 12 mÆt ®Òu cã 30 c¹nh. H¬n n÷a, mçi ®Ønh cã ®óng 3 c¹nh ®i qua, do ®ã cã 60 : 3 = 20 ®Ønh. *) Khèi 20 mÆt ®Òu (NhÞ thËp nhÞ diÖn ®Òu) cã bao nhiªu c¹nh? bao nhiªu ®Ønh?. Khèi 20 mÆt ®Òu lµ lo¹i ®a diÖn ®Òu lo¹i (3; 5), tøc lµ mçi mÆt cã 3 c¹nh, mçi ®Ønh cã ®óng 5 c¹nh ®i qua. Khi ®ã, tÊt nhiªn khèi 20 mÆt ®Òu ph¶i cã 20 mÆt, mµ mçi mÆt cña nã cã ®óng 3 c¹nh, do ®ã víi 20 mÆt sÏ cã 5.12 = 60 c¹nh. Ta biÕt r»ng mçi c¹nh cña ®a diÖn chØ lµ c¹nh chung cña ®óng hai mÆt, do ®ã sè c¹nh cña ®a diÖn lµ 60 : 2 = 30. VËy khèi 20 mÆt ®Òu cã 30 c¹nh. H¬n n÷a, mçi ®Ønh cã ®óng 5 c¹nh ®i qua, do ®ã cã 60 : 5 = 12 ®Ønh. 1.7. ThÓ tÝch khèi ®a diÖn 1.7.1. Kh¸i niÖm vÒ thÓ tÝch ThÓ tÝch cña mét vËt hiÓu theo nghÜa th«ng th-êng lµ sè ®o ®é lín cña phÇn kh«ng gian mµ nã chiÕm chç. Do ®ã mäi vËt thÓ kh«ng gian ®-îc giíi h¹n bëi mét miÒn kÝn ®Òu cã thÓ tÝch. Trong thùc tÕ, nÕu h×nh ®a diÖn lµ nh÷ng thïng chøa (kÝn) th× ta cã thÓ ®æ ®Çy miÒn trong cña nã mét chÊt láng nµo ®ã vµ do ®ã cã thÓ biÕt ®-îc thÓ tÝch cña nã. NÕu khèi ®a diÖn lµ mét khèi ®Æc, kh«ng ®Õn nçi qu¸ lín, th× ta cã thÓ th¶ nã vµo trong mét thïng chøa ®Çy chÊt láng, thÓ tÝch cña khèi chÊt láng trµo ra sÏ b»ng thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn. Trong nhiÒu tr-êng hîp, c¶ hai çch trªn ®Òu kh«ng thÓ thùc hiÖn ®-îc. Chóng ta ph¶i t×m çch kh¸c, tr-íc hÕt ph¶i tiÕn hµnh nhËn d¹ng khèi ®a diÖn ®ã (khèi chãp, khèi l¨ng trô, hay khèi cã thÓ ph©n chia thµnh nhiÒu khèi chãp vµ khèi l¨ng trô,...), sau ®ã ®o kÝch th-íc cña chóng, råi dïng mét sè c«ng thøc ®Ó tÝnh thÓ tÝch. §Þnh nghÜa. ThÓ tÝch cña mét khèi ®a diÖn lµ mét sè d-¬ng cã çc tÝnh chÊt: a) Khèi lËp ph-¬ng cã c¹nh b»ng 1 th× cã thÓ tÝch b»ng 1. Khèi lËp ph-¬ng nh- thÕ gäi lµ khèi lËp ph-¬ng ®¬n vÞ. b) ThÓ tÝch cña hai khèi ®a diÖn b»ng nhau th× b»ng nhau. c) NÕu mét khèi ®a diÖn ®-îc ph©n chia thµnh nhiÒu khèi ®a diÖn th× thÓ tÝch cña nã b»ng tæng thÓ tÝch cña çc khèi ®a diÖn ®· ®-îc ph©n chia ra ®ã. 11 1.7.2. ThÓ tÝch khèi chãp a) ThÓ tÝch cña khèi chãp tam gi¸c §Þnh lÝ. ThÓ tÝch cña mét khèi chãp tam gi¸c b»ng mét phÇn ba tÝch cña diÖn tÝch ®¸y B vµ chiÒu cao h V= 1 Bh 3 h B HÖ qu¶. NÕu hai khèi chãp tam gi¸c mµ ®¸y cã diÖn tÝch b»ng nhau, ®-êng cao h¹ tõ ®Ønh xuèng mÆt ph¼ng ®¸y b»ng nhau th× cã thÓ tÝch b»ng nhau. S b) ThÓ tÝch cña khèi chãp n – gi¸c Mçi h×nh chãp n - gi¸c cã thÓ ph©n chia thµnh n - 2 khèi chãp tan gi¸c, cã chiÒu cao b»ng chiÒu cao cña h×nh chãp ®· cho (H. 23). Tõ ®ã: h A3 A2 1 1 1 V = B1h + B2h + ... + Bn-2h 3 3 3 1 = (B1 + B2 + ... + Bn-2)h 3 A1 A4 A5 Gäi B lµ diÖn tÝch ®¸y cña h×nh chãp n 1 Bh. 3 gi¸c ®· cho th× V = §Þnh lÝ. ThÓ tÝch cña mét khèi chãp b»ng mét phÇn ba tÝch cña diÖn tÝch ®¸y B vµ chiÒu cao h. V= 1 Bh 3 1.7.3. ThÓ tÝch cña khèi l¨ng trô a) ThÓ tÝch cña khèi hép ch÷ nhËt a a a 1 b c a 1 1 b c c H. 27 12 b 1 1 1 c b §é dµi ba c¹nh cña h×nh hép ch÷ nhËt cïng xuÊt ph¸t tõ mét ®Ønh th-êng gäi lµ ba kÝch th-íc cña h×nh hép ch÷ nhËt ®ã. H×nh hép ch÷ nhËt hoµn toµn ®-îc x¸c ®Þnh khi biÕt kÝch th-íc cña nã. Gäi V lµ thÓ tÝch cña khèi hép ch÷ nhËt cã kÝch th-íc lµ a, b, c; V1 lµ thÓ tÝch cña khèi hép ch÷ nhËt cã kÝch th-íc lµ 1, b, c. Theo tÝnh chÊt d ta cã: V a = = a (1). V1 1 Gäi V2 lµ thÓ tÝch cña khèi hép ch÷ nhËt cã kÝch th-íc lµ 1, 1, c. Ta cã: V1 b = = b (2). V2 1 Gäi V3 lµ thÓ tÝch cña khèi lËp ph-¬ng cã kÝch th-íc lµ 1, 1, 1. Theo tÝnh chÊt 1 th× V3 = 1 vµ ta cã: Suy ra V = V2 c = = c (3) 1 1 V V1 V2 . . = a.b.c V1 V2 1 §Þnh lÝ. ThÓ tÝch cña khèi hép ch÷ nhËt b»ng tÝch cña ba kÝch th-íc. Gi¶ sö khèi hép ch÷ nhËt cã ba kÝch th-íc lµ a, b, c. Gäi V lµ thÓ tÝch cña khèi hép ®ã, ta cã c«ng thøc: V = abc HÖ qu¶. ThÓ tÝch V cña h×nh lËp ph-¬ng cã c¹nh a lµ: V = a3. b) ThÓ tÝch cña khèi l¨ng trô Tr-íc hÕt ta t×m c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch víi khèi l¨ng trô tam gi¸c ABCA’B’C’ (H. 28): VABCA'B'C' = VAA'B'C' + VACC'B + VABB'C' VAA'B'C' = 1 Bh 3 VACC'B = VABB'C' v× diÖn tÝch cña hai tam gi¸c CC'B vµ BB'C' b»ng nhau, kho¶ng çch tõ A ®Õn mÆt ph¼ng chøa hai tam gi¸c B A ®ã còng lµ kho¶ng çch tõ A ®Õn mÆt ph¼ng (CC'B'B). C Mµ VAA'B'C' = VB'AA'C' = VBACC' (t-¬ng tù nhh trªn) Nh- vËy khèi l¨ng trô tam gi¸c ABCA’B’C’ ®· ®-îc ph©n chia thµnh ba khèi tø diÖn cã thÓ tÝch b»ng nhau lµ A' B' 1 Bh 3 C' 13 Nªn VABCA'B'C' = Bh, B lµ diÖn tÝch ®¸y, h lµ chiÒu cao cña khèi l¨ng trô. Ta chøng minh c«ng thøc trªn cho khèi l¨ng trô n - gi¸c bÊt k×. Muèn thÕ ta chia khèi l¨ng trô n - gi¸c thµnh n – 2 khèi l¨ng trô tam gi¸c cã cïng chiÒu cao h vµ cã diÖn tÝch ®¸y lÇn l-ît lµ B1, B2, .., Bn – 2. Theo tÝnh chÊt céng thÓ tÝch ta cã: V = B1h + B2h + ... + Bn - 2h = (B1 + B2 ... + Bn - 2)h. Gäi B lµ diÖn tÝch ®¸y cña h×nh l¨ng trô n - gi¸c ®· cho th× V = Bh. A2 A3 A1 A4 A5 A2 ' h A3' A1' A4' A5' §Þnh lÝ 3. ThÓ tÝch cña mét khèi l¨ng trô b»ng tÝch cña diÖn tÝch ®¸y B vµ chiÒu cao h V = Bh Chó ý: - Hai khèi l¨ng trô cã ®¸y b»ng nhau th× tØ sè thÓ tÝch b»ng tØ sè çc ®-êng cao t-¬ng øng cña chóng. - NÕu hai khèi chãp tam gi¸c mµ ®¸y b»ng nhau, ®-êng cao h¹ tõ ®Ønh xuèng mÆt ph¼ng ®¸y b»ng nhau th× cã thÓ tÝch b»ng nhau. 2. Mét sè bµi tËp vËn dông Bµi 1: NÕu mét khèi ®a diÖn cã çc mÆt lµ nh÷ng tam gi¸c th× tæng sè çc mÆt cña nã ph¶i lµ sè ch½n. ThËt vËy, gi¶ sö ®a diÖn ®ã cã m mÆt, theo gi¶ thiÕt mçi cã 3 c¹nh, nªn víi m mÆt ®a diÖn sÏ cã 3m c¹nh. Theo ®Þnh nghÜa mçi c¹nh cña ®a diÖn chØ lµ c¹nh chung cña hai mÆt, nªn sè c¹nh ph¶i lµ c = nguyªn, do ®ã 3m . MÆt kh¸c, ta biÕt sè c¹nh lµ sè 2 3m ph¶i lµ sè nguyªn, khi ®ã m ph¶i lµ sè chia hÕt cho 2, tøc lµ sè 2 mÆt ph¶i lµ sè ch½n. 14 Bµi 2: NÕu mét khèi ®a diÖn mµ mçi ®Ønh cña nã ®Òu lµ ®Ønh chung cña ®óng 5 mÆt th× tæng sè çc ®Ønh cña nã ph¶i lµ sè ch½n. ThËt vËy, gi¶ sö ®a diÖn ®ã cã d ®Ønh, theo gi¶ thiÕt mçi ®Ønh lµ ®Ønh chung cña ®óng 5 mÆt, nªn víi d ®Ønh th× ®a diÖn ®ã sÏ cã 5d mÆt. Theo ®Þnh nghÜa mçi c¹nh cña ®a diÖn chØ lµ c¹nh chung cña hai mÆt, nªn sè c¹nh ph¶i lµ c = ta biÕt sè c¹nh cña ®a diÖn ph¶i lµ sè nguyªn, do ®ã 5d . MÆt kh¸c, 2 5d ph¶i lµ sè nguyªn, khi ®ã 2 d ph¶i lµ sè chia hÕt cho 2, tøc lµ sè ®Ønh ph¶i lµ sè ch½n. Bµi 3. Cho tø diÖn ®Òu EFGH. Gäi I, J, K, L, M, H N, t-¬ng øng lµ trung ®iÓm cña çc c¹nh FG, GH, HF, HE, EG, EF. Chøng minh IJKLMN lµ mét b¸t diÖn ®Òu. H-íng dÉn. J Theo gi¶ thiÕt I, J, K, t-¬ng øng lµ trung L K ®iÓm cña çc c¹nh FG, GH, HF, nªn IJ, JK, KI ®Òu lµ çc ®-êng trung b×nh trong tam gi¸c FGH. G Theo gi¶ thiÕt J, L, M, t-¬ng øng lµ trung E M ®iÓm cña çc c¹nh GH, HE, EG nªn JL, LM, MJ ®Òu lµ çc ®-êng trung b×nh trong N I tam gi¸c EGH. F Theo gi¶ thiÕt K, L, N, t-¬ng øng lµ trung ®iÓm cña çc c¹nh HF, HE, EF nªn LK, KN, NL ®Òu lµ çc ®-êng trung b×nh trong tam gi¸c EFH. Tõ ®ã, çc tam gi¸c IJK, IMN, IJM, IKN, LKJ, LKN, LMJ, LMN ®Òu lµ çc tam gi¸c ®Òu b»ng nhau. Tõ ®ã, khèi IJKNML lµ b¸t diÖn ®Òu. Bµi 4. Cho tø diÖn OABC cã ba tia OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. Cho biÕt OA = a; OB = b, OC = c. C TÝnh theo a, b, c thÓ tÝch cña khèi tø diÖn. H-íng dÉn. Theo gi¶ thiÕt ta cã OC ®ång thêi vu«ng gãc víi OA vµ OB nªn OC vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (OAB). Tõ ®ã, gäi thÓ tÝch khèi tø diÖn lµ V th× V = 1 Bh, 3 c b O B a A 15 trong ®ã B = VËy V= 1 1 OA.OB = a.b cßn h = OC = c. 2 2 1 a.b.c. 6 Bµi 5. TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ®Òu cã c¹nh lµ a. A H-íng dÉn. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A trªn mÆt ph¼ng (BCD) nh- h×nh bªn. Trong tam gi¸c BCD cã: BH = B 2 a 3 a 3 = vµ . 3 2 3 D H a 3 2 2a 2  = AH2 = AB2 – BH2 = a2 -  , suy ra  3 3   AH = C a 6 . 3 1 a 6 1 a 3 a3 2 . = . .a. 3 3 2 2 12 VËy thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ®Òu ABCD lµ: V = . Bµi 6. Cho h×nh chãp SABCD cã SA = 3a vu«ng gãc víi ®¸y vµ ®¸y lµ h×nh thang vu«ng trong ®ã ®¸y lín lµ AD = 2a, ®¸y nhá BC = a, ®-êng cao AB = a. *) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD. *) Gäi E lµ trung ®iÓm cña AD, tÝnh thÓ tÝch khèi chãp SCDE. H-íng dÉn. *) Theo gi¶ thiÕt SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD) nªn SA = h = 3a. ®¸y lµ h×nh thang vu«ng, cã ®¸y lín lµ §A = 2a, ®¸y nhá BC = a vµ ®-êng cao AB = a. nªn diÖn tÝch ®¸y lµ 16 S 3a A a a a B E 2a C D B= 1 1 (AD + BC).AB = 3a2. 2 2 VËy thÓ tÝch khèi chãp SABCD lµ V = 1 1 2 1 . ( 3a ).3a = 3a3. 3 2 2 *) Ta cã VSABCD = VSABCE + VSCDE. DÔ thÊy ABCE lµ h×nh vu«ng, nªn ta cã thÓ tÝnh ®-îc 1 1 . (AB.AE).SA = . (a2).3a = a3. 3 3 1 1 Tõ ®ã VSCDE = VSABCD - VSABCE = 3a3 - a3 = a3. 2 2 VSABCE = Bµi 7. Cho tø diÖn ABCD cã hai cÆp c¹nh ®èi diÖn AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Gäi JI lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña AB vµ CD. BiÕt AB = m, CD = n vµ JI = d. TÝnh thÓ tÝch tø diÖn theo m, n, d. H-íng dÉn. Dùng mÆt ph¼ng P chøa CD vµ vu«ng gãc víi AB, gäi I lµ giao ®iÓm cña P víi AB th× J thuéc CD vµ IJ ®ång thêi vu«ng gãc víi AB vµ CD (nh- h×nh bªn). Ta cã VAICD = VBICD = A D d I J n C m 1 1 . ( IJ.CD).IA cßn 3 2 1 1 . ( IJ.CD).IB. 3 2 B 1 1 1 1 . ( IJ.CD).IA + . ( IJ.CD).IB 3 2 3 2 1 1 1 = . IJ.CD.(IA + IB) = . IJ.CD.AB = . m.n.d. 6 6 6 Do ®ã VABCD = VAICD + VBICD = Bµi 8. Cho khèi tø diÖn OABC. Trªn çc c¹nh OA, OB, OC cña khèi ®ã ng-êi ta lÊy çc ®iÓm t-¬ng øng lµ A’, B’, C’ bÊt k× nh-ng kh«ng trïng víi çc ®iÓm O, A, B, C. Gäi V, V’ t-¬ng øng lµ thÓ tÝch cña çc khèi OABC vµ OA’B’C’. Chøng minh r»ng: V OA.OB.OC = . V ' OA '.OB '.OC ' H-íng dÉn. 17 Gäi α lµ sè ®o cña gãc BOC. Gäi S lµ diÖn tÝch tam gi¸c A 1 OCB, th× S = OC.OB.sin α . 2 Gäi S’ lµ diÖn tÝch tam gi¸c OC’B’, th× S’ = A' 1 OC’.OB’.sin α . 2 Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A trªn mÆt ph¼ng (OBC) . Gäi H’ lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A’ trªn mÆt ph¼ng (OBC) nh- h×nh bªn, ta cã AH song song víi A’H’. C C' H H' O B' B AH OA = . A ' H ' OA ' 1 1 1 1 MÆt kh¸c V = ( OB.OC.sin α ). AH vµ V ' = ( OB '.OC '.sin α ). A ' H ' 3 2 3 2 1 1 ( OB.OC .sin α ). AH V AH .OB.OC OA.OB.OC 3 2 . Tõ ®ã = = = V ' 1 ( 1 OB '.OC '.sin α ). A ' H ' A ' H '.OB '.OC ' OA '.OB '.OC ' 3 2 Khi ®ã, trong tam gi¸c AOH cã Bµi 9. NÕu ba kÝch th-íc cña khèi hép ch÷ nhËt ®-îc t¨ng lªn k lÇn th× thÓ tÝch cña nã thay ®æi nh- thÕ nµo? G' F' H-íng dÉn. Gi¶ sö ta cã khèi hép ch÷ nhËt ABCDA’B’C’D’. E' Gäi çc kÝch th-íc cña khèi hép ch÷ nhËt ban A" ®Çu lµ AB = a, AD = b, A’A = c. Th× thÓ tÝch V cña khèi hép ®· cho lµ D' C' V = a.b.c. A' NÕu çc kÝch th-íc cña khèi hép ®ã t¨ng lªn k B' lÇn, tøc lµ ta cã khèi hép ch÷ nhËt míi lµ G AEFGA”E’F’G’ víi çc kÝch th-íc míi lµ: F AE = ka, AG = kb, A”A = kc. D Th× thÓ tÝch V cña khèi hép míi lµ C 3 V’ = (ka).(kb).(kc) = k .a.b.c. E A B Tøc lµ V’ = k3.V. 18 Bµi 10. Cho khèi l¨ng trô ABC.A'B'C', ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh A. MÆt bªn ABB'A' lµ h×nh thoi c¹nh a, n»m trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi ®¸y. MÆt bªn ACC'A' hîp víi ®¸y mét gãc α. TÝnh thÓ tÝch cña l¨ng trô? H-íng dÉn. Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A' xuèng AB (H. 11). Ta cã mp(AA'B'B) ⊥ mp(ABC) nªn A'H ⊥ (ABC) vµ AH ⊥ AC. A' B' Suy ra AA' ⊥ AC vµ gãc A'AH = α . Ta cã h = A'H = AA' . sinα, SABC = 1 1 AB.AC = 2 2 C' a2. Tõ ®ã thÓ tÝch khèi l¨ng trô ABC.A'B'C' lµ: V= a 1 2 1 a . a . sinα, hay V = a3 . sinα (®¬n vÞ 2 2 thÓ tÝch) . A h α Bµi 11. Cho h×nh hép ABCDA’B’C’D’. Gäi thÓ tÝch cña h×nh hép ABCDA’B’C’D’ lµ V. Gäi thÓ tÝch cña h×nh l¨ng trô ABCA’B’C’ lµ V’. Gäi thÓ tÝch cña tø diÖn A’ABD lµ V”. Chøng minh r»ng: V = 2V’ = 6V”. H-íng dÉn. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A’ trªn mÆt ph¼ng (ABCD), gäi h = AH. A' Gäi diÖn tÝch cña h×nh b×nh hµnh ABCD lµ B. Gäi diÖn tÝch cña tam gi¸c ABD lµ B’. Ta cã: V = B.h 1 B.h 2 1 1 V” = . ( B.h). 3 2 V’ = B H C H.30 D' C' B' h D C H Tõ ®ã, V = 2V’ vµ V = 6V”. A B Chó ý: Trong tr-êng hîp ®Æc biÖt, khi h×nh hép ®· cho lµ h×nh lËp ph-¬ng, ta dÔ dµng tÝnh ®-îc V = a3 cßn V” = 1 1 1 ( a.a)a = a3. Trong tr-êng hîp nµy ta vÉn cã V = 6V”. 3 2 6 Bµi 12. Cho khèi tø diÖn SABC. Mét mÆt ph¼ng P chøa SA vµ chia khèi tø diÖn ®· cho thµnh hai phÇn cã thÓ tÝch S A H 19 C D B b¼ng nhau, mÆt ph¼ng nµy c¾t BC t¹i ®iÓm D. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm D. H-íng dÉn. Gäi S vµ S’ t-¬ng øng lµ diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ACD vµ ABD. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña S trªn mÆt ph¼ng (ABC), theo gi¶ thiÕt ta ph¶i cã : 1 1 S.SH = S’.SH , suy ra S = S’. 3 3 Tøc lµ AD chia tam gi¸c ABC thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau, do ®ã D ph¶i lµ trung ®iÓm cña BC. Bµi 13. Cho khèi chãp SABCD, cã ®¸y ABCD lµ tø gi¸c låi, trong ®ã AD lµ c¹nh lín nhÊt. Mét mÆt ph¼ng P chøa SB vµ chia khèi tø diÖn ®· cho thµnh hai phÇn cã thÓ tÝch b¼ng nhau, mÆt ph¼ng nµy c¾t AD t¹i ®iÓm E. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm E. S H-íng dÉn. Gäi S vµ S’ t-¬ng øng lµ diÖn tÝch cña tam gi¸c ABE vµ tø gi¸c BCDE. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña S trªn mÆt ph¼ng (ABCD), theo gi¶ thiÕt ta cã : 1 1 S.SH = S’.SH , suy ra S = S’. 3 3 B C Tøc lµ AD chia tø gi¸c ABCD thµnh hai H phÇn cã ®iÖn tÝch b»ng nhau. Tõ ®ã, yªu cÇu bµi to¸n t-¬ng ®-¬ng víi x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm D sao cho BD chia tø gi¸c ABCD thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch A E D b»ng nhau. Nèi BD, tõ C kÎ CF song song víi BD (F thuéc AD nh- h×nh d-íi ®©y), khi ®ã hai tam gi¸c BCD vµ BFD cã diÖn tÝch b»ng nhau, (v× cã cïng ®é dµi c¹nh ®¸y BD vµ kho¶ng çch tõ ®Ønh F vµ C ®Õn ®¸y BD b»ng nhau, do CF //BD). Khi ®ã SABCD = SABD + SBCD = SABD + SBFD = SABF. NghÜa lµ diÖn tÝch cña tø gi¸c ABCD B C b»ng diÖn tÝch cña tam gi¸c ABF. Ta ®· biÕt ®-êng th¼ng chia tam gi¸c ABF thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau lµ ®-êng trung tuyÕn cña tam gi¸c ®ã. Do ®ã, nÕu gäi E lµ A E D F trung ®iÓm cña ®o¹n AF th× BE chia tam gi¸c ABF thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau, do ®ã BE chia tø gi¸c ABCD thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau. 20 VËy ®iÓm cÇn t×m lµ trung ®iÓm cña AF, trong ®ã F lµ giao ®iÓm cña ®-êng th¼ng ®i qua C vµ song song víi BD. 3. Mét sè bµi tËp tù luyÖn 4. Mét sè bµi «n tËp tæng hîp. Bµi 1. Trªn c¹nh AD cña h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi c¹nh lµ a, lÊy ®iÓm M sao cho: AM = x (0 ≤ x ≤ a). Trªn nöa ®-êng th¼ng Ax vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vu«ng t¹i ®iÓm A, lÊy ®iÓm S sao cho SA = y (y > 0). a) Chøng minh r»ng (SAB) ⊥ (SBC). b) TÝnh kho¶ng çch tõ ®iÓm M ®Õn mÆt ph¼ng (SAC)? c) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABCM theo a, y vµ x? d) BiÕt r»ng x2 + y2 = a2 t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña thÓ tÝch khèi chãp S.ABCM? S H-íng dÉn. a) BC ⊂ (SBC) BC ⊥ AB (GT)   ⇒ BC ⊥ SA (GT)  BC ⊥ (SAB) b) y ⇒ (SAB) ⊥ (SBC) . Tõ M h¹ MH ⊥ AC   ⇒ MH ⊥ (SAC) MÆt kh¸c MH ⊥ SA (GT ) VËy MH lµ kho¶ng çch tõ M tíi mÆt ph¼ng (SAC). Trong tam gi¸c vu«ng AMH cã: MH = x.sin450 = A x D B H M C H. 2x 2 c) H×nh chãp S.ABCM cã ®-êng cao SA = y vµ cã ®¸y lµ h×nh thang vu«ng nªn diÖn tÝch ®¸y lµ B = 1 a(a + x). 2 Do ®ã thÓ tÝch khèi chãp S.ABCM lµ: V= 1 1 1 y . a(a + x) = ya(a + x). 3 2 6 d) Theo gi¶ thiÕt x2 + y2 = a2 ⇒ y2 = a2 – x2 21 1 ya(a + x) ⇒ 6 1 2 2 1 2 a (a – x2)(x + a)2 = a (a – x)(a + x)3 V2 = 36 36 Theo kÕt qu¶ c©u c) ta cã V = 1 2 1 2  (3a − 3 x) + (a + x) + (a + x ) + (a + x )  = a (3a − 3 x)( a + x)( a + x )(a + x) ≤ a   36.3 108  4  4 4 1 2  6a  81a 6 = a   = . 108  4  1728 Suy ra V ≤ a3 3 8 VËy V ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lµ a a3 3 khi 3a - 3x = a + x hay x = . 2 8 Bµi 2 : TÝnh thÓ tÝch cña mét khèi l¨ng trô n - gi¸c ®Òu cã tÊt c¶ çc c¹nh ®Òu b»ng nhau. A'6 H-íng dÉn. A'5 Gäi a lµ ®é dµi c¹nh cña h×nh l¨ng trô n – gi¸c A'1 O' ®Òu, r lµ b¸n kÝnh ®-êng trßn néi tiÕp ®a gi¸c ®¸y A'2 A'3 A'4 A1A2…An, p lµ nöa chu vi ®¸y. A1A 2 + A 2 A3 + ... + A n A1 na = 2 2 Ta cã p = Khi ®ã diÖn tÝch ®¸y tÝnh theo c«ng thøc: SA1A2…An = rp. A6 A1 I A2 Tæng çc gãc trong cña ®a gi¸c ®¸y cã n c¹nh b»ng 1800(n – 2). Trong tam gi¸c OIA2: r = OI = IA2.tanIA2O = Suy ra V = a. a 1800 a 1800 tan(900 ) = cot 2 n 2 n a 1800 na na 3 1800 cot cot . = . 2 n 4 n 2 22 A5 O A3 A4 Bµi 3. H×nh l¨ng trô ®øng ABC.A'B'C' cã ®¸y ABC lµ mét tam gi¸c vu«ng t¹i A vµ AC = b, gãc C = 600. §ång thêi ®-êng chÐo BC' cña mÆt bªn (BB'C'C) t¹o víi mp(AA'C'C) mét gãc 300. a) TÝnh ®é dµi ®o¹n AC' b) TÝnh thÓ tÝch cña khèi l¨ng trô H-íng dÉn. Ta cã C' A' AB ⊥ AC   ⇒ AB ⊥ (AA’C’C) AB ⊥ AA' 300 B' ⇒ AC’B = 300 (nh- h×nh bªn). a) Trong tam gi¸c ABC ta cã: b A C 600 0 AB = AC.tan60 = b 3 Trong tam gi¸c vu«ng ABC’: B AC’ = AB.cot300 = 3b. b) Trong tam gi¸c vu«ng ACC’ cã: C’C2 = C’A2 – AC2 = 9b2 – b2 = 8b2. Suy ra C’C = 2 2 b Tõ ®ã thÓ tÝch cña khèi l¨ng trô ABCA’B’C’ b»ng: 1 2 V = C’C. .AB.AC = 6 b3 Bµi 4. Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD. a) BiÕt AB = a vµ SA = l, tÝnh thÓ tÝch khèi chãp theo a vµ l b) BiÕt SA = l vµ gãc gi÷a mÆt bªn vµ ®¸y b»ng α. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp theo α vµ l? H-íng dÉn. S a) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm S trªn mÆt ph¼ng (ABCD) nh- h×nh bªn. V× SA = SB = SC = SD nªn HA = HA =HC = HD. l Trong tam gi¸c vu«ng SAH cã: D C H A 23 a B 2 a 2  2l2 - a 2   SH = SA – AH = l -  .  = 2  2  2 Suy ra SH = 2 2 2 2(2l2 - a 2 ) 2 Do ®ã thÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD b»ng: 1 V= . 