Tài liệu Tổng hợp hình học 10-11-12 luyện thi đại học pdf

Hình học mặt phẳng tọA độ Cách giải toán tam giác: viết pt cạnh tam giác, tìm đỉnh ý: - đg thẳng // có véc tơ pháp tuyên véc tơ phương - đg thẳng vuông góc pháp tuyến đường phương đg kia, phương đường pháp tuyến đg C(x;y) Loại 1: cho đỉnh đường cao không qua đỉnh đó: cách giải: - viết phương trình cạnh AB qua A vuông góc với CK - viết phương trình cạnh AB qua A vuông góc với BH A B B Loại 2: cho đỉnh đường trung tuyến không qua đỉnh cách giải: - Lấy điểm M thuộc BM theo tham số, theo công thức trung điểm tìm toạ độ C , thay toạ độ C vào PT đường CN tìm tham sè t  ®iĨm C - LÊy ®iĨm N thc CN theo tham số, từ CT trung điểm tìm toạ độ B thay voà PT đường BM tìm tham số t điểm B C C A loại 3: cho đỉnh đường phân giác không qua đỉnh cách giải: - gọi A A diểm đối xứng A qua đường phân giác BB CC A A thuộc cạnh BC - viết PT cạnh BC, tìm giao với đường CC, BBta có điểm B C A B B A(x;y) C I B A(x;y) J chó ý : A’’ toán kết hợp đường cao phân giác; đường cao trung tuyến; trung tuyến phân giác ta dựa vào cách giải toán loại 4: Bài toán cho diện tích, cho điểm đoạn thẳng theo tỉ số cho trước cách giải: Ta dùng công thức diện tích, công thức tìm toạ độ điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k Bµi tËp: 1/ Cho A ( ; ) , B( 1; 4) ,C( ; ), D (- 2; 2) a/ Chứng minh A , B, C không thẳng hàng : A , B , D thẳng hàng b/ Tìm điểm E đối xứng với A qua B c/ Tìm điểm M cho tứ giác ABCM hình bình hành d/ Tìm tọộ trọng tâm G tam giác ABC 2/ Cho A ( -1 : ) ,B (1 ; ) , C ( ; ) a/ Xác định tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b/ Xác định tọa độ trọng tâm G, trực tâm H tam giác ABC suy ba điểm G,H,I thẳng hàng 3/ Cho hai điểm A( 1; -2 ) vaø B( ; ) a/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua trục hoành b/ Tìm điểm M trục hoành cho MA +MB nhỏ c/ Tìm điểm N trục tung cho NA + NB nhỏ   d/ Tìm điểm I trục tung cho | IA IB | ngắn e/ Tìm J trục tung cho JA –JB dài 4/Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1;1) Hãy tìm điểm B đường thẳng y =3 điểm C trục hoành cho ABC tam giác 5/Trong mặt phẳng Oxy cho điểm B đường thẳng x + = điểm C đường thẳng x–3 =0 a) Xác định tọa độ B C cho tam giác OBC vuông cân đỉnh O b) Xác định tọa độ B;C cho OBC tam giác CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Lập phương trình đường thẳng: Bài : Viết phương trình tham số phương trình , tắc suy phương trình thẳng trường hợp sau: tổng quát đường  1/ Qua điểm M(2 ; -5) nhận vectơ u =( 4; -3) làm vectơ phương 2/ Qua hai điểm A(1 ; - ) vaø B( -3 ; )  3/ Qua điểm N ( ; -2 ) nhận vectơ n = ( ; - ) làm vectơ pháp tuyến Bài 2: Viết Phương trình tham số , phương trình tắc đường thẳng có phương trình tổng quát là: 3x – 2y + = Baøi 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A( ; 5) , B( ; 0) , C( 0; 3) Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau : a) d qua A cách B khoảng b) d qua A cách hai điểm B , C c) d cách ba điểm A; B ; C d) d vuông góc với AB A e; d trung tuyến vẽ từ A tam giác ABC Bài 4: Cho tam giaùc ABC M ( ; - ) , N ( ; ) , P ( -1 ; ) trung điểm cạnh AB , BC , CA 1/ Viết phương trình tổng quát cạnh tam giác ABC 2/ Viết phương trình đường trung trực cạnh tam giác ABC Bài 5: Cho đường thẳng (d) có phương trình : 4x – 3y + = 1/ Lập phương trình tổng quát đường thẳng ( d’) qua điểm A (1 ; -2 ) song song với (d) 2/ Lập phương trình đường thẳng (d’’) qua điểm M( ; ) (d’’) vuông góc với (d) Bài : Cho hai đường thẳng d: 2x + 7y – = vaø d’ : 3x + 2y + = Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm d d’và thoả mản môït điều kiện sau : 1/ Đi qua điểm ( ;- 3) 2/ Song song với đường thẳng x – 5y + = 3/ Vuông góc với đường thẳng x- y + = Bài :Tam giác ABC có A( -1 ; - ) , đường cao có phương trình : BH: 5x + 3y –25 = 0; CH : 3x + 8y – 12 = Vieát phương trình cạnh tam giác ABC đường cao lại Bài :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (5 ; ) , N (1 ; ), P( ; ) Viết phương trình đường thẳng d mổi trường hợp sau : 1/ d qua M cách N khoảng 2/ D qua M vàcách hai điểm N, P Bài 9: Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC biết A( 1; 3) hai trung tuyến có phương trình x – 2y + = 0, y – = Bài 10: Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC cho điểm B(-4;-5) hai đường cao có phương trình :5x + 3y – = , 3x + 8y +13 = Bài 11 : Cho điểm P( 3; 0) hai đường thẳng d1: 2x – y – = , d2:x + y + = Gọi d đường thẳng qua P cắt d1 , d2 A B Viết phương trình d biết PA = PB Bài 12 : Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết C(4 ; -1 ) đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh có phương trình : 2x – 3y +12 = , 2x + 3y = Bài 13 : Cho tam giác ABC có M( - ; 2) trung điểm cạnh BC cạnh AB có phương trình x – 2y – = 0,cạnh AC có phương trình 2x + 5y + = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài 14 : Cho hai đường thẳng d1: x – y = , d2 :x – 2y – = Tìm điểm A d1, C d2 B , D trục hoành cho ABCD hình vuông Dạng : Hình chiếu điểm đường thẳng / Phương pháp : Xác định hình chiếu vuông góc H điểm M đường thẳng d:  Viết phương trình đường thẳng d’ qua diểm M vuông góc với d  Giải hệ gồm hai phương trình d d’ ta có tọa độ điểm H 2/ Phương pháp :Xác định điểm N đối xứng điểm M qua d  Dùng phương pháp để tìm hình chiếu vuông góc H điểm M đường thẳng d  Điểm N đối xứng với M qua d nên H trung điểm đoạn MN , từ điều kiện ta tìm tọa độ điểm N Bài tập : Bài : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(-6 ; ) đường thaúng d: 4x – 5y + = 1/ Tìm tọa độ hình chiếu H M đường thẳng d 2/ Tìm điểm N đối xứng với điểm M qua d Bài : Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho hai đểm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) đường thẳng d : 2x – y – = 1/ Chứng minh A , B nằm phía đường thẳng d 2/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d 3/ Tìm điểm M đường thẳng d cho MA + MB bé Dạng : Các toán vị trí tương đối hai đường thẳng Bài 1: Xác định a để đường thẳng sau đồng quy: 2x–y+3 = ,x+y+3= , ax + y – = Bài : Cho hai đường thẳng d: mx –2y – = , d’: 2x – 4y + m = Với giá trị m : 1/ d d’ cắt 2/ d // d’ 3/ d trùng với d’ Bài 3: Với giá trị m hai đường thẳng sau cắt điểm trục hoành d: ( m -1) x + my – = , d’: mx +( 2m – 1) y + = Dạng : Các toán Sử dụng công thức tính góc khoảng cách Bài : Tính góc cặp đường thẳng sau : 1/ 4x + 3y +1 = , x+ 7y – = 2/ 6x – 8y –15 = , 12x + 9y + = Bài : Tính khoảng cách từ điểm M ( ; 2) đến đường thẳng sau đây: 1/ 12x – 5y – 13 = , 2/ 3x – 4y –16 = , 3/ x + 2y +8 = Bài 3: Cho đường thẳng d: 3x – 2y +1 = điểm A(1;2) Lập phương trình đường thẳng  qua A hợp với d góc 450 Bài : Cho tam giác ABC cân đỉnh A Cho biết BC: 2x – 3y –5 = , AB :x + y + = Lập phương trình cạnh AC biết qua điểm M(1;1) Bài 5: Lập phương trình đường thẳng qua điểm M( 2;7 ) cách điểm A(1;2) khoảng bằng1 Bài : Lập phương trình đường thẳng qua điểm P( : -1) cho đường thẳng với hai đường thẳng : (d1):2x – y + = , (d2) : 3x + 6y – = tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm (d1) (d2) Bài : Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết B( ;- ),đường cao qua đỉnh A có phương trình 3x – 4y +27 = phân giác góc C có phương trình x + 2y – = Bài 8: Viết phương trình đường thẳng song song với d:3x –4y +1=0 cách d khoảng CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI 1/ Trong mặt phẳng Oxy tam giác có phương trình hai cạnh 5x-2y + =0 4x +7y – 21 =0 Viết phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm tam giác trùng với góc tọa độ 2/ Lập phương trình cạnh hình vuông có đỉnh (-4; 5)và đường chéo có phương trình 7x- y +8 = 3/ Chgo tam giác ABC ,cạnh BC có trng điểm M(0; 4) hai cạnh có phương trình : 2x + y – 11 =0 vaø x + 4y – =0 a Xác định tọa độ điểm A b Gọi C điểm đường thẳng x – 4y – = , N laø trtrung điểm AC Tìm N suy tọa độ B , C 4/ Cho tam giác ABC có M(-2 ;2) trung điểm BC , cạnh AB có phương trình x –2y–2=0 cạnh AC có phương trình 2x + 5y + =0 Xác định tọa độ đỉnh tam giácABC 5/ Cho A(-1; 2)và B(3;4).Tìm điểm Ctrên đường thẳng x –2y +1=0 cho tam giác ABC vuông C 6/ Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5),đường cao vẽ từ A có phương trình 2x –5y +3 = ,trung tuyến vẽ từ C có phương trình x + y – =0 a Tìm tọa độ điểm A b, Viết phương trình cạnh tam giác ABC 7/ Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;1)và có cạnh AB:4x+y 15 = AC :2x+5y +3 = a,Tìm tọa độ A trung điểm M cạnh BC b,Tìm tọa độ điểm B viết phưng trình đường thẳng BC 8/ Cho A(1;1), B(-1;3)và đường thẳng d:x+y+4 =0 a, Tìm điểm C d cách hai điểm A,B Với C vừa tìm Tìm D s/cho ABCD hbh tính Shbh 9/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3) a Biết đường cao BH:5x+3y –35=0, đường cao CK:3x+8y – 12 =0 Tìm B,C b Biết trung trực cạnh AB có phương trình x+2y –4=0 trọng tâm G(4;-2).Tìm B,C 10/ Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao trung tuyến vẽ từ đỉnh có phương trình 2x-3y +12 =0,2x+3y =0 11/Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết A(1;3) hai trung tuyến có phương trình x-2y+1 =0, y -1=0 12/ Cho tam giaùc ABC có A(2;-1) phương trình hai phân giác góc B C d:x – 2y+1=0 , d’:x+y+3 = Tìm phương trình cạnh BC 13/ Cho tam giác ABC có A(2;-3) ,B(3;-2)trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng 3x –y – =0,diện tích tam giác ABC 3/ 2.Tìm C 14 / Cho tam giác cân ABC có phương trình cạnh đáy AB:2x –3y+5=0cạnh bên AC:x+y+1=0 Tìm phương trình cạnh bên BC biết qua điểm D(1;1) 15/ Cho hình chử nhật ABCD có tâm I(1/ 2;0),phương trình đường thẳng AB x –2y+2=0,AB=2AD Tìm tọa độ đỉnh A,B,C,D biết A có hoành độ âm 16/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1:x-y=0,d2:2x+y+1=0.Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết A thuộc d1, C thuộc d2và hai đỉnh B,D thuộc trục hoành 17/ Cho A(2;-3) , B(3;-2) Trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng d: 3x – y -8 = 0, diện tích tam giác ABC 3/2 Tìm C 18/ Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao trung tuyến ke û từ đỉnh có phương trình 2x -3y +12 = 2x + 3y = 20/ Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết A(1;3) hai đường trung tuyến có phương trình x -2y+1= y-1 =0 21/ Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE) 4x+13y-10 = Lập phương trình ba cạnh 22/ Cho tam giác ABC biết A(2;-1) phương trình hai đường phân giác góc B C d: x-2y+1=0 x+y+3=0 Tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh BC 23/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm đường thẳng y= x , phân giác góc C nằm đường thẳng x+3y+2=0 Viết phương trình cạnh BC 24/ Cho tam giác ABC vuông A , phương trình BC 3x  y   , đỉnh A B thuộc trục hòanh bán kính đường tròn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC ĐƯỜNG TRÒN A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ I phương trình đường tròn : * Đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b) ,bán kính R có phương trình : (x – a )2 + ( y – b)2 = R2 * Phương trình : x2+ y2 –2ax – 2by + c = , a2+ b2 – c > phương trình đường tròn có tâm I ( a ; b ) ,bán kính R = a  b  c II Phương tích điểm đường tròn Cho đường tròn ( C ) có phươngtrình : F ( x ; y ) = x2+y2 – 2ax – 2by + c = vaù ñieåm M0(x0 ;y0) PM / (C ) = F (x0 ; y0 ) = x02 +y02 –2ax – 2by + c III Trục đẳng phương hai đường tròn : Cho hai đường tròn không đồng tâm ( C1) : x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1 = , ( C2 ) : x2 + y2 – 2a2x - 2b2y + c2 = Truïc đẳng phương hai đường tròn ( C1) , ( C2) có phương trình : 2( a1- a2) x + 2( b1- b2) y – c1+ c2 = IV Tiếp tuyến đường tròn 1/Dạng 1: Cho đường tròn ( C ) : ( x – a )2 + ( y –b)2 = R2 Taâm I ( a ;b) , bán kính R Tiếp tuyến với ( C ) điểm M0( x0 ; y0)  ( C ) có phương trình : (x0 – a) (x – a ) + ( y0 – b)( y – b) = R2 Chú ý: Tiếp tuyến với ( C ) M0 nhận vectơ M0I làm vectơ pháp tuyến từ suy phương trình tiếp tuyến với ( C ) M0 2/ Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết hệ số góc tiếp tuyến k * Đường thẳng  có hệ số góc k có phương trình : y = kx + m *  tiếp xúc với ( C )  d( I ,  ) = R.Từ điều kiện ta tìm m 3/ Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) qua M( xM ; yM) * Đường thẳng  qua M có phương trình : A ( x – xM ) + B ( y – yM) = *  tiếp xúc với ( C )  d( I ,  ) = R.Từ điều kiện ta tìm A B B CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài :Xác định tâm bán kính đường tròn sau : 1/ x2 + y2 – 2x + 4y + = 2/ 2x2 + 2y2 + 4x - 8y - = 3/ x2 + y2 – 6x – 16 = 4/ x2 + y2 - 8y - = Bài :Lập phương trình đường tròn ( T ) trường hợp sau: 1/ ( T ) có tâm I ( ; - 1) có bán kính R = 2/ ( T ) có đường kính AB với A ( ; ) , B( - ; ) 3/ ( T ) có tâm I ( ; - ) tiếp xúc với đường thẳng  : 4x –3y + = 4/ ( T ) ñi qua ba ñieåm A ( - ; - ), B ( ; - ) , C ( ; -1 ) 5/ ( T )tieáp xúc với hai trục tọa độ có tâm nằm đường thẳng  :2x – y – = 6/ ( T ) qua hai điểm A(1;2 ),B(3; ) tiếp xúc với đường thẳng  có phương trình : 3x +y–3 = Bài : Cho đường tròn ( C ) có phương trình x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = Laäp phương trình tiếp tuyến d với ( C): 1/ Tại điểm M ( ; ) 2/ Biết d song song với  : 3x – 4y – 2004 = 3/ Biết d qua điểm A ( ; ) Bài 4: Cho đường tròn ( T ) có phương trình : x2 + y2 – 4x – 2y = 1/ Tính phương tích điểm M ( ; -2) đường tròn ( T ) 2/Viết phương trình tiếp tuyến với (T)vuông góc với đường thẳng  :2x – 3y + 1= 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( T ) kẻ từ N (– ; ) Bài : Cho hai đương tròn ( C1 ) ( C2 ) có phương trình : x2 + y2 + 4x + 4y –13 = , x2 + y2 - 2x + y + = Viết phương trình trục đẳng phương hai đường tròn Bài : Cho ( Cm) có phương trình : x2 + y2 – 2mx – 4my + 2m2 – = 1/ Tìm giá trị m cho (Cm ) đường tròn 2/ Tìm tập hợp tâm I ( Cm ) 2 Bài : Cho đường tròn (T) có phương trình : x + y – 2x + 4y – 20 = a) Viết phương trình tiếp tuyế (T) điểm A(4 ;2) , B(-3 ; -5) b) Viết phương trình tiếp tuyế (T) qua C( ; 5) c) Viết phương trình tiếp tuyến chung (T) (T’) có pt : x2 +y2 -10x + = d) Với giá trị m (T) tiếp xúc với đường tròn (T’’) có pt: x2 + y2 – 2my = CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI 1/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh A(1;1),B(-1;2),C(0; -1) 2/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm ba đường thẳng : x (d1) : y   , (d2) : y = x+2 , (d3): y = – x 5 3/ Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh A(-1;7),B(4;-3)C(-4;1) 4/ Lập phương trình đường tròn qua điểm A( -1;1) , B(1;-3) có tâm nằm đường thẳng (d) :2x – y + = 5/ Lập phương trình đường tròn qua điểm A(-1;-2) tiếp xúc với đường thẳng (d) : 7x-y-5= điểm M(1;2) 6/ Lập phương trình đường tròn có tâm nằm đường thẳng (d1) : 2x +y = tiếp xúc với đường thẳng (d2): x -7y+10 = điểm M(4;2) 7/ Viết phương trình đường tròn có tâm nằm đường thẳng (d1) : 4x + 3y – = tiếp xúc với hai đường thẳng (d2) : x +y+4 = ,(d3) :7x – y+4 = 8/ Viết phương trình đường tròn qua A( 2;-1) tiếp xúc với hai trục toạ độ 9/ Cho hai đường tròn (C1): x2+y2 -10x = , (C2): x2+y2 +4x – 2y – 20 = a Vieát phương trình đường tròn qua giao điểm (C1) ,(C2) có tâm (d):x+6y – = b Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1) ,(C2) 10/ Cho (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = đường thẳng (d) : x – y – = Viết phương trình đường tròn ( C’) đối xứng với ( C) qua (d) 11/ Cho hai đường tròn (C1) : x2+y2 – 4x – = , (C2): x2+y2 – 6x +8y +16 = Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn 12/ Cho hai đường tròn : (C1) : x2+y2 – 4x +2y –4 = , (C2): x2+y2 – 10x – 6y +30 = có tâm I, J a Chứng minh (C1) (C2) tiếp xúc với , tìm tọa độ tíêp điểm H b Gọi (d) tiếp tuyến chung (C1) (C2) không qua H Tìm tọa độ giao điểm K (d) với IJ Viết phương trình đường tròn (C) qua K tiếp xúc với (C1) (C2) H 13/ Cho điểm M(6;2) đường tròn (C) :x2+y2 – 2x – 4y = Viết phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C ) hai điểm A,B cho AB = 10 14/Cho đường tròn (C ) : x2+y2 – 2x – 6y – = điểm M(2;4) a Chứng tỏ M nằm đường tròn b Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C ) hai điểm phân biệt A B cho M trung điểm đoạn AB c Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với (C ) qua AB 15 / Cho ba đường thaúng (d1) : 3x +4y -6 = 0, (d2):4x +3y -1 = , (d3) : y = (d1)  (d2) = A, (d2)  (d3) =B , (d3)  (d1) = C a Viết phơng trình phần giác góc BAC b Tính diện tích tam giác ABC c Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC 16/ Cho đường tròn (C) :x2 + y2 -8x -6y = điểm A(14;8) Qua A kẻ tiếp tuyên AM,AN với (C) Lập phương trình đường thẳng MN 17/ Cho (Cm) : x2+y2 +2(m – 1)x – 2(m – )y +m2 -8m +13 = a.Xác