Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 61 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
61
Dung lượng
1,1 MB
Nội dung
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
PHẠM THỊ BÍCH PHƢƠNG
NGHIÊN CỨU MÔ HÌNH KHÍ LÝ TƢỞNG
TRONG VẬT LÝ THỐNG KÊ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS LƢU THỊ KIM THANH
HÀ NỘI - 2015
LỜI CẢM ƠN
Trƣớc hết em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, hƣớng dẫn tận tình của cô
PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh. Đồng thời em xin cảm ơn sự giúp đỡ quan tâm
của thầy cô trong tổ vật lí lý thuyết và các thầy cô trong khoa Vật Lý trƣờng Đại
học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận của
mình.Cuối cùng em xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè những ngƣời đã luôn
giúp đỡ, động viên em trong suốt thời gian làm khóa luận tốt nghiệp.
Với khả năng và trình độ còn hạn chế của một sinh viên và là lần đầu tiên
đƣợc làm quen với nghiên cứu khoa học, nên trong quá trính thực hiện khóa luận
này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng
góp của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên thực hiện
Phạm Thị Bích Phƣơng
LỜI CAM ĐOAN
Đây là công trình khoa học của riêng em dƣới sự hƣớng dẫn của cô PGS.TS
Lƣu Thị Kim Thanh. Đề tài “ Nghiên cứu mô hìnhtrong vật lý thống kê khí lý
tƣởng” đƣợc hoàn thành trên cơ sở nghiên cứu các giáo trình tài liệu về nhiệt
động lực học, vật lý thống kê, vật lý chất rắn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên thực hiện
Phạm Thị Bích Phƣơng
MỤC LỤC
A. PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1
1.Lí do chọn đề tài ...................................................................................... 1
2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài ................................................................ 1
3. Đối tƣợng nghiên cứu ............................................................................. 2
4. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................ 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................ 2
B.NỘI DUNG........................................................................................................ 3
CHƢƠNG 1: KHÍ LÝ TƢỞNG THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN ....................... 3
1.1 Mô hình về khí lý tƣởng ....................................................................... 3
1.1.1 Khái niệm khí lý tƣởng .................................................................. 3
1.1.2 Phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng ....................................... 4
1.1.3. Mối liên hệ giữa khí lý tƣởng với khí thực. .................................. 7
1.2 Các hàm phân bố Gipxo theo quan điểm cổ điển. ................................ 8
1.3. Khảo sát hệ khí lý tƣởng bằng phân bố Gibbs cổ điển. ..................... 17
1.3.1. Năng lƣợng tự do ........................................................................ 22
1.3.2. Phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng. ................................... 22
1.3.3. Biểu thức entropi của khí lý tƣởng. ............................................ 23
1.3.4. Biểu thức nội năng và nhiệt dung CV của khí lý tƣởng đơn
nguyên tử ............................................................................................... 23
Kết luận chƣơng 1 ............................................................................................... 24
CHƢƠNG 2: KHÍ LÝ TƢỞNG LƢỢNG TỬ .................................................... 25
2.1. Khí Boltzmann ................................................................................... 25
2.1.1. Phân bốBoltzmann ...................................................................... 25
2.1.2 Năng lƣợng và nhiệt dung của khí lý tƣởng Boltzmann lƣỡng
nguyên tử ............................................................................................... 25
2.2 Khí lý tƣởng Fermi và Bose................................................................ 33
2.2.1.Khí lý tƣởng Fermi....................................................................... 33
2.2.2. Khí lý tƣởng Bose ....................................................................... 33
2.2.3. Phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng Fermi và Bose ........... 34
2.3 Khí electron tự do trong kimloại......................................................... 37
2.4. Photon: Những bức xạ cân bằng ........................................................ 42
Kết luận chƣơng 2 ............................................................................................... 44
CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ KHÍ LÝ TƢỞNG ................................... 45
3.1 Bài tập về khí lý tƣởng cổ điển ........................................................... 45
3.2 Bài tập về khí lý tƣởng lƣợng tử ......................................................... 48
Kết luận chƣơng 3 ............................................................................................... 54
C. KẾT LUẬN .................................................................................................... 55
D.TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 56
A. PHẦN MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài
Vật lý lý thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật
lý. Dựa trên nền tảng mô hình vật lý các nhà khoa học xây dựng các thuyết vật
lý. Thuyết vật lý là sự hiểu biết tổng quát nhất của con ngƣời trong một lĩnh vực,
một phạm vi vật lý nhất định. Dựa trên một mô hình vật lý tƣởng tƣợng , các
nhà vật lý lý thuyết bằng phƣơng pháp suy diễn, phƣơng pháp suy luận toán học
đã đề ra một hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lý vật lý dùng làm
cơ sở để giải thích các hiện tƣợng, các sự kiện vật lý và để tạo ra các khả năng
tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn. Để biết đƣợc cấu
tạo của các phân tử tạo nên vật chất qua đó giải thích đƣợc nhƣng tính chất vĩ
mô của chúng liên quan đến sự chuyển động của các phân tử, chúng ta phải
nghiên cứu các trạng thái khác nhau ( khí, rắn, lỏng ) của vật chất. Muốn nghiên
cứu đƣợc chúng thì ta phải xuất phát từ việc nghiên cứu các trạng thái có tính
chất đơn giản nhất sau đó mới đi đến các trạng thái phức tạp hơn. Các trạng thái
rắn, lỏng, khí có tính chất khác nhau. Trong đó trạng thái khí của vật chất là đơn
giản hơn cả, nhƣng để đơn giản hơn ngƣời ta đã đƣa ra mô hình khí lý tƣởng.
Dựa vào nghiên cứu mô hình này có thể mở rộng thêm cho các khí loãng, khí
thực, chất lỏng, chất rắn.
Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý học giúp chúng ta có cái nhìn tổng
quát và sâu sắc hơn các vấn đề từ vi mô đến vĩ mô và áp dụng phƣơng pháp
thống kê ta có thể giải quyết các bài toán liên quan một cách chính xác. Nhƣ vậy
việc tìm hiểu về khí lý tƣởng trong vật lý thống kê là rất cần thiết. Vì vậy em
chọn đề tài “ Nghiên cứu mô hình khí lý tƣởng trong vật lý thống kê ”.
2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài
- Nắm đƣợc các khái niệm về khí lý tƣởng.
1
- Đƣa ra đƣợc các phân bố thống kê cổ điển về khí lý tƣởng,đƣa ra đƣợc
các hàm phân bố từ đó tính đƣợc năng lƣợng và một số đại lƣợng nhiệt động của
khí lý tƣởng.
- Đƣa ra đƣợc các phân bố thống kê về khí lý tƣởng: Khí Fermi, khí Bose,
từ đó đƣợc năng lƣợng và nhiệt dung của các khối khí đó.
- Vận dụng giải một số bài tập về khí lý tƣởng.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Các hàm phân bố thống kê.
4. Phạm vi nghiên cứu
Các hàm phân bố thống kê cho khí lý tƣởng.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu vật lí lý thuyết.Đọc và tra cứu tài liệu.
- Sử dụng thống kê cổ điển, lƣợng tử và phƣơng pháp toán trong vật lý.
2
B.NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: KHÍ LÝ TƢỞNG THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN
1.1 Mô hình về khí lý tƣởng
1.1.1 Khái niệm khí lý tưởng
Để vận dụng thuyết động học phân tử vào việc nghiên cứu các tính chất của
chất khí. Trƣớc hết cần phải hiểu rõ cấu tạo phân tử của chất khí, bỏ qua những
yếu tố thứ yếu không ảnh hƣởng rõ rệt đến tính chất của chất khí. Xuất phát từ
quan niệm này đã xây dựng một mẫu khí bao gồm những đặc điểm cơ bản của
chất khí gọi là mẫu khí lý tƣởng. [5]
- Trong một thể tích vĩ mô của khí lý tƣởng có chứa một số rất lớn phân tử,
có kích thƣớc rất nhỏ so với khoảng cách trung bình giữa các phân tử, các phân
tử chuyển động hỗn loạn không ngừng .
- Lực tƣơng tác giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi va chạm vì vậy giữa hai
va chạm liên tiếp mỗi phân tử chuyển động tự do nghĩa là chuyển động thẳng
đều.Sự va chạm giữa các phân tử với nhau và với thành bình xảy ra theo quy
luật va chạm đàn hồi.
Ở đây chúng ta chỉ xét khí lý tƣởng ở trạng thái cân bằng nhiệt nghĩa là coi
nhiệt độ và áp suất ở mọi chỗ trong chất khí đều bằng nhau và không đổi, do đó
tron g chất khí không xuất hiện những dòng khí gây đối lƣu hoặc chênh lệch do
áp suất.
Nhờ mẫu khí lý tƣởng này bằng việc đơn giản hóa sự chuyển động của các
phân tử trong chất khí rất thuận tiện trong việc tính toán định lƣợng giữa các đại
lƣợng đặc trƣng cho tính chất của chất khí nhƣ: Áp suất, nhiệt độ, phƣơng trình
trạng thái, các hiện tƣợng truyền, hệ số khuếch tán, hệ số dẫn nhiệt, độ ma
sát,…nhƣng nhờ những kết quả thu đƣợc dựa trên sự đơn giản hóa này chỉ gần
đúng và chỉ phản ánh đƣợc những nét cơ bản nhất của chất khí. Khi ở nhiệt độ
3
thấp và áp suất cao mẫu khí lý tƣởng không dùng đƣợc cho việc tính toán trên vì
lúc này phải xét đến lực tƣơng tác giữa các hạt trong khí ( các phân tử hay
nguyên tử ) có ảnh hƣởng đáng kể trong các tính chất của khí.
1.1.2 Phương trình trạng thái của khí lý tưởng
Thông số trạng thái: Áp suất, nhiệt độ, thể tích đƣợc gọi là các thông số
trạng thái của chất khí, chúng không hoàn toàn độc lập với nhau. Theo tiên đề 3
của nhiệt động lực học ( thông số nội là hàm của các thông số ngoại và nhiệt độ)
. Phƣơng trình nêu lên mối liên hệ giữa 3 thông số: áp suất, nhiệt độ và thể tích
của một khối khí xác định gọi là phƣơng trình trạng thái có dạng tổng quát sau:
p = f (V, T) [5]
Đối với khí lý tƣởng phƣơng trình trạng thái của một khối khí chứa N phân
tử trong thể tích V sẽ là p = nkT
Với n
N
=> PV = NkT
V
(*)
Với k là hằng số Boltzman
Số phân tử khí N của khối khí đƣợc xác định N
M
N0
Với M là khối lƣợng của chất khí
là khối lƣợng của 1 mol khối khí
N 0 là số Avogradro N 0 = 6,02.10
26
kmol-1
=> Phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng
pV
M
N 0 kT
M
RT
(1.1)
Đây là phƣơng trình Clapâyrôn – Menđelêep
Trong đó R = Nok = 6,02.1026.1,38.10-23 = 8,31.103 J/ kmol.độ là hằng số
khí
* Đối với 1kmol khí thì phƣơng trình trạng thái có dạng
pVo = RT
4
Trong đó Vo là thể tích của 1 kmol khí
Từ phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng ta có thể dễ dàng suy ra các định
luật quy định tính chất của các khí gọi là các định luật của khí lý tƣởng. Sau khi
so sánh các kết quả lý thuyết với các kết quả thu đƣợc do thực nghiệm ta thấy
hai kết quả này trùng nhau
- Định luật Bôilơ – Mariốt ( định luật về tính chất đẳng nhiệt của khí lý
tƣởng ) nêu lên mối tƣơng quan giữa áp suất p và thể tích V của một khối khí
xác định. Khi nhiệt độ T không đổi ta có pV = const đƣợc gọi là phƣơng trình
đẳng nhiệt
+ Định luật Bôilơ – Mariốt có tính chất gần đúng nó chỉ khá chính xác với
đa số chất khí ở nhiệt độ gần với nhiệt độ thƣờng trong phòng và chịu áp suất
không khác xa với áp suất khí quyển lắm. Ở áp suất cao của chất khí ít chịu nén
hơn so với định luật Bôilơ – Mariốt. Khi áp suất tăng các kết quả thu đƣợc từ
thực nghiệm của tích pV không còn là hằng số nữa mà có những sai lệch.
Nguyên nhân của những sai lệch là vì định luật Bôilơ – Mariốt đƣợc thành lập
trên cơ sở tính toán định lƣợng theo thuyết động học phân tử của khí lý tƣởng,
nghĩa là không xét đến sự tƣơng tác giữa các phân tử , nhƣng ở áp suất cao thì
không thể không chú ý đến ảnh hƣởng của sự tƣơng tác này.
- Định luật Sáclơ
Định luật xét đến trƣờng hợp của thể tích của một khối lƣợng khí xác định
đƣợc giữ không đổi và nêu lên mối tƣơng quan giữa áp suất và nhiệt độ.
Từ phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng
pV
M
RT
Khi V= const
=>
p
M R
const đƣợc gọi là phƣơng trình đẳng
T
V
tích và biểu thị định luật Sác lơ
5
Gọi Po là áp suất của 1 khối khí xác định ở nhiệt độ to=0oC ( T=273oK ). Khi
biến đổi đẳng tích tới áp suất p và nhiệt độ T
Ta có
p
p
o
T
To
po
p (t 273)
T o
To
273
=> p
=> p po (1 p t )
Trong đó p
1
gọi là hệ số nhiệt biến đổi áp suất đẳng tích của khí
237
- Định luật Gay – Luytxac xét trƣờng hợp áp suất của một khối lƣợng khí
cho trƣớc đƣợc giữ không đổi và nêu lên mối tƣơng quan giữa thể tích và nhiệt
độ.
Từ phƣơng trình trạng thái
Khi p = const =>
pV
M
RT
V
M R
const
T
p
=> V Vo (1 V t )
Trong đó V
1
gọi là hệ số giãn đẳng áp của khí
273
Định luật Sác lơ và định luật Gay – Luytxac cũng chỉ mang tính gần đúng
nhƣ định luật Bôi lơ – Mariốt
- Định luật Đantôn : Xét áp suất của một hỗn hợp khí
Giả sử trong một bình thể tích V có chứa một hỗn hợp gồm N1, N2, N3,…là
số phân tử của các khí thành phần tƣơng ứng của hỗn hợp
Phƣơng trình trạng thái : pV = ( N1+N2+N3+….)kT
Trong đó N1+N2+N3+….= N là tổng số phân tử khí trong bình
=> Áp suất của hỗn hợp khí là
p
N
N1
N
kT 2 kT 3 kT ....
V
V
V
P = p1 + p2 + p3 +…
6
Với p1 , p2 , p3 ,…là những áp suất riêng phần của các khí thành phần của
hỗn hợp
Nội dung của định luật Đantôn là áp suất của một hỗn hợp khí bằng tổng các
áp suất riêng phần của các khí thành phần tạo nên hỗn hợp.
Vì định luật này đƣợc thiết lập dựa vào phƣơng trình trạng thái của khí lý
tƣởng nên cũng có tính chất gần đúng đối với các hỗn hợp khí thực. Trong khí lý
tƣởng giữa các phân tử không còn tƣơng tác, các phân tử “không biết” đến sự
tồn tại của các phân tử khác.
Nhƣ vậy dựa vào thuyết động học phân tử của khí lý tƣởng để thành lập các
định luật quy định tính chất của khí . Từ việc so sánh giữa kết quả lý thuyết và
thực nghiệm dẫn ta đến định nghĩa khí lý tƣởng là chất khí tuân theo chính xác
các định luật Bôilơ – Mariốt
1.1.3. Mối liên hệ giữa khí lý tưởng với khí thực.
Phƣơng trình trạng thái khí lý tƣởng có dạng:
p
v2
3
2
đ
3
Trong đó đ là mật độ động năng trung bình
Việc so sánh phƣơng trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép đã cho phép
đƣa vào đối với khí lý tƣởng khái niệm về nhiệt độ tuyệt đối( nhiệt độ tuyệt đối
là thƣớc đo động năng trung bình của hạt )
mv 2 3
kT
2
2
Sau khi đƣa vào khí lý tƣởng khái niệm nhiệt độ ta tìm đƣợc phƣơng trình
trạng thái cho khí lý tƣởng dƣới dạng Clapâyrôn - Menđêlêép [3]
pV = kTN đối với N hạt trong thể tích V
Vậy khí thực nào tuân theo phƣơng trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép
có thể coi nhƣ là khí lý tƣởng
7
Các khí thực càng có tính chất gần giống với khí lý tƣởng khi chúng càng
loãng. Ở những nhiệt độ và áp suất nhất định tất cả các khí thực có thể xem nhƣ
khí lý tƣởng. Muốn vậy khí thực cần phải loãng đến mức xác suất va chạm đồng
thời của ba phân tử phải nhỏ hơn rất nhiều so với xác suất va chạm của hai phân
tử
Các phân tử khí thực khác về căn bản các hạt của khí lý tƣởng, các phân tử
thực không phải luôn luôn là tuyệt đối đàn hồi chúng tƣơng tác với nhau không
chỉ là do va chạm trực tiếp , thế tƣơng tác của chúng có dạng rất phức tạp
Ở trƣờng hợp riêng biệt, sự khác nhau giữa các phân tử thực với các hạt của
khí lý tƣởng không phải là căn bản.Ví dụ nhƣ: ở nhiệt độ không quá ca ova
chạm giữa các phân tử với thành bình sẽ đàn hồi, trong các chất khí quá đặc
khoảng cách giữa các phân tử lớn hơn bán kính tác dụng của lực phân tử gấp
nhiều lần, vì vậy tƣơng tác giữa các phân tử là nhỏ không đáng kể. Trong trƣờng
hợp đó khí thực có tính chất nhƣ khí lý tƣởng
Khi mật độ và áp suất tăng lên và khi nhiệt độ giảm đi các tính chat scuar
khí thực sẽ khác với các tính chất của khí lý tƣởng mà ta khảo sát. Các khí thực
sẽ không còn tuân theo phƣơng trình Clapâyrôn - Menđêlêép nữa mà tuân theo
các phƣơng trình trạng thái khác.
1.2 Các hàm phân bố Gipxo theo quan điểm cổ điển.
Các hàm phân bố trong vật lý thống kê thƣờng đƣợc giới hạn xét các hệ hạt
có số hạt rất lớn và bỏ qua tƣơng tác giữa các hạt với nhau, xem chúng nhƣ các
hạt tự do. Nhƣ vậy chúng ta có thể coi hệ các hạt trong vật lý thống kê là các
“khí lý tƣởng” và trong hệ nhiều hạt có thể biểu hiện quy luật tính thống kê. Để
tìm trị trung bình của một thông số vĩ mô bất kỳ của hệ hạt đó ( là hàm của
thông số vĩ mô ) Gibbs đã đề xuất ra phƣơng pháp nổi tiếng gọi là phƣơng pháp
Gipxơ. Cơ sở của phƣơng pháp này là thay việc khảo sát sự biến đổi của hệ đã
cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tƣơng ứng với các hệ
đã cho.
8
Dựa vào phân bố Gipxơ chúng ta sẽ tìm lại đƣợc các phƣơng trình trạng thái và
các đại lƣợng nhiệt động học nhƣ: Entropy, nhiệt dung đẳng tích ,… của khí lý
tƣởng.
Xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt (tecmoxta).