3 2(2l2 - a 2 ) 2 1 2(2l2 - a 2 ) .a 2 .a = 6 2 b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña CB. V× tam gi¸c SCB c©n (SB = SC) nªn SM ⊥ CB, suy ra HM lµ h×nh chiÕu cña SM trªn mÆt ph¼ng (ABCD), tõ ®ã HM ⊥ CD (theo ®Þnh lÝ ba ®-êng vu«ng gãc). Nh- vËy: S SMH = α , nh- h×nh bªn. Trong tam gi¸c vu«ng SMD cã: 4l2 - a 2 SM = SB – MB = 4 2 2 l 2 4l2 - a 2 (1) 2 Suy ra SM = D A a HM a = (2) cosα 2cosα Tõ (1) vµ (2) ta cã ph-¬ng tr×nh: a 4l2 - a 2 = hay a = cosα. 4l2 - a 2 (3) 2cosα 2 B×nh ph-¬ng c¶ hai vÕ cña (3) ta ®-îc: 4cos2αl2 a = cos α(4l – a ) ⇒ a = 1 + cos2α 2 2 ⇒a= M H Trong tam gi¸c vu«ng SMH cã: SM = C α 2 2 2 2lcosα 1 + cos2α 1 + cos2α Trong tam gi¸c SHM cã: 24 B SH = HM.tanα = Suy ra V = lcosα 1 + cos2α lsin α 1 + cos2α .tanα = 1 + cos2α 1 + cos2α 1 .SH.a2 3 = 1 lsin α 1 + cos2α l2 4cos 2α 4 l3 . sin α . cos2 α 1 + cos2α . . = . 1 + cos 2α 3 3 (1 + cos2α )2 1 + cos2α Bµi 5. Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ABC.A'B'C' cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a vµ ®Ønh A' çch ®Òu çc ®iÓm A, B, C. §ång thêi c¹nh bªn AA' cña l¨ng trô t¹o víi mÆt ph¼ng ®¸y mét gãc 600. a) TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô theo a. b) Chøng minh r»ng BCC'B' lµ h×nh ch÷ nhËt. c) TÝnh tæng diÖn tÝch çc mÆt bªn cña h×nh l¨ng trô theo a. H-íng dÉn. A' C' Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A’ trªn mÆt ph¼ng (ABC). Theo B' gi¶ thiÕt ta cã A’A = A’B = A’C ⇒ HA = HB = HC. Tõ ®ã H lµ t©m cña tam gi¸c ®Òu ABC vµ A’AH = 600 A a) Trong tam gi¸c A’AH cã : A’H = AH.tan600 = 600 K a 3 . 3 = a, suy ra 3 1 a 3 V = A’H.S∆ABC = a. .a. = 2 2 C H B 3a 3 . 4 b) V× H lµ t©m cña tam gi¸c ®Òu ABC nªn AH ⊥ BC. MÆt kh¸c A’H ⊥ BC nªn BC ⊥ (A’AH). ⇒ BC ⊥ A’A ⇒ BC ⊥ B’B. Suy ra BB’C’C lµ h×nh ch÷ nhËt. c) Trong tam gi¸c A’AH cã: A’A = AH 2 3a = 0 cos60 3 25 ⇒ SBB’C’C = BB’.BC = 2 3a 2 (1) 3 Gäi K lµ trung ®iÓm cña AB. V× HK ⊥ AB nªn A’K ⊥ AB (§Þnh lÝ ba ®-êng vu«ng gãc). Trong tam gi¸c A’AK: A’K2 = A’A2 – AK2 = Suy ra a = 13a 2 12 39a 6 Tõ ®ã SAA’B’B = A’K.AB = 39a 2 (2) 6 Chøng minh t-¬ng tù ta còng cã SAA’C’C = 2 3a 2 + Tõ (1), (2), (3) ta cã : Sxq = 3 39a 2 (3) 6 39a 2 + 6 39a 2 (2 3 + 39 )a 2 = . 6 3 Bµi 6. Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD a) BiÕt AB = a vµ gãc gi÷a mÆt bªn vµ ®¸y b»ng α, tÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp theo a vµ α. b) BiÕt ®é dµi cña ®o¹n th¼ng nèi ®Ønh h×nh chãp víi trung ®iÓm cña mét c¹nh ®¸y b»ng d vµ gãc gi÷a c¹nh bªn vµ ®¸y b»ng ϕ, tÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp theo d vµ ϕ. H-íng dÉn. S a) Gäi h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm S trªn mÆt ph¼ng (ABCD) lµ H, nh- h×nh bªn. Tõ H h¹ HM ⊥ CD ⇒ SM ⊥ CD (Theo ®Þnh lÝ ba ®-êng vu«ng gãc), suy ra SMH = α. Trong tam gi¸c SHM cã: SH = HM.tanα = a.tanα . 2 A D H B 26 M C 1 a.tanα 2 a 3 .tanα VËy V = . .a = . 2 6 3 b) Ta cã HD lµ h×nh chiÕu cña SD trªn mÆt ph¼ng (ABCD), nªn HDS = ϕ. a 2 .tanϕ 2 Trong tam gi¸c SHD cã: SH = HD.tanϕ = Suy ra SH2 = a 2 .tan 2ϕ (1) 2 S Trong tam gi¸c SHM cã: SH2 = SM2 – HM2 = 4d 2 - a 2 (2) 4 Tõ (1) vµ (2) suy ra: a 2 .tan 2ϕ 4d 2 - a 2 = 2 4 d α A 2d 2tan ϕ + 1 4d ⇒a = ⇒a= 2 2tan ϕ + 1 2tan 2ϕ + 1 D 2 2 2 H M B C 1 VËy V = .SH.BC2 = 3 1 2d 2tan 2ϕ + 1 2.tanϕ 4d 2 . . . 2tan 2ϕ + 1 2tan 2ϕ + 1 2 3 = 4 2d 3 tanϕ 2tan 2ϕ + 1 . (2tan 2ϕ + 1) 2 Bµi 7. Cho mét h×nh hép ®øng ABCD.A'B'C'D' cã AA' = h. Trªn çc c¹nh BB' vµ DD' lÊy hai ®iÓm t-¬ng øng lµ M vµ N sao cho BM = DN = x < h . 2 BiÕt r»ng mÆt ph¼ng ®i qua ba ®iÓm A, M, N chia khèi hép ®· cho thµnh hai phÇn, tÝnh tØ sè thÓ tÝch cña hai phÇn ®ã. H-íng dÉn. B' C' D' A' h E 27 A M B P F N x D C Nèi AN, khi ®ã AN // (BB’C’C) do ®ã mÆt ph¼ng (AMN) c¾t mÆt ph¼ng (BB’C’C) theo giao tuyÕn MP song song víi ®-êng th¼ng AN. Tø gi¸c AMPN lµ thiÕt diÖn t¹o thµnh khi c¾t h×nh hép ABCD.A’B’C’D’ bëi mÆt ph¼ng (AMN) nh- h×nh bªn. Ta thÊy: (AA’B’B) // (CC’D’D) ⇒ AM // NP. Tõ ®ã suy ra AMPN lµ h×nh b×nh hµnh. C¾t h×nh hép bëi mét mÆt ph¼ng ®i qua M vµ song song víi mÆt ph¼ng (ABCD), ta cã thiÕt diÖn lµ h×nh b×nh hµnh MENF. H×nh chãp A.EMN vµ PFMN cã ®-êng cao lµ x. Tõ gi¶ thiÕt ta cã ∆ EMN = ∆ FNM nªn: VAEMN = VPFMN = 1 .x.SMENF 6 Do VABCDMNP = VABCDMENF - VAEMN + VPFMN ⇒ VABCDMNP = VABCDMENF = x.SABCD T-¬ng tù VABCD.A’B’C’D’ = h.SABCD ⇒ VA’B’C’D’AMNP = VABCDA’B’C’D’ – VABCDMNP = (h – x).SABCD ⇒ VABCDNPM x.SABCD x . = = VABCDNPM (h - x).SABCD h - x Bµi 8. Cho tø diÖn ABCD, gäi d lµ kho¶ng çch gi÷a hai ®-êng th¼ng AB vµ CD, α lµ gãc gi÷a hai ®-êng th¼ng ®ã. Chøng minh r»ng: VABCD = 1 AB.CD.d.sinα 6 H-íng dÉn. Trong mÆt ph¼ng (BCD), dùng h×nh b×nh hµnh BCDD’ nh- h×nh vÏ. A Suy ra ABD’ = α. K D' D H B 28 C Gäi K lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm C trªn mÆt ph¼ng (ABD’). V× CD // (ABD’) nªn CK chÝnh lµ kho¶ng çch gi÷a CD vµ AB, do ®ã CK = d. Ta cã: VABCDD’ = VCABD’ + VDACD’ (1) VCABD’ = = 1 1 .CK. .AB.BD’.sinα 2 3 1 d.AB.CD.sinα (2) 6 VDACD’ = 1 1 .AH.S∆DD’C = .AH.S∆BCD = VABCD (3) 3 3 Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã: VABCDD’ = MÆt kh¸c: VABCDD’ = 1 d.AB.CD.sinα + VABCD (4) 6 1 .AH.2.S∆BCD = 2.VABCD (5) 3 Tõ (4) vµ (5) ta cã: VABCD = 1 d.AB.CD.sinα (®pcm) 6 Bµi 8. Khèi chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh SC. Mét mÆt ph¼ng (α) ®i qua M vµ song song víi BD c¾t SA, SB, SD lÇn l-ît t¹i A’, B’, D’ ®ång thêi chia khèi chãp thµnh hai phÇn. TÝnh tØ sè thÓ tÝch cña hai phÇn ®ã. A H-ìng dÉn. Ta cã: VSADB= VSABC = VSBDC = VSADC = VSABCD . 2 M D' V× mÆt ph¼ng (MB’A’D’) // BD (theo gi¶ thiÕt) nªn nã c¾t (ABD) theo giao tuyÕn D B’D’ song song víi BD, nh- h×nh bªn. Tõ ®ã ta cã: Gäi SB' SD' = SB SD B' A' C O A SA' SB' SD' = x; = y (x > 0, y > 0) = SA SB SD vµ VSABCD = V. 29 B V× M lµ trung ®iÓm cña SC nªn SM 1 = . SC 2 ¸p dông kÕt qu¶ bµi 6 ta cã: SA' SB' SD' VSA' B'D' . . = = xy2 (1) SA SB SD VSABD SB' SM SD' y2 VSB' MD' . . = = (2) 2 SB SC SD VSBCD Tõ (1), (2): 1 2.VSA' B'MD' 1 VSA' B'D' V + SMB' D' = y2(x + ) hay = y2(x + ) (3) 2 V 2 VSABD VSBCD Chøng minh t-¬ng tù ta cã: 1 VSA' B'M = xy (4) 2 VSABC 1 VSA' D'M = xy (5) 2 VSADC Tõ (4) vµ (5): 2.VSA' B'MD' VSA' B'M V + SA' D'M = xy hay = xy (6) V VSABC VSADC Tõ (3) vµ (6) ta cã ph-¬ng tr×nh: x – xy - 1 y = 0 (7) 2 Tõ (1) vµ (4) ta cã: 2.VSA' B'MD' 1 = xy(y + ) (8) V 2 Tõ (2) vµ (4) ta cã: 2.VSA' B'MD' 1 = y(x + y) (9) V 2 Tõ (8) vµ (9) ta cã ph-¬ng tr×nh: x (y + 1 1 ) = (x + y) (10) 2 2 Tõ (7) vµ (10) ta cã hÖ ph-¬ng tr×nh: 30 1  x - xy - 2 y = 0 (11)  xy - 1 y = 0 (12)  2 Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh trªn ta ®-îc x = y = Tõ (13) vµ (6) ta cã : VSA’B’MD’ = 1 (13) 2 V (14) 8 Ta thÊy: VABCDA’B’MD’ = V – VSA’B’MD’ = V - V 7V = (15) 8 8 Tõ (14) vµ (15) suy ra: V 7V 1 VSA' B'MD' = : = . 8 8 7 VABCDA' B'MD' Bµi 10. Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A'B'C' cã tÊt c¶ çc c¹nh ®¸y ®Òu b»ng a. H¬n n÷a, gãc t¹o thµnh bëi c¹nh bªn vµ mÆt ®¸y lµ 600 vµ h×nh chiÕu H cña ®Ønh A lªn mp(A'B'C') trïng víi trung ®iÓm cña c¹nh B'C'. a) TÝnh kho¶ng çch gi÷a hai mÆt ®¸y b) TÝnh gãc gi÷a hai ®-êng th¼ng BC vµ AC' c) TÝnh gãc gi÷a mp(ABB'A') vµ mÆt ®¸y. d) TÝnh thÓ tÝch cña khèi l¨ng trô. A C H-íng dÉn. Ta cã h×nh vÏ nh- h×nh bªn. B a) Ta thÊy AH lµ kho¶ng çch gi÷a hai mÆt ph¼ng ®¸y. V× A’H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña c¹nh 600 C' I bªn AA’ trªn mÆt ph¼ng ®¸y nªn H K B' AA’H = 600 Trong tam gi¸c AA’H cã: AH = A’H.tan600 = A' 3a a 3 . 3 = . 2 2 31 b) Gãc gi÷a BC vµ AC’ lµ gãc AC’B’. Trong tam gi¸c vu«ng AHC’ cã: tanAC’B’ = AH 3a a = : = 3. HC' 2 2 c) Tõ H h¹ HK ⊥ A’B’. Ta thÊy HK lµ h×nh chiÕu cña AK trªn mÆt ph¼ng (A’B’C’). Suy ra AK ⊥ A’B’. VËy gãc gi÷a mÆt ph¼ng (ABB’A’) vµ mÆt ph¼ng (A’B’C’) lµ AKH Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng A’B’, ta cã C’I ⊥ A’B’ (v× A’B’C’ lµ tam gi¸c ®Òu), suy ra C’I // HK. V× H lµ trung ®iÓm cña B’C’ nªn HK lµ ®-êng trung b×nh cña tam gi¸c B’C’I, suy ra HK = C' I a 3 = . 2 4 Trong tam gi¸c vu«ng AKH cã: tanAKH = AH 3a a 3 = : = 2a 3 . HK 2 4 d) Tõ çc kÕt qu¶ ®· tÝnh ®-îc ta cã thÓ tÝch khèi l¨ng trô lµ: V= 3a 1 a 3 3 3a 3 . .a. = . 2 2 2 8 Bµi 11. Cho tø diÖn OABC trong ®ã OA = a, OB = b, OC = c vµ ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. §iÓm M thuéc miÒn tam gi¸c ABC. Gäi H, I, K t-¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm M trªn çc mÆt ph¼ng (xOy), (yOz), (zOx). a) Gäi MH = z, MI = x, MK= y, chøng minh r»ng: x y z + + =1. a b c b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M thuéc miÒn tam gi¸c ABC sao cho thÓ tÝch cña khèi MHIK lín nhÊt. c) Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c HIK, t×m tËp hîp ®iÓm G khi M di ®«ng trong miÒn tam gi¸c ABC. H-íng dÉn. 32 Ta dùng h×nh hép ch÷ nhËt ODHEFKMI, trong ®ã OM lµ mét ®-êng chÐo cña h×nh hép nh- h×nh vÏ. Khi ®ã: OD = MI = x; OF = MH = z; C OE = MK = y. a) Víi c©u nay ta cã thÓ ®i ®Õn kÕt qu¶ theo hai çch. Çch 1: y I Nèi ®iÓm M víi çc ®iÓm O, A, B, C F khi ®ã ta cã çc khèi tø diÖn ®Ønh M lµ: x x y M MOAB, MOBC, MOCA, víi çc ®-êng K z z cao t-¬ng øng lµ MH = z, MI = x vµ MK = y. z Gäi V, V1, V2, V3 t-¬ng øng lµ thÓ tÝch O B y E cña çc khèi OABC, MOAB, MOBC vµ z x x T MO CA ta cã: V = V1 + V2+ V3 . MÆt kh¸c: 1 V1 = SOAB .MH 3 D y H vµ 1 A V = SOAB .OC . Tõ ®ã suy ra 3 1 1 S .MH S .MI z x V V1 3 OAB V2 3 OBC = = . T-¬ng tù, ta cã: = = ; 3= 1 V V 1 S .OA a V SOAB .OC c OBC 3 3 x y z V V V V +V +V Suy ra: + + = 2 + 3 + 1 = 1 2 3 = 1 . a b c V V V V 1 S .MK y 3 OCA = . 