Tính diện tích của tán xạ moller

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ TRANG QUYÊN TÍNH TIẾT DIỆN CỦA TÁN XẠ MOLLER KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Hà Nội, năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ TRANG QUYÊN TÍNH TIẾT DIỆN CỦA TÁN XẠ MOLLER KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết NGƯỜI HƯỚNG DẪN TS. NGUYỄN HUY THẢO Hà Nội, năm 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung khóa luận thành nghiên cứu riêng tôi, không trùng lặp kết với đề tài khác. Kí tên Trần Thị Trang Quyên iii Lời cảm ơn Đầu tiên, xin gửi lời biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo thầy tận tình hướng dẫn, chia sẻ kinh nghiệm quý báu để dễ dàng tiếp thu hoàn thành khóa luận này. Xin cảm ơn quí thầy, cô hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp nhận xét, đóng góp nội dung, hình thức khóa luận tôi. Tôi xin cảm ơn Khoa Vật lí - Trường đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa luận này. Chân thành cảm ơn bạn nhóm với tôi trao đổi kiến thức học vấn đề khác liên quan đến đề tài tôi. Cuối xin chân thành cảm ơn thành viên gia đình tôi, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2015 Trần Thị Trang Quyên i Mục lục Lời mở đầu Ma trận tán xạ 1.1 Trường Spinor . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Cách xác định phần đỉnh . . . . . . . . 1.2.1 Tương tác không chứa đạo hàm 1.2.2 Tương tác có chứa đạo hàm . . 1.3 Quy tắc Feynman . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Đường - hạt thật . . . . . 1.3.2 Hàm truyền . . . . . . . . . . . 1.3.3 Đỉnh tương tác . . . . . . . . . 1.4 Hệ số đối xứng giản đồ S . . . . . 1.5 Tiết diện tán xạ . . . . . . . . . . . . . Tiết diện tán xạ Moller 2.1 Tính biên độ tán xạ theo kênh t . 2.2 Tính biên độ ánh xạ theo kênh u 2.3 Tính tiết diện tán xạ toàn phần . 2.4 Kết thảo luận . . . . . . . . . Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 10 10 12 13 14 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 19 21 22 26 27 ii LỜI MỞ ĐẦU Vật lí học đại dựa thuyết lớn: thuyết tương đối Anh-xtanh thuyết lượng tử. Chúng thành tựu nhà khoa học thề kỉ 20, mũi nhọn Vật lí đại. Trong đó, lý thuyết tán xạ đạt thành công vang dội việc giải thích tượng xung quanh ta. Tất tính chất riêng biệt hạt vĩ mô tạo nên hạt vật chất là: điện tử, proton, neutron, . mô tả lí thuyết lượng tử. Lí thuyết lượng tử đầy đủ cần phải kể tới lí thuyết trường lượng tử. Lí thuyết trường lượng tử thuyết tương tác hạt tự nhiên. Lí thuyết hướng đến việc mô tả giải tận gốc trình tương tác ấy. Việc nghiên cứu tương tác hạt tiền phương vững tri thức nhân loại giới siêu nhỏ giới siêu vĩ mô. Một toán lí thuyết trường - toán tán xạ luông thách thức cho tìm hiểu nó. Đó lí lựa chọn đề tài Tính tiết diện tán xạ Moller làm khóa luận tốt nghiệp mình. MỤC LỤC • Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu tán xạ Moller dựa nội dung lí thuyết trường lượng tử. • Nhiệm vụ Xác định phần đỉnh tính tiết diện tán xạ Moller. • Phương pháp nghiên cứu Phương pháp Vật lí lí thuyết phương pháp Vật lí toán. • Đối tượng nghiên cứu Bài toán tán xạ Chương Ma trận tán xạ 1.1 Trường Spinor Trường mô tả chung cho fermion. Đây trường vật chất. Các trường thỏa mãn phương trình Dirac thu từ tuyến tính hóa phương trình Klein-Gordon ∂ + m2 = (iγ µ ∂ ∂ + m)(−iγ v v + m) µ ∂x ∂x γ µ ma trận Dirac tuân theo hệ thức γµ γµ + γv γv = 2gµv (1.1) Người ta đưa thêm vào ma trận γ5 có tính chất sau: i γ5 ≡ iγ0 γ1 γ2 γ3 = − εµvαβ γ µ γ v γ α γ β ; {γ5 , γµ } = 0, γ52 = 1. 4! (1.2) Ma trận Dirac có tính chất sau: ma trận Dirac xác định xác đến phép biến đổi unita γ k → Oγk O−1 O ma trận unita có nghịch đảo. Liên hiệp Dirac ma trận Dirac A định nghĩa sau: A ≡ γ A+ γ . (1.3) Từ (1.3) ta có: γ µ = γ µ , γ = −γ ,γ µ γ v .γ α = γ α .γ v γ µ γ µ γ v .γ λ γ .γ α = γ α .(−γ )γ λ .γ v γ µ γ +k = g kn γn = γk (k = 0, 1, 2, 3, 5) Ta thấy rằng: (i) ψγ5 ψ biến đổi đại lượng giả vô hướng. (ii) ψγ5 γµ ψ biến đổi đại lượng giả vector. (1.4) Chương 1. Ma trận tán xạ Chính điều mà Lagrangian ta phải chèn γ5 vào xây dựng tương tác với hạt giả vô hướng π meson. Để cho cụ thể ta chọn biểu diễn ma trận Dirac γ chéo γ0 = I 0 −I , γi = σi −σ i , γ5 = −I −I , (1.5) I ma trận đơn vị × 2, σ ma trận Pauli. Vết số lẻ ma trận Dirac không. Thật vậy, tính chất vòng vết, kết hợp với tính phản giao hoán ma trận γ5 , với ma trận γµ cho ta T r(γn1 γn2 .γn2n+1 ) = T r(γn1 γn2 .γn2n+1 γ5 γ5 ) = T r(γ5 γn1 γn2 .γn2n+1 γ5 ) = T r(−γn1 γn2 .γn2n+1 γ5 γ5 ) = −T r(γn1 γn2 .γn2n+1 ). (1.6) Từ (1.6) ta thấy T r(γn1 γn2 .γn2n+1 ) = 0. Một số công thức thông dụng khác T r(γµ γv ) = 4gµv , T r(γµ γv γα γβ ) = 4(gµv + gµβ gvα − gµα gvβ ), T r(γ5 γµ γv γα γβ ) = −4iεµvαβ . Ta sử dụng kí hiệu sau k/ ≡ k µ γµ . Khi T r(k/p/) = 4k.p T r(k/γµ p/γv ) = 4(kµ pv + kv pµ − gµv k.p) Ta đòi hỏi (iγ µ (iγ µ (1.7) ∂ + m)ψ(x) = ∂xµ ∂ − m)ψ(x) = 0. ∂xµ (1.8) Ta chọn phương trình (1.8) Lagrangian tự trường Spinor với khối lượng m có dạng i µ µ £D = [ψ(x)γ ∂µ ψ(x) − ∂µ ψ(x)γ ψ(x)] − mψ(x)ψ(x) (1.9) ψ(x) ≡ ψ + (x)γ gọi liên hợp Dirac. Trong thực tế, ngưới ta thường sử dụng Lagrangian tự sau α α µ β µ £D = iψ (x)(γ )α ∂µ ψµ (x) − mψ (x)ψα (x) = iψ(x)γ ∂µ ψ(x) − mψ(x)ψ(x) (1.10) ta lưu ý đến việc trường Spinor ψ có số Dirac α. Phương trình chuyển động Euler-Lagrange có dạng (1.8) ← − ψ(x)(iγ µ ∂µ + m) = 0, (1.11) Chương 1. Ma trận tán xạ ← − ψ(x)∂µ = ∂µ ψ(x). Dễ dàng thu hàm truyền trường Dirac ∆D F (k) = i i(k/ + m) . = k − m2 + iε k/ − i + iε (1.12) Hàm sóng thỏa mãn phương trình Dirac (1.8) có dạng ψ(x) = dk [a(k, s)u(k, s)e−ikx + b+ (k, s)v(k, s)eikx ], (2π) 2k0 ψ(x) = ±s dk [b (k, s) v (k, s) e−ikx + a+ (k, s) u (k, s) eikx ]. (2π)3 2k0 Trong đó, u, v spinor Dirac thỏa mãn phương trình u(k, ±s)(k/ − m) = 0,(k/ − m)u(k, ±s) = v(k, ±s)(k/ + m) = 0,(k/ + m)v(k, ±s) = 0. (1.13) Toán tử a+ (k, s) a(k, s) tương ứng toán tử sinh hủy hạt với xung