MỤC TIÊU: • HS nắm vững các công thức và các phép toán về căn bậc hai • Làm quen với các dạng bài tập cơ bản: Rút gọn biểu thức; tính giá trị của biểu thức; tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nh
Trang 1Chủ đề 1: CÁC VẤN ĐỀ VỀ CĂN THỨC BẬC HAI (05 tiết)
I MỤC TIÊU:
• HS nắm vững các công thức và các phép toán về căn bậc hai
• Làm quen với các dạng bài tập cơ bản: Rút gọn biểu thức; tính giá trị của biểu thức; tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất;
• Rèn luyện tư duy tổng quát
II NỘI DUNG:
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
1) các phép toán và phép biến đổi đơn giản:
2 A khi A 0
A = A =
-A khi A < 0
• A.B = A B với A ≥ 0; B ≥ 0
B B với A ≥ 0; B > 0
• m A n A p A+ - = (m n p A Với A+ - ) ( ³ 0)
• A B = A B2 với B ≥ 0
• A = 1 AB
=
A - B
A B ±
m
với A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠B
• Với A ≥ 0 thì A = ( )2
A
2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức:
a) Dạng đa thức A(x):
- Biến đổi: A(x) = B(x)2 ± m ≥ ± m Giá trị nhỏ nhất đạt được là ± m khi B(x) = 0
- Biến đổi: A(x) = m - B(x)2 ≤ m Giá trị lớn nhất đạt được là m khi B(x) = 0
b) Dạng phân thức đơn giản B x A x( )( ): Biến đổi : B x A x( )( ) = m ( )n
B x
( )
A x
B x đạt giá trị lớn nhất khi B(x) nhỏ nhất; B x A x( )( ) đạt giá trị nhỏ nhất khi B(x) lớn nhất
Ví dụ: a) Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 + x 3 - 1
2 ) 2 - 7
4
7 4
2 Vậy GTNN của biểu thức là -7
4 khi x= - 3
2 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1
1
Giải : Ta có x - x + 1 =
2
x
− +
2
4
Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức x - x + 1 là 3
4khi x = 1
4
1
x− x+ đạt giá trị lớn nhất là
4
3 khi x=1
4 3) Phân tích đa thức bằng phương pháp tách:
a) Dạng: ax2 + bx + c (a ≠ ): Tách bx = mx + nx sao cho m.n = a.c
b) Dạng A ± 2 B : Tách A = m + n sao cho m n = B Khi đó đa thức được viết lại là:
4) Tìm điều kiện:
- Phân thức B x A x( )( ) có nghĩa khi B(x) ≠ 0
Trang 2- Căn thức A có nghĩa khi A ≥ 0
- Tích A B ³ 0 Û A và B cùng dấu - Tích A.B ≤ 0 Û A và B khác dấu
B LUYỆN TẬP:
Bài 1: Tính
b)
3
1 1 5 54 75 2
48
2
d) (7 48 3 27 2 12) : 3+ −
e) (2 3−3 2)2 +2 6+3 24
1 2
2 2
3
3
2
+
+ +
+
h) 7 2 10− − 7 2 10+
Bài 1:
b)
3
1 1 5 54 75 2 48 2
.4 3 2.5 3 3 6 5
−
(3 7 2 3) 7 2 21 21 2 21 2 21 21
d) (7 48 3 27 2 12) : 3+ − (7.4 3 3.3 3 2.2 3) : 3 33 3 : 3 33
e) (2 3−3 2)2 +2 6+3 24
2
12 12 6 18 2 6 3.2 6 30 4 6
1 2
2 2 3
3 2
+
+ + +
3( 3 2) 2( 2 1)
+
h) 7 2 10− − 7 2 10+
5 2 10 2 5 2 10 2
( 5 2) ( 5 2) | 5 2 | | 5 2 |
i) 5− 3− 29 12 5−
2
2
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a
a
a
+
−
−
1
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a
a a
+
−
− 1
1
(Với a>0 ; a ≠ 1)
2
1
a
−
Trang 3b a ab
a
b
b
a
−
1 1
).(
1
1
(
−
−
− +
+
+
a
a a a
a
a
(Với a > 0 , a ≠ 1)
e) (a a b b ab)( a b) 2
a b
− +
b)
c)
d)
2
e) (a a b b ab)( a b) 2
a b
− +
2
2
ab
Bài 3: Cho biểu thức
K = − − − + + −1
2 1
1 1
a
a
2
< 0
a) K = − − − + + −1
2 1
1 1
a
a
ĐK: a > 0; a ≠ 1
K =
(a 1 ) : a 1a 1
a a 1
=
a
a−1
b) a = 3 + 2 2 = ( 2 + 1)2 ⇒ a = 2 + 1
K =
1 2
1 2 2 3 +
−
c) Với a > 0 ⇒ a > 0 Do đó K =
a
a−1 < 0
⇔a – 1 < 0 ⇔a < 1 Vậy K < 0 ⇔0 < a < 1 Bài 4: Cho biểu thức
B =
−
+
− +
−
−
1
1 1
1
2
x
x x
x x
2
x
b) Tìm các giá trị của x để B > 0
c) Tìm các giá trị của x để B = –2
a) B =
−
+
− +
−
−
1
1 1
1 2
1 2
x
x x
x x 2
−
+
−
−
−
1
1 1
2
x
x x
x
x
= −
−
⋅
−
1
4 2
1 2 x
x x
x
= x
x
− 1
b) B =
x
x
− 1 > 0 ⇔1 – x > 0 (vì x> 0) ⇔ x < 1 Vậy B > 0 khi 0 < x < 1
c) B =
x
x
− 1
= –2 ⇔1 – x = –2 x
1± 2 thoả mãn đ.kiện
Bài 5: Cho
A = x x 1 x x 1 2(x-2 x 1)
: x-1
+
−
a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
: x-1
+
−
ĐK: x > 0 ; x ≠ 1
1 2 1
1 1
1
1
+
−
−
+
+
− +
−
−
+ +
−
x x
x : x
x
x x x x
x
x x x
Trang 4A = 2 2( 1)
1
−
+ x
x
=
1
1
−
+ x x
b) A =
1
1
−
+ x
x =
1
2 1
−
+
− x
x
x Với x là số nguyên dương thì A là số nguyên khi x - 1 là ước của 2, mà Ư(2) = {±1; ±2} Do đó:
Vậy với x = 4; x= 9 thì A có giá trị nguyên Bài 6: Cho biểu thức
y =
x
x x x
x
x
+
−
1
2
a) Rút gọn y Tìm x để y = 2
b) Giả sử x > 1 C.minh rằng: y – y = 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y
a) ĐK: x > 0
x
x x x
x
x x x
1
1
+
−
+
− +
= x + x + 1 - 2 x - 1 = x - x = x ( x - 1) b) Với x > 1 thì x - 1 > 0 ⇒y = x ( x - 1) > 0
⇒ y = y hay: y – y = 0 c) y = x- x =( x )2–2 x 21+4
1
-41= ( x -21)2- 41 ≥- 41 Vậy GTNN của y là -14 khi x -21= 0 hay x = 41
C BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau
2
1 4
3
1 1 5 11
33 75 2 48 2
Bài 2 : Thực hiện phép tính, rút gọn các biểu thức sau
Bài 3: Thực hiện các phép tính sau đây:
Bài 4: Thực hiện các phép tính sau đây:
3
2 2 2
9 3
1 5
3
1 1 5 75 2 3
1 5
Bài 5: Thực hiện phép tính
.
+
Trang 5Bài 6: Cho biểu thức: B = 1 : 3 x 2 2 y 2
a) Rút gọn biểu thức B b) Xác định x; y để x = 9y và B = 2
a) Rút gọn D b) Tính giá trị của biểu thức D khi x = 4 2 5−
−
−
− + +
+
a a
a a
a a
a
a
Với a > 0; a ≠1
+ + +
+
− +
−
+
xy 1
xy 2 y x 1 : xy 1
y x xy 1
y x
a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x = 2 2 3
+ c) Tìm giá trị lớn nhất của P Gợi ý: a) ĐK: x > 0; y > 0; xy ≠1
xy y x 1
xy
1 xy
1
x y 2 x 2
+ + +
−
⋅
−
+
(1 x)(1 y)
y 1 x 2
+ +
+ =
x 1
x 2 + b) x = 2 2 3
2 => P = =
13
2 3
c) P =
x
1
x
2
+ ≤ x 1
1 x +
+
= 1 (Vì 2 x ≤ x + 1) Dấu “ = ” xảy ra khi x = 1 và y ≠1 Vậy max P = 1 khi x = 1 và y ≠1; y > 0
Bài 10 : Cho biểu thức C = − −
+
−
+ +
x x
x x
3
1 3 : 9
9
Bài 11: Cho biểu thức P = − − − + + − 1
2 1
1 :
1
x x
a/Tìm điều kiện của x để P xác định - Rút gọn P
b/Tìm các giá trị của x để P < 0 c/Tính giá trị của P khi x = 4-2 3
Bài 12: Cho biểu thức P = −
−
− +
+
+
−
x
x x
x x
x x
1
4 1
: 1 2
2 1 c/ Tìm GTNN của P và giá trị tương ứng của x
Bài 13: Cho biểu thức P =
2
2
1 1 2
2 1
2
−
+ +
+
−
−
x x
x x
x
a/ Rút gọn P b/ CMR: nếu 0 < x < 1thì P >0 c/ Tìm GTLN của P
Bài 14: Cho biểu thức P =
x
x x x
x x x x
x
+
+
−
−
−
Bài 15: Cho biểu thức P =
−
+
−
−
−
−
+
1
: 1
1 1
1
x
x x x
x x
x x
; với x≥0, x≠1
RÚT KINH NGHIỆM