Bài Giảng Toán Kĩ Thuật ĐHBK

Môn học Toán kỹ thuật Giới thiệu và cần biết I. Nội dung: Gồm 3 phần Phần thứ nhất: Giải tích Fourier Chương 0: Ôn tập số phức. Chương 1: Chuổi Fourier. Chương 2: Biến đổi Fourier. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2 I. Nội dung: Gồm 3 phần Phần thứ hai: Toán tử Laplace Chương 3: Biến đổi Laplace. Chương 4: Biến đổi Laplace ngược. Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace vào ODE. Chương 6: Ứng dụng biến đổi Laplace vào giải tích mạch. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3 I. Nội dung: Gồm 3 phần Phần thứ ba: Hàm phức và ứng dụng. Chương 7: Hàm phức giải tích. Chương 8: Tích phân đường phức. Chương 9: Chuổi hàm phức. Chương 10: Lý thuyết thặng dư. Chương 11: Ứng dụng lý thuyết thặng dư. Chương 12: Ánh xạ bảo giác. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 4 II. Tài liệu tham khảo: 1. Advanced Engineering Mathematics, 7ed, Peter V.O’Neil, Cengage Learning, 2012. 2. Advanced Modern Engineering Mathematics, 4ed, Glyn James, Prentice Hall, 2011. 3. Advanced Engineering Mathematics, 10ed, Erwin Kreyszig, John Wiley & Son, 2011. 4. Advanced Engineering Mathematics, K. A. Stroud – Dexter J. Booth, Palgrave Macmillan, 2003. 5. Complex Analysis with Applications, Dennis G. Zill, Jones and Bartlett Publishers, 2003. 6. Complex Variables, David Mc Mahon, Mc Graw Hill, 2008. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5 II. Tài liệu tham khảo: 7. Electric Circuits (8e), James W. Nilsson and Susan Riedel , Prentice Hall ,2008. 8. Laplace Transform, Murray R. Spiegel, Mc Graw Hill, 1965. 9. Phép biến đổi Laplace, Nguyễn Kim Đính, ĐHQG TPHCM, 2008. 10.Hàm phức và ứng dụng, Nguyễn Kim Đính, ĐHQG TPHCM, 2007. 11.Bài giảng Toán chuyên ngành, Lê Bá Long , Học viện công nghệ bưu chính viễn thông, 2006. 12. Giáo trình Nhập môn hàm phức, Tạ Lê Lợi, Đại Học Đà Lạt, 2004. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 6 III.Máy tính tay: Casio FX570MS & Casio FX570ES . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7 IV. Đánh giá môn học: i. Middle Exam: Ch1 + Ch2 / Problems / Closed book / Formular Sheet is given / (20%) ii. Final Exam: Ch3 -> Ch12 / Problems / Closed book / Formular Sheet is given / (80%) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 8 V. Course Outcomes: When you have completed this course, you will be able to: 1) Understand and be able to work with Fourier series and Fourier Transform . 2) Understand and be able to work with Laplace Transform . 3) Be able to use Laplace Transform to solve differential equations and to work with electric circuit analysis . 4) Understand elementary complex functions and be able to compute complex integrals . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9 V. Course Outcomes: When you have completed this course, you will be able to: 5) Be able to expand a complex function into Taylor and Laurent series . 6) Be able to compute the residue of a complex function at a singular point . 7) Be able to compute some special definite and improper integrals using residue theory . 8) Be able to use MATLAB to solve some engineering problems . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 10 Phần I: Giải tích Fourier Nội dung phần I: Phần này gồm có 3 chương. Chương 0: Ôn tập Số Phức. Chương 1: Chuổi Fourier. Chương 2: Biến đổi Fourier. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 12 Chương 0: Ôn tập Số phức 0.1 Định nghĩa. 0.2 Các tính chất đại số. 0.3 Biên độ và liên hợp. 0.4 Dạng cực của số phức. 0.5 Nhân và chia số phức dạng cực. 0.6 Căn bậc n của số phức. 0.7 Miền trong mặt phẳng phức. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13 0.1 Định nghĩa: H0.1 ° Số phức z = (x, y); x ∈ R, y ∈ R. ° C = { (x,y)|x ∈ R,y ∈ R} ° Điểm z(x, y) biểu diễn SP z. r r r Vectơ z = xa + ya ° x y biểu diễn SP z. ° x = Rez = Phần Thực của z. ° y = Imz = Phần ảo của z. ° Trục x(y) là trục thực (ảo). ° SP z = (0,y) là Số Ảo. Sự tương ứng 1 – 1: r r r z = xa + ya Điểm z(x, y) ↔ Số Phức z = x + iy ↔ Vectơ x y Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (0.1) 14 0.1 Định nghĩa: (tiếp theo)  Sự bằng nhau: z1 = z 2 ⇔ x1 = x 2 vaø y1 = y 2 (0.2)  Toán cộng: z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y 2 ) (0.3)  Toán nhân: z1z2 = (x1 x2 − y1 y 2 , x1 y 2 + x2 y1 ) (0.4)  Nếu viết (x,0) = x và ký hiệu i = (0,1) Thì: z = x + iy (Dạng vuông góc) (0.5) (0.6)  Các phép toán +, –, ×, ÷ được làm như số thực, với điều kiện thay: i2 = –1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (0.7) 15 VD 0.1.1: Định nghĩa số phức Cho 2 số phức : z1 = 8 + 3i và z2 = 9 – 2i. Xác định phần thực, phần ảo, tổng và tích hai số phức trên ?  Phần thực: Re(z1) = 8 Re(z2) = 9  Phần ảo: Im(z1) = 3 Im(z2) = – 2  Tổng: z1 + z2 = (8 + 3i) + (9 – 2i) = 17 + i  Tích: z1 . z2 = (8 + 3i)(9 – 2i) = 72 – 16i + 27i + 6 z1 . z2 = 78 + 11i Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 16 0.2 Các tính chất đại số:  Phần tử đơn vị của toán cộng là (0,0) = 0, của toán nhân là (1,0) = 1  Số Đối của z = x + iy là: –z = –x – iy (0.8)  Số nghịch đảo của z = x + iy là : z −1 x y = 2 −i 2 2 x +y x + y2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (0.9) 17 0.3 Biên độ và liên hợp: r  Biên độ của số phức z là Chiều dài của Vectơ z r z = z = r = x2 + y2 (0.10)  Khoảng cách từ z1 đến z2 là: |z1 – z2| (0.11)  Phương trình của vòng tròn tâm z0, bán kính R là: | z − z0 | = R (0.12)  Có: | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | (0.13)  Có: | z1 | − | z2 | ≤ | z1 − z2 | (0.14)  Số phức liên hợp của z = x + iy là: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM z = x − iy (0.15) 18 VD 0.3.1: Số phức liên hợp và định lý  z1  z1 Cho 2 số : z1 = 4 + 3i và z2 = 2 + 5i. Tính: z1z 2 ; z1 z2 ;  ÷; Kết luận ?  