lượng k phân cực s. Còn b+ (k, s) b(k, s) tương ứng toán tử sinh hủy phản hạt với xung lượng k phân cực s. Các toán tử thỏa mãn hệ thức phản giao hoán sau {a(k, s), a+ (q, s )} = δs.s δ(k − q), {b(k, s), b+ (q, s )} = δs.s δ(k − q), {a(k, s), a(q, s )} = {a+ (k, s), a+ (q, s )} = 0, {b(k, s), a(q, s )} = {b+ (k, s), b+ (q, s )} = 0, {a(k, s), b(q, s )} = {a+ (k, s), b+ (q, s )} = 0, {a(k, s), b+ (q, s )} = {a+ (k, s), b(q, s )} = 0. (1.14) Từ (1.13) suy ψ(x) mô tả hủy hạt sinh phản hạt điểm x ψ(x) mô tả sinh hạt hủy phản hạt (hình 1.1). Hình 1.1: Hàm sóng trường spinor hủy hạt Từ phương trình Dirac, ta có (−iγi ∂ i + m)ψ(x) = iγ0 ∂ψ(x) = iγ0 ψ(x). ∂t (1.15) Do Lagrangian có dạng + £D = −iψ (x)ψ(x) + . (1.16) Chương 1. Ma trận tán xạ 1.3.3 Đỉnh tương tác 13 Chương 1. Ma trận tán xạ Các quy tắc: • Mỗi trường trong- hạt ảo (virtual particle) phải lấy tích phân theo xung lượng d4 p . Xung lượng đường không bị giới hạn định luật bảo toàn (2π)4 xung lượng, có nghĩa tiến tới vô cùng. • Mỗi vòng fermion (kể ma FP) khép kín nhân với (-1), trường hợp có l vòng ta nhân với (−1)l . • Chia cho hệ số đối xứng S: vòng khép kín (close loop) chứa n boson giống ta có thừa số . n! • Đối với đường fermion, để có dạng thuận tiện (nhân ma trận), ta viết thành phần từ trái sang phải ngược chiều đường fermion. 1.4 Hệ số đối xứng giản đồ S (4) Ta xét mô hình φ4 . Ta phân tích hàm G2 (x1 , x2 , ., x4 ): (4) −iλ d4 y d4 y ( ) 2! 4! × 0|T [φI (x1 ) .φI (x4 ) : [φI (y1 )]4 :: [φI (y2 )]4 :]|0 G2 (x1 , ., x4 ) = Một đóng góp mô tả giản đồ Feynman sau: 14 Chương 1. Ma trận tán xạ Ta gọi điểm x1 , ., x4 điểm - điểm cố định. Các điểm y1 , y2 điểm trong. Từ x1 ta có kết cặp tới điểm y1 chí đến y2 . Giả sử ta lấy kết cặp với y1 . Tiếp theo ta có kết cặp từ x1 tới y1 , . Bây ta tính xem hệ số giản đồ bao nhiêu: 1 (bậc lí thuyết nhiễu loạn) × (hệ số số tương tác) 4! 4! ×4 (các khả từ x1 → y1 ) ×4 (các khả từ x1 → y2 ) ×3 (các khả từ x2 → y1 ) ×3 (các khả từ x2 → y2 ) ×2 (các khả từ x3 → y1 ) ×3 (các khả từ x3 → y2 ) = . Hệ số đối xứng giản đồ tổng quát hóa sau 2β (n!)αn S=g n=2,3 . đó: αn số cặp đỉnh đối n đường giống tự liên hợp β số đường nối đỉnh với g số hoán vị đỉnh không làm thay đổi với đường cố định. Sau vài hình minh họa Hình 1.2: Hệ số đối xứng giản đồ lý thuyết vô hướng thực. 1.5 Tiết diện tán xạ Khi có tương tác, yếu tố ma trận liên hệ trạng thái đầu i với trạng thái cuối f viết dạng Sf i = f |S|i = δf i + iTf i 15 (1.32) Chương 1. Ma trận tán xạ Tf i ma trận chuyển dời định nghĩa sau Tf i = (2π)4 δ (Pf − Pi )Mf i (1.33) Đòi hỏi S ma trận unita dẫn tới ∗ (2π)4 δ (Pf − Pi ) Mf i Min Mf i − Mif∗ = i (1.34) n n trạng thái vật lý dẫn trạng thái đầu tới trạng thái cuối. Xác suất cho chuyển dời từ trạng thái i đến trạng thái f (i = f ) ωf i ∼ |Sf i |2 = (2π)8 |δ (Pf − Pi )|2 |Mf i |2 . (1.35) Suy rộng ra, xác suất để s hạt với xung lượng q1 , q2 , , qs ban đầu chuyển thành r hạt có xung lượng khoảng dq1 , dq2 , ., dqr trạng thái cuối đơn vị thời gian thể tích r ωf i = (2π)4 n1 n2 .ns |Mf i |2 δ ( s pi − i qk ) k s k=1 (2qk ) r i=1 dpi 2p0i (2π)3 (1.36) n1 số hạt loại 1. Tiết diện tán xạ xác định thông qua xác suất đơn vị thời gian thể tích có đơn vị diện tích l2 thông thường barn(b) (1barn = 10−24 cm2 ). Tiếp diện tán xạ vi phân cho trình p1 + p2 → p3 + . + pn dσ = |Mf i |2 dΦf S 4F (1.37) F = [(p1 .p2 )2 − m21 m22 ] (1.38) dΦf = (2π)4 δ (p3 + . + pn − Pi ) d3 p3 d3 p n . . (2π)3(n−2) 2E3 2En (1.39) Cụ thể xét trình tán xạ p1 + p2 → p3 + p4 • Trong hệ khối tâm (center - of- mass frame) p = p1 = −p2 p = p3 = −p4 . Khi đó, tiết diện tán xạ vi phân có dạng ( dσ |Mf i |2 |p | )cm = s dΩ 64π s |p| s = (p1 + p2 )2 , dΩ = dϕdcosθ với θ góc p p . 16 (1.40) Chương 1. Ma trận tán xạ • Trong hệ phòng thí nghiệm (laboratory frame) quy ước hạt thứ hai đứng yên p2 = (m2 , 0, 0, 0), biểu thức tương ứng tiết diện vi phân ( dσ |Mf i |2 )lab = s dΩ 64π m2 [E1 + m2 − (|p |/|p|E3 cosθlab )] (1.41) E1 = p2 + m21 , E3 = p + m23 . Hệ phòng thí nghiệm thường áp dụng cho tán xạ hạt không khối lượng với hạt có khối lượng. Góc tán xạ θlab góc vector xung lượng electron vào p electron p . 17 Chương Tiết diện tán xạ Moller Tán xạ Moller tán xạ electron-electron điện động lực học lượng tử (QED). Người nghiên cứu toán v chạm điện tử nhà Vật lí người Đan Mạch - Christian Moller. Công thức tán xạ Moller thu hút ý giới khoa học năm 30, 40 kỉ trước. Khi coi "phát minh" mô hình điện động lực học lượng tử. Sự tương tác electron tán xạn Moller sở lý thuyết nhiều tượng quen thuộc, tiêu biểu đẩy electron nguyên tử Heli. Tán xạ Moller biểu diễn sau: e− (p1 , s) + e− (p2 , s ) → e− (k1 , σ) + e− (k2 , σ). Trong (QED), xét tương tác hạt mang điện với photon , có hai giản đồ Feynman mô tả trình tương tác này: 18 Chương 2. Tiết diện tán xạ Moller Trong giản đồ kênh t kênh u, electron trao đổi photon. Ta tính tiết diện tán xạ Moller theo cách: theo hệ khối tâm theo hệ phòng thí nghiệm. Trong khóa luận mình, chọn cách thứ 2, tức tính vi phân tiết diện toàn phần theo công thức (1.41). Lúc này, ta tính vi phân tiết diện toàn phần theo bình phương biên độ tán xạ toàn phần (|Mf i |)2 . Với tán xạ Moller, (|Mf i |)2 tính theo đóng góp kênh t kênh u 1 |Mf i |2 = [|Mu |2 + |Mt |2 + Mt∗ Mu + Mu∗ Mt ]. spins spins 2.1 Tính biên độ tán xạ theo kênh t Giản đồ Feynman cho trình Biên độ tán xạ Mt = u(k1 ) (−ieγµ )u(p1 ) Mt = −igµv u(k ) (−ieγv )u(p2 ) (p1 − k1 )2 ie2 (u(k1 ) γ v u(p1 ) )(u(k2 ) γv up2 ) (p1 − k1 )2 hàm truyền photon chuẩn t’Hooft - Feynman (ξ = 1) sửu dụng. Chú ý biên độ tán xạ số c. Các yếu tố ma trận ứng với đường fermion (muon electron) biên độ tán xạ số, nên ta đường fermion Mt∗ = −ie2 (u(p1 ) γ v u(k1 ) )(u(p2 ) γv u(k2 ) ). (p1 − k1 )2 19 Chương 2. Tiết diện tán xạ Moller Để tính |Mf i |2 = Mf∗i Mf i , ta sử dụng công thức sau [a(p1 ) ∧ b(p2 )]∗ = b(p2 )∧a(p1 ) a, b = u, v, ∧ = γ ∧+ γ . Khi không quan tâm tới độ xoắn hạt