định m để (Cm) đường tròn b Tìm quỹ tích tâm I (Cm) 18/ Cho (C) : x2 + y2+2x – 4y – 20 = vaø A(3 ; 0) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A cắt (C) theo dây cung có độ dài nhỏ 19/ Cho hai đường tròn (C1) :x2 + y2 – 2x – 9y – 2= vaØ (C2) : x2 + y2 – 8x – 9y +16 = a Chứng minh (C1) (C2) tiếp xúc b Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn 20/ Viết phương trình tiếp tuyến chung cặp đường tròn sau : a (C1): x2 + y2 -10x = , (C2): x2 + y2 +4x -2y -20 = b (C1): x2 + y2 - 4x - = , (C2): x2 + y2 - 6x +8y +16 = Công thức E-Líp Phương trình tổng quát: x2 y2 + = (a,b>0) a2 b2 b2= a2- c2 trục lớn 2a trục nhỏ 2b tiêu cự 2c tâm sai e=c/a tiêu điểm ( thuộc Ox) F1=(-c;0) F2=(c;0) Với điểm M(x;y) thuộc (E) bán kính qua tiêu c MF1 a ex a  x a c MF2  a  ex  a  x a NÕu a>b th×: a2= b2- c2 trục lớn 2b trục nhỏ 2a tiêu cự 2c tâm sai e=c/b tiêu điểm ( thuộc Oy) F1=(0;-c) F2=( 0;c) Với điểm M(x;y) thuộc (E) bán kính qua tiêu c MF1 b ex  a  x b c MF2  b  ex  a  x b NÕu b>a th×: CÁC DANG BÀI TẬP: Bài : Tìm tiêu điểm , tọa độ đỉnh , tiêu cự , độ dài trục tâm sai elip (E ) cho phương trình sau : 1/ 16x2 + 25y2 = 400 ; 2/ 4x2 + 9y2 = 144 ; 3/ 9x2 +25 y2 = 225 ; 4/ 4x2 + 9y2 = 25 Bài : Lập phương trình tắc elip ( E ) trường hợp sau : 1/ ( E ) có tiêu cự ; trục lớn 10 2/ ( E ) có trục lớn 20 tâm sai 3/5, 3/ ( E ) có tiêu cự qua điểm M ( 15 ; - ) 12 4/ ( E ) có tiêu điểm F2 ( ; ) qua ñieåm N ( ; ) 5/ ( E ) qua hai điểm A ( ; ) vaø B ( ; ) 6/ ( E ) có trục nhỏ , phương trình hai đường chuẩn x  16 = , khoảng cách hai đườg chuẩn 32 Bài : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) :4x2 + 25y2 = 100 1/ Tìm điểm trê ( E ) có hoành độ tính khoảng cách giửa hai điểm 2/ Tìm điểm M ( E ) cho bán kính qua tiêu điểm bên trái hai lần bán kính qua tiêu điểm bên phải Bài : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 2x2 + 6y2 = 12 1/ Xác định tọa độ tiêu điểm độ dài trục ( E ) 2/ Tìm điểm M ( E ) nhìn hai tiêu điểm góc vuông Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñoä Oxy cho elip ( E ) : 16x2 + 25y2 = 400 1/ Tìm điểm M ( E ) cho 3F1M = F2M 2/ Cho A , B hai điểm thuộc ( E ) cho AF1+ BF2 = Hãy tính AF2 + BF1 Bài : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) 16x2 + 25y2 = 100 1/ Tìm tọa độ tiêu điểm , tọa độ đỉnh , tính tâm sai ( E ) 2/ Đường thẳng d qua tiêu điểm ( E ) cắt ( E ) hai điểm A , B Tính độ dài AB 3/ Tìm giá trị m để đường thẳng y = x + m cắt (E )tại hai điểm phân biệt Bài 7: Cho elip ( E ) : x2 + 4y2 =25 ; (d) : 7x – 2y – 25 = 1/ Tìm tọa độ giao điểm (d) ( E ) 2/ Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( E ) biết tiếp tuyến qua M( 5; ) Bài : Viết phương trình tiếp tuyến với (E) : 9x2+ 16y2 = 144 bieát tieáp tuyeán : 1/ song song với đường thẳng :3x – 2y +1 = 2/ vuông góc với đường thẳng :x + 2y – = Bài 9: Viết phương trình tắc elip (E) biết (E) nhận đường thẳng: 3x – 2y – 20 = vaø x + 6y – 20 = làm tiếp tuyến Bài 10 : Cho elíp (E) có hai tiêu điểm F1(- ;0) ,F2( ;0) đg chuẩn có phương trình x = 1/ Viết phương trình tắc (E) 2/ M điểm thuộc (E) Tính giá trị biểu thức :P = F1M2 + F2M2 – 3OM2 – F1M.F2M 3/ Viết phương trình đường thẳng (d) // Ox cắt (E) hai điểm A,B cho OA  OB Bài 11:1/ Lập pt tắc elíp (E) có tiêu điểm F1( - 15 ;0), tiếp xúc với (d) : x + 4y – 10 = 2/ Viết phương trình tiếp tuyến (E) vuông góc với (d’) : x + y + = Baøi 12 : Cho (E) : 4x2 + 9y2 =36 đường thẳng (d) có phương trình mx – y – = 1/ Chứng minh đường thẳng (d) cắt (E) hai điểm phân biệt với m 2/ Viết phương trình tiếp tuyến (E) biết tiếp tuyến qua điểm A(1;3) Bài 13: 1/Lập phương trình tắc elíp (E) có tiêu điểm F2( 10 ;0) độ dài trục lớn 18 2/ Đường thẳng (d) tiêp xúc với(E) M cắt hai trục tọa độ A, B Tìm M để diện tích tam giác OAB nhỏ x2 y2   Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) a,b hai số thay đổi Bài 14 : Cho (E) : 1/ Xác định tọa độ giao điểm I AN BM 2/ Chứng minh điều kiện cần đủ để đường thẳng MN tiếp xúc với (E) ab = x2 y2 x2 y2   vaø (E2):  1 Bài 15 : mặt phẳng tọa độ cho hai elíp (E1) : 16 1/ Viết phương trình đường tròn qua giao điểm hai elíp 2/ Viết phương trình tiếp tuyến chung hai elíp 7/ ( E ) có tâm sai I.TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT AB  ( x B  x A , y B  y A , z B  z A )  x B  x A 2   y B  y A 2  z B  z A 2 AB  AB  a  b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3  k.a  ka1 , ka2 , ka3  2 a  a12  a2  a3  a1  b1  a  b  a  b2 a  b  a.b  a1 b1  a b2  a3 b3 a // b  a  k.b  a  b   a1 a a3   b1 b2 b3 a  b  a.b   a1 b1  a b2  a b3  a 10 a  b   b  a1 a1 , b1 b1 a2   b2    a3 a3 , b3 b3  11 a , b, c đồng phẳng  a  b c    12 a , b, c không đồng phẳng  a  b c  13 M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠  x kx B y A  ky B z A  kz B  , , M A  1 k 1 k   1 k 14 M trung điểm AB  x  xB y A  y B z A  zB  M A , ,  2   15 G trọng tâm tam giác ABC  x  x  x y  yB  yC z A  z B  zC  , , G A B C , A 3   16 Véctơ đơn vị cđa trơc: e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1) 17 M ( x,0,0)  Ox; N (0, y,0)  Oy; K (0,0, z )  Oz 18 M ( x, y,0)  Oxy; N (0, y , z )  Oyz; K ( x,0, z )  Oxz 1 2 a12  a  a3 19 S ABC  AB  AC  2 20 V ABCD  ( AB  AC ) AD 21 V ABCD A B C D  ( AB  AD ) AA / / / / / 2.CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Chứng minh A,B,C ba đỉnh tam giác     A,B,C ba đỉnh tam giác  [ AB , AC ] ≠    SABC = [AB , AC]  Đường cao AH =  2.S ABC BC Shbh = [AB , AC]   Daïng 2: Tìm D cho ABCD hình bình hành  Chứng minh A,B,C không thẳng hàng  ABCD hbh  AB  DC Dạng 3: Chứng minh ABCD tứ diện:      [ AB , AC ] AD ≠    Vtd = [AB , AC] AD *Đường cao AH tứ diện ABCD 3V V  SBCD.AH  AH  SBCD  Thể tích hình hộp :   V ABCD A/ B /C / D /  AB; AD AA / Dạng4: Hình chiếu điểm M H hình chiếu M mp  Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc mp : ta có a d  n   Tọa độ H nghiệm hpt : (d) () H hình chiếu M đường thẳng (d) *Viết phương trình mp qua M vuông góc với (d): ta có n  a d *Tọa độ H nghiệm hpt : (d) () Dạng : Điểm đối xứng 1.