ÔN TẬP THEO TỪNG CHUYÊN ĐỀ TOAN 9

Phần I: đại số Chủ đề 1: Căn thức Biến đổi thức. Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa. Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thức sau). 1) 3x 8) x2 + 2) 2x 9) x2 3) 7x 14 2x 4) x 5) x+3 7x 7) 2x x x 3x + 11) 2x 5x + 12) 7x + 6) 10) x 5x + 13) x 3x 5x 6x + x + 14) + Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức. Bài 1: Đa thừa số vào dấu căn. a) ; b) x (với x > 0); x c) x Bài 2: Thực phép tính. ; d) (x 5) a) ( 28 14 + ) + ; d) b) ( + 10 )( 0,4) ; e) c) (15 50 + 200 450 ) : 10 ; f) g) 3; 20 + 14 + 20 14 ; a) ( 216 ) 82 b) 11 + 11 +7 3 14 15 + ): 26 + 15 26 15 c) + 15 Bài 4: Thực phép tính. a) (4 + 15 )( 10 6) 15 c) 3+ e) 6,5 + 12 + 6,5 12 + b) d) (3 5) + + (3 + 5) 4+ + Bài 5: Rút gọn biểu thức sau: a) c) 24 + + 24 + 5+2 52 + 5+ Bài 6: Rút gọn biểu thức: b) d) 3 +1 e) x + + 5; h) Bài 3: Thực phép tính. x ; 25 x 3 +1 3+ 5 + 3+ + 10 x2 a) + 13 + 48 c) b) + + 48 10 + 1 1 + + + . + 1+ 2+ 3+ 99 + 100 Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: a b +b a a) : , với a > 0, b > a b. ab a b a + a a a , với a > a 1. b) + a + a a a + 2a a ; a4 d) 5a (1 4a + 4a ) 2a c) 3x + 6xy + 3y 2 x2 y2 Bài 8: Tính giá trị biểu thức e) a) A = x 3x y + 2y, x = ;y = 9+4 b) B = x + 12x với x = 4( + 1) 4( 1) ; )( ( ) c) C = x + y , biết x + x + y + y + = 3; d) D = 16 2x + x + 2x + x , biết 16 2x + x 2x + x = 1. e) E = x + y + y + x , biết xy + (1 + x )(1 + y ) = a. Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán. x x Bài 1: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Tính giá trị P x = 4(2 - ). c) Tính giá trị nhỏ P. Bài 2: Xét biểu thức A = a + a 2a + a + 1. a a +1 a) Rút gọn A. b) Biết a > 1, so sánh A với A . c) Tìm a để A = 2. d) Tìm giá trị nhỏ A. Bài 3: Cho biểu thức C = a 1 x + x 2 x + x a) Rút gọn biểu thức C. b) Tính giá trị C với x = . c) Tính giá trị x để C = . a + a b2 a b2 a Bài 4: Cho biểu thức M = a) Rút gọn M. b : 2 a a b a = . b b) Tính giá trị M c) Tìm điều kiện a, b để M < 1. x x +2 (1 x) Bài 5: Xét biểu thức P = x x + x + a) Rút gọn P. b) Chứng minh < x < P > 0. c) Tìm giá trị lơn P. . Bài 6: Xét biểu thức Q = x x + x + . x x +6 x x a) Rút gọn Q. b) Tìm giá trị x để Q < 1. c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng Q số nguyên. xy x y3 Bài 7: Xét biểu thức H = x y xy a) Rút gọn H. b) Chứng minh H 0. c) So sánh H với H . a : ( ) x y + xy x+ y a : Bài 8: Xét biểu thức A = + a a a + a a . a + a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị a cho A > 1. c) Tính giá trị A a = 2007 2006 . Bài 9: Xét biểu thức M = 3x + 9x x + + x . x+ x x +2 x a) Rút gọn M. b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng M số nguyên. Bài 10: Xét biểu thức P = 15 x 11 + x x + . x +2 x a) Rút gọn P. x x +3 b) Tìm giá trị x cho P = . c) So sánh P với . Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai định lí Viét. Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai. Bài 1: Giải phơng trình 1) x2 6x + 14 = ; 2) 4x2 8x + = ; 3) 3x + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x 7,5 = ; 5) x 4x + = ; 6) x2 2x = ; 7) x2 + 2 x + = 3(x + ) ; 8) x2 + x + = (x + 1) ; 9) x2 2( - 1)x - = 0. Bài 2: Giải phơng trình sau cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 11x + = ; 2) 5x2 17x + 12 = ; 3) x2 (1 + )x + = ; =0; 5) 3x2 19x 22 = ; 7) ( + 1)x2 + x + - = ; 9) x2 12x + 27 = ; 4) (1 - )x2 2(1 + )x + + 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 8) x2 11x + 30 = ; 10) x2 10x + 21 = 0. Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm. Bài 1: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm. 1) x2 2(m - 1)x m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 2 3) x (2m 3)x + m 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x 4m 12 = 0; 5) x2 (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 2x (m 1)(m 3) = ; 2 7) x 2mx m = ; 8) (m + 1)x2 2(2m 1)x 3+m=0 9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0. Bài 2: a) Chứng minh với a, b , c số thực phơng trình sau có nghiệm: (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = b) Chứng minh với ba số thức a, b , c phân biệt phơng trình sau có hai nghiệm 1 phân biết: + + = (ẩn x) xa xb xc c) Chứng minh phơng trình: c2x2 + (a2 b2 c2)x + b2 = vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác. d) Chứng minh phơng trình bậc hai: (a + b)2x2 (a b)(a2 b2)x 2ab(a2 + b2) = có hai nghiệm phân biệt. Bài 3: a) Chứng minh phơng trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bốn phơng trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) x2 - 4ax + b2 = (3) x2 + 4bx + a2 = (4) Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm. c) Cho phơng trình (ẩn x sau): 2b b + c x+ =0 b+c c+a 2c c + a bx x+ =0 c+a a+b 2a a + b cx x+ =0 a+b b+c ax (1) (2) (3) với a, b, c số dơng cho trớc. Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm. Bài 4: a) Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0. Biết a 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phơng trình cho có hai nghiệm. b) Chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = ( a 0) có hai nghiệm hai điều kiện sau đợc thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = 0. Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc. Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình: x2 3x = 0. Tính: A = x1 + x ; C= B = x1 x ; 1 + ; x1 x D = ( 3x1 + x )( 3x + x1 ); E = x1 + x ; F = x1 + x Lập phơng trình bậc hai có nghiệm 1 . x1 x2 Bài 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình: 5x2 3x = 0. Không giải phơng trình, tính giá trị biểu thức sau: 3 A = 2x1 3x1 x + 2x 3x1x ; x x1 x x B= + + + ; x x + x1 x + x x 3x + 5x1x + 3x C= . 2 4x1x + 4x1 x Bài 3: a) Gọi p q nghiệm phơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + = 0. Không giải phơng trình thành lập phơng trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm p q . q p b) Lập phơng trình bậc hai có nghiệm 1 . 10 72 10 + Bài 4: Cho phơng trình x2 2(m -1)x m = 0. a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với m. b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mãn y1 = x1 + 1 y = x + . x2 x1 Bài 5: Không giải phơng trình 3x2 + 5x = 0. Hãy tính giá trị biểu thức sau: x1 x A = ( 3x1 2x )( 3x 2x1 ) ; B= + ; x x1 x1 + x + + x1 x2 Bài 6: Cho phơng trình 2x 4x 10 = có hai nghiệm x1 ; x2. Không giải phơng trình thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 x2 ; y2 = 2x2 x1 Bài 7: Cho phơng trình 2x2 3x = có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: C = x1 x2 ; D= x1 y1 = x2 y = x + a) b) x2 y = x + y = x Bài 8: Cho phơng trình x2 + x = có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: x1 x y1 + y = x + x y + y = x + x 2 a) ; b) y y y + y 2 + 5x + 5x = 0. + = 3x + 3x y y Bài 9: Cho phơng trình 2x2 + 4ax a = (a tham số, a 0) có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 1 1 y1 + y = + + = x1 + x x1 x y1 y Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm. Bài 1: a) Cho phơng trình (m 1)x2 + 2(m 1)x m = (ẩn x). Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. b) Cho phơng trình (2m 1)x2 2(m + 4)x + 5m + = 0. Tìm m để phơng trình có nghiệm. a) Cho phơng trình: (m 1)x2 2mx + m = 0. - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm. - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. b) Cho phơng trình: (a 3)x2 2(a 1)x + a = 0. Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 2: a) Cho phơng trình: 4x 2( 2m 1) x + m2 m = . 2 x + 2x + x +1 Xác định m để phơng trình có nghiệm. b) Cho phơng trình: (m2 + m 2)(x2 + 4)2 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác định m để phơng trình có nghiệm. Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trớc. Bài 1: Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 4m = 1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 2) Xác định m để phơng trình có nghiệm 4. Tính nghiệm lại. 3) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dơng (cùng âm). 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm kia. 6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 x2 = - 2. 7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất. Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) (m + 1)x2 2(m + 1)x + m = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 (m 4)x + 2m = ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m 1)x 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 d) x2 (2m + 1)x + m2 + = ; 3x1x2 5(x1 + x2) + = 0. Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) x2 + 2mx 3m = ; 2x1 3x2 = b) x2 4mx + 4m2 m = ; x1 = 3x2 c) mx2 + 2mx + m = ; 2x1 + x2 + = 2 d) x (3m 1)x + 2m m = ; x1 = x22 e) x + (2m 8)x + 8m = ; x1 = x22 2 f) x 4x + m + 3m = ; x12 + x2 = 6. Bài 4: a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 (2m 1)x + m = 0. Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm kia. b) Ch phơng trình bậc hai: x2 mx + m = 0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho biểu thức R = 2x1x + đạt giá trị lớn nhất. Tìm x1 + x + 2(1 + x1x ) giá trị lớn đó. c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau 2. mx2 (m + 3)x + 2m + = 0. Bài 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a 0). Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2. Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0). Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) : kb2 = (k + 1)2.ac Dạng 6: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số. Bài 1: a) Cho phơng trình x2 (2m 3)x + m2 3m = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn < x1 < x2 < 6. b) Cho phơng trình 2x2 + (2m 1)x + m = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn: - < x1 < x2 < 1. Bài 2: Cho f(x) = x2 2(m + 2)x + 6m + 1. a) Chứng minh phơng trình f(x) = có nghiệm với m. b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn 2. Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0. a) Với giá trị tham số a, phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép. b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn 1. Bài 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m 1)x (m + 1) = 0. a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn 1. b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ 2. Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 mx + m = có nghiệm thoả mãn x1 - x2. Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số. Bài 1: a) Cho phơng trình: x2 mx + 2m = 0. Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình không phụ thuộc vào tham số m. b) Cho phơng trình bậc hai: (m 2)x2 2(m + 2)x + 2(m 1) = 0. Khi phơng trình có nghiệm, tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. c) Cho phơng trình: 8x2 4(m 2)x + m(m 4) = 0. Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí nghiệm hai số 1. Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m 1)2x2 (m 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phơng trình có nghiệm, tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Bài 3: Cho phơng trình: x2 2mx m2 = 0. a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 với m. b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m. c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x1 x + = . x x1 Bài 4: Cho phơng trình: (m 1)x2 2(m + 1)x + m = 0. a) Giải biện luận phơng trình theo m. b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m. - Tìm m cho |x1 x2| 2. Bài 5: Cho phơng trình (m 4)x2 2(m 2)x + m = 0. Chứng minh phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 3(x1 + x2) + = 0. Dạng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bậc hai. Kiến thức cần nhớ: 1/ Định giá trị tham số để phơng trình có nghiệm k (k 0) lần nghiệm phơng trình kia: Xét hai phơng trình: ax2 + bx + c = (1) ax2 + bx + c = (2) hệ số a, b, c, a, b, c phụ thuộc vào tham số m. Định m để cho phơng trình (2) có nghiệm k (k 0) lần nghiệm phơng trình (1), ta làm nh sau: i) Giả sử x0 nghiệm phơng trình (1) kx0 nghiệm phơng trình (2), suy hệ phơng trình: ax + bx + c = 2 a' k x + b' kx + c' = (*) Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số để tìm m. ii) Thay giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) (2) để kiểm tra lại. 2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau. Xét hai phơng trình: ax2 + bx + c = (a 0) (3) ax2 + bx + c = (a 0) (4) Hai phơng trình (3) (4) tơng đơng với hai phơng trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng). Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với ta xét hai trờng hợp sau: i) Trờng hợp hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là: ( 3) < ( ) < Giải hệ ta tịm đợc giá trị tham số. ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau: (3) (4) S(3) = S(4) P = P (4) (3) Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) đa hệ phơng trình bậc ẩn nh sau: bx + ay = c b' x + a' y = c' Để giải tiếp toán, ta làm nh sau: - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m. - Tìm m thoả mãn y = x2. - Kiểm tra lại kết quả. Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 (3m + 2)x + 12 = 4x2 (9m 2)x + 36 = Bài 2: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x = 0; 6x2 + (7m 1)x 19 = 0. b) 2x2 + mx = 0; mx2 x + = 0. 2 c) x mx + 2m + = 0; mx (2m + 1)x = 0. Bài 3: Xét phơng trình sau: ax2 + bx + c = (1) cx2 + bx + a = (2) Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghiệm chung nhất. Bài 4: Cho hai phơng trình: x2 2mx + 4m = (1) x2 mx + 10m = (2) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phơng trình (1). Bài 5: Cho hai phơng trình: x2 + x + a = x2 + ax + = a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung. b) Với giá trị a hai phơng trình tơng đơng. Bài 6: Cho hai phơng trình: x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a) Định m để hai phơng trình có nghiệm chung. b) Định m để hai phơng trình tơng đơng. c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt Bài 7: Cho phơng trình: x2 5x + k = (1) x2 7x + 2k = (2) Xác định k để nghiệm phơng trình (2) lớn gấp lần nghiệm phơng trình (1). Chủ đề 3: Hệ phơng trình. A - Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn: Dạng 1: Giải hệ phơng trình đa đợc dạng Bài 1: Giải hệ phơng trình 3x 2y = 4x 2y = 2x + 3y = 1) ; 2) ; 3) 2x + y = 6x 3y = 4x + 6y = 10 3x 4y + = 2x + 5y = 4x 6y = 4) ; 5) ; 6) 5x + 2y = 14 3x 2y = 14 10x 15y = 18 Bài 2: Giải hệ phơng trình sau: ( 3x + )( 2y 3) = 6xy ( 2x - 3)( 2y + ) = 4x ( y 3) + 54 1) ; 2) ; ( 4x + 5)( y 5) = 4xy ( x + 1)( 3y 3) = 3y( x + 1) 12 7x + 5y - y + 27 2y - 5x + = 2x x + 3y = 3) ; 4) x + + y = 6y 5x 6x - 3y + 10 = 5x + 6y Dạng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ Giải hệ phơng trình sau 3y 3x x +1 + = = + x + 2y y + 2x x +1 y + x y + = 1) ; 2) ; 3) ; 2x 5 =1 =9 =4 x + 2y y + 2x x + y + x y + ( ( ) ) x 2x + y + = 4) ; x 2x y + + = x y + = 5) 4x 8x + + y + 4y + = 13. Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc Bài 1: a) Định m n để hệ phơng trình sau có nghiệm (2 ; - 1). 2mx ( n + 1) y = m n ( m + ) x + 3ny = 2m b) Định a b biết phơng trình: ax2 - 2bx + = có hai nghiệm x = x = -2. Bài 2: Định m để đờng thẳng sau đồng quy: a) 2x y = m ; x = y = 2m ; mx (m 1)y = 2m b) mx + y = m2 + ; (m + 2)x (3m + 5)y = m ; (2 - m)x 2y = - m2 + 2m 2. Bài 3: Cho hệ phơng trình mx + 4y = 10 m (m tham số) x + my = a) Giải hệ phơng trình m = . b) Giải biện luận hệ theo m. c) Xác định giá tri nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y > 0. d) Với giá trị nguyên m hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên dơng. e) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho S = x2 y2 đạt giá trị nhỏ nhất. (câu hỏi tơng tự với S = xy). f) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm M(x ; y) nằm đờng thẳng cố định m nhận giá trị khác nhau. ( m 1) x my = 3m 2x y = m + Bài 4: Cho hệ phơng trình: a) Giải biện luận hệ theo m. b) Với giá trị nguyên m hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y < 0. c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. d) Xác định m để hệ có nghiệm (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = 0. (Hoặc: cho M (x ; y) nằm parabol y = - 0,5x2). e) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm D(x ; y) luôn nằm đờng thẳng cố định m nhận giá trị khác nhau. x + my = mx 2y = Bài 5: Cho hệ phơng trình: a) Giải hệ phơng trình m = 2. b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x > y < 0. c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x, y số nguyên. d) Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà S = x y đạt giá trị lớn nhất. B - Một số hệ bậc hai đơn giản: Dạng 1: Hệ đối xứng loại I x + y + xy = 11 Ví dụ: Giải hệ phơng trình 2 x + y + 3( x + y ) = 28 Bài tập tơng tự: Giải hệ phơng trình sau: 10 x + y + x + y = 1) x + y + xy = x + xy + y = 2) x + xy + y = xy + x + y = 19 3) 2 x y + xy = 84 x 3xy + y = 4) 3x xy + 3y = 13 ( x + 1)( y + 1) = 5) x ( x + 1) + y( y + 1) + xy = 17 x + xy + y = + 7) x + y = ( x y ) ( x y ) = 9) x + y = 5xy ( ) ( )( ) x + y + = 10 6) ( x + y )( xy 1) = x + xy + y = 19( x y ) 8) x xy + y = 7( x y ) x y + y x = 30 10) x x + y y = 35 Dạng 2: Hệ đối xứng loại II x + = 2y y3 + = x Ví dụ: Giải hệ phơng trình Bài tập tơng tự: Giải hệ phơng trình sau: x + = 3y 1) y + = 3x x = 2x + y 3) y = 2y + x x 2y = 2x + y 5) y 2x = 2y + x 2x + y = x 7) 2y + = x y x 3x = y 9) y 3y = x x y + = y 2) xy + = x 2 x + xy + y = 4) x + xy + y = y x 3y = x 6) y 3x = x y x = 3x + 8y 8) y = 3y + 8x x = 7x + 3y 10) y = 7y + 3x Dạng 3: Hệ bậc hai giải phơng pháp cộng đại số Giải hệ phơng trình sau: 11 x + y = 1) x + xy + = x xy y = 12 2) xy x + y = xy x + x = 3) x xy + y x = x + y + xy 11 = 4) xy + y x = 2( x + y ) 3( x + y ) = 5) x y = x y + = 7) 2 y x = 5( x y ) + 3( x y ) = 6) x + y = 12 x + y xy = 9) 2 x + y xy y = 3x + 2y = 36 11) ( x 2)( y 3) = 18 x y = 8) x y + = 2x 3y = 10) 2 x y = 40 xy + 2x y = 12) xy 3x + 2y = xy + x y = 13) xy 3x + y = x + y 4x 4y = 14) x + y + 4x + 4y = x ( x 8) + 3y( y + 1) = 15) 2x ( x 8) + 5y( y + 1) = 14 Chủ đề 4: Hàm số đồ thị. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = 2x ; Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: a) a = ; b) y = - 0,5x + b) a = - 1. Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết: a) (d) qua A(1 ; 2) B(- ; - 5) b) (d) qua M(3 ; 2) song song với đờng thẳng () : y = 2x 1/5. c) (d) qua N(1 ; - 5) vuông góc với đờng thẳng (d): y = -1/2x + 3. d) (d) qua D(1 ; 3) tạo với chiều dơng trục Ox góc 300. e) (d) qua E(0 ; 4) đồng quy với hai đờng thẳng f) (): y = 2x 3; (): y = 3x điểm. g) (d) qua K(6 ; - 4) cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài). Bài 2: Gọi (d) đờng thẳng y = (2k 1)x + k với k tham số. a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6). b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y = 0. c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = 0. d) Chứng minh đờng thẳng (d) qua điểm A(-1/2 ; 1). e) Chứng minh k thay đổi, đờng thẳng (d) qua điểm cố định. Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng parabol Bài 1: a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1). Hãy tìm a vẽ đồ thị (P) đó. b) Gọi A B hai điểm lần lợt (P) có hoành độ lần lợt - 4. Tìm toạ độ A B từ suy phơng trình đờng thẳng AB. 12 Bài 2: Cho hàm số y = x a) Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số trên. b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) tiếp xúc với (P). Bài 3: Trong hệ trục vuông góc, cho parabol (P): y = x đờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1. a) Vẽ độ thị (P). b) Tìm m cho (D) tiếp xúc với (P). c) Chứng tỏ (D) qua điểm cố định A thuộc (P). Bài 4: Cho hàm số y = x a) Vẽ đồ thị (P) hàm số trên. b) Trên (P) lấy hai điểm M N lần lợt có hoành độ - 2; 1. Viết phơng trình đờng thẳng MN. c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đờng thẳng MN cắt (P) điểm. Bài 5: Trong hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) đờng thẳng (D): y = kx + b. 1) Tìm k b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) B(0; - 1). 2) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc câu 1). 3)Vẽ (D) (P) vừa tìm đợc câu 1) câu 2). 4) Gọi (d) đờng thẳng qua điểm C ;1 có hệ số góc m a) Viết phơng trình (d). b) Chứng tỏ qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) vuông góc với nhau. Chủ đề 5: Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình. Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, đờng sông có tính đến dòng nớc chảy) Bài 1: Một ôtô từ A đến B thời gian định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm giờ. Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu. Bài 2: Một ngời xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trớc. Sau đợc quãng đờng AB ngời tăng vận tốc thêm 10 km/h quãng đờng lại. Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đờng, biết ngời đến B sớm dự định 24 phút. Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngợc từ B trở A. Thời gian xuôi thời gian ngợc 20 phút. Tính khoảng cách hai bến A B. Biết vận tốc dòng nớc km/h vận tốc riêng canô lúc xuôi lúc ngợc nhau. Bài 4: Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngợc 36 km. Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều thời gian ngợc dòng vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi lúc ngợc dòng. Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi nớc) Bài 1: Hai ngời thợ làm chung công việc 12 phút xong. Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm hai ngời làm đợc việc. Hỏi ngời làm công việc xong? công 13 Bài 2: Nếu vòi A chảy vòi B chảy đợc vòi B chảy 30 phút đợc hồ. Nếu vòi A chảy hồ. Hỏi chảy mỗI vòi chảy đầy hồ. Bài 3: Hai vòi nớc chảy vào bể sau đầy bể. Nếu vòi chảy cho đầy bể vòi II cần nhiều thời gian vòi I giờ. Tính thời gian vòi chảy đầy bể? Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm. Bài 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy?. Bài 2: Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu ngời. Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 ngời. Tính số dân tỉnh năm ngoái năm nay? Dạng 4: Toán có nội dung hình học. Bài 1: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng m. Tính kích thớc vờn, biết đất lại vờn để trồng trọt 4256 m2. Bài 2: Cho hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2. Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu. Bài 3: Cho tam giác vuông. Nếu tăng cạnh góc vuông lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2. Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm 2. Tính hai cạnh góc vuông. Dạng 5: Toán tìm số. Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị. Bài 2: Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số đợc thơng số d 3. Bài 3: Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đôi mẫu số thêm giá trị phân số . Nếu tử số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số . Tìm phân số đó. 24 Bài 4: Nếu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm 1. Nếu bớt vào tử mẫu, phân số tăng . Tìm phân số đó. Chủ đề 6: Phơng trình quy phơng trình bậc hai. Dạng 1: Phơng trình có ẩn số mẫu. Giải phơng trình sau: 14 x x+3 + =6 x x 2x x+3 b) +3 = x 2x 2 t 2t + 5t c) +t = t t +1 a) Dạng 2: Phơng trình chứa thức. Loại Loại Giải phơng trình sau: A (hayB 0) A= B A = B B A=B A = B a) 2x 3x 11 = x b) c) 2x + 3x = x + d) ( x + 2) = 3x 5x + 14 ( x 1)( 2x 3) = x e) ( x 1) x 3x Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Giải phơng trình sau: a) x + x = x + b) x + 2x + = x + 2x + c) x + 2x + + x + x = x 4x d) x + x 4x + = 3x Dạng 4: Phơng trình trùng phơng. Giải phơng trình sau: a) 4x4 + 7x2 = ; b) x4 13x2 + 36 = 0; c) 2x4 + 5x2 + = ; d) (2x + 1)4 8(2x + 1)2 = 0. Dạng 5: Phơng trình bậc cao. Giải phơng trình sau cách đa dạng tích đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai: Bài 1: a) 2x3 7x2 + 5x = ; b) 2x3 x2 6x + = ; c) x4 + x3 2x2 x + = ; d) x4 = (2x2 4x + 1)2. Bài 2: a) (x2 2x)2 2(x2 2x) = c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = c) x x + x x + = d) x + 16 x + + 23 = x x x2 + x 3x 21 e) + +4=0 f) x + 4x = x x + x x 4x + 10 x 48 x g) 3( 2x + 3x 1) 5( 2x + 3x + 3) + 24 = h) 10 = x x 2x 13x i) + =6 k) x 3x + + x = 3x + 7. 2x 5x + 2x + x + Bài 3: a) 6x5 29x4 + 27x3 + 27x2 29x +6 = b) 10x4 77x3 + 105x2 77x + 10 = c) (x 4,5)4 + (x 5,5)4 = d) (x2 x +1)4 10x2(x2 x + 1)2 + 9x4 = Bài tập nhà: 15 Giải phơng trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. a) + = 2( x 1) x b) 2x + x2 c) x = x4 4x x +3 + =6 x +1 x x + 2x 2x d) + =8 x2 x 3x + a) x4 34x2 + 225 = c) 9x4 + 8x2 = e) a2x4 (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = b) x4 7x2 144 = d) 9x4 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = (a 0) a) (2x2 5x + 1)2 (x2 5x + 6)2 = b) (4x 7)(x2 5x + 4)(2x2 7x + 3) = c) (x3 4x2 + 5)2 = (x3 6x2 + 12x 5)2 d) (x2 + x 2)2 + (x 1)4 = e) (2x2 x 1)2 + (x2 3x + 2)2 = a) x4 4x3 9(x2 4x) = c) x4 10x3 + 25x2 36 = b) x4 6x3 + 9x2 100 = d) x4 25x2 + 60x 36 = a) x3 x2 4x + = c) x3 x2 + 2x = e) x3 2x2 4x = b) 2x3 5x2 + 5x = d) x3 + 2x2 + 3x = a) (x2 x)2 8(x2 x) + 12 = b) (x4 + 4x2 + 4) 4(x2 + 2) 77 = d) 2x 2x + = c) x2 4x 10 - ( x + 2)( x 6) = 7. x+2 e) x + x + x ( x ) = x+2 a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 1 c) x + 16 x + + 26 = 1 d) x + x + = 8. x x x x a) x 4x = x + 14 b) 2x + x = x c) 2x + 6x + = x + d) x + 3x + = x e) 4x 4x + + x = x f) x + x = x + x + 9. Định a để phơng trình sau có nghiệm a) x4 4x2 + a = c) 2t4 2at2 + a2 = 0. b) 4y4 2y2 + 2a = Phần II: Hình học Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình. Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. D E lần lợt điểm cung AB AC. DE cắt AB I cắt AC L. a) Chứng minh DI = IL = LE. b) Chứng minh tứ giác BCED hình chữ nhật. c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình này. Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn có đờng chéo vuông góc với I. a) Chứng minh từ I ta hạ đờng vuông góc xuống cạnh tứ giác đờng vuông góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh đó. 16 b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác cho. Chứng minh MNRS hình chữ nhật. c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đờng vuông góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác. Bài 3: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH đờng cao. Hai đờng tròn đờng kính AB AC có tâm O1 O2. Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đờng tròn (O1) (O2) lần lợt M N. a) Chứng minh tam giác MHN tam giác vuông. b) Tứ giác MBCN hình gì? c) Gọi F, E, G lần lợt trung điểm O1O2, MN, BC. Chứng minh F cách điểm E, G, A, H. d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A E vạch đờng nh nào? Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng tròn phía hình vuông.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng tròn phía hình vuông. Gọi P điểm tuỳ ý cung AC ( không trùng với A C). H K lần lợt hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đờng tròn lần lợt I M. a) Chứng minh I trung điểm AP. b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui. c) Chứng minh PM = PK = AH d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang cân. đ) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB đều. Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm đờng tròn. Bài 1: Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt A, B. Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) lần lợt điểm E, F. Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF. a) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành OO'//BI. b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' thuộc đờng tròn. c) Kéo dài AB phía B đoạn CB = AB. Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp. Bài 2: Cho tam giác ABC. Hai đờng cao BE CF cắt H.Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC. a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc đờng tròn.Xác định tâm O đờng tròn đó. b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) điểm thứ I. Chứng minh điểm A, I, F, H, E nằm đờng tròn. Bài 3: Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B. Tia OA cắt đờng tròn (O') C, tia O'A cắt đờng tròn (O) D. Chứng minh rằng: a) Tứ giác OO'CD nội tiếp. b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ suy năm điểm O, O', B, C, D nằm đờng tròn. Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC BD cắt E. Vẽ EF vuông góc AD. Gọi M trung điểm DE. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đợc. b) Tia CA tia phân giác góc BCF. c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc. Bài 5: Từ điểm M bên đờng tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C. Vẽ CD AB, CE MA, CF MB. Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc. b) CD2 = CE. CF c)* IK // AB Bài 6: 17 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn. Vẽ hai đờng cao BD CE. a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đờng tròn. b) Chứng minh xy// DE, từ suy OA DE. Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy điểm M. Đờng thẳng qua A song song với BM cắt CM N. a) Chứng minh tam giác AMN tam giác đều. b) Chứng minh MA + MB = MC. c)* Gọi D giao điểm AB CM. Chứng minh rằng: 1 + = AM MB MD Bài 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A C. Một đờng tròn (O) thay đổi qua B C. Vẽ đờng kính MN vuông góc với BC D ( M nằm cung nhỏ BC).Tia AN cắt đờng tròn (O) Tại điểm thứ hai F. Hai dây BC MF cắt E. Chứng minh rằng: a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc. b) AD. AE = AF. AN c) Đờng thẳng MF qua điểm cố định. Bài 9: Từ điểm A bên đờng tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn. Gọi M trung điểm AB. Tia CM cắt đờng tròn điểm N. Tia AN cắt đờng tròn điểm D. a) Chứng minh MB2 = MC. MN b) Chứng minh AB// CD c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi. Tính diện tích cử hình thoi đó. Bài 10: Cho đờng tròn (O) dây AB. Gọi M điểm cung nhỏ AB. Vẽ đờng kính MN Cắt AB I. Gọi D điểm thuộc dây AB. Tia MD cắt đờng tròn (O) C. a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp đợc b) Chứng minh tích MC. MD có giá trị không đổi D di động dây AB. c) Gọi O' tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Chứng minh MAB = AO'D. d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đờng cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB. Vẽ CE vuông góc với AD ( E AD). a) Chứng minh AHEC tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC. c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE. d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA. CH cung nhỏ AH đờng tròn nói biết AC= 6cm, ACB = 300. Bài 12: Cho đờng tròn tâm O có đờng kính BC. Gọi A Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D điểm thuộc bán kính OC. Đờng vuông góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F. a) Chứng minh ADCF tứ giác nội tiếp. b) Gọi M trung điểm EF. Chứng minh AME = ACB. c) Chứng minh AM tiếp tuyến đờng tròn (O). d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đờng tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600. Bài 13: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R. Điểm M thuộc nửa đờng tròn. Vẽ đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H tiếp điểm). Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đờng tròn (M) ( C, D tiếp điểm). a) Chứng minh C, M, D thẳng hàng b) Chứng minh CD tiếp tuyến đờng tròn (O). 18 c) Tính tổng AC + BD theo R. d) Tính diện tích tứ giác ABDC biết AOM = 600. Bài 14: Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I cạnh BC. Xét điểm D tia AC. Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tơng ứng M, N, P. a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đờng tròn. b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng. c) Gọi giao điểm tia BO với MN, NP lần lợt H, K. Tam giác HNK tam giác gì, sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC. Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng thẳng đồng quy. Bài 1: Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt hai điểm A B. Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt C C'. Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt D D'. a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp c) Đờng thẳng CD đờng thẳng D'C' cắt M. Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp. Bài 2: Từ điểm C đờng tròn ( O) kể cát tuyến CBA. Gọi IJ đờng kính vuông góc với AB. Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M, N. a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D. b) Chứng minh tiếp tuyến đờng tròn (O) M, N qua trung điểm E CD. Bài 3: Cho hai đờng tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R> R' ). Đờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A). EF dây cung đờng tròn (O) vuông góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đờng tròn (O') D. a) Tứ giác BEFC hình gi? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng. c) CF cắt đờng tròn (O) G. Chứng minh ba đờng EG, DF CI đồng quy. d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O). Bài 4: Cho đờng tròn (O) (O) tiếp xúc C. AC BC đờng kính (O) (O), DE tiếp tuyến chung (D (O), E (O)). AD cắt BE M. a) Tam giác MAB tam giác gì? b) Chứng minh MC tiếp tuyến chung (O) (O). c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB. Ex cắt By N. Chứng minh D, N, C thẳng hàng. d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng tròn đờng kính AB OO. Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn I, K. Chứng minh OI // AK. Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định. Bài 1: Cho đờng tròn (O ; R). Đờng thẳng d cắt (O) A, B. C thuộc d (O). Từ điểm P cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB D. CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K. a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp. b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD. c) Chứng minh IC phân giác tam giác AIB. d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng qua A, B. Chứng minh IQ qua điểm cố định. Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R). M di động AB. N di động tia đối tia CA cho BM = CN. a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D. Chứng minh D cố định. b) Tính góc MDN. 19 c) MN cắt BC K. Chứng minh DK vuông góc với MN. d) Đặt AM = x. Tính x để diện tích tam giác AMN lớn nhất. Bài 3: Cho (O ; R). Điểm M cố định (O). Cát tuyến qua M cắt (O) A B. Tiếp tuyến (O) A B cắt C. a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K. b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M. c) CH cắt AB N, I trung điểm AB. Chứng minh MA.MB = MI.MN. d) Chứng minh: IM.IN = IA2. Bài 4: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB tâm O. C điểm cung AB. M di động cung nhỏ AC. Lấy N thuộc BM cho AM = BN. a) So sánh tam giác AMC BCN. b) Tam giác CMN tam giác gì? c) Kẻ dây AE//MC. Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành. d) Đờng thẳng d qua N vuông góc với BM. Chứng minh d qua điểm cố định. Bài 5: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) hai điểm C D. Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB. I trung điểm CD. a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đờng tròn. b) Gọi H trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d. Chứng minh AB qua điểm cố định. d) Đờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lợt E K. Chứng minh EC = EK. Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học. Bài 1: Cho đờng tròn (O) dây AB. M điểm cung AB. C thuộc AB, dây MD qua C. a) Chứng minh MA2 = MC.MD. b) Chứng minh MB.BD = BC.MD. c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B. d) Gọi R1, R2 bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD. Chứng minh R1 + R2 không đổi C di động AB. Bài 2: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến M nửa đờng tròn cắt tiếp tuyến A, B lần lợt C E. a) Chứng minh CE = AC + BE. b) Chứng minh AC.BE = R2. c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE. d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB CE cắt F. Gọi H hình chiếu vuông góc M AB. + Chứng minh rằng: HA FA . = HB FB + Chứng minh tích OH.OF không đổi M di động nửa đờng tròn. Bài 3: Trên cung BC đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P bất kì. Các đờng thẳng AP BC cắt Q. Chứng minh rằng: 1 = + . PQ PB PC Bài 4: Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox đặt đoạn OA = a. Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B, C. Chứng minh hệ thức: a) 1 + = 2. 2 AB AC a b) AB2 + AC2 = 4R2. 20 Chủ đề 6: Các toán tính số đo góc số đo diện tích. Bài 1: Cho hai đờng tròn (O; 3cm) (O;1 cm) tiếp xúc A. Vẽ tiếp tuyến chung BC (B (O); C (O)). a) Chứng minh góc OOB 600. b) Tính độ dài BC. c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC cung AB, AC hai đờng tròn. Bài 2: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm. Vẽ phía AB nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K. Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E. Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K). a) Chứng ming EC = MN. b) Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I), (K). c) Tính độ dài MN. d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn. Bài 3: Từ điểm A bên đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn. Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P Q. a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động cung BC nhỏ chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi. b) Cho biết BAC = 600 bán kính đờng tròn (O) cm. Tính độ dài tiếp tuyến AB diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC cung nhỏ BC. Bài 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp , K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK. a) Chứng minh rằng: điểm B, I, C, K thuộc đờng tròn. b) Chứng minh rằng: AC tiếp tuyến đờng tròn (O). c) Tính bán kính đờng tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm. Bài 5: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R. E điểm đờng tròn mà AE > EB. M điểm đoạn AE cho AM.AE = AO.AB. a) Chứng minh AOM vuông O. b) OM cắt đờng tròn C D. Điểm C điểm E phía AB. Chứng minh ACM đồng dạng với AEC. c) Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM. d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm AEC Chủ đề 7: Toán quỹ tích. . Tính AC, AE, AM, CM theo R. Bài 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) M điểm di động đờng tròn đó. Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM. a) Chứng minh BPM cân. b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đờng tròn (O). Bài 2: Đờng tròn (O ; R) cắt đờng thẳng d hai điểm A, B. Từ điểm M d đờng tròn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ. a) Chứng minh góc QMO góc QPO đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động d. b) Xác định vị trí M để MQOP hình vuông? c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ M di động d. Bài 3: Hai đờng tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B. Đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (O) (I) lần lợt P, Q. Gọi C giao điểm hai đờng thẳng PO QI. 21 a) Chứng minh tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp. b) Gọi E, F lần lợt trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF. Khi đờng thẳng d quay quanh A K chuyển động đờng nào? c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn nhất. Chủ đề 8: Một số toán mở đầu hình học không gian. Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD. Biết AB = cm; AC = cm AC = 13 cm. Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật đó. Bài 2: Cho hình lập phơng ABCDABCD có diện tích mặt chéo ACCA 25 cm2. Tính thể tích diện tích toàn phần hình lập phơng đó. Bài 3: Cho hình hộp nhật ABCDABCD. Biết AB = 15 cm, AC = 20 cm góc AAC 600. Tính thể tích diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật đó. Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCABC. Tính diện tích xung quanh thể tích biết cạnh đáy dài cm góc AAB 300. Bài 5: Cho tam giác ABC cạnh a. Đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC. Trên đờng thẳng d lấy điểm S. Nối SA, SB, SC. a) Chứng minh SA = SB = SC. b) Tính diện tích toàn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a. Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đờng cao a . a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác đều. b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp. Bài 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a. a) Tính diện tích toán phần hình chóp. b) Tính thể tích hình chóp. Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm thể tích 1280 cm3. a) Tính độ dài cạnh đáy. b) Tính diện tích xung quanh hình chóp. Bài 9: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75 cm 2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ chiều cao cm. Tính thể tích hình chóp cụt đó. Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). a) Tính thể tích hình chóp. b) Chứng minh bốn mặt bên tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh hình chóp. Bài 11: Một hình trụ có đờng cao đờng kính đáy. Biết thể tích hình trụ 128 cm3, tính diện tích xung quanh nó. Bài 12: Một hình nón có bán kính đáy cm diện tích xung quanh 65 cm2. Tính thể tích hình nón đó. Bài 13: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đờng cao 12 cm đờng sinh 13 cm. a) Tính bán kính đáy nhỏ. b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt đó. Bài 14: 22 Một hình cầu có diện tích bề mặt 36 cm2. Tính thể tích hình cầu đó. 23 [...]... + 3 2x + x + 3 Bài 3: a) 6x5 29x4 + 27x3 + 27x2 29x +6 = 0 b) 10x4 77x3 + 105x2 77x + 10 = 0 c) (x 4,5)4 + (x 5,5)4 = 1 d) (x2 x +1)4 10x2(x2 x + 1)2 + 9x4 = 0 Bài tập về nhà: 15 Giải các phơng trình sau: 1 2 3 4 5 6 a) 1 3 1 + 2 = 2( x 1) x 1 4 b) 2x + 2 x2 c) x = 4 x4 4x x +3 + =6 x +1 x x 2 + 2x 3 2x 2 2 d) + 2 =8 x2 9 x 3x + 2 a) x4 34x2 + 225 = 0 c) 9x4 + 8x2 1 = 0 e) a2x4 (m2a2... Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngợc từ B trở về A Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút Tính khoảng cách giữa hai bến A và B Biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngợc bằng nhau Bài 4: Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngợc về 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều hơn thời gian ngợc... AIB d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng vẫn luôn qua A, B Chứng minh rằng IQ luôn đi qua điểm cố định Bài 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O ; R) M di động trên AB N di động trên tia đối của tia CA sao cho BM = CN a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) tại A và D Chứng minh rằng D cố định b) Tính góc MDN 19 c) MN cắt BC tại K Chứng minh DK vuông góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích... chóp là các tam giác đều b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp Bài 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a a) Tính diện tích toán phần của hình chóp b) Tính thể tích của hình chóp Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiếu cao 15 cm và thể tích là 1280 cm3 a) Tính độ dài cạnh đáy b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp Bài 9: Một hình chóp cụt... x x a) x 2 4x = x + 14 b) 2x 2 + x 9 = x 1 c) 2x 2 + 6x + 1 = x + 2 d) x 3 + 3x + 4 = x 2 e) 4x 2 4x + 1 + x 2 = x 2 3 f) x 3 + x 2 1 = x 3 + x + 1 9 Định a để các phơng trình sau có 4 nghiệm a) x4 4x2 + a = 0 c) 2t4 2at2 + a2 4 = 0 b) 4y4 2y2 + 1 2a = 0 Phần II: Hình học Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình Bài 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn tâm O D và E... đờng tròn có các đờng chéo vuông góc với nhau tại I a) Chứng minh rằng nếu từ I ta hạ đờng vuông góc xuống một cạnh của tứ giác thì đờng vuông góc này qua trung điểm của cạnh đối diện của cạnh đó 16 b) Gọi M, N, R, S là trung điểm của các cạnh của tứ giác đã cho Chứng minh MNRS là hình chữ nhật c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật này đi qua chân các đờng vuông góc hạ từ I xuống các cạnh... đều 4 điểm E, G, A, H d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E vạch một đờng nh thế nào? Bài 4: Cho hình vuông ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng tròn phía trong hình vuông.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng tròn phía trong hình vuông Gọi P là điểm tuỳ ý trên cung AC ( không trùng với A và C) H và K lần lợt là hình chiếu của P trên AB và AD, PA và PB cắt nửa đờng tròn lần lợt ở I và... 5 m thì diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu Bài 3: Cho một tam giác vuông Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm 2 Tính hai cạnh góc vuông Dạng 5: Toán về tìm số Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng... vuông góc với BM Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định Bài 5: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D Điểm M tuỳ ý trên d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I là trung điểm của CD a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đờng tròn b) Gọi H là trực tâm của tam giác MAB, tứ giác OAHB là hình gì? c) Khi M di đồng trên d Chứng minh rằng AB luôn qua điểm cố định d) Đờng thẳng qua C vuông... thẳng AB và CE cắt nhau tại F Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB + Chứng minh rằng: HA FA = HB FB + Chứng minh tích OH.OF không đổi khi M di động trên nửa đờng tròn Bài 3: Trên cung BC của đờng tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P bất kì Các đờng thẳng AP và BC cắt nhau tại Q Chứng minh rằng: 1 1 1 = + PQ PB PC Bài 4: Cho góc vuông xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đờng tròn . 3: a) 6x 5 29x 4 + 27x 3 + 27x 2 29x +6 = 0 b) 10x 4 77x 3 + 105x 2 77x + 10 = 0 c) (x 4,5) 4 + (x 5,5) 4 = 1 d) (x 2 x +1) 4 10x 2 (x 2 x + 1) 2 + 9x 4 = 0 Bài tập về nhà: 15 . hình vuông ABCD. Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng tròn phía trong hình vuông.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng tròn phía trong hình vuông. Gọi P là điểm tuỳ ý trên cung AC ( không trùng. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm x 1 ; x 2 với mọi m. b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mãn 1 22 2 11 x 1 xy và x 1 xy +=+= . Bài 5: Không giải phơng trình 3x 2 +