trạng thái cuối, ta sử dụng công thức sau  β uα (p, s) u(p, s)β = p/ + m α ,   s vα (p, s) v(p, s)β = p/ + m s β α  ,  đặt (p1 − k1 )2 = t. Khi ta có |Mt |2 = Mt∗ Mt spins spins e4 = u(k1 ) γ µ u(p1 ) 4t spins = e4 4t2 u(k1 ) γ µ u(p1 ) u(k2 ) γv u(p2 ) u(p1 ) γ v u(k1 ) u(p2 ) γµ u(k2 ) u(p1 ) γ v u(k1 ) u(p2 ) γµ u(k2 ) u(k2 ) γv u(p2 ) spins = = = = = = × = e u(k1 ) γ µ p/1 + me γ v u(k1 ) u(p2 ) γµ p/2 + me γv u(p2 ) 4t e4 T r[γ µ (p/1 + me )γ v u(k1 ) u(k1 ) ]T r[γµ (p/2 + me )γv u(p2 ) u(p2 ) ] 4t2 e4 T r[γ µ (p/1 + me )γ v (k/1 + me )]T r[γµ (p/2 + me )γv (k/2 + me )] 4t e4 T r[(γ µ p/1 + γ µ me )(γ v k/1 + γ v me ] × T r[(γµ p/2 + γµ me )(γv k/2 + γv me )] 4t2 e4 T r(γ µ p/1 γ v k/1 + γ µ γ v m2e )T r(γµ p/2 γv k/2 + γµ γv m2e ) 4t2 e4 pµ1 k1v + pv1 k1µ − g µv .p1 k1 + 4m2e g µv 4t (p2µ k2v + p2v k2µ − gµv p2 k2 ) + 4m2e gµv e4 pµ1 k1v + pv1 k1µ − g µv p1 k1 + m2e × p2µ k2v + p2v k2µ − gµv p2 k2 + m2e 4t Xét tán xạ Moller hệ phòng thí nghiệm, ta bỏ khối lượng electron hay coi me → =⇒ 8e4 |Mt |2 = [(p1 p2 ) (k2 k1 ) + (p2 k1 ) (k2 p1 )] . spins t 20 (2.1) . Chương 2. Tiết diện tán xạ Moller 2.2 Tính biên độ ánh xạ theo kênh u Giản đồ Feynman cho trình Mu = u(k2 ) (−ieγµ )u(p1 ) −igµv u(k ) (−ieγv )u(p2 ) . (p1 − k2 )2 ie2 (u(k2 ) γ v u(p1 ) )(u(k1 ) γv u(p2 ) ). (p1 − k2 )2 −ie2 ∗ (u(p1 ) γ v u(k2 ) )(u(p2 ) γv u(k1 ) ). =⇒ Mu = (p1 − k2 ) = Để tính |Mf i |2 = Mf∗i Mf i , ta sử dụng công thức sau [a(p1 ) ∧ b(p2 )]∗ = b(p2 )∧a(p1 ), a, b = u, v, ∧ = γ ∧+ γ . Khi không quan tâm tới độ xoắn hạt trạng thái cuối, ta sử dụng công thức sau  β uα (p, s) u(p, s)β = p/ + m α    s uα (p, s) v(p, s)β = p/ + m s Đặt (p1 − k2 )2 = u 21 β  α Chương 2. Tiết diện tán xạ Moller |Mu |2 = Mu∗ Mu spins spins = e4 (u(k2 ) γ µ u(p1 ) )(u(k1 ) γv u(p2 ) )(u(p1 ) γ v u(k2 ) )(u(p2 ) γµ u(k1 ) ) 4u spins e4 = u(k2 ) γ µ u(p1 ) 4u spins = = = = = u(p1 ) γ v u(k2 ) u(p2 ) γµ u(k1 ) u(k1 ) γv u(p2 ) e4 u(k2 ) γ µ p/1 + me γ v u(k2 ) u(p2 ) γµ (k/1 + me ) γv u(p2 ) 4u2 e4 T r[γ µ (p/1 + me )γ v u(k2 ) u(k2 ) ]T r[γµ (k/1 + me )γv u(p2 ) u(p2 ) ] 4u e4 T r[γ µ (p/1 + me )γ v (k/2 + me )]T r[γµ (k/1 + me )γv (p/2 + me )] 4u2 e4 T r[γ µ p/1 γ v k/2 + γ µ γ v m2e ]T r[γµ p/2 γv k/1 + γ µ γ v m2e ] 4u2 e4 4[(pµ1 k2v + pv1 k2µ − g µv (p1 k2 + m2e ) × 4[(p2µ k1v + p2v k1µ − gµv (p2 k1 + m2e )] 4u Xét hệ phòng thí nghiệm, coi me → 8e4 |Mu |2 = [(p1 p2 ) (k1 k2 ) + (p2 k2 ) (k1 p1 )] . spins u 2.3 (2.2) Tính tiết diện tán xạ toàn phần Biên độ toàn phần tán xạ 1 |M |2 = [|Mu |2 + |Mt |2 + Mt∗ Mu + Mu∗ Mt ]. spins spins (2.3) Ta xét thừa số 1 −ie2 ie2 (u(p1 ) γ v u(k1 ) )(u(p2 ) γv u(k2 ) ) (u(k2 ) γµ u(p1 ) )(u(k1 ) γ µ u(p2 ) ) Mt∗ Mu = spins spins t u e4 = (u(k2 ) γµ u(p1 ) )(u(p1 ) γ v u(k1 ) )(u(k1 ) γ µ u(p2 ) )(u(p2 ) γv u(k2 ) ) 4tu spins = e4 [u(k2 ) γµ (p/1 + me )γ v (k/1 + me )γ µ (p/2 + me )γv u(k2 ) ] 4tu 22 Chương 2. Tiết diện tán xạ Moller Coi me → =⇒ e4 [u(k2 ) γµ p/1 γ v k/1 γ µ p/2 γv u(k2 ) ] Mt∗ Mu = spins 4tu e4 T r[γµ p/1 γ v k/1 γ µ p/2 γv u(k2 ) u(k2 ) ] 4tu e4 T r[γµ p/1 γ v k/1 γ µ p/2 γv k/2 ]. = 4tu = Ta có γµ p/1 γ v k/1 γ µ = −2k/1 γv p/1 =⇒ T r[γµ p/1 γ v k/1 γ µ p/2 γv k/2 ] = −2T r[k/1 γ v p/1 p/2 γv k/2 ] mà γ v p/1 p/2 γv = 4p1 p2 . Vì T r[γµ p/1 γ v k/1 γ µ p/2 γv k/2 ] = −8p1 p2 T r[k/1 k/2 ] = −32(p1 p2 )(k1 k2 ). Vậy ta có 8e4 ∗ M Mu = (p1 p2 )(k1 k2 ). spins t tu Làm tương tự ta có 8e4 Mu∗ Mt = (p1 p2 )(k1 k2 ). spins tu Vậy biên độ tán xạ toàn phần 1 |M |2 = [|Mu |2 + |Mt |2 + Mt∗ Mu + Mu∗ Mt ]. spins spins Ta có p1 p2 = k1 k2 = s t u p1 k2 = p2 k1 = − p1 k1 = p2 k2 = − 23 (2.4) Chương 2. Tiết diện tán xạ Moller Áp dụng công thức (2.4) vào (2.1), (2.2) ta 8e4 2e4 2 |Mt | = [(p1 p2 )(k1 k2 ) + (p2 k1 )(k2 p1 )] = (u + s2 ) spins t t (2.5) 8e4 2e4 |Mu |2 = [(p1 p2 )(k1 k2 ) + (p2 k2 )(k1 p1 )] = (s2 + t2 ) spins u u (2.6) 8e4 8e4 4e4 (p1 p2 )(k1 k2 ) + (p1 p2 )(k1 k2 ) = s. (Mt∗ Mu + Mu∗ Mt ) = spins tu tu tu (2.7) Thay (2.4), (2.5), (2.6), (2.7) vào (2.3) ta tính biên độ toàn phần 2e4 2e4 4e4 s] |M |2 = [ (s2 + t2 ) + (u2 + s2 ) + spins u t tu s2 + t2 u2 + s2 2s2 = 2e [ + + ]. u2 t2 tu Theo (1.41) ( |Mf i |2 dσ )lab = s dΩ 64π m2 [E1 + m2 − (|p |/|p|)E3 cosθlab ] dΩ = dϕd(cosθ), ≤ ϕ ≤ 2π, ≤ θ ≤ π. Lấy tích phân theo ϕ ta dσ = |M |2 d(cosθ). 32πE Ta tính vi phân tiết diện tán xạ dσ = |M |2 Với α = d(cosθ). 32πE =⇒ dσ 1 = [ |M |2 ] d(cosθ) 32πs spins =⇒ dσ πα2 s2 + t2 u2 + s2 2s2 = { + + ]}. d(cosθ) s u2 t2 tu e2 ≈ số cấu trúc. Đặt 4π 137 s t = − (1 − cosθ) s u = − (1 + cosθ) 24 (2.8) Chương 2. Tiết diện tán xạ Moller Thay vào (2.8) ta có dσ = d(cosθ) = = = = = = = = s2 s2 (1 − cosθ) (1 + cosθ)2 + s2 πα 2s2 4 } { + + s2 s2 s2 s 2 (1 + cosθ) (1 − cosθ) (1 − cosθ)(1 + cosθ) 4 πα2 + (1 − cosθ)2 (1 + cosθ)2 + { } + + 2 s (1 + cosθ) (1 − cosθ) (1 − cosθ)(1 + cosθ) πα2 4(1 − cosθ)2 + (1 − cosθ)4 + (1 + cosθ)4 + 4(1 + cosθ)2 { } + 2 s (1 + cosθ) (1 − cosθ) (1 − cos2 θ) πα2 4(1 − cosθ)2 + 4(1 − cosθ)2 + (1 − cosθ)4 + (1 + cosθ)4 { + } 2 s (1 − cos2 θ) (1 + cosθ) (1 − cosθ) πα2 4(2 + 2cos2 θ) + (2 + 12cos2 θ + 2cos4 θ) { } + 2 s (1 − cos θ) (1 − cos2 θ) πα2 2cos4 θ + 20cos2 θ + 10 { + } 2 s (1 − cos θ) (1 − cos2 θ) πα2 2cos4 θ + 20cos2 θ + 10 + 8(1 − cos2 θ) { } s (1 − cos2 θ)2 πα2 2cos4 θ + 12cos2 θ + 18 { } s (1 − cos2 θ)2 2πα2 cos2 θ + ( ). s − cos2 θ s2 + Một cách gần đúng, ta tính tích phân sau: −a −a dσ d(cosθ) = lim a→1 d(cos θ) σ ≈ lim a→1 a πα2 2, 01.10−3 2πα2 cos2 θ + ( ) d(cosθ) ≈ 12 ≈ . s − cos2 θ s s a 25 Chương 2. Tiết diện tán xạ Moller 2.4 Kết thảo luận Tại lượng √ s = 100GeV, ta có σ = 2, 01.10−3 .10−4 GeV −2 ≈ 2, 01.10−3 mbarn. Từ biểu thức tính tiết diện tán xạ, ta có đồ thị biểu diễn phụ thuộc tiết diện tán xạ vào lượng vào Nhận xét: Từ đồ thị ta thu tiết diện tán xạ toàn phần giảm dần theo chiều tăng xung lượng vào. 26 Kết luận Tìm hiểu toán tán xạ Moller, khóa luận thu kết sau: - Tính toán biên độ tán xạ (|Mf i |)2 kênh t kênh u. Từ tính biên độ tán xạ toàn phần. - Xét hệ phòng thí nghiệm, bỏ qua khối lượng electron,√ ta tìm biểu thức tiết diện tán xạ toàn phần hàm theo s ứng với s=100 GeV σ ≈ 2, 01.10−3 mbarn. - Từ đồ thị biểu biễn sụ phụ thuộc tiết diện tán xạ vào√năng lượng vào, nhận thấy tiết diện tán xạ giảm dần theo chiều tăng s. Trong trình thực khóa luận, hạn chế mặt kiến thức thời gian tìm hiểu nên khó tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp thầy cô giáo bạn để đề tài hoàn thiện hơn. 27 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thị Bích Hường, Xây dựng giảng lý thuyết tán xạ học lượng tử, Khóa luận tốt nghiệp 2010, Thư viện trường đại học Sư phạm Hà Nội [2] TS.Phạm Duy Lác, Lý thuyết trường lượng tử, NXB Đại học quốc gia Hà Nội (2000) 192 trang. [3] Hoàng Ngọc Long, Cơ sở vật lý hạt bản, NXB Thống Kê (2006) 546 trang. [4] PGS.TS.Lưu Thị Kim Thanh, Bài giảng lý thuyết trường lượng tử, Thư viện trường đại học Sư phạm Hà Nội 2. [5] Stephen P. Martin, Phenomenology of Particle Physics , (2005) 244 trang. [6] Xavier Roque, Moller scattering: a Neglected Aplication of Early Quantum Electrodynamics , (1992) 264 trang. 28 [...]... thu được tiết diện tán xạ toàn phần giảm dần theo chiều tăng của xung lượng vào 26 Kết luận Tìm hiểu về bài toán tán xạ Moller, khóa luận đã thu được các kết quả như sau: - Tính toán được các biên độ tán xạ (|Mf i |)2 của kênh t và kênh u Từ đó tính được biên độ tán xạ toàn phần - Xét trong hệ phòng thí nghiệm, khi bỏ qua khối lượng của electron,√ tìm được biểu ta thức của tiết diện tán xạ toàn phần... ứng của tiết diện vi phân là ( dσ |Mf i |2 1 )lab = s dΩ 64π 2 m2 [E1 + m2 − (|p |/|p|E3 cosθlab )] (1.41) trong đó E1 = p2 + m2 , E3 = 1 p 2 + m2 3 Hệ phòng thí nghiệm thường áp dụng cho tán xạ của một hạt không khối lượng với một hạt có khối lượng Góc tán xạ θlab là góc giữa vector xung lượng của electron đi vào p và electron đi ra p 17 Chương 2 Tiết diện tán xạ Moller Tán xạ Moller là tán xạ electron-electron... Mạch - Christian Moller Công thức tán xạ của Moller đã thu hút sự chú ý của giới khoa học trong những năm 30, 40 của thế kỉ trước Khi đó nó được coi như một "phát minh" về mô hình mới của điện động lực học lượng tử Sự tương tác giữa các electron trong tán xạn Moller là cơ sở lý thuyết của nhiều hiện tượng quen thuộc, tiêu biểu là sự đẩy giữa các electron trong nguyên tử Heli Tán xạ Moller được biểu... toàn phần theo công thức (1.41) Lúc này, ta tính vi phân tiết diện toàn phần theo bình phương biên độ tán xạ toàn phần (|Mf i |)2 Với tán xạ Moller, (|Mf i |)2 được tính theo những đóng góp của kênh t và kênh u 1 1 ∗ |Mf i |2 = [|Mu |2 + |Mt |2 + Mt∗ Mu + Mu Mt ] 4 spins 4 spins 2.1 Tính biên độ tán xạ theo kênh t Giản đồ Feynman cho quá trình Biên độ tán xạ là Mt = u(k1 ) (−ieγµ )u(p1 ) Mt = −igµv... đúng, ta có thể tính tích phân này như sau: −a −a dσ d(cosθ) = lim a→1 d(cos θ) σ ≈ lim a→1 a πα2 2, 01.10−3 2πα2 cos2 θ + 3 2 ( ) d(cosθ) ≈ 12 ≈ s 1 − cos2 θ s s a 25 Chương 2 Tiết diện tán xạ Moller 2.4 Kết quả thảo luận Tại năng lượng √ s = 100GeV, ta có σ = 2, 01.10−3 10−4 GeV −2 ≈ 2, 01.10−3 mbarn Từ biểu thức tính tiết diện tán xạ, ta có đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vào năng... (QED), chỉ xét tương tác của các hạt mang điện với photon , có hai giản đồ Feynman mô tả quá trình tương tác này: 18 Chương 2 Tiết diện tán xạ Moller Trong giản đồ kênh t và kênh u, các electron trao đổi 1 photon Ta có thể tính tiết diện của tán xạ Moller theo 2 cách: theo hệ khối tâm hoặc theo hệ phòng thí nghiệm Trong khóa luận của mình, tôi chọn cách thứ 2, tức là tính vi phân tiết diện toàn phần theo... 4 pµ k1 + pv k1 − g µv p1 k1 + m2 × 4 p2µ k2v + p2v k2µ − gµv p2 k2 + m2 1 1 e e 2 4t Xét tán xạ Moller trong hệ phòng thí nghiệm, ta bỏ khối lượng của electron hay coi me → 0 =⇒ 1 8e4 |Mt |2 = 2 [(p1 p2 ) (k2 k1 ) + (p2 k1 ) (k2 p1 )] 4 spins t 20 (2.1) Chương 2 Tiết diện tán xạ Moller 2.2 Tính biên độ ánh xạ theo kênh u Giản đồ Feynman cho quá trình Mu = u(k2 ) (−ieγµ )u(p1 ) −igµv u(k ) (−ieγv... trạng thái cuối trên một đơn vị thời gian và thể tích là r ωf i = (2π)4 n1 n2 ns |Mf i |2 δ 4 ( s pi − i qk ) k 1 s 0 k=1 (2qk ) r i=1 dpi 2p0 (2π)3 i (1.36) trong đó n1 là số hạt loại 1 Tiết diện tán xạ được xác định thông qua xác suất trên một đơn vị thời gian và thể tích có đơn vị diện tích l2 thông thường là barn(b) (1barn = 10−24 cm2 ) Tiếp diện tán xạ vi phân cho quá trình p1 + p2 → p3 + + pn bằng... trong đó hàm truyền của photon trong chuẩn t’Hooft - Feynman (ξ = 1) đã được sửu dụng Chú ý rằng biên độ tán xạ là một số c Các yếu tố ma trận ứng với mỗi đường fermion (muon hoặc electron) trong biên độ tán xạ cũng là một số, nên ta có thể bắt đầu từ bất kì đường fermion nào Mt∗ = −ie2 (u(p1 ) γ v u(k1 ) )(u(p2 ) γv u(k2 ) ) (p1 − k1 )2 19 Chương 2 Tiết diện tán xạ Moller ∗ Để tính |Mf i |2 = Mf i... tiết diện tán xạ vào năng lượng vào, chúng tôi √ nhận thấy tiết diện tán xạ giảm dần theo chiều tăng của s Trong quá trình thực hiện khóa luận, do hạn chế về mặt kiến thức cũng như thời gian tìm hiểu nên khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự đóng góp của thầy cô giáo và các bạn để đề tài hoàn thiện hơn 27 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thị Bích Hường, Xây dựng bài giảng về lý thuyết tán xạ trong . TRANG QUYÊN TÍNH TIẾT DIỆN CỦA TÁN XẠ MOLLER KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Hà Nội, năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN THỊ TRANG QUYÊN TÍNH TIẾT DIỆN CỦA TÁN XẠ MOLLER KHÓA. bản của lí thuyết trường - bài toán tán xạ luông là thách thức cho những ai mới tìm hiểu nó. Đó cũng là lí do tôi lựa chọn đề tài Tính tiết diện của tán xạ Moller làm khóa luận tốt nghiệp của. đích nghiên cứu Tìm hiểu về tán xạ Moller dựa trên những nội dung cơ bản của lí thuyết trường lượng tử. • Nhiệm vụ Xác định phần đỉnh và tính tiết diện của tán xạ Moller. • Phương pháp nghiên