z 2  z2  Tính: z1z 2 = (4 + 3i)(2 + 5i) = ( −7 + 26i) = −7 − 26i z1 z2 = (4 + 3i)(2 + 5i) = (4 − 3i)(2 − 5i) = −7 − 26i z1 / z 2 = (4 + 3i) /(2 + 5i) = 23 29 − 14 i= 29 23 29 + 14 i 29 z1 / z2 = (4 + 3i) / (2 + 5i) = (4 − 3i) /(2 − 5i) = 23 29 + 14 i 29  Định lý cần nhớ: z1z 2 = z1 z2  z1  = z1  ÷  z 2  z2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19 0.4 Dạng cực của số phức: 1. Định nghĩa:  (r, θ) là Tọa độ cực của điểm z(x,y).  θ là một góc (argumen) của Số phức z = x + iy: θ = argz.  Θ là góc chính của số phức z: Θ = Argz. −π < Θ ≤ π hoaëc 0 ≤ Θ < 2π (0.16) ! arg(z) có vô số trị: argz = Argz + 2nπ; n∈Z. Dạng cực: iθ z = re = r ∠θ (0.17) 2. Phương trình thông số của Vòng tròn:  Vòng tròn tâm O, bán kính R: z = Reiθ (0 ≤ θ < 2π )  Vòng tròn tâm z0, bán kính R: z = z0 + Reiθ (0 ≤ θ < 2π ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 20 VD 0.4.1: Số phức dạng cực Cho số phức z = 1 + i. Tính |z|, arg(z) và Arg(z) ?  Chuyển về dạng cực: z = 1 + i = 2e  Ta có: i π 4 |z| = r = 2 π arg(z) = + n2π 4 π A rg(z) = 4 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21 0.5 Nhân và chia số phức dạng cực: 1. Qui tắc: (re )(r e ) =rr e 1 iθ1 2 iθ2 1 2 i( θ1 +θ2 ) ; r1eiθ1 r2e iθ2 r1 i( θ1 −θ2 ) = e r2 (0.18) 2. Chú ý: Các đẳng thức: arg(z1z2 ) = arg z1 + arg z 2 ;arg(z1 / z 2 ) = arg z1 − arg z 2 (0.19) Phải hiểu là: nếu cho một giá trị của argz1 và một giá trị của argz2, ta sẽ tìm được 1 giá trị của arg(z1z2) và 1 giá trị của arg(z1/z2) sao cho (0.19) được thỏa. 3. Công thức De Moivre: n (cosθ + isinθ) = cosnθ + isinnθ Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (0.20) 22 VD 0.5.1: Nhân và chia số phức Tính các số phức, cho kết quả dạng đại số (dạng vuông góc) ? a. (− ) b. ( 1 + j) = c. ( 3 − j8 3−j = 16 8 1+ j 3 1− j 3 ) 10 = Trả lời: d. j4k = ? ; j4k+1 = ? j4k+2 = ? ; j4k+3 = ? Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM ( − 12 + j 3 2 ) 1; j; − 1; − j 23 0.6 Căn bậc n của số phức: 1. Giới thiệu mặt phẳng (MP) z (H0.2) và mặt phẳng w (H0.3): (H0.3) (H0.2) r Mặt phẳng z (x, y, r, θ, Θ, z,z) r Mặt phẳng w(u, v, ρ, φ, Φ, w,w) x = Rez, y = Imz r = |z|, θ = argz, Θ = Argz u = Rew, v = Imw ρ =|w| , φ = arg w, Φ = Argw Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 24 2. Định nghĩa căn bậc n của số phức: Cho 1 Số phức z ≠ 0 và 1 số nguyên dương n = 2, 3, 4, …. Nếu có 1 Số phức w sao cho: (0.21) wn = z thì w gọi là một Căn bậc n của z.  Định lý: Nếu z ≠ 0 thì z có đúng n căn bậc n.  Ký hiệu: 1/ n z { = w0n ,w1n ,...,wkn ,...wn −1 , n } (0.22) trong đó wkn là căn bậc n thứ (k+1) của z (k = 0, 1,…, n–1)  Để đơn giản, nếu không sợ nhầm lẫn, ta sẽ ký hiệu: z1/n = { w 0 ,w1 ,...w n −1} Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (0.23) 25 3. Các bước tìm z1/n: B1. Tính r = |z| và: Θ = Argz (0 ≤ Θ < 2π ) B2. Tính: ρ = n r vaø φ0 = Θ / n B3. Đặt: φk = φ0 + k(2π / n) (với k = 0, 1, …, n – 1) B4. Có: w k = ρe iφk = ρ(cos φk + i sin φk ) (0.24) (k = 0, 1, ... , n – 1) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 26 4. Biểu diễn hình học của z1/n: (H0.4)  w0, w1,…. wn–1 là n đỉnh liên tiếp của một n – giác đều nội tiếp trong vòng n tròn tâm O, bán kính ρ = r trong mặt phẳng w. H0.4  Đỉnh đầu tiên w0 có tọa độ cực (ρ, φ 0) w0 = ρeiφo = n reiΘ / n Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (0.25) 27 5. Căn bậc n của số 1: (H0.5)  Nếu đặt: ω = ei2 π / n = cos(2π / n) + i sin(2π / n) (0.26) n { thì : 11/ n = 1, ωn , ωn2 ,...., ωnn −1 } (0.27) (H0.5) {  Kết luận: z1/ n = w0 ,w0 ωn ,w0 ω2n ,....,w0 ωnn −1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM } (0.28) 28 VD 0.6.1: Căn bậc n của số phức Tính các số phức, cho kết quả dạng đại số (dạng vuông góc) ? a. 3 j= Trả lời: b. 4 1= ( 3 2 + j 2 ) ;( − 3 2 + j 2 ) ;− j 1; j; − 1; − j Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29 0.7 Miền trong mặt phẳng phức:  Cận của z0 : D(z0 , ε ) = { z : z − z0 < ε}  Cận Vô tâm của z0 : D'(z0 , ε ) = { z :0 < z − z 0 < ε} (0.29) (0.30)  z0 là Điểm Trong của S nếu: ∃D(z0 , ε ) ⊂ S  z0 là Điểm Ngoài của S nếu: ∃D(z0 , ε ) : D ∩ S = φ  z0 là Điểm Biên của S nếu: ∀D(z0 , ε) coù chöùa z1 ∈ S vaø z 2 ∉ S !Lưu ý: Điểm biên không phải Điểm trong mà cũng không phải Điểm Ngoài. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 30 0.7 Miền trong mặt phẳng phức: (tiếp theo)  Biên của S (ký hiệu ∂S) là tập tất ca Điểm Biên của S.  S Hơ nếu S không chứa Điểm Biên ⇔ mọi z0 của S là Điểm Trong.  S Kín nếu S chứa tất ca Điểm Biên.  Bao Kín của S (ký hiệu S) là S = S ∪ ∂S !Lưu ý: S có thể không hở và không kín. Ví dụ: S = { z : 0 < z ≤ 1} !Lưu ý: C vừa hở vừa kín (vì C không có Điểm Biên).  S Liên Thông nếu ∀z1, z2 ∈ S, ∃ Đường đa giác [z1...z2] ⊂ S.  S là 1 Miền nếu S hở và liên thông. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31 0.7 Miền trong mặt phẳng phức: (tiếp theo)  S Bị chặn nếu ∃R > 0 : S ⊂ D (0, R).  z0 là Điểm Tụ của S nếu mọi D'(z0, ε) có chứa ít nhất một z1∈S.  S kín ⇔ S chứa mọi Điểm Tụ của nó.  Đĩa Hơ: D(z0 , r) = { z : z − z0 < r} (0.31)  Đĩa Hơ Vô Tâm: D'(z0 , r) = { z : 0 < z − z0 < r} (0.32)  Đĩa Kín: D(z0 , r) = { z : z − z0 ≤ r} (0.33)  Vòng Tròn: C(z0 , r) = { z : z − z0 = r} (0.34)  Vành Tròn: A(z0 , r1 , r2 ) = { z : r1 < z − z0 < r2 } (0.35) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 32 Chương 1: Chuổi Fourier 1.1 Hàm tuần hoàn. 1.2 Chuổi Fourier của hàm tuần hoàn. 1.3 Các công thức khác tính hệ số Fourier. 1.4 Khai triển bán kỳ. 1.5 Các dạng khác của chuổi Fourier. 1.6 Ứng dụng của chuổi Fourier. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 33 1.1 Hàm tuần hoàn  Định nghĩa 1.1: Hàm f tuần hoàn, chu kỳ T, tần số cơ bản ω 0 = 2π/T nếu thỏa: f(t + T) = f(t) ∀t (1.1)  Phân loại: tuần hoàn sin và không sin.  Lưu ý: cách xây dựng hàm toán học mô tả f(t) trong một chu kỳ . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 34 VD1.1.1: Tìm chu kỳ T của tín hiệu tuần hoàn 6 ms 5 ms Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 35 1.2 Chuổi Fourier của một hàm tuần hoàn  Chuổi Fourier của một hàm tuần hoàn f, chu kỳ T là: ∞ f(t) = 12 a 0 + ∑ [ a n cos(nω0 t) + b n sin(nω0 t) ] (1.2) n =1 Vôùi : n = 1,2 … ω 0 = 2π/T = taàn soá cô baûn a0, an , bn = caùc heä soá khai trieån chuỗi Fourier . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 36 Các hệ số chuổi Fourier: T 2 a 0 = ∫ f(t)dt T0 (1.3) T 2 a n = ∫ f(t)cos(nω0 t)dt T0 (1.4) T 2 b n = ∫ f(t)sin(nω0 t)dt T0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (1.5) 37 Điều kiện tồn tại:  Định nghĩa 1.2: Một hàm f thỏa điều kiện Dirichlet trên một khoảng I nếu và chỉ nếu f bị chặn và cùng lắm là có một số hữu hạn điểm cực đại và cực tiểu và một số hữu hạn điểm gián đoạn trên I.  Định lý 1.1: (Định lý Dirichlet) Nếu hàm f tuần hoàn chu kỳ T và thỏa điều kiện Dirichlet trên một khoảng I thì chuổi Fourier của f hội tụ về : ● f(t) nếu f liên tục tại t. ● ½[f(tk+) + f(tk-)] nếu f gián đoạn tại t. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 38 VD1.2.1: Tìm chuổi Fourier a) Xác định chuổi Fourier ? b) Kiểm lại dùng MATLAB ? Giải Chu kỳ và tần số cơ bản: Các hệ số chuổi Fourier: a0 = 2, Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 39 VD1.2.1: Kiểm lại dùng MATLAB pi = 3.14159; N = 100; T = 3; a0 = 1; w0 = 2*pi/T; t = linspace(0,2*T,600); for n=1:N a(n)= (3/(n*pi))*sin(4*n*pi/3); b(n)= (3/(n*pi))*(1 - cos(4*n*pi/3)); end for i=1:length(t) f(i) = a0; for n=1:length(a) f(i) = f(i) + a(n)*cos(n*w0*t(i)) + b(n)*sin(n*w0*t(i)); end end plot(t,f,'black'); xlabel('t(s)'); ylabel('f(t)'); Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 40 1.3 Các công thức khác tính hệ số chuổi Fourier 1.3.1 Bước nhảy của một hàm:  Định nghĩa 1.3: Bước nhảy của một hàm f tại tk là: Jk = f(tk+) – f(tk-) (1.6) 1.3.2 Hai công thức lặp để tính hệ số chuổi Fourier: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 41 Định lý 1.2: Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet và có m bước nhảy J1, J2, …, Jm tại m điểm gián đoạn t1 < t2 < … < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hơ [a, a + T) thì: an = − 1 nω0 b − ' n 1 nπ m ∑ J sin(nω t k =1 k 0 k ) (1.7) ( n = 1, 2, … ) ( bn’ = hệ số chuổi Fourier của hàm f’) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 42 Định lý 1.3: Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet và có m bước nhảy J1, J2, …, Jm tại m điểm gián đoạn t1 < t2 < … < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hơ [a, a + T) thì: bn = 1 nω0 a + ' n 1 nπ m ∑ J cos(nω t k =1 k 0 k ) (1.8) ( n = 1, 2, … ) ( an’ = hệ số chuổi Fourier của hàm f’) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 43 1.3.3 Tốc độ tiến về 0 của các hệ số chuổi Fourier  Định lý 1.4: 1. Khi n → ∞, các hệ số an và bn trong chuổi Fourier của hàm tuần hoàn f thỏa điều kiện Dirichlet tiến đến 0 ít nhất cũng nhanh như c/n, với c = hằng số không phụ thuộc n. 2. Nếu trong 1), f gián đoạn trong [a, a + T) thì an hoặc bn, và thường là cả hai, không thể → 0 nhanh hơn c/n. 3. Nếu f, f’, …, f(k) thỏa điều kiện Dirichlet và liên tục khắp nơi thì an và bn → 0 ít nhất cũng nhanh như c/nk+2. 4. Nếu trong 3), f gián đoạn trong [a, a + T) thì an hoặc bn, và thường là cả hai, không thể → 0 nhanh hơn c/nk+2. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 44 1.3.4 Đạo hàm và tích phân của chuổi Fourier  Định lý 1.5: Tích phân của một hàm f thỏa điều kiện Dirichlet có thể tìm bằng cách lấy tích phân của từng số hạng chuổi Fourier của nó.  Định lý 1.6: Cho một hàm f tuần hoàn thỏa điều kiện Dirichlet và liên tục khắp nơi; nếu f’ cũng thỏa điều kiện Dirichlet; và nếu f’(t) tồn tại thì nó có thể tìm bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng chuổi Fourier của hàm f. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 45 VD1.3.1: Tìm chuổi Fourier = công thức lặp Xác định các hệ số chuổi Fourier dùng công thức lặp ? 10 f(t) 0 π 2π Giải  Xác định f’(t), tk và Jk: f’(t) 10 T 0 π 2π t1 f(t) tk t1 = 0 t2 = π T Jk 10 – 10 0 t2 π Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2π 46 VD1.3.1: Tìm chuổi Fourier = công thức lặp Xác định các hệ số chuổi Fourier dùng công thức lặp ? 