Điểm M/ đối xứng với M qua mp *Tìm hình chiếu H M mp (dạng 4.1) *H trung điểm MM/ 2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d: *Tìm hình chiếu H M (d) ( dạng 4.2) H trung điểm MM/ 10 Toạ độ trung điểm I MN a  Ia ; a ;  2  x Hai tam giác AMN BMN hai tam giác vuông nhận MN cạnh huyền nên 1a Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Chú ý :  Ax  By   Ax  Ay ' 1b.Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN   a 2 trung điểm I  a ; a ;  MN tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Ta có : MN  a(2 ; ; 1) MN 3a  2 Bán kính mặt cầu : R  Ta có : AM  (2a;0;0) ; Tính d ( AM , BI ) Chứng minh AM BI chéo Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a  BI   a; a;  ; AB  (0;0; a ) 2  [ AM , BI ]  (0; a ;2a ) [ AM , BI ] AB d ( AM , BI )   [ AM , BI ] 2a 5 Bài toán Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Gọi O tâm hình vng ABCD  SO  (ABCD) Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; S 0;0; h  ;  a  a  A ; 0;0  ; C     ;0;0        a   a  ;0  ; B  0; ;0  D  0;     2     Toạ độ trung điểm P SA  a  a a  h P ; ;  ; E ; ;h    2 2     S E P M y A D O B N C x   3a   h   MN   ;0;   ; BD  (0;  a 2;0)  2   Vì : MN BD   MN  BD 31  a a h a a  ; ;  N ; ;0 M   2  4     Tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Chứng minh MN AC chéo Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo     ah  Ta có :  MN , AC    0;  ;0          a h AM   0;  ;   2      a h   0 Vì :  MN , AC  AM     MN AC chéo a 2h [ MN , AC ] AM a d MN , AC    a 2h2 [MN , AC ] Bài toán Cho tứ diện ABCD, có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A; AD  a, AC  b, AB  c a Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c b Chứng minh : 2S  abc  a  b  c  Hướng dẫn Bài giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) z D Khi : B  c;0;0  ; C  0; b;  D  0;0; a    Ta có : BC   c; b;0    BD   c;0; a       BC , BD    ac; ac; bc    Áp dụng bất đẳng thức Côsi : a 2b  b 2c  2ab 2c b 2c  c a  2abc c a  a 2b  2a 2bc y C A B x a Tính diện tích S tam giác BCD     2 2 2 S   BC , BD     a b  a c  b c b Chứng minh : 2S  abc  a  b  c  Ta có : abc  a  b  c   a 2bc  b ac  c ab   b2  c   a  c   a  b2   a2  b  c          a b  a c  b c  SBCD 32 Bài toán 10 Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0)  Khi : A  0;   Bài giải z S a   a  ;0  ; B   ;0;    2   M  a   a  S  0; ; h  ; H  0; ;0      6      a a h a a h M  ;  12 ;  ; N  ; 12 ;         a  C  ; 0;  ; 2    a 5a h   AM    ;  ;   12      a 5a h  AN   ;  ;  4 12      a a  SB    ;  ; h        a a   ; h  SC   ;  2           AMN    SBC   n1  n2  n1.n2   y N A B I H C x + Pháp vectơ mp (AMN) :     ah 5a   n1   AM , AN    0; ;     24    + Pháp vectơ mp (SBC) :       a2  n2   SB, SC    0; ah;        Diện tích tam giác AMN : S AMN a h 15a a h 15a  0  24.6 16 242   2     AM , AN   a h  75a   16 24 15a 75a a 10   90a  đvdt 242 242 48 16 Bài toán 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a ; SA  a ; SB  a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Gọi H hình chiếu vng góc z S 33 S AB  SH  (ABCD) Ta có : SA2  SB  a  3a  AB  SAB vuông S  SM  a a Do : SAM  SH  Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : H (0;0; 0) ;  S  0;0;  a 3  ;    a    A   ; 0;  ;   3a   a  B  ; 0;  ; D   ; 2a;0  ;     a 3a     M  ; 0;  ; N  ; a;  2      a a 3 SM   ;0;   2      3a  a 3 SN   ; a;    2      3a a 3 SB   ; 0;    2      a  a 3 SD    ; 2a;    2     DN   2a; a;0  + Thể tích khối chóp S.BMDN VS BMDN  VSMNB  VSMND     a2 a2 a2   SM , SN       ; ;     3           SM , SN  SB  a ;  SM , SN  SD  3a     2    a 3  VSMNB   SM , SN  SB   6 12      a 3 VSMND   SM , SN  SD   6 VS BMDN  VSMNB  VSMND + Cơng thức tính góc SM, DN   SM DN cos  SM , DN     SM DN a3 a3 a3    12 + Tính cosin góc SM, DN a2 cos  SM , DN    a 3a  4a  a 4 Bài toán 12 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB  BC  a , cạnh bên AA '  a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : B’ A’ C’ B(0; 0; 0)  A  0; a;  ; C  a; 0;  ; B’ 0; 0; a  34 a  M  ; 0;  2    a     AM   ;  a;0  ; B ' C  a; 0;  a 2    AB '  0;  a; a     Chứng minh AM B’C chéo       a  AM , B ' C    a 2; ; a2      + Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ VABC A ' B ' C '  AA '.S ABC  a 2 đvtt + Khoảng cách AM B’C    a3   Vì :  AM , B ' C  AB '     AM B’C chéo        AM , B ' C  AB '   d  AM , B ' C        AM , B ' C    a a   2a  a  a  ABC Bài toán 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang , BAD    900 AB  BC  a , AD  2a , SA vng góc với đáy SA  2a Gọi M,N trung điểm SA SD Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a ( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : S Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : A(0; 0; 0) ; B  a; 0;  ; C  a; a;  ; N M D  0; 2a;  ; S  0; 0; 2a  M  0; 0; a  ; N  0; a; a  D A y B C     MN   0; a;0  ; BC   0; a;0   MB   a;0; a  x + Chứng minh BCNM hình chữ nhật     MN  BC   BCNM hình chữ nhật    MN MB   35    SM   0;0; a  ; SC   a; a; a     SB   a;0; 2a  ; SN   0; a;  a      SM , SC    a ;  a ;    + Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a VSMCB VSMCN      SM , SC  SB  a         SM , SC  SN   a3   VS BCNM  VSMCB  VSMCN     a   SM , SC  SB   6      a   SM , SC  SN   6 VS BCNM  VSMCB  VSMCN  a3 đvtt Bài toán 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA  ( ABCD); SA  2a Mặt phẳng   qua BC hợp với AC góc 300 , cắt SA, SD M, N Tính diện tích thiết diện BCNM Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : S Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : N M A(0; 0; 0) ; B  a; 0;  ; C  a; a;  ; D  0; 2a;  ; S  0; 0; 2a  D A Đặt AM  h   h  2a  y  M  0; 0; h  Xác định vị trí điểm M B C x     BM   a;0; h  ; BC   0; a;0       BM , BC     ah;0;  a    a  h; 0; a     AC   a; a;0   a 1;1;0  Pháp vectơ mặt phẳng   :         n   BM , BC   n   h;0; a    Vectơ phương đường thẳng AC :   AC   a; a;0   a 1;1;0   u  1;1;0  mặt phẳng   hợp với AC góc 300 Ta có : MN     ( SAD )   MN / / BC / / AD   BC / / AD     n u 1.h  1.0  0.a  sin 300      n u   h2   a  h 2   h  h2  a 2 h a  h  a  M trung điểm SA BC  ( SAB )  BC  BM MN / / BC  BCNM hình thang vng BM  BC  + 36 ABM vuông cân A  BM  a a MN  AD  2 + Diện tích thiết diện BCNM : S BCNM 3a 2  BM  MN  BC   Bài toán 15 Cho hình chóp O.ABC có OA  a; OB  b; OC  c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB) 1; 2; Tính a; b; c để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : C Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O (0; 0; 0) A  a; 0;  ; B  0; b;  ; C  0; 0; c  M d  M , (OBC )    xM  d  M , (OCA)    yM  B H E d  M , (OAB)    z M   M 1; 2;3   A  a;0;0   OA  (a;0;0)   B  0; b;0   OB  (0; b;0)  C  0;0; c   OC  (0;0; c ) y O A x +Thể tích khối chóp O.ABC VO ABC       OA, OB  OC  abc   + Phương trình mặt phẳng (ABC) : 1 a  a  b  c   Giải hệ :   b      c   a b c  x y z   1 a b c M  ( ABC )     a b c (ABC) : Áp dụng bất đẳng thức Côsi : 3    33  33 a b c a b c abc  abc  27 a  3  MinVO ABC  27     b  a b c c   1 Bài tốn 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a a Tính thể tích khối chóp S.ABCD 37 b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) c Tính góc SB mặt phẳng (SCD) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Gọi O  AC  BD S  SO  (ABCD) a2 a SO  SC  OC  a   2 2 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau :  a 2 O(0;0;0) ; S  0;0;  ;      a  a  ; 0;0  ; C  ;0;0  A          a   a  ;0  ; B  0; ;0  D  0;     2     Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD): x a 2  y  z a a 2 a  x y z 0 1 y A D O B C x a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD VS ABCD 1 a a3  SO.S ABCD  a  3 b Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) a 0 a a   2 (SCD): x  y  z  d  A, ( SCD )    a  a Bài toán 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ,   BAD  900 AB  BC  a , ABC  AD  2a , SA vng góc với đáy SA  a Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : S Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : A(0; 0; 0) ; B  a; 0;  ; C  a; a;  ; D  0; 2a;  ; S  0; 0; 2a  H A I D y 38  SB  a;0;  a   SC  a; a;  a   SD  0; 2a;  a      SC , SD   a 2; a 2; 2a        B C     a 2 1;1; x   + Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc A SB Phương trình tham số SB :  x  a  at  SB :  y    z  a 2t     SC CD   SC  CD  Tam giác SCD vuông C + Tính ( theo a ) khoảng cách từ H đến (SCD) Tọa độ điểm H : (t  R ) + Viết phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) qua điểm S nhận vectơ  n  1;1; làm pháp vectơ  + Chứng minh tam giác SCD vuông     SC   a; a; 2a  ; CD   a; a;0   (SCD) : 1( x  0)  1( y  0)  2( z  a 2)    H ( x; y; z )  SB  H a  at; 0; a 2t  AH  (a  at ;0; a 2t )   AH  SB  AH SB   3a 2t  a   t    2a a 2  H  ; 0;   3    + Khoảng cách từ H đến (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) : x  y  z  2a  2a 2a   2a a 3 d  H , ( SCD )    II MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HAI CÁCH GIẢI CHO CÙNG MỘT BÀI TOÁN Bài 1.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N hai điểm nằm hai cạnh B’C’ 2 CD cho B’M = B’C’, CN = CD Chứng minh AM  BN 3 Giải: Cách giải (phương pháp tổng hợp) Cách giải (phương pháp toạ độ) 39 z A B D A D N E C N B C A’ D’ B’ A’ C’ M D’ y O B’ C’ M x - Dựng ME // CC’(E thuộc BC) Nối AE - Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ - Hai tam giác vuông ABE BCN (O  A’) Đặt AA’= a Ta có: nhau,  góc AEB góc BNC 2a a A(0;0; a ), B( a;0; a ), ( a ; ;0),N( ; a;0 ) (1)  AE  BN 3 Mặt khác: Vì ME // CC’  (ABCD) 2a 2a  AM BN  a.( )  a  ( a ).0  nên ME  (ABCD)  ME  BN (2) 3 Từ (1) (2)  BN  (AEM) (đpcm)  AM  BN  BN  AM (đpcm) Bài (TSĐH - khối B năm 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , AD = a , SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Giải: Cách giải (phương pháp tổng hợp) S *) Chứng - Gọi K E BD AC Mặt minh: (SBM)  (SAC) trung điểm CD, giao điểm AC Ta có MK// N I E B a BM  BA  AM  2 N D M A Cách giải (phương pháp toạ độ) * Chọn hệ z trục toạ độ Oxyz hình vẽ (O  A) S Gọi E giao điểm AC BD Ta có: A(0;0;0), B( a ;0;0), C khác: Tam giác K vng BAM có a MK  MD  DK  2 D y O I B Tam giác vng MDK có M A E C x C (a; a ;0), D (0; a ;0), S (0;0; a ), Tam giác vuông BCK có: BK  BC  CK  3a Dễ thấy BM2+ MK2 = BK2 nên tam giác BMK vuông M, => MK  BM => AC  BM Hơn BM  SA Từ ta có BM  (SAC) a a a a a a N( ; ; ), E ( ; ;0), M (0; ;0) 2 2 2 a a I ( ; ;0) , I trọng tâm ABD 3 *) Chứng minh: (SBM)  (SAC) a - Ta có BM  (a; ;0), AC  (a; a ;0)  BM AC   BM  AC 40 Vậy (SBM)  (SAC) (đpcm) *) Tính thể tích khối tứ diện