SKKN PT VÔ TỶ PRO CỦA TUẤN ANH

A-ĐẶT VẤN ĐỀ I-LỜI MỞ ĐẦU Toán học là một môn khoa học bản mang tính trưu tương, mô hình ưng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi mọi lĩnh vưc của đơi sống xã hội, khoa học lí thuyết và khoa học ưng dụng. Toán học là môn học giư vai trò quan trọng suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, là môn học khó, khô khan và đòi hỏi học sinh phải có sư nỗ lưc lớn để chiếm lĩnh tri thưc cho mình. Chính vậy, giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung sách giáo khoa, nắm vưng phương pháp dạy học. Để tư tìm biện pháp dạy học có hiệu việc truyền thụ các kiến thưc Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thương xuyên. Giải toán là một vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, lẽ việc giải toán là một việc mà học lẫn dạy thương xuyên phải làm, đăc biệt là đối với học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thưc chủ yếu của việc học toán. Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một chuyên đề xuyên suốt năm học của học sinh, bắt đầu tư bài toán “Tìm x biết .” dành cho học sinh lớp 6, đến việc cụ thể hóa vấn đề về phương trình cuối năm học lớp và hoàn thiện bản các nội dung về phương trình đại số lớp 9. Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt đươc và có kĩ giải phương trình một cách thành thạo. Trong vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ lại là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngơ ngàng và bối rối giải các loại phương trình này. Thưc ra, cũng là một vấn đề khó. Đăc biệt, với học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi là một vấn đề quan trọng mà bắt buộc học sinh này phải vươt qua. Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân lại đươc Nhà trương trưc tiếp giao trách nhiệm bồi dương đội tuyển học sinh giỏi Toán tham dư kì thi các cấp Huyện và Tỉnh, cũng rất trăn trở về vấn đề này. Vấn đề đăt là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình vô tỉ? Và găp bất cư một dạng toán nào về phương trình vô tỉ các em cũng có thể tìm cách giải một cách tốt nhất? Với tất cả lí nêu trên. Tôi quyết định chọn đề tài “Phương pháp giải phương trình vô tỉ cho học sinh giỏi lớp 9” khuôn khổ chương trình bậc THCS. II - THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. 1- Thực trạng Trong năm học vưa qua, đươc Nhà trương phân công giảng dạy đội tuyển HSG khối và đội tuyển Violimpic khối 9. Qua thơi gian giảng dạy thấy các em thiếu hệ thống phương pháp giải phương trình vô tỉ. Nhiều em biến đổi lúng túng, đương lối sai lầm. Thậm chí qua giảng dạy cho đội ngũ học sinh giỏi cho nhà trương thấy các em “hổng” kiến thưc sở như: không đăt cho biểu thưc bậc hai không âm, bình phương hai vế có các đại luơng x nhân biểu thưc căn, điều kiện bình phương hai vế . Thơi gian công tác trương đến đươc năm, thơi gian sâu tìm hiểu nguyên nhân để tìm biện pháp khắc phục. Tôi nhận thấy có số nguyên nhân dẫn đến tình trạng trên: - Phần đông học sinh theo Công giáo làm các em chi phối nhiều thơi gian và tư tưởng vào các hoạt động tín ngương. - Trương THCS Nga Điền thuộc vào vùng ven, xã dài (đến 10 km), kinh tế khó khăn nên việc lại, đầu tư cho học hành hạn chế. Nhiều bậc phụ huynh thưc sư chưa quan tâm đến em mình. - Phòng trào hiếu học Nga Điền chưa thưc sư lớn mạnh nên các em theo trào lưu mà tâm học. - Nhiều cán giáo viên chưa thưc sư nhiệt huyết với công việc, chưa có sư đầu tư nhiều vào giảng dạy. - Kết thực trạng Vì các nguyên nhân trên, dẫn đến chất lương đội ngũ học sinh giỏi mà đăc biệt là đội tuyển học sinh giỏi Toán thấp. - Học sinh sơ găp phương trình vô tỉ. - Không biết loại phương trình vô tỉ thuộc dạng nào, cách giải sao. Cụ thể kết học sinh giỏi khối giải đươc phương trình vô tỉ sau: Lớp Phương pháp Giải Có đường lối giải Không giải 9A Khi chưa áp dụng 20% 40% 40% 9B Khi chưa áp dụng 15% 40% 45% 9C Khi chưa áp dụng 45% 30% 25% Qua kết việc giải đươc phương trình vô tỉ ta thấy số em giải đươc phương trình vô tỉ thấp, số học sinh có đương lối giải và không giải đươc nhiều. Tư thưc trạng vậy, dành nhiều nhiều thơi gian để thử nghiệm phương pháp riêng và bước đầu có dấu hiệu khả quan. B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I -Các giải pháp thực Để thưc hiện, áp dụng số giải pháp sau: -Đối với giáo viên - Nghiên cưu, phân loại các dạng bài tập cho phù hơp với tưng đối tương học sinh và tưng phần kiến thưc cụ thể. - Thưc giảng dạy theo phương pháp là hướng học làm trung tâm. - Thương xuyên an ủi, động viên học sinh quá trình giảng dạy lớp để các em thêm tư tin, hưng thú học tập. -Đối với học sinh - Học và làm bài tập theo yêu cầu giáo viên. II - Các biện pháp để tổ chức thực - Phương pháp nâng lên lũy thưa g(x) ≥ a) Dạng 1: f (x) = g(x) ⇔  f (x) = [g(x)] Ví dụ. Giải phương trình: x + = x − (1)  x ≥ x ≥ ⇔ ⇔  Giải: (1) ⇔   x + = ( x − 1)  x − 3x = ( ) x ≥  x = Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = * Nhận xét Khi giải phương trình dạng học sinh thương mắc sai lầm là không đăt điều kiện cho g(x) ≥ . Chẳng hạn ví dụ không đăt điều kiện x-1 ≥ , dẫn đến phương trìnhx2-3x=0 học sinh trả lơi phương trình có hai nghiệm x1=0, x2=3 thay x1 =0 vào phương trình ta thấy VT=-1, VP=1. Sở dĩ có sai lầm học sinh chưa nắm tính chất lũy thưa bậc hai. b) Dạng 2: f (x) + g(x) = h(x) - Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa:  f ( x) ≥   g ( x) ≥ h ( x ) ≥  - Biến đổi vế phương trình không âm (với phương trình chưa bậc hai) ta bình phương hai vế đế đươc phương trình tương đương. Sau đưa phương trình dạng biết cách giải. Ví dụ. Giải phương trình: x + = − x − (2) Giải. Với điều kiện x ≥ 2. Ta có: (2) ⇔ x + + x − = ⇔ ( x+3 + x−2 ) = 52 ⇔ 2x + + (x + 3)(x − 2) = 25 ⇔ (x + 3)(x − 2) = 12 − x 2 ≤ x ≤ 12 2 ≤ x ≤ 12 ⇔ ⇔x=6  2 25x = 150 x + x − = 144 + x − 24x   ⇔ Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6. c) Dạng 3: f (x) + g(x) = h(x) Cách giải tương tư dạng Ví dụ. Giải phương trình: x + − x − = 12 − x (3) Giải: Với điều kiện ≤ x ≤ 12. Ta có: (3) ⇔ x + = 12 − x + x − ⇔ ( ) ( x +1 = 12 − x + x − ) ⇔ x + = + (12 − x)(x − 7) ⇔ 19x − x − 84 = x − ⇔ 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 ⇔ 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = ⇔ 5x2 – 84x + 352 = VT= 5x −84 x + 352 = (5 x − 44 x) − (40 x − 352) = x(5 x − 44) − 8(5 x − 44) = (5 x − 44)( x − 8) ⇔ x1 = 44 ; x2 = Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 44 ; x2 = 8. d) Dạng 4: f (x) + g(x) = h(x) + k(x) Cách giải tương tư dạng Ví dụ. Giải phương trình: x − x − − x − + x + = (4) Giải: Với điều kiện x ≥ 4. Ta có: (4) ⇔ x + + x = x − + x − 4 ⇔ ( x+9 + x ) =( x −1 + x − ) ⇔ 2x + + x(x + 9) = 2x − + (x − 4)(x − 1) ⇔ + x(x + 9) = (x − 1)(x − 4) ⇔ 49 + x + 9x + 14 x(x + 9) = x − 5x + ⇔ 45 + 14x + 14 x(x + 9) = Với x ≥ ⇒ vế trái của phương trình là một số dương ⇒ phương trình vô nghiệm. e)Dạng 5: Sử dụng lập phương hai vế Ví dụ 1: Giải phương trình x + 34 − x − = (5) Giải: Lập phương hai vế (5) ta đươc ( ) ⇔ = ( x + 34) − 33 ( x + 34)( x − 3 x + 34 − x − − ( x − 3) ⇔ x + 31x − 102 = 12 ⇔ x1 + 31x − 1830 = ⇔ x = 30 ∨ x = −61 Ví dụ 2: Giải phương trình x − + x − = x − (6) Giải : Lập phương hai vế (6) ta đươc ⇔ x − = ( x − 1) + 33 ( x − 1)( x − ) ⇔ ( x − 1)( x − )( x − 3) = ⇔ x = 1∨ x = ∨ x = ( ) x − + x − + ( x − 2) Nhận xét: *Khi giải phương trình vô tỉ có bậc hai ta cần ý - Miền xác đinh - Sau biến đổi vế phương trình không âm (với phương trình chưa bậc hai) ta bình phương vế để đươc phương trình tương đương. - Nếu bước khử vưa chưa khử hết đươc các thưc bậc hai chưa ẩn, ta tiếp tục chuyển vế và đăt điều kiện để bình phương tiếp. * Khi giải phương trình vô tỉ có bậc ba không cần tìm điều kiện cho biểu thưc bậc ba - Trước lập phương nên cô lập thưc vế. MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG Giải các phương trình sau phép nâng lũy thưa 1. x2-4x=8 x − (x=4+2 ) 7 + x − = x (x=2) x x x + − x + = x + − x + 10 (x=-1) x − + x − = x − (x=4;2) x + + x − = 5x 2. x − 3. 4. 5. 3 6. x − = x3 16 − x + (KQ x=0 ∨ x= ±1 ∨ x= ± + 3 ) 2 - Phương pháp đặt ẩn phụ a) Sử dụng ẩn phụ Ví dụ1. Giải phương trình: x + x + = (1) Giải. Đăt x + = y (y ≥ 0) ⇒y2 = x + ⇔ x = y2 – ⇔ x2 = (y2 – 1)2 ⇒ (1) ⇔ (y2 – 1)2 + y – = ⇔ y(y − 1)(y2 + y − 1) = 0.   Tư suy tập nghiệm phương trình là: 0; − 1; Ví dụ 2. Giải phương trình: ( )  −    x − + + x − = − x (2) Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ 1. Đăt x − + = y (2) ⇔ ( ) ( x −1 +1 + ) x −1 +1 − = ⇔ y3 + y2 – = ⇔ (y – 1)(y2 + 2y + 2) = ⇔ y = ⇔ x = b) Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: 2(x2 + 2) = x + (3) Giải. Đăt u = x + , v = x − x + (ĐK: x ≥ −1, u ≥ 0, v ≥ 0). Khi đó: u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2+v2=x2+2 ,u2v2 = x3 + ⇒ (3) ⇔ 2(u2 + v2) = 5uv ⇔ (2u − v)(u − 2v) =  + 37 − 37  ;    Giải ra, xác định x. Kết là: x ∈  Ví dụ 2. Giải phương trình: ( Giải. Điều kiện: x ≥ –2. (4) ⇔ )( ) x + − x + + x + 7x + 10 = (4) ( )( ) x + − x + + (x + 5)(x + 2) = Đăt: x + = a, x + = b (a,b ≥ 0)⇒ a2 – b2 = 3. (4) ⇔ (a – b)(1 + ab) = a – b2 ⇔ (a – b)(1 – a + ab – b) = ⇔ (a – b)(1 – a)(1 – b) = Giải ra: x = –1 là nghiệm nhất. Ví dụ 3. Giải phương trình: x + − 3x = 2x − (5) Giải. Điều kiện: x ≥ 0. Đăt x + = a, 3x =b (a, b ≥ 0): (1) ⇔ a-b=b2-a2 ⇔ (a – b)(a + b + 1) = Mà a + b + > ⇒ a = b ⇔ x = là nghiệm phương trình. + x − = x + 2x − (6) x x x Hướng dẫn Đăt x − = u, 2x − = v (u, v ≥ 0) x x  5   (6)⇔ x − −  2x − ÷−  x − ÷ − 2x − = ⇔ u – (v2 – u2) – v = x  x  x  x Ví dụ 4. Giải phương trình: ⇔ (u – v)(1 + u + v) = 0. Vì + u + v > nên u = v. Giải ta đươc: x = 2. c) Sử dụng ba ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: x − 3x + + x + = x − + x + x + (7) Giải. Điều kiện: x ≥ 2. (7) ⇔ ( x − 1)( x − 2) + x + = x − + ( x − 1)( x + 3) Đăt: x − = a, x − = b, x + = c (a, b, c ≥ 0): (1) ⇔ ab + c = b + ac ⇔ (a – 1)(b – c) = ⇔ a = hoăc b = c. Thay ngươc trở lại ta đươc x = là nghiệm phương trình. Ví dụ 2. Giải phương trình : x = − x. − x + − x. − x + − x. − x Giải. Đăt : u = − x ; v = − x ; t = − x (u ; v ; t ≥ 0) ⇒ x = − u2 = − v2 = − t2 = uv + vt + tu (u + v)(u + t) = (1)  Tư ta có hệ: (v + u)(v + t) = (2) (t + u)(t + v) = (3)  Nhân tưng vế (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ nên: (u + v)(v + t)(t + u) = 30 (4) Kết hơp (4) với lần lươt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến:  v + t =   u + t =   u + v =  30 (5) 30 (6) 30 (7) Cộng tưng vế (5) ; (6) ; (7) ta có: 2(u + v + t) = 31 30 31 30 ⇒ u +v+ t = (8) 30 60 Kết hơp (8) với lần lươt (5) ; (6) ; (7) ta có:  30 u = 60    30  11 30 239 ⇒ x = −  = ÷ v = ÷ 60 120  60    19 30 t = 60  d) Sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình Ví dụ 1. Giải phương trình x − + 2x − = Cách 1: Giải cách bình phương vế ta tìm đươc x=5. u + v = Cách 2: Đăt x − = u ≥ và 2x − = v ≥ 0. Ta có hệ:  2  v − 2u = u = ⇔  u = −12 ⇔ x = 5. Ví dụ 2. Giải phương trình: + x + − x = Giải. Điều kiện: ≤ x ≤ 25. Đăt + x = u , − x = v (u, v ≥ 0): u + v =  u =  u=3 ⇔ v   Giải ta có x = là nghiệm nhất. 2  v =  v=2  u + v = 13 ⇒ Ví dụ 3. Giải phương trình: 25 − x − − x = Giải. Điều kiện: –3 ≤ x ≤ 3: Đăt 25 − x = u, − x = v (u, v ≥ 0) u − v = u − v = u = ⇔ u + v = ⇔  v = . Thế ngươc trở lại: x = là nghiệm   u − v = 16 ⇒  nhất. Ví dụ 4. Giải phương trình: − x + + x = Giải. Điều kiện: – ≤ x ≤ 1. Đăt − x = u ; + x = v (u, v ≥ 0) u + v = ⇒ x = ⇒  x = −3  u + v = Ví dụ 5. Giải phương trình: − x + + x + − x = Giải. Điều kiện: –2 ≤ x ≤ 2: Đăt − x = u, + x = v (u, v ≥ 0) ⇒ (u + v) − 2uv =  (u + v) + uv = Giải ta đươc: (u, v) = {(0 ; 2), (2 ; 0)}. Tư ngươc trở lại: x = ±2 Ví dụ 6. Giải phương trình: 97 − x + x = (8) Giải. Đăt 97 − x = u, x = v (u, v ≥ 0) u + v = u = u =  x = 81 ⇔ ∨  ⇔ v = v =  x = 16  u + v = 97 ⇒ (8) ⇔  Ví dụ 7. Giải phương trình: x + 2x − = 12(x − 1) Giải. Đăt x = u, 2x − = v (1) ⇔ u + v = 4(u + v3 ) ⇔ u + v3 + 3uv(u + v) = 4(u + v ) u = −v ⇔ 3.(u + v).(u − 2uv + v ) = ⇔ 3.(u + v).(u − v) = ⇔  ⇒ kết u = v x=3 ; x=1. * Nhận xét - Giải phương trình vô tỉ phương pháp đăt ẩn phụ giúp ta giải đươc nhiều bài tập khó. Tuy nhiên để đăt cái làm ẩn phụ và có ẩn phụ phải biết nhận xét và tìm mối liên hệ giưa các biểu thưc phương trình - Cần phải có kỹ giải phương trình và hệ phương trình. MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG Giải các phương trình sau cách đăt ẩn phụ 1. x + x − = + x + x 2. x − x + 13 = x − x + (x= 3. x+ x + + x + = ( Đăt 5± ) x+ = y , x=2- ) − 1− 4. x + =2 (Đăt − x = y , x=1, x= ) − x2 5. x3 + = x − x + (Đăt x − = a, x − x + = b ) 6. − x + x − = (Đăt − x = a, x − = b , x=2;10) 7. x3 + = 33 3x − (Đăt 3x − = y , x=1;-2) 8. x2+ x + 2011 = 2011. - Phương pháp trị tuyệt đối hóa Ví dụ 1. Giải phương trình: x − 4x + + x = (1) Giải: (1) ⇔ (x − 2) = − x Với điều kiện x ≤ 8. Ta có: (1) ⇔ |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1) ⇒ – x = – x (vô nghiệm) – Nếu ≤ x ≤ 8: (1) ⇒ x – = – x ⇔ x = Đáp số: x = 5. Ví dụ 2. Giải PT x + + x + + x + 10 − x + = x + − x + (2) Giải: (2) ⇔ x + + x + + + x + − 2.3 x + + = x + − x + + ⇔ ( ) x +1 +1 + ( ) x +1 − = ( ) x +1 −1 ⇔ x + + 1+ | x + − |= 2.| x + − 1| Đăt y = x + (y ≥ 0) ⇒ phương trình đã cho trở thành: y + 1+ | y − |= | y − 1| – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y ⇔ y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y – ⇔ y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y = ⇔ x + = ⇔ x = Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8. * Chú ý - Phương pháp này thương đươc áp dụng biểu thưc bậc hai viết đươc dạng bình phương biểu thưc. - Có phương trình phải biến đổi đươc dạng trên. MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG Giải các phương trình sau phương pháp trị tuyệt đối hóa 10 1. x + x + + x − x + = 2( x ≥ 1) . 2. x + − x x − + x + − x − = ( ≤ x ≤ 11 ) 3. x + x − − x − x − = - Phương pháp sư dụng bất đăng thưc a) Chưng tỏ tập giá trị của hai vế là rơi nhau, đó phương trình vô nghiệm * Phương trình f(x)=g(x) Nếu tập giá trị f(x), g(x) lần lươt là S1, S2 mà S1  S2 = ∅ phương trình vô nghiệm. Ví dụ 1. Giải phương trình x − − 5x − = 3x − Cách 1. Điều kiện x ≥ Với x ≥ thì: Vế trái: x − < 5x − ⇒ vế trái âm Vế phải: 3x − ≥ ⇒ vế phải dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm. Cách 2. Với x ≥ 1, ta có: ⇔ ( x − = 5x − + 3x − ) ( x −1 = 5x − + 3x − ) ⇔ x − = 8x − + (5x − 1)(3x − 2) ⇔ − 7x = (5x − 1)(3x − 2) Vế trái là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ ⇒ phương trình vô nghiệm. b) Sử dụng tính đối nghịch hai vế * Phương trình F(x)=G(x) (1) Nếu F(x) ≥ k dấu xảy x=a. G(x) ≤ k dấu xảy x=b. (k,a,b là các số) - Nếu a=b (1) có nghiệm x=a. - Nếu a ≠ b (1) vô nghiệm. Ví dụ 2. Giải phương trình: 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x (1)     Giải: Ta có (1) ⇔  x + 2x + + ÷ +  x + 2x + + ÷ = −(x + 2x + 1) + 5     ⇔ 3(x + 1) + + 5(x + 1)2 + = − (x + 1) 11 Ta có: Vế trái ≥ + = + = . Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1. c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chưng minh nghiệm đó là nhất) * Ta ngiệm cụ thể phương trình và chưng minh đươc các trương hơp khác ẩn không là nghiệm hệ. Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải: Điều kiện x ≥ x+7 + = 2x + 2x − x +1 Dễ thấy x = là một nghiệm của phương trình – Nếu ≤ x < : VT = + > + mà: VP < + x +1 2x − > 2.22 + = + mà VT < + 1+ – Nếu x > 2: VP = 2x2 + Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm nhất là x = 2. Ví dụ 2. Giải phương trình: 3x − x + − x − = 3x − x − − x − 3x + (2) Giải: Thử với x = 2. Ta có: VT=VP=1- (2) ⇔ ( 3x − x − 1) − 2( x − 2) + ( x − 2) − 3( x − 2) = 3x − x − + x − Nếu x > 2: VT < VP Nếu x < 2: VT > VP Vậy: x = là nghiệm phương trình. Ví dụ 3. Giải phương trình: + =6 3− x 2−x là nghiệm phương trình. < và Ta cần chưng minh là nghiệm nhất. Thật vậy: Với x < : 3− x Giải: Điều kiện: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x = 6 Tương tư với < x < 2: 3− x 2−x Vậy x= là nghiệm phương trình. 12 d) Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đăng thưc chăt Ví dụ. Giải phương trình Giải: Điều kiện x > x 4x − + =2 x 4x − Áp dụng bất đẳng thưc a b + ≥ với ab > b a x 4x − + ≥ . Dấu “=” xảy ⇔ x = 4x − ⇔ x − 4x + = x 4x − ⇔ x − 4x + − = ⇔ (x − 2) = ⇔ x − = ± ⇔ x = ± Với điều kiện x > ⇒ x 4x − > . Nên: MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG Giải các phương trình vô tỉ sau phương pháp sử dụng Bất đẳng thưc 1. x − + − x = x − 10 x + 27 (Kết x=5). 2. x − − x − = x − (Kết Vô nghiệm) 3. x − + x + = (Kết x=3) 4. x + = x − x − (Kết Vô nghiệm) 5. 16 + x −3 + y −1 1225 = 82 − x − − y − − z − 665 (Kết x=19; y=5; z − 665 z=1980) 6. − x + x + = x − x + 13 (Kết x=3) 7. x − + x + + ( x − 1) ( x − 3x + 5) = − x 8. x − + x + = x + 9. x − + − x = 3x − 12 x + 14 (Kết x=2) 10. x − + x − 3x − = x + x + + x − x + (Hướng dẫn: Xét các trương hơp x>-2, x[...]... 7 x + x + 2011 = 2011 ( Hướng dẫn đưa PT về  x 2 +  =  x 2 + 2011 −  2 2   4 2 2 ) 6 - Phương pháp trục căn thưc * Một số phương trình vô tỉ có thể nhẩm đươc nghiệm x=x 0 như vậy phương trình luôn đưa về dạng tích (x-x 0)A(x)=0 Ta có thể giải phương trình A(x)=0 hoăc chưng minh A(x)=0 vô nghiệm Chú ý điều kiện của nghiệm PT để có thể đánh giá A(x)=0 vô nghiệm * Một số ví dụ Ví dụ 1 Giải phương... rơi nhau, khi đó phương trình vô nghiệm * Phương trình f(x)=g(x) Nếu tập giá trị của f(x), g(x) lần lươt là S1, S2 mà S1  S2 = ∅ thì phương trình vô nghiệm Ví dụ 1 Giải phương trình x − 1 − 5x − 1 = 3x − 2 Cách 1 Điều kiện x ≥ 1 Với x ≥ 1 thì: Vế trái: x − 1 < 5x − 1 ⇒ vế trái luôn âm Vế phải: 3x − 2 ≥ 1 ⇒ vế phải luôn dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm Cách 2 Với x ≥ 1,... bài tập về phương trình vô tỉ có trong SGK và SBT Toán 9 - Một số em học tốt hơn có thể giải đươc nhưng phương trình vô tỉ có trong nhưng sách nâng cao, trong các đề thi HSG, trong các đề vào trương Chuyên Lam Sơn - Đại đa số HSG trong khối 9 đã tư tin không sơ sệt khi găp phương trình vô tỉ Nhiều em còn mong muốn GV thương xuyên cho nhiều bài tập về phương trình vô tỉ để giải cho thành... 85% 10% Không giải được 5% 10% 5% 2- Kết luận Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, đọc tài liệu của các đồng nghiệp, đọc sách tham khảo tôi đã đúc rút đươc nhưng kinh nghiệm trình bày ở trên Hy vọng với SKKN: ”Phương pháp giải phương trình vô tỉ cho học sinh 16 giỏi lớp 9” của mình sẽ là một tài liệu tham khảo thiết thưc cho các bạn đồng nghiệp nhằm nâng cao khả năng tư duy sáng... 1 + 3 x 2 + 3x + 2 Giải PT ⇔ ( 3 x + 1 − 1)( 3 x + 2 − 1) = 0 ⇔  x = 0  x = −1 Ví dụ 2 Giải phương trình x + 3 + 2 x x + 1 = 2 x + x 2 + 4 x + 3 Giải Điều kiện x ≥ −1 PT ⇔ ( x + 3 − 2 x )( x + 1 − 1) = 0 13 x = 1 ⇔ x = 0 Ví dụ 3 Giải phương trình: 2x + 1 − x − 2 = x + 3 Giải Điều kiện : x ≥ 2 Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3 Do đó, nhân lương liên hơp vào hai vế của phương trình: x + 3... 2 Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3 Do đó, nhân lương liên hơp vào hai vế của phương trình: x + 3 = 0 (x + 3)( 2x + 1 + x + 2 − 1) = 0 ⇔  ⇒ PT vô nghiệm  2x + 1 + x − 2 = 1 Ví dụ 4 Giải phương trình 2 x + 3 = 9 x 2 − x − 4 Giải Điều kiện x ≥ −3 2 PT ⇔ (1 + 3 + x ) = ( 3x ) 2  x + 3 + 1 = 3x ⇔  x + 3 + 1 = −3 x  x = 1 ⇔  x = − 5 − 97  18  Ví dụ 5 Giải phương trình: x + 1 + 2(x + 1) =... đã cho có một nghiệm x = –1 c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chưng minh nghiệm đó là duy nhất) * Ta chỉ ra một ngiệm cụ thể của phương trình và chưng minh đươc các trương hơp khác của ẩn không là nghiệm của hệ Ví dụ 1 Giải phương trình: Giải: Điều kiện x ≥ x+7 + 8 = 2x 2 + 2x − 1 x +1 1 2 Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình – Nếu 1 ≤ x < 2 : VT... Giải Nhận thấy x=3 là nghiệm PT nên ta biến đổi PT như sau: ( 3 ) x 2 − 1 − 2 + ( x − 3) = x3 − 2 − 5 15 ( )   ( x − 3) x 2 + 3 x + 9 x+3 = ⇔ ( x − 3) 1 +  3 x 2 − 1 2 + 23 x 2 − 1 + 4  x3 − 2 + 5   x+3 x+3 x 2 + 3x + 9 = 1+ VP Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 3 Giải phương trình: 6 8 + =6 3− x 2−x 3 là nghiệm của phương trình 2 3 6 < 2 và Ta cần chưng minh đó là nghiệm duy nhất Thật vậy: Với x < : 2 3− x Giải: Điều kiện: x < 2 Bằng cách thử, ta thấy x = 8 6 Tương tư với < x < 2: 2 3− x 2−x 3 Vậy x= là nghiệm duy nhất của phương trình 2 12 d) Sử dụng điều... ± 3 Với điều kiện x > ⇒ x 4x − 1 > 0 Nên: MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG Giải các phương trình vô tỉ sau bằng phương pháp sử dụng Bất đẳng thưc 1 x − 4 + 6 − x = x 2 − 10 x + 27 (Kết quả x=5) 2 x − 3 − 7 x − 3 = 5 x − 2 (Kết quả Vô nghiệm) 3 3 x − 3 + x + 1 = 3 (Kết quả x=3) 4 x 2 + 6 = x − 2 x 2 − 1 (Kết quả Vô nghiệm) 5 16 + x −3 4 + y −1 1225 = 82 − x − 3 − y − 1 − z − 665 (Kết quả x=19; y=5; z − . ]%,01*DD: 4''3@;+80%31|!=C .|%~A1+ XEF)fmNO`gff X&#;MiiX MAI TUẤN ANH 17 . e%;fgh ;3O*#A%@%H-@;+XF01G )$'$.!%;J=+ bc-;CXEF$'$9@*J J%33.);!+ bXF,#*$'$A);#9#A3 '$%HF#7 @)+ 2 - Kết quả của thực trạng trên Y=)*!* a%;8%,^'4%K A%,):'481+ bL'8'K11=#]+ bi;@1=#],. **+.)*%%*P Q !L>M+ II - THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. 1 1- Thực trạng O#.%[%X&1!7