ĐềThi +ĐA HSG Toán6 nhieu nam

Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm) Tính 101 + 100 + 99 + 98 + . . . + + + a/ A = 101 100 + 99 98 + . . . + + 423134 . 846267 423133 b/ B = 423133 . 846267 + 423134 Câu (2 điểm) a/ Chứng minh rằng: 1028 + chia hết cho 72 b/ Cho A = + + 22 + 23 + . . . + 22001 + 22002 B = 22003 So sánh A B c/ Tìm số nguyên tố p để p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 số nguyên tố. Câu (2 điểm) Ngời ta chia số học sinh lớp 6A thành tổ, tổ em thừa em, tổ 10 em thiếu em. Hỏi có tổ, học sinh ? Câu (3 điểm) Cho +ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = cm. a/ Tính độ dài BM b/ Biết BAM = 800; BAC = 600. Tính CAM c/ Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = cm. Câu (1 điểm) Chứng minh rằng: 1 1 + + + . + 2A A = 22003 => A = B 1. Vậy A < B. (1/2 điểm) c/ Xét phép chia p cho ta they p có dạng sau: p = 5k; p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + (k N; k > 0) + Nếu p = 5k p nguyên tố nên k = => p = + Nếu p = 5k + => p + 14 = 5(k + 3) lớn nên hợp số (loại) + Nếu p = 5k + => p + = 5(k + 2) lớn nên hợp số (loại) + Nếu p = 5k + => p + 12 = 5(k + 3) lớn nên hợp số (loại) + Nếu p = 5k + => p + = 5(k + 2) lớn nên hợp số (loại) Thử lại với p = thoả mãn (1 điểm) Câu 3: Giả sử có thêm học sinh chia tổ 10 em thừa em nh chia tổ em. Vậy cách chia sau cách chia trớc học sinh. Mỗi tổ 10 học sinh tổ học sinh là: 10 - = (học sinh) (1 điểm) Do số tổ là: : = (tổ) (1/2 điểm) Số học sinh là: . 10 = 37 (học sinh) (1/2 điểm) Câu 4: Vẽ hình, ghi giả thiết + kết luận (1/2 điểm) a/ C nằm B M => BC + CM = BM (1/2 điểm) => BM = + 5,5 = 8,5 (1/2 điểm) b/ C nằm B M =>AC tia nằm tia AB AM (1/2 điểm) => BAC + CAM = BAM => CAM = BAM BAC => CAM = 800 600 = 200(1/2 điểm) B A K' C K M c/ Xét trờng hợp: + Nếu K nằm C M tính đợc BK = BC + CK = 5,5 + = 6,5 (cm) + Nếu K nằm C B tính đợc BK = 4,5 (cm) (1/2 điểm) Câu 5: Ta có: 1 t2 = 15 . = 60 (phút) = (giờ) Vậy quãng đờng AB bằng: . . = 15 (km) Và ngời khởi hành lúc: 12 - . = (giờ) Câu 4: Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận (1/2 điểm) NA BC ( gt ) AC CE ( gt ) NAC = BCE (Góc có cạnh tơng ứng vuông góc tù) (1) (1 điểm) Lại có: C + C = 1v (2) C2 = E E + C = 1v AC = CE (gt) (3) (1 điểm) Từ (1), (2), (3) =>+ACN =+BEC (gcg) Vậy AN = BC (1/2 điểm) (1/2 điểm) (1/2 điểm) (1/2 điểm) N Ta có: E A K C B Câu 5: (1 điểm) Trong 25 số cho, phải có số dơng 25 số âm, tổng số bât kì âm, trái với đề bài. Tách riêng số dơng đó, lại 24 số, chia thành nhóm. Theo đề nhóm có tổng mang giá trị dơng nên tổn nhóm số dơng. Vậy tổng 25 số số dơng. Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm) a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - b/ Giải phơng trình: x4 - 30x2 + 31x - 30 = Câu (2 điểm) a/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, với a, b, c số hữu tỉ. Biết f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên. 3x x + b/ Tìm giá trị nhỏ của: A= x 2x + Câu (2 điểm) a/ Chứng minh với số a, b, x, y ta có (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 b/ Chứng minh rằng: x3m+1 + x3n+2 + chia hết cho x2 + x + với số tự nhiên m,n. Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn với đờng cao AA, BB, CC. Gọi H trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng: HA' HB' HC ' + + =1 AA' BB' CC ' Câu (1 điểm) 1 + + Cho số dơng a, b, c có tổng 1. Chứng minh rằng: a b c Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Câu a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - = x3 - 4x - 3x - = x(x2 - 22) - 3(x + 2) = x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x2 - 2x - 3) = (x + 2)(x2 - - 2x - 2) = (x + 2) [(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)] = (x + 2)(x + 1)(x - 3) b/ x -30x + 31x - 30 = (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = Vì x2 - x + = (x - 1/2)2 + 1/4 > x = x = => (*) (x - 5)(x + 6) = x = x + = (1/2 điểm) (1/2 điểm) (*) (1/2 điểm) (1/2 điểm) Câu a/ Có f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(2) = 4a + 2b + c số nguyên (1/2 điểm) => a + b + c - c = a + b nguyên => 2a + 2b nguyên => 4a + 2b nguyên => (4a + 2b) - (2a + 2b) = 2a nguyên => 2b nguyên Vậy 2a, 2b nguyên. 3( x x + 1) 2( x 1) + =3 + b/ Có A = (1/2 điểm) x ( x 1) ( x 1) Đặt y = => A = y2 2y + = (y 1)2 + (1/2 x điểm) = => x = => A = => y = x Vậy A = x = (1/2 điểm) Câu a/ Ta có (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 a2x2 + 2axby + b2y2 (1/4 điểm) 2 2 a y - 2axby + b x (ay - bx) (1/4 điểm) Vì bất đẳng thức cuối bất đẳng thức nên bất đẳng thức phải chứng minh bất đẳng thức đúng. (1/4 điểm) a b Dấu = xảy ay - bx = hay = (1/4 điểm) x y b/ Ta có x3m+1 + x3n+2 + = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + (1/4 điểm) 3m 3n = x(x - 1) + x (x - 1) + (x + x + 1) (1/4 điểm) 3m 3n Ta thấy x - x - chia hết cho x3 - chia hết cho x2 + x + x3m+1 + x3n+2 + chia hết cho x2 + x + A Câu BC . AA (1/2 điểm) C' + Có SHBC = BC . HA (1/2 điểm) + Có SHAC = AC . HB (1/2 điểm) + Có SHAB = AB . HC (1/2 điểm) B S S S HBC = HA' HAC = HB' HAB = HC' + ; ; S ABC AA' S ABC BB' S ABC CC' B' + Có SABC = => S HBC Vậy +S HAC S ABC +S H C A' (1/2 điểm) S HAB = ABC = S ABC HA' HB' HC ' + + =1 AA' BB' CC ' (1/2 điểm) Câu b c a = 1+ a + a a c Do a + b + c = nên = 1+ + (1/2 điểm) b b b a b c = 1+ c + c 1 a c a b b c + + = + + + + + + + + + = Vậy a b c a c b b a c Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 1/3 Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm) (5 + 6) 3+ b/ Chứng minh a, b, c số dơng thoả mãn a + c = 2b ta 1 + = có: a+ c a+ b b+ c a/ Tính giá trị biểu thức: P = Câu (1,5 điểm) a/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 x2 b/ Tìm giá trị lớn biểu thức: M = x + x2 + Câu (2,5 điểm) Xét đa thức P(x) = x9 + x99 a/ Chứng minh P(x) luôn chẵn với x nguyên dơng b/ Chứng minh P(2) bội số 100 c/ Gọi N số nguyên biểu thị số trị P(4). Hỏi chữ số hàng đơn vị N chữ số đợc không ? Tại ? Câu (3 điểm) Cho góc nhọn xOy điểm M nằm góc đó. Hãy tìm Ox, Oy điểm A, B cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. Câu (1 điểm) Cho số dơng a, b, c thoả mãn điều kiện a + b > c |a - b| < c. Chứng minh phơng trình a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = luôn vô nghiệm. Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Câu ( + )2 ( )2 a/ P = = ( + )( ) = = 3+ (1/2 điểm) (1/2 điểm) b/ Ta có: a b b c + VT = (*) (1/4 điểm) ab bc Từ a + c = 2b => a = 2b c thay vào (*) ta có (1/4 điểm) a b+ b c a b b c a c + = = VT = (**) 2b c b bc bc bc (1/4 điểm) a+c Thay b = vào (**) ta có 2( a c ) a c = = = VT = a + c 2c VP (Đpcm) (1/4 điểm) a c a+ c Câu a/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 4x2 + 8x + = 42 - 6y2 (2x + 2)2 = 6(7 - y2) (1/4 điểm) 2 Vì (2x + 2) => - y => y mà y Z => y = 0; 1; (1/4 điểm) 2 + Với y = => (2x + 2) = 6(7 - 1) 2x + 4x - 16 = => x1 = 4; x2 = -2. + Với y = =>2x2 + 4x - = => x1, x2 Z (loại) (1/4 điểm) + Với y = =>2x + 4x - 19 = => x1, x2 Z (loại) Vậy cặp nghiệm (x, y) phơng trình là: (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1). b/ Nhận xét x = M = 0, giá trị giá trị lớn nhất. Vậy M đạt giá trị lớn với x khác 0. Chia tử mẫu cho x2 ta đợc: M = x + + (1/2 điểm) x2 1 2 M đạt giá trị lớn x + nhỏ => x + = => x = x x Vậy M lớn /3 x = Câu Ta có P(x) = (x3)3 + (x33)3 = (x3 + x33)( x6 x36 + x66) = (x + x11)(x2 x12 + x22)( x6 x36 + x66) (1/4 điểm) a/ Với x chẵn x9, x99 chẵn x lẻ x9, x99 lẻ => x9 + x99 chẵn với x nguyên dơng (1/4 điểm) 11 11 b/ Ta có x = 2048 nên x + x = 2050 (1/4 điểm) Vì x = nên thừa số lại chẵn p bội 4100 Vậy P(2) chia hết cho 100 (1/4 điểm) c/ Ta có N = P(4) = 49 + 499 = (29)2 + (299)2 = (29 + 299)2 . 29 . 299 (1/4 điểm) Theo câu b số bị trf có chữ số hàng đơn vị mà số trừ lại có số hàng đơn vị khác hay hiệu chữ số hàng đơn vị khac Vậy chữ số N khác 0. x A' Câu - Dựng A đối xứng với M qua Ox (1 điểm) - Dựng B đối xứng với M qua Oy - Nối AB cắt Ox A, cắt Oy B (1 điểm) => AM = AA (A Ox trung trực AM) BM = BB (B Oy trung trực BM) (1/2 điểm) => P(AMB) = AA + AB + BB nhỏ (vì A, A, B, B thẳng hàng) O Câu Tính biệt số = [(a b)2 c2][(a + b)2 c2] (1/2 điểm) Vì a + b > c > < | a b| < c nên (a b)2 < c2 => (a b)2 c2 < (a + b)2 > c2 => (a + b)2 c2 > Do < => Phơng trình vô nghiệm A M y B B' (1/2 điểm)