ANIB - Ta có NE // SA => NE  (AIB) NE = a/2 - Vì I trọng tâm tam giác ABD AC  a  AE  a a  AI  Tam giác ABI vng I có AB  AI  BI  a Mặt khác: SA  (ABCD) nên BM  SA Từ suy BM  (SAC) => (SBM)  (SAC) (đpcm) *) Tính thể tích khối tứ diện ANIB a a ;0) 3 a2 a2 a a a AN  ( ; ; ) => AB, AN  (0; ; ) 2 2 Ta có AB  (a;0;0), AI  ( ;   Vậy thể tích khối tứ diện ANIB Vậy thể tích khối tứ diện ANIB 1 a3 (đvtt) V  S AIB NE  BI IA.NE  3 36 Bài (TSĐH - khối A năm 2007) a3 (đvtt) V  AB, AN AI  36   Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Giải Cách giải (phương pháp tổng hợp) Cách giải (phương pháp toạ độ) z S M S B A M H N D P B A C H O D * Chứng minh AM vng góc với BP Gọi H trung điểm AD Do ΔSAD nên SH  AD Do(SAD)  (ABCD)nên SH  (ABCD)  SH  BP (1) Xét hình vng ABCD ta cóΔCDH = ΔBCP  CH  BP (2) Từ (1) (2)suy BP  (SHC) Vì MN // SC AN // CH nên (AMN) // (SHC) Suy BP  (AMN)  BP  AM * Tính thể tích khối tứ diện CMNP Kẻ MK  (ABCD), K  (ABCD) Ta có: VCMNP  MK S CNP P x y N C * Gọi H trung điểm AD Do ΔSAD nên SH  AD Do(SAD)  (ABCD)nênSH  (ABCD) - Dựng đường thẳng Az vuông góc với (ABCD), ta có AD, AB, Az ba tia đơi vng góc Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ ( O  A ) Ta có: a a a a a ), M( ; ; ) 4 a a B(0; a ;0), P( a; ;0) , C( a; a;0 ), N ( ; a;0) 2 A(0;0;0), S( ;0; * Chứng minh AM vng góc với BP Ta có: AM BP  a2 a2     BP  AM 4 * Tính thể tích khối tứ diện CMNP 41 a2 a Vì MK  SH  , SCNP = CN.CP = a Nên VCMNP = 96 a2 Ta có: CP, CN  (0;0; ) CM  ( 3a ; a ; a ) 4 a Nên: VCMNP  CP, CN CM  96     II SO SÁNH Cách giải (phương pháp tổng hợp) 1) Kiến thức: - Cần có kiến thức rộng đầy đủ hình học (hình học phẳng hình học khơng gian) - Nhớ định lý, hệ - Đôi cần phải dựng thêm hình vẽ phụ 2) Kĩ năng: - Kĩ vẽ hình, dựng hình - Kĩ chứng minh, tính tốn 3) Tư duy: - Đòi hỏi khả tư cao - Phạm vi liên kết kiến thức rộng Cách giải (phương pháp toạ độ) 1) Kiến thức: - Cần có kiến thức vững vectơ toạ độ vectơ không gian - Nhớ công thức, phương trình đường thẳng, mặt phẳng mối quan hệ đường thẳng mặt phẳng - Không cần dựng hình vẽ phụ 2) Kĩ năng: - Kĩ tính tốn 3) Tư duy: - Khả tư bình thường - Phạm vi liên kết kiến thức hẹp (Chủ yếu tập trung vào việc chọn hệ trục tọa độ thích hợp) * Nhận xét Trong hai toán 2, từ giả thiết ta có sẳn ba đường thẳng đơi vng góc nhau, điều kiện lý tưởng để chọn hệ trục tọa độ Oxyz, việc lại cịn vấn đề tính tốn Đối với 3, để chọn hệ trục tọa độ thích hợp có khó khăn chút Với ý: SH  (ABCD), ta chọn hệ trục khác, hệ gồm ba trục HD, HN HS đơi vng góc tương ứng Ox, Oy, Oz.( O  H ) III MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ CÁCH CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ KHI GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VÍ DỤ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC cân với AB = AC = a góc BAC = 1200 , cạnh bên BB’= a Gọi I trung điểm CC’ a) Chứng minh tam giác AB’I vng A b) Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC’  Nhận xét : Từ giả thiết tốn , khơng có ba đường thẳng xuất phát từ điểm đôi vuông góc , nên ta phải cố gắng tìm mối liên kết thích hợp , để từ chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho xác định tọa độ tất điểm liên quan đến vấn đề mà ta cần giải Để z làm điều cần ý , lăng trụ cho lăng trụ đứng tam giác đáy tam giác cân Từ , gọi O A C , O’ lần lược trung điểm B’C’ BC ta có ba tia OO’, OB’ OA’ đơi vng góc O * Gọi O, O’ trung điểm B’C’ BC Ta có : OO’  OA’ , OO’  B’C’ Tam giác A’B’O nửa tam giác có cạnh A’B’ = a nên A’O = a B I A’ C’ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ O’ x B’ y 42 Ta có : a a a ;0;0) , C ' ( ;0;0) , A(0; ; a) 2 a a a a B( ;0; a ) , C ( ;0; a) , I ( ;0; ) 2 2 B' ( * Từ ta dễ dàng chứng minh tam giác AB’I vng A tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Riêng câu c, sử dụng phương pháp tổng hợp để giải tốn hồn tồn khơng dễ chút Cịn dùng phương pháp tọa độ hồn tồn ngược lại VÍ DỤ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a , BC = 2a , cạnh SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh tam giác AMB cân M tinh diện tích tam giác AMB theo a  Nhận xét : Với nhận xét tương tự toán VD1, ta cần tạo ba tia đơi vng góc Dễ dàng nhận thấy , từ B dựng tia Bz vng góc với mp(ABC) ba tia BA,BC,Bz đơi vng góc , từ ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ( gốc tọa độ O trùng với B) Ta có A(a;0;0) , C(0;2a;0) , S a S(a;0;2a) , M ( ; a; a ) M B O * Từ đây, cơng việc cịn lại thực dễ dàng A C y x Khèi ®a diƯn- thĨ tÝch khèi ®a diƯn  1/ Tính chất thể tích: * Hai khối đa diện tích * Nếu khối đa diện phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thể tích tổng thể khối đa diện nhỏ * Khối lập phương có cạnh tích 2/ Cơng thức tính thể tích khối đa diện: a/ Thể tích khối lập phương: cho khối lập phương cạnh a Lúc đó: b/ V  a3 Thể tích khối hộp chữ nhật: cho khối hộp chữ nhật có kích thước ba cạnh lần lược Lúc đó: a, b, c V trụ có diện c/ Thể tích khối lăng trụ: cho khối lăng a.b.c tích đáy B chiều cao h Lúc đó: V  B.h d/ Thể tích khối chóp: cho khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h Lúc đó: V  B.h 43 e/ Thể tích khối chóp cụt: cho khối chóp cụt có diện tích hai đáy B B’ , chiều cao h Lúc đó: V B  B ' BB ' h   Bµi tËp B 1: Tính thể tích : a,Khối tứ diện có cạnh a b, khối mặt có cạnh a c, Khối lập phương có đỉnh trọng tâm mặt khối tám mặt cạnh a Baì 2: Cho khối lăng trụ tứ giác ABCD A1 B1C1 D1 có khoảng cách hai đường thẳng AB A1 D độ dài đường chéo mặt bên a,Hạ AK  A1 D  K  A1 D  Chứng