10 f(t) 0 Giải  Xác định các hệ số chuổi Fourier: a0 1 = 2 T π 2π T ∫ f (t )dt = 5 0 a n = − [10.sin(0) − 10sin( nπ )] = 0 1 nπ bn = 1 nπ [10.cos(0) − 10 cos( nπ )] = Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 20 (n:odd) nπ 47 1.4 Khai triển bán kỳ 1.4.1 Chuổi Fourier côsin:  Định lý 1.7: Nếu f là hàm tuần hoàn chẵn, thỏa điều kiện Dirichlet thì chuổi Fourier của nó có dạng: ∞ f(t) = a 0 + ∑ a n cos(nω0 t) 1 2 Với: 4 an = T (1.9) n =1 T/2 ∫ f(t)cos(nω0 t)dt (1.10) 0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 48 1.4.2 Chuổi Fourier sin:  Định lý 1.8: Nếu f là hàm tuần hoàn lẻ, thỏa điều kiện Dirichlet thì chuổi Fourier của nó có dạng: ∞ f(t) = ∑ b n sin(nω0 t) (1.11) n =1 Với: 4 bn = T T/2 ∫ f(t)sin(nω0 t)dt (1.12) 0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 49 1.4.3 Chuổi Fourier của hàm chỉ xác định trên [0,T/2]:  Định lý 1.9: Nếu f là hàm chỉ xác định trên khoảng kín [0, T/2] và thỏa điều kiện Dirichlet thì nó có thể được khai triển thành chuổi Fourier côsin (1.9) với an cho bơi (1.10); hoặc thành chuổi Fourier sin (1.11) với bn cho bơi (1.12).  Kết luận: (1.9) = gọi là chuổi côsin bán kỳ. (1.11) = gọi là chuổi sin bán kỳ. Cả hai gọi chung là khai triển bán kỳ. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 50 VD1.4.1: Chuổi Fourier cho tín hiệu đối xứng Cho hàm f(t) định nghĩa bơi : f(t) = t + π ( – π < t < π) và f(t) = f(t + 2π). Xác định chuổi Fourier biểu diễn cho f(t) ? Giải  Ta biểu diễn f(t) theo g(t): f(t) = π + g(t)  g(t) là tín hiệu đối xứng lẻ nên có chuổi Fourier: T = 2π; ω 0 = 1; g(t) = t (0 < t < π) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 51 VD1.4.1: Chuổi Fourier cho tín hiệu đối xứng Cho hàm f(t) định nghĩa bơi : f(t) = t + π ( – π < t < π) và f(t) = f(t + 2π). Xác định chuổi Fourier biểu diễn cho f(t) ? Giải π π  tcos(nω0 t) sin(nω0 t)  4 2 2  = − cos(nπ) bn = tsin(nω0 t)dt =  − + 2 ∫ 2π 0 π nω0 (nω0 ) 0  n 0   π  Chuổi Fourier của g(t): g(t) = ∞ ∑ b sin(nt) n =1 n −cos(nπ )  Chuổi Fourier của f(t): f(t) = π + 2∑ sin(nt) n n =1 ∞ Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 52 VD1.4.2: Khai triển bán kỳ Cho hàm f(t) định nghĩa bơi : f(t) = t + 3 ( 0 < t < 2). Xác định chuổi Fourier sin biểu diễn cho f(t) ? Giải  Thiết lập hàm lẻ và xác định: 2 nπ bn = (3 − 5cos nπ )  Do đó chuổi Fourier sin: f(t) = sin( t) − π sin(2 t) + 3π sin(3 t) − π sin(4 2 t)... 16π π 2 2 π 16 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM π 1 2 π 53 1.5 Các dạng khác của chuổi Fourier 1.5.1 Chuổi Fourier dạng sóng hài: Đặt: A 0 = 1 2 a0 ; An = a + b ; 2 n 2 n α n = − tan −1 (b n /a n ); β n = − tan −1 (a n /b n ) (1.13) (1.14) Dạng sóng hài côsin của chuổi Fourier: ∞ f(t) = A 0 + ∑ A n cos(nω0 t + α n ) (1.15) n =1 Dạng sóng hài sin của chuổi Fourier: ∞ f(t) = A 0 + ∑ A n sin(nω0 t + β n ) (1.16) n =1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 54 1.5.2 Dạng mũ phức của chuổi Fourier Đặt: a n − ib n c0 = a 0 ; c n = ; 2 1 2 c−n a n + ib n = = cn (1.17) 2 Ta có dạng mũ phức của chuổi Fourier: f(t) = ∞ ∑ce n =−∞ n inω0 t (1.18) T /2  Vôùi soá phöùc cn : 1 − inω0 t cn = ∫ f(t).e dt T −T / 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (1.19) 55 1.5.3 Quan hệ giữa các hệ số an, bn, An, cn : a 0 = 2c0 ; a n = c n + c − n = 2 Re{c n }; (1.20) b n = i(c n − c − n ) = −2 Im{c n } c0 = A 0 ; |c n |=| c − n |= 1 2 a + b = An 2 n 1 2 2 n (1.21) −1 arg{c n } = − tan (b n /a n )α= ; n (1.22) −1 arg{c − n } = tan (b n /a n )α= − n c0 = A 0 ; c n = A n e ; c − n = A n e 1 2 iα n Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 1 2 − iα n (1.23) 56 1.5.4 Phổ biên độ của chuổi Fourier: Gọi tần số cơ bản là : ω0 = 2π T Và tần số của sóng hài bậc n là : Dựa vào chuổi Fourier mũ phức : (1.24) ωn = nω0 = f(t) = ∞ ∑ 2nπ T (1.25) c n einω0 t (1.26) 1 cn = ∫ f(t).e−inω0 t dt T −T / 2 (1.27) n =−∞ T /2  Định nghĩa 1.4: Phổ biên độ của chuổi Fourier mũ phức của hàm tuần hoàn f là đồ thị các điểm (nω 0, |cn|). (1.28) Phổ biên độ còn gọi là phổ tần số hay tần phổ. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 57 VD1.5.1: Các dạng khác của chuổi Fourier Xác định chuổi Fourier dạng mũ phức biểu diễn cho v(t) ? Giải  Xác định các thông số: T = 6 ω 0 = π 3 2  Tính các hệ số: C = 1 v(t )dt = 2 0 6 −∫2 4 −1 1 2 nπ nπ nπ −i t −i t −i t   1 1 Cn = ∫ v(t).e −inω0 t dt =  ∫ 4e 3 dt + ∫ 2e 3 dt + ∫ 4e 3 dt  6 −2 6  −2 −1 1  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 58 VD1.5.1: Các dạng khác của chuổi Fourier Xác định chuổi Fourier dạng mũ phức biểu diễn cho v(t) ? Giải nπ nπ nπ nπ 2nπ i i −i −i −i  1  i 2nπ 3 3 3 3 3 3  Rút gọn: C n =  4e − 4e + 2e − 2e + 4e − 4e  i2nπ   Cn =  Chuổi dạng mũ phức: 1 nπ 2nπ nπ   4sin − 2sin  3 3  ∞ 1 v(t) = 2 + ∑ n =−∞ nπ n ≠0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2nπ nπ  i 3 t   4sin 3 − 2sin 3  e nπ 59 1.6 Ứng dụng của chuổi Fourier 1.6.1 Trị hiệu dụng của hàm tuần hoàn: Nếu một hàm tuần hoàn f chu kỳ T được khai triển lần lượt thành chuổi Fourier dạng chuẩn (1.2), dạng sóng hài côsin (1.15), hoặc sin (1.16) và dạng mũ phức (1.18) thì trị hiệu dụng (RMS value) fhd của hàm f lần lượt là: f hd = a 02 1 ∞ + ∑ ( a n2 + b n2 ) 4 2 n =1 f hd = A + f hd = 2 0 1 2 ∞ 2 A ∑ n (1.29) (1.30) n =1 ∞ c02 + 2∑ |c n |2 (1.31) n =1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 60 1.6.2 Tải với nguồn áp tuần hoàn: Nếu một tải (tập hợp các phần tử R, L, C nối với nhau một cách bất kỳ) được cấp điện bơi một nguồn áp v(t) tuần hoàn chu kỳ T, thì muốn tìm thành phần xác lập i(t) của dòng qua tải do v(t) tạo ra, ta thực hiện các bước sau: B1. Khai triển v(t) thành chuổi Fourier dạng sóng hài. ∞ v(t) = V0 + ∑ Vn cos(nω0 t + α n ) (1.32) n =1 ∞ v(t) = V0 + ∑ v n (t) n =1 (1.33) B2. Tìm thành phần một chiều I0 của i(t) do thành phần một chiều V0 của v(t) tạo ra (dùng PP giải mạch một chiều). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 61 1.6.2 Tải với nguồn áp tuần hoàn: (tiếp theo) B3. Tìm lần lượt các thành phần xoay chiều in(t) của i(t) do từng thành phần xoay chiều vn(t) của v(t) tạo ra (dùng PP giải mạch xoay chiều – ví dụ phương pháp vectơ biên độ phức). B4. Dùng nguyên lý xếp chồng viết lại kết quả: ∞ i(t) = I 0 + ∑ i n (t) n =1 ∞ i(t) = I 0 + ∑ I n cos(nω0 t + α n − ϕ n ) (1.34) (1.35) n =1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 62 1.6.3 Giải PTVP có vế hai là hàm tuần hoàn: Xét phương trình vi phân (PTVP) cấp hai, tuyến tính, hệ số hằng, có điều kiện đầu: ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = f(t) (hàm tuần hoàn) (1.36) y(0) = y0; y’(0) = y’0 (1.37) B1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình không vế hai liên kết với (1.36): ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = 0 (1.38) Nghiệm tổng quát này có dạng: yc(t) = c1y1(t) + c2y2(t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 63 B2. Khai triển f(t) thành chuổi Fourier: Giả sử ta khai triển f(t) thành chuổi Fourier, ví dụ dạng chuẩn (1.2) : ∞ f(t) = a 0 + ∑ [ a n cos(nω0 t) + b n sin(nω0 t) ] 1 2 (1.39) n =1 ∞ f(t) = ∑ f n (t) (1.40) Với: f0(t) = ½a0; fn(t) = ancos(nω 0t) + bnsin(nω 0t) (1.41) n =0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 64 B3. Lần lượt giải các PTVP: ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = fn(t) (1.42) Với n = 0, 1, 2, … để tìm các nghiệm ypn(t) của chúng. Trong đó, ypn(t) = là thành phần thứ n của nghiệm riêng yp(t) của PTVP (1.36). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 65 B4. Dùng nguyên lý xếp chồng: Nghiệm riêng của (1.36) có dạng : ∞ y p (t) = ∑ y pn (t) (1.43) n =0 B5. Nghiệm tổng quát của (1.36): y(t) = yc(t) + yp(t) ∞ y(t) = c1 y1 (t) + c 2 y 2 (t) + ∑ y pn (t) (1.44) n =0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 66 B6. Dùng các điều kiện đầu: để tính c1 và c2 ∞ y(0) = c1 y1 (0) + c 2 y 2 (0) + ∑ y pn (0) = y 0 (1.45) n =0 ∞ y'(0) = c1 y'1 (0) + c 2 y'2 (0) + ∑ y'pn (0) = y'0 (1.46) n =0 Giải hệ (1.45) & (1.46) ta có c1 và c2. B7. Nghiệm của PTVP: Thay c1 và c2 vào (1.44), ta có y(t) là nghiệm của PTVP (1.36) & (1.37) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 67 VD1.6.1: Ứng dụng của chuổi Fourier Tín hiệu áp trên một nhánh cho bơi: v(t) = – 2 + 10cos(4t) + 8cos(6t) + 6cos(8t) – 5sin(4t) – 3sin(6t) – sin(8t) V. Xác định: (a) Chu kỳ của v(t) ? (b) Trị trung bình của v(t) (c) Trị hiệu dụng của v(t) ? a) Xác định T: Có: Giải 4T = k2π 6T = l2π 8T = m2π l = 3k/2 m = 2k k=2 l=3 m=4 T=π b) Trị trung bình của v(t): – 2 c) Trị hiệu dụng của v(t): Vhd = ( −2) 2 + 12 [10 2 + 82 + 6 2 + 52 + 32 + 12 ] = 11, 023 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 68 Chương 2: Tích phân và biến đổi Fourier 2.1 Tích phân Fourier. 2.2 Phép biến đổi Fourier. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 69 2.1 Tích phân Fourier  Chuổi Fourier: dùng phân tích các tác động là tín hiệu tuần hoàn lên các mạch điện và hệ thống.  Tích phân Fourier: dùng phân tích các tác động là tín hiệu không tuần hoàn lên các mạch điện và hệ thống. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 70 2.1.1 Tích phân Fourier mũ phức: Xét họ hàm tuần hoàn fT(t), chu kỳ T mà định nghĩa trong khoảng (-T/2, T/2) là : 0 − T/2 < t < −1  f T (t) = 1 −1 < t < 1 0 1 < t < T/2  Đặt: ∆ω = Và: ωn = n∆ω = 2π T (2.1) (2.2) 2nπ T (2.3) Thì chuổi Fourier côsin của fT(t) là: f T (t) = π∆ω + 2 π ∞ ∑ n =1 sin(ωn ) ωn cosω ωn t ∆ Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (2.4) 71 2.1.1 Tích phân Fourier mũ phức: (tiếp theo) Nếu định nghĩa Hàm biên độ A(ω) là: 2  π A(ω) =  2  π Thì: f T (t) = π∆ω + ω=0 sin ω ω 2 π (2.5) ω>0 ∞ ∑ n =1 sin(ωn ) ωn cosω ωn t ∆ (2.6) ∞ f T (t) = π∆ω + ∑ A(ωn ) cos ωn t ∆ω n =1 (2.7) Khi T → ∞ thì vế trái của (2.6) có giới hạn là xung cô lập: 0 f(t) =  1 |t| > 1 |t| < 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (2.8) 72 2.1.1 Tích phân Fourier mũ phức: (tiếp theo) Mặt khác vế phải của (2.7) có giới hạn là: 2 π ∞ sin ω cos ωt ω 0 ∫ dω (2.9) ∞ = ∫ A(ω)cosωtdω (2.10) 0 Vậy ta có thể tiên đoán rằng : ∫ ∞ 0 A(ω)cosωtdω = 2 π ∞ sin ω cos ω t ω 0 ∫ 0 |t| > 1 dω =  1 |t| < 1 (2.11) Chứng minh tương tự ta được : Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 73 Định lý 2.1: Nếu f(t) thỏa điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn, và nếu : ∞ |f(t)|dt hội tụ thì: ∫ −∞  1 ∞ f(t)e − iωt dt  eiω t dω = 1 f(t + ) + f(t − )  ∫−∞  2π ∫−∞ 2    ∞ Nếu định nghĩa hàm C(ω) bơi: C(ω) = 1 2π ∫ ∞ −∞ f(t)e − iωt (2.12) dt (2.13) Thì f(t) được biểu diễn bơi tích phân Fourier mũ phức:: ∞ f(t) = ∫ C(ω)e dω iω t −∞ Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (2.14) 74 2.1.2 Tích phân Fourier dạng chuẩn: Nếu định nghĩa các hàm hệ số A(ω) và B(ω) bơi: 1 A(ω) = π 1 B(ω) = π ∞ ∫ f(t) cos(ωt)dt (2.15) −∞ ∞ ∫ f(t) sin(ωt)dt (2.16) −∞ Thì f(t) được biểu diễn bơi tích phân Fourier dạng chuẩn: ∞ f(t) = ∫ [A(ω) cos(ωt ) + B(ω)sin(ωt )]d ω (2.17) 0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 75 2.1.3 Tích phân Fourier côsin và sin: a) Nếu f(t) chẵn , ta có : ∞ 2 A(ω) = ∫ f(t) cos(ωt)dt π 0 (2.18) Thì f(t) được biểu diễn bơi tích phân Fourier côsin: ∞ f(t) = ∫ [A(ω) cos(ωt )]dω (2.19) 0 b) Nếu f(t) lẻ, ta có : B(ω) = ∞ 2 f(t) sin(ωt)dt ∫ π 0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (2.20) 76 2.1.3 Tích phân Fourier côsin và sin: (tiếp theo) Và f(t) được biểu diễn bơi tích phân Fourier sin: ∞ f(t) = ∫ [B(ω)sin(ωt)]dω (2.21) 0  Định lý 2.2: Nếu hàm f(t) ≡ 0 khi t < 0 thì vế phải của (2.19) và (2.21) lần lượt bằng hai lần số hạng thứ nhất và thứ hai trong tích phân Fourier dạng chuẩn (2.17) của f(t). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 77 2.1.4 Tốc độ tiến về 0 của các hàm A(ω) & B(ω): Khi ω → ∞, ta có một định lý về tốc độ tiến về 0 của các hàm hệ số A(ω) và B(ω) trong tích phân Fourier tương tự như Định lý 1.4 về tố độ tiến về 0 của các hệ số an và bn trong chuổi Fourier khi n → ∞. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 78 2.1.5 Ứng dụng tích phân Fourier :  Ta đề cập ứng dụng để tích tích phân suy rộng.  Xét xung cô lập f(t) cho bơi (2.8): |t| > 1 |t| < 1 0 f(t) =  1 (2.22) Vì f(t) chẵn nên hàm hệ số A(ω) của nó cho bơi (2.18): 1 A(ω) = 2 π ∫ cos(ωt)dt = 2 sinω π ω (2.23) 0 Và f(t) được biểu diễn bơi tích phân Fourier côsin (2.19): ∞ 2 sin ω cos ωt f(t) = ∫ dω π0 ω Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (2.24) 79 2.1.5 Ứng dụng tích phân Fourier : (tiếp theo)  Áp dụng Định lý 2.1 ta được : 1 |t| < 1 2 sin ω cos ωt  dω = 1/2 |t| ≡ 1 ∫ π0 ω 0 |t| > 1  ∞ (2.25)  Cho t = 0, ta có : ∞ sin ω π ∫0 ω dω = 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (2.26) 80 2.1.5 Ứng dụng tích phân Fourier : (tiếp theo)  Nếu định nghĩa hàm tích phân sin, ký hiệu Si, bơi : sin ω Si(x) = ∫ dω ω 0 x  Ta có : Si(∞) = π/2. (2.27) (2.28)  Cho t = 1, ta được: ∞ sin ω cos ω π ∫0 ω dω = 4 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (2.29) 81  VD2.1.1: Tích phân Fourier Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng tích phân Fourier? t ( − π < t < π ) f(t) =  0 (π < | t | ) Giải ∞ 2 2  f(t) là hàm lẻ: B(ω) = ∫ f(t) sin(ωt) dt = π 0 π = 2 π π ∫ t.sin(ωt)dt 0 π  sin(ωπ) − cos(ωπ )  ω  ω2  Biểu diễn f(t) dùng tích phân Fourier: ∞ f(t) = ∫  0 2sin(ωπ) πω2  −t π (/−2π(t 0) f(t) =  0 (t < 0) Giải  Dùng định nghĩa: F(ω) = ∞ ∫ f(t).e −∞ − iωt ∞ dt = ∫ e − (1+ iω)t 0 − (1+ iω)t ∞ e dt = −(1 + iω) 0 1 F(ω) = 1 + iω Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 89 2.2.3 Các tính chất của phép biến đổi Fourier  Định lý 2.3: (Tuyến tính) [c1f1(t) + c2f2(t)] = c1F1(ω) + c2F2(ω) (2.42)  Định lý 2.4: (Đối xứng) [f(t)] = F(ω) thì [F(t)] = 2πf(–ω) (2.43)  Định lý 2.5: (Đổi thang thời gian) 1  ω F [f(at)] = F ÷ |a|  a  (2.44)  Định lý 2.6: (Dời trong miền thời gian) F [f(t − t 0 )] = F ( ω) e − iωt 0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (2.45) 90  Lưu ý: Nếu viết (2.45) dưới dạng: F [F ( ω) e −1 − iωt 0 ] = f(t − t 0 ) (2.46) Thì ta có thể tìm biến đổi Fourier ngược của hàm G(ω) có thừa số exp(–iωt0) bằng 3 bước: B1. Xóa thừa số exp(–iωt0) trong G(ω), ta còn lại F(ω). B2. Tìm  –1[F(ω)] = f(t). B3. Thay t bơi (t – t0) trong f(t). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 91  VD2.2.2: Biến đổi Fourier phức f(t) a) Tìm biến đổi Fourier phức của hàm f(t) dùng định nghĩa? b) Suy ra [g(t)] dùng tính chất biến đổi ? 1 t -a/2 0 Giải a) Dùng định nghĩa: 2sin(ω a / 2) F(ω) = ω a/2 g(t) 1 t 0 a b) Dùng tính chất dời ơ miền t: do g(t) = f(t – a/2) nên : G(ω) = F(ω)e − iωa/2 2sin(ω a / 2) −iωa/2 = e ω Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 92  Định lý 2.7: (Dời miền tần số) F [eiω0 t .f(t)] = F ( ω − ω0 ) Nếu viết (2.47) dưới dạng: (2.47) F −1[F ( ω − ω0 ) ] = eiω0 t .f(t) (2.48) Thì ta có thể tìm biến đổi Fourier ngược của một hàm G(ω) có dạng F(ω – ω 0) bằng 3 bước: B1. Thay (ω – ω 0) bơi ω, ta có hàm mới F(ω). B2. Tìm  –1[F(ω)] = f(t). B3. Nhân f(t) với exp(iω 0t)). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 93  VD2.2.3: Dời miền tần số a) Tìm biến đổi Fourier phức của hàm f(t) dùng định nghĩa? b) Suy ra G(ω) = [sin(2t).f(t)] dùng tính chất dời tần số ? f(t) 1 t -1 0 1 2sin(ω ) a) Dùng định nghĩa: F(ω) = ω b) Có [sin(2t).f(t)] = [(ei2t – e–i2t).f(t)]/2i = G(ω) G(ω) =  1 2sin(ω − 2) 2sin(ω + 2) 2iω 2 − ω 2 + −  sin(ω + 2) sin(ω − 2)  G(ω) = i  ω+ 2 − ω−2  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 94  Định lý 2.8: (Đạo hàm theo thời gian) Nếu f(n – 1)(t) liên tục và f(n)(t) ít ra là liên tục từng đoạn trên (−∞, ∞ ∞) và nếu : ∞ (n −1) |f (t)|dt & |f (n ) (t)|dt : hội tụ. ∫ −∞ ∫ −∞ Thì : [f(n)(t)] = (iω)nF(ω)  Nếu viết (2.49) dưới dạng: F(ω) = [f(n)(t)]/(iω)n thì ta có thể tìm biến đổi Fourier của f(t) bằng 3 bước : (2.49) (2.50) B1. Tính đạo hàm cấp n của f(t). B2. Tìm biến đổi Fourier của hàm mới. B3. Chia cho (iω)n. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 95  VD2.2.4: Đạo hàm theo thời gian a) Tìm biến đổi Fourier phức của hàm f(t) dùng định nghĩa? b) Suy ra G(ω) = [g(t)] dùng tính chất đạo hàm theo thời gian ? f(t) 2,5 t(s) –4 0 -2,5 a) Dùng định nghĩa: 10 F(ω) = [cos(4ω ) − 1] 5 iω b) Do g(∞) = 0 và g’(t) = f(t) nên: 4 g(t) t(s) –4 0 4 (iω)G(ω) = F(ω) G(ω) = ω2 [1 − cos(4ω )] 5 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 96  Các hệ luận cơ bản: Hệ luận 2.1:  C[f’(t)] = ω S[f(t)] – f(0) = ωFS(ω) – f(0) (2.51) Hệ luận 2.2:  S[f’(t)] = – ω C[f(t)] = – ωFC(ω) (2.52) Hệ luận 2.3:  C[f’’(t)] = – ω 2 C[f(t)] – f’(0) = – ω 2FC(ω) – f’(0) (2.53) Hệ luận 2.4:  S[f’’(t)] = – ω 2 S[f(t)] + ωf(0) = – ω 2FS(ω) + ωf(0) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (2.54) 97  Định lý 2.9: (Đạo hàm theo tần số) [tnf(t)] = inF(n)(ω) (2.55)  Nếu viết (2.55) dưới dạng: −1 i F [F (ω)] f(t) = F [F(ω)] = tn −1 n (n) (2.56) thì ta có thể tìm biến đổi Fourier ngược của F(ω) bằng 3 bước : B1. Tính đạo hàm cấp n của F(ω). B2. Tìm biến đổi Fourier ngược của hàm mới. B3. Nhân với in/tn . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 98  VD2.2.5: Đạo hàm theo tần số a) Tìm biến đổi Fourier phức của hàm f(t) dùng định nghĩa? b) Suy ra G(ω) = [g(t)] dùng tính chất đạo hàm theo tần số ? a) Dùng định nghĩa: b) Do g(t) = t.f(t) nên: G(ω) = i F(ω) = 1 f(t) t(s) 0 1− e− iω iω 1 1 g(t) 0 t(s) 1 G(ω) = iF'(ω) ie − iω .iω −i(1− e − iω ) −ω 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM = iωe− iω + e − iω −1) ω2 99 2.2.4 Tích chập (convolution)  Định nghĩa 2.2: 1. Tích chập một phía: của f(t) với g(t) t f (t) ∗ g(t) = ∫ f (x)g(t − x)dx 0 (2.57) 2. Tích chập hai phía: của f(t) với g(t) ∞ f (t) og(t) = ∫ f (x)g(t − x)dx −∞ Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (2.58) 100  Định lý 2.10: (Chập tần số)  Nếu f(t) và g(t) thỏa điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn và khả tích tuyệt đối trên (−∞, ∞) thì : 1 1 ∞ F [f (t).g(t)] = F(ω) oG(ω) = F(x)G(ω − x)dx ∫ −∞ 2π 2π (2.59)  Định lý 2.11: (Định lý biên độ Parseval) 1 ∞ 2 ∫−∞ [f (t)] dt = 2π ∫−∞ | F(ω) | dω ∞ 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (2.60) 101  Định lý 2.12: (Chập thời gian) ∞ F [F(ω).G(ω)] = f (t) og(t) = ∫ f (x)g(t − x)dx −1 −∞ (2.61)  Hệ luận 2.5: (Chập thời gian một phía)  Nếu f(t) = g(t) ≡ 0 khi t < 0 thì : t F [F(ω).G(ω)] = f (t) ∗ g(t) = ∫ f (x)g(t − x)dx −1 0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (2.62) 102  VD2.2.6: Định lý Parseval 5e −3t (t > 0) Kiểm chứng định lý Parseval với tín hiệu: v(t) =  (t < 0) 0  Tính vế trái: ∫ ∞ −∞  Biến đổi Fourier: ∞ v (t )dt = ∫ 25e dt = 25 2 −6 t 0 V(ω) = −6 t ∞ = 25 6 ∞ −1 25 3 0 = e −6 0 5 3+iω  Tính vế phải: 1 2π ∫ ∞ −∞ | V(ω)| dω = 2 1 2π ∫ ∞ 25 2 −∞ ω + 9 dω = 25 1ω π 3 tan 6  Định lý đã được kiểm chứng. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 103 Phần II: Toán Tử Laplace Nội dung phần II: Phần này gồm có 4 chương. Chương 3: Phép Biến đổi Laplace thuận . Chương 4: Phép Biến đổi Laplace ngược. Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace vào ODE. Chương 6: Ứng dụng biến đổi Laplace vào giải tích mạch. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 105 Chương 3: Phép biến đổi Laplace thuận 3.1 Định nghĩa 3.2 Các cặp biến đổi Laplace quan trọng. 3.3 Các tính chất của biến đổi Laplace. 3.4 Các cặp biến đổi Laplace thông dụng. 3.5 Tính tích phân suy rộng. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 106 3.1 Định nghĩa: ∞ F(s) = L { f(t)} = ∫ e − st f(t)dt (3.1) 0 3.2 Các cặp biến đổi Laplace quan trọng: ( Bảng 3.1) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 107 3.2 Các cặp biến đổi Laplace quan trọng: (tt) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 108 3.2 Các cặp biến đổi Laplace quan trọng: (tt) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 109 VD 3.2.1: Tìm biến đổi Laplace dùng bảng  Tìm ảnh Laplace của các hàm sau dùng các cặp biến đổi: a. f(t) = u(t) e. F(s) = 1/s b. f(t) = u(t – t0) F (s) = c. d. f(t) = E.u(t - t0) F(s) = (E/s).e-st0 f. 1 − st0 e s f(t) = Asin(ωt) ω F ( s) = A 2 s + ω2 f(t) = Asin(ωt + ϕ) (AC) f(t) = E (nguồn DC) g. F(s) = E/s s  ω  F (s) = A  2 cos( ϕ ) + sin( ϕ ) 2  s2 + ω 2 s +ω f(t) = E.e-at h. F(s) = E/(s+a) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM f(t) = At + B F(s) = A/s2 + B/s 110 3.3 Các tính chất của biến đổi Laplace: (Bảng 3.2) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 111 Bảng 3.2: (tiếp theo) 3.4 Các cặp biến đổi Laplace thông dụng: ( Bảng 3.1) 3.5 Tính tích phân suy rộng: I=∫ ∞ −s t e o f(t)dt o = F(so ) (s o > σo ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (3.2) 112 VD 3.3.1: Tìm F(s) dùng tính chất biến đổi  Tìm ảnh Laplace của các hàm sau dùng tính chất biến đổi: a) f(t) = e .cos(3t).u(t) ( s + 2) F(s) = ( s + 2) 2 + 9 b) f(t) = 2t.u(t) + 5e 1 1 F(s) = 2 + e −2 s s ( s + 3) -2t c) f(t) = 2e -(t-1) -3(t-2) .u(t-2) .u(t) d) f(t) = (t + 4).u(t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2e F(s) = ( s + 1) 1 4 F(s) = 2 + s s 113 VD 3.3.2: Tìm F(s) dùng tính chất biến đổi  Tìm ảnh Laplace của các hàm sau dùng tính chất biến đổi: a) f(t) = e–tsinh(5t).u(t) a) Ta có: L { sinh(5t)u(t)} = 5 s 2 − 25 L { e sinh(5t)u(t)} = −t Và: b) Ta có: { b) f(t) = t2sin(2t).u(t) L { sin(2t)u(t)} = } (s +1)2 − 25 2 s2 + 4 Và: L t .sin(2t)u(t) = ( −1) 2 5 2 2 d ds 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM ( )= ( 2 s2 + 4 d ds −4s (s 2 + 4) 2 )= 12s 2 −16 (s 2 + 4)3 114 VD 3.3.3: Tìm F(s) của tín hiệu xung  Tìm ảnh Laplace của tín hiệu xung g(t):  Ta biểu diễn: g(t) = 10[u(t – 2) – u(t – 3)]  Áp dụng tính chất dời theo t: L { 10u(t − t 0 } = 10 L { g(t)} = 10[ e −2s s e− st 0 s − e−3s s ] Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 115 VD 3.3.4: Tìm F(s) của tín hiệu tuần hoàn  Tìm ảnh Laplace của tín hiệu tuần hoàn f(t) ?  Ta tìm biến đổi Laplace trong 1 chu kỳ của f(t): f1(t) = 2t[u(t) – u(t – 1)] = 2t.u(t) – 2(t – 1)u(t – 1) – 2u(t – 1)  Áp dụng tính chất dời theo t: F1 (s) = 2 s2 − 2e − s s2 − 2e − s s = −s −s (1 − e − se ) 2 s 2  Ảnh Laplace của tín hiệu tuần hoàn: L { f (t)} = 1−e− Ts = s2 (1−e−2s ) (1 − e − s − se − s ) F1 (s) 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 116 Chương 4: Phép biến đổi Laplace ngược 4.1 Định nghĩa. 4.2 Các tính chất của biến đổi Laplace ngược. 4.3 Tích chập. 4.4 Biến đổi Laplace ngược của họ hàm hữu tỷ. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 117 4.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược: F ( s ) = L { f(t)} ⇔ f(t) = L −1 { F ( s)} L −1 (4.1) : là toán tử biến đổi Laplace ngược. { }  Vì L e −3t 1 = nên: L s+3 −1  1  −3t  =e  s + 3  f(t) và F(s) : là một cặp biến đổi .  L −1 { F ( s )} = f(t) : là duy nhất . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 118 4.2 Các tính chất của biến đổi Laplace ngược: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 119 VD 4.2.1 Tìm L–1 dùng tính chất biến đổi L −1  6s − 4   2  = ?  s − 4 s + 20  Ta phân tích: 6s − 4 6( s − 2) + 8 ( s − 2) 4 = =6 +2 2 2 2 s − 4s + 20 ( s − 2) + 16 ( s − 2) + 16 ( s − 2) 2 + 16 L −1  6s − 4  2t 2t  2  = 6.e cos4t + 2.e sin4t  s − 4s + 20  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 120 VD 4.2.2 Tìm L–1 dùng tính chất biến đổi Tìm f(t) = L −1 { 2 s + 3e− s s2 − 3 e −3 s s2 } ? Biểu diễn f(t) theo t ? Dùng bảng tính chất: f(t) = 2u (t ) + 3(t − 1)u (t − 1) − 3(t − 3)u (t − 3) Biểu diễn theo t & đồ thị: f(t) = Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM { 2 (0 [...]... Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 12 Chương 0: Ơn tập Sớ phức 0.1 Định nghĩa 0.2 Các tính chất đại sớ 0.3 Biên đợ và liên hợp 0.4 Dạng cực của sớ phức 0.5 Nhân và chia sớ phức dạng cực 0.6 Căn bậc n của sớ phức 0.7 Miền trong mặt phẳng phức Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13 0.1 Định nghĩa: H0.1 ° Sớ phức z... Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 16 0.2 Các tính chất đại sớ:  Phần tử đơn vị của toán cợng là (0,0) = 0, của toán nhân là (1,0) = 1  Sớ Đới của z = x + iy là: –z = –x – iy (0.8)  Sớ nghịch đảo của z = x + iy là : z −1 x y = 2 −i 2 2 x +y x + y2 Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (0.9) 17 0.3 Biên đợ và liên hợp: r ... + Reiθ (0 ≤ θ < 2π ) Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 20 VD 0.4.1: Sớ phức dạng cực Cho sớ phức z = 1 + i Tính |z|, arg(z) và Arg(z) ?  Chủn về dạng cực: z = 1 + i = 2e  Ta có: i π 4 |z| = r = 2 π arg(z) = + n2π 4 π A rg(z) = 4 Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21 0.5 Nhân và chia sớ phức dạng cực: 1 Qui tắc: (re )(r e... Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (0.20) 22 VD 0.5.1: Nhân và chia sớ phức Tính các sớ phức, cho kết quả dạng đại sớ (dạng vng góc) ? a (− ) b ( 1 + j) = c ( 3 − j8 3−j = 16 8 1+ j 3 1− j 3 ) 10 = Trả lời: d j4k = ? ; j4k+1 = ? j4k+2 = ? ; j4k+3 = ? Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM ( − 12 + j 3 2 ) 1; j; − 1; − j 23 0.6 Căn... Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (0.23) 25 3 Các bước tìm z1/n: B1 Tính r = |z| và: Θ = Argz (0 ≤ Θ < 2π ) B2 Tính: ρ = n r và φ0 = Θ / n B3 Đặt: φk = φ0 + k(2π / n) (với k = 0, 1, …, n – 1) B4 Có: w k = ρe iφk = ρ(cos φk + i sin φk ) (0.24) (k = 0, 1, , n – 1) Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 26 4 Biểu diễn hình học của z1/n: (H0.4)... reiΘ / n Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM (0.25) 27 5 Căn bậc n của sớ 1: (H0.5)  Nếu đặt: ω = ei2 π / n = cos(2π / n) + i sin(2π / n) (0.26) n { thì : 11/ n = 1, ωn , ωn2 , , ωnn −1 } (0.27) (H0.5) {  Kết ḷn: z1/ n = w0 ,w0 ωn ,w0 ω2n , ,w0 ωnn −1 Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM } (0.28) 28 VD 0.6.1: Căn bậc n của sớ phức Tính... (0.35) Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 32 Chương 1: Ch̉i Fourier 1.1 Hàm t̀n hoàn 1.2 Ch̉i Fourier của hàm t̀n hoàn 1.3 Các cơng thức khác tính hệ sớ Fourier 1.4 Khai triển bán kỳ 1.5 Các dạng khác của ch̉i Fourier 1.6 Ứng dụng của ch̉i Fourier Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 33 1.1 Hàm t̀n hoàn  Định nghĩa 1.1: Hàm... khơng sin  Lưu ý: cách xây dựng hàm toán học mơ tả f(t) trong mợt chu kỳ Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 34 VD1.1.1: Tìm chu kỳ T của tín hiệu t̀n hoàn 6 ms 5 ms Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 35 1.2 Ch̉i Fourier của mợt hàm t̀n hoàn  Ch̉i Fourier của mợt hàm t̀n hoàn f, chu kỳ T là: ∞ f(t) = 12 a 0 + ∑ [ a n... (x, y, r, θ, Θ, z,z) r Mặt phẳng w(u, v, ρ, φ, Φ, w,w) x = Rez, y = Imz r = |z|, θ = argz, Θ = Argz u = Rew, v = Imw ρ =|w| , φ = arg w, Φ = Argw Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 24 2 Định nghĩa căn bậc n của sớ phức: Cho 1 Sớ phức z ≠ 0 và 1 sớ ngun dương n = 2, 3, 4, … Nếu có 1 Sớ phức w sao cho: (0.21) wn = z thì w gọi là mợt Căn bậc n của z  Định... − z0 | = R (0.12)  Có: | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | (0.13)  Có: | z1 | − | z2 | ≤ | z1 − z2 | (0.14)  Sớ phức liên hợp của z = x + iy là: Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM z = x − iy (0.15) 18 VD 0.3.1: Sớ phức liên hợp và định lý  z1  z1 Cho 2 sớ : z1 = 4 + 3i và z2 = 2 + 5i Tính: z1z 2 ; z1 z2 ;  ÷; Kết ḷn ?  z 2  z2  Tính: z1z 2 = (4 + 3i)(2 ... Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM III.Máy tính tay: Casio FX570MS & Casio FX570ES Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM IV Đánh giá mơn học: i Middle... kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 34 VD1.1.1: Tìm chu kỳ T của tín hiệu t̀n hoàn ms ms Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 35 1.2 Ch̉i Fourier của... tử – ĐHBKTPHCM 36 Các hệ sớ ch̉i Fourier: T a = ∫ f(t)dt T0 (1.3) T a n = ∫ f(t)cos(nω0 t)dt T0 (1.4) T b n = ∫ f(t)sin(nω0 t)dt T0 Bài giảng Toán kỹ tḥt – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM