Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit CHƯƠNG 2 HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Bài 1: LŨY THỪA – CÁC PHÉP TÍNH VỀ LŨY THỪA VỚI HÀM SỐ THỰC 1. Kiến thức cơ bản Gọi a và b là những số thực dương, x và y là những số thực tùy ý x æö a ÷ ax ç ÷ = ç ÷ ç ÷ bx èb ø a n = a144 .a42 .a..... 444a3 a x .a y = a x + y a = ax ax 1 = a x- y Þ a- n = n y a a ìï 0 éu ( x ) ù = 1 Þ x 0 = 1 , ïí " u ( x ) ê ú ë û ïï x ¹ 0 ïî (a ) n ( a.b) ( ) n số a x y x ( ) = ay x = a x .y = a x .bx x y y a .n b = n ab n a m = n am 2. Lưu ý Nếu a < 0 thì a x chỉ xác định khi " x Î ¢ . Nếu a > 1 thì a a > a b Û a > b . Nếu 0 < a < 1 thì a a > a b Û a < b . æ 1÷ ön ç e = lim ç1 + ÷ ÷ ; 2, 718281828459045... x ®¥ ç è n÷ ø (n Î ¥) . s a và 2 b . Ta sẽ đưa 2 căn đã cho về cùng bậc n (với n là bội số chung của s 1 và s2 ) Þ Hai số so sánh mới lần lượt là n A và n B . Từ đó so sánh A và B Þ kết quả so sánh của s1 a Để so sánh s1 và s2 b . Công thức lãi kép: Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì Þ Số tiền thu được (cả N vốn lẫn lãi) là: C = A ( 1 + r ) . 3. Bài tập áp dụng Bài 1. Với a, b là các số thực dương. Hãy rút gọn các biểu thức sau: 2ö æ9 ç8 7 : 8 7 ÷ ÷ 1) A = ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø æ- 2 ö ÷ 3) C = ç ç 5 5÷ ÷+ ç ÷ ç è ø æ6 4 ö ÷ ç ç 3 5.3 5 ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç è ø 2) B = 23.2- 1 + 5- 3.54 ( 10 - 3 - 4 æ 3ö ç ÷ ç (ç 0, 2) 4 ÷ ÷ ç ÷ è ø ) : 10- 2 - ( 0, 25) - 4) D = 81- 0,75 Trang 1 1 0 - 3 5 æ1 ÷ ö 3 æ1 ö ÷ ç ÷ ÷ +ç ç ç ÷ ÷ ç ç32 ø ÷ è125 ÷ ø è Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 1 3 5) E = 0, 001 - ( - 2) - 1,5 9) I = ( 0, 04) 2 3 ( ) .64 - 8 + 90 2 6) F = 22- 3 5.8 2 æ3 3. ç ç ç 3: è 7) G = - 2 2 3 4 ö 3÷ ÷ ÷ ø - ( 0,125) - 5 102+ 8) H = 7 22+ 7 .51+ 7 - 0,75 æ1 ö ÷ 10) J = ç ç ÷ ÷ ÷ ç è16 ø 2 3 + ( 0, 25) 5 2 - - 4ù é - 0,75 2 3 úé êæ1 ö æö - 1,5 - ù 1 çç ÷ êçç ÷ ú. ê( 0, 04) - ( 0,125) 3 ú ÷ ÷ + 9 1 3ö ÷ ÷ ú 2 æ1 ç8 ø êçè16 ø ÷ ÷ úê éæ è 1 ö ùç 4 ö æ1 ú 4 2 2÷ ÷ ë û ê úê ç ê ú b b ÷ a a b b ç ÷ ÷ û ÷ : ççça 2 - b 2 ÷ - 1 ú. çç 1 ÷ 11) K = ë 12) L = êçç1 - 2 + ÷ ÷ ÷ 5 1 ÷ ç ÷ ç -5 - 4ù ê ÷ ú ç a a é ÷ ç è ø ÷ 9 2 6 4 5 3 è ø é ù êæ- ÷ ö æ ö 4 4 2 2 ç ÷ ê ú ú a a b b ë ûè ø ÷ ç ç 4÷ ê8 7 : 8 7 - 3 5.3 5 ú. êç5 2 ÷ ç + 0, 2 ú ÷ ÷ ê ú êçç ÷ çç ÷ ú è ø ú ê ú êè ø ë û ë û 1 öù 3+ 5 éæ4 æ ö÷ ö 1 ù é1 1 æ 3 ÷ 3 3 ç 1+ 2 2 2 - 1- 2 2 ú+ êa 2a 3 . 6 a . ç ú 14) N = çç43+ 2.21- 2.2- 4- 2 2 + 6 3 6÷ ÷ ÷ ÷ ç ç a : a : a . a a : a 13) M = ê ÷: 25 - 5 .5 ÷ ÷ú çç êç ú ê ç 2+ 5 1+ 5 ÷ ÷ ÷ ç ç 2 .3 ø÷ ø è øú ê ú è ëè û ê ë û é 3 2 3 2 ù 2 -1 a b - ab a + b ú6 æ3 ö 6 ê 4 ÷ P = a b + 6a 15) O = 16) 3. ç 3 : 3 ê ú ÷ ç ÷ ç è ø êë3 a 2 - 2 3 ab + 3 b2 3 a 2 - 3 b2 ú û ( ) ( ) Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau: 1) 4- và 4- 3 1,4 æö 1÷ ç 5) ç ÷ và ÷ ç ÷ è2 ø 9) 4 2 2 æö 1÷ ç ÷ ç ÷ ç è2 ÷ ø 5 và 3 - 2 13) ( 0, 01) 15) ( 0, 001) - 3 - 10 19) 0, 02 Bài 3. và ( 10) và 100 3 và 50 11 2 æö æö 1÷ 1÷ ç 7) ç và ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ è3 ø è3 ø 8) 3 11) 4 13 và 12) 4 p æö 1÷ ç 6) ç ÷ và ÷ ç ÷ è9 ø 3,14 æö 1÷ ç ÷ ç ÷ ç è9 ÷ ø 17 và 2 - ( 0, 013) 3) 2- 2 và 1 10) 7 4) 2) 2 3 và 21,7 æ pö ÷ 14) ç ÷ và ç ÷ ç ÷ è4 ø 3 2 28 và 1 3 5 23 10 và 5 và 4 5 20 7 6 æ ö p÷ ç ÷ ç ÷ ç è4 ÷ ø 15) 5- 2 3 và 5- 3 2 16) 4 và ( 0,125) - 5 10 2 17) ( 2) - 3 và ( 2) - 2 14) 5300 và 8 300 2 - 5 - 4 - 2 æ3÷ ö æ2÷ ö çç ÷ 22) 21) ççç ÷ và ÷ çç ÷ ççè 5 ÷ ÷ ÷ çè 2 ÷ ø ø 3 æ p ö2 và æ pö ÷ ç 20) ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç è2 ø è2 ø 5 æö æö 4÷ 5÷ ç 18) ç ÷ và ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ç ç è5 ø è4 ÷ ø ( ) 1 4 ( 3 - 1 và So sánh hai số m , n nếu: m 1) 3, 2 < 3, 2 2) ( 2) > ( 2) m æ3ö ÷ ç ÷ 4) ç > ÷ ç ÷ ç 2 ÷ ç è ø 5) ( m Bài 4. - 1 n n æ3ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 2 ÷ ç è ø m ) ( 5- 1 < Có thể kết luận gì về cơ số a nếu: Trang 2 m æö 1÷ ç 3) ç ÷ ÷ và ç è9 ÷ ø n ) 5- 1 n 6) ( n æö 1÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç è9 ø m ) ( 2- 1 < ) 2- 1 n ) 3- 1 2 2 Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit 1) 4) ( a - 1) - 2 3 (1 - a) - 1 3 < ( a - 1) - 1 3 > (1 - a) - 1 2 2) ( 2a + 1) 5) 3 4 ( 2 - a) - 3 1 > ( 2 - a) 1 7) a 3 < a 7 8) a - 17 < a Bài 5. Đơn giản các biểu thức sau: æ 1) A = ( - 1) . ç ç ç è 3 3 2 3) C = 4 + 8 7) G = 2 2) 4 4 4 2 3 3 6) F = 5 23.2- 1 + 5- 3.54 - ( 0, 01) - 2 0 10- 3 : 10- 2 - ( 0, 25) + 10- 2. ( 0, 01) 1256. ( - 16) . ( - 2) 3 4 é 2ù 25 . ê( - 5) ú ê ú ë û 3 1 1 öæ1 1ö æ1 ç ç 3 3 3÷ 3 3÷ ÷ ÷ ç ç H = 4 10 + 25 2 + 5 8) ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø - 3 4 æ ö 3 ÷ 4. 4 64. ç 2 ÷ ç ÷ è ø 3 6 2 - 4 9) I = 6 ( - 3) . ( - 15) .8 B = 9 . ( - 5) . ( - 6) 3 5 æ 3ö 2÷ 4) D = ç ÷ ç 32 ÷ ç ÷ ç ÷ è ø ( - 18) .2 . ( - 50) ( - 25) . ( - 4) 5 æö 1 ÷2 ç ÷ ç ÷ ça ø ÷ ç è 9) a - 0,25 < a - 2 æ 2ö æ 7ö 7ö ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ . . 7 . ç ç ( ) ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ è 7ø ÷ ÷ 8ø è 14 ø 1 - æö 1 ÷2 6) ç ÷ ç ÷> ç ç èa ÷ ø 2 1 8 2 3 7 5) E = 3 > ( 2a + 1) - 0,2 æö 1 ÷ 3) ç ÷ < a2 ç ÷ ç ÷ èa ø - 1 5 10) J = 32 81. 5 3. 5 9. 12 2 æ ö 3 5 ÷ ç 3 ÷ ç ÷. 18. 27. 6 ç è ø Bài 6. Viết các biểu thức sau với dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 1) A = 4 x 2 . 3 x , ( x ³ 0) 4) D = 3 2 33 2 . . 3 2 3 2) B = 5 b . 3 a , ( a, b ¹ 0) a b 3) C = 5 2. 3 2 2 5 5) E = 4 3 a 8 6) F = 3 b2 b b b Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau: a 1,5 + b1,5 - a 0,5 .b0,5 0,5 0,5 2.b0,5 1) A=a +b + 0,5 a- b a + b 0,5 æ ö ÷ ç ÷ ç 1 1 1 1÷ 1 1 ç ÷ ç 2 2 2 2÷ 2 ç ÷ x - y2 ç x + 3y + x - 3y ÷ ÷ . 3) C = ç ç 2 ÷ 1ö x- y ÷ 2 ç æ1 ÷ ç ÷ ç ÷ 2 2 ç ÷ ÷ ç x y ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ø èè ø æ a 0,5 + 2 ö a 0,5 + 1 a 0,5 - 2 ÷ ç ÷ 2) B = ç ÷. 0,5 0,5 ç ç a- 1 ÷ èa + 2a + 1 ø a 1 1 1 ö 3 1 æ 1 ç 2 2 2 2 ÷ 2 2 ÷ ç x - y x + y ÷x y 2y ÷. + 4) D = ç ç 1 1 1 1 ÷ ç ÷ x+y x- y ç ÷ ç ÷ èxy 2 + x 2y xy 2 - x 2y ø Trang 3 Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 2 ö æ2 1 2 4ö æ1 ça 3 - b 3 ÷ ç 3 3 3 3÷ ÷ ÷ ç . a + a a + b 5) E = ç ÷ ÷ ç ç ÷ç ÷ ç ÷ ÷ è ø è ø 1 1 æ1 ö ÷ ç 2 2 2 ÷ ç a + 2 a 2 a +1 ÷ ÷ . 7) G = ç ç ÷ 1 1 ç a- 1÷ ç ÷ ç ÷ a2 èa + 2a 2 ø 9) I = 3 a- 3 b 6 a- 6 b æ 24 ça x + x a 11) K = ç ç ç ç a 4 x + ax è 1 ö æ1 1 ö æ1 1ö æ1 ça 4 - b 4 ÷ ç ç 4 4÷ 2 2÷ ÷ ÷ ÷ ç ç . a + b . a + b 6) F = ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷è ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ è ø øè ø 8) H = a- 1 + ( b + c) -1 æ b2 + c 2 - a 2 ö - 2 ÷ çç1 + ÷ . a + b + c ( ) ÷ - 1 ç ÷ 2bc ø a - 1 - ( b + c ) çè æ ab 10) J = ç ç ç ç è ab a+ 3 a+x 4 ö ÷ a 2 + x + 2a x ÷ ÷ ÷ ÷ ø 12) L= 3 a2 - 3 ö 4 ab - b ÷ ÷ ÷: ø a- b ab ÷ x2 + 3 ax 2 - a 2x 3 a 2 - 2 3 ax + 6 a - 6x 3 x2 - 6 x 3 é ù ê ú ê ú ê ú x x x ú 13) M = ê êæ4 3 ú öæ ö 4 3 ÷ ÷ x - 1 x +1 ç êç ú ÷ ÷ ç ç - x÷ - x÷ êç ú ç ÷ ÷ ÷ç ÷ êç ç4 ç4x + 1 øè øú ëè x - 1 û 5 3 éæ3 ö ù ÷ êç ú 2 5 ÷ ç 2 + 27. y 5 ÷ - 2ú 10 ç ÷ 15) O = ê + 3. 32 y 2 .3 ç ÷ êç ú ÷ ÷ 2+ 3 y êç ú ç ÷ ø ú ê ëè û 3 é ù 2 1ö êæ ú æ1 3 ö2 æ a ö a b ÷ ÷ ç ç ç ê ú 4 4÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç Q = + : a + b ÷ ÷ 17) ÷ ç êç úç ÷ ÷ 3 ÷ 8 3 ç ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø êç ú èb a ø èa b ø ê ú ë û é3 3 2 2 3 êa a - 2a b + a b + N = 14) ê 3 2 ê a - 3 ab ë 3 ù ab2 ú 3 ú: a 3 a - 3b ú û a 2b - 3 1 1 æ 1 1 ö ÷ 3 3 3 3 ÷ ç 8b - a ç a b a 2 b ÷ ç ÷ + 16) P = ç 1 1 2 1 1 2 ÷ ç - ÷ 6 ç -3 ÷ ç è2a - b 3 4a 3 + 2a 3b 3 + b 3 ÷ ø 18) R = 2 ( a + b) - 1 ( ab) 1 2 1 2 2 é ê 1æ ç a ê1 + ç ê 4ç ç b ç è ê ë ù ú bö ÷ ÷ ú ÷ ÷ aø ÷ú ú û Bài 8. Giải các phương trình sau: 1) 4 = 1024 5 x 4) ( 3 3) 2x x- 2 æö 1÷ ç =ç ÷ ÷ ÷ ç è9 ø 2) x+1 5 æö 2÷ 8 ç .ç ÷ = ÷ ÷ ç 2 è5 ø 125 x - x æö 2÷ æ 8ö 27 ÷ ç ç 5) ç ÷ .ç ÷ = ÷ ÷ ÷è ÷ ç ç27 ø 64 è9 ø - x æ ö 1 0, 25 2x - 8 ÷ ÷ 7) .32 =ç ç ÷ ç ÷ ç 0, 125 è 8 ø 8) 0, 2 = 0, 008 10) 5x .2x = 0, 001 11) x ( )( ) 3 x = 1 32 x 2 - 5x + 6 æö 3÷ 6) ç ÷ ç ÷ ç ÷ è2 ø =1 3x - 7 7x - 3 æ9 ö æö 7÷ ÷ ç ç 9) ç ÷ ÷ =ç ÷ ÷ ç ç3 ø ÷ ÷ è49 ø è x 12 3) 81- 3x = 1 6 12) 71- x.41- x = Bài 9. Giải các bất phương trình sau: 1) 0, 1 > 100 x æö 1÷ ç 2) ç ÷ > ÷ ç ÷ è5 ø 4) 7x + 2. 49 æö 1÷ 5) ç ÷ ç ÷ ç ÷ è3 ø x x+2 3 0, 04 1 < 9 27 Trang 4 3) 0, 3x > x 6) 3 < 100 9 1 9 3 1 28 Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit 7) 3. ( 3) x 1 > 27 x 1- x 8) 27 .3 x 1 < 3 9) 3 æ1 ö ÷ ÷ 2ç > 1 ç ÷ ç ÷ è64 ø Bài 10.Giải các phương trình sau: 1) 2x + 2x + 2 = 20 4) 4x - 1 + 4x + 4 x + 1 = 84 7) 3.9x - 2.9- x + 5 = 0 2) 3x + 3x + 1 = 12 5) 42x - 24.4x + 128 = 0 8) 3x 2 - 5x + 6 = 1 3) 5x + 5x - 1 = 30 6) 4x + 1 + 22x + 1 = 48 9) 4x + 2x + 1 - 24 = 0 Bài 2: LOGARIT 1. Kiến thức cơ bản a) Định nghĩa ìï a > 0, a ¹ 1 Với a > 0, a ¹ 1, b > 0 ta có: log b = a Û a a = b .Chú ý: log b có nghĩa khi ïí a a ïï b > 0 î Logarit thập phân: lg b = log b = log10 b Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b = loge b b) Tính chất Cho a > 0, a ¹ 1 và b, c > 0 . Khi đó: Nếu a > 1 thì loga b > loga c Û b > c Nếu 0 < a < 1 thì loga b > loga c Û b < c loga 1 = 0 loga a = 1 b loga a = b a loga b = b c) Các qui tắc tính logarit Cho a > 0, a ¹ 1 và b, c > 0 . Ta có: æö b÷ ÷ = loga b - loga c ç loga ç loga ( b.c ) = loga b + loga c ÷ ç ÷ ç èc ø b loga b = b. loga b 2 loga b = 2 loga b d) Các công thức đổi cơ số Cho a, b, c > 0 và a, b ¹ 1 . Ta có: 1 loga c ln b Þ loga b. logb c = loga c loga b = , loga b = logb c = logb a loga b ln a loga b b = logab c = 1 . loga b , ( b ¹ 0) b 1 1 1 + loga c logb c log 1 b = - loga b a a logb c = c logb a 2. Bài tập áp dụng Trang 5 Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: 1 A = log2 4. log 1 2 1) 2) B = log5 . log27 9 4 25 4) D = 4log2 3 + 9log 3 2 5) E = log2 2 8 3) C = loga 3 a 6) F = 27 log9 2 + 4log8 27 1 7) G = loga 3 a. loga 4 a 3 log 1 a 7 8) H = log3 6. log 8 9. log6 2 9) I = 92 log3 2+ 4 log81 5 11) K = 25log5 6 + 49log7 8 12) L = 53- 2 log5 4 a log3 5 10) J = 81 + 27 1 log6 3 13) log9 36 +3 4 log9 7 1 log 8 4 M =9 + 4 0 0 0 15) P = lg tan 1 + lg t an 2 + ... + lg tan 89 ( 17) R = 3 5 log3 2 ) ( ) ( + log 3 ( log 28) 14) N = 31+ log9 4 + 42- log2 3 + 5log125 27 ) log log 16 ù. log2 é log log 64 ù 16) Q = log8 é ê ê ë 4 ( 2 )ú û ë 3 ( 4 )ú û 18) S = 2 log 1 6 3 1 log 1 400 + 3 log 1 3 45 2 3 3 Bài 2. Thực hiện phép biến đổi theo yêu cầu bài toán. 1) Cho log12 27 = a . Tính log6 16 theo a . 2) Cho log2 14 = a . Tính log49 7 32 và log 49 32 theo a . 3) Cho log2 5 = a; log2 3 = b . Tính log 3 135 theo a, b . 4) Cho log15 3 = a . Tính log25 15 theo a . 3 5) Cho loga b = 3 . Tính log b a b a 6) Cho lg 3 = 0, 477 . Tính lg 9000; lg ( 0, 000027 ) ; 7) Cho loga b = 5 . Tính log 1 log81 100 . b ab a log 1 28 8) Cho log7 2 = a . Tính theo a . 2 3 2 9) Cho loga b = 13 . Tính log b ab . a 49 theo a, b . 8 11) Cho lg 3 = a; lg 2 = b . Tính log125 30 theo a, b . 10) Cho log25 7 = a; log2 5 = b . Tính log 3 5 12) Cho log30 3 = a; log 30 5 = b . Tính log30 1350 theo a, b . 13) Cho log14 7 = a; log14 5 = b . Tính log35 28 theo a, b . 14) Cho log2 3 = a; log 3 5 = b; log 7 2 = c . Tính log140 63 theo a, b, c . 15) Cho loga b = 7 . Tính loga a b b3 16) Cho log27 5 = a; log 8 7 = b; log2 3 = c . Tính log6 35 theo a, b, c . Trang 6 Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit 121 theo a, b . 8 Bài 3. Cho a > 0, a ¹ 1 . Chứng minh rằng: loga ( a + 1) > log( a + 1) ( a + 2) 17) Cho log49 11 = a; log2 7 = b . Tính log 3 7 Bài 4. So sánh các cặp số sau: 1 3 2) log 0,1 3 2 và log0,2 0, 34 1 1 và log 1 80 2 2 15 + 5) log13 150 và log17 290 1) log3 4 và log 4 4) log 1 3 3) log 3 4 2 3 và log 5 5 4 2 1 6) 2log6 3 và log6 2 3 7) log7 10 và log11 13 8) log2 3 và log 3 4 9) log9 10 và log10 11 Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa) 1) bloga c = c loga b 2) logax ( bx ) = loga b + loga x 1 + loga x 3) loga c + logb c = 4) loga c logab c loga c. logb c logab c = 1 + loga b a+b 1 = ( logc a + logc b ) , với a 2 + b2 = 7ab 3 2 1 6) loga ( x + 2y ) - 2 loga 2 = ( loga x + loga y ) , với x 2 + 4y 2 = 12xy 2 3a + b 1 7) lg = ( lg a + lg b) , với 9a 2 + b2 = 10ab 4 2 8) log( b + c ) a + log( c - b) a = 2 log( c + b) a. log( c - b) a với a 2 + b2 = c 2 5) logc 9) k ( k + 1) 1 1 1 1 1 + + + + ... + = loga x loga 2 x loga 3 x loga 4 x loga k x 2 loga x 10) loga N . logb N + logb N . logc N + logc N . loga N = 11) 1 1 1- lg z loga N . logb N . logC N logabc N 1 với y = 101- lg x và x = 10 z = 101- lg y 1 1 1 1 + + ... + = 12) log2 N log3 N log2009 N log2009 ! N 13) loga N - logb N logb N - logc N = loga N logc N với a, b, c lần lượt theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Trang 7 Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 1. Kiến thức cơ bản 1.1) Khái niệm a) Hàm số lũy thừa y = x a ( a là hằng số) Số mũ α Hàm số y = x a a = n ( n nguyên dương) a = n ( n nguyên dương âm hoặc n = 0 ) y = xn Tập xác định D D=¡ y = xn D = ¡ \ { 0} a là số thực không nguyên y = xa D = ( 0, + ¥ ) 1 Lưu ý: Hàm số y = x n không đồng nhất với hàm số y = n x , ( n Î ¥ *) x b) Hàm số mũ y = a , ( a > 0, a ¹ 1) Tập xác định: D = ¡ Tập giá trị: T = ( 0, + ¥ Tính đơn điệu ) Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. Dạng đồ thị: a> 1 y y =a x y = ax 1 x O y 1 x O c) Hàm số logarit y = loga x , ( a > 0, a ¹ 1) Tập xác định: D = ( 0, + ¥ Tập giá trị: T = ¡ Tính đơn điệu ) Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Dạng đồ thị: a > 1 y y y = loga x O 1 x O 1 x y = loga x 1.2) Giới hạn đặc biệt Trang 8 Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit lim ( 1 + x ) ln ( 1 + x ) x æ 1÷ ö ÷ = lim ç 1 + ç ÷=e x ® ±¥ ç è x÷ ø 1 x x ®0 lim =1 x x ®0 ex - 1 lim =1 x ®0 x 1.3) Đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp ' ( x ) = a.x , ( x > 0) ( a ) = a . ln a (e ) = e ( log x ) ( ln x ) a x x Đạo hàm hàm số hợp ' x Þ x Þ ( ) ( a ) = a . ln u.u ' ( e ) = e .u ' 1 x ln a Þ ( log u ) 1 , ( x > 0) x Þ ( ln u ) Þ u a = a.u a - 1.u ' a- 1 ' ' ' = a ' = u u ' u ' u ' a ' = = u' u ln a u' u 2. Bài tập áp dụng Bài 1. Tính các giới hạn sau: x+1 x æx ö ÷ 1) lim ç ÷ ç ÷ x ®+ ¥ ç ÷ è1 + x ø x+1 x x ®e æ 2x + 1 ö ÷ 6) lim ç ÷ ç ÷ x ®+ ¥ ç ÷ èx - 1 ø e 2x - 1 x ®0 3x ln x - 1 x- e ex - e x ®1 x - 1 æ1 ö ÷ x ÷ ç xç e 1 12) x lim ÷ ç ÷ ®+ ¥ ç ÷ è ø 8) lim 9) ex - e- x e sin 2x - e sin x 11) lim x ®0 x ®0 sin x x Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 10) lim 1) y = 4x 2 - 3x - 1 ( 2) y = x 2 + x - 4 5) y = 1 1 + + x x 7) y = 3 x 2 + x + 1 8) y = 4 10) y = 3 sin ( 2x + 1) 11) y = cot 3 1 + x 2 4) y = x + x + 3 x x+1 x- 1 x+ 3 14) y = 11 9 + 6 5 x 9 4 Tính đạo hàm của các hàm số sau: 13) y = 3 sin Bài 3. Trang 9 2x - 1 ö 1÷ ÷ ÷ 2÷ ø x æx + 1 ö ÷ 5) lim ç ÷ ç ÷ x ®+ ¥ ç ÷ è2x - 1ø 3 æ3x - 4 ö ÷ 4) lim ç ÷ ç ÷ x ®+ ¥ ç ÷ ç è3x + 2 ø 7) lim æ x+ 3) lim ç ç x ®+ ¥ ç èx - æ 1÷ öx 2) lim ç ÷ 1 + ç ÷ x ®+ ¥ ç ç è x÷ ø ) 1 4 ( ) 3) y = x 2 - 3x + 2 1 3 lim x 6) y = ( m + n) 9) y = 5 12) y = 15) y = m ( 1 - x ) .( 1 + x ) x2 + x - 2 x2 + 1 1- 3 2x 1+ 3 2x 4 3 x2 + x + 1 x2 - x + 1 n Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 ( ) ( 2 x 1) y = x - 2x + 2 e 4) y = e 2x + x ) 2 - x 2) y = x + 2x e 2 5) y = xe x- 3) y = e - 2x sin x 1 x 3 6) y = 3x 7) y = 2 e 8) y = 2 x - x+1 Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: x cos x ( ) 2 1) y = ln 2x + x + 3 ( 2 4) y = ( 2x - 1) ln 3x + x 7) y = ) 9) y = cos x .e cot x 2) y = log2 ( cos x ) x 3) y = e . ln ( cos x ) 3 5) y = log 1 ( x - cos x ) 6) y = log 3 ( cos x ) 2 ln ( 2x + 1) 8) y = 2x + 1 e 2x + e x e 2x - e x ln ( 2x + 1) ( 9) y = ln x + x+1 1 + x2 ) Bài 5. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra: 1) y = x .e - x2 2 ( x x 2) y = ( x + 1) e ; y '- y = e ) ; xy ' = 1 - x 2 y 3) y = e 4x + 2e - x ; y '''+ 2y '- 12y = 0 4) y = a .e - x + be . - 2x ; y ''+ 3y '+ 2y = 0 5) y = e - x sin x ; y ''+ 2y '+ 2y = 0 6) y = e - x cos x ; y ( 4) + 4y = 0 7) y = e sin x ; y ' cos x - y sin x - y '' = 0 2x 8) y = e sin 5x ; y ''- 4y + 29y = 0 1 2 x 4x - x 10) y = e + 2e ; y '''- 13y - 12y = 0 x e ; y ''- 2y '+ y = e x 2 Bài 6. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra: æ1 ö 1 ÷ ÷ ; xy '+ 1 = e y ç ; xy ' = y ( y ln x - 1) 1) y = ln ç 2) y = ÷ ç ÷ ç è1 + x ø 1 + x + ln x 9) y = 2 3) y = sin ( ln x ) + cos ( ln x ) ; y + xy '+ x y '' = 0 4) y = 1 + ln x ; 2x 2y ' = x 2y 2 + 1 x ( 1 - ln x ) 2xy x2 1 2 x + ex x 2 + 1 + x x 2 + 1 + ln x + x 2 + 1 ; 2y = xy '+ ln y ' 6) y = x + 1 e + 2010 ; y ' = 2 x +1 2 2 Bài 7. Giải các phương trình và bất phương trình sau với các hàm số được chỉ ra: 1 x 2 1) f '(x ) = 2 f (x ) ; f (x ) = e x + 3x + 1 2) f '(x ) + f (x ) = 0 ; f (x ) = x 3 ln x x 3) f '(x ) > g '(x ) ; f (x ) = x + ln ( x - 5) ; g(x ) = ln ( x - 1) 4) f '(x ) = 0 ; f (x ) = e 2x - 1 + 2e 1- 2x + 7x - 5 ( 5) y = ( ) 1 5) f '(x ) < g '(x ) ; f (x ) = .52x + 1 ; g(x ) = 5x + 4x ln 5 2 Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Lý thuyết 1.1) Phương trình mũ cơ bản Trang 10 )( ) ( ) Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit ìï b > 0 x ï Với a > 0, a ¹ 1 thì a = b Û í . ïï x = loga b î 1.2) Phương pháp giải một số phương trình mũ thường gặp ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ & LOGARIT HÓA o Đưa về cùng cơ số: Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng a f ( x ) = a g( x ) f (x) g( x ) =a Û f (x) = g(x) . Với a > 0, a ¹ 1 thì a éa = 1 M N ê a a = a Û a 1 M N = 0 Û Trường hợp cơ số có chứa ẩn thì: ( )( ) êM = N . ê ë f x gx f x gx o Logarit hóa: a ( ) = b ( ) Û loga a ( ) = loga b ( ) Û f ( x ) = ( loga b) g ( x ) . Bài 1. Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa): x 1) ( 0, 04) = 625. 3 5 2 2) 0,125.161- x = ( ) 2 3) 28- x .58- x = 0, 001. 105 1- x 8 32 4) 32x - 1.153x .5- 3x = 3 9 5) 5.3x + 3.2x = 7.2x - 4.3x 7) 35x = 53x 6) 5x + 5x - 1 + 5x - 2 = 3x + 1 + 3x - 1 + 3x - 2 8) 3x = 25- 2x 9) 2x - 3 = 3x 2 - 5x + 6 10) 52x 4 - 5x 2 + 3 - 7x 2 - 3 2 =0 ĐẶT ẨN SỐ PHỤ ( Dạng 1: P a f (x ) ) ìï t = a f ( x ), t > 0 ï =0Û í ïï P ( t ) = 0 ïî Dạng 2: a.a 2 f ( x ) + b. ( ab) f (x ) + l .b2 f ( x ) = 0 f (x ) æö a÷ Þ Chia hai vế cho b2 f ( x ) , rồi đặt ẩn phụ t = ç ÷ > 0. ç ÷ ç ÷ b è ø 1 Dạng 3: a f ( x ) + b f ( x ) = m với a.b = 1 . Đặt t = a f ( x ) Þ b f ( x ) = . t Bài 1. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn số phụ dạng 1): 1) 9x - 5.3x + 6 = 0 2) 21+ 2x + 15.2x - 8 = 0 3) 5x + 1 - 52- x = 124 4) 5 x - 51- x + 4 = 0 5) 32- 2x - 2.32- x - 27 = 0 6) 5x + 251- x = 6 7) 33+ 3x + 33- 3x + 34+ x + 34- x = 103 2 8) ( 2 7+ 4 3 9) 9sin x + 9cos x = 6 10) 41- 2 sin Bài 2. Giải phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 2): Trang 11 2 x x ) ( + 2+ + 9.4- 2 cos 2 3 x ) x =5 =6 Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 1) 25 + 15 = 2.9 x x 2) 9 x x+1 x - 13.6 + 4x + 1 = 0 1 3) 49x - 2.35x - 7.52x + 1 = 0 1 1 4) 2.4 x + 6 x = 9 x Bài 3. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3): x x x x æ3 ö æ3 ö ÷ ÷ ç ç 1) 2 + 3 + 2 - 3 = 4 2) ç 5 + 2 6÷ ÷ ç ç 5- 2 6ø ÷+ è ÷ = 10 ç è ø ( ) ( ) 3) ( 5 - 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 5) ( 5 + 2 6 ) = ( 5 - 2 6) x x 3x + 1 ( ) 6) ( 3 + 2 2 ) x+ 3 4) 8 + 3 7 5x + 8 Bài 4. Giải các phương trình mũ sau: 2 2 2x 1) 2x + x - 4.2x - x - 2 + 4 = 0 2 3) 4x 2 + x + 21- x 2 = 2( x + 1) + 1 sin x x+1 ( =(3- ) 2) + 8- 3 7 2 sin x = 16 2x + 8 2) 2x 2 - 5x + 6 + 21- x = 2.26- 5x + 1 2 4) 4x 2 - 3x + 2 + 4x 2 + 6x + 5 = 42 x 2 + 3x + 7 +1 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Xét phương trình: f ( x ) = g ( x ) ( 1) Đoán nhận x o là một nghiệm của phương trình ( 1) . Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của f ( x ) và g ( x ) để kết luận x o là nghiệm duy nhất: o f ( x ) đồng biến và g ( x ) nghịch biến . o f ( x ) đơn điệu và g ( x ) = c (hằng số). Nếu f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D và u, v Î D thì f ( u ) = f ( v ) Û u = v . Lưu ý: Hàm số bậc nhất: y = ax + b , ( a ¹ 0) Hàm số mũ: y = a x ∗ Đồng biến khi: a > 0 . ∗ Đồng biến khi: a > 1 . ∗ Nghịch biến khi : a < 0 . ∗ Nghịch biến khi: 0 < a < 1 . Bài 1. Giải các phương trình mũ sau (sử dụng tính đơn điệu của hàm số): 1) 3x = 5 - 2x 2) 4x + 3x = 5x 3) 22x - 1 + 32x + 52x + 1 = 2x + 3x + 1 + 5x + 2 ( 3 x x 4) 36. 2 + 3 3 ) = 9.8 x + 4.27 x 5) 2x - 3x + 1 - 2x - 2 + x 2 - 4x + 3 = 0 6) 2012 x 2 - 3x + 1 - 2012x - 2 + x 2 - 3x - x + 3 = 0 2 2 7) 99cos x - 99sin x + cos 2x = 0 8) e cos2 x - e sin 2 x = cos 2x Bài 2. Giải phương trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 1 và kết hợp tính đơn điệu): 2 1) ( x + 4) .9 x - ( x + 5) .3x + 1 = 0 2 ( ) 2 x 2 x 2 2) 4 + x - 7 .2 + 12 - 4x = 0 ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH, TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM VÀ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 éA = 0 ê A . B = 0 Û Phương trình tích: êB = 0 ê ë Trang 12 Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit ìï A = 0 2 2 ï Tổng hai số không âm: A + B = 0 Û í ïï B = 0 î Phương pháp đối lập: Xét phương trình: f (x ) = g(x ) ( 1) ìï f (x ) ³ M ìï f (x ) = M ï ï Nếu ta chứng minh được í thì ( 1) Û í ïï g(x ) £ M ïï g(x ) = M î î Bài 1. Giải phương trình (đưa về phương trình tích số): 1) 25.2x - 10x + 5x = 25 2) 12.3x + 3.15x - 5x + 1 = 20 3) 1 + 12x = 3x + 4x 4) 12 + 6x = 4.3x + 3.2x Bài 2. Giải các phương trình mũ sau ( phương trình tích hoặc nghiệm của phương trình bậc 2): 2 x+1 2 x- 1 x x- 1 = 3x 1 - 4.3x - 1 x + 2.5x - 1 - 3x = 0 1) 2 x - 3 2) x .5 - 3 - 3.5 ( ) ( ) ( ) Bài 3. Giải phương trình (dùng phương pháp đối lập): 2 2 1) 5cos2 x = sin x 2) 4 sin x + 4cos x = 6 + cos 2x PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ Dựa vào kiến thức phương trình bậc 2, bậc 3, bậc 4 trùng phương và định lí Viét. Nếu yêu cầu bài toán thuộc loại: tìm tham số m để phương trình f ( x , m ) có n nghiệm trên khoảng ( a, b) hoặc đoạn éêëa, bùúû. Ta làm theo phương pháp đồ thị hàm số như sau: t a , t b ù. + Biến đổi về phương trình đại số dạng f ( t , m ) = 0, " t Î é ê ë( ) ( ) ú û + Tách tham số m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là g ( t ) . ù. + Tính g ' ( t ) và lập bảng xét dấu g ' ( t ) trên é êt ( a ) , t ( b) û ú ë + Dựa vào bảng biến thiên, biện luận hay tìm tìm tham số m để phương trình có n nghiệm. ( Bài 1. Giải và biện luận phương trình: 2 + 3 x ) + ( 2 - 3) x =m ( 1) 2. Bài tập áp dụng Bài 1. Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa): 1) 4x + 1 = 3 16 2) 2x + 1.32x + 3 = 63x + 1 3) 22x 2 + x + 5 = 82x + 1 4) 5x .8x + 1 = 100 5) 9 3x - 1 = 38x - 2 6) 2x + 1.3x - 2.5x = 200 x x æö 2÷æ 25 ö 125 ÷ ç 7) ç ÷ ÷ = ç ç ÷ ÷ ç ç ÷è 8 ø ÷ 64 è5 ø 8) 32 x - 7 = 0, 25.125 x - 3 10) 3x + 2 - 3x + 1 = 18 11) 5x + 5x + 1 + 5x + 2 = 3x + 3x + 3 + 3x + 1 12) 2.3x + 1 - 6.3x - 1 - 3x = 9 ) 2x x =x x ( 13) 3 - 2 2 16) x ( = 3+ 2 2 x+5 14) 17) ) 19) x 2 - x + 1 x2- 1 =1 ( 5+2 ( x + 17 ) x- 1 2x - x 2 20) ( x + 1) x- 3 = ) ( 5- 2 x- 1 =1 =1 9) ) x- 1 x+1 8 15) 5x .8 18) ( ( = 36.32- x x- 1 x = 500 x - x2 ) 21) x 2 + 3 Bài 2. Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa): Trang 13 x x+2 ) x- 2 x 2 - 5x + 4 =1 ( ) = x2 + 3 x+ 4 Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 1) 2x 2 - x + 8 = 41- 3x 4) 2x .5x = 0, 01 2) 3x + 1 + 3x - 2 - 3x - 3 + 3x - 4 = 750 5) 2x . 3x = 216 2x + 3 x 2 + 2 x - 11 x+1 x æ1 ÷ ö æ ö ç ÷ 7) ç ÷ 3 3 3 = ç ÷ ç ÷ ÷ ç ç è ø è81÷ ø æö 5÷ æ 9ö ÷ ç 8) ç ÷ ÷ . ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ è3 ÷ ø è25 ø 22x - 1.4x + 1 10) = 64 8x - 1 11) 4 13) ( 0, 75) 2x - 3 .3 x- 3 x+1 .5 9 æö 5÷ ÷ =ç ç ÷ ç è3 ÷ ø æö 1÷ 14) ç ÷ ç ÷ ç è7 ÷ ø 1 =0 2.2cos 2x 2 . 4 . 0, 125 = 0, 25 2 ) x+3 2 ùx - 1 x ú =4 ú ú û 2 - 6x - = 5 2 1 9 3 x+1 = 16 2 18) 3x - 1 = 6x .2- x.3x + 1 21) 5 4x - 6 = 253x - 4 2 2 23) 2x 2 + 4 = 22( x + 1) + 22( x + 2) - 2x 2 + 3 + 1 24) 52x + 1 - 3.52x - 1 = 550 3x - 7 1 29) ( x 2 + 15 17) 4x + 4x - 2 + 4x + 1 = 3x + 2 - 3x - 2 2 2 2 2 20) 2x - 1 + 2x + 2 = 3x + 3x - 1 1 3 1 3 15) 2x 28) é 31) ê ê2 2 ê ë 12) 3 = 7x + 1 26) 16 x + 2 - x - 2 = 0, 25.2 x 2 - 4 x x ( 1, 5) x+1 æö 2÷ ÷ =ç ç ÷ ç è3 ÷ ø 1 20 60 = 27 x+2 x+1 x+1 25) 2 - 2 - 1 = 2 + 1 x 3 9) 5x - 7 x 2 - 2x - 3 5- x æ1 ÷ ö ÷ =ç 1 ç ÷ ç è 3÷ ø 16) 2x 2 - 4 = 5x - 2 19) 5x 2 - 5x - 6 = 1 22) 2cos 2x - x+1 3) 2x 2 .4x = 256 6) 2x .3x - 1.5x - 2 = 12 ( 10 + 3 ) x- 3 x- 1 = ( 27) 3x + 1 = 182x .2- 2x .3x + 2 ) 10 - 3 2- x x+1 x+ 3 4- x æö 1÷ 32) ç ÷ + 3x - 3 = 99 + ç ÷ ç ÷ è3 ø æö 1÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è9 ø 30) 3.2x + 1 + 5.2x - 2x + 2 = 21 é 33) ê ê2 ê ë ( 1 ) x+5 5 ùx 1 x +1ú ú = .4 2 ú û 1 Bài 3. Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa): 1) 3x - 1 + 3x + 3x + 1 = 9477 3) 2x - 1 - 3x = 3x - 1 - 2x + 2 5) 7) 9) 22x + 5 - 3 x+ x 9 - 2 x+ x+ 3 2 9 2 =3 =2 1 2 x+ x+ 1 2 7 2 - 4x + 4 - 3 8) 2x - 1 x- 2x - 2 1 2 5 - 9x = 3 - 5 2 x x 11) x - 2 - 3 x + 2 1 - 2 = 0 ( ) ( ) 13) 62x + 3 = 2x + 7.33x - 1 15) 32x + 3.52x + 3 = 55x.35x 17) 19) 2) 5x + 1 - 5x = 2x + 1 + 2x + 3 4) 5x + 5x + 1 + 5x + 2 = 7x + 7 x + 1 - 7 x + 2 1 1 6) 3.4x + .9x + 2 = 6.4x + 2 - .9x + 1 3 2 x 8 x + 2 = 36.32- x x- 1 2x .5 x = 10 21) 4.3x + 2 + 5.3x - 7.3x + 1 = 40 23) 52x - 1 + 5x + 1 = 250 25) 2x + 4 + 2x + 2 = 5x + 1 + 3.5x 4 - x - x- - 3 1 2 =3 1 - x 2 - 2- 2x - 1 10) 4x + 2 - 10.3x = 2.3x + 3 - 11.22x 12) x 2 .2x + 1 + 2 x - 3 + 2 = x 2 .2 x - 3 + 2x - 1 14) 3x + 3.7x + 3 = 32x.7 2x 16) 3x - 1.22x - 2 = 129- x 18) 5x 2 - 5x + 6 = 2x - 1 20) 3x 2 - 4x = 2x - 4 22) 22x + 6 + 2x + 7 - 17 = 0 24) 5x - 1 + 53- x = 26 26) 5x + 1 + 6.5x - 3.5x - 1 = 52 Bài 4. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn): 1) 4x + 2x + 1 - 8 = 0 2) 4x + 1 - 6.2x + 1 + 8 = 0 Trang 14 x Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit 3) 3 - 4.3 + 27 = 0 x x+1 5) 49 + 7 - 8 = 0 4x + 8 7) ( 2x + 5 7+ 4 3 x ) ( + 2+ 3 ) x =6 9) 32x + 5 - 36.3x + 1 + 9 = 0 2 2 11) 32x + 2x + 1 - 28.3x + x + 9 = 0 13) 2sin 2 x + 4.2cos 2 x 4) 16x - 17.4x + 16 = 0 6) 2x 2 - x - 22+ x - x 2 = 3 8) 4 cos 2x + 4cos 2 2 x =3 2 10) 4x + 2 + 9.2x + 2 + 8 = 0 12) 3.52x - 1 - 2.5x - 1 = 0, 2 14) 4 + 16 = 10.2 x - 2 8 2x 18 + = x- 1 15) 5 x - 51- x + 4 = 0 16) x - 1 x 2 + 1 2+ 2 2 + 21- x + 2 Bài 5. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn): =6 x- 2 1) 9x - 5.3x + 6 = 0 3) e 2x - 4e - 2x = 3 5) 4 x - 2 + 16 = 10.2 x - 2 7) e 6x - 3.e 3x + 2 = 0 2 2 9) 81sin x + 81cos x = 30 11) 9x - 25.3x + 7 = 0 13) 25x - 6.5x + 1 + 53 = 0 1 15) 3.52x - 1 - 2.5x - 1 = 5 2( x + 1) x 17) 3 - 82.3 + 9 = 0 2) 2x + 2 - 22- x - 15 = 0 2 2 4) 9x - 1 - 36.3x - 3 + 3 = 0 6) 4x + 1 + 2x + 2 - 3 = 0 8) - 8x + 2.4x + 2x - 2 = 0 10) 4x + 1 + 2x + 4 = 2x + 2 + 16 12) 25x - 23.5x - 5 = 0 14) 132x - 6.13x + 5 = 0 3 16) 3- x = 4x - 4 - 7 2 18) 3x + 2 + 9x + 1 = 4 19) 9x 2 - 1 - 3x 2 + 1 - 6 = 0 20) 21) 4x + x 2 - 2 - 5.2x - 1+ x 2 - 2 = 6 23) 42x + 23x + 1 + 2x + 2 - 16 = 0 25) 4x + 23- 4 x = 6 22) 8x - 3.4x - 3.2x + 1 + 8 = 0 24) 32+ x + 32- x = 30 26) 3 x - 31- x + 4 = 0 x- 2 æö 1÷ ç ÷ 28) ç = 25- x + 9 ÷ ç ÷ 4 è ø 27) 52x - 3 = 2 x- 1 5 + 15 x- 3 x ( ) ( ) 5 3 + 10 3 x - 10 - 84 = 0 æö 1÷ ÷ 29) ç = 65- 2x - 12 ç ÷ ç ÷ è6 ø 30) 31) 101+ x 2 - 101- x 2 = 99 33) 9 x 2 - 2x - x - 7.3 x 2 - 2x - x - 1 = 2 32) 51+ x 2 - 51- x 2 = 24 34) 5.23 x - 1 - 3.25- 3x + 7 = 0 x 32x = 2. ( 0, 3) + 3 x 100 x 35) 9 2x - 2 10 + 4 2 = 4 4 4 37) 8.3 x + x + 9 x + 1 = 9 x 39) 4 3+ 2 cos x - 7.41+ cos x - 2 = 0 36) x- 1 3.2 x +1 - 8.2 x- 1 2 + 4=0 38) 4x + x 2 - 2 - 5.2x - 1+ x 2 - 2 - 6 = 0 40) (7 + 4 3)x - 3(2 - 3)x + 2 = 0 cos x - sin x - lg 7 2 x 41) 8 - 2 3x + 3 x + 12 = 0 2 sin x - 2 cos x + 1 42) 2 æ1 ö ÷ ÷ - ç ç ÷ ç ÷ 10 è ø + 52 sin - 2 cos x + 1 = 0 Bài 6. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn số dạng 1, loại đặt ẩn phụ không hoàn toàn): Trang 15 Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 x- 2 1) 3.16 - ( 3x - 10) .4 ( ) x- 2 + 3- x = 0 ( 2) 8 - x .2x + 23- x - x = 0 ) x 2 x 2 3) 9 + x - 3 .3 + 2 1 - x = 0 2x x 4) 3 + 2 ( x - 2) .3 + 2x - 9 = 0 2x - 3 - ( 3x - 10) .3x - 2 + 3 - x = 0 5) 3 x x 7) 25 - 2 ( 3 - x ) .5 + 2x - 7 = 0 6) 4 x + 2x .2 x - 6x = 9 x- 2 x- 2 8) 3.25 + ( 3x - 10) .5 + 3 - x = 0 x x 9) 3.4 + ( 3x - 10) .2 + 3 - x = 0 x x 10) 9 + 2 ( x - 2) .3 + 2x - 5 = 0 x- 2 x- 2 11) 3.25 + ( 3x - 10) .5 + 3 - x = 0 12) 4x 2 + 3 x x 13) 4 + ( x - 8) 2 + 12 - 2x = 0 x x 14) ( x + 4) .9 - ( x + 5) .3 + 1 = 0 2 2 ( 2 ) 1 x + 31+ x = 2.3 x .x 2 + 2x + 6 - x - x 16) 9 - ( x + 2) .3 - 2 ( x + 4) = 0 2 x 2 x 2 15) 4 + x - 7 .2 + 12 - 4x = 0 Bài 7. 1) 3) 5) 1 Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 2: chia cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất): 2) 4.9x + 12x - 3.16x = 0 8x + 18x = 2.27 x 2 2 4) 9x - 1 - 36.3x - 3 + 3 = 0 8.4x + 9x = 6x + 1 6) 6.9x - 13.6x + 6.4x = 0 125x + 50x = 23x + 1 x 7) 4.3x - 9.2x = 5.6 2 8) 6.32x - 13.6x + 6.22x = 0 9) 64.9x - 84.12x + 27.16x = 0 10) 4- x + 6- x = 9- x 12) 25x + 10x = 22x + 1 1 11) 3.16x + 2.81x = 5.36x 1 1 1 13) 27x + 12x = 2.8x 1 1 14) 6.9 x - 13.6 x + 6.4 x = 0 Bài 8. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3): x x x2 x2 æ ö æ ö ÷ ÷ ç 1) 2 + 3 + 2 - 3 = 4 2) ç 7 + 48 + 7 48 ÷ ÷ ç ç ÷ è ÷ = 14 è ø ø ( ) ( ) x æ ö 3) ç 5 + 2 6÷ ÷ ç ÷+ è ø x æ 3 5) ç 3+ ç ç è ö 8÷ + ÷ ÷ ø æ 7) ç 4ç è ö 15 ÷ ÷+ ÷ ø ö 8÷ =6 ÷ ÷ ø x æ ç ç 4+ è 2- 3 + 2+ 3 6) ö 15 ÷ ÷= 2 2 ÷ ø x ( ) ( ) 11) ( 2 + 3 ) + ( 7 + 4 3 ) ( 2 - 3 ) 9) 4) 6. x æ3 ç ç 3ç è x x x æ ö ç 5- 2 6÷ ÷ ç ÷ = 10 è ø ( ) = 14 x x =4 x ( ( ) x 5+1 - 2 8+ 3 7 ) tan x x æ3 8) ç 3+ ç è ö 8÷ ÷+ ÷ ø æ 10) ç 2+ ç è ö 3÷ + ÷ ÷ ø ( 12) 2 + x )( 3 5- ( ) 5- 1 x ( + 8- 3 7 ( 13) 7 + 4 3 ( ( - 3. 2 x æ 15) ç 6ç è 17) 3 + ) ö 35 ÷ ÷ ÷+ ø 5 ) x 3 ( + 2=0 ö 35 ÷ ÷ ÷ = 12 ø 5 ) x = 2x + 3 = 16 x ö 8÷ ÷- 6 = 0 ÷ ø æ ç 2ç è ö 3÷ =4 ÷ ÷ ø 21 ) x x ( + 7 5- 21 ) x = 2x + 3 x æ ö æ ÷ 7 - 3 5ö ÷ ç7 + 3 5 ÷ ç ÷ ç 14) ç + 7. ç =8 ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç 2 è 2 ø è ø x æ ç ç 6+ è + 16. 3 - ) x ) t an x æ3 ç ç 3è x x = 2x + 2 ( 16) 2 + ( 18) 3 + 3 5 ) ( x - 1) x 2 ( + 2- ) + ( 3 - 5) 3 x ) x 2 - 2x - 1 = 4 2- 3 - 7.2x = 0 Bài 9. Giải các phương trình mũ sau (đưa về phương trình tích hoặc phương pháp đánh giá): Trang 16 Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit 1) 25.2 - 10 + 5 = 25 x x 2) x - 8x + 2.4x + 2x - 2 = 0 2 x- 1 x x x x- 1 4) x .3 + x 3 - 2 = 2 2 - 3 ( 3) 3.8x + 4.12x - 18x - 2.27 x = 0 2 ( ) x ) ( ) 2 2 5) 2 x = sin x 2 6) 2x + 7) 16 - x 2 = 2x + 2- x 9) 52x + 1 + 7x + 1 - 175x - 35 = 0 11) 2x 2 + x - 4.2x 2 - x - 22x + 4 = 0 8) sin 2 x .2cos 2x + 0, 5. sin 2 2x + cos 2x = 1 15) 2x + 3x = 1 + 6x 14) 4x - 3x + 2 + 4x + 6x + 5 = 42x + 3x + 7 + 1 2 x- 1 x x x x- 1 16) x .3 + x 3 - 2 = 2 2 - 3 4 3 = 21- x 10) x 2 .2x - 1 + 2 x - 3 + 6 = x 2 .2 x - 3 + 4 + 2x + 1 12) 8 - x .2x + 23- x - x = 0 2 2 2 ( 2 15) 4x 2 + x + 21- x 2 = 2( x + 1) + 1 ) ( ) 19) 3x + 2x = - 3x 2 + 2 18) 22( x + x ) + 21- x 2 - 22( x + x ).21- x 2 - 1 = 0 20) x 2 .3x + 3x .(12 - 7x ) = - x 3 + 8x 2 - 19x + 12 x 4 21) 2 = cos x , ( x ³ 0) 22) 3x y 17) 4 sin x - 21+ sin x cos ( xy ) + 2 = 0 23) 3 sin x 2 2 2 = - x 2 + 6x - 6 æ3 ö 2 çx - x ÷ ÷ = 3x + 3- x 24) 2 cos ç ÷ ç ÷ ç 2 è ø = cos x - 6x + 10 x2 + 1 x 2 26) 22x - x = 25) 3x 2 = cos 2x 2 2 27) 5x 2 = cos 3x 28) (x 2 - 4x )x - 10 = (4 - x )x - 10 Bài 10.Giải các phương trình mũ sau (sử dụng tính đồng biến và nghịch biến): x x æö æö 1 1 1 3 ÷ ÷ ÷ ÷ 1) ç 2) ç =x =ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 2 x è2 ø è3 ø x æö 1÷ ÷ 3) ç =x + 1 ç ÷ ç ÷ è3 ø 4) 2x = 3 2 + 1 5) 7) 9) 11) 13) 15) 6) 8) 10) 12) 14) 16) x 2x = x + 2 3x = 11 - x 3x = 5 - 2x 3x = 4 - x 4x + 7x = 9x + 2 52x + 1 - 53x - x + 1 = 0 x æö 3÷ 7 ç 17) ç ÷ + = 2x ÷ ç ÷ 5 è ø 5 18) 2x + 5x = 7 x x x 20) 9 + 2 ( x - 2) 3 + 2x - 5 = 0 19) 2x + 3x + 5x = 10x x x ( 3 - 2) + ( 3 + 2) = ( 5) 23) ( 3 + 5 ) + 16. ( 3 - 5 ) = 2 25) ( 2 - 3 ) + ( 2 + 3 ) = 4 21) x x 7 6- x = x + 2 2- x + 3x + 10 = 0 2x + 1 - 4x = x - 1 2x + 1 - 4x = x - 1 6x + 2x = 5x + 3x 3x + 8x = 4x + 7 x x x x+ 3 x x ( 22) 3 + 2 2 x ) + (3- 2 2 ) x = 6x 24) 3x - 3- x + 2x - 2- x - 6- x = - 2x + 6 æ 26) ç 2+ ç è Trang 17 x ö 3÷ ÷ ÷+ ø æ ç 2ç è x ö 3÷ = 2x ÷ ÷ ø Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 1- x 27) 2 2 x2 1- 2 x - 2 29) 2x - 1 - 2x 2 x2 - x x- 2 2x = 28) 9x + 15x = 10x + 14x 30) 2 = (x - 1)2 3- x = - x 2 + 8x - 14 cos2 x 31) 3.4 + ( 3x - 10) .2 + 3 - x = 0 x x 32) (2 + 2) sin 2 x - (2 + 2) cos2 x + (2 - 2) cos2 x æ 1ö ÷ = ççç1 + ÷ ÷ çè ø 2÷ Bài 11.Tìm tham số m để các phương trình sau có nghiệm: 1) 9x + 3x + m = 0 3) 4x - 2x + 1 = m 2) 9x + m .3x - 1 = 0 x - x 4) 2 + ( m + 1) .2 + m = 0 5) 25x - 2.5x - m - 2 = 0 x 2x 6) 16 - ( m - 1) .2 + m - 1 = 0 7) 25x + m .5x + 1 - 2m = 0 2 2 9) 34- 2x - 2.32- x + 2m - 3 = 0 8) 81sin x + 81cos x = m 10) 4 x + 1+ 3- x - 14.2 x + 1 + 2 2 2 11) 9x + 1- x - 8.3x + 1- x + 4 = m 12) 91+ 1- x - ( m + 2) .31+ Bài 12.Tìm tham số m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 2 1) m .2x + 2- x - 5 = 0 3) ( ) x 5 + 1 + m. ( ) 5- 1 x 3- x 1- x + 8=m 2 + 2m + 1 = 0 2) m .16x + 2.81x = 5.36x x x æ ö æ ö 7 + 3 5 ÷ 7 3 5 ÷ ç ç ÷ ÷ 4) ç + m .