minh AK  b,Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A1 B1C1 D1 Bi 3: Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Tính thể tích khối chóp, biết: a Góc mặt bên đáy  b, Góc cạnh bên đáy  Baì 4: Tính thể tích khối chóp cụt tam giác có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ a góc mặt bên mặt đáy 600 Baì 5: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Tìm tỉ số thể tích khối tứ diện C ' ABC khối lăng trụ cho Baì 6: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Gọi M , N lần lược trung điểm hai cạnh AA ' BB ' Mặt phẳng  C ' MN  chia khối lăng trụ cho thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần B 7: Cho khối chóp tam giác S ABC Trên đoạn SA, SB, SC lần lược lấy ba điểm A ', B ', C ' khác với S Chứng minh rằng: V S A' B 'C ' SA ' SB ' SC ' V S ABC   SA SB SC B 8: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi B ', D ' lần lược trung điểm SB, SD Mặt phẳng  AB ' D '  cắt SC C ' Tìm tỉ số thể tích hai khối chóp S AB ' C ' D ' S ABCD Baì 9: Đáy khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' tam giác Mặt phẳng  A ' BC  tạo với đáy góc 300 tam giác A ' BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ  B 10: Cho khối lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình bình hành BAD 450 Các đường chéo AC ' DB ' lần lược tạo với đáy góc 450 600 Hãy tính thể khối lăng trụ, cho biết chiều cao B 11: Cho khối tứ diện SABC có ba cạnh SA, AB, SC vng góc với đôi một, SA  3, SB  SC  a Tính thể tích khối tứ diện SABC b, Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABC  Baì 12: Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B , cạnh SA vng góc với đáy Biết AB  a, BC  b, SA  c Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Baì 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  a, BC  2a, AA '  a Lấy điểm M cạnh AD cho MA  3MD a Tính thể tích khối chóp M AB ' C b, Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  AB ' C  Baì 14: Cho khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình chữ nhật với AB  , AD  Hai mặt bên 0  ABB ' A '  ADD ' A ' lần lược tạo với đáy góc 45 60 Hãy tính thể tích khối hộp biết cạnh bên ˆ Baì 15: Hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A , AC  b, C  600 Đường chéo BC ' mặt bên BB ' C ' C tạo với mặt phẳng  AA ' C ' C  góc 30 a Tính độ dài đoạn AC ' b, Tính thể tích khối lăng trụ Bi 16: Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A ' cách điểm A, B, C Cạnh bên AA ' tạo với mặt phẳng đáy góc 600 44 a Tính thể tích khối lăng trụ b,Chứng minh mặt bên BCC ' B ' hình chữ nhật c, Tính tổng diện tích mặt bên khối lăng trụ Bi 17: Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A Mặt bên ABB ' A ' hình thoi cạnh a , nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt bên ACC ' A ' hợp với đáy góc  Tính thể tích lăng trụ B 18: Cho hình chóp tứ giác S ABCD a Biết AB  a góc mặt bên mặt đáy  Tính thể tích khối chóp b Biết trung đoạn d góc cạnh bên đáy  Tính thể tích khối chóp B 19: Cho khối chóp S ABC có đáy tam giác vng B Cạnh SA vng góc với đáy, góc  ABC  600 , BC  a SA  a Gọi M trung điểm cạnh SB a Chứng minh:  SAB    SBC  b, Tính thể tích khối tứ diện MABC B 20: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA  a vng góc với đáy Gọi M trung điểm SD a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC b, Tính thể tích khối tứ diện MACD B 21: Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác SAC khoảng cách từ G đến mặt bên SCD a Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt bên SCD thể tích khối chóp S ABCD B 22: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy   00    900  Tính tan góc hai mặt phẳng  SAB   ABCD  theo  Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a  Baì 23: Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy a, Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  a SA  b, Tính thể tích khối chóp S ABC diện tích tam giác SBC B 24: Cho tam giác vng cân ABC có cạnh huyền BC  a Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABC  A lấy điểm S cho góc hai mặt phẳng  ABC   SBC  60 Tính thể tích khối chóp S ABC B 25: Khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh C SA   ABC  , SC  a Hãy tìm góc hai mặt phẳng  SCB   ABC  để thể tích khối chóp lớn B 26: Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB  a , AC  a hình chiếu vng góc đỉnh A’ mặt phẳng  ABC  trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A ' ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA ', B ' C ' (KA – 2008) Baì 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA  a , SB  a mặt phẳng  SAB  vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN (KB – 2008) Baì 28: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , đáy ABC tam giác vuông, AB  BC  a , cạnh bên AA '  a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C (KD – 2008) 45 ... pháp tổng hợp) 1) Kiến thức: - Cần có kiến thức rộng đầy đủ hình học (hình học phẳng hình học khơng gian) - Nhớ định lý, hệ - Đơi cần phải dựng thêm hình vẽ phụ 2) Kĩ năng: - Kĩ vẽ hình, dựng hình. .. S (0;0; h) y O B C x Với hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA  (ABCD) z S ABCD hình thoi cạnh a chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O(0;0;0) D A y O B C x Với hình chóp S.ABC có SA ... Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA  ( ABCD); SA  2a Mặt phẳng   qua BC hợp với AC góc 300 , cắt SA, SD M, N Tính diện tích thi? ??t diện BCNM Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình