Phần I: Lý do nghiên cứu 1-Cơ sở lý luận: Trong quá trình phỏt triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ sung và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội. Vì vậy mỗi người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra. Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình vô tỉ không nhiều song lại rất quan trọng. Đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT. Khi giải toán về phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về căn thức, phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đại số. . . Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp. “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ ”giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán. Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh. 2. Cơ sở thực tiễn: Phương trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết giải phương trình vô tỉ như thế nào?có những phương pháp nào? Các bài toán về phương trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành các phương pháp nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên. Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải phương trình vô tỉ hiện nay còn ít giáo viên nghiên cứu. Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS. II-Mục đích nghiên cứu: + Nghiên cứu về “phương pháp giải phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS”. Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả. + Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học phần phương trình vô tỉ trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng cao chất lượngdạy và học môn toán. + Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành công về phương trình vô tỉ. III- Nhiệm vụ nghiên cứu: 1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường. 2. Hệ thông hoá một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. 3. Tìm hiểu mức độ và kết quả đật được khi triển khai đề tài. 4. Phân tích rut ra bài học kinh nghiệm. IV- Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: 1. Đối tượng nghiên cứu: a. Các tài liệu b. Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trường THCS Gia Sơn ~ 1 2. Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp để giải phương trình vô tỉ thường gặp ở THCS. V- Phương pháp nghiên cứu: 1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu. 2. Phương pháp điều tra, khảo sát. 3. Phương pháp thử nghiệm 4. Phương pháp ttổng kết kinh nghiệm VI- Giả thuyết khoa học: Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích học dạng toán này hơn Phần II: Nội Dung A- Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ: * Khái niệm: Phương trình vô tỉ là phương trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức (ở đây tôi chỉ đề cập đến những phương trình mà ẩn nằm dưới dấu căn bậc hai và căn bậc ba) * Phương trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng, hướng chung để giải quyết phương trình vô tỉ là làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ. I-Phương pháp nâng lên luỹ thừa: 1. Kiến thức vận dụng: + (A ± B) 2 = A 2 ± 2AB + B 2 + (A ± B) 3 = A 3 ± 3A 2 B + 3AB 2 ± B 3 + [ ] = ≥ ≥ ⇔= 2 )()( 0)( 0)( )()( xgxf xg xf xgxf + 3 3 mAmA =⇔= 2. Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: xx =−+ 122 (1) Giải Điều kiện căn có nghĩa: 012 ≥− x (2) 2 1 ≥⇔ x (1) 212 −=−⇔ xx (3) Với điều kiện 02 ≥− x (4) (3) ⇔ 2x - 1 = (x-2) 2 (5) 056 4412 2 2 =+−⇔ +−=−⇔ xx xxx Giải ra ta được x 1 =1 không thoả mãn (4) x 2 = 5 thoả mãn (2) và (4) nghiệm duy nhất của phương trình: x = 5 Ví dụ 2: Giải phương trình: 23151 −=−−− xxx (1) Phương trình (1) có nghĩa: 0 023 015 01 ≥⇔ ≥− ≥− ≥− ⇔ x x x x (2) (1) 15231 −+−=−⇔ xxx Hai vế đều dương, bình phương hai vế ta được ~ 2 −=+− ≥− ⇔ +−=−⇔ −−+−+−=− )3()72()21315(4 072 21315272 )15)(23(215231 22 2 xxx x xxx xxxxx Giải (3) ta được: 7 2 ≤x không thoả mãn (1). Vậy phương trình vô nghiệm. Ví dụ 3:Giải phương trình 121 =−−+ xx (1) Giải Điều kiện: 2≥x (2) Viết PT (1) dưới dạng 121 +−=+ xx (3) Hai vế của (3) không âm, bình phương hai vế ta được 22121 −++−=+ xxx 31212222 =⇔=−⇔=−⇔−=⇔ xxxx thoả mãn điều kiện (2) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 3 Lưu ý: + Nếu để (1) bình phương ta phải đặt ĐK x+1 2−≥ x (Đk này luôn đúng) + Nếu biến đổi (1) thành 112 −+=− xx rồi bình phương hai vế ta phải đặt ĐK 011 ≥⇔≥+ xx Ví dụ 4: Giải phương trình: 33 721 xx −−=+ (1) Giải: 33 33 33 2)71( 2271)1( =−++⇔ =−++⇔ xx xx Giải (1) 7;1 0)7)(1( 0)7)(1( 21 3 =−=⇔ =−+⇔ =−+⇔ xx xx xx Là nghiệm của phương trình Chú ý: - Khi bình phương hai vế của phương trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dương. - Trước khi lên luỹ thừa cần biến đổi phương trình về dạng thuận lợi nhất để hạn chế các trường hợp hoặc có lời giải ngắn gọn. Ví dụ5: Giải pt: 844 2 =++− xxx (1) Giải: 8)2( 2 =+− xx 2−⇔ x + 8 = x Nếu 2≥x thì 582 =⇔=+− xxx Nếu x < 2 thì 82 =+− xx vô nghiệm Kết luận: x=5 là nghiệm của pt 4- Bài tập tương tự: Giải các pt sử dụng phép bình phương. 1/ x 2 -4x =8 1−x (x=4+2 2 ) 2/ 682 2 ++ xx + 1 2 −x =2x+2 ~ 3 3/ 2 2 7 x x − + 2 7 x x − =x (x=2) 4/ 1+x - 2+x = 5+x - 10+x (x=-1) Sử dụng phép lập phương: 1/ 3 1−x + 3 2−x = 3 32 −x (x=4; 2) 2/ 3 1+x + 3 1−x = 3 5x (x=0; ± 2 5 ) 3/ 3 1+x + 3 13 +x = 3 1−x (x=- 1) 4/ 3 1 x+ + 3 1 x− =1 (x= 27 28 ) II -Phương trình đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 1/kiến thức vận dụng: +) == )()( 2 xfxf )(xf nếu 0)( ≥xf )(xf− nếu 0)( <xf +)phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (tự tìm hiểu ) 2-Ví dụ: Ví dụ6:Giải phương trình: 242 −−+ xxx + 1267 =−−+ xx (1) Giải: Điều kiện: x-2 0≥ hay x 2≥ (2) 13222 1)32()22( 22 =−−+−−⇔ =−−+−−⇔ xx xx Cách 1: Chia các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Cấch 2: Sử dụng bất đẳng thức baba +≥+ , dấu “=” xảy ra khi a, b > 0. Khi đó 123222322 =−−+−−≥−−+−− xxxx (3) Dấu “=”xảy ra khi: ( )( ) 02322 ≥−−−− xx (4) Giải (4) ta được: 116 ≤≤ x Thoả mãn (2) Vậy nghiệm của phương trình (1)là: 116 ≤≤ x 3/ Chú ý: + Phương pháp này thường được áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc hai viết được thành bình phương của một biểu thức. + Có những phương trình cần phải biến đổi mới có dạng trên. 4/ Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1) 21212 22 =+−+++ xxxx ( ) 1≥x 2) 211 22 =−−−−+ xxxx ( ) 2=x 3) 225225232 =−−−+−++ xxxx ≤≤ 3 2 5 x III- Phương pháp đặt ẩn phụ: 1. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình ẩn mới: Ví dụ 7: Giải phương trình 954135 22 +−=+− xxxx (1) Giải: Ta có: 4 11 2 5 95 2 + −=+− xxx > 0 ~ 4 Đặt: 222 95095 yxxyxx =+−⇒≥=+− Khi đó (1) ⇔ y 2 + 4 = 4y 055 455 2 2 2 =+−⇔ =+−⇔ =⇔ xx xx y ⇔ − = + = 2 55 2 55 x x Ví dụ 8: Giải phương trình: 2 4 1 2 1 =++++ xxx (1) Giải: Điều kiện: 4≥x (2) Đặt: 0 4 1 ≥=+ yx 4 1 2 −=⇒ yx Khi đó (1) trở thành 2) 2 1 ( 4 1 22 =++− yy 0744 2 =−+⇔ yy − = 〈 −− = ⇔ 2 122 0 2 122 y y Trường hợp 2 122 −− =y < 0 loại 22 −=⇒ x , thoả mãn điều kiện (2) Vậy nghiệm của phương trình là: 22 −=x Ví dụ 9: Giải phương trình: 0331 333 =+++++ xxx (1) Giải: Đặt: yx =+ 2 (1) yyy −=++−⇔ 3 3 3 3 11 Lập phương hai vế ta có: 3 63 1−= yyy −= = ⇔ 3 62 1 0 yy y (+) Nếu: 2020 3 −=⇔=+⇔= xxy (+) Nếu 11 66 3 62 −=⇔−= yyyy , vô nghiệm Vậy nghiệm của phương trình là: x = -2 2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình: a. Dạng: edxvuxrbax +++=+ )( (1) Với a, u, r 0≠ Đặt baxvyu +=+. Khi đó phương trình (1) đưa được về dạng: 0)12)(( =+++− urruxruyyxu ~ 5 Ví dụ 10: Giải phương trình: 203232152 2 −+=+ xxx (1) Giải: Điều kiện: 2 15 0152 − ≥⇔≥+ xx Khi đó: (1) 28)24(2152 2 −+=+⇔ xx (2) Đặt: 15224 +=+ xy (3) Điều kiện: 2 1 024 − ≥⇔≥+ yy Khi đó (2) trở thành (4x + 2) 2 = 2y + 15 (4) Từ (3) ta có: (4y + 2) 2 = 2x + 15 (5) Từ (4) và (5) có hệ: +=+ +=+ )5(152)24( )4(152)24( 2 2 xy yx Trừ vế với vế của (4) cho (5) ta được (x- y)(8x + 8y + 9) = 0 +) Nếu: x-y = 0 yx =⇔ thay vào (5) ta được: 16x 2 + 14x-11 =0 −= = ⇔ 8 11 2 1 x x với 8 11 −=x , loại +) nếu 8x + 8y + 9 = 0 988 −−=⇔ xy , Thay vào 9 (4) ta được: 64x 2 + 72x-35 =0 , loại Vậy nghiệm của phương trình là: 2 1 1 =x 16 2219 2 +− =x b) Dạng: edxvuxrbax +++=+ 3 3 )( (1) Đặt 3 baxvuy +=+ (1) đưa được về dạng: 0)1)(( 22 =+++− rQrPQrPvyu Trong đó: vuyP += vuxQ += Ví dụ 11: Giải phương trình: 255336853 23 3 −+−=− xxxx (1) Giải (1) 3 53 −⇔ x =(2x-3) 3 -x+2 (2) Đặt :2y-3= 3 53 −x 3 )32(53 −=−⇔ yx (3) khi đó (2) 3 )32(52 −=−+⇔ xxy (4) Từ (3), (4) có hệ : −=−+ −=− 3 3 )32(52 )32(53 xxy yx ~ 6 +− = −− = ⇔ 16 2219 16 2219 x x Trừ vế với vế ta được: 0)1)(( 22 =+++− PQQPyx (5) Trong đó: 32 −= yP 32 −= xQ Vì: 01. 22 >+++ QPQP yx,∀ Do đó:(5) yx =⇔ Thay vào (3) ta được: (x-2)(8x 2 -20+11)=0 ⇔ x 1 =2 ; x 2 = 2 35 + ; x 3 = 2 35 − c. Một số dạng khác: Ví dụ 12: Giải phương trình: 312 3 =++− xx (1) Giải Điều kiện: x 1−≥ (2) Đặt: 3 3 22 yxyx =−⇒=− 3 101 22 2 =−⇒ =+⇒≥=+ yz zxzx Với điều kiện (2) thì (1) đưa về hệ: ≥ =− =+ 0 3 3 22 z yz zy Giải hệ này ta được: = = 2 1 z y Từ đó suy ra: x = 3 là nghiệm của phương trình (1) Ví dụ 13: Giải phương trình: 2 2 11 2 = − + x x (1) Giải: Điều kiện: <<− ≠ 22 0 x x Đặt: 202 222 =+⇒>=− yxyx Ta có hệ: (1) =+ =+ 2 11 2 22 yx yx Đặt: x +y = S; xy = P (1) −=−= == ⇔ = =− ⇔ 1, 2 1 2,1 2 22 2 SP SP PS PS +Trường hợp 1: Ta được x=y=1; Trường hợp 2: −− = +− = 2 31 2 31 y x hoặc +− = −− = 2 31 2 31 y x Từ đó ta được x = 1; x = 2 31−− là nghiệm 3. Chú ý: ~ 7 * Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải được nhiều bài toán khó, tuy nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có mấy ẩn phụ thì phải biết nhận xét và tìm mối liên quan giữa các biểu thức trong phương trình, liên quan giữa các ẩn * Cần phải có kỹ năng giải phương trình và hệ phương trình. 4. Bài tập áp dụng: 1) 22 24692 xxxx ++=−+ 2) 41212 =−−+−+ xxxx (đặt 5;01 =≥=− xyx ) 3) 14421 =−++−+ xxxx (đặt 41; ≤≤= xyx ) Đặt hệ phương trình: 1- 46283 23 +−=+ xxx Đặt: bxxax =+−=+ 42,2 2 2- )2(215 23 +=+ xx Đặt: ) 2 375 (1;1 2 ± −=+−=+ xbxxax 133;133 −=+= xx 3- x xx x =−+ 1 1 1 Đặt: 2 51 ; 1 1; 1 + ==−=− xb x a x x 4 - 112 3 =−+− xx Đặt 10;2;1;2 3 −=− xax 5 - 513413 2 −+−=+ xxx (Đặt ) 8 3711 ; 4 11 ;1,1332 + =+=− xxy 6 - 534 2 −=−− xxx (Đặt ) 2 295 ;1,25 + −=−=+ xyx 7 - 3 3 2332 −=+x (Đặt )2;1,23 −==− xyx IV- Phương pháp bất đẳng thức: Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau khi đó phương trình vô nghiệm: * Phương trình: f(x) = g(x) Nếu tập giá trị của f(x), g(x) lần lượt là: S 1 , S 2 mà S 1 giao với S 2 bằng rỗng thì phương trình vô nghiệm. * Ví dụ 14: Giải phương trình: 25373 −=−−− xxx (1) Giải Điều kiện: x 3≥ Với điều kiện này thì: 373 −<− xx Khi đó vế trái của (1) âm, còn vế phải dương do đó phương trình (1) vô nghiệm 2- Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế: * Phương trình F(x) = G(x) (1) Nếu: F(x) ≥ K, dấu đẳng thức sảy ra khi x = a G(x) ≤ K, dấu đẳng thức sảy ra khi x=b (k, a, b là các hằng số) ~ 8 . ) a = b ⇒ (1) có nghiệm là: x = a . ) a ≠ b ⇒ (1) vô nghiệm * Ví dụ 15: Giải phương trình: 222 2414105763 xxxxxx −−=+++++ (1) Giải Vế trái: 5949)1(54)1(3 22 =+≥+++++ xx Vế phải: 4-2x –x 2 = 5- (x+1) 2 ≤ 5 Do đó cả hai vế đều bằng 5 khi x =-1, với giá trị này cả hai bất đẳng thức trên đều là đẳng thức. Vậy x = -1 là nghiệm của phương trình. * Ví dụ 16: Giải phương trình: 13626 2 +−=++− xxxx (1) Giải Sử dụng bất đẳng thức: 2 2 2 1 2 2 2 12211 . bbaababa ++≤+ (Với dấu “=” xảy ra khi ) 2 2 1 1 b a b a = Vế trái: 426.1126 22 =−+−+≤++− xxxx Dấu “=” xảy ra khi x=3 Vậy phương trình vô nghiệm. c. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: * Ta chỉ ra nghiệm cụ thể và chứng minh được các trường hợp khác của ẩn không là nghiệm của phương trình. * Ví dụ 17: Giải phương trình: 312 3 =++− xx (1) Giải Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phương trình. + Với x > 3 thì ⇒<+>− 21,12 3 xx vế trái của (1) lớn hơn 3 + Với -1 3 <≤ x thì ⇒<+>− 21,12 3 xx vế trái của (1) nhỏ hơn 3 Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình. d. Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt. * Ví dụ 18: Giải phương trình: 2 14 14 = − + − x x x x (1) Giải Điều kiện: x > 4 1 (2) Sử dụng bất đẳng thức: 2≥+ a b b a Với a, b > 0 thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b Do đó: 2 14 14 ≥ − + − x x x x Dấu “=” xảy ra 14 −=⇔ xx 32 014 2 ±=⇔ =+−⇔ x xx Thoả mãn (2) Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2 3± e. Bài tập áp dụng: 1) 271064 2 +−=−+− xxxx (x = 5) 2) 51343 26122 =+−+ +− yyx x (x = y = 2) 3) 126 22 −−=+ xxx (Vô nghiệm) ~ 9 4) xxxxxx 24)53)(1(.231 2 −=+−−+++− 5) 665 1225 1 4 3 16 − + − + − zyx = 82 - 66513 −−−−− zyx (x = 19; y = 5; z = 1890) V- Những chú ý: * Khi giải phương trình vô tỉ cần tránh những sai lầm sau: + Không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức. + Không đặt điều kiện có nghĩa của căn thức. * Để giải phương trình vô tỉ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững. + Các phép biến đổi căn thức. + Các phép biến đổi biêủ thức đại số. + Các kiến thức và phương pháp giải các phương trình và hệ phương trình. + Các kiến thức về bất đẳng thức. . . PHầN III: Kết luận I-Bài học kinh nghiệm: Phương trình vô tỷ là một dạng toán không thể thiếu được trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ xung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề này. *Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương pháp giải phương trình vô tỷ thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về phương trình vvô tỷ: các dạng phương trình vô tỷ, phân biệt sự khác nhau giữa phương trình vô tỷ với các dạng phương trình khác, đồng thời phải nắm vững các phương pháp giải phương trình vô tỷ. *Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng caokiến thức nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngoài ra còn giúp bản thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình. II-Kết luận chung: Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi người thày phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu. Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu tham khảo. . . tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên. hy vọng đề tài ”Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ” làm một kinh nghiệm của mình để giúp học sinh tiếp thu vấn đề này, phần nào nâng cao năng lực tư duy, sự sáng tạo và rèn kỹ năng giải các phương trình vô tỷ cho học sinh. Trong quá trình nghiên cứu không thể tránh khỏi sai sót, hạn chế rất mong được sự giúp đỡ, góp ý của đồng nghiệp. ~ 10 . giải phương trình vô tỷ thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về phương trình vvô tỷ: các dạng phương trình vô tỷ, phân biệt sự khác nhau giữa phương trình vô tỷ với các dạng phương. tự: Giải các pt sử dụng phép bình phương. 1/ x 2 -4 x =8 1−x (x=4+2 2 ) 2/ 682 2 ++ xx + 1 2 −x =2x+2 ~ 3 3/ 2 2 7 x x − + 2 7 x x − =x (x=2) 4/ 1+x - 2+x = 5+x - 10+x (x =-1 ) Sử dụng phép. và căn bậc ba) * Phương trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng, hướng chung để giải quyết phương trình vô tỉ là làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ. I-Phương pháp nâng lên luỹ thừa: