nguyên hàm trọng tâm tích phân

k f x dx b Tính chất 2: ∫ [f x+gx]dx=∫f xdx+∫gxdx Chứ Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm, mà không phụ thu

Trang 2

MỤC LỤC

1 ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM 01

2 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM 07

3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIÊN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM 13

4 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM 20

5 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ 23

6 KĨ THUẬT ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM 35

7 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ 40

8 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 46

9 TÍCH PHÂN CƠ BẢN 60

10 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÍNH TÍCH PHÂN 62

11 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 64

MỤC LỤC 69

.

Trang 3

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 2

I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy=df x( )= y dx' = f'( )x dx

Ví dụ:

d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx

d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′ dx = (cosx – 2sinx)dx

Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau

22

33

os2

axsin ax

+

) ( (2( ) ) ( ) ( )

cos

b d

x d b

ax d

a

b ax

+

=

++

sin

b d

+

= −

++

II KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Ví dụ:

Hàm sốf(x) = 2xcó nguyên hàm làF(x) = x2+C, vì (x2+C)’ = 2x

Hàm sốf(x) = sinxcó nguyên hàm làF(x) = –cosx+C, vì (–cosx + C)’ = sinx

III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Cho các hàm sốf(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tươngứngF(x) và G(x), khiđó ta có các tính

chấ

′

t sau:

a) Tính chất 1: ( ∫f (x)dx) = f (x) Chứng minh:

01 ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM

.

Trang 4

Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( f x dx( ) )′=(F x( ))′= f x( )⇒

Tương tự như tính chất 2, ta xét (k f x dx( ) ) k f x ( ) k f x dx ( ) k f x dx( )

b) Tính chất 2: ( ∫ [f (x)+g(x)]dx)=∫f (x)dx+∫g(x)dx Chứ

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào

hàm, mà không phụ thuộc vào biến

IV CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

∫ n x n

C

x dx n Chứng minh:

Thật vậy, do

11

n n x x

C

n n

+

=+

∫

du dx

dx

C u

n

u x

x

u u x

4

22

52

Trang 5

Trang 7

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 6 a)

x d

+ + + + +

Trang 8

.

Trang 9

CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG

2

11

Trang 10

d n u

x x

x dx

Trang 11

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 10 c) Sử dụng các công thức vi phân ( )

Ví dụ 5 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 3cos

x dx I

x

=+

Trang 12

2

dx

x u

tancos

1

1 tancos

dx

x

x x

cotsin

2

dx

x u

Trang 13

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 12 b) Sử dụng các công thức

1

.2

Trang 14

dx I

x

=

−

∫ 3) I9 =∫ 5 2− xdx 10)

3 10

1 3cos

x dx I

x

=+

Trang 15

DẠNG 1: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC

Trang 16

29

Trang 17

1

11

x

t t

sin 3 cot3

Trang 18

a) 1

xdx I

Trang 19

2

22

t x

dx tdt x

2

11

2

1

x x

Trang 20

=+

x

=+

2 12

x x

e dx I

Trang 21

Trang 22

CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP:

Công thức nguyên hàm từng phần I =∫P x Q x dx( ) ( ) =∫udv=uv−∫vdu

Độ ưu tiên khi lựa chọn đặt u:

Hàm logarith, lnx → hàm đa thức → hàm lượng giác = hàm mũ

Nếu I có chứa lnn[g x thì đặt ( )] u=lnn[g x( )]→du=(lnn[g x( ) '] )

Nếu I có chứa hàm đa thức (không chứa hàm loga) thì đặt u = P(x)

Nếu I có chứa cả hàm lượng giác và hàm mũ thì ta có thể đặt tùy ý, tuy nhiên qua trình tính sẽ gồm các vòng

lặp Để việc tính toán đúng thì trong mỗi vòng lặp, các thao tác đặt u phải cùng dạng hàm với nhau

Chú ý:

