0

Hình học dành cho học sinh 10, 11, 12 luyện thi vào đại học

298 1,317 0

Đang tải.... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 21/09/2015, 23:29

ne t TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC VĨNH VIỄN Chủ biên: Hoàng Hữu Vinh Biên soạn: Nguyễn Quang Hiển – Nguyễn Văn Hòa Trần Minh Quang – Trần Minh Thònh ilie u. HÌNH HỌC ta DÀNH CHO HỌC SINH 10–11–12 w w w .b ox VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC LƯU HÀNH NỘI BỘ www.boxtailieu.net t ne u. ilie ta ox .b w w w Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net Lời nói đầu Các em học sinh thân mến! Chúng nhóm giáo viên Toán Trung tâm luyện thi Vónh Viễn có nhiều kinh nghiệm việc giảng dạy biên soạn sách tham khảo. Nhằm mục đích giúp em học sinh tự học, nâng cao tập lớp 10, 11, 12 em thi vào Đại học, biên soạn Toán gồm ba quyển. ne t Quyển 1: Hình học. Quyển 2: Khảo sát hàm số – Tích phân – Số phức u. Quyển 3: Lượng giác – Đại số – Giải tích tổ hợp ilie Mỗi sách gồm:  Tóm tắt lý thuyết cách có hệ thống đầy đủ. ta  Phân loại dạng toán với cách giải dễ hiểu. Nhiều tập mẫu từ dễ đến khó, có nhiều giải nhiều cách khác nhau. ox  Rất nhiều tập để học sinh tự luyện soạn công phu, theo sát đề thi tuyển sinh Đại học (có Đáp số Hướng dẫn). w w .b Chúng hy vọng sách giúp em thích thú, nâng cao học lực thành công kì thi tuyển sinh Đại học đến. Dù cố gắng nhiều, chắn nhiều thiếu sót, mong đóng góp ý kiến em học sinh độc giả. w Nhóm biên soạn Hình học www.boxtailieu.net ne t PHẦN w w .b ox ta ilie u. HÌNH GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) w Biên soạn: NGUYỄN QUANG HIỂN TRẦN MINH QUANG HOÀNG HỮU VINH Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net BÀI PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy gồm hai trục vuông góc x’Ox y’Oy với hai vectơ đơn vò i j mà: y u i = (1, 0), j = (0, 1) Gọi x’Ox: trục hoành t M2 ne i y’Oy: trục tung x' O O: gốc tọa độ i u1 x u. y' I. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ilie Đối với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ: u  (u1; u2 ) v  (v1; v2 ) . Ta có: ox ta u  v1 . 1. u  v   u  v2 . 2. u  v  (u  v 1; u  v 2) .b 3. k.u  (k.u1; k.u2 ). (k  R) u1 u u v phương  k  R: u  kv  =0 w v1 v w 4. Tích vô hướng u.v  u v cos(u, v) w u.v  u1.v1  u2 .v2 . Hệ quả: u  v  u.v  y Độ dài vectơ: |u|  u12  u 22 II. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Cho hệ tọa độ Oxy điểm M tùy ý. Tọa độ (x; y) vectơ OM gọi tọa độ điểm M ký hiệu là: M(x; y). Q i x' O x: hoành độ, y: tung độ. M i P x y' Cho hai điểm A(x A; yA) B(x B; yB). Hình học www.boxtailieu.net AB  (xB  x A ; yB  y A ) AB  (xB  x A )2  (yB  y A )2 Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB là: xI  x A  xB y  yB ; yI  A 2 x A  x B  xC   x G  G trọng tâm ABC:  y  y A  yB  yC  G B. BÀI TẬP MẪU ne t Bài 1. Cho tam giác ABC với: A(1; 0), B(5; 0), C(2; 3). Tìm điểm sau tam giác: a) Trọng tâm G. u. b) Trực tâm H. ilie c) Chân A’ đường cao hạ từ A xuống cạnh BC. d) Tâm I đường tròn ngoại tiếp. Giải .b ox ta a) G trọng tâm tam giác ABC nên: x  x B  xC y  y B  yC xG  A  ; yG  A 1 3 Vậy: G( ; ) w b) H(x, y) trực tâm tam giác ABC: w w AH.BC      BH.AC  Mà: AH  (x  1; y) ; BC  ( 3; 3) ; BH  (x  5; y) ; AC  (1; 3) Nên điều kiện thành: 3(x  1)  3y    1(x  5)  3y  3x  3y  x     x  3y  y  Vậy: H(2; 1) c) A'(x, y) chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net   AA '.BC     BA ' BC phương Mà: AA'  (x  1; y); BC  (3; 3); BA'  (x  5; y) Nên điều kiện thành: 3(x  1)  3y    3(x  5)  3y  x  y  x     x  y  y  ne t Vậy: A’(3; 2) d) I(x, y) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: 2 2 2   IA  IB (x  1)  y  (x  5)  y    2 2   IA  IC (x  1)  y  (x  2)  (y  3) 8x  24  x     x  3y  y  u. Vậy: I(3; 1). ilie Bài 2. Cho ba điểm: A(–3; 3), B(–5; 2), C(1; 1) ox ta a) Chứng tỏ A, B, C ba đỉnh tam giác. ˆ b) Chứng tỏ BAC góc tù. c) Tính diện tích tam giác ABC. d) Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác ABC. .b Giải a) Ta có: AB  (2;  1), AC  (4;  2) w 2  = (2).( 2)  ( 1).4   0. 2 w w Nên AB AC không phương, tức ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Do A, B, C ba đỉnh tam giác. ˆ (2).(4)  (1).(2) 3   0. Ta có: cosBAC  cos AB, AC)  2 2 (2)  (1) . (4)  (2) ˆ Nên BAC góc tù. b) Diện tích tam giác ABC: ˆ ˆ 1 S  AB.AC.sinBAC  AB.AC.  cos2 BAC 2  5. 20.   4(đvdt) 25  c) Ta có: S = pr Hình học www.boxtailieu.net 1 Mà: p  (AB  BC  CA)  (  37  5)  (3  37) 2 S   37 . r= p Bài 3. Tuyển sinh Đại Học khối B/2011 Cho : x – y – = 0, d: 2x – y – = Tìm N thuộc d cho đường thẳng ON cắt  M thỏa OM.ON = 8. Giải y Gọi M(m, m – 4)   N(n, 2n – 2)  d  m(2n – 2) = n(m – 4) O ta ox Ta có: OM2.ON2 = 64 ilie  mn – 2m = –4n  (4 + m)n = 2m 2m n= 4m .b  4m2 4(m  4)2   [m2 + (m – 4)2]  = 64  (m  4)2   (4  m) w  [m2 + (m – 4)2][m2 + (m – 4)2] = 16(m + 4)2  (2m2 – 8m + 16)2 = [4(m + 4)]2 w w 2m2  8m  16  4(m  4)   2m  8m  16  4(m  4) 2m2  12m    2m  4m  32  (vô nghiệm) m=0  m=6 6 2 Vậy M1(0; –4), N1(0, –2) hay M1(6, 2) N2  ,  . 5 5 Bài 4. Tuyển sinh Đại Học khối B/2007 Cho A(2, 2). Tìm B d1: x + y – = t u. m m4 =0 n 2n  O, M, N thẳng hàng  d ne Ta có: Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net x N -4  M C d2: x + y – = cho ABC vuông cân A. Giải Gọi B(b, – b)  d1 C(c, – c)  d2 Ta có:  AB  (b  2,  b)  AC  (c  2,  c) ABC  cân A    AB  AC (b  2)(c  2)  b(6  c)    2 2 (b  2)  b  (c  2)  (6  c)  Y    X X  Y   ilie  XY    2 2X   2Y  w .b  Y    X  X  1 (loại)  X    X   X  2     Y   Y  1 w b  X   b   b  1 nên    c  Y  c  c  w Do  Y    X  X  3X    ta ox   Y  X   X    X2 ne u. (X  1)(Y  2)  (X  1)(2  Y)  2 2 (X  1)  (X  1)  (Y  2)  (2  Y) t Đặt X = b – Y = c – ta hệ Vậy B1(3, –1), C1(5, 3) B2(–1, 3), C2(3, 5). Bài 5. Cho ABC có trọng tâm G(0, 4), C(–2, –4). Biết trung điểm M BC nằm d: x + y – = 0. Tìm M để độ dài AB ngắn nhất. Giải Hình học www.boxtailieu.net Gọi M(m, – m)  d Do M trung điểm BC nên  xB  2x M  xC  2m    y B  2y M  yC  2(2  m)  Vậy B(2m + 2, – 2m) Do G trọng tâm ABC nên  x A  3xG  xB  xC  2m   y A  3y G  y B  y C   2m Vậy A(-2m, + 2m) AB2 = (4m + 2)2 + (–4m)2 ne   = 32m2 + 16m + = 32  m2  m  +   t Ta có ilie  9  M ,  .  4 ta Vậy ABmin =  m =  u. 2  1 1 1  = 32  m       32  m      16  4   Bài 6. Chứng minh bất đẳng thức: 4cos2 x.cos2 y  sin2 (x  y)  4sin2 x.sin2 y  sin2 (x  y)  2, x, y b) x2  xy  y2  x2  xz  z2  y2  yz  z2 , .b ox a) x, y, z Giải w a/ Trong hệ tọa độ Oxy: Với x, y xét hai vectơ: w a  (2cosx.cosy; sin(x  y)); b  (2sinx.siny; sin(x  y)) w Ta có: a  b  (2cos(x  y); 2sin(x  y)) Và: |a|  |b|  |a  b| Nên: 4cos2 xcos2 y  sin2 (x  y)  4sin2 xsin2 y  sin2 (x  y)  2; x, y. b/ Trong hệ tọa độ Oxy: Với x, y, z, xét hai vectơ:  y y z z 3 a  (x  ; ); b   x  ;   2  2  y z y z  ) Ta có: a  b  (  ; 2 2 10 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net Bài 46. Cho hai đường thẳng: (d1): x  y 1 z 1 ;   7 x7 y 3 z9 . Lập phương trình tắc đường thẳng   1 (d3) đối xứng với (d2) qua (d1). (d2): Bài 47. Cho mặt phẳng (P): x + y + x + = hai điểm M1(3; 1; 1) M2(7; 3; 9). Tìm M mặt phẳng (P) để MM1  MM2 đạt giá trò nhỏ nhất. Bài 48. Cho đường thẳng: x 1 y  z x 2 y 2 x ; (d2)     2 4 (d3): x y z1 x  y z 1 ; (d4):     1 2 1 ne t (d1): ilie u. a) Chứng minh hai đường thẳng (d1) (d2) nằm mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. Đáp số: y + z – = x4 y2 z   1 ox Đáp số: ta b) Chứng minh tồn đường thẳng (d) cắt bốn đường thẳng cho. Viết phương trình tắc đường thẳng (d). .b Bài 49. Cho ba đường thẳng: x  y  z 1 x7 y 3 z9 ; (d2): ;     1 1 (d3): x 1 y  z2 .   2 1 w w w (d1): Lập phương trình đường thẳng cắt (d1), (d2) song song với (d3). Bài 50. Cho đường thẳng (d): x3 y4 z3   1 mặt phẳng (P): 2x + y + z – = 0. a) Tính số đo góc tạo (d) (P). b) Tìm toạ độ giao điểm A (d) (P). c) Viết phương trình đường thẳng () qua A, vuông góc với (d) nằm mặt phẳng (P). Hình học www.boxtailieu.net 283 Bài 51. Cho đường thẳng (d): x 1 y 1 z  mặt phẳng   (P):x – y – z – = 0. Viết phương trình tắc (d) qua A(1, 1, –2) song song với mặt phẳng (P) vuông góc với (d). Đáp số: x 1 y 1 z    2 5 Bài 52. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) phương trình hai trung tuyến x  y  z 1 x  y 2 z 2 ; . Viết phương trình tắc     2 1 4 cạnh tam giác. a) Tính thể tích tứ điện. x 1 y 1 z 1   1 ilie Đáp số: u. b) Viết phương trình đường cao DH tứ điện. ne t Bài 53. Cho tứ điện ABCD với A(1; 0; 2), B(1; 1; 0), C(0; 0; 1) D(1; 1; 1). ta c) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ điện A. Đáp số: –x + y + 3z – = ox Bi 54. ĐH/B02 Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh a. a) Tính theo a khoảng hai đường thẳng A1B B1D. w .b b) Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB1, CD, A1D1. Tính góc hai đường thẳng MP C1N. w Bài 55. ĐH/D05 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(0; 1; –3), điểm N(2; 3; 1). w a) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua N vuông góc với MN. b) Viết phương trình tổng quát mặt cầu (S) qua điểm M, điểm N tiếp xúc với mặt phẳng (P). Bài 56. Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng d1 giao tuyến mặt phẳng x – az – a = y – z + = 0; d2 giao tuyến mặt phẳng ax + 3y – = x + 3z – = a) Tìm a để hai đường thẳng d1 d2 cắt nhau. b) Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 284 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net song song với đường thẳng d1.Tính khoảng cách d1 d2 a = 2. Bài 57. DBA/04 Trong không guan với hệ toạ độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có A trùng với gốc toạ độ O, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A1(0; 0; ). a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A1, B, C viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng B1, D1 mặt phẳng (P). b) Gọi (Q) mặt phẳng qua A vuông góc với A1 C. Tính điện tích thiết điện hình chóp A1.ABCD với mặt phẳng (Q). Bài 58. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(5; 2; –3) mặt phẳng (P): 2x + 2y –z + = ne t a) Gọi M1 hình chiếu M lên mặt phẳng (P). Xác đònh toạ độ điểm M1 tính độ dài đoạn MM1. u. b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M chứa đường thẳng: x 1 y 1 z 5   ilie Bài 59. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4) ta a) Tìm toạ độ điểm A1, B1. Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, A, B, O1. ox b) Gọi M trung điểm AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O1A cắt OA N, K. Tính độ dài đoạn KN. w .b Bài 60. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2) w w a) Xác đònh toạ độ điểm lại hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M trung điểm BC. Chứng minh hai mặt phẳng (AB1D1) (AMB1) vuông góc nhau. b) Chứng minh tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 (N khoảng cách A) tới hai mặt phẳng (AB1D1) (AMB1) không phụ thuộc vào vò trí điểm N. Bài 61. Cho bốn điểm A(2; –1; 6), B(–3; –1; –4), C(5; –1; 0), D(1; 2; 1) a) Chứng minh ABC tam giác vuông. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. b) Tính thể tích tứ điện ABCD. c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ điện ABCD. Hình học www.boxtailieu.net 285 Bài 62. Viết phương trình mặt cầu trường hợp sau: a) Tâm I = (1; 0; –1), đường kính 8. b) Đường kính AB với A(–1; 2; 1), B(0; 2; 3). c) Tâm O(0; 0; 0) tiếp xúc với mặt cầu tâm (3; –2; 4) bán kính 1. d) Tâm I(3; –2; 4) qua A(7; 2; 1). e) Tâm I(2; –1; 3) tiếp xúc mặt phẳng (Oxy). f) Tâm I(2; –1; 3) tiếp xúc mặt phẳng (Oxz). g) Tâm I(2; –1; 3) tiếp xúc mặt phẳng (Oyz). Bài 63. t a) Cho phương trình: x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = ne Tìm m để phương trình mặt cầu tìm m để bán kính mặt cầu nhỏ nhất. u. b) Cho phương trình: x2 + y2 + z2 + 2xcos – 2ysin – 4z – (4 + sin2) = 0. ilie Tìm  để phương trình phương trình mặt cầu tìm  để bán kính mặt cầu nhỏ nhất. ta Bài 64. ox a) Cho mặt cầu có phương trình: x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + = điểm M(4; 3; 0). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm M. .b b) Viết phương trình mặt cầu có tâm I(–2; 1; 1) tiếp xúc với mặt phẳng (): x + 2y – 2z + = 0. w w c) Cho bốn điểm A(3; –2; –2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1),D(–1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). w d) Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) có tâm I nằm mặt phẳng x + y + z – = 0. Bài 65. Trong không gian toạ độ Oxyz cho mặt cầu: (S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = đường thẳng  x  7  3t x  y  z  13  ; d :  y  1  2t d:   3 z   a) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) vuông góc với d. b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) song song với d, d. 286 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net Bài 66. Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm A(–2; 1; 4), B(0; 4; 1), x  y  11 z  C(5; 1; –5), D(–2; 8; –5) đường thẳng d:   4 a) Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ điện. b) Tính thể tích khối tứ điện ABCD. c) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ điện ABCD. d) Tìm giao điểm M, N đường thẳng d với mặt cầu (S). e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) M, N. Tính góc tạo hai mặt phẳng đó. Bài 67. Cho điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0). ne t a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C, D. Xác đònh tâm bán kính. b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu A. u. Bài 68. Cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + m = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 6y – 2z – 11 = 0. Tìm giá trò m để: ilie a) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). ta b) Mặ t phẳ ng (P) cắt mặ t cầ u (S) theo mộ t đường trò n có bán kính bằ ng 3. Bài 69. Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu: w .b ox x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = song song với hai đường  x   3t x  y  z  13  thẳng:   ;  y  1  2t 3 z   w 4x  6y  5z  103   Đáp số: 4x  6y  5z  205  w Bài 70. Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 2z + = mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 11 = 0. Tìm điểm M (S) cho khoảng cách từ đến (P) nhỏ nhất. Đáp số: M(2, –4, –1) z  2t  Bài 71. Cho hai đường thẳng: (d1):  y  t ; z    x  t  (d2):  y   t . Xét M thuộc z   (d1), N thuộc (d2) cho MN vuông góc với (d1) (d2). Viết phương trình mặt cầu đường kính MN. Đáp số: (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 16 Hình học www.boxtailieu.net 287 Bài 72. Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4z – = ba điểm A(3; 1; 0), B(2; 2; 4), C(–1; 2; 1) mặt cầu. a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). b) Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  x  2y  z   Bài 73. Cho điểm I(1; 1; 1) đường thẳng (d):  2y  z   a) Xác đònh toạ độ hình chiếu vuông góc H I lên (d). b) Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I cắt (d) hai điểm A, B cho AB = 16. x y 1 z 1   2 ne Bài 74. Cho đường thẳng (d): t Đáp số: (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 81 u. hai mặt phẳng (P): x + y – 2z + = 0; (Q): 2x – y + z + = 0. ilie Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) tiếp xúc với (P), (Q). Bài 75. Cho hai điểm A (1, 2, 0), B (0, 1, 3) đường thẳng x  y x 1 . Viết phương trình đường thẳng  qua A, vuông góc   192 d có khoảng cách đến điểm B lớn nhất. x 1 y  z   10 1 .b Đáp số: ox ta d: w Bài 76. Cho hai điểm A(3, 3, 1), B(0, 2, 1) đường thẳng d: w Tìm điểm C d cho ABC có diện tích lớn nhất. x y 7 z   . 3 w  17 47 34  Đáp số:  ; ;   14 14  Bài 77. Cho điểm M (1, 3, –2) mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 14 a) Chứng tỏ điểm M nằm mặt cầu (S) b) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M cắt (S) theo đường tròn có bán kính nhỏ Đáp số: y + z – = 288 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net Bài 78. Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (P): 2x – 5y + 2z + = cho đường thẳng OM tạo với trục tọa độ góc nhau. x  t  Bài 79. Cho đường thẳng d:  y   t điểm A (–5, 3, 4) z   t  Viết phương trình đường thẳng  qua A, vuông góc d hợp với mặt phẳng (Oyz) góc 45o. x  5  t  Đáp số: y   t z   ne t Bài 80. Cho hai mặt phẳng : x + 2y + 3z – = 0; : 3x – 2y – z – = 0. điểm điểm M(0, –1,2). x 1 y 1 z 1 x y 1 z 3 ; d :     2 1 2 ta Bài 81. Cho hai đường thẳng d: ilie 5x  6y  5z   Đáp số:  5x  2y  5z  11  u. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến ,  cắt trục Ox, Oz A,B cho OA = OB ox a) Chứng minh d, d M nằm mặt phẳng x y 1 z2   14 22 w Đáp số: .b b) Gọi I giao điểm d d. Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt d, d A, B cho ABI cân A w w x   t  Bài 82. Cho đường thẳng d:  y  4 mặt phẳng z   2t  : x – y + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1, 0, – 2), song song d hợp với  góc 45o Đáp số: y = 0, –8x + y + 4z + 16 = Bài 83. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(–2, 0, 1), cắt trục Oy tạo với trục Oy góc 45o Đáp số: x2 y z 1   1 Hình học www.boxtailieu.net 289 Bài 84. Cho hai điểm A(–2, 1, 3), B(1, 0, 4). Tìm điểm C mặt phẳng (Oxy) để ABC có chu vi nhỏ nhất.  5  Đáp số: C  ; ; 0 7  x 1 y z1 hai điểm A(3, 0, 2),   2 B(1, 2, 1). Tìm điểm I  d để vectơ IA  IB có độ dài nhỏ Bài 85. Cho đường thẳng d:  14 5 13  Đáp số: I  ; ;  9  t Bài 86. Cho mặt phẳng : x + y + z + = hai điểm A(3, –1, 1), B(–2, 0, –3). Tìm điểm M  để: ne   a) MA + MB nhỏ . Đáp số:   ;  ;  2  4  ilie u.  5  b) MA – MB lớn nhất. Đáp số:   ; ;  3  2    c) MA  MB nhỏ nhất. Đáp số:   ;  ;  2  6  ox ta Bài 87. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (–1, 2, 3) cho (P) cắt trục Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C độ dài đường cao OH tứ điện OABC lớn (O gốc tọa độ) .b Đáp số: x – 2y – 3z + 14 = x 1 y 1 z   mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2 2x – 4y – 6z + = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua d cắt (S)  theo đường tròn có điện tích . w w w Bài 88. Cho đường thẳng d: x  z   Đáp số:  53x  48y  43z  101  Bài 89. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A (1, 0, 0), B (0, 2, 1) thỏa điều kiện: a) Tiếp xúc mặt cầu (S) (x – 1)2 + y2 + (z + 1)2 = . Đáp số: x + z – = 0,3x + 4y – 5z – = b) Cắt trục Oz điểm D cho OD = 290 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net Đáp số: 4x + y + 2z – = 0, 4x + 3y – 2z – = c) Hợp với mặt phẳng (P): x – y + 10 = góc 60o Đáp số: x + z – = d) Cách gốc O khoảng lớn nhất. Đáp số: 5x + 2y + z – = e) Hợp với mặt phẳng (Oxy) góc nhỏ nhất. Đáp số: x – 2y + 5z – = Bài 90. Cho ba điểm A (1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3). Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (ABC) cho M cách ba mặt phẳng tọa độ x y z 1   1 ne Cho điểm A (1, 1, 3) đường thẳng d: t Bài 91. (CĐ.08) u. a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc d b) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho MOA cân O ilie Bài 92. ĐHB/2010 w Bài 93. ĐH/D2010 .b ox ta 1. Cho ba điểm A (1, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) (b > 0, c > 0) mặt phẳng (P): y – z + = 0. Xác đònh b, c biết mặt phẳng (ABC) vuông góc mặt phẳng (P) khoảng cách từ gốc đến mặt phẳng (ABC) . x y 1 z 2. Cho đường thẳng :   . Xác đònh tọa độ điểm M trục Ox 2 cho d(M, ) = OM w w Cho mặt phẳng (P): x + y + z – = (Q): x – y + z – = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ gốc O đến (R) 2. Bài 94. Cho mặt cầu (S): (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26 đường thẳng x  y  z  10 d: . Tìm tọa độ điểm M  (S) cho đường thẳng   2 OM vuông góc đường thẳng d OM = 11 (O gốc tọa độ)  13 9 17  Đáp số: (1, –3, 1);  ; ;  7 7  Hình học www.boxtailieu.net 291 x  m  Bài 95. Cho đường thẳng 1:  y  m  (t tham số) hai mặt phẳng: z  1  t  (P): mx + y – mz – = 0; (Q): x – my + z – m = a) Tìm m để hai mặt phẳng (P) (Q) cắt nhau. b) Gọi 2 giao tuyến (P) (Q). Viết phương trình tham số đường thẳng 2. c) Tìm m để d(Oz, 1) = d(Oz, 2) Đáp số: m = 0. Bài 96. Cho hai đường thẳng: t d1 giao tuyến hai mặt phẳng: mx + 3y – = 0; x + 3z – = ne d2 giao tuyến hai mặt phẳng: x – mz – m = 0; y – z + = u. Tìm m để hai đường thẳng d1 d2 cắt điểm I cho OI = ilie (O gốc tọa độ) Đáp số: m = 107 x   m y  2m z 1   m2 2 m3 (m  –2 m  –3). Chứng minh m thay đổi, (dm) nằm mặt phẳng cố đònh Đáp số: 2x – y – 2z + = x 1 y 2 z 3 Bài 98. Cho đường thẳng d1: hai điểm   A(5, 4, 3), B(6, 7, 2) a) Viết phương trình đường thẳng d2 qua hai điểm A, B. Chứng minh d1 d2 chéo nhau. w w .b ox ta Bài 97. Cho đường thẳng (dm): w b) Tìm điểm C  d1 cho ABC có điện tích nhỏ nhất. Tính giá trò nhỏ đó. Đáp số: C(3, 5, 4), 66 Bài 99. Cho đường thẳng d: x y 1 z  ba điểm A(1, 0, –1),   1 2 B(2, 3, –1), C (1, 3, 1). a) Tìm điểm D d cho tứ điện ABCD tích 1. b) Viết phương trình đường thẳng qua trực tâm H ABC vuông góc mặt phẳng (ABC). 