SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂKLĂK TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG o0o ĐÚC RÚT KINH NGHIỆM Đề tài Phương pháp tính thể tích của khối chóp bằng cách xác định diện tích đáy và đường cao của khối chóp Người thực hiện: TRẦN KHẮC HẢI Tổ Tốn – Tin Trường THPT Lê Hồng Phong Năm học 2009 - 2010 1 A. PHẦN MỞ ĐẦU Mỗi môn học trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Trong quá trình giảng dạy, giáo viên luôn phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, từ đó tạo thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho thấy chúng ta còn có nhiều vấn đề cần giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán nhất là hình học không gian của học sinh còn rất yếu. Chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 là nội dung có thể nói là rất khó vì nó trừu tường, có nhiều kiến thức tổng hợp, học sinh thường gặp khó khăn trong việc nhìn hình không gian, khả năng vận dụng kiến thức đã có để giải bài tập chưa cao… Xuất phát từ thực tế trên tôi chuẩn bị một hệ thống bài tập chương khối đa diện dạy trong các tiết bài tập trên lớp (trên cơ sở bài tập sách giáo khoa) để học sinh rèn kỷ năng giải toán trên khối đa diện và giúp mọi đối tượng học sinh lĩnh hội kiến thức cơ bản nhất của chương. I. Cơ sở lý luận: Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế các tiết dạy bài tập về khối đa diện mà trọng tâm là thể tích khối đa diện. Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận, liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới. Các tiết dạy bài tập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy, phát huy tính tích cực của học sinh. Hệ thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lời giải. Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt. II. Cơ sở thực tiển: Trong quá trình giảng dạy hình học không gian (chương trình cũ rơi vào lớp 11, chương trình mới rơi vào lớp 11 và 12) tôi thấy đa phần học sinh rất lúng túng, kỹ năng giải toán hình không gian còn yếu. Bên cạnh đó bài tập sách giáo khoa của chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 đưa ra chưa được cân đối, rất ít bài tập cơ bản, đa phần là bài tập khó, đặc biệt quá khó đối với học sinh yếu, học sinh trường bán công dẫn đến học sinh có tư tưởng nản và e sợ không học. Do đó dạy bài tập đặc biệt với chương này tìm tòi, chọn bài tập, kết hợp bài tập sách giáo khoa, thiết kế trình tự bài giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong kiểm tra, đánh giá. - Mục tiêu của đề tài: Học sinh nắm được kiến thức cơ bản nhất của chương: phân biệt khối đa diện, thể tích khối đa diện, các đa diện đều. Tất cả học sinh rèn được kỷ năng tính toán các đại lượng hình học, tính được thể tích khối đa diện tương đối đơn giản. Trên cơ sở đã nắm được kiến cơ bản đó học sinh rèn kỷ năng giải các bài tập khó hơn về khối đa diện. - Thời gian thực hiện: 3 tiết (2 tiết bài tập theo phân phối chương trình và 1 tiết tự chọn). Đối tượng: học sinh khối 12 trường bán công có đầu vào chất lượng hơi yếu, học theo chương trình chuẩn. - Thực trạng của học sinh khi thực hiện đề tài: + Phần lớn học sinh không nhớ các hệ thức trong tam giác. + Các kiến thức cơ bản về hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp… còn hạn chế. + Kỷ năng phát hiện quan hệ giữa các đường thẳng, mặt phẳng và chứng minh hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc mặt phẳng còn rất yếu. III. Cách thực hiện: - Trang bị cho học sinh một số kiến thức cần thiết: hệ thức trong tam giác vuông, các kiến thức cơ bản của tam giác đều, cân, hình vuông,…(giao về nhà yêu cầu ôn lại và kiểm tra đầu tiết) - Trang bị cho học sinh một số kiến thức trọng tâm về quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa đường thẳng, mặt phẳng đã học ở lớp 11( đầu năm giành 1 tiết ôn tập trước khi dạy chương trình 12) 2 - Hệ thống bài tập giao cho học sinh trong các giờ bài tập của chương: được đưa ra từ dễ đến khó, khai thác triệt để các bài tập trong sách giáo khoa kết hợp đưa thêm bài tập ngoài bằng cách sắp xếp lại theo dạng. - Bài tập chương này trong sách giáo khoa rất khó, khi chọn bài tập trong sách giáo khoa có bài tôi thay đổi một số giả thiết về độ dài của một cạnh để học sinh dễ tính toán, dễ tiếp thu; các bài tập khó tôi bổ sung thêm những yêu cầu nhỏ để giảm bớt độ khó của bài. - Trước khi dạy mỗi dạng bài tập, giao bài tập về nhà cho học sinh chuẩn bị trước. - Dạy xong các dạng giao bài tập tương tự về nhà cho các em luyện tập. Bằng cách này học sinh yếu, trung bình có thể tiếp thu được những yêu cầu cơ bản nhất của chương, học sinh khá nâng cao được kỷ năng giải toán, có hứng thú trong học tập. B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. Kiến thức cơ bản: 1. Cho ABC∆ vuông ở A ta có : - Định lý Pitago : 2 2 2 BC AB AC= + - CBCHCABCBHBA .;. 22 == - AB. AC = BC. AH - 222 111 ACABAH += - sin , os , tan AC CB AC B c B B AB AB CB = = = 2. Công thức tính diện tích tam giác : - Đặc biệt : ABC∆ vuông ở A : 1 . 2 S AB AC= , ABC∆ đều cạnh a: 2 3 4 a S = 3. Định lý đường trung bình, Talet. 4. Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý: ; , ; d a d b d a b a b α α ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⊂ ∩ ≠ ∅ 5. Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý: d d a a α α ⊥ ⇒ ⊥ ⊂ 6. Cách xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng α - Xác định hình chiếu d của a trên mặt phẳng α - Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa d và a - Lưu ý về công thức tỉ số thể tích Cho hình chóp SABC, ' , ' , 'A SA B SB C SC∈ ∈ ∈ , ta có: ' ' ' ' ' ' . . SA B C SABC V SA SB SC V SA SB SC = II. Nội dung chính: - Bài tập đưa ra trong các tiết dạy được phân theo dạng, lựa chọn bài cho học sinh làm từ dễ đến khó trong mỗi dạng, một bài có thể giải theo nhiều cách khác nhau. Đối với thể tích khối chóp ta có thể phân chia ra nhiều loại khác nhau. Sau đây tối xin trình bày dạng tính thể tích của khối chóp bằng cách xác định “chiều cao và diện tích đáy” của khối chóp. - Đối với dạng này ta có thể chia ra làm 5 loại sau: Loại 1. Khối chóp đều a. Phương pháp. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy. - Đường cao của hình chóp là SO (O là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy) do đó ta cần xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp đa gác đáy của hình chóp đó. - Diện tích đấy là diện tích của đa giác đều 3 S C / B / A / C B A A C B H b. Cho hình chóp đều S.ABC. Tính thể tích khối chóp khi biết: 1. Cạnh bên bằng 2a , góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 45 0 . 2. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là 60 0 . 3. Trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng ϕ . Giải: Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiết tam giác ABC ta có ( ) SO ABC⊥ SO h⇒ = (đường cao của hình chóp).B = ABC S B= 1 . 3 V B h= 1. Xét tam giác SOA vuông tại O và SA = 2a góc · 0 45SAO = 0 0 2 2. . os45 2 .sin45 2 2. 2 AO a AO a AO SAc SO a SO SA SO a = = = ⇒ ⇔ ⇔ = = = . Mặt khác H trung điểm BC ta có ( ) 3 3 1 2 2 AH AO AH a= ⇔ = . Giọ x > 0 là cạnh của tam giác đều ABC ( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 HA x a x x a⇒ = ⇔ = ⇔ = Bài tập. Cho hình chóp đều S.ABCD. Tính thể tích khối chóp khi biết: 1. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là 45 0 2. Cạnh bên bằng a và tạo với mặt đáy một góc 60 0 . 3. Trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng ϕ . Loại 2. Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy a. Phương pháp - Cho hình chóp S.A 1 A 2 An có ( ) 1 1 2 n SA A A A⊥ khi đó ta có SA 1 = h là đường cao của hình chóp. - Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác 1 2 n A A A . b. Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60 ο . 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2. Tính thể tích của khối chóp MBCD. Giải Yêu cầu: + Học sinh xác định được góc. + Xác định được công thức thể tích của khối, tính độ dài đường cao SA. +Xác định được đường cao trong trường hợp chân đường cao có thể không thuộc mặt đáy của khối. +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông Lời giải: 1. Ta có 1 . 3 ABCD V S SA= . 2 2 (2 ) 4 ABCD S a a= = Xét ó : tan 2 6SAC c SA AC C a∆ = = 3 2 1 8 6 4 .2 6 3 3 a V a a⇒ = = 2. Kẻ / / ( )MH SA MH DBC⇒ ⊥ 4 S H C B A K O S A D C M B H Ta có: 1 2 MH SA= , 1 2 BCD ABCD S S= 3 D 1 2 6 4 3 MBC a V V⇒ = = Nhận xét: + Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. + Học sinh gặp khó khăn khi tính SA vì không biết sử dụng hệ thức trong tam giác vuông. c. Bài tập. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ( ) ABCD⊥ .Hãy tính thể tích của khói chóp S.ABCD khi biết: 1. Cạnh đáy AB = 3a , AD = a, SA = 3a . 2. Cạnh đáy AB = 3a , AD = a, góc giữa AC với mặt phẳng (SBC) bằng 30 0 . 3. Cạnh đáy AB = 3a , AD = a, góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 . 4. SA = a 3 , khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) bằng a, đường chéo BD = 2a. Loại 3. Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy. a. Phương pháp - Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là đường cao của tam giác mặt bên đó (phát xuất từ đỉnh khối chóp ) - Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác 1 2 n A A A . b. Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân đáy lớn AB = 2a, AD = CD = a và hai mặt phẳng ( ) ( ) SAB ABCD⊥ .Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABCD khi biết. Tam giác SAB đều. Giải Yêu cầu: + Học sinh xác định được đường cao SH. + Tính độ dài đường cao SH + Xác định được đường cao hình thang đáy. +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông. + Xác định được công thức thể tích của khối. Lời giải: - Gọi H là trung điểm AB ( ) 3SH ABD SH a⇒ ⊥ ⇒ = là đường Cao của khối chóp. - Gọi K là hình chiếu của D lên AB 0 3 .sin 60 2 a KD AB KD a KD⇒ ⊥ ⇒ = ⇔ = là đường cao của hình thang ABCD. - ( ) 2 1 3 3. . 2 4 a B AB CD DK B= + ⇔ = - 2 3 1 3. 3 3 3 4 4 a a V Bh V a= ⇔ = = Nhận xét : - Đối với bài này học sinh gặp khó khăn khi tính diệm tích đáy vì không xác định được góc A = 60 0 . - Không nhận ra được đường cao là SH. c. Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt phẳng ( ) ( ) SAB ABCD⊥ .Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABCD khi biết: 1. Cạnh đáy AB = a, AD = 2a, tam giác SAB đều. 5 S CD H K A B 2. Cạnh đáy AB = 2a, AD = a, tam giác SAB cân tại S và góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 45 0 . 3. Cạnh đáy AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 60 0 ,khoảng cách giữa đường thẳng AB tới mặt phẳng (SCD) bẳng a 3 . Loai 4. Khối chóp có hai mặt phẳng kề nhau vuông góc với đáy a. Phương pháp - Khối chóp có hai mặt phẳng kề nhau đi qua đỉnh vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là giao tuyến của hai mặt bên đó. - Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác 1 2 n A A A . b. Ví dụ Cho hình chóp SABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc với đáy, SA = a đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A = 120 0 . Tính thể tích khối chóp tạo bỡi hình chóp S.BCD. Giải Yêu cầu: + Học sinh xác định được đường cao của khối chóp là SA. +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông. + Xác định được công thức thể tích của khối +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông. + Tính được diện tích hình thói ABCD Lời giải: Ta có 1 . 3 ABCD V S SA= . Giã thiết SA = a. 2 ABCD ACD S S= . Mà giã thiết góc A= 120 0 ⇒ góc D bằng 60 0 nên tam giác ACD đếu ta có 2 2 1 3 3 3 . . 2 2 4 2 ACD a a a S a B= = ⇒ = . 2 3 1 1 3 . . 3 3 2 2 3 a a V Bh V a⇒ = ⇔ = = đvtt Nhận xét : - Đối với bài này học sinh gặp khó khăn khi tính diệm tích đáy vì không xác định được góc D = 60 0 . - Không nhận ra được đường cao là SA. c. Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Loại 5 . Hình chóp bất kỳ a. Phương pháp - Xác định đường cao ta tìm hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng chứa đa giác đáy và tính độ dài đường cao - Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác 1 2 n A A A . b. Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, · 0 5 60 , 2 a BAD SA SC= = = , SB = SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải Giải Yêu cầu: 6 S A D C B D S B A C O + Học sinh xác định được đường cao của khối chóp là SO. +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông. + Xác định được công thức thể tích của khối +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông. + Tính được diện tích hình thói ABCD Lời giải: Gọi O AC BD ≡ ∩ giã thiết ta có ( ) SA SC SO AC SO ABCD SO SB SD SO BD = ⊥ ⇒ ⇒ ⊥ ⇒ = ⊥ là đường cao của khối chóp. Ta lại có tam giác ABD đều 3 5 à 2 2 2 a a a AO v SA SO⇒ = = ⇒ = = h 2 ABCD ACD S S= . Mà 2 2 1 3 3 3 . . 2 2 4 2 ACD a a a S a B= = ⇒ = 2 3 1 1 3 3 . . 3 3 2 2 6 2 a a a V Bh V⇒ = ⇔ = = đvtt Nhận xét : - Đối với bài này học sinh gặp khó khăn khi tính diệm tích đáy vì không xác định được tam giác ABD là tam giác đều. - Không chứng minh được ( ) SO ABCD SO⊥ ⇒ đường cao của khối chóp. c. Bài tập. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = a, SA =SB = SC = 3 2 a và mặt bên SAB hợp với đáy một góc bằng 60 0 . 1. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) 2. Tính góc gữa dường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) 3. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. C. LỜI CẢM ƠN Với kết quả đạt được sau khi áp dụng đề tài và quá trình giảng dạy trên lớp song kết quả thu được còn rất khiêm tốn, rất mong được sự góp ý, giúp đỡ của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn, góp thêm một phần nhỏ vào việc giảng dạy học sinh trên lớp. Xin chân thành cảm ơn nhưng góp ý chân thành của quý đồng nghiệp và độc giã. Mọi góp ý xin gửi về www.trankhachai2007@yahoo.com .vn Người thực hiện TRẦN KHẮC HẢI 7 . góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60 ο . 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2. Tính thể tích của khối chóp MBCD. Giải Yêu cầu: + Học sinh xác định được góc. + Xác định được công thức thể tích. LÊ HỒNG PHONG o0o ĐÚC RÚT KINH NGHIỆM Đề tài Phương pháp tính thể tích của khối chóp bằng cách xác định diện tích đáy và đường cao của khối chóp Người thực hiện: TRẦN KHẮC HẢI Tổ Tốn – Tin. “chiều cao và diện tích đáy của khối chóp. - Đối với dạng này ta có thể chia ra làm 5 loại sau: Loại 1. Khối chóp đều a. Phương pháp. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và chân đường