1 SOCA .OB b 3 Çch 2: Ta cã thÓ chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz sao cho çc tia Ox, Oy, Oz t-¬ng øng trïng víi çc tia OA, OB, OC. Víi hÖ to¹ ®é ®· chän, ta cã: M(x; y; z). Ta còng x¸c ®Þnh ®-îc A(a; 0; 0), B(0 ; b; 0) vµ C(0 ; 0 ; c), nªn mÆt ph¼ng (ABC) cã ph-¬ng tr×nh: x y z + + = 1 ( (ABC) lµ mÆt ph¼ng ch¾n). a b c b) Theo çch dùng th× ODHEFKMI h×nh lµ hép ch÷ nhËt. Gäi S lµ giao ®iÓm cña çc ®-êng chÐo OM, DI, FH, KE cña h×nh hép ch÷ nhËt ®ã, th× S lµ trung ®iÓm cña mçi ®-êng. Qua phÐp ®èi xøng t©m S th× çc ®iÓm M, I, H, K ®-îc biÕn thµnh çc ®iÓm t-¬ng øng lµ: O, D, F, E. Khi ®ã tø diÖn MIHK ®-îc biÕn thµnh tø diÖn ODFE. Do ®ã, hai tø diÖn Êy b»ng nhau, suy ra thÓ tÝch cña chóng b»ng nhau. Ta dÔ dµng tÝnh ®-îc: 33 VMIHK = VODEF = MÆt kh¸c: VMIHK VOABC 1 1 OD.OE.OF = x. y.z cßn VOABC = 6 6 1 1 OA.OB.OC = a.b.c . 6 6 C 1 x. y. z x. y.z 6 . = = 1 a . b . c .a.b.c 6 ta cã x, y, z ®Òu lµ çc sè d-¬ng vµ x y z + + = 1 (theo c©u a)). a b c y I F x Tõ ®ã suy ra : x y z 3 + + VMIHK x. y.z  a b c   1  = ≤  =  3 VOABC a.b.c    3   VMIHK 1 Tøc lµ: hay ≤ VOABC 27 1 1 abc VMIHK ≤ . a.b.c = . 27 6 162 Suy x y 3 M K z z z O B y x E z x T D H y ra maxVMIHK abc x y z 1 = ⇔ = = = . 162 a b c 3 A abc khi M lµ träng t©m tam gi¸c ABC. 162 VËy thÓ tÝch khèi MIHK lín nhÊt lµ c) Trong h×nh hép ch÷ nhËt ODHEFKMI th× OM c¾t mÆt ph¼ng (HIK) t¹i ®iÓm G lµ träng t©m tam gi¸c HIK. H¬n n÷a sè k = OM 3 = . Tõ ®ã suy ra phÐp vÞ tù t©m O tØ MG 2 3 biÕn ®iÓm M thµnh ®iÓm G. 2 Theo gi¶ thiÕt M thuéc miÒn tam gi¸c ABC, do ®ã ®iÓm G thuéc miÒn tam gi¸c A’B’C’ lµ ¶nh cña tam gi¸c ABC qua phÐp vÞ tù t©m O tØ sè k = 34 3 . 2 Ch-¬ng 6: MÆt trßn xoay. mÆt nãn. mÆt trô. mÆt cÇu. 1. kiÕn thøc cÇn nhí 1.1. MÆt trßn xoay Trong kh«ng gian cho mét mÆt ph¼ng P vµ mét ®-êng th¼ng ∆ vu«ng gãc víi P. Gäi O lµ giao ®iÓm cña ∆ vµ P. Víi mçi ®iÓm M thuéc P xÐt ®-êng trßn CM cã t©m O, cã b¸n kÝnh R = OM. Khi ®iÓm M ch¹y trªn ®-êng trßn CM ta nãi ®iÓm M ®-îc xoay xung quanh ∆, CM ®-îc gäi lµ ®-êng trßn sinh bëi ®iÓm M khi quay xung quanh ∆ . ∆ O M P §Þnh nghÜa. Trong mÆt ph¼ng (Q) cho mét ®-êng th¼ng ∆ vµ mét ®-êng C nµo ®ã. Khi quay mÆt ph¼ng xung quanh ∆ mét gãc 3600 th× mçi ®iÓm M trªn C v¹ch nªn mét ®-êng trßn thuéc mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi ∆ ®ång thêi cã t©m O trªn ®-êng th¼ng ∆ vµ cã b¸n kÝnh R = OM. Nh- vËy khi quay mÆt ph¼ng P xung quanh ®-êng th¼ng ∆ th× nh÷ng ®iÓm trªn ®-êng C sÏ t¹o nªn mét h×nh ®-îc gäi lµ mÆt trßn xoay. Cã thÓ hiÓu h×nh (T) gåm tÊt c¶ çc ®-êng trßn CM víi M thuéc C khi quay mÆt ph¼ng P xung quanh ∆ mét gãc 3600 ®-îc gäi lµ mÆt trßn xoay sinh Q bëi ®-êng C. §-êng th¼ng ∆ gäi lµ trôc cña mÆt trßn xoay (T), ®-êng th¼ng C gäi lµ ®-êng sinh cña mÆt trßn xoay (T). ∆ l M VÝ dô 1. Trong thùc tÕ ta vÉn th-êng g¨p çc mÆt trßn xoay, nh-: MÆt ngoµi cña mét Lä hoa, hoÆc mÆt ngoµi cña mét Qu¶ bãng ®¸, hoÆc mÆt ngoµi cña mét Bãng ®iÖn,… . ∆ C VÝ dô 2. Trong mÆt ph¼ng (Q) lÊy nöa F ®-êng trßn C víi ®-êng kÝnh n»m trªn trôc I E H 1 G J D ∆. MÆt trßn xoay (T) sinh bëi nöa ®-êng trßn C khi quay quanh ∆ gäi lµ mÆt cÇu. Ng-îc l¹i mét mÆt cÇu cã thÓ xem lµ mÆt trßn xoay víi trôc lµ ®-êng kÝnh bÊt k× cña nã. VÝ dô 3: Trong mÆt ph¼ng (Q) lÊy ®-êng th¼ng d c¾t trôc ∆ vµ t¹o thµnh mét gãc α kh«ng ®æi, mµ 00 < α 5 2 An . 2 Đề 4 (§Ò thi tèt nghiÖp Trung häc phæ th«ng n¨m häc 2005 – 2006; Thêi gian lµm bµi: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò.) Bài 1 (4, 0 điểm) 1. Khao sat va ve đồ thi (C) cua ham số y = x3 - 6x2 + 9x . 4 2. Viet phuong trinh tiep tuyen tai điểm uốn của dồ thi (C). 3. Với gia tri nao cua tham so m, duong thang y = x + m2 - m di qua trung điểm cua đoạn thẳng nối hai diem cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). Bài 2 (1,5 điểm) 1 .Tinh dien tich hinh phang giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ex, y = 2 và đường thảng x = 1. p 2 2. Tính tích phân I = ò 0 sin 2x dx 4 - cos2x Bài 3 (2, 0 điểm) Trong mat phang với hệ toạ độ Oxy cho hypebol (H) co phuong trinh x2 y2 = 1. 4 5 1. Tim toa do cac tiêu điểm, toạ độ các đỉnh và viết phuong trinh cac duong tiệm cận của (H). 2. Viet phuong trinh cac tiep tuyen cua (H) biet cac tiep tuyen do di qua diem M(2; 1). Bài 4 (2, 0 điểm) Trong khong gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba diem A(l; 0; -1), B(l; 2; 1), C(0; 2; 0). Goi G la trọng tâm tam giác ABC. 1. Viet phuong trinh duong thẳng OG. 2. Viet phuong trinhặmt cầu (S) di qua bốn điểm O, A, B, C. 5 3. Viet phuong trinh cac mat phang vuong goc với đường thẳng OG va tiep xúc voi mat cau (S). Bài 5 (1, 0 điểm) Tim he so cua x5 trong khai trien nhị thức Niutơn của (1 + x )n , n Î ¥ * , biet tổng tat ca cac he so trong khai triển trên bằng 1024. Đề 5 (§Ò thi tèt nghiÖp Trung häc phæ th«ng ph©n ban n¨m häc 2002 – 2003; Thêi gian lµm bµi: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò.) I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ 2 BAN (8,0 điểm) Bài 1 (4,0 điểm) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = -x3 + 3x2. 2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình -x3 + 3x2-m = 0. 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. Bài 2 (2,0 điểm) 1. Giai phuong trinh 22x+2-9.2X +2 = 0. 2. Giai phuong trinh 2x2 -5x + 4 = 0 tren tap số phức. Bài 3 (2,0 điểm) Cho hinh chop S.ABCD có đáy ABCD la hinh vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a 3 . 1. Tính the tich cua khối chóp S.ABCD. 6 2. Chung minh trung điểm của cạnh SC la tâm mặt cầu ngoại tiếp hinh chop S.ABCD. II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN (2,0 điểm) A. Thí sinh Ban KHTN chọn bài 4a hoặc bài 4b Bài 4a (2,0 điểm) ln 5 1 . Tính tích phân I= (e x + 1)e x ò e x - 1 dx ln 2 2. Viet phuong trinh cac tiep tuyến của đồ thị hàm số y = x 2 - 5x + 4 , biet x -2 cac tiep tuyen do song song với duong thang y = 3x + 2006. Bài 4b (2,0 điểm) Trong khong gian với hệ toa do Oxyz cho ba diem A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6). 1. Viet phuong trinh mat phang di qua ba diem A, B, C. Tmh dien tich tarn giac ABC. 2. Goi G la trong tarn tarn giac ABC. Viet phuong trinh mat cau duong kinh OG. B. Thí sinh Ban KHXH-NV chọn câu 5a hoặc câu 5b Bài 5a (2,0 điểm) 7 1 I= 1 . Tính tích phân ò (2x + 1)e dx x 0 2. Viet phuong trinh tiep tuyen cua do thi ham so y = 2x + 3 tai diem x +1 thuoc do thi co hoành độ x 0 = 3 Bài 5b (2,0 điểm) Trong khong gian với hệ toa do Oxyz cho ba diem A(-l; 1; 2), B(0; 1; 1), C(l; 0; 4). 1 . Chứng minh tam giac ABC vuong. Viet phuong trinh tham so cua duong thang AB. uuur uuur 2. Goi M la diem sao cho MB= - 2MC . Viet phuong trinh mat phang di qua M va vuong goc với đường thẳng BC. §Ò 6. (Thêi gian lµm bµi 180 phót ) PhÇn c©u hái Tr¾c nghiÖm kh¸ch quan. C©u 1: H·y khoanh trßn vµo ch÷ § hoÆc S t-¬ng øng víi lùa chän ®óng hoÆc sai. C©u hái a) ∫ x n dx = Ph-¬ng ¸n chän § S n +1 x + C ; ∀n ∈ R. n +1 C©u 2: H·y ghÐp mçi ý ë cét bªn tr¸i víi mét ý ë cét bªn ph¶i ®Ó ®-îc kÕt qu¶ ®óng. Cét bªn tr¸i Cét bªn ph¶i a) f(x) = 1 (2 x − 1) 2 1 b) f(x) = 3 (2 x − 1) 2 3 2 cã hä nguyªn hµm lµ 1) F ( x) = .3 2 x − 1 + C cã hä nguyªn hµm lµ 2) F ( x) = 1 +C 4x − 2 1 +C 4x − 2 5 3 4) F ( x) = (2 x − 1) 3 + C 10 3) F ( x) = − 8 Tr¶ lêi: Cét bªn tr¸i a) b) Cét bªn ph¶i Víi çc c©u tõ sè 3 ®Õn sè 9 d-íi ®©y cã 4 ph-¬ng ¸n lùa chän lµ a), b), c) vµ d) trong ®ã chØ cã mét ph-¬ng ¸n ®óng. H·y ®iÒn vµo b¶ng tr¶ lêi ph-¬ng ¸n ®óng t-¬ng øng víi m«i c©u. C©u 3: Gäi F(x) = ∫ ( ax + b) n dx th× a) F(x) = 1 (ax + b) n +1 n ( ) ( ) ax + b d ax + b = +C. a∫ a (n + 1) b) F(x) = 1 (ax + b) n +1 n ( ax + b ) d ( ax + b ) = + C ; víi ∀n ∈ R. a∫ a (n + 1) c) F(x) = 1 (ax + b) n +1 n ( ax + b ) d ( ax + b ) = + C ; víi a ≠ 0 vµ ∀n ∈ R. a∫ a (n + 1) d) F(x) = 1 ( ax + b) n +1 n ( ax + b ) d ( ax + b ) = + C ; víi a ≠ 0 vµ n ≠ −1. a∫ a ( n + 1) C©u 4: Gäi F(x) = ∫ u n ( x).u ' ( x).dx th× u n +1 ( x) +C n +1 u n +1 ( x) + C ; ∀n ∈ R b) F(x) = ∫ u n ( x).d (u ( x)) = n +1 u n +1 ( x) + C ; ∀n ≠ −1 vµ u(x) lµ mét hµm sè liªn tôc. c) F(x) = ∫ u n ( x).d (u ( x)) = n +1 u n +1 ( x) + C ; ∀n ∈ R vµ u(x) lµ mét hµm sè liªn tôc. d) F(x) = ∫ u n ( x).d (u ( x)) = n +1 C©u 5: Gäi F(x) = ∫ a x dx th×: a) F(x) = ∫ u n ( x).d (u ( x)) = a) F(x) = b) F(x) = c) F(x) = d) F(x) = ax +C ln a ax + C ; víi 0 < a ≠ 1. ln a ax + C ; ∀a ∈ R ln a a x . ln a + C ; víi 0 < a ≠ 1. 1 C©u 6: Gäi I = xdx th×: 2 +1 ∫x 0 1 a) I = ln 2 2 b) I = ln2 9 c) I = π 4 d) I = π . 1 C©u 7: Gäi I = ∫ x.e x .dx th×: 0 a) b) c) d) I= I= I= I= e e2 1 0 C©u 8: Cho h×nh ph¼ng H giíi h¹n bëi çc ®-êng y = 0; x = 1; x = e vµ y = 1 x ThÓ tÝch V cña khèi trßn xoay t¹o thµnh khi quay h×nh H quanh trôc hoµnh lµ: a) V = 2π e . b) V = π e . c) V = π . d) V = 1. 1 C©u 9: Gäi I = ∫ 1 − x 2 dx th× 0 a) I = 1. π b) I = . c) I = 4 π 2 . d) I = π . C©u 10: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCDA’B’C’D’ cã AB = a, AD = b, AA’ = c. HÖ trôc to¹ ®é ®-îc chän nh- h×nh vÏ bªn. Khi ®ã ®iÓm C’ cã to¹ ®é lµ: a) b) c) d) C’ (b; c; 0) C’ (c; 0; b) C’ (0; b; c) Mét kÕt qu¶ kh¸c C©u 11: Ph-¬ng tr×nh cña mÆt cÇu cã t©m I (1; 2; 3) vµ b¸n kÝnh R = 2 lµ: a) x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z + 18 = 0 b) x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z + 10 = 0 c) x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z = 18 10 . d) x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z = 10 C©u 12: Ph-¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng P ®i qua ®iÓm M (1; 2; 3) vµ cã vÐct¬ ph¸p r tuyÕn n ( 4; 5; 6) lµ: a) 4(x + 1) + 5(y + 2) + 6(z + 3) = 0 b) 4(x - 1) + 5(y - 2) + 6(z - 3) = 32 c) (x - 1) + 2(y - 5) + 3(z - 6) = 0 d) 4x + 5y + 6z = 32 C©u 13: Cho hai mÆt ph¼ng P vµ Q cã ph-¬ng tr×nh t-¬ng øng lµ: 3x + 2y + z = 5 vµ x y + + z = 5. Khi ®ã: 3 2 a) MÆt ph¼ng P song song víi mÆt ph¼ng Q. b) MÆt ph¼ng P trïng mÆt ph¼ng Q. c) MÆt ph¼ng P c¾t mÆt ph¼ng Q. d) MÆt ph¼ng P vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng Q. C©u 14: Cho mÆt ph¼ng P cã ph-¬ng tr×nh: 3x - 4y + 12z = 37 vµ ®iÓm M(1; 1; 1). Khi ®ã kho¶ng çch tõ ®iÓm M ®Õn mÆt ph¼ng P lµ: a) d = - 1 b) d = 1 c) d = 2 d) Mét kÕt qu¶ kh¸c C©u 15: Cho ph-¬ng tr×nh x2+y2+z2–2mx +2(m + 1)y+2(m + 2)z+2m2+7m -1= 0, trong ®ã m lµ tham sè. Ph-¬ng tr×nh ®· cho lµ ph-¬ng tr×nh cña ®-êng trßn khi: m > 3 a)  m < 2 m ≥ 3 b)  m ≤ 2 c) 2 < m < 3 d) 2 ≤ m ≤ 3 C©u 16: Trong kh«ng gian to¹ ®é Oxyz, 3x + 4y = 5 lµ: a) ph-¬ng tr×nh cña mét ®-êng th¼ng. b) ph-¬ng tr×nh cña mét mÆt ph¼ng song song víi trôc Ox. c) ph-¬ng tr×nh cña mét mÆt ph¼ng song song víi trôc Oy. d) ph-¬ng tr×nh cña mét mÆt ph¼ng song song víi trôc Oz. C©u 17: Cho hai mÆt ph¼ng P vµ Q cã ph-¬ng tr×nh t-¬ng øng lµ 2x-3y + 5z = 10 vµ 2x - 3y + 5z = 20. §iÓm M çch ®Òu hai mÆt ph¼ng ®· cho cã to¹ ®é tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh: a) 2x - 3y + 5z = 30 b) 2x - 3y + 5z = 15 c) 2x - 3y + 5z + 30 = 0 d) 2x - 3y + 5z + 15 = 0 11 C©u 18: §-êng hai ®-êng th¼ng d vµ d’ lÇn l-ît cã cã ph-¬ng tr×nh lµ  x = 1 + 2t x −1 y +1 z − 5  vµ  y = 2 − 3t ; t ∈ R . Khi ®ã: = = 1 2 2  z = 3 + 5t  a) b) c) d) ®-êng th¼ng d vµ ®-êng th¼ng d’ lµ hai ®-êng th¼ng song song. ®-êng th¼ng d vµ ®-êng th¼ng d’ lµ hai ®-êng th¼ng trïng nhau. ®-êng th¼ng d vµ ®-êng th¼ng d’ lµ hai ®-êng th¼ng c¾t nhau. ®-êng th¼ng d vµ ®-êng th¼ng d’ lµ hai ®-êng th¼ng chÐo nhau. C©u 19: Cho çc ®iÓm A(1; 1; 1), B(4; 5; 13), C(5; - 11; 4). Khi ®ã ABC lµ: a) mét tam gi¸c ®Òu. b) mét tam gi¸c c©n vµ kh«ng vu«ng. c) mét tam gi¸c vu«ng vµ kh«ng c©n. d) mét tam gi¸c vu«ng c©n. B¶ng tr¶ lêi: C©u sè Ph-¬ng ¸n chän 3 4 5 6 7 8 9 10 C©u sè Ph-¬ng ¸n chän 12 13 14 15 16 17 18 19 11 PhÇn tù luËn. C©u 20: a) T×m F(x) = ∫( x2 −1 dx . x 2 − 3x + 1 x 2 − 5 x + 1 )( ) 1 b) TÝnh I = ∫ x 5 e x dx . 0 C©u 21: TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng ®-îc giíi h¹n bëi ®å thÞ cña çc hµm sè sau: y = x2 8 ; y = x2 ; y = . x 27 C©u 22: ViÕt ph-¬ng tr×nh cña mÆt cÇu ®i qua çc ®iÓm 6), C(0; 4; 6), D(2; 4; 0). C©u 22: Cho ®-êng th¼ng d cã ph-¬ng tr×nh B(2; 4; x −1 y − 2 z − 3 = = vµ ®iÓm A 1 3 5 (3; 3; 3). TÝnh kho¶ng çch tõ ®iÓm A ®Õn ®-êng th¼ng d. 12 A(2; 0 ; 6), §Ò 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót ) PhÇn Tr¾c nghiÖm kh¸ch quan. Víi çc c©u sè 1 vµ 2 d-íi ®©y h·y khoanh trßn vµo ch÷ § hoÆc S t-¬ng øng víi lùa chän ®óng hay sai. C©u 1: C©u hái Ph-¬ng ¸n chän 2 x 2 x § S 1) y = (x − 2 x + 2 ).e + C lµ hä nguyªn hµm cña y = x .e . 1 § S dx 2) ∫ =1 0 x 3) Cho x = g(y) lµ hµm sè liªn tôc, kh«ng ©m. H×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè x = g(y), trôc Oy vµ hai ®-êng th¼ng y = a, y = b (a < b) khi quay quanh trôc Oy t¹o nªn khèi trßn xoay. ThÓ tÝch cña § S § S b nã ®-îc tÝnh theo c«ng thøc: V = π ∫ g 2 ( x)dx . a 4) Sè phøc (2 − 3i ) cã phÇn thùc lµ -5 vµ phÇn ¶o lµ -12 2 C©u 2: C©u hái 1) Trong kh«ng gian cho ®iÓm A(1; -2; 3), ®iÓm B (-1; -5; -7) vµ ®iÓm C(6; 4; 7). Träng t©m tam gi¸c ABC lµ G(2; 1; 1). 2) MÆt ph¼ng P cã ph-¬ng tr×nh x y z 1 + + = c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm 2 3 4 2 A(1; 0; 0). 3) x = 1 lµ ph-¬ng tr×nh cña mét ®-êng th¼ng trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é Oxyz. Ph-¬ng ¸n chän § S § S § S C©u 3: H·y nèi mçi ý ë cét bªn tr¸i víi mét ý ë cét bªn ph¶i ®Ó ®-îc kÕt qu¶ ®óng. Cét bªn tr¸i Cét bªn ph¶i 2 π dx 1) a) = ∫ 4+ x 16 2 0 b) DiÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi çc ®-êng y = 0; x = 1 1 vµ y = 1 − 4 x 2 lµ 2 2 2π π + i cã phÇn ¶o lµ c) Sè phøc z = 5 8 1 π ; x 2) 2 8 = 3) π 4 d) MÆt ph¼ng P cã ph-¬ng tr×nh: 3y – 4z = 2 π . Kho¶ng çch tõ ®iÓm π 4) A(5; 4; 3) ®Õn P b»ng 2 13 5) π 5 2π 6) 5 Cét bªn tr¸i Cét bªn ph¶i a) b) c) d) Víi çc c©u tõ sè 4 ®Õn sè 12 d-íi ®©y cã 4 ph-¬ng ¸n lùa chän lµ a), b), c) vµ d) trong ®ã chØ cã mét ph-¬ng ¸n ®óng. H·y ®iÒn vµo b¶ng tr¶ lêi ph-¬ng ¸n ®óng t-¬ng øng víi m«i c©u. C©u 4: Cho h×nh ph¼ng H giíi h¹n bëi çc ®-êng y = 0; x = 1; x = 0 vµ y = 4 x 3 . ThÓ tÝch cña khèi trßn xoay t¹o thµnh khi quay h×nh H quanh trôc hoµnh lµ: 2π a) V = . 5 π b) V = . 4 1 c) V = . 4 d) V = 1. C©u 5: Cho F(x) = ∫ dx x 2 + 2x + 4 th× a) F(x) = ln ( x + 1) − x 2 + 2 x + 4 + C. b) F(x) = ln ( x + 1) + x 2 + 2 x + 4 + C. c) F(x) = ln x + x 2 + 2 x + 4 + C. d) F(x) = ln x − x 2 + 2 x + 4 + C. 1 2 C©u 6: Cho ®iÓm A( ; 1 ; r 2 3 ) vµ ®iÓm B(3 ; 4 ; 5) . Gäi u = AB 2 3 r 5 7 6 6 r 10 b) u = ( ; 6 ; 7) . 2 r 10 7 c) u = ( ; 2 ; ) . 6 3 r 10 d) u = ( − ; 6 ; − 7) 2 a) u = ( ; 1 ; ) . 14 th× C©u 7: Cho ®iÓm A(1; 1 ; 1) vµ ®iÓm B(3; 4 ; 5) th× ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng AB lµ:  x = 1 + 2t  a)  y = 1 + 3t t ∈ R.  z = 1 − 4t  3 x − 2 y = 1 . 4 y − 3z = 1 x−3 y −4 z +5 = = . c) −2 −3 −4 x −3 y − 4 d) = −2 −3 b)  C©u 8: Ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng P ®i qua ®iÓm A(1 ; 1 ; 1) vµ cã cÆp chØ ph-¬ng r r u = ( 4; 5 ; 6); v = ( 2; − 3 ; − 2) lµ: a) 8x + 20y – 22z = 3.  x = 1 + 4t + 2t '  b)  y = 1 + 5t − 3t ' t ∈ R .  z = 1 + 6t + 2t '  c) 4x + 10y + 11z = 25. d) Mét kÕt qu¶ kh¸c. 4 C©u 9: Gäi I = a) b) c) d) I = 8π . I = 4π . I = 2π . I= π. ∫ 16 − x 2 dx th× −4 dx th× − 13x 2 + 36 1 x−3 1 x−2 a) F(x) = ln − ln + C. 6 x+3 4 x+2 C©u 10: Gäi F(x) = ∫x 4 1 x2 − 9 + C. ln 5 x2 − 4 1 1 1 1 c) F(x) = ln x + 2 + ln x − 3 − ln x − 2 − ln x + 3 + C. 20 30 20 30 1 x −9 d) F(x) = ln + C. 5 x−4 x −1 y −1 z −1 C©u 11: §-êng th¼ng d cã ph-¬ng tr×nh th× ph-¬ng tr×nh = = 2 3 4 b) F(x) = tæng qu¸t cña nã lµ 15 3 x − 2 y = 1 4 x − 2 z = 1 a)  3 x − 2 y = 1 4 y + 3 z = 1 3 x − 2 y = 1 c)   2x − z = 1 3 x + 2 y = 1 d)   2x + z = 1 b)  C©u 12: Cho ®iÓm A(-1 ; 1 ; 2), ®iÓm B(3 ; 4 ; 5) vµ ®iÓm C( 4; -1; 3). Gäi D lµ ®Ønh thø t- cña h×nh b×nh hµnh ABCD (çc ®Ønh lÊy theo thø tù ®ã) th× a) D(- 2; - 3; 0). b) D(- 2; 3; 0). c) D( 2; 3; 0). d) Mét kÕt qu¶ kh¸c. B¶ng tr¶ lêi: C©u sè Ph-¬ng ¸n chän 4 5 6 7 8 9 10 11 12 PhÇn tù luËn: ∫ sin C©u 13: T×m F(x) = 2 dx . x − 10 sin x. cos x + 21cos 2 x C©u 14: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ çc hµm sè: y = y = x2 + 2x +1; y = 8 ; x +1 x2 + 2x + 1 . 27 C©u 15: Cho ®-êng th¼ng d1 cã ph-¬ng tr×nh: d2 cã ph-¬ng tr×nh: x −1 y −1 z −1 ; ®-êng th¼ng = = 2 3 4 x +1 y +1 z +1 ;®-êng th¼ng d3 cã ph-¬ng tr×nh: = = 5 1 −2 x−3 y z+5 = = . T×m ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng d tho¶ m·n: song song víi 7 −1 6 d1 ®ång thêi c¾t c¶ d2 vµ d3. §Ò 8. 16 §Ò kiÓm tra ®Ó b¹n ®äc tù luyÖn (Thêi gian lµm bµi 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) C©u 1: (c©u a 1/2 ®iÓm; mçi c©u b , c ®Òu 3/4 ®iÓm) 1 3 Cho hµm sè: y = x 3 − x 2 (1) a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè ®· cho b) T×m trªn ®å thÞ (1) nh÷ng ®iÓm mµ tõ ®ã chØ cã thÓ kÎ ®-îc chØ mét tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ ®ã. c) Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m ph-¬ng tr×nh x 3 − 3 x 2 + 5m + 2 = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt trong ®ã 2 nghiÖm nhá h¬n 1. C©u 2: (mçi c©u a, b, c ®Òu 3/4 ®iÓm) a) Cho tam gi¸c ABC cã çc gãc lµ A, B, C ®Òu nhän. Chøng minh r»ng: A B C + cot g + cot g ⇔ ∆ABC lµ tam gi¸c ®Òu. 2 2 2  x − 2 + y + 3 = 2m + 1 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ sau cã nghiÖm:  x + y = 3m − 5  7π c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× trong kho¶ng (0; ) ph-¬ng tr×nh sau cã ®óng 7 2 2 nghiÖm kh¸c nhau: sin x − 2(3m + 4) sin x + (5m − 1) = 0 . tgA + tgB + tgC = cot g C©u 3: (mçi c©u a, b ®Òu 1 ®iÓm) a) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy cho ®iÓm A(0;8), B(8;0) vµ C(4;0). */ X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm J lµ t©m ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. */ X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm D trªn c¹nh AC cña tam gi¸c ABC sao cho OD vu«ng gãc víi DB, trong ®ã O lµ gèc to¹ ®é. b) Trong mÆt ph¼ng (P) cho hai tam gi¸c ®Òu ABC vµ ADC (B, D ë vÒ hai phÝa AC). §iÓm S kh«ng thuéc mÆt ph¼ng (P) vµ SAC lµ tam gi¸c ®Òu. */ Chøng minh r»ng BSD lµ tam gi¸c vu«ng. */ Gäi I, J theo thø tù lµ trung ®iÓm c¹nh SA vµ BC. Chøng minh JI // (SCD). C©u 4: (mçi c©u a, b, c ®Òu 3/4 ®iÓm) a) T×m nguyªn hµm x2 − 3 ∫ ( x 2 + 3x + 3)( x 2 − 5x + 3) dx . π 2 b) TÝnh tÝch ph©n sau: ∫ 0 sin 2005 x dx sin 2005 x + cos 2005 x 17     2  20057 x − cos 3 x. cos 5 x  c) TÝnh giíi h¹n sau: lim   x →0  x2    1 +  ln   9     C©u 5: (c©u a ®-îc 1 ®iÓm; c©u b ®-¬c 1/2 ®iÓm) a) Trong mét hép cã 10 viªn bi mµu tr¾ng, 20 viªn bi mµu ®á, 30 viªn bi mµu xanh vµ 40 viªn bi mµu vµng (cho r»ng çc viªn bi cã kÝch th-íc vµ träng l-îng nh- nhau). Ng-êi ta lÊy ra tõ hép 8 viªn bi bÊt k×. Hái cã bao nhiªu kh¶ n¨ng lÊy ®-îc 8 viªn bi kh«ng ®ñ çc mÇu. b) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh víi hai Èn lµ n vµ k sau: 18 Pn +5 ≤ 60 Ank++32 (n − k )! HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ §Ò 1. Bµi 1. 1. Kh¶o s¸t hµm sè y = − x2 + 4 x − 5 . x−2 ViÖc kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè ®· cho coi nh- bµi tËp víi b¹n. Sau khi hoµn thµnh b¹n cã thÓ kiÓm tra l¹i ®å thÞ cña hµm sè ®· vÏ ®-îc cã trïng víi ®å thÞ sau kh«ng? 10 f( x) = ( -x2+4⋅x) -5 8 x-2 6 4 2 -5 5 10 -2 -4 -6 -8 2. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè y = − x 2 − ( m − 4) x + m 2 − 4m − 5 x+m−2 (2) cã çc tiÖm cËn trïng víi çc tiÖm cËn t-¬ng øng cña ®å thÞ hµm sè kh¶o s¸t trªn. H-íng dÉn. TËp çc ®Þnh cña hµm sè lµ x ≠ 2 – m . Khi ®ã, ta cã y = − x + 2 + m2 − 6m − 1 x+m−2 . §å thÞ cña hµm sè (2) cã tiÖm cËn ®øng lµ x = 2 – m ⇔ m2 – 6m - 1 ≠ 0 m ≠ 3 − 10 . ⇔ ≠ + m 3 10  Víi ®iÒu kiÖn trªn vÒ m th× ®å thÞ cña hµm sè (2) cã tiÖm cËn xiªn lµ y = - x + 2, m2 − 6m − 1 m 2 − 6m − 1 = 0 vµ lim [ y − ( − x + 2)] = lim = 0. x →∞ x + m − 2 x →−∞ x →−∞ x + m − 2 v× lim[ y − (− x + 2)] = lim x →∞ 19 Tõ ®ã, tiÖm cËn ®øng x = 2 – m trïng víi tiÖm cËn ®øng x = 2 cña ®å thÞ hµm sè  m ≠ 3 − 10  kh¶o s¸t trªn ⇔  m ≠ 3 + 10 ⇔ m = 0 .  2 − m = 2 VËy víi m = 0 th× ®å thÞ cña hµm sè (2) cã çc tiÖm cËn trïng víi çc tiÖm cËn cña ®å thÞ trong c©u 1. Bµi 2. 1. T×m nguyªn hµm F(x) cña hµm sè f ( x) = biÕt r»ng F(1) = x 3 + 3x 2 + 3 x − 1 x2 + 2 x + 1 1 . 3 H-íng dÉn. Gäi F(x) = x 3 + 3x 2 + 3 x − 1 x3 + 3x 2 + 3x + 1 − 2 x3 + 3x 2 + 3x + 1 dx dx dx = = ∫ x2 + 2x + 1 ∫ x2 + 2x + 1 ∫ x2 + 2 x + 1 dx − 2∫ x 2 + 2 x + 1 = dx ( x + 1)3 1 ) = x 2 + x + 2ln x + 1 + C . =∫ dx − 2∫ = ∫ ( x + 1)dx + 2 ∫ d ( 2 2 ( x + 1) ( x + 1) x +1 1 1 5 Theo gi¶ thiÕt F(1) = ⇔ 1 + 1 + 2ln2 + C = ⇔ C = - - 2ln2 . 3 3 3 2 x 2 − 10 x − 12 x+2 2. T×m diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ cña hµm sè y = vµ ®-êng th¼ng y = 0. H-íng dÉn. MiÒn cÇn tÝnh diÖn tÝch ®-îc vÏ nh- h×nh bªn, khi ®ã ta cã 6 S = ∫ −1 2 x 2 − 10 x − 12 2 x 2 − 10 x − 12 dx = − ∫ dx = x+2 x+2 −1 6 10 g ( x) = 2⋅x2-10⋅x-12 x+2 5 -10 10 -5 6 6 16 2 )dx = −( x 2 − 14 x + 16 ln x + 2 ) −1 x+2 3 −1 44 136 = -(- 60 + 16ln8 + )= - 48ln2 3 3 = − ∫ (2 x − 14 + -10 -15 -20 = 78,604398. -25 -30 -35 Bµi 3 (1,5 ®iÓm). Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho mét elÝp (E) cã kho¶ng çch gi÷a çc 20 -40 ®-êng chuÈn lµ 36 vµ çc b¸n kÝnh qua tiªu cña ®iÓm M n»m trªn elÝp (E) lµ 9 vµ 15. 1. ViÕt ph-¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp (E). H-íng dÉn. XÐt elip cã ph-¬ng tr×nh x2 y2 + = 1 , trong ®ã 0 < b < a. a 2 b2 Gi¶ sö elÝp cã hai tiªu ®iÓm lµ F1(- c; 0) vµ F2( c; 0) . Khi ®ã ®-êng chuÈn cña elÝp a a cã d¹ng x = vµ x = - vµ b¸n kÝnh qua tiªu cã ph-¬ng tr×nh lµ e e Chó ý r»ng e = c   a + a x = MF1 .  c  a − x = MF 2  a a a a2 c nªn x = = . = a e c c a Gäi ®iÓm M(x; y) theo gi¶ thiÕt ta cã hÖ : c     a + a x = 15  2a = 24  a = 12  a = 12  a = 12      8 c c c c       a − x = 9 ⇔  a − x = 9 ⇔  a − x = 9 ⇔ a − x = 9 ⇔ 12 − x = 9 12 a a a a      2 2 2 2 c =8 a  a  a a  c = 8  =c  − (− ) = 36  2 = 36  c c  c  18  a = 12  a = 12   8 9   ⇔ 12 − x = 9 ⇔  x = 12 2   c=8   c = 8    a = 12  a = 12     x2 y2 9 9 + = 1. ⇔ x= Tõ ®ã: ⇔  x = nªn ta cã ph-¬ng tr×nh cña elip lµ: 144 80 2 2   c = 8 c = 8  2  2 2 2 b = a − c b = 80  9   x = 2   39600  x2 y 2 144 + 80 = 1   y = 24 . Khi ®ã to¹ ®é ®iÓm M lµ nghiÖm hÖ:  ⇔ 9 9   x= x=   2 2   39600  y = − 24  21 9 2 VËy cã hai ®iÓm M tho¶ m·n bµi to¸n lµ M1 ( ; 39600 9 ) vµ M2 ( ; 2 24 39600 ). 24 2. ViÕt ph-¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña elÝp (E) t¹i ®iÓm M. H-íng dÉn. x2 y2 + = 1 , trong ®ã 0 < b < a vµ ®iÓm M(x0; y0) thuéc a 2 b2 xx yy elip ®ã th× ph-¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i M lµ: 20 + 20 = 1 . a b Víi elip cã ph-¬ng tr×nh Tõ ®ã, víi ®iÓm M t×m ®-îc ë c©u 1) ta cã çc ph-¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: 9 x 39600 y 9 x 39600 y . + . = 1 vµ . − . =1. 2 144 24 80 2 144 24 80 9x 39600 y 9x 39600 y + = 1 vµ − =1 Hay ta cã çc tiÕp tuyÕn lµ: 288 1920 288 1920 Bµi 4. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho bèn ®iÓm A, B, C, D cã to¹ ®é x¸c ®Þnh bëi çc hÖ thøc: → → → → → → → → A = (2; 4; - 1) , OB = i + 4 j − k , C = (2; 4; 3) , OD = 2 i + 2 j − k . 1. Chøng minh r»ng AB ⊥ AC, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB. TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ABCD. H-íng dÉn. *) Chøng minh r»ng AB ⊥ AC, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB. → → Ta cã: B(1; 4; -1) vµ D(2; 2; -1) nªn: AB = (−1;0;0) ; AC = (0;0; 4) ; → → → AD = (0; −2;0) , suy ra: AB . AC = ( −1).0 + 0.0 + 0.4 = 0 → → AB . AD = ( −1).0 + 0.(−2) + 0.0 = 0 → → AD . AC = 0.0 + ( −2).0 + 0.4 = 0 . VËy, AB ⊥ AC, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB. *) TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ABCD. Theo chøng minh trªn ta cã ABCD lµ tø diÖn vu«ng. 1 AB.AC.AD. 6 uuur uuur Ta cã AB = AB = (−1)2 + 02 + 02 = 1 ; AC = AC = 02 + 02 + 42 = 4 ; uuur AD = AD = 02 + ( −2) 2 + 02 = 2 . Tõ ®ã thÓ tÝch cña tø diÖn ABCD lµ V = VËy V = 1 4 .1.4.2 = . 6 3 22 2. ViÕt ph-¬ng tr×nh tham sè cña ®-êng vu«ng gãc chung ∆ cña hai ®-êng th¼ng AB vµ CD. TÝnh gãc gi÷a ®-êng th¼ng ∆ vµ mÆt ph¼ng (ABD). H-íng dÉn. *) ViÕt ph-¬ng tr×nh tham sè cña ®-êng vu«ng gãc chung ∆ cña hai ®-êng th¼ng AB vµ CD Çch 1: Theo chøng minh trªn ta cã ABCD lµ tø diÖn vu«ng. Tõ ®ã, trong mÆt ph¼ng (ACD) kÎ AI vu«ng gãc víi CD th× AI lµ ®-êng vu«ng gãc chung cña AB vµ CD. Tõ ®ã AI lµ giao cña mÆt ph¼ng R vµ mÆt ph¼ng (ACD), trong ®ã R → ®i qua A vµ vu«ng gãc víi CD. Do CD = (0; −2; −4) nªn ph-¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng R lµ 2(y - 4) + 4 (z + 1 ) = 0 hay y + 2z – 2 = 0. → MÆt ph¼ng (ACD) ®i qua A vµ nhËn AB = (−1;0;0) lµ ph¸p tuyÕn, do ®ã cã ph-¬ng tr×nh lµ 1(x - 2) + 0. (y - 4) + 0.(z + 1) = 0 hay x – 2 = 0.  y + 2z − 2 = 0 .  x−2=0 r Ta t×m ®-îc mét vect¬ chØ ph-¬ng cña ®-êng th¼ng nµy lµ: u = (0; −2;1) vµ ®i  x = 2 + 0t  qua ®iÓm A(2; 4; -1) nªn cã ph-¬ng t×nh tham sè lµ:  y = 4 − 2t .  z = −1 + t  VËy ph-¬ng tr×nh ®-êng vu«ng gãc chung cña AB vµ CD lµ:  Çch 2: (Theo çc b-íc viÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng vu«ng gãc chung cña hai ®-êng th¼ng chÐo nhau ®· biÕt trong lÝ thuyÕt) → → Ta cã AB = (−1;0;0) vµ CD = (0; −2; −4) . r uuur uuur Gäi n =  AB, CD  = (0; −4; 2) . r Gäi P lµ mÆt ph¼ng chøa AB vµ nhËn n = (0; −4; 2) lµ vect¬ chØ ph-¬ng, th× P ®i → r qua ®iÓm A(2; 4; -1) vµ cã cÆp chØ ph-¬ng lµ AB = (−1;0;0) vµ n = (0; −4; 2) . Khi r uuur r ®ã P cã mét vect¬ ph¸p tuyÕn lµ n P =  AB, n  = (0; −2; −4) , tõ ®ã P cã ph-¬ng tr×nh lµ: 0(x - 2) - 2(y - 4) - 4(z + 1) = 0 hay y + 2z – 2 = 0. r Gäi Q lµ mÆt ph¼ng chøa CD vµ nhËn n = (0; −5; 2) lµ vect¬ chØ ph-¬ng, th× Q → r ®i qua ®iÓm D(2; 2; -1) vµ cã cÆp chØ ph-¬ng lµ CD = (0; −2; −4) vµ n = (0; −5; 2) . r uuur r Khi ®ã Q cã mét vect¬ ph¸p tuyÕn lµ nQ = CD, n  = (16;0;0) , tõ ®ã Q cã ph-¬ng tr×nh lµ: 16(x - 2) + 0(y - 2) + 0(z + 1) = 0 hay x – 2 = 0.  y + 2z − 2 = 0 .  x−2=0 VËy ph-¬ng tr×nh ®-êng vu«ng gãc chung ∆ cña AB vµ CD lµ:  23 r Ta t×m ®-îc mét vect¬ chØ ph-¬ng cña ®-êng th¼ng nµy lµ: u = (0; −2;1) vµ ®i  x = 2 + 0t  qua ®iÓm A(2; 4; -1) nªn cã ph-¬ng t×nh tham sè lµ:  y = 4 − 2t .  z = −1 + t  *) TÝnh gãc gi÷a ®-êng th¼ng ∆ vµ mÆt ph¼ng (ABD). Çch 1: Theo chøng minh trªn th× ABCD lµ tø diÖn vu«ng, do ®ã gãc gi÷a (ABD) vµ ∆ lµ gãc IAD, (trong ®ã AI lµ ®o¹n vu«ng vu«ng chung ®· nãi ë phÇn (ABD) vµ ∆ ta cã cos ϕ trªn). Tõ ®ã: gäi ϕ lµ gãc gi÷a = AI AC 0 2 + 02 + 4 2 4 2 2 5 . = = = = = 2 2 2 5 ID CD 20 5 0 + ( −2) + (−4) VËy gãc gi÷a ®-êng th¼ng ∆ vµ mÆt ph¼ng (ABD) lµ ϕ mµ cos ϕ = → → 2 5 . 5 Çch 2: Ta cã AB = (−1;0;0) ; AD = (0; −2;0) nªn mÆt ph¼ng (ABD) cã mét r uuur uuur vect¬ ph¸p tuyÕn lµ n ABD =  AB, AD  = (0;0; 2) . Khi ®ã gäi ϕ lµ gãc gi÷a r uuuur n.nABD (ABD) vµ ∆ ta cã sin ϕ = r uuuur = n . nABD 0.0 + 0.(−4) + 2.2 0 + (−4) + 2 . 0 + 0 + 2 2 2 2 2 2 2 = 4 , suy 2 20 2 ra cos ϕ = 4 4 2 5  2  . 1 − sin ϕ = 1 −  =  = 1 − 20 = 5 20  20  2 3. ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®i qua bèn ®iÓm A, B, C, D. ViÕt ph-¬ng tr×nh tiÕp diÖn (α) cña mÆt cÇu (S) song song víi mÆt ph¼ng (ABD). H-íng dÉn. *) ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®i qua bèn ®iÓm A, B, C, D. Çch 1: Ta biÕt ABCD lµ tø diÖn vu«ng, nªn t©m J cña mÆt cÇu lµ trung ®iÓm cña DE, trong ®ã E lµ ®èi xøng cña A qua M lµ trung ®iÓm cña BC. 3 2 3 2 Ta cã M( ; 4; 1), nªn E(1; 4; 3), suy ra J( ; 3; 1 ). 3 21 - 1)2 + (3 - 4)2 + (1 + 1)2 = . 2 4 3 21 Tõ ®ã ph-¬ng tr×nh cña mÆt cÇu cÇn t×m lµ: ( x - )2 + ( y - 3)2 + (z - 1)2 = . 2 4 Suy ra b¸n kÝnh mÆt cÇu lµ: R2 = JB2 = ( Çch 2: Ta biÕt ABCD lµ tø diÖn vu«ng, nªn t©m J cña mÆt cÇu ®i qua çc ®Ønh A, B, C, D lµ giao ®iÓm cña d vµ (L), trong ®ã d lµ ®-êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm cña BC vµ song song víi AD cßn (L) lµ mÆt ph¼ng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AD. 24 3 2 Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC ta cã M( ; 4; 1), nªn d cã ph-¬ng tr×nh lµ: 3   x = 2 + 0t   y = 4 − 1t .  z = 1 + 0t   Gäi N lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AD th× N(2; 3; -1). MÆt ph¼ng L cã ph-¬ng tr×nh lµ: 0.(x - 2) - 1(y - 3) + 0.(z + 1) = 0 hay y – 3 = 0. Tõ ®ã t©m J cña mÆt cÇu cã to¹ ®é lµ nghiÖm hÖ:  3 3  x=  x = + 0t  2 2   3  y = 4 − 1t ⇔  y = 3 , tøc lµ J( ; 3; 1 ). 2  z = 1 + 0t  z =1     y − 3 = 0 3 21 - 1)2 + (3 - 4)2 + (1 + 1)2 = . 2 4 3 21 Tõ ®ã ph-¬ng tr×nh cña mÆt cÇu cÇn t×m lµ: ( x - )2 + ( y - 3)2 + (z - 1)2 = . 2 4 Suy ra b¸n kÝnh mÆt cÇu lµ: R2 = JB2 = ( Çch 3: Ph-¬ng tr×nh cña mÆt cÇu cã d¹ng x2 + y 2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. MÆt cÇu ®i qua çc ®iÓm A, B, C, D nªn to¹ ®é cña çc ®iÓm ®ã tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh mÆt cÇu, tøc lµ ta cã hÖ: 3   22 + 4 2 + (−1) 2 + 2.a.2 + 2b.4 + 2c.( −1) + d = 0  4a + 8b − 2c + d = −21 a = − 2  2 2a + 8b − 2c + d = −18 2 2   1 + 4 + ( −1) + 2.a.1 + 2b.4 + 2c.(−1) + d = 0  b = − 3 . ⇔ ⇔  2 2 2  c = −1  2 + 4 + 3 + 2.a.2 + 2b.4 + 2c.3 + d = 0 4a + 8b + 6c + d = −29 2 2 2   4a + 4b − 2c + d = −9  2 + 2 + (−1) + 2.a.2 + 2b.2 + 2c.( −1) + d = 0  d = 7 Tõ ®ã, ph-¬ng tr×nh cÇn t×m lµ: x2 + y2 + z2 - 3x - 6y - 2z + 7 = 0, hay cã ph-¬ng tr×nh : ( x - 3 2 21 ) + ( y - 3)2 + (z - 1)2 = . 2 4 *) ViÕt ph-¬ng tr×nh tiÕp diÖn (α) cña mÆt cÇu (S) song song víi mÆt ph¼ng (ABD). Ph-¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (ABD) lµ 0(x – 2) + 0( y – 4) + 4(z + 1) = 0, hay z + 1 = 0. Ph-¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng α song song víi mÆt ph¼ng (ABD) ph¶i cã d¹ng: z + d = 0. Khi ®ã, α lµ tiÕp diÖn cña mÆt cÇu khi vµ chØ khi kho¶ng çch tõ t©m J ®Õn mÆt ph¼ng α b»ng b¸n kÝnh R, tøc lµ ta cã: 21 = 4 3 0. + 0.4 + 1.1 + d 2 0 + 0 +1 2 2 2 ⇔ d = 21 . 4 25 VËy, cã hai tiÕp diÖn tho¶ m·n bµi to¸n, víi ph-¬ng tr×nh t-¬ng øng lµ: z ± 21 = 0. 4 Bµi 5.  x∈ N  §iÒu kiÖn:  y ∈ N 2 ≤ y + 1 ≤ x  ( x + 1)! x!   Cxy+1 Cxy +1 =  6 y !( x + y − 1)! = 5( y + 1)!( x − y − 1)!   5 ⇔ ⇔ Khi ®ã, tõ gi¶ thiÕt ta cã hÖ :  6y y −1 ( x 1)! x ! + C C  x +1 = x  =  6 2  6 y !( x + y − 1)! 2( y − 1)!( x − y + 1)! x +1 1  3y 1   6( x − y )( x + 1 − y ) = 5( y + 1) =   ⇔ ⇔  6(3 y − 1 − y )(3 y − y) 5( y + 1) x +1 1   = x +1 = 3y   6y 2 1 1  =  x +1 = 3y x = 8  ⇔  4(2 y − 1) 5( y + 1) ⇔  ⇔ . 5y + 5 = 8y − 4 y =3    x +1 = 3y  Đề 2 Bài 1: 1. Đồ thị Đồ thị đúng dạng: + Giao với Oy tại (0; 0) + Giao với Ox tại (0; 0), (3; 0) + Tâm đối xứng của đồ thị 2 U (1; - ) 3 - 2. Các phương trình tiếp tuyến y = 0, y = 3x-9 26 81p (đvtt) 35 3. V = Bài 2. min y = 0, m ax y = [0; p ] [0; p ] 2 2 . 3 Bài 3. 1. M (3; 16 3x y ) , phương trình tiếp tuyến của (E) tại M là + = 1. 5 25 5 2. AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = 10 Þ AF2 + BF1 = 20 - (AF1 + BF2 ) = 12 Bài 4. uuur uuur uuur 1. Xét [AB, AC ].AD có nhận giá trị bằng 0 ? 2. Phương trình mặt cầu (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 5x - 2y - 2z + 1 = 0 . uuur 3. Có IA ' là vectơ pháp tuyến của tiếp diện (a) , trong đó I là tâm mặt cầu (S); Phương trình của tiếp diện (a) của mặt cầu (S) tại điểm A’ là 3x +4y +2z +1 = 0 . Bài 5. ìïk £ n Pn +5 £ 60. Ank ++23 Û ïí ïï(n + 5)(n + 4)(n - k + 1) £ 60 (n - k )! ïî + với n ³ 4 bất phương trình vô nghiệm + Với n = 0, 1, 2, 3 tìm được các nghiệm (n; k) của bất phương trình là (0; 0), (1; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3) Đề 3 Bài 1. 1. Đồ thị 27 Đồ thị đúng dạng: + Giao với Oy tại (0; 1) 1 2 + Giao với Ox tại (- ; 0) + Tâm đối xứng của đồ thị I (-1; 2) 0 2. Diện tích hình phẳng: S = ò (2 - 1 2 0 1 )dx = (2x - ln(x + 1)) - 1 = 1 - ln 2 x +1 2 (đvdt) 3. Đường thẳng d: y = k(x +1) +3 đi qua A(-1; 3), là tiếp tuyến của (C ) khi ì 2x + 1 ï ï ïï x + 1 = k (x + 1) + 3 và chỉ khi hệ sau có nghiệm: ïí 1 ï ï =k ï 2 ï îï(x + 1) Þ (d ) : y = Bài 2. 2 ì ï ïu = x + sin x í ïdv = cosxdx ï îï ïìdu = (1 + 2 s inx.cosx)dx Þ ïí ïv=sinx ïî p 2 p 2 0 1. Đổi biến: I = ((x + sin2 x ) s inx) - ò (1 + 2 s inx.cosx)sinxdx 0 p = ( + 1) + cosx 2 p 2 0 2 - sin 3 x 3 2. m = 11 28 p 2 0 = p 2 2 3 1 13 x+ 4 4 Bài 3. 1. F(2; 0), đường chuẩn (D) : x = -2 2. Tiếp tuyến: x – y + 2 = 0. 3. Áp dụng công thức bán kính qua tiêu có FA = x 1 + 2; FB = x 2 + 2 Þ AB = AF + FB = x1 + x 2 + 4 Bài 4. ® 1. (D1 ) đi qua điểm A(0; 1; 0) có vectơ chỉ phương u = (2; - 1;1) ; (D2 ) đi qua ® B(1; 0; 0) có vectơ chỉ phương v = (-1;1; - 1) ; điểm ® ® ù uuur éu êë , v úû . AB = -1 ¹ 0 Þ (D1 ), (D2 ) chéo nhau. 2. (P) có vectơ pháp tuyến ur r r m-3 n = éêu, v ùú = (0; 1; 1) Þ (P ) : y + z + m = 0, d (I , (P )) = R Þ =3 ë û 2 Þ (P1 ) : y + z + 3 + 3 2; (P2 ) : y + z + 3 - 3 2; Bài 5. Với n > 2, có n C n +3 > 5 2 (n + 3)! 5 n! An Û > . Û n(n 2 - 9n + 26) + 6 > 0 , luôn đúng 2 n ! 3! 2 2(n - 2)! với mọi n > 2. Đáp số: n Î ¥, n ³ 2. Đề 4 Bài 1. 1. Đồ thị 29 Đồ thị đúng dạng: + Giao với Oy tại (0; 0) + Giao với Ox tại (0; 0), (3; 0) + Điểm uốn của đồ thị tại U(2; 2) 2. Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn y = -3x + 8 3. m = 0 hoặc m = 1. Bài 2. 1. Ta có e x = 2 Û x = ln 2; Diện tích hình phẳng cần tìm 1 S = 1 òe x - 2dx = ln 2 ò (e x - 2)dx = (e x - 2x ) 1 ln 2 = e + 2 ln 2 - 4 (đvdt) ln 2 2. Đặt t = 4 - cos2x ; dt = 2 s inxcosxdx=sin2xdx; x=0 ® t=3, x= 4 I = ò 3 dt = ln t t 4 3 p ® t = 4. 2 4 = ln 4 - ln 3 = ln . 3 Bài 3. 1. (H) có các tiêu điểm (-3; 0), (3; 0); các đỉnh (-2; 0), (2; 0); phương trình các tiệm cận y = 5 5 x; y = x. 2 2 2. Đường thẳng m(x-2) + n(y-1) = 0 đi qua M(2; 1) là tiếp tuyến của (H) khi én = 0 4m 2 - 5n 2 = (2m + n )2 , 2m + n ¹ 0 Û êê êë3n + 2m = 0 với n =1, chọn m =1 có tiếp tuyến x – 2 = 0; với 3n + 2m = 0 chọn m = 3, n = -2 có tiếp tuyến 3x – 2y – 4 =0. 30 Bài 4. 2 4 3 3 1. G( ; ; 0); (OG ) : x y z = = . 1 2 0 2. (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2x - 2y = 0 3. Các mặt phẳng tiếp diện (P) vuông góc với đường thẳng OG: có vectơ pháp tuyến (1; 2; 0) và phương trình dạng x + 2y +D = 0 Þ (P1 ) : x + 2y - 3 + 10; (P2 ) : x + 2y - 3 - 10. Bài Ta 5. có n (1 + x )n = C n0 +C n1x + ... + C nn x ; T = å C nk = 2n = 1024 Þ n = 10; Hệ số k =o của x 5 là C 105 = 252. Đề 5 Bài 1. 1. Đồ thị Đồ thị đúng dạng: + Giao với Oy tại (0; 0) + Giao với Ox tại (0; 0), (3; 0) + Điểm uốn của đồ thị tại U(1; 2) 2. Dùng đồ thị ta thấy: + Nếu m < 0 hoặc 4 < m: phương trình có 1 nghiệm. + Nếu m = 0 hoặc m = 4: phương trình có 2 nghiệm, trong đó có 1 nghiệm kép 31 + Nếu 0 < m < 4: phương trình có 3 nghiệm phân biệt 3 3. S = ò -x 3 + 3x 2 dx = (0 x4 + x 3) 4 3 0 = 27 (đvdt) 4 Bài 2. 1. Phương trình có dạng 4.(2x )2 - 9.2x + 2 = 0 và có hai nghiệm x = 1; x = 2. 2. D = -7; x1 = 5 7 5 7 + i. , x 2 = - i. . 4 4 4 4 Bài 3. S 1. Ta có đường cao h = a 2 ; Thể tích của khối chóp V = 1 3 a 2 (đvtt). 3 2. HD: Chứng minh IA = IB = IC = ID = IS D C Bài 4a. 1. Đặt t = e x - 1 Þ e x = t 2 + 1, e xdx = 2tdt; x = ln 2 ® t = 1, x = ln 5 ® t = 2 2 t3 3 Do đó có I = 2ò (t 2 + 2)dt = 2( + 2t ) 21 = 1 26 . 3 2. Toạ độ các tiếp điểm (1; 0) , (3; -2); Phương trình tiếp tuyến: y = 3x – 3; y = 3x – 11. Bài 4b. uuur uuur 1 uuur 2 uuur 1. AB = (-2; 3; 0), AC = (-2; 0; 6); SVABC = . AB Ù AC = 3 14 (đvdt). 32 1 1 3 2 7 6 2. Trung điểm I của OG là tâm cầu. I = ( ; ; 1); R = OI = . Phương trình mặt cầu 1 1 49 (x - )2 + (y - )2 + (z - 1)2 = . 3 2 36 Bài 5a. 1. Ta có ìu = 2x + 1 ìïdu = 2dx ï ï Þ íï ; J = ((2x + 1)e x ) í x x ï ï dv e dx = v e = ï ïî î 1 1 0 - 2ò e xdx =((2x + 1)e x ) 1 0 - (2e x ) 1 0 =e +1 0 1 4 1 4 2. y '(-3) = - . Phương trình tiếp tuyến y = - x + 3 4 Bài 5b. uuur uuur 1. HD: Chứng minh AB.AC = 0 . ì ï x = -1 + t ï ï ï Phương trình tham số của đường thẳng AB: ïíy = 1 ï ï ï z = 2 -t ï ï î uuur 2 1 3 3 2. HD: Toạ độ của M ( ; ; 3) . Vectơ pháp tuyến BC = (1; - 1; 3) . Phương trình mặt phẳng §Ò 6. phÇn Tr¾c nghiÖm kh¸ch quan C©u 1: Sai. C©u 2: a) => 3; b) => 1 C©u 3 4 5 Ph-¬ng ¸n chän d c b 6 a 7 b 8 c 9 b C©u Ph-¬ng ¸n chän 13 c 14 c 15 a 16 d 10 c 11 b 12 d phÇn tù luËn H-íng dÉn çch tiÕn hµnh ®Ó cã ®¸p sè. C©u §¸p ¸n 33 17 b 18 d 19 d 20a x2 −1 ∫ x 2 − 3x + 1 x 2 − 5x + 1 dx . 1 1− 2 x - ViÕt ®-îc F(x) = ∫ dx 1 1    x − 3 +  x − 5 +  x  x  dt 1 ; t = x+ - ViÕt ®-îc F(x) = ∫ x (t − 3)(t − 5) 1 t −5 +C - ViÕt ®-îc F(x) = ln 2 t −3 T×m F(x) = ( )( 1 2 - ViÕt ®-îc F(x) = ln 20b ) x 2 − 5x + 1 +C x 2 − 3x + 1 1 TÝnh I= ∫x e 5 x dx . 0 - T×m ®-îc: F(x) = ∫ x 5 e x dx = (x 5 − 5 x 4 + 20x 3 − 60 x 2 + 120x − 120)e x 1 - TÝnh ®-îc I = ∫ x 5 e x dx = F(1) –F(0) = 120 - 44e. 0 21 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ çc hµm sè: y = 8 ; y = x2 ; y = x x2 . 27 - VÏ ®-îc miÒn cÇn tÝnh diÖn tÝch - X¸c ®Þnh ®óng hoµnh ®é çc giao ®iÓm 2  0  - ViÕt ®-îc: S = ∫  x 2 − 6  8 x2  x2  dx + ∫  − dx 27  x 27  2 - T×m ®-îc S = 8ln3. 22 Çch 1: - ViÕt ®-îc d¹ng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 - Thay ®óng to¹ ®é çc ®iÓm A, B, C, D vµo ph-¬ng tr×nh ®· cho ®Ó cã hÖ 4 ph-¬ng tr×nh víi 4 Èn a, b, c, d. - TÝnh ®óng a = 1, b = 2, c = 3, d = - 42. - Tr¶ lêi ®óng ph-¬ng tr×nh ®-êng trßn cÇn t×m Çch 2: BiÕt ®-îc A, B, C, D lµ ®Ønh cña mét h×nh hép ch÷ nhËt, tõ ®ã cã ph-¬ng tr×nh: (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z -3)2 = 56 23 Çch 1: 34 - ViÕt ®óng ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng P ®i qua A vµ vu«ng gãc víi d: 2x + 3y + 5z = 30 - T×m ®óng H lµ giao cña d víi P: H( 52 97 149 ; ; ) 38 38 38 2 2  62   17   − 35    +  +   38   38   38  - Tõ ®ã tÝnh ®-îc d = AH = 2 Çch 2: Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d khi ®ã AH vu«ng gãc víi d vµ H thuéc d. Tõ ®ã t×m ®-îc H vµ suy ra d = AH. §Ò 7. phÇn Tnkq C©u 1: Çc c©u 1) vµ 4) lµ ®óng, çc c©u 2) vµ 3) lµ sai. C©u 2: Çc c©u 1) vµ 3) lµ sai, c©u 2) lµ ®óng C©u 3: a) => 2) ; b) => 2); c) => 2) ; d) => 6). C©u Ph-¬ng ¸n chän 4 a 5 b 6 c 7 b 8 d 9 a 10 c phÇn tù luËn H-íng dÉn çch tiÕn hµnh ®Ó cã ®¸p sè. C©u §¸p ¸n 13 dx T×m F(x) = ∫ 2 sin x − 10 sin x. cos x + 21 cos 2 x dx - ViÕt ®-îc F(x) = ∫ 2 2 cos x(tg x − 10tgx + 21) - ViÕt ®-îc F(x) = ∫ (t 1 4 - ViÕt ®-îc F(x) = ln - ViÕt ®-îc F(x) = 14 2 11 c 12 d . dt ; t = tgx − 10t + 21) t −7 +C t −3 1 tgx − 7 ln +C 4 tgx − 3 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ çc hµm sè: y = x2 + 2x + 1 . x + 2x +1; y = 27 2 - BiÕt ®Æt t=x+1 - VÏ ®-îc miÒn cÇn tÝnh diÖn tÝch - X¸c ®Þnh ®óng hoµnh ®é çc giao ®iÓm 35 8 ;y= x +1 2  - ViÕt ®-îc: S = ∫  t 2 − 0  6 8 t2  t2  dx + ∫  − dx 27  t 27  2 - T×m ®-îc S = 8ln3. 15 x −1 y −1 z −1 ; ®-êng = = 2 3 4 x +1 y +1 z +1 th¼ng d2 cã ph-¬ng tr×nh: ;®-êng th¼ng d3 cã = = 5 −2 1 x−3 y z+5 ph-¬ng tr×nh: . T×m ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng d = = 7 −1 6 Cho ®-êng th¼ng d1 cã ph-¬ng tr×nh: tho¶ m·n: song song víi d1 ®ång thêi c¾t c¶ d2 vµ d3. - VÏ ®-îc h×nh minh ho¹ - Ph©n tÝch ®-îc d = P ∩ Q, trong ®ã mÆt ph¼ng P chøa d2 vµ song song víi d 1; mÆt ph¼ng Q chøa d3 vµ song song víi d1. - ViÕt ®óng ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng P - ViÕt ®óng ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng Q - ViÕt ®óng ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng d §Ò 8. §Ò 8 lµ ®Ò ®Ó b¹n ®äc tù luyÖn, tù thö søc m×nh nªn chóng t«i kh«ng ®-a ®¸p ¸n. 36 [...]... cosx) + 2| 9sinx.cosx 6(sinx + cosx) + 4| 25 Gọi z = y2, gọi t = sinx + cosx thì 2 t 2 và sinx.cosx = t 2 1 , khi đó 2 t 2 1 - 12t + 8 | = 17- 12t + | 9t2 - 12t - 1 | 2 2+ 5 t 3 17 12t + (9t 2 12t 1) khi 2 5 Từ đó z = t 3 2 5 2+ 5 17 12t (9t 2 12t 1) khi t 3 3 2+ 5 2 t 3 z1 = 9t 2 24t + 16 = (3t 4) 2 khi 2 5 Hay z = > 2 t 3 2 5 2+ 5 z2 = 9t 2 + 18 khi t ... x3 - 12x + 2 d) y = x2 - 6x + 5 e) y = ax4 + bx2 + c, với a 0 H-ớng dẫn a) Tập xác định của hàm số đã cho là R Ta có, y(x) = 4x3 4 , nên y(x) = 0 khi x = 1 Hơn nữa y(x) = 12x2 nên y(1) = 12 > 0, do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, giá trị cực tiểu là y (1) = - 3 b) Tập xác định của hàm số đã cho là R Ta có, y(x) = 4x3 16x , nên y(x) = 0 khi x = - 2 hoặc x = 0 hoặc x = 2 Hơn nữa y(x) = 12x2... cho việc làm vỏ hộp là ít nhất Từ đó dẫn đến bài toán sau: Từ một miếng bìa có hình vuông ng-ời ta muốn cắt bỏ đi ở bốn góc của miếng bìa đó 4 hình vuông để dựng lên đ-ợc một hình hộp (không nắp) có thể tích là 4000 cm3 Hỏi phải cắt bỏ đi hình vuông với kích th-ớc là bao nhiêu để diện tích miếng bìa cần dùng là ít nhất H-ớng dẫn Gọi kích th-ớc của hình vuông đáy của hộp là x (cm), thì 0 < x Gọi chiều... H-ớng dẫn a) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y(x) = 3m + 6 Do đó y(x) > 0 m > -2 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định khi m > - 2 b) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y(x) = m2 + 5m + 4 Do m > 1 đó y(x) > 0 m < 4 m > 1 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định m < 4 c) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y(x) = 2mx - 2(m - 3) Do đó không có giá... d) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y(x) = 3x 2 - 6mx - 12m Do đó, y(x) > 0 với mọi giá trị của x m 2 + 6 m < 0 6 < m < 0 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định 6 < m < 0 e) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{-1} Mặt khác, y(x) = x 2 + 2 x 7m 3 ( x + 1) 2 Do đó, y(x) > 0 trên 4 x 2 + 2 x 7 m 3 > 0, x 1 + 7m + 3 < 0 m < 7 4 7 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên tập. .. hình chữ nhật có cùng chu vi 2p, hình vuông có kích th-ớc p sẽ có diện tích lớn nhất 2 Bài 7 tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = | 3sinx 2| + | 3cosx 2| H-ớng dẫn Hàm số đã cho có tập xác định là R Ta có y 2 = (3sinx - 2)2 + 2| 3sinx 2| | 3cosx 2| + (3cosx - 2)2 = = (9sin2 x 12sinx + 4) + 2| (3sinx 2).(3cosx 2)| + (9cos2 x 12cosx + 4) = 17 12( sinx + cosx) + 2| 9sinx.cosx 6(sinx... điểm x = 0, giá trị cực đại là y (0) = 0 c) Tập xác định của hàm số đã cho là R Ta có, y(x) = 3x2 12 , nên y(x) = 0 khi x = - 2 hoặc x = 2 Hơn nữa y(x) = 6x nên y(-2 ) = - 12 < 0, do đó hàm số đạt cực đại tại điểm x = - 2, giá trị cực tiểu là y (- 2 ) = 18 Mặt khác, y( 2 ) = 12 > 0, do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2, giá trị cực tiểu là y (2) = -14 d) Tập xác định của hàm số đã cho là R Ta có,... ta có: Thay (2) vào (1) ta có: Y = ( X + a) 4 4( X + a) 3 2( X + a ) 2 + 12( X + a ) 5 = X4 + 4X3a + 6X2a2 + 4Xa3 + a4 - 4X3 - 12X2a - 12Xa2 - 4a3 - 4Xa - 2a2 - 2X2 + 12X + 12a - 5 Hay Y = X4 + 4(a - 1)X3 + 2(3a2 - 6a - 1)X2 + 4(a3 - 3a2 a + 3)X + ( a4 - 4a3 - 2a2 + 12a - 5) Từ đó, đồ thị của hàm số đã cho có trục đối xứng là đ-ờng thẳng x = a khi và chỉ 4(a 1) = 0 a = 1 a = 1 2 2( a 3a a... không phải là nghiệm của f(x) = 0 (hoặc là nghiệm bội nhỏ hơn k của f(x) = 0) - Hàm phân thức hữu tỉ có tiệm cận đứng khi hàm số đó không suy biến và g(x) = 0 có nghiệm (Hàm phân thức hữu tỉ y = f ( x) không suy biến khi f(x) không chia hết cho g(x)) g ( x) Hay có thể phát biểu cách khác là: - Hàm phân thức hữu tỉ có tiệm cận đứng khi g(x) = 0 có nghiệm và mọi nghiệm của ph-ơng trình g(x) = 0 không... thiên : x - 0 + y 0 + y 0 Căn cứ bảng biến thiên ta có : Hàm số không có điểm cực đại Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, giá trị cực tiểu là y (0) = 0 g) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y(x) = 4x3 12x2 , nên y(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 3 Bảng biến thiên : x y y - - 0 0 - 3 0 -27 16 + + Căn cứ bảng biến thiên ta có : Hàm số không có điểm cực đại Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3, giá trị ... sinx + cosx t sinx.cosx = t , t - 12t + | = 17- 12t + | 9t2 - 12t - | 2+ t 17 12t + (9t 12t 1) Từ z = t 2+ 17 12t (9t 12t 1) t 3 2+ t z1 = 9t 24t + 16 = (3t 4)... (1) ta có: Y = ( X + a) 4( X + a) 2( X + a ) + 12( X + a ) = X4 + 4X3a + 6X2a2 + 4Xa3 + a4 - 4X3 - 12X2a - 12Xa2 - 4a3 - 4Xa - 2a2 - 2X2 + 12X + 12a - Hay Y = X4 + 4(a - 1)X3 + 2(3a2 - 6a - 1)X2... hàm số cho đồng biến tập xác định m > - b) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = m2 + 5m + Do m > y(x) > m < m > Vậy hàm số cho đồng biến tập xác định m < c) Tập xác định hàm số

Định dạng
Số trang	357
Dung lượng	10,1 MB