Giải một bài toán hình KG

BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN ma th . Bài 1. Đề thi ĐH khối A năm 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a. Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM. Biết SH vuông góc với √ mặt phẳng ( ABCD ) SH = a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDN M khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a. NHẬN XÉT VÀ HƯỚNG DẪN TÌM LỜI GIẢI: Đây toán tương đối đơn giản nặng tính toán. Khi tiếp cận toán có vài nhận xét sau Nếu theo hướng không sử dụng hình học giải tích (HHGT). (Hình vẽ 1) Vì đề mơi sẵn khoảng cách (k/c) từ đỉnh S xuống đáy nên muốn tính thể tích ham muốn tự ma th . nhiên kiểm soát diện tích mặt đáy hình chóp cần tính thể tích. Mặt đáy môt tứ giác nhìn chả có đặc biệt (nhòm hình trên), nhiên lọt tõm vào hình vuông đáy phần bù tam giác vuông, nên thay cho việc húc đầu vào tính trực tiếp tốt ta chơi trò tính diện tích hình vuông trừ diện tích hai tam giác râu ria kia. Chuyện tính khoảng cách hai đường chéo phương pháp cổ điển dựng đoạn vuông góc chung. Tuy nhiên hoàn cảnh này, xem hình ta bị khiêu khích cảm giác DM vuông góc với (SHC ) H, nên d( DM, SC ) = d( H, SC ). Chuyện tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng có cách tiện dùng diện tích, khoảng cách từ H tới SC chẳng qua độ dài đường cao hạ từ H tam giác HCS. Cái tam giác HSC ý lại tam giác vuông H. Thế ngon!! Nếu định lắp hệ tọa độ để phang này, câu hỏi đặt hệ tọa độ vào đâu? Theo xúi bẩy http://www.math.vn/ showthread.php?t=9112 ta cần soi mói xem “có quan hệ vuông góc nào” mặt đáy chúng ta. Với giả thiết có tính“mời anh xơi” đề thi ĐH này, chẳng khó hiểu mà bạn gí gốc tọa độ vào bốn đỉnh hình vuông đáy. OK! ổn thôi! Có điều tọa độ S chơi vơi hai ẩn x; y hoành, tung độ nó. Bây dán mắt vào hình ta "cảm thấy" dường DM vuông góc với CH H. Thêm H chân vuông góc hạ từ S xuống đáy. Vậy tiện ta gắn mẹ gốc tọa độ vào H . ma th (Hình vẽ 2) ạ!? Tuy nhiên :D, việc bạn, kẻ bảo thủ đại lãn gắn mẹ gốc vào D cho tàu nhanh. Cơ mà có câu hỏi nhỏ nhé! “Cớ lại không gắn vào A, B, C mà lại dí vào D” >:) Đã làm theo phương pháp tọa độ, bạn đối mặt với tính toán dễ gây nhầm lẫn dể dẫn đến thương đau điểm số bạn cẩu thả. Trên thực tế giảng dạy cá nhân tôi, học trò thường mau mắn thụ giáo chiêu pháp (PPTĐ) này. Biết cách làm việc, làm việc đến kết chuyện khác. Khi học trò thi thố biết kết nhận điểm hình, thường xoa đầu nói với giọng trầm buồn linh mục “Không em ơi, đời thằng chó chả phải vấp, em thiếu may mắn thôi, em biết làm tiếc nhầm lẫn tính toán thôi” Nhưng thú thiệt, bụng chửi thầm “Đáng đời mày lắm! Con lợn!!” =)) Bạn biết đấy! Người ma th . ta tuyển bạn vào ĐH tuyển thiên tài, mà tuyển người sau biết làm việc làm nên việc. Cứ õng õng ẹo dớ da dớ dẩn đừng có ảo tưởng với đời khắc bỉ này! Nếu sử dụng vector để công, có vài ý muốn trao đổi sau: (Hình vẽ 3) Khi sử dụng phương pháp vector toán hình học không gian, mặt nguyên tắc bạn cần xác định điểm gốc hệ sở gồm ba vector không đồng phẳng, sau hùng hục tìm cách biểu diễn vector đấu điểm liên quan đến toán tới gốc theo hệ sở chọn. Việc chọn gốc hệ sở hợp lý, xinh xắn bí để có lời giải vector hiệu quả. Thường thi ba vector lấy làm sở ba vector "nào đó" chung gốc (đã chọn) tóe từ gốc đó. ma th . Phương pháp vector nói ngôn ngữ thô phương pháp tọa độ. Ví von chẳng đáng phương pháp vector giống ngôn ngữ nhị phân phương pháp tọa độ tựa hồ ngôn ngữ Pascal lập trình. Về chất phương pháp tọa độ gọi “phương pháp vector với hệ sở trực chuẩn”, việc sử dụng hệ tọa độ dễ gây sung sướng cho toán định lượng. Một ngôn ngữ thô phương pháp vector tất nhiên có mạnh mẽ phương pháp tọa độ, nhiên mệt mỏi vô chừng cho tính toán định lượng ta gặp toán mà định lượng hình học dính dáng tới tích có hướng. Có lẽ bạn