ç =8 ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç 2 2 ÷ ÷ ç ç è ø è ø = 2x 5) 4x - 2x + 3 + 3 = m 6) 9x + m .3x + 1 = 0 Bài 13.Tìm tham số m để các phương trình mũ sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu: x x 2 x x+1 1) 49 + ( m - 1) .7 + m - 2m = 0 2) ( m + 1) .4 + ( 3m - 2) .2 - 3m + 1 = 0 x x 3) 9 + 3 ( m - 1) .3 - 5m + 2 = 0 4) ( m + 3) .16 x + ( 2m - 1) .4x + m + 1 = 0 x x 5) 4 - 2 ( m + 1) .2 + 3m - 8 = 0 6) 4x - 2x + 6 = m Bài 14.Tìm tham số m để các phương trình: 1) m .16x + 2.81x = 5.36x có hai nghiệm dương phân biệt. x x x x 2) 16 - m .8 + ( 2m - 1) .4 = m .2 có ba nghiệm phân biệt. 2 2 3) 4x - 2x + 2 + 6 = m có ba nghiệm phân biệt. 2 2 4) 9x - 4.3x + 8 = m có ba nghiệm phân biệt. Bài 15.Giải phương trình và tìm tham số. ( 1) Cho phương trình: 2 + 3 x ) ( + 2- a) Giải phương trình ( * ) khi m = 4 . ( 3 ) x = m ( *) b) Tìm m sao cho phương trình ( * ) có 2 nghiệm phân biệt. ) x x 2) Cho phương trình: 4 - 4m 2 - 1 = 0 ( * ) a) Giải phương trình ( * ) khi m = 1 . b) Tìm m để phương trình ( * ) có nghiệm. x x 3) Cho phương trình: m .9 + 3 ( m - 1) 3 - 5m + 2 = 0 ( * ) a) Giải phương trình ( * ) khi m = 2 . b) Tìm m để phương trình ( * ) có 2 nghiệm trái dấu. 4) Cho phương trình: m .16x + 2.81x = 5.36x ( * ) Trang 18 Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit a) Giải phương trình ( * ) khi m = 3 b) Tìm m để phương trình ( * ) có duy nhất một nghiệm. 5) Cho phương trình: 4x + 4m .2x + 2m + 2 = 0 ( * ) a) Giải phương trình ( * ) khi m = - 1 . b) Giải và biện luận phương trình ( * ) theo tham số m . x x 6) Cho phương trình: m .4 - ( 2m + 1) .2 + m + 4 = 0 ( *) a) Giải phương trình ( * ) khi m = 0 . b) Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. ù. c) Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm x Î é ê ë- 1;1ú û x x+1 7) Cho phương trình: 4 - m .2 + 2m = 0 ( * ) a) Giải phương trình ( * ) khi m = 2 . b) Tìm tham số m để phương trình ( * ) có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 và thỏa mãn x 1 + x 2 = 3 . Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Phương trình logarit cơ bản Với a > 0, a ¹ 1 : loga x = b Û x = a b 2. Một số phương pháp giải phương trình logarit Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a ¹ 1 : ìï f ( x ) = g ( x ) ï loga f ( x ) = loga g ( x ) Û ïí ïï f ( x ) > 0 hay g ( x ) > 0 ïî ( ) Mũ hóa: Với a > 0, a ¹ 1 : loga f ( x ) = g ( x ) Û f ( x ) = a g( x ) Đặt ẩn phụ. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Đưa về phương trình dạng đặt biệt. Phương pháp đối lập. 3. Lưu ý Khi giải phương trình logarit, cần chú ý đến điều kiện để phương trình có nghĩa. Nếu điều kiện ấy quá phức tạp, ta không nên tìm ra chi tiết. Hiển nhiên, khi tìm được nghiệm nên thế vào điều kiện để kiểm tra nghiệm. ìï a logb c = c logb a ï Với a, b, c > 0 và a, b, c ¹ 1 thì: í ïï b = a loga b ïî Các công thức logarit thường sử dụng: æö b÷ ÷ CT.2 loga b - loga c = loga ç ç CT.1 loga b + loga c = loga ( b.c ) ÷ ç ÷ èc ø ìï b. log b Nếu β lẻ a CT.3 loga bb = ïí ïï b. loga b Nếu β ïî chẳn CT.4 loga b b = Trang 19 1 . loga b b Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 loga c 1 CT.6 logb c = logb a loga b Bài 1. Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số): CT.5 loga b = 1) log 3 ( 2x - 1) = - 2 ( 2) log2 ( x + 2) - log2 ( x - 2) = 2 ) 2 3) log x + 2x - 3 + lg ( x + 3) = lg ( x - 1) 4) 2 log25 ( 3x - 11) + log5 ( x - 27 ) = 3 + log5 8 3 5) log5 x + log 0,2 x + log 3 25 x = 7 6) log2 x + log2 ( x - 1) = 1 x- 5 + log2 x 2 - 25 = 0 8) log4 ( log2 x ) + log2 ( log 4 x ) = 2 x+5 Bài 2. Giải các phương trình logarit (đưa về cùng cơ số): ( 7) log2 ( ) ) ( ) x 1) log2 9 - 2 = 3 - x x+1 2) log3 3 - 26 = 2 - x 3) log4 ( x + 3) - log2 x - 1 = 2 - log4 8 æ 4 xö ÷ 4) log4 ç - log2 ( 4x ) + 10 = 0 ç ÷ ÷ ÷ ç è4 ø 2 2 5) 2 log3 ( x - 2) + log3 ( x - 4) = 0 6) 2 3 3 3 log 1 ( x + 2) - 3 = log 1 ( 4 - x ) + log 1 ( x + 6) 2 4 4 4 2 2 6 2ù 1 é log2 ( 3x - 4) . log2 x 3 = 8 log2 x + êlog2 ( 3x - 4) ú 2 êë ú 3 û Bài 3. Giải các phương trình logarit sau (Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ): 1 2 2 + =1 1) log2 x - 4 log2 x + 3 = 0 2) 5 - log x 1 + log x 4 7 =1 3) logx 2 - log4 x + = 0 4) ( 2 - log 3 x ) . log9x 3 1 - log 3 x 6 7) log2 x - 2 + log2 x + 5 + log 1 8 = 0 ( ) ( ) x x+1 5) log2 2 + 1 . log2 2 + 2 = 2 ( 8) 6) log23 x + ) log23 x + 1 - 5 = 0 Bài 4. Giải các phương trình logarit sau (dùng công thức biến đổi hoặc mũ hóa): ( ) 1) log2 x + log 3 x + log4 x = log20 x x x 2) lg 6.5 - 25.20 - lg 25 = x 2 3) 5x 2 + 22.x log5 15 - 5.3log5 ( 5x ) = 0 4) x 3 lg 5) 8 ( log2 x 2 - 8 ) = ( x - 2) 3 x- 2 lg x 3 = 100 3 10 - 2 log0,04 ( 3- 4 x 2 ) 3 + log 1 4x = 0 6) 5 2 8 3 Bài 5. Giải các phương trình logarit sau (Sử dụng tính đơn điệu của hàm số): 2 1) log x + 3x - 4 = log ( x + 4 ) + 2 - x 2) 3log( x + 7) = x ( ) 2 3) ( x - 4) log5 ( x - 2) + ( 2x - 11) log5 ( x - 2) - 6 = 0 4) x log2 25 - x 2 .5log2 x = x log2 x ( 5) log2 1 + ) ( x = log 3 x 6) log2 1 + ) x = log 7 x æx 2 + x + 1 ö ÷ ç ÷ ln = x 2 + 4x + 3 ç 8) ÷ 2 ç ÷ ç2x + 5x + 4 ø è x2 + x + 3 = x 2 + 3x + 2 7) log 3 2 2x + 4x + 5 2x + 1 (x - 1)2 Bài 6. Giải các phương trình logarit sau : 2 9) 2x - 8x = log2 3 10) x log2 9 = x 2 .3log2 x - x log2 3 Trang 20 Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit 3 5 1) 10 log 3 x . log2 x = 15 + 2 log 3 x - 5 log2 x 2) 2 log2 x - ln x = 2 ln x . log x - log x 2 3) x ln x = x ( 3 - x ) - 2 ( 1 - ln x ) 4) ( x - 4) log5 ( x - 2) + ( 2x - 11) log 5 ( x - 2) = 6 Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: 2 ù 1) y = x - ln 1 + x trên é ê ú ë0;2û ( 2 x ù 2) y = x - x - 1 e trên é ê ú ë0;2û é 1 ù x 2 - ;2ú 4) y = - ln x - x + 2 trên ê ê 2 ú 2 ë û ) ( 2 ù 3) y = x ln x trên é ê ú ë1;e û 5) y = x2 2 5 ( ( ) ) ù 6) y = e 2x - 4e x + 3 trên 1 + x 2 trên é ê ë- 1; 3ú û - ln x + 2 ù 7) y = x - 2 ln x + 3 trên é ê ú ë0;2û ( ) 2x 8) y = 2x - e trên é ê ë7 - 2x æ 2 -x +x+ 10) y = e ç ç è 2 ) 2 - x 9) y = x .e trên [ 0;1] ln x + 1 trên é 1;e 3 ù 3 ë û x 1- x 2 13) y = e ( x + x + 1) trên [ - 1;2 ] æx ö 7 ÷trên ée - 5;e ù 15) y = ln x . ln ( e x ) . ln ç ç ÷ ë û èe 8 ø é0; ln 4ù ê ú ë û 1; ln 2ù ú û ö ÷ trên [ - 2;0] ÷ ÷ ø 2 12) y = ln ( 2x - 5x + 3) trên [ 2;3] 11) y = 3x 2 14) y = e ( x + x - 3) trên [ - 1;2] 2 16) y = x - 4 ln(1 - x ) trên [ - 2; 0] é1 2 ù 2 17) y = x ln x + 2 trên ê 3 ;e ú ê ú ëe û e 2x - 4e x + 1 18) y = 2x e + ex + 1 x - x 19) y = e + 4e + 3x trên [ - 1;2 ] 20) y = 2 x 21) y = x e trên 2 x 22) y = ( x - 3x + 1) e trên [ - 3;0] [ - 3;2 ] ln 2 x 3ù trên é ë1;e û x 2 x- 2 2 trên [ - 2; 3] 23) y = ( x + 4x + 1) .e 24) y = ln ( x + x + 2) trên [ 3;6] Bài 8. Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số): x x - 1) ù 1) log2 é ê ú= 1 ë( û 3) ln x + ln ( x + 1) = 0 2) log2 x + log2 ( x + 1) = 1 7 + 2 log 3 ( x - 2) ù 4) log3 é ê ú= 2 ë û 2 6) log5 (x + 1) + log 1 5 = log5 (x + 2) - 2 log 1 (x - 2) 5) log5 x + log25 x = log0,2 3 7) lg(x + 6) - 5 1 lg(2x - 3) = 2 - lg 25 2 8) log5 x = log5 (x + 6) - log 5 (x + 2) 9) log2 ( x - 2) - 6. log 1 3x - 5 = 2 10) log2 ( x - 3) + log2 ( x - 1) = 3 8 11) log4 ( x + 3) - log 4 ( x - 1) = 2 - log 4 8 13) 2 log8 ( x - 2) - log8 ( x - 3) = ( ) 2 3 2 15) log3 x - 6 = log 3 ( x - 2) + 1 25 12) lg ( x - 2) + lg ( x - 3) = 1 - lg 5 14) lg 5x - 4 + lg x + 1 = 2 + lg 0,18 16) log2 ( x + 3) + log2 ( x - 1) = Trang 21 1 log5 2 Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 17) log4 x + log 4 ( 10 - x ) = 2 18) log5 ( x - 1) - log 1 ( x + 2) = 0 19) log2 ( x - 1) + log2 ( x + 3) = log2 10 - 1 20) log9 ( x + 8) - log 3 ( x + 26) + 2 = 0 5 Bài 9. Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số): 1) 2 log2 ( ) x 2 + 1 + x + log0,5 ( ) x2 + 1 - x = 3 3) log3 x + log 3 x + log 1 x = 6 5) log4 x + log 1 x + log 8 x = 5 2 2) log2 (x + 3) + log0,5 5 = 2 log 0,25 (x - 1) - log2 (x + 1) ( ) ( ) 2 2 4) 1 + lg x - 2x + 1 - lg x + 1 = 2 lg ( 1 - x ) 3 ( ) ( ) 2 2 6) 2 + lg 4x - 4x + 1 - lg x + 19 = 2 lg ( 1 - 2x ) 16 log 1 ( x - 1) + log 1 ( x + 1) = 1 + log 1 ( 7 - x ) 7) log2 x + log 4 x + log 8 x = 11 8) 9) log2 log2 x = log 3 log 3 x 10) log2 log3 x = log 3 log2 x 11) log2 log3 x + log 3 log2 x = log 3 log 3 x 12) log2 log3 log4 x = log 4 log3 log2 x 13) log2 x + log 3 x + log 4 x = log20 x 14) log2 x + log3 x + log5 x = log2 x . log 3 x . log5 x 3 x3 1 - log 3 = + log2 x x 2 3 é(x + 3) ù 2 ú= 0 17) lg(x + 2x - 3) + lg ê ê(x - 1) ú ë û é2 log (4 - x )ù 0,25 ê ú û 19) log( x + 3) 6 + ë =1 log2 (x + 3) æ xö x ÷ + log2 2 =0 16) log 1 ç ç1 - ÷ ÷ ÷ ç 2 4 è ø 2 15) (log2 x ). log3 log 2x + log2log 4x = 2 21) log4 2 2 2 x 2 - 1). log3 (x + x 2 - 1) = log6 (x - 18) log2 (x - é ù cos x ú= 0 20) log2 t an x + log 4 ê ê2 cos x + sin x ú ë û 1 x ù 22) log4 2 log 3 é ê1 + log2 1 + 3 log2 û ú=2 ë 24) ln ( x + 1) + ln ( x + 3) = ln ( x + 7 ) { )} ( 23) lg ( 2x + 1) + lg ( 3 - x ) = 2 lg x Bài 10.Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số): ( ) (6+ 7 ) =1+ x (9- 2 ) = 5 ( ) ( 12 - 2 ) = 5 - x ( 5 - 25 ) = 2 ( 5 - 25 ) = - 2 x 1) log2 9 - 2 = 3 - x 3) log7 5) log2 7) log2 9) log2 11) - x log5 3- x x x x+1 x+1 log 1 x x ( ) ( 4.3 - 1) = 2x - 1 ( 3.2 - 1) - 2x - 1 = 0 ( 26 - 3 ) = 2 ( 3.2 - 5) = x ( 6 - 36 ) = 2 x 2) log3 3 - 8 = 2 - x 4) log3 6) log2 8) log5 10) log4 12) 6 x- 1 x x x+1 log 1 x+1 x 5 Bài 11.Giải các phương trình logarit (đưa về cùng cơ số): 2 2 1) log5- x x - 2x + 65 = 2 2) logx - 1 x - 4x + 5 = 1 ( ( ) ) ( ( 2x ) 2 3) logx 5x - 8x + 3 = 2 4) logx + 1 5) logx - 3 ( x - 1) = 2 6) logx ( x + 2) = 2 Trang 22 3 ) + 2x 2 - 3x + 1 = 3 x 2 - 1) Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit ( ) 2 ( ( (x ) ( 2 9) logx 2x - 7x + 12 = 2 11) logx 2 ) 2 10) logx 2x - 3x - 4 = 2 ) ( ) 2 12) log3x + 5 9x + 8x + 2 = 2 - 2 =1 ( ) 2 8) logx + 3 x - x = 1 7) log2x x - 5x + 6 = 2 15 =- 2 1 - 2x 16) logx 2 + 3x ( x + 3) = 1 ) 2 13) log2x + 4 x + 1 = 1 14) logx 15) logx 2 ( 3 - 2x ) = 1 ( ) 2 17) logx 2x - 5x + 4 = 2 16 64 18) logx 2 + logx = 3 Bài 12.Giải các phương trình logarit (đặt ẩn phụ, dạng đặt ẩn phụ hoàn toàn): 2 1) - log3 x + 2 log2 x = 2 - log x . 2) log2 x - 4 log2 x + 3 = 0 . 3) log3 ( 27x ) - 3 log 3 x - 1 = 0 . 4) log23 x + 2 5) log 2 x + 3 log2 x + log 1 x = 2 . 6) logx 2 - log4 x + 2 2 7) log 1 4x + log2 2 x2 =8 8 . 9) logx 2 16 + log2x 64 = 3 . 11) log7 x - logx 1 = 2. 7 3 log2 x = 17) log22 x + 2 log 4 4 . 3 1 = 0. x 2 19) log5 x + 4 log25 5x - 5 = 0 . 21) logx 2 3 + log9 x = 1 . 23) log 25) 3 logx ( x - 2) . log 5 x = 2 log 3 ( x - 2) . 5x = - logx 5 . 27) logcos x 4. log cos2 x 2 = 1 . 29) 7 = 0. 6 2 8) log 2 x + 3 log2 x + log 1 x = 0 . 2 10) log5 x - logx 1 = 2. 5 12) 2 log5 x - 2 = logx 13) 3 log2 x - log2 4x = 0 . 15) log2 3 x + log23 x + 1 - 5 = 0 . 1 3 + = 1. 5 - lg x 3 + lg x 1 . 5 14) 3 log3 x - log3 3x - 1 = 0 . 2 . 3 2 18) log2 ( 2 - x ) - 8 log 1 ( 2 - x ) = 5 . 16) log2 3 x - 3 log2 x = 4 9 + logx2 5 . 4 x x+1 22) log3 3 - 1 . log 3 3 - 3 = 6 . 20) logx 24) log2 5 + logx 5x = ( (2 x ) ( + 1) . log ( 2 x+1 2 ) + 2) = 2 . 26) logsin x 4. log cos2 x 2 = 4 . 1 2 + = 1. 4 - lg x 2 + lg x 1 2 + =1. 30) 4 + log2 x 2 - log2 x 28) 2 2 31) 4 log 4 x + 2 log 4 x + 1 = 0 . 3 2 32) logx 10 + logx 10 - 6 logx 10 = 0 . 33) logx 5 5 - 1, 25 = logx2 5 . x 2 x 34) log2 5 - 1 . log4 5 - 1 = 1 . 2 35) log2 ( 2x ) . log2x 2 = 1 . 36) log2 Trang 23 ( (3 x ) ( + 3) - 4. log ) 3x + 3 2 = 0. Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 37) log 2 2 + log2 4x = 3 x . 38) 39) log2x x 2 - 14 log16x x 3 + 40 log 4x x = 0 . 41) 2 lg x 2 = - lg x + . lg x - 1 lg x - 1 ( ) ( x 2 - 1 . log 3 x + 43) log2 x - logx 3. log x 3 + log x 3 = 0 3 . 81 40) log2 x + 1 - logx + 1 64 = 1 . 42) log 1 x - 2 + 3 = log 1 x + 1 . 3 ) x 2 - 1 = log 6 x - 3 x2 - 1 . Bài 13.Giải các phương trình logarit (đặt ẩn phụ, dạng đặt ẩn phụ không hoàn toàn): 2 1) log5 ( x + 1) + ( x - 5) log5 ( x + 1) = 16 2 2) log3 x + ( x - 12) log 3 x + 11 - x = 0 2 3) lg x - lg x . log2 4x + 2 log2 x = 0 4) 6.9log2 x + 6.x 2 = 13.x log2 6 2 5) x . log2 x - 2 ( x + 1) log2 x + 4 = 0 2 6) log2 x + ( x - 1) log2 x = 6 - 2x 2 7) ( x + 2) log 3 ( x + 1) + 4 ( x + 1) log3 ( x + 1) = 16 8) 9) logx 2 ( 2 + x ) + log ( x + 3) log ( x + 2) + 4 ( x + 2) log ( x + 2) = 16 10) log ( x + 1) + ( x - 5) log ( x + 1) = 2x - 6 11) log x + ( x - 1) log2 x = 6 - 2x 2 2 ( ) 3 2 3 x =2 2- x 2 3 3 12) 4 log 3 x - 1 - log3 x = 4 ( ) 2 2 13) log2 x + 3x + 2 + log2 x + 7x + 12 - 3 - log2 3 = 0 Bài 14.Giải các phương trình logarit (sử dụng công thức biến đổi, đặt ẩn phụ): 1) 4 log9 x - 6.2log9 x + 2log3 27 = 0 2 3) 2log2 x + 1 = x 2 log3 x - 48 2) 4 log3 x - 5.2log3 x + 2log3 9 = 0 2 4) 2log2 x + 1 + 224 = x 2 log2 x 2 5) log2 x - log2 x + log 3 x - log2 x . log 3 x = 0 6) log7 x = log 3 7) log2 ( x - 3) + log 3 ( x - 2) = 2 8) log3 ( x + 1) + log 5 ( 2x + 1) = 2 ( log6 x ( x = log 3 x 9) log2 x + 3 11) log2 1 + ) = log 6 x ) x +2 ) 10) 4 log7 ( x + 3) = x ) ( ( 12) x log2 9 = x 2 .3log2 x - x log2 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 13) log3x + 7 4x + 12x + 9 + log2x + 3 6x + 23x + 21 = 4 14) 2 log2 x - x + log2 x - log2 x . log2 x - x = 2 15) 3 2 - lg x = 1 - 17) 3 1 - log3 x + 19) x + 3 lg x - 1 1 + log3 x = 1 1 - lg2 x = 10 21) log22 x + log2 x + 1 = 1 x- 1 23) 7 = 6. log7 ( 6x - 5) + 1 ( ) 18) ( ) 20) log23 x + 2 = 3 3 3 log3 x - 2 x 22) 6 = 3 log6 ( 5x + 1) + 2x + 1 24) 52( log5 2+ x ) - 2 = 5log5 2+ x 2) Trang 24 ) x2 - 1 = 2 ( ) 3 + log4 x 2 - 4x + 2 5 - log4 x 2 - 4x = 6 Bài 15.Giải phương trình logarit (sử dụng tính đơn điệu của hàm số): 1) log2 ( 3x - 1) = - x + 1 ( x 2 - 1 + 3 log x + 16) log2 x - log 1 x = x - 4 3 Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit 3) x + log3 x = 4 4) x 2x + log 1 x = 5 2 log5 ( x + 3) 5) log3 = - x + 11 6) 2 7) 3log2 ( x - 3) = x 8) log2 1 + =x ( 9) 2x - 21- x = log2 1- x x 10) x + x ) x = log3 x log2 3 =x log2 5 ; ( x > 0) 11) x 2 + 3log2 x = 5log2 x 12) log5 ( x + 3) = 3 - x 13) log2 ( 3 - x ) = x 2 14) log2 x - x - 6 + x = log2 ( x + 2) + 4 15) x + 2.3log2 x = 3 log x - 3) + log 3 ( x - 2) ù = 15 ( x + 1) 16) 4 ( x - 2) é ê ú ë 2( û 17) 2 log3 cot x = log2 cos x 18) 2 log6 ( ) ( 4 8 x + ) x = log 4 x 1 2 2 20) log3 x + x + 1 - log 3 x = 2x - x log 3 x 4 Bài 16.Giải các phương trình logarit (đưa về phương trình tích hoặc dùng phương pháp đối lập): 1) log2 x + 2 log7 x = 2 + log2 x . log7 x 2) log2 x . log3 x + 3 = 3. log 3 x + log2 x 19) log2 ( 4 x + ) ( x = 2 3) 2 ( log9 x ) = log 3 x . log 3 ( ( ) ) ( ) 2 3 4) ln sin x - 1 + sin x = 0 2x + 1 - 1 2x + 1 + 2 3- 2 x = 6) 2 ) 5) log2 x 2 + x - 1 = 1 - x 2 8 ( 2 log3 4x - 4x + 4 ) Bài 17.Tìm tham số m để các phương trình logarit sau có nghiệm duy nhất: ( x + 3) = log mx lg ( x + mx ) = lg ( 8x - 3m + 3) lg ( 2x - m - 1) + log ( x + 4mx ) = 0 1) log 3) 5) 7) log 9) log3 2) 2 lg ( x + 3) = 1 + lg mx 3 3 ( 2 6) log2+ 1 10 ( x - 2) = log ( mx ) ( x + 4mx ) = log ( 2x - 8) log 2 2 2 3 ) 2 4) lg x + 2mx - lg ( 8x - 6m - 3) = 0 2 2m - 1) 10) log2 3 5+ 2 éx 2 - 2 ( m + 1) x ù+ log ê ú 2ë û (x 2+ 7 2 3 ( 2x + m - 2) = 0 ) + mx + m + 1 + log (x - m + 1) + log2 5- 2 x =0 ( mx - x ) = 0 2 2- 7 Bài 18.Bài toán liên quan đến tìm tham số: x 1) Tìm tham số m để phương trình: log2 4 - m = x + 1 có hai nghiệm phân biệt. ( ) 2 2) Tìm tham số m để phương trình: log3 x - ( m + 2) . log 3 x + 3m - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 thỏa: x 1x 2 = 27 . ( ) ( ) 2 2 2 2 3) Tìm tham số m để phương trình: 2 log4 2x - x + 2m - 4m = log2 x + mx - 2m có hai 2 2 nghiệm phân biệt x 1, x 2 thỏa: x 1 + x 2 > 1 . 4) Cho phương trình: log23 x + log23 x + 1 - 2m - 1 = 0 a) Giải phương trình khi m = 2 é 3ù b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm trên ê1; 3 ú. ë û Trang 25 Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 5) Cho phương trình: ( log22 x + log 1 x 2 - 3 = m log 4 x 2 - 3 ) 2 a) Giải phương trình khi m = 1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x ³ 32 2 6) Cho phương trình: ( m - 1) log 1 ( x - 2) - ( m - 5) log 1 ( x - 2) + m - 1 = 0 2 2 a) Giải phương trình khi m = 2 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1, x 2 thỏa: 2 £ x 1 £ x 2 £ 4 2 7) Tìm tham số m để phương trình: ( m - 3) log 1 ( x - 4) - ( 2m - 1) log 1 ( x - 4) + m + 2 = 0 có 2 2 hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 thỏa: 4 < x 1 < x 2 < 6 . 