CHUYấN B I D NG TO N 10 TG:Ph m Ng c Ph ng A. Tính chất luỹ thừa bậc hai: Ngay từ lớp học sinh biết nhận xét dấu số có luỹ thừa chẵn nắm đợc tính chất luỹ thừa bậc hai Bình phơng hay luỹ thừa bậc hai số không âm (*) A2 Dấu = xảy a a = 0. Lớp học sinh đợc làm quen với đẳng thức: (A - B)2 = A2 2AB + B2 Nếu sử dụng tính chất (*) (A - B)2 A,B (I) Việc khai thác sử dụng sáng tạo bất đẳng thức (I) giúp học sinh rèn luyện t hình thành phơng pháp chứng minh nh cách thức để hình thành bất đẳng thức từ bất đẳng thức biết. Từ bất đẳng thức (I): (a b) a + b 2ab BĐT (I), (II), (III) dấu = xảy b. a b + b a (II) (a + b)2 4ab (III) a = B. Khai thác tính chất luỹ thừa bậc hai. I/.Khai thác bất đẳng thức (I): (a b) Từ bất đẳng thức (I) ta đổi biến đặt A = ay; B = bx (I) trở thành: (ay bx )2 a, b, x, y a x Dấu = xảy ay = bx b = y Khai triển biến đổi: a2y2 2axby + b2x2 a2y2 + b2x2 2axby a2y2 + b2x2 +a2x2 + b2y2 a2x2 + 2axby + b2y2 (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 Nh ta có toán: 1.Bài toán 1: Chứng minh : (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số a, b, x, y) Để khắc sâu phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ta chứng minh toán nhiều cách - Phơng pháp 1: Dùng định nghĩa : A > B A B > 0. + Lập hiệu A B. CHUYấN B I D NG TO N 10 TG:Ph m Ng c Ph ng + Chứng tỏ A B > 0. + Kết luận A > B. + Cách : Xét hiệu : (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2- b2y2 2axby = a2y2 - 2axby + b2x2 a, b, x, y. = (ay - bx)2 Vậy (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 Dấu = xảy - Phơng pháp : a x = b y Phép biến đổi tơng đơng. + Biến đổi A > B A1 > B1 A2 > B2 (*) + Vậy A > B. + Cách : Ta có (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 a2x2+ 2ãby + b2y2 a2y2 - 2axby + b2x2 (ay bx)2 Dấu = xảy a, b, x, y. a x = b y Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 - Phơng pháp : Sử dụng bất đẳng thức biết + Cách : Ta có (ay - bx)2 a2y2 2aybx + b2x2 a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 a2x2+ 2ãby + b2y2(cộng vế a2x2, b2y2). (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 - Phơng pháp : Phơng pháp phản chứng. + Giả sử có điều trái với kết luận. + Suy điều mâu thuẫn với giả thiết điều biết. + Giả sử sai kết luận đúng. + Cách 4: Giả sử (a2 + b2)(x2 + y2) < (ax + by)2 a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 < a2x2+ 2ãby + b2y2 a2y2 2aybx + b2x2 < (ay - bx)2 < 0. Vô lý Vậy (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 CHUYấN B I D NG TO N 10 TG:Ph m Ng c Ph ng Bốn phơng pháp thể cách giải toán phơng pháp thông thờng để chứng minh bất đẳng thức. Khai thác tiếp tục bất đẳng thức (I) ta có: (ay - bx)2 (az - cx)2 (ay - bx)2 + (az - cx)2 + (cy - bz)2 (cy - bz)2 Khai triển, chuyển vế cộng vào vế BĐT : a 2x2 + b2y2 + c2z2 ta đợc: a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2a2x2+b2y2+c2z2+2axby+2axcz+2bycz (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) (ax + by +cz)2 2.Bài toán : CMR : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) (ax + by +cz)2 ( BĐT Bunhiacôpxki cho số a, b, c x, y, z). Giải Xét hiệu : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) - (ax + by +cz)2 =a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2- a2x2- b2y2- c2z2-2abxy-2acxz-2bcyz =(a2y2-2abxy+b2x2)+(a2z22acxz+c2x2)+(b2z2-2bcyz+ c2y2) =(ay - bx)2+ (az - cx)2+ (cy - bz)2 Dấu = xảy a b c = = x y z Bằng cách làm tơng tự ta phát triển toán BĐT Bunhiacôpxki tổng quát: (a21 + a22 ++ a2n)(x21 + x22 ++ x2n) (a1x1 + a2x2 ++ anxn )2 Dấu = xảy a a1 a = = . = n x1 x xn Để ý a x số nghịch đảo ax = (x = Từ toán ta đặt toán: 3.Bài toán 3: Cho ba số a, b, c số dơng Chứng minh rằng: (a + b + c)( 1 + + )9 a b c Giải Theo toán (BĐT Bunhiacôpxki): 1 1 + b + c ) + + ) ( a a b c a b c 1 (a + b + c)( + + ) 32 = a b c (a + b + c)( Dấu = xảy a = b = c. ) a CHUYấN B I D NG TO N 10 Từ bất đẳng thức (x+ y+ z)( TG:Ph m Ng c Ph ng 1 + + ) x y z Đặt a + b = X; b + c = Y; c + a = Z ta đợc BĐT: 1 + + ) a+b b+c c+a a b c ( + + +3) b+c a+c b+a a b c + + b+c a+c b+a 2(a + b + c)( Bài toán tìm đợc: 4.Bài toán 4: Cho a, b, c số dơng CMR: a b c + + b+c a+c b+a Giải áp dụng toán tacó: 1 1 1 + b+c + c+a )2 + + ) ( a + b a+b b+c c+a a+b b+c c+a 1 2(a + b + c)( + + ) a+b b+c c+a a b c ( + + +3) b+c a+c b+a a b c + + (1) b+c a+c b+a (a+b+c+b+c+a)( Ta tiếp tục khai thác toán theo bớc sau: - Bớc : Nhân vế (1) với a+b+c > 0. (a + b + c)( 1 + + ) (a + b + c) a+b b+c c+a - Bớc : Khai triển rút gọn vế trái sau chuyển vế ta đợc: 2 a+b+c a2 + b + c b+c a+c b+a Đây nội dung toán 5.Bài toán : Cho a, b, c số dơng 2 a+b+c CMR: a + b + c b+c a+c b+a Chứng minh toán ta dẫn từ toán theo hớng khai thác để đến kết quả. Nhng ta giải độc lập nh sau: - Phơng pháp 1: áp dụng bất đẳng thức toán CHUYấN B I D NG TO N 10 a [( b+c a ( b+c b )2 + ( b+a b+c + ) +( b c b+a TG:Ph m Ng c Ph ng ) ][( b + c )2+ ( a + c )2+ ( a + b )2] c a+c + a+c a+b a + b)2 a b c2 2(a + b + c)( + + ) (a + b + c)2 b+c a+c b+a a+b+c a2 b2 c2 + + (đpcm) b+c c+a b+a - Phơng pháp 2: áp dụng bất đẳng thức Cô si b+c a2 a2 b + c + =a . b+c b+c c+a b2 + b c+a b+a c2 + c b+a 2 Vậy a + b + c b+c c+a b+a a+b+c (cộng theo vế BĐT ) Ta tiến hành khai thác toán cách: +Trang bị thêm cho toán điều kiện : abc = 1. + áp dụng BĐT Cô si cho số dơng : a + b + c 3 abc = 3x1 = 6.Bài toán 6: Cho a, b, c số dơng thoả mãn : abc = 1. 2 CMR a + b + c b+c c+a b+a (2) Giải Theo toán 2 a+b+c a2 + b + c abc = 3x1 = b+c c+a b+a 2 2 a2 + b + c b+c c+a b+a Xem xét toán ta nhận thấy: + Nếu đặt a = Khi : 1 1 ; b = ; c = abc = = 1. y xyz x z x+y= 1 a+b + = = c(a + b). a b ab Tơng tự : y + z = a(b + c). z + x= b(c + a). CHUYấN B I D NG TO N 10 Do BĐT (2) TG:Ph m Ng c Ph ng a3 b3 c3 + + . a (b + c) b( a + c ) c ( a + b) x ( y + z ) + y ( z + x) + z ( x + y ) . 7.Bài toán 7: Cho x, y, z số dơng thoả mãn : xyz = CMR : 1 + + . x ( y + z) y ( z + x) z ( x + y) Giải Đặt a = 1 1 ; b = ; c = abc = = 1. y xyz x z Ta có : x+y = c(a+b) y+z = a(b+c) z+x = b(c+a) Do : 2 1 + + = a + b + c (theo toán 6) x ( y + z) y ( z + x) z ( x + y) b+c c+a b+a Nh từ tính chất luỹ thừa bậc hai ta khai thác đợc chùm toán từ dễ đến khó khó mặt khác rèn luyện t sáng tạo học sinh. II/.Khai thác bất đẳng thức II. Đặt a b + b a a b = x > = . Ta có toán: b a x 8. Bài toán 8: Cho số dơng x. 2. x Khai thác toán ta thấy: x. = . x Chứng minh rằng: x + Do ta dùng số dơng a, b, c, d thoả mãn : abcd=1. Khi đó: ab= cd (cd= ) ab Ta khám phá đợc toán mới: 9. Bài toán 9: CHUYấN B I D NG TO N 10 TG:Ph m Ng c Ph ng Cho a, b, c, d số dơng thoả mãn abcd=1 CMR: ab + cd (hoặc ac + bd 2; ad + bc 2) (Chứng minh bất đẳng thức cần đa toán cách dùng điều kiện abcd=1) Lại có: a2 + b2 2ab ; c2 + d2 2cd. Do : a2 + b2 + c2 + d2 2ab + 2cd Liên kết với toán ta có: a2 + b2 + c2 + d2 2(ab + cd) 10. Bài toán 10: Cho a, b, c, d số dơng thoả mãn abcd=1 CMR: : a2 + b2 + c2 + d2 Tiếp tục liên kết toán 10 ta có: 11. Bài toán 11: Cho a, b, c, d số dơng thoả mãn abcd=1 CMR: : a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd + ac + bd 10 Giải Từ điều kiện a. b, c, d > abcd=1 Ta có: : ab = cd ; ad = 1 ; ca = bc bd Do đó: (ab + cd) + (da + bc) + (ac + bd) = (cd + 1 ) + (bc + ) + (bd + ) + + = (Bài toán 9) cd bc bd Mà a2 + b2 + c2 + d2 (bài toán 10) a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd + ac + bd 10 Dấu = xảy a = b = c = d Vây từ bất đẳng thức (II) ta khai thác thành chùm BĐT (8 11 ) III. Khai thác bất đẳng thức III: (a + b)2 4ab a, b Là bất đẳng thức đa mối quan hệ bình phơng1tổng với tích cuả chúng. Để khai thác BĐT (III) ta thêm điều kiện a,b số dơng. Chia vế (III) cho ab(a + b) ta đợc: a+b +1 ab a+b a b a+b 12. Bài toán 12: Cho a,b số dơng Chứng minh rằng: Xét hiệu 1 + a b a+b Giải a (a + b) + b(a + b) 4ab ( a b) 1 + = = ab(a + b) ab( a + b) ) a b a+b CHUYấN B I D NG TO N 10 Vậy 1 + a b TG:Ph m Ng c Ph ng a+b Dấu = xảy a=b Khai thác toán 12 tơng tự nh cách khai thác toán 1. Ta có: 1 + a b 1 + b c 1 + c a c + d2 a+b b+c c+a Do cộng theo vế BĐT ta đợc: 1 + + a+b b+c c+a ( + + 1) a b c 13. Bài toán 13: Cho a, b, c số dơng. CMR: 1 1 1 + + ( + + ) a+b b+c c+a a b c Giải Theo toán 12: 1 1 ( + ) a+b a b 1 1 ( + ) b+c b c 1 1 ( + ) c+a c a Cộng theo vế BĐT trên: 1 1 1 + + ( + + ) a+b b+c c+a a b c Dấu = xảy a=b=c Khai thác toán 13 cách : + Đặt a= x + y; b= y + z; c= z + x 1 1 ( + ) = x+ y y a x 1 + 1) = ( b y+z y z 1 1 ( + ) = c z+x z x 1 + Thêm điều kiện : + + =4 y x z Ta hình thành