Với các bài toán tìm nguyên hàm từng phần, chúng ta có thể sử dụng cách giải truyền thống (đặt u, tìm v) hoặc

chỉ có thể dùng được khi học sinh phải rất thành thạo vi phân

Cách 1: Đặt

sincos

Khi đó I3=∫x2cosx dx=x2sinx−∫2 sinx x dx=x2sinx−2J

Trang 23

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 22 d) I4 =∫xlnx dx

Cách 1: Đặt

4 2

1

x x

++

Trang 24

( ) ( ) ( 2 ) ( )

11

Ta có I8 =∫e xsinx dx=∫sinx d e( )x =e xsinx−∫e d x (sinx)=e xsinx−∫e xcosx dx=e xsinx−∫cosx d e( )x

ta đều nhất quán đặt u là hàm lượng giác (sinx hoặc cosx) và việc tính toán không thể tính trực tiếp được

Trang 25

43

Trang 26

2 2

II MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI

Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x)

Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm của mẫu số

Khi tử số là bậc nhất thì ngoài cách đồng nhất ở trên, ta có thể phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu, rồi

tách thành 2 nguyên hàm (xem các ví dụ dưới đây)

Trang 27

Nhìn hai cách giải, thoạt nhìn chúng ta lầm tưởng là bài toán ra hai đáp số Nhưng, chỉ bằng một vài phép biến

đổi logarith đơn giản ta có ngay cùng kết quả

Trang 28

a du

C u u

Trang 29

Trang 30

Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm đến nó, bạn chỉ cần nắm được ý tưởng thực hiện của nó là phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu

số, rồi tách thành hai bài toán nhỏ hơn đều thuộc dạng đơn giản đã học

a) 1 2

dx I

Trang 31

dx I

III MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA

Khi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x)

TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3

Tương tự như trường hợp mẫu số là bậc hai có hai nghiệm phân biệt Ta có cách giải truyền thống là phân tích

và đồng nhất hệ số Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm của mẫu (tùy thuộc vào biểu thức của tử số là bậc mấy)

Trang 32

150

Trang 33

Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C Bài toán trở về các dạng cơ bản đã xét đến

Trang 34

Q x = +bx + + = −cx d x x mx +nx+ p , trong đó mx2+nx+ =p 0 vô nghiệm

Để đồng nhất được, ta phải phân tích theo quy tắc:

( ) ( 2 ) 2

1 1

- Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải

Trang 35

Trang 36

=+

Trang 37

1) Khái niệm về phân thức đơn giản

Một phân số được gọi là đơn giản nếu nó có một trong các dạng sau

1 4

Trang 38

5 ( 3)

Ví dụ 3: Phân tích các phân thức sau thành phân thức đơn giản

+ +

2 2

x x

Trang 39

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 38 b) Ta có

Trang 41

Trang 42

1) Các công thức nguyên hàm vô tỉ cơ bản thường gặp

Trang 43

Phân tích tử số chứa đạo hàm của mẫu ta được

=

Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau

++ −

ln( )

Hướng dẫn giải:

.

Trang 44

x t x

dt t

dx t

Trang 45

1

x t x

dt t

dx t

Trang 46

x dx

Trang 47

.

Trang 48

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG

Các hằng đẳng thức lượng giác:

2 2

1

1 tancos

1

1 cotsin

x x

21

Công thức biến đổi tổng thành tích:

Trang 49

1cotsin

III CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy

Trang 50

a) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta được 1( )

9 2

sincos

x

cos

dx I

Trang 51

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 50 d)

3 6

4sin

1 cos

x dx I

x

=+

x dx I

Trang 52

x dx I

x

dx I

(cot ) sin

Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx: 2 2

A sin x+Bsin x.cos x+C.cos x thì ta chia cả

tử và mẫu cho cos2x hoặc sin2x

2

Trang 53

3sin5 cos

dx I

Trang 54

( ) ( ) ( )

3 3

3

tantan

x x

mẫu số có chứa sinx và cosx với tổng lũy thừa là một số chắn Phương pháp giải trên là cách giải tổng quát cho dạng nguyên hàm này Tuy nhiên, nếu tổng lũy thừa quá lớn thì bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều!

dx I

=

∫

Ở mẫu số ta thấy có dạng biểu thức đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx Trong chuyên đề về phương trình lượng

giác ta cũng biết cách giải cho loại phương trình đẳng cấp bậc hai này, với nguyên hàm cũng tương tự Chia cả

tử và mẫu số cho cos2x ta được:

Mẫu số trong nguyên hàm trên có dạng là một biểu thức lượng giác khá đặc biệt, thế nên ta cũng có thể tìm ra

x

1 sin 2

dx I

x

=+

∫

Hướng dẫn giải:

.

Trang 55

phân tích

( )

1 2

d A sin x B cos x C Acos x B sin x dx

d A' sin x B' cos x C' A' cos x B' sin x dx

Cách giải:

Các nguyên hàm dạng này thường sử dụng một số công thức lượng giác ( )2

x

=+

Do cos2xdx=1 d sin 2x( )= 1 d 1 sin 2x( + )

Trang 56

d) Xét ( )

4

sin 2 2 cos 4cos 2 sin 4

dx I

d( A sin x B cos x C ) ( A B ) sin 2 x dx

d sin x cos x sin 4 x dx

Với các nguyên hàm lượng giác mà mẫu số có vẻ “dài dòng” thì một kinh nghiệm là các em hãy lấy vi phân

của mẫu số xem tử số có quan hệ gì với vi phân đó hay không ?

Ngoài cách giải như trên, chúng ta có thể mạnh dạn vận dụng kiến thức lượng giác để biến đổi mẫu số gọn

Trang 57

Ngoài cách giải truyền thống cho loại nguyên hàm này bằng cách lấy vi phân trực tiếp cho biểu thức ở mẫu số,

ở đây thầy giới thiệu cách làm thiên về biến đối lượng giác kết hợp với vi phân

a) Ta có

1

−

++

44

Trang 58

dx x

1cos1

Thay vào ta tính được I1 là nguyên hàm theo ẩn t

Trang 59

Trong nguyên hàm trên, ở biểu thức sinx + cosx ta thống nhất chuyển về hàm cos để sử dụng công thức lượng

Với dạng nguyên hàm này ta sẽ sử dụng phương pháp đồng nhất như với nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ

đã xét bằng việc phân tích: sin cos ( cos sin ) ( sin cos )

Trang 60

1cos1

Trang 61

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

3sin x cos

x dx I

Trang 62

x dx x

0

2

x dx

π

3 2 4

tancos

x dx x

π π

2 3 4 0

tancos

x dx x

dx

x x

dx x

e

x dx x

2 1

Trang 63

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 62 1)

1 1

π

6

cotsin

∫ x dx x 10)

13)

1 2 0

ln 2 2

143

Trang 64

.2

x dx

19

3 2 0

.8

sin

.cos

x dx x

π

2 4

3

sin xcosx dx.π

tan

.cos

x dx x

4 2 tan

2 0

.cos

Trang 65

2 0

−∫ dx+

1 2

54

tancos

∫ x dx x

16)

π

3 2 2

π

4

cotsin

∫ x dx

π

6 2

π

4

cotsin

1 1 0

+

∫ e x x dx 25)

cos2sin +1

Trang 66

a x t

x

=+

Trang 67

3

3 1 tancos

2

2cossin2

sin

tdt dx

t x

Trong biểu thức của f(x)dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t

Trong biểu thức của f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t

Trong biểu thức của f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ

x

=+

∫ 2.

5

20 2

5 1

Trang 68

13

tdt

t x

5 3

Trang 69

x

=+

3 1

0

I =∫x +x dx 5

1 2 5 0

2lnln

Định dạng
Số trang	70
Dung lượng	1,38 MB