2 8) Tìm tham số m để phương trình: ( m - 4) log2 ( 2 - x ) - ( 2m - 1) log2 ( 2 - x ) + m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 thỏa: 0 < x 1 < x 2 < 2 . ( 9) Cho phương trình: 4. log2 x ) 2 - log 1 x + m = 0 2 a) Giải phương trình khi m = 0 b) Tìm m để phương trình có nghiệm trên ( 0;1) ( ) 2 10) Cho phương trình: lg x + 2mx - lg ( 2x - m - 1) = 0 . Tìm m để phương trình có duy nhất một nghiệm. Bài 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 1. Bất phương trình mũ Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ. éìïa > 1 êï êíï f x > g x ( ) êï ( ) f (x) g( x ) a >a Û êïî . Tương tự với bất phương trình dạng: êïìï 0 < x < 1 êí êï f ( x ) < g ( x ) ê ëïïî éa f ( x ) ³ a g( x ) ê ê f (x) g( x ) êa a Û ( a - 1) ( M - N ) > 0 . Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: + Đưa về cùng cơ số. + Đặt ẩn phụ. ìï y = f ( x ) đồng biến trên thì: ï + Sử dụng tính đơn điệu: í ïï y = f ( x ) nghịch biến trênthì: ïî 2. Bất phương trình logarit Khi giải bất phương trình logarit, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số logarit. Trang 26 Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit éìïa > 1 êï êíï f x > g x > 0 ( ) êï ( ) loga f ( x ) > loga g ( x ) Û êïî ìêï 0 < a < 1 êïí êï 0 < f ( x ) < g ( x ) ê ëïïî Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: + loga B > 0 Û ( a - 1) ( B - 1) > 0 loga A + loga B > 0 Û ( A - 1) ( B - 1) > 0 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit: + Đưa về cùng cơ số. + Đặt ẩn phụ. 3. Hệ phương trình mũ và logarit Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như: Phương pháp thế. Phương pháp cộng đại số. Phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số. Bài 1. Giải các bất phương trình mũ sau: 9x 2 - 17 x + 11 æö 1÷ 1) ç ÷ ç ÷ ç ÷ è2 ø x 7 - 5x 2x æö 1÷ x+1 ç ÷ 2) ç > 3 ÷ ç ÷ è9 ø æö 1÷ ÷ ³ ç ç ÷ ç ÷ è2 ø 2x 2 + x + 1 x+1 3) 3 x+2 +5 ³ 3 x+2 æ2 1 ö 4) ç ÷ x + ÷ ç ÷ ç ÷ 2ø è x+1 +5 1- x æ2 1 ö ÷ £ç x + ÷ ç ÷ ç ÷ 2ø è Bài 2. Giải các bất phương trình mũ sau: 2x - x 2 1) 9x 2 - 2x æö 1÷ ÷ - 2ç ç ÷ ç ÷ è3 ø 1 1 3) 2x + 4.5x - 4 < 10x 4) 5) 2 6) 9 x - 21- x x 2 - 2x - x 1 1 - 3x - 1 - 7.3 8) 32x - 8.3x + x+ 4 x 2 - 2x - x - 1 - 9.9 x+ 4 2) 3 x + 4 + 2 2x + 4 > 13 32- x + 3 - 2x 4) ³ 0 4x - 2 3) 3.2x + 7.5x > 49.10x - 2 Bài 4. Giải các bất phương trình logarit sau: x 2 - 3x + 2 log ³ 0 1) 1 x 2 æ x2 + x ö ÷ çlog ÷ < 0 2) log0,7 ç ÷ 6 ç ÷ ç x+ 4ø è Trang 27 £2 > 0 Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 3) 2 log3 ( 4x - 3) + log 1 ( 2x + 3) £ 2 3 ( ) ( Bài 5. Giải các bất phương trình mũ (đưa về cùng cơ số): 2) 16x > 0,125 1) 23- 6x > 1 3) ( 0, 3) x+2 2x 2 - 3x + 6 5) 0,14x 2 7) 8 > 4096 8x - 2x - 2 4 x 2 - 15 x + 13 x2 + 2 8) 2x æö 1÷ 12) ç ÷ ç ÷ ç ÷ è2 ø £2 ( ) ( - 3x + 2 - 6x 10 + 3 2 x- 3 x- 1 ) - 3x + 2 ( < 2 - 3x - 4 < 0 10 - 3 ) 1- x æö 1÷ ÷ 5x + 1 - 5x + 2 19) < 3x æö 2 ÷2+ 5x 25 10) ç ÷ < ç ÷ ç ÷ 4 è5 ø x- 1 x 2 - 2x 2 - 3x - 4 6x - 5 4- 3x æö 1÷ ÷ 3- x 6) 0, 2 x 2 - 1 > 25 £ 0,12x + 3 æö 1÷ 9) ç ÷ ç ÷ ç ÷ è2 ø 11) æö 1÷ 4) ç ÷ ç ÷ ç ÷ è3 ø < 0, 00243 x+1 x+ 3 16) 3 x + 3 x - 1 - 3 x - 2 £ 11 18) 62x + 3 £ 2x + 7.33x - 1 20) 21) 9x + 9x + 1 + 9x + 2 < 4x + 4x + 1 + 4x + 2 23) 2x + 2 + 5x + 1 £ 2x + 5x + 2 ( ) 2+1 x+1 ³ ( ) 2- 1 x x- 1 22) 7.3x + 1 + 5x + 3 £ 3x + 4 + 5x + 2 24) 2x - 1.3x + 2 > 36 Bài 6. Giải các bất phương trình mũ (đặt ẩn phụ): 1) 3 x + 3 x - 1 - 3 x - 2 < 11 3) 4- x + 0,5 - 7.2- x - 4 < 0 5) 2x - 1 - 1 2x + 1 + 1 2) 2x + 2- x - 3 < 0 4) 52 x + 5 < 5 x - 1 + 5 1 1 < x+1 6) x 3 +5 3 - 1 < 2 1 7) 2.14x + 3.49x - 4x ³ 0 2 1 1 1 + 92x - x 2 10) 8.3 19) 4x + 21) ( 2 +1 x- 1 3+ - 5.2x + 2 x ) +( 1 x+4x + 91+ 4 x > 9 x +1 ³ 34.252x - x x - 1+ 1 3- + 16 ³ 0 2 ) x x 12) 52x + 1 + 6x + 1 > 30 + 5x .30x 14) 27 x + 12x > 2.8x 15) 49 x - 35 x £ 25 x 17) 252x - x x 8) 4 x - 1 - 2 x - 2 - 3 £ 0 9) 4x - 22( x - 1) + 8 3 ( x - 2) > 52 11) 25.2x - 10x + 5x > 25 13) 6x - 2.3x - 3.2x + 6 ³ 0 £2 2 ) x x- 2 4) log5 4 + 144 - 4 log5 2 < 1 + log 5 2 + 1 16) 3x + 1 - 22x + 1 - 12 2 < 0 18) 32x - 8.3x + x + 4 - 9.9 x + 4 > 0 1 1 1 1 20) 2 x + 1 + 22- x < 9 22) 2 x + 1 + 22- x < 9 Trang 28 Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit 2 x 1 +1 x æö æö 1÷ 1÷ ç 23) ç ÷ ÷ + 3. ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ è3 ø è3 ø 25) 3x > 12 11.3x - 1 - 31 ³ 5 4.9x - 11.3x - 1 - 5 x- 1 æö 1 ÷ æö 1÷ ÷ ÷ 24) ç - ç - 128 ³ 0 ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ è8 ø ÷ è4 ø 26) 21- x - 2x + 1 2x - 1 £0 Bài 7. Giải các bất phương trình mũ (sử dụng tính đơn điệu): x 21- x - 2x + 1 1) 2x < 3 2 + 1 2) £0 2x - 1 3) 5) 2.3x - 2x + 2 x x £1 3 - 2 2- x 3 + 3 - 2x 4x - 2 4) 3 ³ 0 6) x+ 4 2x + 4 +2 3x + x - 4 x2 - x - 6 > 13 > 0 Bài 8. Giải các bất phương trình logarit (đưa về cùng cơ số): é ù æ x2 + x ö ÷ 2 ç ú³ 0 ÷ log x x 6 log < 0 çlog6 1) log 8 ê 2) ÷ 0,5 ç ê 1 ú ÷ ç x + 4 è ø ê ú 3 ë 2 û 2 élog ( log 9) ù> 0 x- 1 ê 2 ú 3) log 1 log 4 x - 5 > 0 4) log 1 ë û ( ( ) )) ( 2 3 5) log3 ( 1 - 2x ) ³ log 3 ( 5x - 2) 6) log5 ( 1 - 2x ) < 1 + log 7) log2 ( 1 - 2 log9 x ) < 1 8) log5 ( 1 - x ) < log5 9) log 1 5 - x < log 1 ( 3 - x ) æ 2x - 3 ö ÷ ÷ ³ 0 ç 10) log 2 ç ÷ ÷ ç x + 1 è ø 3 3 3 11) 2 log8 ( x - 2) + log 1 ( x - 3) > 8 2 3 12) ( x + 1) ( x + 3) 5 log2 log 1 log5 x > 0 3 æ 1 + 2x ö ÷ ÷ log2 > 0 ç 14) log 1 ç ÷ ç ÷ 1+ x ø è 13) log2 ( 3x + 4) > log2 ( 5 - 2x ) 3 15) log0,4 élog x 2 - 5 ù> 0 ú 16) log 1 ê ë 4 û x+7 < log 0,4 ( 5 - x ) 2x + 3 ( ( ) 2 18) log 1 ( x + 4) < log 1 x + 2x - 2 17) log7 ( 2 - x ) £ log7 ( 3x + 6) ( ) 3 3 ) 2 19) x - 4 log 1 x > 0 3 2 20) 6log6 x + x log6 x £ 12 2 21) log2 ( x + 3) ³ 1 + log2 ( x - 1) 2 22) 2( log2 x ) + x log2 x < 0 Bài 9. Giải các bất phương trình logarit sau: 1) 3) ( )0 lg x 2 - 3x + 2 lg x + lg 2 log2 ( x + 1) - log 3 ( x + 1) 4) logx Trang 29 3x - 1 x2 + 1 > 0 3 > 0 Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 5) x log2 x + x 5 logx 2- log2 x - 18 < 0 ( ) ) 2 9) log x x - 8x + 16 ³ 0 5 2 5 > 0 11) log x 5( 1 - x ) 2x + ( x 4 8) log3x - x 2 ( 3 - x ) > 1 x 7) logx log 4 2 - 4 £ 1 ( 6) log3 x . log2 x < log 3 x 2 + log2 ( ) 2 10) log2x x - 5x + 6 < 1 12) logx - 1 ( x + 1) > logx 2 - 1 ( x + 1) ) ( ) 2 13) 4x - 16x + 7 log3 ( x - 3) > 0 x x 14) 4 - 12.2 + 32 log2 ( 2x - 1) £ 1 15) log2x 64 + logx 2 16 ³ 3 2 16) logx 5x - 8x + 3 > 2 17) logx 19) logx 3 ( 5x ) 2 - 18x + 16 > 2 4x + 1 ( 2 18) log9x 2 6 + 2x - x ( < 0 6 ( x + 1) ( ) )³ 4 ) 2 20) logx + 1 x + x - 6 ³ 0 Bài 10.Giải các bất phương trình logarit (đặt ẩn phụ): 1) log2 x + 2 logx 4 - 3 £ 0 2) log5 ( 1 - 2x ) < 1 + log 3) 2 log5 x - logx 125 < 1 4) log2x 64 + logx 2 16 ³ 3 5) logx 2. log2x 2. log2 4x > 1 2 2 6) log 1 x + log 1 x < 0 7) log4 x log2 x 2 + > 1 - log2 x 1 + log2 x 1 - log22 x 2 9) log 1 x - 6 log2 x + 8 £ 0 2 11) 1 2 + log 3 3x 2 + 4x + 2 ( ) ( ) 1 log x > 0 1 + log3 x 2 100 Bài 11.Giải các bất phương trình logarit (sử dụng tính đơn điệu của hàm số): 2 x x x 1) ( x + 1) log0,5 x + ( 2x + 5) log 0,5 + 6 ³ 0 2) log2 2 + 1 + log3 4 + 2 £ 2 13) >1 14) logx 100 - ( 3) 3 log2 ( x + 1) > 5) log7 x < log 3 - x- 2 7) 2 ( 2 ( ) 5+ x 4) 5- x < 0 x 2 - 3x + 1 lg log3 ( x + 1) x +2 ) ) . log2 (4x - x 2 - 2) ³ 1 6) log2 8) Bài 12.Giải các hệ phương trình mũ sau: ìï 3x = 2y + 1 ìï 2x + 2y = 12 ï ï 1) í 2) í y ïï x + y = 5 ïï 3 = 2x + 1 ïî ïî Trang 30 ( ) ( ) x 2 - 5x + 5 + 1 + log3 x 2 - 5x + 7 £ 2 log5 (x 2 - 4x - 11)2 - log11 (x 2 - 4x - 11) 3 2 - 5x - 3x 2 ìï 2x + 2y = 5 ï 3) í x + y ïï 2 =4 ïî ³ 0 Chương 2 − Mũ − Bài tập giải tích 12 Lôgarit ìï 2x = 4y ï 4) í x ïï 4 = 32y ïî ìï 2x + 2y = 3 ï 7) í ïï x + y = 1 î ìï - 2x ïï 4 + 42y = 1 10) í 2 ïï x + y = 1 ïïî ìï x - 3y = 1 ï 5) í 2 ïï x + 3y = 19 ïî ìï 2x .5y = 20 ï 8) í x y ïï 5 .2 = 50 ïî ìï 2y = 200.5y ï 11) í ïï x + y = 1 î 12) ìï 64x + 642y = 12 ï 13) ïí x + y ïï 64 =4 2 ïî ìï 3x .5y = 75 ï 14) í y x ïï 3 .5 = 45 ïî 15) ìï x + 2y + 1 = 3 ï 16) í ïï 4x + 4y = 32 ïî ìï x ïï 3.2 + 2.3y = 11 4 17) ïí ïï x 3 y ïï 2 - 3 = 4 ïî ìï y 2 = 4x + 2 ï 18) í x + 2 ïï 2 + y + 1 = 0 ïî ìï ( x - y ) 2 - 1 ï4 =1 19) ïí 3x - 2y - 3 ïï 5 = 125 ïî ìï 3x - 3y = ( y - x ) ( xy + 2) ï 22) í 2 ïï x + y 2 = 2 ïî ìï x x + y = 128 ï 20) í 3x - 2y - 3 ïï 5 =1 ïî ìï x 2 + y .2y - x 2 = 1 ï 23) ïí ïï 9 x 2 + y = 6x 2 - y ïî ìï x + y = 2 ìï 7x - 16y = 0 ï ï 2 25) í x 26) ïí y ïï 4 - 49 = 0 ïï ( x + 1) y + y + 2 = 1 ïî ïî 4 ìï x 4 + y .3y - x = 1 ìï 4x - 3y = 7 ïï ï 28) í 29) í x x 4 4 x y ïï 8(x + y ) - 6 ïï 4 .3 = 144 =0 ïî ïî x x + y ìï 3 x + 1 - 2y = - 4 ìï 2 + 2.3 = 56 ï ï 31) í x 32) ïí x + 1 x+y+1 ïï 3.2 + 3 ïï 3 = 87 - 2y + 1 = - 1 ïî ïî Bài 13.Giải các hệ phương trình logarit sau: ìï x + y = 2 3 ìï log y + log x = 2 ï x y 1) ïí 2) ïí 2 ïï log ( xy ) = 1 ïï x - y = 20 3 ïî ïî ( ( ) ( ) ) ìï log ( 3x + 2y ) = 2 ï x 4) í ïï logy ( 2x + 3y ) = 2 ïî ìï log ( 6x + 4y ) = 2 ï x 5) í ïï logy ( 6y + 4x ) = 2 ïî ìï log x 2 + y 2 = 5 ï 2 7) í ïï 2 log4 x + log2 y = 4 ïî ìï log xy = 5 ïï 2 x 8) ïí ïï log 1 = 1 y ïïî 2 ( ) Trang 31 6) 9) 21) 24) 27) 30) 33) ìï x y - 1 = 8 ï í 2y - 6 ïï x =4 ïî ìï x y 2 - 7y + 10 = 1 ï í ïï x + y = 8, ( x > 0) ïî ìï x y ïï 3 .2 = 1 í ïï y - x = 92 ïïî ïìï 3x - 2y 2 = 77 ï y2 í x ïï 2 2 ïïî 3 - 2 = 7 ìï 23x + 1 + 2y - 2 = 3.2y + 3x ïï í ïï 3x 2 + 1 + xy = x + 1 ïî ìï 2( x 2 - 1) 2 ïï 4 - 4.4x - 1.2y + 22y = 1 í 2y ïï 2 - 3.4x 2 - 1.2y = 4 ïî ìï 32x - 2y = 77 ïï y í ïï 3x - 2 2 = 7 îï ìï 2x + 3y = 17 ï í x ïï 3.2 - 2.3y = 6 ïî ïìï 2x - 2y = ( y - x ) ( xy + 2) í 2 ïï x + y 2 = 2 ïî ìï log x + log y = 1 + log 9 4 4 ï 4 3) í ïï x + y - 20 = 0 î æ x÷ ö ïìï ÷ 1 = 2 - log2 y ïï log2 ç ç ÷ ç ÷ ï y è ø 6) í ïï log x + log y = 4 3 3 ïï 2 2 ïî ìï xy = 64 ï 9) í ïï logx y = 5 î Chương 2 − Mũ − Lôgarit Bài tập giải tích 12 ìï x log2 y + y log2 x = 16 ìï log x - log y 2 = 1 ï ï y 2 10) í 11) í ïï log 4 x - log4 y = 1 ïï log2 x - log2 y = 2 î ïî ìï 3.x log2 y + 2.y log2 x = 10 ìï x log3 y + 2.y log3 x = 27 ï ï 13) í 14) í ïï log 3 y - log3 x = 1 ïï log 4 x 2 + log2 y = 2 ïî ïî ìï log ( xy ) = 4 ìï ïï 2 ïï log x + log y = 5 ï x æ 2 16) í 17) í y xö ÷ ïï log2 ç ï ÷ 2 2 = 2 ç ÷ ï ÷ ç ïïî ïïî log6 x + y = 1 èy ø ìï log ( x - y ) = 5 - log ( x + y ) ìï log y = 2 ïï 2 2 ï x ï 19) í lg x - lg 4 20) í ïï ïï logx + 1 ( y + 23) = 3 =- 1 ïî ïïî lg y - lg 3 ìï ìï log ( x - y ) = 1 ïï log y - log2 x = 1 ï xy y 22) í xy x 23) í ïï ïï logxy ( x + y ) = 0 log y - x ) = 1 ïî ïîï 2 ( ìï y + 2 lg x = 3 ìï y + log x 2 = 2 ï ï 25) í 26) ïí ïï y + 4 lg x = 28 ïï y - 3 lg x 2 = 1 ïî ïî ìï 2 ( log x + log y ) = 5 ìï log x - log y 2 = 1 ï ï y 2 y x 28) í 29) í ïï xy = 8 ïï log 4 x - log4 y = 1 î ïî Bài 14.Giải các hệ phương trình mũ – logarit: ìï 3x .2y = 18 ïìï 3- x .2y = 1152 ïï ï 1) í log 2) í log ( x + y ) = - 1 =2 ïï ïï 1 5( x + y ) ïî 3 îï ìï 2log 2 x = y 4 ìï 3x 2 + y 2 = 81 ï ï 4) í 5) í ïï log2 x + 2 log 4 y = 1 ïï log x - log y = 1 2 ïî ïî 2 ìï y = 1 + log x ìï xy = 40 4 ï ï 7) í y 8) í lg y ïï x = 4096 ïï x = 4 ïî ïî ìï 2log0,5 ( x + y ) = 5log5 ( x + y ) ìï log ( xy ) = log x 2 ïï ï x y ï 10) í 11) ïí 2 logy x 1 ïï log x + log y = ïï y = 4y + 3 2 ïî ïïî 2 2 ( ) ìï x + y x y ìï ï y x ï( x + y) = ( x - y) 4 = 32 ï ï 13) í 14) í ïï log x - log y = 1 ïï log x - y = 1 - log x + y 2 ( ) ( ) ïî 2 3 ïïî 3 log3 2 ìï log3 ( xy ) ïï 4 = 2 + ( xy ) 16) í 2 ïï x + y 2 - 3x - 3y = 12 ïî ìï x log3 y + 2y log3 x = 27 ï 17) í ïï log 3 y - log3 x = 1 ïî Trang 32 ìï log x 2 + y 2 + 6 = 4 ï 2 12) í ïï log 3 x + log3 y = 1 ïî ìï log ( 2x + y - 2) = 2 ï x 15) í ïï logy ( 2y + x - 2) = 2 ïî ( ) ìï lg2 x = lg2 y + lg2 ( xy ) ï 18) í 2 ïï lg ( x - y ) + lg x . lg y = 0 ïî ìï lg x 2 + y 2 = 1 + lg 8 ï 21) í ïï lg ( x + y ) - lg ( x - y ) = lg 3 ïî ( ) ìï log x + log y = 2 y x 24) ïí 2 ïï x + y = 12 î ìï log ( x + y ) - log ( x - y ) = 1 ï 3 27) í 2 2 ïï x - y = 1 ïî ìï x - y = ( log y - log x ) ( 2 + xy ) ï 2 2 30) í 3 ïï x + y 3 = 16 ïî ìï 3x .2y = 972 ï 3) í ïï log ( x - y ) = 2 3 ïî ìï 3lg x = 4 lg y ï 6) ïí lg 4 lg 3 ïï ( 4x ) = ( 3y ) ïî ìï x log8 y + y log8 x = 5 ï 9) í ïï log 4 x - log4 y = 1 ïî ìï 2 log x - 3y = 15 ï 2 12) í y ïï 3 . log2 x = 2. log2 x + 3y + 1 ïî x - 2y ìï x- y æö ïï 1 ÷ ÷ =ç ç ï 3 ÷ ç ÷ 15) í 3ø è ïï ïï log2 ( x + y ) + log2 ( x - y ) = 4 î ìï log xy = log x 2 x y 18) ïí 2 logy x ïï y = 4y + 3 ïî ( ) Bài tập giải tích 12 Lôgarit ìï lg x + lg y = 4 ï 19) í lg y ïï x = 1000 î 4 ìï ïï x y + x = y 3 22) ïí 4 ïï x + y 3 y = x ïï î ìï x + y + a = 1 ï 25) í a 2 x + y - xy ïï 2 .4 =2 ïî Chương 2 − Mũ − ìï ìï x x - 2y = 36 ïï ( x + y ) .3y - x = 5 ï 20) í 21) í 27 ïï 4 ( x - 2y ) + log6 x = 9 ïï 3 log x + y = ) x- y ïî ïïî 5( x ìï 1 1 ìï x x + y = y 12 ïï .9 y = 9 2y ïï ï ï x+y = x 3 23) í y 24) ïí 3 ïï ïï x + 3y 2x = - 4 ïï x , y > 0 ïï î y ïî x ìï 5 ìï ïï log x + log y = 5 ï 2 xy log x = x ï x y 2 26) í y 27) í ïï ïï log y . log y - 3x = 1 2 2 ) 4 y ( ïïî log6 x + y = 1 ïî ( ) Trang 33 [...]... gii tớch 12 Lụgarit ỡù b > 0 x ù Vi a > 0, a ạ 1 thi a = b ớ ùù x = loga b ợ 1.2) Phng phap giai mụt sụ phng trinh mu thng gp A Vấ CUNG C Sễ & LOGARIT HOA o a vờ cung c sụ: Dung cac cụng thc mu va luy tha a vờ dang a f ( x ) = a g( x ) f (x) g( x ) =a f (x) = g(x) Vi a > 0, a ạ 1 thi a ộa = 1 M N ờ a a = a a 1 M N = 0 Trng hp c sụ co cha õn thi: ( )( ) ờM = N ờ ở f x gx f x gx o Logarit hoa:... ờ f (x) g( x ) ờa a ( a - 1) ( M - N ) > 0 Ta cung thng s dung cac phng phap giai tng t nh ụi vi phng trinh mu: + a vờ cung c sụ + t õn phu ỡù y = f ( x ) ụng biờn trờn thi: ù + S dung tinh n iờu: ớ ùù y = f ( x ) nghich biờn trờnthi: ùợ 2 Bõt phng trinh logarit Khi giai bõt phng trinh logarit, ta cõn chu y ờn tinh n... nghiờm trờn khoang ( a, b) hoc oan ộờởa, bựỳỷ Ta lam theo phng phap ụ thi ham sụ nh sau: t a , t b ự + Biờn ụi vờ phng trinh ai sụ dang f ( t , m ) = 0, " t ẻ ộ ờ ở( ) ( ) ỳ ỷ + Tach tham sụ m ra khoi biờn sụ va t vờ con lai la g ( t ) ự + Tinh g ' ( t ) va lõp bang xet dõu g ' ( t ) trờn ộ ờt ( a ) , t ( b) ỷ ỳ ở + Da vao bang biờn thi n, biờn luõn hay tim tim tham sụ m ờ phng trinh co n nghiờm ( Bi... cua f ( x ) va g ( x ) ờ kờt luõn x o la nghiờm duy nhõt: o f ( x ) ụng biờn va g ( x ) nghich biờn o f ( x ) n iờu va g ( x ) = c (hng sụ) Nờu f ( x ) ụng biờn (hoc nghich biờn) trờn D va u, v ẻ D thi f ( u ) = f ( v ) u = v Lu y: Ham sụ bõc nhõt: y = ax + b , ( a ạ 0) Ham sụ mu: y = a x ụng biờn khi: a > 0 ụng biờn khi: a > 1 Nghich biờn khi : a < 0 Nghich biờn khi: 0 < a < 1 Bi 1 Giai... phng trinh co nghia Nờu iờu kiờn õy qua phc tap, ta khụng nờn tim ra chi tiờt Hiờn nhiờn, khi tim c nghiờm nờn thờ vao iờu kiờn ờ kiờm tra nghiờm ỡù a logb c = c logb a ù Vi a, b, c > 0 va a, b, c ạ 1 thi: ớ ùù b = a loga b ùợ Cac cụng thc logarit thng s dung: ổử bữ ữ CT.2 loga b - loga c = loga ỗ ỗ CT.1 loga b + loga c = loga ( b.c ) ữ ỗ ữ ốc ứ ỡù b log b Nờu le a CT.3 loga bb = ùớ ùù b loga b Nờu... 2 M Bi tp gii tớch 12 Lụgarit ỡù A = 0 2 2 ù Tụng hai sụ khụng õm: A + B = 0 ớ ùù B = 0 ợ Phng phap ụi lõp: Xet phng trinh: f (x ) = g(x ) ( 1) ỡù f (x ) M ỡù f (x ) = M ù ù Nờu ta chng minh c ớ thi ( 1) ớ ùù g(x ) Ê M ùù g(x ) = M ợ ợ Bi 1 Giai phng trinh (a vờ phng trinh tich sụ): 1) 25.2x - 10x + 5x = 25 2) 12.3x + 3.15x - 5x + 1 = 20 3) 1 + 12x = 3x + 4x 4) 12 + 6x = 4.3x + 3.2x Bi 2 Giai... Trang 26 Chng 2 M Bi tp gii tớch 12 Lụgarit ộỡùa > 1 ờù ờớù f x > g x > 0 ( ) ờù ( ) loga f ( x ) > loga g ( x ) ờùợ ỡờù 0 < a < 1 ờùớ ờù 0 < f ( x ) < g ( x ) ờ ởùùợ Trong trng hp c sụ a co cha õn sụ thi: + loga B > 0 ( a - 1) ( B - 1) > 0 loga A + loga B > 0 ( A - 1) ( B - 1) > 0 Ta cung thng s dung cac phng phap giai tng t nh ụi vi phng trinh logarit: + a vờ cung c sụ + t õn phu 3 Hờ phng trinh ... dang a f ( x ) = a g( x ) f (x) g( x ) =a f (x) = g(x) Vi a > 0, a thi a ộa = M N a a = a a M N = Trng hp c sụ co cha õn thi: ( )( ) ờM = N f x gx f x gx o Logarit hoa: a ( ) = b ( ) loga... a co cha õn sụ thi: a > a ( a - 1) ( M - N ) > Ta cung thng s dung cac phng phap giai tng t nh ụi vi phng trinh mu: + a vờ cung c sụ + t õn phu ỡù y = f ( x ) ụng biờn trờn thi: ù + S dung... log6 7) log7 10 v log11 13 8) log2 v log 9) log9 10 v log10 11 Bi Chng minh cỏc ng thc sau (vi gi thit cỏc biu thc ó cho cú ngha) 1) bloga c = c loga b 2) logax ( bx ) = loga b + loga x + loga x