toán 14 BĐT thi đại học khối A năm 2005. Điều chứng tỏ việc học sinh nắm kiến thức từ lớp dới vô quan trọng. CHUYấN B I D NG TO N 10 TG:Ph m Ng c Ph ng 14. Bài toán 14: 1 + =4 y x z 1 CMR: + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Cho x, y, z số dơng thoả mãn: + - Cách Ta có : (Đại học khối A năm 2005) Giải 1 1 1 1 1 = ( + ) ( + + + ) 2x + y + z ( x + y) + ( x + z) y+z y x+ y 16 x z z Tơng tự: 1 1 1 ( + + + ) x + 2y + z y 16 x z z 1 1 1 ( + + + ) x + y + z 16 x y z z Cộng theo vế BĐT trên: 1 1 1 + + .4( + + ) 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z y 16 x z 1 + =4 + y x z 1 Vậy + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Mà Dấu = xảy x = y = z = - Cách 2: Ta có 1 1 1 1 1 1 = ( + ) + ( + )= + + x + y + z x + ( y + z) 2x y + z 8x 16 y z x 16 y 16 z Tơng tự: 1 1 + + x + 2y + z 16 x y 16 z 1 1 + + x + y + 2z 16 x 16 y z Cộng theo vế BĐT: 1 1 1 + + ( + + )=1 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z y x z 1 Vậy + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Khai thác toán 14 cách đặt vào tam giác ta có: 15. Bài toán 15: Xét tam giác ABC có: BC = a, CA = b, AB = c, chu vi a+b+c = 2p không đổi. CHUYấN B I D NG TO N 10 CMR: p ab bc ac + + a + b + 2c 2a + b + c c + 2b + c Giải áp dụng toán 12 Ta có: TG:Ph m Ng c Ph ng ab = a + b + 2c bc 2a + b + c ac a + 2b + c ab ab ab ( + ) (a + c) + (b + c ) a+c b+c bc bc ( + ) a+b a+c ca ca ( + ) b+a a+b Cộng theo vế BĐT ta đợc: ac ab bc ab ab bc bc ca ca + + ( + + + + + )= a + b + 2c 2a + b + c a+b a+c b+a a+b a + 2b + c a + c b + c p (a + b + c) = .2p = 2p Dấu = xảy ABC có a = b =c = Tiép tục khai thác bải toán tam giác mối quan hệ cạnh tam giác chu vi ta có: 16. Bài toán 16 Trong ABC có chu vi a + b +c = 2p ( a, b, c độ dài cạnh ). CMR : 1 1 1 + + 2( + + ) pa pb pc a b c Giải Nhận xét : p - a = a+b+c b+ca -a= > ( b + c > a bất đẳng thức tam giác ) 2 Tơng tự : p - b > ; p- c > 0. Mặt khác : p - a + p - b = 2p - a - b = c p-b+p-c=a p-c+p-a=b Do ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức toán 12 nh sau: 1 4 + = pa pb ( p a ) + ( p b) c 1 + pb pc a 1 + pc pa b Cộng theo vế bất đẳng thức ta có : 1 1 1 + + 2( + + ) pa pb pc a b c Dấu = xảy ABC 10 . + d 2 2(ab + cd) 4 10. Bài toán 10: Cho a, b, c, d là 4 số dơng thoả mãn abcd=1 CMR: : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 4 Tiếp tục liên kết bài toán 9 và 10 ta có: 11. Bài toán 11: Cho a, b, c,. + bd 10 Giải Từ điều kiện a. b, c, d > 0 và abcd=1 Ta có: : ab = cd 1 ; ad = bc 1 ; ca = bd 1 Do đó: (ab + cd) + (da + bc) + (ac + bd) = (cd + ) 1 cd + (bc + ) 1 bc + (bd + ) 1 bd . ) 1 bc + (bd + ) 1 bd 2 + 2 + 2 = 6 (Bài toán 9) Mà a 2 + b 2 + c 2 + d 2 4 (bài toán 10) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ab + cd + ac + bd 10 Dấu = xảy ra khi a = b = c = d Vây từ bất