292 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net Đáp số: x 1 y  z 1   2 Bài 100. Cho ba điểm A(1, –2, –5), B(1, –1, 0), C(3, –2, 2) a) Gọi E điểm đối xứng A qua đường thẳng BC; F điểm đối xứng A qua mặt phẳng (Oxz). Viết phương trình tham số đường thẳng EF b) Tìm m để mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 6y + – 2m = tiếp xúc đường thẳng EF. Tính khoảng cách từ E đến tiếp điểm (S) đường thẳng EF. Bài 101. Cho hai điểm A(6, 2, –5), B(–4, 0, 7) a) Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB. ne t b) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) điểm A. u. c) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Q): 5x + y – 6z + = cho đường thẳng qua M, vuông góc (Q) cắt (S) hai điểm, đồng thời khoảng cách hai điểm lớn nhất. ta ilie  x   2t  Bài 102. Cho mặt cầu (S): x + y + z = đường thẳng d:  y   t z  2  2t  ox Tìm tọa độ điểm M d cho đường thẳng  qua M, vuông góc mặt phẳng (P): x – 2z + = cắt (S) điểm A, B thỏa AB = . w w .b Bài 103. Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 10z – 19 = 0, đường x  y  z 1 thẳng d: điểm A(–2, 1, 2), B(0, 4, 1). Tìm tọa   1 độ điểm M d cho đường thẳng  qua M, song song đường thẳng AB cắt (S) điểm C, D thỏa CD = 14 . w Bài 104. Cho mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = mặt phẳng (P): –6x + 2y – 2z + 15 = 0. Tìm tọa độ điểm M  (S) cho tiếp tuyến M với (S) qua gốc tọa độ O vuông góc mặt phẳng (P). x   t  Bài 105. Cho mặt phẳng (P): y – 3z + = đường thẳng d:  y   t z  3  2t  Tìm điểm A (P) điểm B d cho đường thẳng AB vuông góc mặt phẳng (P) AB = 10 . Bài 106. Cho mặt phẳng (P): 6x + 2y – 5z – 25 = hai đường thẳng Hình học www.boxtailieu.net 293 x   t  d1:  y  2t ; d z  4  t  x   t  : y  3t   z  t  Tìm điểm A d1 điểm B d2 cho đường thẳng AB song song mặt phẳng (P) AB = 26 . x 1 y  z  . Tìm điểm M  d   1 điểm N  Oy cho MN = khoảng cách từ N đến mặt phẳng (Oxz) 2. Bài 107. Cho đường thẳng d: u. ba điểm A(0, 2, 0), B(1, 3, –1), C(1, 1, –3). ne t  x  2  t  Bài 108. Cho đường thẳng d:  y   3t z   2t  ilie a) Tìm điểm M d để thể tích tứ điện ABCM 11 . b) Tìm điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành. ta c) Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết điểm S d mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng đáy góc 60o. .b ox Bài 109. Cho khối chóp S.ABC có A(1, 2, 0), B(–2, 2, 0), C(–5, 1, 0) đỉnh thuộc trục Oz cho mặt phẳng (SAB) hợp với mặt phẳng đáy góc 30o. Tính thể tích khối chóp. w Bài 110. Cho hai điểm A(–3, 1, –2), B(1, –1, 2) mặt phẳng w (P): x – (2m + 1)z – m2 + m – = 0. Gọi A điểm đối xứng A qua mặt phẳng (Oyz); B điểm đối xứng B qua trục Oz. w a) Tìm m để đường thẳng AB song song mặt phẳng (P). b) Tìm m để mặt phẳng (P) mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB. c) Tìm m để đường thẳng AB tạo với mặt phẳng (P) góc 45o. Bài 111. Cho ba điểm A(1, –2, 0), B(–2, 1, 3), C(4, –2, –3) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x – 2z + = cho: a) MA  MB  MC nhỏ nhất. b) 4MA  MB  MC nhỏ 294 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net c) MA  2MB  MC nhỏ x  t  Bài 112. Cho đường thẳng d:  y   t ; d: z   2t   x   2t   y   t z   2t   5  điểm I  , ,  2  1. Chứng minh d, d I nằm mặt phẳng. t 2. Gọi A giao điểm d d;  đường thẳng qua I cắt d, d hai điểm M, N (khác A). Viết phương trình đường thẳng  biết: b) IMN vuông M. ne a) I trung điểm MN. c) Khoảng cách từ A đến  lớn nhất. u. AM  . Xác đònh tọa độ hai điểm M, N. AN ilie d) ta x  t  x   2t    Bài 113. Cho hai đường thẳng d:  y   2t d:  y   t z   4t  z  t   ox a) Chứng minh d d không cắt vuông góc nhau. .b b) Viết phương trình đường thẳng d1 song song trục Oz cắt hai đường thẳng d, d. w c) Viết phương trình đường thẳng d2 vuông góc mặt phẳng (Oxz) cắt hai đường thẳng d, d. w w d) Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc hai đường thẳng d, d. 16   34   10   Đáp số:  x     y    z    21   21   21   Bài 114. Cho ba điểm A(1, –2, 3), B(–1, 2, –3), C(1, 3, –4). a) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng BC. Tìm tọa độ tiếp điểm. b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng BC qua điểm A, B. c) Viết phương trình mặt cầu qua hai điểm A, B có tâm thuộc trục Ox. Hình học www.boxtailieu.net 295 d) Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy). e) Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm cách mặt phẳng (ABC) đoạn . f) Viết phương trình mặt cầu tâm A chắn trục Ox đoạn thẳng có độ dài độ dài đoạn BC. Bài 115. Cho ba điểm A(2,0, –1), B(–1,3, –3), C(5, –3, –5) 1. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cho: a) Khoảng cách từ M đến trọng tâm ABC nhỏ Đáp số: M(2, 0, 0) ne Đáp số: M(2, 0, 0) t b) Độ dài vectơ 2MA  5MB  5MC nhỏ ilie  3  ; ; 0 Đáp số: M     u. c) Thể tích tứ điện MABC lớn biết OM = (O gốc tọa độ) ta 2. Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (P): x – 2y – z + = cho độ dài vectơ NA + NB + NC nhỏ ox  11 13 29  Đáp số: N  ; ;   12 12  x  t  Bài 116. Cho mặt cầu (S): x + y + z = đường thẳng d:  y   t z   t  w .b w a) Tìm tâm bán kính đường tròn (C) giao tuyến mặt phẳng (P): z –1 = mặt cầu (S). w b) Viết phương trình mặt cầu (S1) chứa (C) chắn đường thẳng d 14 đoạn có độ dài . Đáp số: x2 + y2 + (z + 3)2 = 25 c) Viết phương trình mặt cầu (S ) chứa (C) chắn đường thẳng d đoạn có độ dài nhỏ nhất. Đáp số: x2 + y2 + (z – 2)2 = 10 296 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net w w w .b ox ta ilie u. ne t x  x y 1 z 1  Bài 117. Cho hai đường thẳng: d: d:  y  t   1 z   t  a) Chứng minh d d chéo nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d song song d. Đáp số: x – y + z – = c) Điểm M di động d, hai điểm A B di động d cho AB = . Tính giá trò nhỏ diện tích tam giác MAB. Đáp số: Bài 118. Cho ba điểm A(4, –1, 2), B(1, 2, 2), C(1, –1, 5). a) Tính thể tích khối tứ điện giới hạn mặt phẳng (ABC) ba mặt 125 phẳng tọa độ. Đáp số: b) Viết phương trình trục dường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. x   t  Đáp số: y  t z   t  c) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD tứ điện đều. Đáp số: D(4, 2, 5); (0, –2, 1)  Giải tập sau phương pháp tọa độ: Bài 119. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.ABC có chiều cao h. Biết AB vuông góc BC. Tính thể tích khối lăng trụ theo h. Bài 120. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 121. Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a. Tìm điểm I thuộc cạnh AA cho mặt phẳng (BDI) cắt hình lặp phương theo thiết điện có điện tích nhỏ Bài 122. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, BAD = 60o, a SA = SB = AD = a) Tính thể tích khối chóp. b) Tính góc hai đường thẳng SB AD. Bài 123. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, cạnh a; BAD = 60o, đường cao SO hình chóp a. Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB. Hình học www.boxtailieu.net 297 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Phần 1: HÌNH GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) Bài 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) Bài 2. ĐƯỜNG THẲNG 15 Bài 3. ĐƯỜNG TRÒN 38 Bài 4. ELIP 58 ne t Bài 5. HYPERBOL Phần 2: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN u. Bài 6. PARABOL 66 71 78 79 Bài 2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC 82 ilie Bài 1. QUAN HỆ SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC Bài 3. CÁC BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH ta Phần 3: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN (Oxyz) 99 155 156 Bài 2. MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 175 Bài 3. MẶT CẦU 191 .b ox Bài 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 198 BÀI TẬP ÔN TỔNG HP 254 w w Bài 4. ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN w 298 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net [...]... 3)    1  2k k  1  2  Hình học www.boxtailieu.net 11 C BÀI TẬP TỰ GIẢI BT1 Cho ba điểm: A(1; –2), B(0; 4), C(3; 2) Tìm điểm D sao cho: a) CD  2.AB  3.AC b) AD  2.BD  4.CD  0 c) ABCD là hình bình hành d) D  Ox và ABCD là hình thang đáy là AB  10  Đáp số: D(–5, –2) (11, 2) (4, –4)  , 0   3  t BT2 Cho điểm A(3; 1) Tìm các điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong... 3x  4y  12  0; (2 ) : 12x  5y  7  0 b Lập phương trình của đường phân giác góc tù hợp bởi hai đường thẳng: (d1 ) : 4x  3y  6  0; (d2 ) : 5x  12y  10  0 30 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net Giải a/ Phương trình của đường phân giác của góc hợp bởi (1 ) và (2) là: |3x  4y  12| |12x  5y  7|   32  (4)2 122  52 21x  77y  191  0.(D1 ) 99x  27y  121  0.(D... vectơ pháp tuyến Vậy phương trình của đường trung trực cạnh AB là: 4(x  0)  4(y  3)  0  x  y  3  0 Bài 2 Tuyển sinh Đại Học khối B/09 Cho ABC có M(2, 0) là trung điểm AB, trung tuyến: AI: 7x – 2y – 3 = 0, đường cao AH: 6x – y – 4 = 0 Viết phương trình AC 18 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net Giải Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình 7x  2y  3 x  1    6x  y  4... Bài 3 Tuyển sinh Đại Học khối A/2010 w Cho ABC cân tại A(6, 6) đường thẳng qua trung điểm của AB, AC là d: x + y – 4 = 0 Tìm B, C biết E(1; –3) nằm trên đường cao CH Giải Vẽ đường cao AK A AK qua A,  d nên có phương trình 1(x – 6) – 1(y – 6) = 0  x – y = 0 Tọa độ giao điểm I của d và AK là nghiệm hệ x  y  0 x  2 phương trình    Vậy I(2, 2) x  y  4 y  2 d I H B E K C Hình học www.boxtailieu.net... hình vuông ABCD biết A  d1: x – y = 0, C  d2: 2x + y – 1 = 0, B và D trên trục hoành 12 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net Đáp số: A(1, 1); B(0, 0); C(1, –1); D(2, 0) BT10 (DB/D07) Cho A(2, 1) Tìm B  Ox, C  Oy sao cho ABC vuông tại A và có diện tích nhỏ nhất Đáp số: B(2, 0); C(0, 1) BT11A/02 Cho ABC vuông tại A, phương trình BC: 3x – y – 3 =0 A và B trên trục hoành, bán kính... 25 25  3 4 BT8 (DB/B08) Cho ABC có AB = 5 , C(–1; –1), AB: x + 2y – 3 = 0, trọng tâm G  d: x + y – 2 = 0 Tìm A, B 34 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net Đáp số: A(6; – 3 1 ), B(4; – ) 2 2 BT9 (A09) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(6; 2), M(1; 5)  AB Trung điểm của CD nằm trên : x + y – 5 = 0 Viết phương trình AB Đáp số: y = 5  x – 4y + 19 = 0 BT10 Cho ABC có trọng tâm G(–2;... (–4, –3) = –(4, 3) Phương trình AB: x5 y  3x – 4y – 15 = 0  4 3  3n  15  Do N  AB  P  n,  4   3n  12m  15 ) 4 Ta có: QP = (n – m; và MQ = (0; –3m) y O M Q A x P B www.boxtailieu.net N Hình học 23 Ta có: MQ  QP  MQ.QP = 0  3n  12m  15   0(n – m) + (–3m)   =0 4    3n + 12m – 15 = 0  n = –4m + 5 (1) Ta có: MN = (n – m; 0) = (–5m + 5; 0) (do (1)) Vậy: MN = 2MQ  –5m + 5 = 2.–3m... 1m 7 w Bài 11 Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông, biết tâm I(–2, 0) phương trình một cạnh hình vuông là d: x + 3y – 3 = 0 Giải  Gọi M(3 – 3m; m)  d: x + 3y – 3 = 0 là đỉnh của hình vuông Ta có: d(I, d) = (2)  3.0  3 1 3 2 2  IM = d(I, d) 2   5 10 5 2 = 10 5 Ta có: IM2 = 5  (3 – 3m + 2)2 + (m – 0)2 = 5 26 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net  (5 – 3m)2 + m2... ne t BT12 Cho hình thang ABCD có AB // CD A(0, 1); B(2, 0); C(3, 2) và diện  31 33  tích (ABCD) bằng 14 Tìm tọa độ D Đáp số:   ,  5   5 u BT13 Cho ABC có A trên trục tung, BC đi qua O, trung điểm AB; AC lần lượt là M(–1, 1); N(3, –1) Tìm A, B, C Đáp số: A(0, 1); B(–2, 1); C(6, –3)   1 0  , C(0, 0), D  0,    2 ta 1 1 1 A , , B , 2 2  2 Đáp số: ilie BT14 Tìm các đỉnh hình vuông... |5x  12y  10|   42  (3)2 52  122 77x  21y  128  0 (D2 ) ox ta ilie u Trong phương trình của đường thẳng (d1) cho x = 0 ta được y = 2, nên M(0; 2) là một điểm thuộc (d1) và ta có M không thuộc (d2) 170 170 Mặt khác: d(M; (D1 ))   d(M; (D2 ))  2 2 27  99 772  212 Nên đường phân giác của góc tù hợp bởi hai đường thẳng (d1) và (d2) là (D2): 77x  21y  128  0 b Bài 17 Viết phương trình . TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC VĨNH VIỄN Chủ biên: Hoàng Hữu Vinh Biên soạn: Nguyễn Quang Hiển – Nguyễn Văn Hòa Trần Minh Quang – Trần Minh Thònh HÌNH HỌC DÀNH CHO HỌC SINH 10–11 12. giúp các em học sinh tự học, nâng cao bài tập ở các lớp 10, 11, 12 và nhất là các em đang sắp thi vào Đại học, chúng tôi cùng biên soạn bộ Toán gồm ba quyển. Quyển 1: Hình học. Quyển 2: Khảo. VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC LƯU HÀNH NỘI BỘ www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net 2 Trung Taâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Hình học
- Xem thêm -

Xem thêm: Hình học dành cho học sinh 10, 11, 12 luyện thi vào đại học, Hình học dành cho học sinh 10, 11, 12 luyện thi vào đại học,