Cac phuong phap dem nang cao TNDung

www.VNMATH.com Phép đếm - vấn đề nâng cao Trần Nam Dũng Trường ĐHKHTN Tp HCM Phép đếm hay gọi Giải tích tổ hợp đóng vai trò quan trọng môn khoa học đặc biệt Tin học Tóan ứng dụng. Có thể nói, lý thuyết xác suất cổ điển có sở tóan đếm, sinh học di truyền sử dụng đến phép đếm, hóa học cấu trúc … Nhưng giải tóan đếm không đơn giản. Khi làm quen với giải tích tổ hợp, liên tục đếm nhầm vụ đếm lặp, đếm thiếu, không phân biệt đối tượng tổ hợp cần áp dụng, dùng quy tắc cộng, quy tắc nhân. Khi vượt qua khó khăn ban đầu này, ta lại gặp tóan mà việc áp dụng trực tiếp quy tắc đếm đối tượng tổ hợp không đem lại kết mong muốn lập tức. Với tóan vậy, ta cần đến phương pháp đếm nâng cao hơn. Trong viết này, để có tính hệ thống, trước hết trình bày cách vắn tắt phần lý thuyết phép đếm, sau đó, tập trung vào giới thiệu phương pháp đếm nâng cao gồm phương pháp song ánh, phương pháp quỹ đạo, phương pháp thêm bớt, phương pháp quan hệ đệ quy phương pháp hàm sinh. Bài viết xây dựng dựa giảng khóa cao học, lớp cử nhân tài lớp tập huấn cho đội tuyển Việt Nam thi toán quốc tế. Các tài liệu tham khảo trình bày cuối viết. Chúng xin chân thành cảm ơn Trường ĐHKHTN HN, đặc biệt GS Nguyễn Văn Mậu cho hội trình bày chuyên đề này. Bài 1. - Phép đếm. Các nguyên lý phép đếm Định nghĩa: i) Một tập hợp A nói hữu hạn có n phần tử tồn song ánh A tập hợp 1, 2, ., n N. Ta viết |A| = n. ii) Nếu A không hữu hạn, ta nói A vô hạn. Bổ đề (Nguyên bù trừ): Giả sử B tập tập hợp hữu hạn A. Gọi CA(B) phần bù B A. Khi ta có |A| = |B| + |C(B)|. Định lý: Giả sử A, B tập hợp hữu hạn. Nếu tồn đơn ánh từ A vào B đơn ánh từ B vào A A B có số phần tử. Nguyên lý cộng: Nếu A, B tập hợp không giao www.VNMATH.com |A  B| = |A| + |B|. Nguyên lý cộng phát biểu cách khác sau: Nếu công việc thực hai phương án lọai trừ lẫn nhau: phương án thứ có m cách thực phương án thứ hai có n cách thực hiện. Khi công việc có m+n cách thực hiện. Nguyên lý cộng mở rộng: Nếu tập hợp hữu hạn C hợp n tập đôi rời C1, C2, ., Cn thì: | C | = | C1 | + | C2 | + .+ | Cn |. Định nghĩa: Tích Descartes hai tập hợp A, B ký hiệu AxB tập hợp tất cặp thứ tự (a, b) với a  A, b  B. Nguyên lý nhân: Nếu A B hai tập hợp hữu hạn AxB hữu hạn ta có |A x B| = |A|.|B| Định nghĩa tích Descartes nguyên lý nhân mở rộng cho nhiều tập hợp. Nguyên lý nhân phát biểu cách khác sau: Nếu trình thực qua hai công đọan: công đọan I có n1 cách thực hiện, công đọan II (sau thực I) có n2 cách thực hiện. Khi có n1.n2 cách thực trình đó. Nguyên lý thêm bớt: Với hai tập hữu hạn A, B ta có |A  B| = |A| + |B| - |AB| Câu hỏi tập: 1) Hãy tìm số tập tập hợp có n phần tử. 2) Hãy cho ví dụ áp dụng nguyên lý bù trừ. 3) Hãy cho ví dụ phép đếm phải áp dụng nguyên lý cộng nguyên lý nhân. 4) Có số có chữ số khác nhau? 5) Có số có chữ số chia hết cho 3? 6) Có số có chữ số khác chia hết cho 3? 7) Trong trò chơi tiến lên, tính xác suất để người có tứ quí. 8) Nguyên lý thêm bớt mở rộng nào? Bài 2. - Các đối tượng tổ hợp số tổ hợp 1. Họ tập tập hợp E P(E) = A| A  E Mệnh đề: |P(E)| = 2|E| 2. Chỉnh hợp n phần tử chọn k (hay chỉnh hợp chập k n phần tử) Giả sử E = a1, a2, ., an. Chỉnh hợp n phần tử chọn k thứ tự gồm k phần tử (ai1, ., aik). Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu Ank . Ta có www.VNMATH.com Ank = n(n-1) (n-k+1) = n!/(n-k)! 3. Tổ hợp n phần tử chọn k (hay tổ hợp chập k n phần tử) Giả sử E = a1, a2, ., an. Tổ hợp n phần tử chọn k không thứ tự gồm k phần tử ai1, ., aik. Nói cách khác, tập gồm k phần tử. Số tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu Ckn. Ta có C nk = n(n-1) (n-k+1)/k! = n!/k!(n-k)! 4. Hóan vị Giả sử E = a1, a2, ., an. Một hóan vị E cách xếp phần tử E theo thứ tự đó. Nói cách khác, chỉnh chỉnh hợp n phần tử chọn n. Số hóan vị n phần tử ký hiệu Pn. Ta có Pn = n!. 5. Chỉnh hợp lặp Giả sử E = a1, a2, ., an. Chỉnh hợp lặp n phần tử chọn k thứ tự gồm k phần tử (ai1, ., aik), cho phép lấy lặp lại. Số chỉnh hợp chập k n, theo quy tắc nhân, nk. 6. Tổ hợp lặp Giả sử E = a1, a2, ., an. Tổ hợp lặp n phần tử chọn k không thứ tự gồm k phần tử ai1, ., aik, cho phép lấy lặp lại. Nói cách khác, đa tập hợp gồm k phần tử lấy từ E. Số tổ hợp lặp chập k n phần tử ký hiệu H nk . Ta có H nk  C nk k 1 7. Hóan vị lặp Xét đa tập hợp E(r1, r2, ., rs) có n phần tử, phần tử a1 có r1 phiên bản, phần tử a2 có r2 phiên bản, ., phần tử as có rs phiên bản, r1+r2+ .+rs = n. Một cách xếp phần tử E theo thứ tự gọi hóan vị lặp n phần tử E. Số hóan vị lặp đa tập hợp E(r1, r2, ., rs) n!/r1! .rs!. Bổ đề: (Tính chất hệ số nhị thức) C nk 1  C nk  C nk1 Định lý: (Nhị thức Newton) ( x  y ) n  C n0 x n  C n1 x n 1 y  .  C nn y n . Câu hỏi tập: 1) Nêu rõ khác biệt chỉnh hợp tổ hợp, hóan vị hóan vị lặp. 2) Tìm hiểu ý nghĩa ký hiệp A, C, P, H. 3) Hãy chứng minh định lý nhị thức. 4) Nêu ví dụ áp dụng cho đối tượng tổ hợp đây. 5) Tìm số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + x2 + x3 = 100 6) Có nam nữ. Có cách chọn người có nam nữ. www.VNMATH.com n n 7) Rút gọn tổng A   C (2) , B  C nk cos(kx) . k 0 8) Chứng minh n  (C k 0 k n k n k k 0 )  C 2nn . Bài 3. - Các phương pháp đếm nâng cao Cơ sở phép đếm định nghĩa phép đếm, nguyên lý đếm số tổ hợp (là số thường nảy sinh cách tự nhiên tóan đếm). Tuy nhiên, với công cụ sở trên, thường giải tóan dạng đơn giản nhất. Với tóan có yêu cầu phức tạp hơn, cần đến phương pháp đếm nâng cao. Có nhiều phương pháp đếm nâng cao dựa tảng lý thuyết khác nhau. Ví dụ phương pháp song ánh dựa vào lý thuyết tập hợp ánh xạ, phương pháp thêm bớt dựa vào lý thuyết tập hợp (cụ thể tổng quát hóa công thức |A  B| = |A| + |B| |AB|), phương pháp quỹ đạo dựa vào định lý số đường ngắn hai điểm lưới nguyên, phương pháp quan hệ đệ quy dựa vào ý tưởng quy nạp, phương pháp hàm sinh sử dụng kiến thức tổng hợp đại số giải tích . Dưới đây, qua ví dụ, giới thiệu số phương pháp đếm nâng cao. 1. Phương pháp song ánh. Phương pháp song ánh dựa vào ý tưởng đơn giản: Nếu tồn song ánh từ A vào B |A| = |B|. Do đó, muốn chứng minh hai tập hợp có số phần tử, cần xây dựng song ánh chúng. Hơn nữa, ta đếm số phần tử tập hợp A cách xây dựng song ánh từ A vào tập hợp B mà ta biết cách đếm. Ví dụ 1. (Bài tóan chia kẹo Euler) Cho k, n số nguyên dương. Tìm số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + x2 + . + xn = k (*) Lời giải: Ta xây dựng ánh xạ từ tập hợp A nghiệm nguyên không âm (*) với tập hợp B xâu nhị phân độ dài n+k-1 với k bit n-1 bit sau: (x1, x2, …, xn)  101 101 1…01 có x1 số liên tiếp, sau đến số 0, sau đến x2 số liên tiếp, lại đến số …, cuối xn số liên tiếp. Dễ dàng chứng minh ánh xạ song ánh (hãy giải thích tòan ánh cách xây dựng ánh xạ ngược). Từ | A | = | B | = C nnk1 1 . Ví dụ 2. (Định lý phương pháp quỹ đạo) Chứng minh số đường ngắn lưới nguyên từ điểm A(0, 0) đến B(m, n) C mm n . Lời giải: Một đường ngắn từ A đến B bao gồm m đọan ngang n đọan lên. Ta cho tương ứng đường ngắn từ A đến B xâu nhị phân gồm m www.VNMATH.com bit (tương ứng với đọan ngang) n bit (tương ứng với đọan lên). Dễ dàng chứng minh tương ứng song ánh, từ số đường ngắn từ A đến B số xâu nhị phân độ dài m+n có m bit 1, C mm n . Ví dụ 3. Xây dựng song ánh từ N vào ZxZ. Hướng dẫn: Đánh số điểm nguyên theo vòng trôn ốc. Ví dụ 4. Chứng minh không tồn song ánh từ tập hợp số hữu tỷ thuộc đoạn [0, 1] vào tập hợp số thực thuộc đoạn này. Hướng dẫn: Phương pháp đường chéo! Ví dụ 5. Có n người xếp hàng dọc. Hỏi có chọn k người cho hai người liên tiếp chọn? Lời giải: Ta đánh số n người số thứ tự 1, 2, …, n. Một cách chọn thích hợp số  a1 < a2 < …< ak  n thỏa mãn điều kiện ai+1 – > (tức  2). Vậy ta cần tìm số phần tử A = (a1, a2, …, ak) |  a1 < a2 < …< ak  n, ai+1 –  với i=1, 2, …, k-1 Xét ánh xạ f(a1, a2, …, ak) = (b1, b2, …, bk) với bi = – i + rõ ràng ta có 1) b1 = a1  1; 2) bi+1 – bi = (ai+1 – (i+1) + 1) – (ai – i + 1) = ai+1 – – > 3) bk = ak – k +  n – k + 1. Suy (b1, b2, …, bk) phần tử tập hợp B: B = (b1, b2, …, bk) |  b1 < b2 < …< bk  n – k + 1 Dễ thấy f đơn ánh. Ngòai ra, ánh xạ g(b1, b2, …, bk) = (a1, a2, …, ak) với = bi + i – cho đơn ánh từ B vào A. Vậy | A | = | B | = C nk k 1 . Phương pháp song ánh áp dụng để chứng minh cách đẳng thức tổ hợp cách vô hiệu quả. Y tưởng là: Nếu ta đếm tập hợp hai cách khác kết thu phải nhau, cho dù, với cách đếm khác ta biểu thức khác nhau. Ví dụ 6: Chứng minh hệ thức n  k (C k 1 k n )  nC 2nn11 Lời giải: Hãy giải tóan sau hai cách “Có n nhà vật lý n nhà tóan học tham gia Hội nghị khoa học. Hỏi có cách chọn nhóm làm việc gồm n người, có nhà vật lý làm nhóm trưởng”. Cách 1: Chọn nhóm trưởng vật lý, sau chọn n-1 thành viên lại từ 2n-1 người lại. Cách 2: Chọn k nhà vật lý, chọn nhóm trưởng nhà vật lý sau chọn n-k nhà tóan học với k = 1, 2, …, n. (Xem thêm bài: Song ánh toán giải tích tổ hợp – TH&TT, số 1, 2/2001) 2. Phương pháp quan hệ đệ quy. www.VNMATH.com Phương pháp quan hệ đệ quy phương pháp giải tóan với n đối tượng thông qua việc giải tóan tương tự với số đối tượng cách xây dựng quan hệ đó, gọi quan hệ đệ quy. Sử dụng quan hệ này, ta tính đại lượng cần tìm ý với n nhỏ, tóan giải cách dễ dàng. Ta minh họa phương pháp thông qua số ví dụ: Ví dụ 1. (Bài tóan chia kẹo Euler) Cho k, n số nguyên dương. Tìm số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + x2 + . + xn = k (*) Giải. Gọi số nghiệm nguyên không âm phương trình S(n, k). Dễ dàng thấy S(1, k) = 1. Để tính S(n, k), ta ý (*) tương đương với x1 + .+ xn-1 = k - xn (**) Suy với xn cố định số nghiệm (**) S(n-1, k-xn). Từ ta công thức S(n, k) = S(n-1, k) + S(n-1, k-1) + .+ S(n-1, 0) Đây coi công thức truy hồi tính S(n, k). Tuy nhiên, công thức chưa thật tiện lợi. Viết công thức cho (n, k-1) ta S(n, k-1) = S(n-1, k-1) + S(n-1, k-2) + .+ S(n-1, 0) Từ đây, trừ đẳng thức vế theo vế, ta S(n, k) - S(n, k-1) = S(n-1, k) Hay S(n, k) = S(n, k-1) + S(n-1, k) Từ công thức này, quy nạp ta chứng minh S(n, k) = C knn11 . Ví dụ 2. Có xâu nhị phân độ dài n hai bit đứng cạnh nhau? Giải. Gọi cn số xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu bài. Ta có c1 = 2, c2 = 3. Để tìm công thức truy hồi, ta xây dựng xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu có dạng anan-1an-2 a2a1. Có hai trường hợp an = 1. Khi an-1 = an-2 a2a1 chọn xâu độ dài n-2 thỏa điều kiện. Có cn-2 xâu vậy, suy trường hợp có cn-2 xâu. an = 1. Khi an-1 a2a1 chọn xâu độ dài n-1 thỏa điều ii) kiện. Có cn-1 xâu vậy, suy trường hợp có cn-1 xâu. Vậy tổng cộng xây dựng cn-1 + cn-2 xâu, nghĩa ta có hệ thức truy hồi cn = cn-1 + cn-2. i) Ví dụ 3. Có cách lát đường kích thước 3x2n viên gạch kích thước 1x2? Lời giải: Gọi cn số cách lát đường kích thước x 2n. Dễ thấy c1 = 3. Để tính cn, ta chia cách lát đường kích thước 3x2n thành n lọai, lọai thứ k cách lát mà phần đường 3x2k phủ kín hòan tòan, không tồn i < k cho phần đường 3x2i phủ kín hòan tòan. Gọi Ak tập hợp cách lát lọai k rõ ràng cn = |A1| + |A2| + … + |An|. Dễ dàng nhận thấy |A1| = 3cn-1 (phần đường 3x2 lát kín cách, phần lại lát cn-1 cách). Tiếp theo, chứng minh dễ dàng rằng, có hai cách phủ phần đường 3x2k cho cách phủ thuộc Ak với k = 2, 3, …, n, cách phủ www.VNMATH.com cách phủ thu cách lấy đối xứng. Từ suy |Ak| = 2cn-k. Như vậy, ta có cn = 3cn-1 + 2cn-2 + … + 2. Đây dạng công thức truy hồi bậc vô hạn. Để thu công thức truy hồi bậc hữu hạn, ta thay n  n+1 cn+1 = 3cn + 2cn-1 + 2cn-2 + … + Từ đó, trừ hai đẳng thức cuối vế theo vế, ta cn+1 – cn = 3cn – cn-1 cuối cn+1 = 4cn – cn-1. Ví dụ 4. n đường tròn chia mặt phẳng thành nhiều miền? Hướng dẫn: đường tròn cắt n-1 đường tròn khác tốt đa điểm? Ví dụ 5. (VMO 2003): Với số nguyên dương n  gọi sn số hoán vị (a1, a2, ., an) tập hợp En = 1, 2, ., n, mà hoán vị có tính chất  |ai - i|  với i=1, 2, ., n. Chứng minh với n > ta có 1.75sn-1 < sn < 2sn-1. Hướng dẫn. Chứng minh công thức truy hồi sn+1 = sn + sn-1 + sn-2 + sn-3 - sn-4. Ví dụ 6. Xét tập hợp E = 1, 2, 3, ., 2003. Với tập A khác rỗng E, ta đặt r(A) = a1 - a2 + .+ (-1)k-1ak a1, a2, ., ak tất phần tử A xếp theo thứ tự giảm dần. Hãy tính tổng u S = A  E r(A). 3. Phương pháp thêm bớt Ta xét toán thực tế sau: Ví dụ 1. Rút ngẫu nhiên 13 quân từ 52 quân. Tính xác suất để 13 quân có “tứ quý”. 13 cách rút 13 quân từ 52 quân. Ta cần tìm số cách rút có Giải. Có C 52 quân giống (về số!). cách rút (lấy Trước hết ta đếm số cách rút có “tứ quý” A. Rõ ràng có C 48 A từ 48 lại). Với quân khác vậy. Vì có 13 quân (!?). khác nên số cách rút có tứ quý 13. C 48 Trong lời giải trên, đếm lặp. Cụ thể cách rút có hai tứ quý, chẳng hạn tứ quý K tứ quý A đếm hai lần: lần tứ quý A lần tứ quý K. Nhưng ta đếm không hải số tứ quý mà số lần gặp tứ quý. Như thế, . Lý lần đếm lặp phải trừ đi. Dễ thấy, số cách rút có tứ quý K A C 44 luận tiếp tục thế, ta có số xác cách rút có tứ quý là: 13.C 48  C132 C 44  C133 C 40 www.VNMATH.com xác suất cần tìm 13 p  (13.C 48  C132 C 44  C133 C 40  0.0342 . ) / C 52 tức với người chơi ngẫu nhiên, trung bình 29 lần có lần đạt tứ quý. Xác suất có tứ quý ván chơi cao tíng phương pháp thêm bớt. P ~ 4p – 6p2 + 4p3 – p4 = 0.1299 tức khỏang ván có xuất tứ quý. Trong lời giải để không bị đếm lặp, bớt đi, lạm thêm vào, lại bớt … Cơ sở tóan học phương pháp định lý sau: Định lý. Với n tập hợp A1, ., An ta có công thức |A1  .  An| =  |Ai| -  |Ai  Aj| + .+ (-1)n-1|A1 .An| Chứng minh: Dùng quy nạp tính phân phối. Ví dụ 2. Có cách xếp xe lên bàn cờ quốc tế bị gạch đường chéo cho ăn nào? Giải. Có 8! cách xếp xe xe lên bàn cờ quốc tế cho ăn nào. Ta cần đếm số cách xếp không hợp lệ, tức số cách xếp có xe nằm đường chéo. Gọi Ai tập hợp cách xếp có quân xe nằm ô (i, i). Ta cần tìm |A1  .  A8|. Nhưng dễ dàng thấy |Ai| = 7!, |Ai  Aj| = 6! . |A1 .A8| = nên từ định lý ta suy |A1  .  A8| = C18.7! - C28.6! + C38.6! - . - C88.1! = 8! - 8!/2! + 8!/3! - .- 8!/8!. Như số cách xếp xe lên bàn cờ quốc tế bị gạch đường chéo cho ăn N(8) = 8! - (8! - 8!/2! + 8!/3! - .- 8!/8!) = 8!(1/2! - 1/3! + .+ 1/8!). Ví dụ 3. Có cách xếp xe lên bàn cờ quốc tế bị gạch hai đường chéo cho ăn nào? Bài nói thêm: Định lý xe đa thức xe. 4. Phương pháp quỹ đạo Ví dụ 1. Có m+n người đứng quanh quầy vé, n người có tiền 5.000 m người có tiền 10.000. Đầu tiên quầy tiền, vé giá 5.000. Hỏi có cách xếp m+n người thành hàng để không người phải chờ tiền trả lại (m  n). Ví dụ 2. (Bài toán bầu cử) Trong bầu cử, ứng cử viên A a phiếu bầu, ứng cử viên B b phiếu bầu (a > b). Cử tri bỏ phiếu tuần tự. Có cách xếp việc bỏ phiếu để lúc A B số phiếu bầu? www.VNMATH.com Cho x > y số nguyên. Quỹ đạo từ gốc toạ độ đến điểm (x; y) đường gấp khúc nối điểm O, (1; s1), ., (k; sk), .(x; sx), |si - si-1| = 1, sx = y. Gọi Nx,y số quỹ đạo nối điểm (0; 0) với điểm (x; y). Ta có định lý sau: Định lý 1. Nx,y = C pp q với p = (x+y)/2, q = (x-y)/2 x, y tính chẵn lẻ Nx,y = x, y khác tính chẵn lẻ. Chứng minh: Giả sử quỹ đạo gồm p đoạn hướng lên q đoạn hướng xuống dưới. Khi p + q = x, p - q = y từ p = (x+y)/2, q = (x-y)/2 (vì p q số nguyên nên x, y cần phải có tính chẵn lẻ). Vì quỹ đạo hoàn toàn xác định ta đoạn hướng lên trên, số quỹ đạo từ điểm O đến điểm (x; y) Nx,y = C pp q . Định lý 2. (Nguyên lý đối xứng gương) Giả sử A(a; ), B(b; ) điểm có toạ độ nguyên, b > a  0,  > 0,  > 0, A’(a; - ) điểm đối xứng với A qua trục Ox. Khi số quỹ đạo từ A đến B cắt trục Ox có điểm chung với Ox số quỹ đạo từ A’ đến B. Chứng minh. Mỗi quỹ đạo T từ A đến B, cắt trục Ox có điểm chung với Ox ta cho tương ứng với quỹ đạo T’ từ A’ đến B theo quy tắc sau: xét đoạn quỹ đạo T từ A điểm gặp T Ox lấy đối xứng đoạn qua Ox, T T’ trùng nhau. Như quỹ đạo T từ A đến B cắt Ox tương ứng với quỹ đạo xác định từ A’ đến B. Ngược lại quỹ đạo từ A’ đến B tương ứng với quỹ đạo từ A đến B cắt Ox (lấy đoạn quỹ đạo từ A’ đến B đến điểm gặp lấy đối xứng đoạn qua Ox). Như ta thiết lập song ánh từ tập hợp quỹ đạo từ A đến B cắt Ox vào tập hợp quỹ đạo từ A’ đến B. Định lý chứng minh. Định lý 3. Giả sử x > 0, y > 0. Khi số quỹ đạo từ O đến (x; y) khôn có điểm chung với trục Ox (ngoại trừ điểm O) (y/x)Nx,y. 5. Phương pháp hàm sinh Phương pháp hàm sinh phương pháp đại, sử dụng kiến thức chuỗi, chuỗi hàm (đặc biệt công thức Taylor). Đây phương pháp mạnh để giải tóan giải tích tổ hợp Định nghĩa: Cho dãy số a0, a1, a2, ., an, . Chuỗi hình thức A(x) = a0 + a1x + a2x2 + . + anxn + . gọi hàm sinh dãy an. www.VNMATH.com Ý tưởng phương pháp hàm sinh sau: Giả sử ta cần tìm công thức tổng quát dãy số an đó. Từ công thức truy hồi lý luận tổ hợp trực tiếp, ta tìm hàm sinh A(x) = a0 + a1x + a2x2 + . + anxn + . Khai triển A(x) thành chuỗi tìm hệ số xn khai triển ta tìm an. Công thức khai triển thường sử dụng (Công thức nhị thức Newton) (1 + x)α = + αx + α(α-1)x2/2 + .+ α(α-1) .(α-n+1)xn/n!+ . Ví dụ 1. Tìm số hạng tổng quát dãy số f0 = 1, f1 = 2, fn+1 = fn + fn-1. Giải: Xét hàm sinh F(x) = f0 + f1x + f2x2 + .+ fnxn + . = f0 + f1x + (f0+f1)x2 + .+ (fn-1+fn-2)xn + . = f0 + f1x + x2(f0+f1x+ .) + x(f1x+ .) = f0 + f1x + x2F(x) + x(F(x)-f0) Từ suy F(x) = (1+x)/(1-x-x2) Tiếp theo, ta khai triển F(x) thành chuỗi. Ta có F(x) = (1+x)/(1-αx)(1-x) α,  nghiệm phương trình x2 - x - = 0. Ta dễ dàng tìm hai số A, B cho F(x) = A/(1-αx) + B/(1-x) Từ đó, sử dụng công thức 1/(1-x) = + x + x2 + .+ xn + . ta F(x) = A + B + (Aα + B)x + .+ (Aαn + Bn)xn+ . suy fn = Aαn + Bn với α,  hai nghiệm phương trình x2 - x - = A, B, số hòan tòan xác định. Ví dụ 2. Tìm số hạng tổng quát dãy số a0 = 1, ana0+an-1a1 + .+ a0an = Giải: Xét hàm sinh A(x) = a0 + a1x + a2x2 + .+ anxn + . Biểu thức truy hồi gợi đến hệ số hai đa thức A(x).A(x) = a0 + (a0a1+a1a0)x + .+ (ana0+an-1a1 + .+ a0an)xn + . = + x + x2 + n .+ x = (1-x)-1. Từ suy A(x) = (1-x)-1/2 = + (1/2)x + (1/2)(3/2)x2/2+ .+ (1/2)(3/2) .(n-1/2)xn/n! + . Và an = (2n-1)!!/2n.n! = C 2nn / n . Ví dụ 3. (Bài tóan chia kẹo Euler) Cho k, n số nguyên dương. Tìm số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + x2 + . + xn = k (*) Giải: Gọi cn(k) số nghiệm (*). Xét tích tổng vô hạn (1+x+x2+ .)(1+x+x2+ .) (1+x+x2+ .) = (1+x+x2+ .)n Ta nhận xét khai triển tích thành chuỗi lũy thừa x (1+x+x2+ .)n = c0 + c1x + .+ ckxk + . 10 www.VNMATH.com ck = cn(k) (Vì sao? Hãy thử giải thích) Nhưng (1+x+x2+ .)n = (1-x)-n = + nx + .+ n(n+1) .(n+k-1)xk/k! + . Suy cn(k) = n(n+1) .(n+k-1)/k! = Ckn+k-1. Ví dụ 4. Vé xe búyt hệ thống giao thông công cộng đánh số từ 000000 đến 999999. Một vé gọi vé hạnh phúc tổng ba chữ số tổng ba chữ số cuối cùng. Hãy tìm xác suất gặp vé hạnh phúc người mua vé bất kỳ. Ví dụ 5. Có 2n điểm đường tròn. Hãy tìm số cách nối 2n điểm n dây cung không cắt nhau. Câu hỏi tập 1. 1) n đường thẳng chia đường thẳng thành nhiều miền? 2) n mặt phẳng chia không gian thành nhiều miền? 2. Hàm sinh dãy an A(x). Hãy tính hàm sinh dãy số sau 1) bn = can 2) bn = an + b 3) bn = an + an-1 + .+ a1 + a0 4) bn = a2n 3. Giả sử  tập hợp gồm n phần tử. Họ tập A1, A2, ., Ak gọi họ Sperner tập hợp A1, A2, ., Ak tập tập tập khác. 1) Giả sử A1, A2, ., Ak họ Sperner với số phần tử tương ứng i1, i2 ., ik. Chứng minh 1/Ci1n + 1/1/Ci2n + . + 1/Cinn  1. 2) (Định lý Sperner). Giả sử A1, A2, ., Ak họ Sperner. Khi k  C[n/2]n. 3) Gọi An số họ Sperner khác . Chứng minh 2Tn < An < CTn2^Tn Tn = C[n/2]n. 4. (Mỹ 1996) Gọi an số xâu nhị phân độ dài n không chứa chuỗi 010, bn số xâu nhị phân độ dài n không chứa chuỗi 0011 1100. Chứng minh bn+1 = 2an với n nguyên dương. 5. (Việt Nam 1996) Cho số nguyên k n cho  k  n. Tìm tất thứ tự (a1, a2, ., ak) a1, a2, ., ak số khác từ tập hợp 1, 2, ., n, thoả mãn điều kiện: 1) Tồn s t cho  s < t  k as > at. 2) Tồn s cho  s  k as không đồng dư với s theo mod 2. 6. Tìm số tất n số (x1, x2, ., xn) cho (i) xi =  với i=1, 2, ., n; (ii)  x1 + x2 + .+ xr < với r = 1, 2, ., n-1; (iii) x1 + x2 + .+ xn = 4. 7. (PTNK 2000) Cho M = 1, 2, ., n. 11 www.VNMATH.com 1) Tìm số tất ba tập A, B, C M thoả điều kiện A  B  C = M, B  C = ; 2) Tìm số tất bốn tập A, B, C, D M thoả điều kiện A  B  C  D = M, B  C  D = . 8. (Vietnam ST 94) Tính tổng T =  1/n1!n2! .n1994!(n2+2n3+ .+1993n1994)! tổng lấy theo tất có thứ tự số tự nhiên (n1, n2, ., n1994) thoả mãn điều kiện n1+2n2+3n3+ .+1994n1994 = 1994. 9. Cho 3n điểm đường tròn. Có cách nối điểm lại để tạo thành n tam giác điểm chung? 10. Ta gọi (i, j) nghịch hoán vị  En = 1, 2, …, n (i) > (j) mà i < j. Tìm số nghịch trung bình hóan vị chọn ngẫu nhiên. Bài 4. - Ứng dụng phép đếm Giải tích tổ hợp không giải toán đặt lý thuyết mà nhiều ứng dụng thú vị ngành toán học khác, ví dụ đại số, số học, hình học tổ hợp, lý thuyết xác suất . Các hệ số nhị thức thường nảy sinh cách tự nhiên số học modular, đại số giao hoán, lý thuyết đại số Lie modular, vậy, đẳng thức liên quan đến hệ số nhị thức đóng vai trò đặc biệt quan trọng. Dưới đây, xét số ví dụ liên quan đến ứng dụng giải tích tổ hợp lĩnh vực khác toán học. Ví dụ 1. Cho p số nguyên tố. Đường tròn chia thành p cung nhau. Hỏi có cách tô p cung a màu khác (Hai cách tô màu thu phép quay coi giống nhau)? Giải. Mỗi mội cung có a cách tô màu, có ap cách tô màu p cung (với quy ước cố định vị trí). Trong số có a cách tô màu màu. Với cách tô màu dùng màu trở lên, ta dùng phép quay để tạo p cách tô màu khác tính ap cách tô màu không tính theo cách tính đề bài. Như số cách tô màu thoả mãn điều kiện đề (ap-a)/p + a. Hệ quả. (Định lý nhỏ Fermat) Cho p số nguyên tố a số nguyên, ap - a chia hết cho p. Ví dụ 2. Chứng minh từ 2n-1 số nguyên tìm n số có tổng chia hết cho n. Giải. Ta gọi mệnh đề đề A(n). Trước hết ta chứng minh A(m), A(n) A(mn) (hãy chứng minh!). Từ đây, toán quy việc chứng minh A(p) với p số nguyên tố. Xét E = a1, a2, ., a2p-1. Giả sử ngược lại với ai1, ., aip lấy từ E ta có ai1 + .+ aip không chia hết cho p. Khi đó, theo định lý nhỏ Fermat 12 www.VNMATH.com (ai1 + .+ aip)p-1  (mod p) Từ suy  (ai1 + .+ aip)p-1  C 2pp 1 (mod p) tổng tính theo tất tập p phần tử E. Mặt khác, ta đếm số lần xuất đơn thức aj11 .ajkk với 1 + .+ k = p-1 tổng vế trái. Có C 2k p 1C 2ppkk 1 tổng dạng ai1 + .+ aip có chứa aj1, ., ajk. Trong tổng này, đơn thức aj11 .ajkk xuất với hệ số (p-1)!/1! .k!. Như vậy, đơn thức aj11 .ajkk xuất tổng vế trái với hệ số C 2k p 1C 2ppkk 1 .[ (p-1)!/1! .k!] = [(2p-1)!/k!(p-k)!(p-1)!].[ (p-1)!/1! .k!]. Do  k  p-1 nên hệ số chia hết cho p, suy tổng vế trái chia hết cho p. Mặt khác C 2pp 1 = (2p-1)/p!(p-1)! = (p+1) .(2p-1)/(p-1)! không chia hết cho p. Mâu thuẫn. Ví dụ 3. Chứng minh n  (C k 0 k n )  C 2nn . Ví dụ 4. Cho a số thực dương n số nguyên dương cho trước. Tìm giá trị lớn biểu thức x1x2 .xn/(1+x1)(x1+x2) .(xn-1+xn)(xn+an+1), x1, x2, ., xn số dương tuỳ ý. Giải. Đặt u0 = x1, u1 = x2/x1, ., un = an+1/xn u0u1 .un = an+1 ta cần tìm giá trị nhỏ (1+u0)(1+u1) .(1+un). Ta có (1+u0)(1+u1) .(1+un) = + ui1 .ui k + . + u0u1 .un. Tổng ui1 .ui k có ui + ui1ui + .+ k n 1 C số hạng. Tích chúng biểu thức bậc kC n. Do tính đối xứng, số hạng góp bậc kCkn+1/(n+1). Suy tích tất số hạng (an+1)^(kCkn+1/(n+1)) = a^(kCkn+1). Áp dụng bất k đẳng thức Cauchy, ta có ui1 .ui k  Ckn+1ak. Do + ui + ui1ui + .+ ui1 .ui k + . + u0u1 .un  + (n+1)a + C2n+1a2 + .+ Ckn+1ak + . + an+1 = (1+a)n+1. Dấu xảy u0 = u1 = .= un = a tức x1 = a, x2 = a2, ., xn = an. Ví dụ 5: (Dãy phủ đầy đủ) Với số nguyên dương k > 1, ta nói (a1, b1), … (ak, bk) lập thành dãy phủ đầy đủ với số tự nhiên n, tồn số i thuộc 1, 2, …, k cho n đồng dư mođun bi. Chứng minh (a1, b1), … (ak, bk) dãy phủ đầy đủ a) 1/b1 + 1/b2 + … + 1/bk = 1. b) a1/b1 + a2/b2 + … + ak/bk = (k-1)/2. Ví dụ 6: (Tập thứ cấp cấp 2) Với đa tập hợp A = a1, a2, …, an (các nhau), ta gọi A(2) = ai + aj |  i < j  n. Chứng minh tồn đa tập hợp A, B cho 1) |A| = |B| = n 2) A  B 3) A(2) = B(2) n = 2k với k nguyên dương đó. 13 www.VNMATH.com Tài liệu tham khảo 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Nguyễn Hữu Anh, Tóan rời rạc, NXB ĐHQG Tp HCM, 2001 Trần Ngọc Danh, Tóan rời rạc nâng cao, NXB ĐHQG Tp HCM, 2003 Nguyễn Khắc Minh, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Hà Nội 1996 Tạp chí Tóan học tuổi trẻ, số 1, 2/2001. Hebert S. Wilf, Generating Functionology, A.K. Peters Ltd, 2005 M. Hall, Combinatorial Theory, New York: Wiley, 1986 Cohen, D., Basic Techniques of Combinatorial Theory, New York: Wiley, 1978 Stanley R.P, Enumerative Combinatorics, New York, Cambridge University Press, 1999. 9. Tạp chí Kvant 10. Tài liệu Internet, đặc biệt website: www.mathlinks.ro, www.diendantoanhoc.net, www.mccme.ru. 14 [...]... 2) A  B 3) A(2) = B(2) thì n = 2k với k nguyên dương nào đó 13 www.VNMATH.com Tài liệu tham khảo 1 2 3 4 5 6 7 8 Nguyễn Hữu Anh, Tóan rời rạc, NXB ĐHQG Tp HCM, 2001 Trần Ngọc Danh, Tóan rời rạc nâng cao, NXB ĐHQG Tp HCM, 2003 Nguyễn Khắc Minh, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Hà Nội 1996 Tạp chí Tóan học và tuổi trẻ, số 1, 2/2001 Hebert S Wilf, Generating Functionology, A.K Peters Ltd, 2005 M Hall, Combinatorial . Với các bài tóan có yêu cầu phức tạp hơn, cần đến các phương pháp đếm nâng cao. Có nhiều phương pháp đếm nâng cao dựa trên các nền tảng lý thuyết khác nhau. Ví dụ phương pháp song ánh dựa. kết quả mong muốn ngay lập tức. Với những bài tóan như vậy, ta cần đến các phương pháp đếm nâng cao hơn. Trong bài viết này, để có tính hệ thống, trước hết chúng tôi sẽ trình bày một cách vắn. thuyết cơ bản của phép đếm, sau đó, chúng tôi sẽ tập trung vào giới thiệu các phương pháp đếm nâng cao gồm phương pháp song ánh, phương pháp quỹ đạo, phương pháp thêm bớt, phương pháp quan hệ đệ