Theo quan điểm vi mô hệ điều nhiệt này là một hệ cơ học nhƣng có số bậc tự do
rất lớn, lớn hơn số bậc tự do của hệ mà ta muốn khảo sát rất nhiều. [3]
Giả sử hệ mà ta muốn khảo sát là C1 và hệ điều nhiệt là C2 có các số hạt
tƣơng ứng là X1 và X2, đồng thời N1>>N2
Ta có thể coi hệ bao gồm 2 hệ đó là một hệ cô lập đoạn nhiệt vì vậy đối với
hệ chung đó ta có phân bố chính tắc
( X 1 , X 2 )
1
E H ( X 1 , X 2 )
( E )
Trong đó H(X1,X2) = H(X1) + H(X2) + U12(X1,X2)
(1.2)
(1.3)
U12(X1,X2) là năng lƣợng tƣơng tác giữa các hạt của hai hệ mà ta có thể
bỏ qua
Hàm phân bố của hệ mà ta xét C1 đƣợc tính theo công thức
( X1 )
( X2 )
( X 1 , X 2 )dX 2
(1.4)
Để tìm ( X 1 ) trong trƣờng hợp tổng quát ta dựa vào giả thiết sau:
Ta coi rằng H1(X1) ln f H1 H1 ln f ( H1 ) ln f ( H1 )
'
''
'
''
- Lấy vi phân 2 vế ta có
d ln f H1 H1
ln f (H
'
1
'' '
d ln f (H ) d ln f (H
'
''
1
'
'
1
)
'
H1 ) (dH '1 dH1 ) ln f ( H1 ) dH1 ln f ( H1 ) dH1
''
''
'
'
''
''
Coi rằng dH1’, dH1’’ có thể tiến đến 0 một cách độc lập
'
'
'
Ta tìm đƣợc ln f ( H1 H1 ) ln f ( H1 ) ln f ( H1 )
'
''
'
''
(1.5)
Trong đó β là một hằng số nào đó vì các đạo hàm của một hàm số với các
đối số khác nhau chỉ có thể bằng nhau khi chúng là hằng số
Ta đặt dấu “ - ” trƣớc β để cho thuận tiện khi xét điều kiện chuẩn hóa của
hàm phân bố
Lấy tích phân đẳng thức (1.5) ta có
f ( H ) D exp H
10
Từ điều kiện vật lý khi chuẩn hóa, β là số dƣơng
Đặt
, D exp với θ>0
Ta có
H
f ( H ) exp
Do đó
H
( X 1 ) exp
1
(1.6)
(1.7)
Với θ, là hằng số
Bởi vì sau này ta không cần xét sự điều nhiệt C2 và ta chỉ cần nghiên cứu hệ
C1 mà ta phải khảo sát nên ta không cần viết chỉ số 1
Khi đó (1.7) có dạng
( , a) H ( X , a)
( X ) exp
(1.8)
(1.8) đƣợc gọi là phân bố chính tắc Gipxơ
Thông số đƣợc gọi là môđun của phân bố chính tắc
đƣợc xác định từ điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố
( .a) H ( X , a)
dX 1
( X )d ( X ) exp
(X )
(X )
( , a)
H ( X , a)
exp
dX 1
=> exp
( X )
( , a)
H ( X , a)
exp
dX
=> exp
(X )
Lấy logarit 2 vế ta có
( , a)
H ( X , a)
ln exp
dX
H ( X , a)
dX
=> ( , a) ln exp
11
(1.9)
( X ) ln Z ( , a)
Đại lƣợng
H ( X , a)
Z ( , a) exp
dX
(1.10)
(1.10) đƣợc gọi là tích phân trạng thái (hay tích phân thống kê)
Tích phân trạng thái phản ánh trạng thái nội tại của một hệ, vì phép tích phân
đƣợc thực hiện theo tất cả các trạng thái vi mô của hệ. Nói cách khác, Z là hàm
trạng thái và phụ thuộc vào a và θ
Nếu hệ gồm N hạt đồng nhất nhƣ nhau thì các phép chuyển vị khác nhau của
các hạt đó sẽ không đƣa đến một trạng thái vi mô mới nào đó, mặc dù chúng sẽ
đƣợc biểu diễn bằng các điểm khác nhau của một không gian pha. Vì vậy đối
với các hệ gồm các hạt đồng nhất nhƣ nhau ta cần phải loại trừ tất cả các điểm
của không gian pha tƣơng ứng với các phép chuyển vị khác nhau của các hạt.
Bởi vì, với N hạt có thể thực hiện N! phép chuyển vị, cho nên không gian
pha của một hệ gồm N hạt đồng nhất nhƣ nhau phải giảm đi N! lần. Khi đó phân
bố chính tắc đƣợc viết dƣới dạng
( X )
1
( , a) H ( X , a)
exp
N!
(1.11)
Thiết lập phƣơng trình cơ bản của hệ nhiệt động lực học dựa vào phân bố
chính tắc
Từ điều kiện chuẩn hóa.
( , a) H ( X .a)
dX 1
( X )d ( X ) exp
(X )
(X )
Lấy vi phân hai vế theo ak
ak
( , a) H ( X , a)
exp
dX 1
(X )
=>
( , a) H ( X , a)
exp
dX 0
ak
(X )
12
=>
1
H
( , a) H ( X , a)
H
exp
exp
dX
0
( X ) a k
( X ) a k
1
Theo định nghĩa của trị trung bình ta có
H
H
H
exp
dX
a k
(X )
a k
Từ đó =>
a k
H
a k
Đạo hàm cơ năng của hệ theo thông số ngoại chính là lực suy rộng với
dấu( - )
H
a k
Ak
(1.12)
Từ điều kiện chuẩn hóa
( X )d ( X )
(X )
exp
(X )
H
dX 1
Lấy đạo hàm theo θ có:
H
exp
dX 0
(X )
=>
(X )
=>
(X )
H
exp
dX 0
( H )
H
exp
dX 0
2
Bởi vì θ và không phụ thuộc vào X nên
H
a
Ta đi tính biểu thức dH Ak da k
k
13
(1.13)
(1.14)
Thay (1.12) và (1.13) vào (1.14)
Ta có: dH Ak dak d
k
=> dH Ak dak d d
k
k ak
dak
k ak
d
.d
d
da k
k a k
k a k
.d
.d
Nhƣ vậy
.d
dH Ak dak
k
(1.15)
So sánh với phƣơng trình cơ bản của nhiệt động lực học
TdS dU Ai dai
i
Ta nhận thấy rằng vế phải của hai phƣơng trình hoàn toàn tƣơng tự với nhau,
vì trong vế phải của hai phƣơng trình đều có độ biến thiên năng lƣợng của hệ và
tổng các công nguyên tố đã đƣợc thực hiện. Tuy nhiên trong vật lý thống kê khái
niệm năng lƣợng đƣợc hiểu chính xác hơn, bởi vì thay thế cho hàm năng lƣợng
E ta dùng trị trung bình H của năng lƣợng của hệ, mặc dù đối với hệ vĩ mô hai
giá trị trên thực tế là trùng nhau. Hơn nữa các lực suy rộng Ak trong nhiệt động
lực học cũng đƣợc thay thế bằng trị trung bình Ak của các lực. Sự giống nhau
của vế phải của hai phƣơng trình cho phép ta xét sự tƣơng tự của vế trái của
chúng. Thay cho nhiệt độ tuyệt đối T trong phƣơng trình thống kê (1.15) ta có
nhiệt độ thống kê θ. Ta sẽ có sự hoàn toàn tƣơng tự nhau của hai phƣơng trình
là đại lƣợng tƣơng tự của vi
đó nếu nhƣ ta công nhận rằng vi phân d
phân dS của entropi nhiệt động lực học
14
Từ đó ta nói rằng đại lƣợng chính là entropi của thống kê S
S
H
(1.16)
=> H .S
(1.17)
So sánh các phƣơng trình (1.12), (1.13), (1.16), (1.17) với các phƣơng trình
của nhiệt động lực học:
U TS F
F
S
T V
F
P
V T
Ta thấy rằng thông số có ý nghĩa của năng lƣợng tự do F và phƣơng trình
(1.13) phƣơng trình Gipxơ – Hemhônxơ. Từ đây ta suy ra hệ thức giữa entropi
nhiệt động lực học S. Với θ = kT
S kS
T V
Ta có: S
Hay S
s
k
Những kết quả trên đây là hết sức quan trọng.Thực vậy, dựa vào quan niệm
cấu trúc hạt của hệ vĩ mô và áp dụng phƣơng pháp thống kê, ta đã suy ra đƣợc
phƣơng trình cơ bản của nhiệt động lực học. Không những nhƣ vậy mà còn tìm
ra đƣợc đại lƣợng tƣơng tự thống kê của hàm nhiệt quan trọng là entropi, nội
năng và năng lƣợng tự do của hệ.
Ta đã nghiên cứu phân bố chính tắc đối với hệ nằm tiếp xúc và có thể trao
đổi năng lƣợng với điều nhiệt.Nhƣng ta đã biết trong vật lý còn có những hệ
trong đó không những năng lƣợng biến đổi mà ngay cả số hạt trong hệ có thể
thay đổi, đó là hệ có số hạt thay đổi. Đối với hệ có số hạt thay đổi, trong nhiệt
động lực học ngƣời ta đƣa vào thế hóa học µ biểu thị qua năng lƣợng tự do :
15
N V ,T
(1.18)
Lấy tích phân không định hạn N ta suy ra
N ,V , T
(1.19)
Trong đó Ω là thế nhiệt động mới
Ở một thời điểm nào đó, hệ có số hạt thay đổi chứa nột số hạt nhất định.
Nhƣng tại thời điểm này tiếp sau số hạt này trong hệ sẽ thay đổi.
Ta biết rằng một hệ có số hạt nhất định N các hạt đồng nhất nhƣ nhau sẽ
nghiệm đúng phân bố chính tắc, cụ thể là sự phân bố của hệ có dạng
dW ( X )
1
H
exp
dX
N!
kT
1
N H
exp
dX
N!
kT
(1.20)
Đối với hệ có số hạt thay đổi
N , H
1
dW ( X )
exp
dX
N!
kT
,
,
Hàm : ( N , X )
1
N H
exp
N!
kT
(1.21)
Xác định phân bố ta phải tìm đối với hệ có số hạt thay đổi. Phân bố đó đƣợc
gọi là phân bố chính tắc Gipxơ, Ω( µ,V,T) là thế nhiệt động lớn.
Điều kiện chuẩn hóa ta lấy tích phân trên theo các biến số vi mô X (còn gọi
là biến số pha) của tập hợp chính tắc và lấy tổng theo toàn bộ các tập chính tắc
tạo thành tập hợp chính tắc lớn hơn nghĩa là
1
N H
dX 1
kT
N! exp
N 0
(X )
(1.22)
16
* Đối với hệ có số hạt thay đổi trị trung bình của một đại lƣợng bất kỳ
F(N,X) đƣợc xác định theo công thức
1
N H
F
(
N
,
X
)
exp
dX
kT
N 0 N !( X )
F
(1.23)
Bởi vì thế nhiệt động lớn Ω không phụ thuộc vào các biến số pha X và số hạt
N, cho nên đẳng thức (1.21) có thể viết dƣới dạng
N 1
H
exp exp
exp
dX 1
kT N 0
kT N! ( X )
kT
N 1
H
kT ln exp
exp
dX
Do đó:
kT
N
!
kT
N 0
(X )
(1.24)
(1.25)
Lấy đạo hàm riêng của thế nhiệt động Ω có
1
1
N H U
T
T V , M T
S
T V
P
T T ,M V T
N
V ,T
Đối với phân bố chính tắc lớn ta có
N 1
H
Z exp
exp
dX
kT N! ( X )
kT
N 0
sẽ đóng vai trò tích phân trạng thái
1.3. Khảo sát hệ khí lý tƣởng bằng phân bố Gibbs cổ điển.
a.Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động
Biểu thức liên hệ giữa năng lƣợng tự do của hệ với tích phân trạng thái Z:
17
kT ln Z
(1.26)
Từ đó chúng ta có thể biểu diễn các thông số nhiệt động và hàm nhiệt động
bất kỳ của hệ theo tích phân trạng thái Z, điều đó cho phép ta xác định nhiều
tính chất của hệ nhiệt động. Việc tìm lại các hệ thức nhiệt động và tính các hàm
nhiệt động lực học thống kê
Đầu tiên ta hãy tìm áp suất p đƣợc xác định qua năng lƣợng tự do Ψ theo
công thức:
p
V T
(1.27)
Áp dụng công thức (1.26) ta thu đƣợc:
ln Z
p kT
V T
(1.28)
Đó là phƣơng trình trạng thái của hệ.Vì vế phải của (1.28) phụ thuộc vào V
và T.Ta có thể viết lại phƣơng trình trạng thái của (1.28) dƣới dạng sau
Nhân 2 vế của đẳng thức với V ta đƣợc:
ln Z
ln Z
PV kTV
kT
V
V T
V T
ln Z
PV kT
ln V T
(1.29)
Từ phƣơng trình Gipxơ – Hemhônxơ:
H S
Ta tìm đƣợc nội năng U:
2 ln Z
U T
kT ln Z k ln Z T kT
T V
T V
ln Z
kT 2
T V
18
(1.30)
Tƣơng tự ta có thể tính các hàm nhiệt động khác:
* Thế nhiệt động Gipxơ
pV
Với kT ln Z
ln Z
P
kT
V
V T
kT ln Z kTV
ln Z
V
ln Z
kT
ln Z
ln V
Với z là tích phân trạng thái
Z
H ( X , a)
dX
exp
(X )
* Biểu thức của Entropi theo tích phân trạng thái
Theo phân bố chính tắc thì tích phân trạng thái có dạng:
Z
H X , a
dX
exp
(X )
Ta có S T
V
ln( , a)
S
kT ln Z ( , a)
ln Z ( , a)
T
T
S k ln Z kT
ln Z
T
* Tìm biểu thức Entanpi theo tích phân trạng thái
Ta có Entanpi
H TS
ln Z
ln Z
kT
ln Z kT ln Z T
T
ln V
19
ln Z
ln Z
H kT
T
ln T
ln V
ln Z
ln Z
H kT
ln V T ln T V
Nhƣ vậy tất cả các hàm nhiệt động có thể biểu thị theo tích phân trạng thái
Z. Nhƣng thực tế dù có biết đƣợc hàm phân bố trong không gian pha thì việc
tính tích phân trạng thái cũng tƣơng đối khó vì Z đƣợc xác định bằng một biểu
thức phức tạp [3]
H (q1 , q2 ....q3 N , p1 , p2 ,... p3 N , a
Z ... exp
dq1dq2 ...dq3 N dp1 ...dp3 N
Vì vậy trong trƣờng hợp tổng quát việc tính tích phân trạng thái là rất phức
tạp
b.Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lý tưởng
Áp dụng hàm phân bố chính tắc
( , a) H ( X , a)
( X ) exp
Chúng ta hãy đi tính một số hàm nhiệt động của khí lý tƣởng.
Để tính tích phân trạng thái Z ta cần biết hàm Hamintơn H.Đối với khí lý
tƣởng hàm Hamintơn bằng tổng của các năng lƣợng của các hạt riêng lẻ nghĩa
là:
N
P2
H k U k ( x)
k 1 2m
(1.31)
Trong đó Uk(X) biểu thị thế năng của hạt thứ k mà chúng ta đƣa vào xuất
phát từ lập luận sau đây: Các hạt của khí lý tƣởng có thể chuyển động hoàn toàn
tùy ý bên trong bình có thể tích V nhƣng chúng không thể ra khỏi giới hạn của
bình. Điều đó tƣơng đƣơng với giả thuyết là ở bên trong bình các hạt có thế
năng vô cùng lớn.
20
Nhƣ vậy chúng ta có thể đƣa thông số ngoại V vào hàm Hamintơn H(X,a)
thông qua thế năng U(x,y,z) mà ta có thể biểu thị dƣới dạng
0 đối với X ở bên trong V
U(x,y,z) =
∞ đối với X ở bên ngoài V
Bởi vì các hạt là độc lập, chúng ta có thể viết tích phân trạng thái dƣới dạng
Zo
H
dX
1
Pk2
1
1
e
exp
U k dX
N! ( X )
N! ( X )
k 2m
N
1 Pk2
1
1
exp
U
(
x
,
y
.
z
)
dp
dp
dp
dx
dy
dz
Z kN
k
kx
ky
kz
k
k
k
N!
N!
2m
(1.32)
Với Zk là tích phân trạng thái đối với một hạt.Xét biểu thức Zk
Zk
2
1 Pk
exp
2m U k dpk x dpk y dpk z dxk dy k dz k
(1.33)
Do tính độc lập của các hàm chiếu px, py, pz chúng ta có thể viết lại (1.33)
dƣới dạng:
2
Pk2y
Pk x
Z k exp
dpk x exp
dpk y
2m
2m
2
Pk z
U ( x, y , z )
exp 2m exp dxdydz
(1.34)
Sử dụng tích phân Poátxông có:
P2
exp 2m dp 2m
và
U ( x, y , z )
dxdydz 1dxdydz V
V
exp
Thay (1.35) và (1.36) vào (1.34) ta đƣợc
21
(1.35)
(1.36)
2m
Zk
3
V
(1.37)
Vậy tích phân trạng thái của toàn bộ hệ là:
Zo
2m
3N
VN
1
N!
(1.38)
1.3.1. Năng lượng tự do
Dựa vào biểu thức Ψ = -kTlnZ để tìm năng lƣợng tự do
Ta tính Zo:
ln Z o ln 2m
3N
VN
1 3N
ln 2 ln m ln N ln V ln N!
N! 2
(1.39)
Nhân đẳng thức này với (-θ) và áp dụng công thức Stiếclinh đối với N lớn
ln( N!) N ln N
Thay vào
ln Zo
3N
(ln 2 ln m ln N ln V N ln N )
2
3
ln Z o N ln( 2m ) ln V ln N
2
Áp dụng biểu thức Ψ = -kTlnZo
Ta tìm đƣợc biểu thức của năng lƣợng tự do của khí lý tƣởng
3
2
N ln( 2m ) ln V ln N
(1.40)
1.3.2. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng.
P
V T
P
P N
V
3
N ln( 2m ) ln V ln N
2
1 N
V
V
Đối với 1mol khí lý tƣởng phƣơng trình đó cần phải trùng với phƣơng trình
22
Clapâyrôn – Menđêlêép: P
NkT
.Từ đó ta suy ra rằng môđun θ của phân bố
V
chính tắc liên hệ với nhiệt độ tuyệt đối bằng hệ thức: θ=kT
Trong đó k R 1.37.1023 J/độ là hằng số Bônzơman
No
1.3.3. Biểu thức entropi của khí lý tưởng.
S
T V
Thay biểu thức (1.40) vào S ta đƣợc
3
N ln(2 m ) ln V ln N
T
2
3
kTN ln(2 mkT ) ln V ln N
T
2
S
T
(1.41)
3
kTN
ln
2
mkT
kTN
ln
V
kTN ln N
2
T
T
S kN ln V
3
kN ln T So
2
(1.42)
Ở đây hằng số tùy ý So có chứa các số hạng
So
3
3
kN ln( 2mk ) kN kN ln N
2
2
1.3.4. Biểu thức nội năng và nhiệt dung CV của khí lý tưởng đơn nguyên tử
U TS
3
kT N ln V N (ln T ln 2mk ) N ln N
2
3
3
3
T kN ln V kN ln T kN ln 2mk kTN
2
2
2
3
3
U
CV
kN R
2
T V 2
23
(1.43)
Kết luận chƣơng 1
Trong chƣơng này em đã trình bày về mô hình khí lý tƣởng theo thuyết
động học chất khí, xây dựng hàm phân bố Gibbs là hàm phân bố đặc biệt đúng
cho khí lý tƣởng cổ điển và từ đó rút ra đƣợc các đại lƣợng nhiệt động đặc trƣng
cho hệ KLT nhƣ Entropi, áp suất, năng lƣợng tự do,…Mô hình khí lý tƣởng cổ
điển tuy không có thực nhƣng từ việc nghiên cứu mô hình này giúp cho việc
khảo sát các hệ vật lý thuận tiện rất nhiều.
24
CHƢƠNG 2: KHÍ LÝ TƢỞNG LƢỢNG TỬ
2.1. Khí Boltzmann
2.1.1. Phân bốBoltzmann
Về mặt vật lý khí Boltzmann là khí loãng sao cho tƣơng tác giữa các phân tử
khí có thể bỏ qua và coi mỗi phân tử khí là một hệ con gần kín( gần độc lập ).
1
n
Ta có:
e
1
kT
Xét trƣờng hợp kT ta có
e
=> n e
1 e
kT
kT
kT
(2.1): biểu thức này gọi là phân bố Boltzmann
Ta biết rằng số hạt trung bình có năng lƣợng bằng tổng số hạt nhân N nhân
với xác suất của mức năng lƣợng (điều nay xuất phát từ phân bố Gibbs)
Xác suất tìm hạt khí ở mức năng lƣợng ɛ, theo phân bố Gibbs bằng
n N ( ) N
e
kT
(2.2)
Z
Đối chiếu (2.1) và (2.2) ta đƣợc
N
e kT
Z
Từ đó ta tính đƣợc kT ln
N
Z
(2.3)
Đây là hệ thức cho ta mối liên hệ giữa thế hóa và tổng thống kê Z trong
trƣờng hợp cổ điển [1]
2.1.2 Năng lượng và nhiệt dung của khí lý tưởng Boltzmann lưỡng nguyên tử
Phân tử khí lƣỡng nguyên tử A – B nằm trên trục AB có 6 bậc tự do: ba bậc
tự do của chuyển động tịnh tiến của khối tâm O, hai bậc tự do của chuyển động
quay(quay xung quanh trục Ox và Oy) và một bậc tự do của chuyển động ( dao
động dọc theo trục AB).
25
Năng lƣợng chuyển động của phân tử gồm 3 phần: Năng lƣợng chuyển
động tịnh tiến t , năng lƣợng chuyển động quay q và năng lƣợng của chuyển
động dao động d . Gọi ɛ là năng lƣợng của phân tử khí.
t q d
Ta có:
(2.4)
Năng lƣợng trung bình của hệ N phân tử khí lý tƣởng bằng
E N N ( t q d )
(2.5)
Để tính t , q , d ta dùng định lý nhân xác suất:
W ( ) WtWqWd
e
z
(2.6)
Trong đó Wt, Wq, Wd là xác suất phân tử khí có năng lƣợng tịnh tiến t , có
năng lƣợng chuyển động quay q và có năng lƣợng của chuyển động dao động
d . Biểu thức các xác suất Wt, Wq, Wd có dạng:
t
e
Wt
zt
; zt
e q
Wq
zq
; zq
d
e
Wd
zd
e
e
; zd
t
q
(2.7)
e
d
Với z = ztzqzd
Đặt
1
,ta có
t tWt
e
t
t
e
t
26
(ln z t )
q qWq
q
e
e
d d Wd
q
q
e
d
e
d
(ln z q )
d
(2.8)
(ln z d )
Để tính t , q , d ta cần tính zt , zq, và zd. Chuyển động tịnh tiến của phân
tử khí trong hình hộp chữ nhật có các cạnh là L1, L2, L3 đƣợc khảo sát nhƣ hạt
chuyển động tự do trong giếng thế ba chiều. Từ cơ học lƣợng tử ta biết rằng
năng lƣợng tự do của hạt trong giếng thế ba chiều có dạng:
t En n n
1 2 3
2 h 2 n12
n22 n32
2m L12 L22 L23
(2.9)
Trong đó m là khối lƣợng của phân tử khí , n1,n2,n3 = 1,2,3,…
Biểu thức của zt có dạng:
zt
e
1n12
n1 1
e
2 n22
n2 1
Trong đó i
e 3n3
2
(2.10)
n3 1
2h2
2mLi
i = 1,2,3
2
2
2
Ở nhiệt độ phòng và Li lớn thì αi = 1.khi đó 1n1 , 2 n2 , 3 n3 sẽ thay đổi rất
ít khi thay đổi các số n1,n2,n3 một đơn vị. Vì lí do này ta có thể các tổng trong
biểu thức zt bằng các tích phân tƣơng ứng.
zt
e
1n12
dn1 e
0
0
Chú ý rằng
2
dn2 e 3n3 dn3
2
0
h
, L1L2L3 = V là thể tích chứa khí
2
n
dn
Và e
0
2n22
1
1
n 2
e
dn
2
2
27
Ta nhận đƣợc
3
(2m ) 2
zt
V
h3
3
3
zt
(ln z t ) 2
(ln z t ) kT
2
2
(1.11)
Năng lƣợng và nhiệt dung của chuyển động tịnh tiến là
3
kT
2
3
Et
Ct
Nk
2
T V
Et N t
(1.12)
Ta tính zq và q . Nếu bỏ qua sự thay đổi của mômen quán tính của phân tử
do chuyển động dao động thì phân tử khí có 2 nguyên tử đƣợc khảo sát nhƣ một
hệ hai chất điểm có khối lƣợng m1 và m2 gắn chặt với nhau và cách nhau một
khoảng bằng r. Hệ 2 chất điểm nhƣ vậy có thể quay xung quanh 2 trục Ox và Oy
vuông góc với nhau và đi qua khối tâm O. Từ cơ học, ta biết rằng phân tử đồng
thời quay quanh trục Ox và Oy vuông góc với nhau đi qua khối tâm có thể khảo
sát nhƣ phân tử quay xung quanh một trục tức thời Δ đi qua khối tâm và cũng
vuông góc với trục AB. Mômen quán tính của phân tử đi qua khối tâm bằng:
I m1r12 m2 r22
Vì m1r1 m2 r2 0 và r r2 r1 nên biểu thức của I đƣợc viết dƣới dạng I r 2
Trong đó
m1 m 2
là khối lƣợng thu gọn của phân tử khí
m1 m2
Từ cơ học lƣợng tử ta biết rằng năng lƣợng chuyển động quay có dạng:
q 1
L2 h 2 l (l 1)
2I
2I
;
l = 0,1,2,3,…
(2.13)
Trong đó L2 là trị riêng của toán tử mômen xung lƣợng và l là số lƣợng tự
do quỹ đạo
28
Ứng với một giá trị l cho trƣớc có (2l +1) hàm sóng tƣơng ứng với (2l +1)
giá trị có thể có của hình chiếu mômen xung lƣợng trên trục Z (m = 0, 1,2
,..)Vì vậy bội số suy biến trong chuyển động quay là gl = 2l +1
Tổng trạng thái Zq trong chuyển động quay bằng:
Zq e
l 0
h 2l ( l 1)
2 I
gl e
h 2l ( l 1)
2 I
(2l 1)
(2.14)
l
Tính Zq trong trƣờng hợp tổng quát rất khó nên ta chỉ khỏa sát Z trƣờng hợp
h2
h2
h2
kTq và khi kT kTq Tq
giới hạn sau: kT ;
2I
2 Ik
2I
Với Tq là nhiệt độ đặc trƣng cho phân tử có 2 nguyên tử trong chuyển động
quay.
Khi T>>Tq thì hàm dƣới dấu tổng Zq thay đổi rất ít khi l thay đổi 1 đơn vị
Vì vậy ta có thể thay tổng tích phân trong biểu thức Zq
Z q (2l 1)e
h2
l ( l 1)
2 IkT
dl
0
Đặt x = l(l+1) =>dx = (2l+1)
Z q (e
0
h2
x
2 IkT
2 I
2 I
dx 2 e y dy 2
h 0
h
y
(2.15)
Năng lƣợng trung bình của chuyển động quay
q
(ln Z q ) 2 (ln Z q )
(2.16)
Kết quả này trùng với kết quả trong thống kê cổ điển. Năng lƣợng tƣơng ứng
với hai bậc tự do của chuyển động quay kT
Năng lƣợng và nhiệt dung của khí lý tƣởng khi T>>Tq bằng
29
E q N q NkT
E q
Nk
C q
T
V
(2.17)
Khi T=Tq thì những số hạng với giá trị của l bé đóng vai trò chủ yếu trong
tổng của Zq(các số hạng l có giá trị rất bé có thể bỏ qua).Khi đó ta có
Z q 1 3e
h2
I
h
h
ln Z q ln 1 3e I 3e I
2
2
(2.18)
h2
3h 2 I
q
(ln Z q )
e
I
2
Năng lƣợng và nhiệt dung của khí lý tƣởng khi T = Tq
h2
eNh 2 I
Eq N q
e
I
E q
C q
T
h2
3 Nk
I
V
2
2
hI
e
Khi T->0 thì Cq->0
Bây giờ ta tính Zd và d . Dao động của hai nguyên tử của phân tử có thể
khảo sát nhƣ dao động của một chất điểm có khối lƣợng thu gọn µ. Năng lƣợng
dao động điều hòa theo cơ học lƣợng tử bằng
1
d h n , n =0,1,2,3..
2
Trong đó
Zd e
2
2v là tần số dao động .Tổng thống kê bằng:
T
1
h n
2
e
h
2
e
n 0
Đặt q e
(2.19)
h
n
(2.20)
n 0
h
và
q
n 0
n
1
1 q
30
e
Ta đƣợc: Z d
h
2
1 e
h
Năng lƣợng ứng với một bậc tự do của chuyển động dao động là:
d
h
ln Z d h hh
nh 2
2
2
e 1
(2.21)
1
n
h
e 1
Đặt hω = kTd. Đối với phân tử H2 có Td = 61000K và đối với O2 có
Td = 22400K
Khi T>>Td ta có
d kT, Ed N d NkT
(2.22)
E
Cd d Nk
T V
Kết quả này trùng với lí thuyết cổ điển
Khi T = Td ta có
d
h
h
he kT
2
h
Nh
Ed N d
Nhe kT
2
(2.23)
h
E
h kT
Cd Nk
e
T V
kT
2
Khi T->0 thì Cd ->0
Năng lƣợng và nhiệt dung của chuyển động dao động trong trƣờng hợp tổng
quát có dạng
31
Ed N d
Nh
Nh
h
2
e kT 1
h
e kT
E
h
C d d Nk
2
kT h
T V
e kT 1
2
Năng lƣợng trung bình và nhiệt dung đẳng tích của khí lý tƣởng lƣỡng
nguyên tử có dạng:
E = Et +Eq +Ed
CV = Ct +Cq +Cd
F
, E F ST
T V
Ta biết S
F
F
E F T T 2
T V
T V
E (T )
F T 2 dT
T
Biết đƣợc E là hàm của T ta tìm đƣợc F và S
Năng lƣợng tự do của hệ cũng đƣợc tính từ tổng thống kê Z
F = - θlnZ
Trong đó Z e
n
En
e
(1) ( 2 ) ... ( N )
(1) ( 20... ( N )
Vì các hạt là giống nhau nhƣng phân biệt đƣợc nên biểu thức của Z có dạng:
Z e
N
z t z q z d N
Năng lƣợng tự do của khí Boltzmann đƣợc tính theo công thức
F ln Z N ln zt ln z q ln z d
Áp suất của khí lý tƣởng :
(ln z t ) N
F
P
N
V
V
V T
32
Phƣơng trình này không phụ thuộc vào zq và zd nên
pV = Nθ = NkT
là phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng nói chung.
2.2 Khí lý tƣởng Fermi và Bose
2.2.1.Khí lý tưởng Fermi.
- Khí lý tƣởng Fermi mang đầy đủ các đặc điểm của khí lý tƣởng
- Là một hệ đồng nhất của các hạt Fermi có spin bán nguyên
- Trạng thái của hệ đƣợc diễn tả bằng hàm sóng phản đối xứng
- Là khí lý tƣởng nhƣng ở nhiệt độ thấp thì khí Fermi khác hẳn khí Bose.Các
hạt có spin bán nguyên tuân theo cái này gọi là nguyên lí loại trừ pauli nguyên lí
đó khẳng định hai hạt Fermion không thể cùng tồn tại trên một trạng thái lƣợng
tử vào cùng một thời điểm
Ví dụ nhƣ khí điện tử tự do trong kim loại có nhiệt độ T =0 (K) các hạt lần
lƣợt chiếm các trạng thái có năng lƣợng từ 0 tới Fermi dẫn đến năng lƣợng của
cả hệ khác
Hay ở kim loại các electron tự do có thể di chuyển dễ dàng trong khoảng
không giữa các nút mạng. Do đó tập hợp các electron tự do này đƣợc coi nhƣ
một chất khí
Các ion dƣơng ở nút mạng đƣợc sắp sếp tuần hoàn trong không gian gây ra
hiệu ứng chắn, nên tƣơng tác giữa các electron yếu đi dần, song các electron tự
do này vẫn di chuyển dễ dàng trong khắp vật thể, nếu bỏ qua tƣơng tác tập hợp
các electron tự do trong kim loại đƣợc coi là khí lí tƣởng Fermi
2.2.2. Khí lý tưởng Bose
- Khí lý tƣởng Bose mang đầy đủ các đặc điểm của khí lý tƣởng
- Là một hệ đồng nhất các hạt Bozon có spin nguyên
- Trạng thái của hệ đƣợc diễn tả bằng hàm sóng đối xứng
33
- Khối khí Bose gồm vô số các phân tử khí, các phân tử này có kích thƣớc
rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng. Các phân tử khí chuyển động hỗn loạn
không ngừng và chỉ tƣơng tác với nhau khi va chạm và sự va chạm này hoàn
toàn đàn hồi. Sự va chạm của phân tử khí lên thành bình gây lên áp suất, do đó
áp suất chất khí bằng áp suất va chạm các phân tử với thành bình.
- Các định luật với khí lý tƣởng Bose chỉ đúng trong điều kiện nhiệt độ và áp
suất thƣờng, đối với chất khí có áp suất cao thì không hoàn toàn đúng.
- Khí Bose tuân theo các định luật thực nghiệm của lý tƣởng, vì các phân tử
khí có kích thƣớc rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng nên chúng có thể coi
những chất điểm, khi đó thể tích bình chứa chính là thể tích chuyển động của
các phân tử.
2.2.3. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng Fermi và Bose
Số hạt trung bình có năng lƣợng bằng:
1
n
e
(2.24)
1
Ở đây là năng lƣợng của hạt, µ là thế hóa học
Dấu “+” ứng với thống kê Fermi – Dirac
[1]
“ – ”ứng với thống kê Bose – Einstein
Xét một hệ lí tƣởng gồm N hạt cơ bản Fermion hay Bozon. Năng lƣợng của
hạt chỉ là năng lƣợng của chuyển động tịnh tiến
( p)
p x2 p y2 p z2
2m
p2
2m
(2.25)
Trong đó m là khối lƣợng của hạt và P là xung lƣợng của hạt
Số hạt có xung lƣợng và tọa độ nằm trong thể tích không gian pha dpx dpy
dpz dV bằng dN: dN ng
dp x dp y dp z
h3
34
Trong đó g là bội suy biến của năng lƣợng p
2
Tích phân theo thể tích V và chuyển từ dp x dp y dp z 4p dp ,ta nhận
dƣợc biểu thức số hạt cơ bản trong thể tích V có xung lƣợng nằm giữa p và p +
dp bằng
1
dN p
e
g
1
4Vp 2 dp
ndG ( p)
h3
p2
Vì
nên số hạt ở trong thể tích V có năng lƣợng từ đến d bằng
2m
dNɛ
3
dN
4Vgm 2 2
e
1
1
2
d ndG( )
h3
Số hạt toàn phần của khí lý tƣởng
4Vg 2m
N dN
h3
Đặt x
3
2
d
0
e
1
ta đƣợc:
3
N
4g 2
2
(
m
)
3
0
V
h
x dx
e
x
1
Công thức này xác định thế hóa học µ phụ thuộc vào nhiệt độ θ và mật độ
hạt
N
V
Năng lƣợng của khí lý tƣởng:
3
4Vg 2 3 2 5 2 x 2 dx
E dN
m
x
h3
0
e
1
Thế nhiệt động k có dạng:
k
35
(2.26)
k
k ln 1 e Đối với khí Fermi – Dirac
k
k ln 1 e
Đối với khí Bose – Einstein
Chuyển từ tổng theo năng lƣợng đến tích phân theo năng lƣợng ta có:
k m ln 1 e dG ( )
4gVm
k m
h3
3
2
2
0
ln 1 e d
Dấu” +” ứng với khí Fermi
“ –“ ứng với khí Bose
Thực hiện phép tích phân đoạn ta đƣợc:
3
2 4g 2V 3 2 2 d
m
3
h3
0
e 1
Hay
3
3
5
2 4g 2
x 2 dx
2
2
Vm
0 x pV
3 h3
e 1
(2.27)
So sánh biểu thức của Ω và E thấy rằng:
2
2
E hay pV E
3
3
2
Phƣơng trình pV E là phƣơng trình trạng thái của KLT hạt cơ bản
3
Những kết quả ở trên đối với hạt chuyển động với vận tốc bé so với vận tốc
của ánh sáng trong chân không c.
36
2.3 Khí electron tự do trong kimloại
Electron là hạt Fermion có spin s = . Mỗi mức năng lƣợng của electron có
bội suy biến g = 2s + 1 = 2.Đó là trạng thái lƣợng tử có hình chiếu spin ngƣợc
chiều với electron. Số electron trung bình trong một trạng thái lƣợng tử theo
thống kê Fermi – Dirac có dạng:
1
n f
e
Ở đây
= k T và
1
phụ thuộc vào nhiệt độ.
là thế hóa học. Thế hóa học
Khi T 0 thì 0 F . Mức năng lƣợng
gọi là mức Fermion. [1]
Ta hãy tính thế hóa học , năng lƣợng E và nhiệt dung đẳng tích Cv của khí
lý tƣởng electron trong kim loại.
Số hạt electron toàn phần N năng lƣợng E của khí electron đƣợc tính theo
công thức:
1
4 Vg 2 32 2 d
N dN
m
3
h
0
0
e 1
3
4 Vg 2 32 2 d
E dN
m
h3
0
1
Công thức (2.28) cho ta xác định đƣợc
(2.28)
(2.29)
là hàm của nhiệt độ T và nồng độ
electron
n=
. Biết đƣợc
của nhiệt độ.Đặt
là hàm của T ta thay
4g 2 3 2
m ta có:
h3
37
vào (2.29) ta xác định E là hàm
1
N
2 d
n
V
0
e 1
E V
0
Để tính
3
2 d
e
1
và E ta cần tính phân Ip có dạng sau:
IP
F d
0
e
1
3
1
Trong đó F p , p
2
2
p
Đƣa vào biến số mới z =
,
ta có:
z, d dz
Ip
F z
e 1
z
0
dz
0
F z
e 1
z
dz
F z
0
ez 1
Trong tích phân đầu thay biến số z bằng –z, ta đƣợc:
1
1
1
e z 1
ez 1
Ta viết lại biểu thức của Ip nhƣ sau:
I p F z dz
hayI p F d
0
Ta hãy tính
0
F z
e 1
z
F Z
ez 1
dz
0
0
F z
ez 1
F z
ez 1
dz
và E ở vùng nhiệt độ rất thấp. Khi đó z bé và
Biểu thức của Ip ở vùng có nhiệ độ rất thấp có dạng:
38
(2.30)
.
F z F z
I p F d
dz
z
e
1
0
0
Đặt x = z , ta khai triển các hàm F Z và F Z theo x và chỉ giữa
đến số hạng bậc nhật của x:
p
F
F x x F ,0 x
x 0
F z p p .z
p 1
p
F
F x x F ,0 x
x 0
F Z p p .z
p 1
Đặt các biều thức
F p và F z F z 2 p z vào (2.30)
p 1
và chú ý
zdz 2
0 e z 1 12
Ta tìm đƣợc:
p 1 2
p 1
Ip
p . 2
p 1 6
Dễ thấy rằng:
2 32 2
I 1 1
3
8
2
2
(2.31)
khi T 0 thì 0 và E E0 .
Khi đó ta có:
V
2 32
n .
N
3
5
2
E0 V . . 2
3
(2.32)
3
hay
2
2
2
3 n 2 h 3 3 3
n
2m 8
2
39
(2.33)
E0
3
0 N
5
Chú ý rằng khi T 0 thì n f 1 khi 0 và n 0 khi 0 nên các hệ
thức (2.32) hay (2.33) đƣợc nhận từ các hệ thức đơn giản sau:
0
1
2
3
2
n d 02
3
0
0
5
2
E0 V d V 02
5
0
Để tính
thấy
3
2
và E phụ thuộc vào T ở vùng nhiệt độ thấp, gần đúng ta
trong các công thức của
và
2
2
1
8 0
2
2
2 52
5
I 3 1
5
8 0
2
2 12
I1
3
2
(2.34)
Từ các hệ thức (2.28) và (2.33) suy ra:
n 2 32
2 32 2
0 I 1 1
3
3 8 0
2
0 1
8
2
Dễ thấy rằng
0
2
2 3
2 2
0 1
8 0
Năng lƣợng khí electron trong kim loại bằng:
40
(2.35)
5
2
5
E VI 3 V 2 1 2
5
2
8 0
2
2
5
2
2
5 2
2
V 01 1 1
5
12 0 8 0
5
5
5
V 02 1 2
2
24 0
2
5 2
2
1
8 0
2
4
5
25 4
2
E0 1
12 0 192 0
5
4
2
3
Bỏ qua số hạng bé chứa và chú ý E0 V 02 0 N , kT , ta đƣợc:
3
5
0
2
3
5 2 kT
E 0 N 1
5
12 0
(2.36)
Nhiệt dung đẳng tích của khí electron bằng:
E Nk 2 kT
CVe
(khi nhiệt độ thấp)
T V 2
0
(2.37)
Nhƣ vậy ở nhiệt độ thấp nhiệt dung của khí electron trong kim loại tỉ lệ bậc
nhất với nhiệt độ.
Entropi của khí electron đƣợc tính từ phƣơng trình:
T
S
0
CV T
T
2 Nk kT
dT
2 0
(2.38)
Năng lƣợng tự do của khí electron trong kim loại đƣợc tính từ hệ thức:
5 kT 2
3
F E TS N 0 1 2
5
12 0
(2.39)
Trong đóphụ thuộc vào V theo công thức:
2
F
p
hay
pV
E
3
V T
41
2.4. Photon: Những bức xạ cân bằng
Photon có spin bằng đơn vị và do đó khí photon tuân theo thống kê Bose –
Einstein. Ta khảo sát một hệ hạt photon ở trạng thái cân bằng nhiệt với vật bức
xạ và vật hấp thụ photon( vật hấp thụ và bức xạ photon đóng vai trò
tesmost).Các hạt photon không bức xạ với nhau nên khí photon giống với khí lý
tƣởng. Tuy nhiên khí photon có những điểm khác với khí lý tƣởng nhƣ sau:
trong chân không mọi photon đều chuyển động với vận tốc c và số hạt photon
trong hệ không phải không đổi vì tesmosta luôn luôn bức xạ và hấp thụ photon.
Khi khí photon ở trạng thái cân bằng thì năng lƣợng tự do của hệ đạt giá trị cực
tiểu nghĩa là
F
0
N V ,T
Số hạt photon trung bình có năng lƣợng bằng theo thống kê Bose –
Einstein bằng:
1
n
e 1
Mỗi hạt photon có năng lƣợng, có khối lƣợng m
p mc
và có xung lƣợng
c2
h
. Số photon ở trong thể tích V cóxung lƣợng nằm giữa p và
c c
p + dp hay có tần số nằm giữa và +d bằng dN :
4 gp 2 dp
4 V 2 d
dN n
n
ndG
h3
C3
Ở đây g = 2 là bội suy biến của (p). Vì ứng với một giá trị của p hay (p)
xác định có hai photon ứng với hai sóng phân cực cùng tần số (phân cực phải
và phân cực trái).
42
Năng lƣợng của những photon có tần số nằm giữa và d trong thể tích V
dE :
bằng
dE dN h dN
8 Vh 3d
h
e 1
Mật độ hàm phân bố năng lƣợng của khí photon theo tần số đƣợc xác định
bằng hệ thức:
dE 8 Vh 3
f
d
C 3 h
e 1
Hàm f có cực đại tại 0 ở đây 0 đƣợc xác định điều kiện
h 0
Từ điều kiện này suy ra:
Dễ thấy rằng khi tăng
f
0
2,822
thì vị trí cực đại của f dịch chuyển về tần số lớn.
Đó là định luật dịch chuyển tần số
Bây giờ ta hãy tính các đại lƣợng nhiệt động của khí photon . Ta biết năng
lƣợng tự do F liên hệ với thế nhiệt động Ω bằng hệ thức:
F N
Đối với khí photon ta có
Ω.
Sử dụng các biểu thức của Ω và E của khí lý tƣởng các hạt cơ bản chuyển
động với vận tốc c với chú ý
4 gV 4
F
3c3 h3
E
4 gV 4
3c 3 h3
, ta đƣợc:
x 3 dx
4 gV 4 4
0 e x 1
3c 3 h3 15
x 3 dx
4 gV 4 4
0 e x 1 3c3h3 15
2 5 k 4
5, 67.105
Trong đó g = 2 đặt
3 2
15h c
Ta viết đƣợc:
43
đ
F
E
4 4
F 16 3
VT , S
VT
3c
T V 3c
4 4
E 16 3
VT , CV
VT
3c
T V 3c
Áp suất của khí photon cân bằng :
F 4
p T 4
V T 3c
Kết luận chƣơng 2
Khi mỗi hạt vi mô trong hệ nhiều hạt tuân theo các quy luật của cơ học
lƣợng tử, tức là chúng ta chú ý đến các đặc tính lƣợng tử của chúng nhƣ: các
spin, tính đồng nhất nhƣ nhau, sự suy biến của các mức năng lƣợng,…Thì hệ
nhiều hạt tuân theo các phân bố chính tắc lƣợng tử và hệ KLT lúc này là hệ KLT
lƣợng tử. Mô hình này đã có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các hệ lƣợng
tử khí electron trong kim loại, khí Bose lƣợng tử, bức xạ cân bằng của
photon…Đó là vấn đề đƣợc đề cập đến trong chƣơng 1
44
CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ KHÍ LÝ TƢỞNG
3.1 Bài tập về khí lý tƣởng cổ điển
Bài tập 1: Biểu diễn nhiệt dung đẳng tích và thế nhiệt động Gipxơ theo tích
phân trạng thái
[4]
Bài giải
Theo phân bố chính tắc thì tích phân trạng thái là Z có dạng
Z
H ( X , a)
exp
(X )
Nhiệt dung đẳng tích đƣợc xác định bằng công thức
Q TS
S
CV
T
T V T V
T V
Mà S đƣợc xác định
S
T V
ln Z ( , a)
S
ln Z ( , a) k ln Z kT ln Z
T
T
ln Z
ln Z
2 ln Z
S
CV T T k
k
kT
T
T 2
T V
T
ln Z
2 ln Z
2kT
kT 2
T
T 2
ln Z
2 ln Z
kT 2
T
2
T
T
Tính thế nhiệt động Gipxơ pV
ln Z
kT
V T
V T
Mà p
ln Z
kT ln Z kTV
V T
ln Z
kT
ln Z
V T
45
Bài tập 2: Thiết lập hàm phân bố Gibbs theo vận tốc của KLT.Từ đó tính
giá trị trung bình, giá trị toàn phƣơng của KLT
Bài giải
Áp dụng phân bố Mắcxoen ta có
Xác suất tìm thấy hạt của KLT là:
dW ( p x , p y , p z ) (2mkT)
3
2
p x2 p y2 p z2
exp
dp x dp y dp z
2mkT
m(v x2 v y2 v z2
m 2
dW (v x , v y , v z )
exp
dv x dv y dv z
2kT
2kT
3
3
mv 2
m 2
dW (v)
exp
dX v
2
kT
2kT
(1)
Ta chọn dXv là giới hạn bởi 2 mặt cầu có bán kính là v v dv .
Vậy
dX v 4v 2 dv
(2)
3
mv 2 2
m 2
dW
(
v
)
4
exp
Thay (2) vào (1) ta đƣợc :
v dv
2
kT
2kT
3
mv 2 2
dW (v)
m 2
W (v )
4
exp
v
dv
2kT
2kT
Đây là phân bố Gibbs theo vận tốc của KLT
- Giá trị trung bình của vận tốc
3
2
mv 2 3
m
m
v v (v)dv 4
exp
v dv 4
2kT
2kT
2kT
0
2
2 n 1
Áp dụng tích phân Poát xông : exp( ax ) x dx
0
46
3
2
n!
2a n1
mv 2 3
exp
0 2kT v dv
m
Ta có v 4
2kT
3
2
1
m
2
2kT
2
8kT
m
- Giá trị toàn phƣơng trung bình của vận tốc
m
v 2 v 2 (v)dv 4
2kT
0
0
m
4
2kT
3
2
mv 2 4
exp
v dv
2
kT
3
2
mv 2 4
0 exp 2kT v dv
Áp dụng công thức tích phân poát xông
exp(ax
2
) x 2 n1dx
0
(2n 1)!!
2a n1
a 2 n1
Ta tính đƣợc
m
v 4
2kT
2
3
2
3!!
3
2 m 5
2kT
3kT
m
Bài tập 3: Trong một bình lớn có thể tích V chứa N hạt khí lý tƣởng ở nhiệt
độ T. tìm phân bố góc của hạt bay ra môi trƣờng ngoài chân không trong một
đơn vị thời gian qua một lỗ hổng nhỏ ở thành bình có diện tích S.
Bài giải
Áp dụng phân bố Mắcxoen theo các thành phần của vận tốc
Ta có Xác suất tìm thấy hạt của KLT là
3
2
m v x2 v y2 v z2
m
dW (v x , v y , v z )
exp
2kT
2kT
dv dv dv
x
y
z
Chuyển sang tọa độ cầu trong không gian vận tốc ta có:
dv x dv y dv z v 2 sin ddvd
47
3
mv 2 2
m 2
exp
v dv sin dd
Vậy ta có dW (v, , )
2kT
2kT
Lấy tích phân 2 vế theo ta đƣợc:
3
mv 2 2
m 2
dW (v, ) 2
exp
v dv sin d
2kT
2kT
Gọi n
N
là mật độ hạt trung bình thì số hạt bay ra khỏi lỗ trong một đơn vị
v
thời gian là:
dN (v, ) nSv cos dW (v, )
3
mv 2 3
m 2
nS 2
exp
v dv sin cos d
2
kT
2kT
Lấy tích phân 2 vế theo v
3
mv 2 3
m 2
dN
(
)
nS
2
exp
=>
v dv sin cos d
2
kT
2kT 0
3
mv 2 3
8kT
m 2
0 exp
v dv
Ta có 4
m
2kT
2kT
Vậy ta có: dN ( )
1
8kT
nS
sin cos d
2
m
3.2 Bài tập về khí lý tƣởng lƣợng tử
Bài tập 1: Giả sử chất khí lƣợng tử tuân theo thống kê Bose – Einstein và
Fermi – Dirac và giả sử độ suy biến g không đổi bằng g [4]
Đặt B exp
1
x 2 dx
4
F
(
B
)
;
và G( B)
0 B 1
3
2
Chứng minh rằng ta có
48
3
x 2 dx
0 Be x 1
3
(2mkT ) 2
N
gVF ( B)
h3
3
G ( B)
E NkT
2
F ( B)
Bài giải
Chất khí tuân theo thống kê Bose – Einstein và Fermi – Dirac là các phân
bố nên khí lý tƣởng lƣợng tử
Số các ô pha nguyên tố trong không gian µ của một phần tử là
do
2V (2m)
3
h
h3
3
2
1
2
d
Số hạt có năng lƣợng trong khoảng đến d
dn n( )
do
h3
Theo thống kê Bose – Einstein và Fermi – Dirac
n( )
g ( )
exp
1
kT
Tích phân dN N
2V (2m)
dN
h3
2V (2m)
N
h3
Đặt x
kT
3
3
2
2
1
g ( )e 2 d
exp
1
kT
1
g ( )
0
2 d
exp
1
kT
=> d kTdx
49
2V (2m)
N
h3
3
2
2V (2m)
=> N
2h 3
3
2
1
2
g
2
1
x 2 (kT ) 2 kTdx
0
exp x
1
kT
1
x 2 dx
g
0 exp( x) exp 1
kT
2
Be
kT
Đặt exp
3
1
(2mkT ) 2 Vg 2
=> N
h3
Đặt
x 2
Be x 1
1
x 2
F ( B)
Be x 1
2
3
(2mkT ) 2 Vg
F ( B)
=> N
h3
=> đpcm (1)
Năng lƣợng trung bình E dn
0
3
2V (2m) 2
E
g ( )
h3
2V (2m)
=
h3
3
2
1
2 d
exp
1
kT
3
2 d
g ( )
0 exp
1
kT
2V (2m)
=> E
h3
3
2
3
3
x 2 kT 2 kTdx
g ( )
e x e 1
0
2V (2m)
=E
h3
3
2
3
5
x 2 kT 2 dx
g ( )
Be x 1
0
50
2V (2m)
E
h3
Đặt
3
2
3 4
kT 2 g ( )
4 3
5
3
x 2 dx
0 Be x 1
3
x 2 dx
x G ( B)
3 0 Be 1
4
3V (2mkT)
=> E
2h 3
3
2
kTgG( B)
(2mkT)
Từ (1) => h
N
3
3
(2)
2
gVF ( B)
Thay vào (2) ta đƣợc
3
3
N
E (2mkT) 2 gVkTG( B)
3
2
(2mkT) 2 gVF ( B)
=> E
3
G ( B)
kTN
2
F ( B)
=> đpcm
Bài tập 2: Chứng minh rằng đối với phân bố Bôzơ – Anhxtanh,đạo hàm của
thế hóa học theo nhiệt độ luôn âm.
Bài giải
0
0
Ta có N dn( ) n( )dN ( )
dN(ɛ) là các mức năng lƣợng trong khoảng d
dN ( )
(2m) 3 V
2 2 3
d
Áp dụng phân bố Bôzơ – Anhxtanh ta có n( )
51
1
exp
1
kT
N
0
( 2 m) 3 V
2 2 3
( 2 m) 3 V
2 2 3
0
exp
1
kT
d
exp
1
kt
Ta có
( 2 m) V
N
T
2 2 3 T
3
0
exp
1
kT
d
3
( 2 m) V
2 2 3
0
exp
2
kT
kT
2
exp
1
kT
1
( 2 m) V
N
kT kT
2
2 2 3 0
exp
1
kT
3
(
N
T
N
exp
kT
2
) exp
kT
2
0
exp
1
kT
1
exp
kt kT
0
exp
1
kT
T
2
Do các biểu thức dƣới dấu tích phân ( +) nên
0
T
=> đpcm
Bài tập 3: Hãy tính entropi và năng lƣợng tự do đối với hệ các dao động tử
tuyến tính lƣợng tử.
52
Bài giải
Ta có tổng trạng thái đối với dao động tử là
En
h
h
exp
n
exp
exp
2kT n0
kT
kT
n 0
Z dd
(*)
Vế phải của (*) có chứa một cấp số nhân vô hạn giảm dần
Áp dụng công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân và vô hạn giảm dần
S
a
1 q
h
exp
2kT
Z
h
1 exp
kT
Hay
h
exp
2kT
Z
h
exp
1
kT
Năng lƣợng tự do của hệ gồm N dao động tử là
kT ln Z
Với Z là tổng tích phân trạng thái của hệ : Z = ZN
kT ln Z N
h
exp
2kT
NkT ln
h
exp
1
kT
h
h
NkT
ln exp
1
2
kT
kT
h
Nh
NkT ln 1 e kT
2
Entropi của hệ có N dao động tử là
53
S
T V
h
Nk ln 1 e kT
h
h
1
Nk
ln 1 e kT
h
kT kT
e 1
h
h kT
NkT
e
kT
h
1 e kT
Kết luận chƣơng 3
Trên cơ sở lí thuyết ở trên em đã giới thiệu một số bài tập cơ bản của mô
hình khí lý tƣởng cổ điển và lƣợng tử để có thể hiểu sâu hơn về mô hình khí lý
tƣởng.
54
C. KẾT LUẬN
Trên đây là kết quả mà em đã đạt đƣợc bằng sự cố gắng của bản thân và sự
giúp đỡ tận tình của cô PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh. Qua đề tài này em đã
đƣa ra đƣợc các hàm phân bố thống kê của khí lý tƣởng cổ điển và lƣợng tử và
một số các đại lƣợng nhiệt động của chúng, sau đó em đã vận dụng phân bố
thống kê để giải một số bài tập về khí lý tƣởng cổ điển và lƣợng tử. Từ đó đã có
đƣợc cái nhìn tƣơng đối đầy đủ và hệ thống về mô hình khí lý tƣởng.
Qua nghiên cứu đề tài này đã giúp em hiểu sâu hơn về mô hình khí lý tƣởng
và em hi vọng rằng đề tài này sẽ giúp một phần nào đó trong việc học tập và
nghiên cứu bộ môn vật lý lý thuyết.
55
D.TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] : Nguyễn Quang Báu – Bùi Bằng Đoan – Nguyễn Văn Hùng (1999), Vật
lý thống kê, NXBĐHQG Hà Nội.
[2]: Nguyễn Quang Báu – Hà Huy Bằng, Lý thuyết trƣờng lƣợng tử cho hệ
nhiều hạt, NXBĐHQG Hà Nội.
[3]: Vũ Thanh Khiết (2002), Nhiệt động lực và vật lý thống kê, NXBĐHQG
Hà Nội.
[4]: Nguyễn Hữu Mình (chủ biên) – Tạ Duy Lợi – Đỗ Đình Thanh - Lê
Trọng Trƣờng (2003), Bài tập vật lý lý thuyết, NXB Giáo dục.
[5]: Lê Văn (1978), Vật lý phân tử và nhiệt học,NXB Giáo dục.
56
[...]... Entropi, áp suất, năng lƣợng tự do, Mô hình khí lý tƣởng cổ điển tuy không có thực nhƣng từ việc nghiên cứu mô hình này giúp cho việc khảo sát các hệ vật lý thuận tiện rất nhiều 24 CHƢƠNG 2: KHÍ LÝ TƢỞNG LƢỢNG TỬ 2.1 Khí Boltzmann 2.1.1 Phân bốBoltzmann Về mặt vật lý khí Boltzmann là khí loãng sao cho tƣơng tác giữa các phân tử khí có thể bỏ qua và coi mỗi phân tử khí là một hệ con gần kín( gần độc... hàm phân bố trong vật lý thống kê thƣờng đƣợc giới hạn xét các hệ hạt có số hạt rất lớn và bỏ qua tƣơng tác giữa các hạt với nhau, xem chúng nhƣ các hạt tự do Nhƣ vậy chúng ta có thể coi hệ các hạt trong vật lý thống kê là các khí lý tƣởng” và trong hệ nhiều hạt có thể biểu hiện quy luật tính thống kê Để tìm trị trung bình của một thông số vĩ mô bất kỳ của hệ hạt đó ( là hàm của thông số vĩ mô ) Gibbs... trình trạng thái cho khí lý tƣởng dƣới dạng Clapâyrôn - Menđêlêép [3] pV = kTN đối với N hạt trong thể tích V Vậy khí thực nào tuân theo phƣơng trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép có thể coi nhƣ là khí lý tƣởng 7 Các khí thực càng có tính chất gần giống với khí lý tƣởng khi chúng càng loãng Ở những nhiệt độ và áp suất nhất định tất cả các khí thực có thể xem nhƣ khí lý tƣởng Muốn vậy khí thực cần phải... CV của khí lý tưởng đơn nguyên tử U TS 3 kT N ln V N (ln T ln 2mk ) N ln N 2 3 3 3 T kN ln V kN ln T kN ln 2mk kTN 2 2 2 3 3 U CV kN R 2 T V 2 23 (1.43) Kê t luận chƣơng 1 Trong chƣơng này em đã trình bày về mô hình khí lý tƣởng theo thuyết động học chất khí, xây dựng hàm phân bố Gibbs là hàm phân bố đặc biệt đúng cho khí lý tƣởng... của hệ vĩ mô và áp dụng phƣơng pháp thống kê, ta đã suy ra đƣợc phƣơng trình cơ bản của nhiệt động lực học Không những nhƣ vậy mà còn tìm ra đƣợc đại lƣợng tƣơng tự thống kê của hàm nhiệt quan trọng là entropi, nội năng và năng lƣợng tự do của hệ Ta đã nghiên cứu phân bố chính tắc đối với hệ nằm tiếp xúc và có thể trao đổi năng lƣợng với điều nhiệt.Nhƣng ta đã biết trong vật lý còn có những hệ trong đó... chất gần đúng đối với các hỗn hợp khí thực Trong khí lý tƣởng giữa các phân tử không còn tƣơng tác, các phân tử “không biết” đến sự tồn tại của các phân tử khác Nhƣ vậy dựa vào thuyết động học phân tử của khí lý tƣởng để thành lập các định luật quy định tính chất của khí Từ việc so sánh giữa kết quả lý thuyết và thực nghiệm dẫn ta đến định nghĩa khí lý tƣởng là chất khí tuân theo chính xác các định... 1.1.3 Mối liên hệ giữa khí lý tưởng với khí thực Phƣơng trình trạng thái khí lý tƣởng có dạng: p v2 3 2 đ 3 Trong đó đ là mật độ động năng trung bình Việc so sánh phƣơng trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép đã cho phép đƣa vào đối với khí lý tƣởng khái niệm về nhiệt độ tuyệt đối( nhiệt độ tuyệt đối là thƣớc đo động năng trung bình của hạt ) mv 2 3 kT 2 2 Sau khi đƣa vào khí lý tƣởng khái niệm... bình sẽ đàn hồi, trong các chất khí quá đặc khoảng cách giữa các phân tử lớn hơn bán kính tác dụng của lực phân tử gấp nhiều lần, vì vậy tƣơng tác giữa các phân tử là nhỏ không đáng kể Trong trƣờng hợp đó khí thực có tính chất nhƣ khí lý tƣởng Khi mật độ và áp suất tăng lên và khi nhiệt độ giảm đi các tính chat scuar khí thực sẽ khác với các tính chất của khí lý tƣởng mà ta khảo sát Các khí thực sẽ không... nhiệt động của khí lý tƣởng Để tính tích phân trạng thái Z ta cần biết hàm Hamintơn H.Đối với khí lý tƣởng hàm Hamintơn bằng tổng của các năng lƣợng của các hạt riêng lẻ nghĩa là: N P2 H k U k ( x) k 1 2m (1.31) Trong đó Uk(X) biểu thị thế năng của hạt thứ k mà chúng ta đƣa vào xuất phát từ lập luận sau đây: Các hạt của khí lý tƣởng có thể chuyển động hoàn toàn tùy ý bên trong bình... của năng lƣợng tự do của khí lý tƣởng 3 2 N ln( 2m ) ln V ln N (1.40) 1.3.2 Phương trình trạng thái của khí lý tưởng P V T P P N V 3 N ln( 2m ) ln V ln N 2 1 N V V Đối với 1mol khí lý tƣởng phƣơng trình đó cần phải trùng với phƣơng trình 22 Clapâyrôn – Menđêlêép: P NkT Từ đó ta suy ra rằng mô un θ của phân bố V chính ... Thị Kim Thanh Đề tài “ Nghiên cứu mô hìnhtrong vật lý thống kê khí lý tƣởng” đƣợc hoàn thành sở nghiên cứu giáo trình tài liệu nhiệt động lực học, vật lý thống kê, vật lý chất rắn Hà Nội, tháng... thống kê cần thiết Vì em chọn đề tài “ Nghiên cứu mô hình khí lý tƣởng vật lý thống kê ” Mục đích, nhiệm vụ đề tài - Nắm đƣợc khái niệm khí lý tƣởng - Đƣa đƣợc phân bố thống kê cổ điển khí lý tƣởng,đƣa... tài Vật lý lý thuyết môn chuyên sâu vào vấn đề xây dựng thuyết vật lý Dựa tảng mô hình vật lý nhà khoa học xây dựng thuyết vật lý Thuyết vật lý hiểu biết tổng quát ngƣời lĩnh vực, phạm vi vật lý