chưa thông thạo việc vui chơi với tích có hướng nên đọc thêm chút xíu giảng http://www.math. vn/showthread.php?t=8824 Bạn tránh thoát việc bị bối rối phép tính với tích có hướng cách kiểm soát chân đường vuông góc. Thí dụ bạn định tính khoảng cách hai đường thẳng chéo DM SC, bạn gọi IK đường vuông góc chung. Sau bạn đấu gốc chọn tới hai điểmI, K sau đó, công việc thời gian không khó biểu diễn vector đấu theo hệ sở chọn. BA LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN TRÊN: Giải 1 SH.S MNDC ; = S ABCD − S∆ AMN − S∆ MBC Chúng ta thấy rằng: S MNDC VS.CDN M = a a 5a2 − a= . 2 a = a2 − 2 Vậy nên có: . ma th (Hình vẽ 1) √ √ 5a2 3a3 VS.CDN M = a 3. = (đơn vị thể tích). 24 Lại nhận thấy là: −−→ −→ −→ −→ −→ −→ DM.CN = DA − DC . DC − DA = DA2 − DC2 = 0. 2 Ấy nên là: CN ⊥ DM từ SC ⊥ DM đó: SH.CH SH.CH 2S =√ . d(SC; DM ) = d( H; SC ) = ∆HSC = SC SC SH + CH Bây chừ để ý rằng: 2S (S ABCD − S∆AMD − S∆CMB ) CH = ∆CMD = DM DM 2 a a √ 2a2 − − 2a 2 = = a 2 a + Thay lên ta có khoảng cách cần tính là: d( DM, SC ) = 2a 19 Giải . ma th (Hình vẽ 2) Từ D dựng Dz⊥ ( ABCD ) để có hệ Dxyz hình vẽ. Chúng ta có tọa độ vài điểm liên quan đến toán: a a A ( a; 0; 0) , B ( a; a; 0) , C (0; a; 0) , M a; ; , N ; 0; . −→ −−→ Bây chừ lại để ý H ∈ DM nên DH = h DM Vậy nên dẫn đến H ah; ; . −→ −→ ka Cũng H ∈ CN nên CH = kCN dẫn đến H ; (1 − k) a; . k h Từ mà thấy: h = − k = để có h = nói 2 2a a khác H ; ; . 5 2a a √ Vì hình chiếu S xuống mặt đáy H nên S ; ; a . 5 ma th . Mặt khác thấy rằng: VS.CDMN = VS.CDM + VS.DMN . Mà −→ −−→ −→ DS DM ∧ DN VS.DMN = −−→ −→ a2 DM ∧ DN = 0; 0; − nên √ a2 √ a 3. − a3 VS.DMN = = . 24 Lại thấy: − → 2a 4a √ CS = ; − ; a 5 nên √ − → −−→ a2 √ CS ∧ DM = − ; a 3; a2 Do mà có được: −→ − → −−→ √ DC CS ∧ DM a3 = VS.CDM = 6 Điều dẫn đến: √ 5a3 VS.CDN M = . 24 Cuối ta có: → −−→ −→ − DC CS ∧ DM d (SC; DM ) = − → −−→ CS ∧ DM √ a3 = √ √ a2 − + a2 + ( a2 )2 Rút gọn tính toán ta có được: d (SC; DM) = 2a 19 ma th . Giải (Hình vẽ 3) Chúng ta thấy rằng: −→ −→ −−→ −→ −→ −→ DA − DC DM.CN = DA − AB 2 Tuy nhiên để ý là: −→ −→ AB = DC. Trong thì: −→ −→ −→−→ DA = DC ; DC DA = 0. Do từ < i > có: −−→ −→ DM.CN = 0. Nói khác có ba vector đôi có phương vuông góc, để ý thêm chúng đặt theo thứ tự tam diện thuận < ii >. Đó là: ma th . → −−→ − → −→ −→ − − → η = HC; θ = HM; ζ = HS Bây lại nhận thấy: HC = a cos DCH Và vì: DN tan DCH = = DC Thế nên có: ; HM = DM − DH CH = a √ a 4a2 CN = DM = a2 + ; DH = DC2 − CH = a2 − nên √ 3a . HM = 10 Vì mà có: −→ −−→ −→ NC ∧ DM HS − → − → CN.DM → VS.CDN M = = (− η ∧ θ)ζ 6CH.HM − → − → 25 − = (→ η ∧ θ)ζ < iii > . 72 − → − → → Mặt khác < ii > nên − η ∧ θ hướng với ζ kết hợp thêm < i > thì: − → − → η θ − − → → − → η ∧ θ = ζ. − → ζ Bởi nên: √ − → − → − → − → 3a3 − → − → (η ∧ θ)ζ = η θ ζ = Nếu đem thay lên < iii > dẫn đến: √ 5a3 VS.CDN M = . 24 Lại vì: 10 d (SC; DM ) = − → −−→ −→ SC ∧ HM HS − → −−→ SC ∧ HM . Thêm là: − → − → → − → − → − → − → −−→ → SC ∧ HM = − η − ζ ∧ θ =− η ∧ θ + θ ∧ ζ − → − → − → − → η θ − θ ζ → − → = ζ + η − → − → η ζ Vì mà: √ − → − → − → −−→ −→ 3a3 − → SC ∧ HM HS = η θ ζ = Và để ý thêm rằng: − → − → − − → → − →2 − → −−→ − → → η + θ ζ = θ θ ζ + − η SC ∧ HM = √ 3a2 19 = 10 ma th √ 3a = 10 a √ + a Thay lên để có kết cuối cùng: d (SC; DM) = 2a 11 19 . . LỜI GIẢI: Đây là một bài toán tương đối đơn giản và nặng về tính toán. Khi tiếp cận bài toán này tôi có vài nhận xét sau đây 1 Nếu đi theo hướng không sử dụng hình học giải tích (HHGT). (Hình. math.vn BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN Bài 1. Đề thi ĐH khối A năm 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm. bài toán định lượng. Một ngôn ngữ thô hơn như phương pháp vector tất nhiên sẽ có sự mạnh mẽ hơn phương pháp tọa độ, tuy nhiên sẽ mệt mỏi vô chừng cho các tính toán định lượng nếu ta gặp bài toán