Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Phân tích đa phân giải “cổ điển” được Mallat và Meyer đưa ra vào năm 1986. Ý tưởng này đóng góp vào việc xây dựng các cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn mới của L2 (R), tức là các cơ sở trực chuẩn có dạng ψj,k (x) = 2 2 j ψ 2jx − k , j, k ∈ Z. Về mặt toán học, ý tưởng chính của phân tích đa phân giải là biểu diễn một hàm (một tín hiệu) f như là một giới hạn của quá trình xấp xỉ liên tiếp, ở mỗi bước ta được một mô hình gần hơn với f. Các quá trình xấp xỉ liên tiếp này tương ứng với các độ phân giải khác nhau. Khung trong không gian Hilbert được Duffin và Schaeffer 7 đưa ra vào năm 1952 nhưng phải đến năm 1986, sau bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer 6 thì khung mới nhận được sự quan tâm rộng rãi. Khung thường được sử dụng trong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nén dữ liệu và trong lý thuyết mật mã. Trong nghiên cứu không gian véctơ một trong những khái niệm quan trọng nhất là cơ sở, cho phép mỗi phần tử trong không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở. Tuy nhiên, điều kiện là cơ sở rất hạn chế không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các thành phần và đôi khi chúng ta còn yêu cầu các thành phần trực giao tương ứng với một tích vô hướng. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là lý do mà người ta mong muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn. Khung là một công cụ như vậy. Một khung cho một không gian véctơ được trang 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI DƯƠNG THỊ HƯƠNG PHÂN TÍCH ĐA PHÂN GIẢI KHUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI DƯƠNG THỊ HƯƠNG PHÂN TÍCH ĐA PHÂN GIẢI KHUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. Nguyễn Quỳnh Nga HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS. Nguyễn Quỳnh Nga. Tôi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc cô, người giao đề tài tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn này. Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, trang bị kiến thức phương pháp nghiên cứu để hoàn thành khóa học. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ, toàn thể cán giảng viên khoa Khoa học trường Đại học Sao Đỏ tạo điều kiện giúp hoàn thành chương trình cao học. Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp Toán giải tích K16 (đợt 2)-trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Dương Thị Hương Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Phân tích đa phân giải khung" hoàn thành hướng dẫn TS. Nguyễn Quỳnh Nga thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng nhất. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Dương Thị Hương Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Phép biến đổi Fourier không gian L1 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Phép biến đổi Fourier không gian L2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Khung không gian Hilbert tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Sóng nhỏ trực chuẩn phân tích đa phân giải cổ điển . . . . 25 1.4.1. Sóng nhỏ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.2. Phân tích đa phân giải cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.3. Xây dựng sóng nhỏ từ phân tích đa phân giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chương 2. Phân tích đa phân giải khung . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1. Phân tích đa phân giải khung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2. Các điều kiện đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3. Làm nhẹ điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4. Xây dựng khung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Phân tích đa phân giải “cổ điển” Mallat Meyer đưa vào năm 1986. Ý tưởng đóng góp vào việc xây dựng sở sóng nhỏ trực chuẩn L2 (R), tức sở trực chuẩn có dạng j ψj,k (x) = 2 ψ 2j x − k , j, k ∈ Z. Về mặt toán học, ý tưởng phân tích đa phân giải biểu diễn hàm (một tín hiệu) f giới hạn trình xấp xỉ liên tiếp, bước ta mô hình gần với f . Các trình xấp xỉ liên tiếp tương ứng với độ phân giải khác nhau. Khung không gian Hilbert Duffin Schaeffer [7] đưa vào năm 1952 phải đến năm 1986, sau báo Daubechies, Grossmann Meyer [6] khung nhận quan tâm rộng rãi. Khung thường sử dụng xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nén liệu lý thuyết mật mã. Trong nghiên cứu không gian véctơ khái niệm quan trọng sở, cho phép phần tử không gian viết tổ hợp tuyến tính thành phần sở. Tuy nhiên, điều kiện sở hạn chế - không cho phép phụ thuộc tuyến tính thành phần yêu cầu thành phần trực giao tương ứng với tích vô hướng. Điều làm cho khó tìm chí tìm thấy sở đáp ứng điều kiện bổ sung lý mà người ta mong muốn tìm công cụ linh hoạt hơn. Khung công cụ vậy. Một khung cho không gian véctơ trang bị tích vô hướng cho phép phần tử không gian viết tổ hợp tuyến tính phần tử khung tính độc lập tuyến tính phần tử khung không cần thiết. Phân tích đa phân giải khung đưa Benedetto Li [2] năm 1994. Mục đích lý thuyết xây dựng khung sóng nhỏ j L2 (R), tức khung có dạng ψj,k (x) = 2 ψ 2j x − k , j, k ∈ Z, ψ ∈ L2 (R). Ý tưởng dùng độ phân giải khác giúp cho việc xây dựng trở nên hiệu mặt tính toán. Với mong muốn hiểu biết sâu sắc lý thuyết phân tích đa phân giải khung, đồng ý hướng dẫn TS. Nguyễn Quỳnh Nga, chọn nghiên cứu đề tài: “Phân tích đa phân giải khung” để thực luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. Luận văn chia làm hai chương với phần mở đầu, kết luận chung danh mục tài liệu tham khảo. Trong chương nhắc lại kết lý thuyết không gian Lp (Ω), phép biến đổi Fourier. Bên cạnh trình bày khái niệm khung không gian Hilbert tổng quát khái niệm phân tích đa phân giải cổ điển. Chương luận văn trình bày phân tích đa phân giải khung. Cụ thể, trình bày khái niệm phân tích đa phân giải khung, sau tìm hiểu điều kiện để hàm φ sinh phân tích đa phân giải khung. Phần cuối chương trình bày ứng dụng phân tích đa phân giải khung vào việc xây dựng khung. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày phân tích đa phân giải khung việc xây dựng khung. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu phân tích đa phân giải khung; - Nghiên cứu điều kiện đủ, việc làm nhẹ điều kiện việc xây dựng khung. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, số khái niệm kết lý thuyết khung, phân tích đa phân giải khung; - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến phân tích đa phân giải khung. 5. Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu tài liệu: Các báo đăng sách in có liên quan đến phân tích đa phân giải khung; - Sử dụng kiến thức giải tích Fourier giải tích hàm vào nghiên cứu phân tích đa phân giải khung. 6. Đóng góp luận văn Trình bày cách tổng quan lý thuyết phân tích đa phân giải khung. Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số không gian hàm Trong mục nhắc lại số không gian hàm sử dụng phần sau, tham khảo tài liệu [1], [4]. Để thuận tiện cho việc trình bày luận văn sử dụng kí hiệu viết tắt: h.k.n = hầu khắp nơi. Định nghĩa 1.1.1. (Không gian Lp (Ω) , ≤ p ≤ ∞) Cho p ∈ R, ≤ p < ∞ Ω tập mở R. Ta định nghĩa |f (x)|p dx < ∞}. Lp (Ω) := {f : Ω → C| f đo Ω Ta định nghĩa không gian L∞ (Ω) sau: L∞ (Ω) := f : Ω → C| f đo ∃C, |f (x)| ≤ C h.k.n Ω . Kí hiệu f p |f (x)|p dx := p Ω f ∞ := inf C| |f (x)| ≤ C h.k.n Ω . Khi Lp (Ω) (1 ≤ p ≤ ∞) không gian Banach với chuẩn . p . Đặc biệt, không gian L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng f, g = f (x) g (x)dx. Ω 1 Chúng ta đồng khoảng (− , ) với hình xuyến T kí hiệu 2 L (T) lớp hàm tuần hoàn chu kỳ R mà hạn chế 1 (− , ) thuộc vào L2 (− 12 , 21 ). 2 Tương tự, L∞ (T) bao gồm tất hàm bị chặn tuần hoàn chu kỳ R. Ta ý L2 (T) L∞ (T) thực bao gồm lớp tương đương hàm mà hầu khắp nơi, ta nói mối quan hệ điểm hàm, ta phải hiểu chúng thực xảy hầu khắp nơi. Bất kỳ hàm L2 (T) biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier ck e2πikx f (x) = (1.1) k∈Z ck = f (x) e−2πikx dx. − 12 1 Sự hội tụ (1.1) hội tụ L2 (− , ), tức 2 lim M,N →∞ − 12 N cn e2πinx dx = 0. f (x) − n=−M Sau vài kết không gian hàm này. Định lí 1.1.2. (Bất đẳng thức Holder) 1 Cho f ∈ Lp (Ω) g ∈ Lp (Ω) với + = 1; ≤ p, p ≤ ∞. p p Khi đó, f.g ∈ L (Ω) Ω |f.g| ≤ f p . g p . (1.2) Đặc biệt, p = p = ta có bất đẳng thức Schwarz - Buniakowski Ω |f.g| ≤ f . g . (1.3) 63 Vì giả sử Γ có độ đo dương, Γ ∩ 0, 12 có độ đo dương. Cho γ ∈ Γ ∩ 0, 21 . Khi đó: F1 (γ) = F1 γ + = 1. Bởi vậy, (2.33) Ci hàm 1-tuần hoàn nên có phương trình: C1 (2γ) F (γ) = 1; C1 (2γ) F = F (γ) = F , γ+ = 1. Ta có được: γ+ γ ∈ Γ ∩ 0, . (2.34) Bây kết khác thu việc xem xét hàm F2 . Nếu γ ∈ Γ ∩ 0, 21 F2 (γ) = 1, F2 γ − = −1. Vậy thông qua (2.33) ta có C2 (2γ) F (γ) = 1; C2 (2γ) F γ− = −1. Cộng phương trình lại, ta được: F (γ) = −F γ+ , γ ∈ Γ ∩ 0, . (2.35) Các phương trình (2.34) (2.35) mâu thuẫn. Do đó, |Γ| > không tồn hàm ψ ∈ W0 cho {Tk ψ}k∈Z khung W0 . Vậy (i) chứng minh. Để chứng minh (ii) giả sử Γ tập có độ đo 64 không. Chúng ta muốn sử dụng Mệnh đề 2.4.3 tìm hàm 1-tuần hoàn bị chặn F, G0 G1 cho phương trình (2.12), (2.13) (2.14) thỏa mãn. Để công thức đơn giản, định nghĩa hàm T, tức thác triển có chu kỳ. Để thuận lợi phát biểu lại ba phương trình quan trọng đây: H0 F Φ + T 12 H0 F Φ = 0; H0 G0 Φ + F G1 Φ = Φ; T 12 (H0 Φ) G0 + T 12 (F Φ) G1 = 0. Chúng ta chia tập T thành tập riêng biệt làm phần chứng minh Mệnh đề 2.4.3. T1 := γ ∈ T : Φ (γ) = 0, T 12 Φ (γ) = ; T2 := γ ∈ T : Φ (γ) > 0, T 12 Φ (γ) > ; T3 := γ ∈ T : Φ (γ) > 0, T 12 Φ (γ) = ; T4 := γ ∈ T : Φ (γ) = 0, T 12 Φ (γ) > . Trong toàn chứng minh lờ tập có độ đo không. Chúng ta ký hiệu A, B cận khung {Tk φ}k∈Z . Điều xem xét γ ∈ T1 , phương trình (2.12), (2.13) (2.14) với lựa chọn F, G0 G1 . Bởi định nghĩa chúng hàm bị chặn T. Trường hợp đặc biệt đặt F (γ) = G0 (γ) = G1 (γ) = 0, γ ∈ T1 . (2.36) Bây giờ, cho γ ∈ T2 . Vì Γ tập có độ đo không nên có Φ (2γ) = 0, mà theo Định lí 1.3.17 Φ (2γ) ≥ A. Do đó, thông 65 qua (2.4) có: A ≤ Φ (2γ) = |H0 (γ)| Φ (γ) + H0 ≤ |H0 (γ)| + H0 γ+ Φ γ+ γ+ B, γ+ |H0 (γ)| + H0 ≤ A = γ+ A ≤ |H0 (γ)|2 + H0 γ + B |H0 (γ)| Φ (γ) + H0 Φ γ+ Φ (2γ) B ≤ . A A Tổng hợp lại, ta suy ≤ B . A (2.37) Để giảm bớt số hàm chưa biết phương trình định nghĩa hàm F T2 F (γ) := T 12 H0 Φ (γ) E−1 (γ) , γ ∈ T2 . (2.38) Do F tích hàm bị chặn nên hàm F bị chặn. Với việc chọn hàm F phương trình (2.12) thỏa mãn. Thật vậy, nhận xét rằng: T 21 E−1 (γ) = e−2πi(γ− ) = −E−1 (γ) . Chúng ta có H0 F Φ + T 12 H0 F Φ = H0 T 12 H0 Φ E−1 Φ + T 21 H0 T 21 H0 Φ E−1 Φ = H0 T 12 H0 Φ E−1 Φ − T 21 H0 H0 ΦE−1 T 21 Φ = 0. 66 Hai phương trình (2.13) (2.14) hai phương trình tuyến tính theo G0 G1 . Định thức hệ phương trình là: ∆ = H0 ΦT 12 (F Φ) − T 12 (H0 Φ) F Φ = H0 ΦT 21 T 12 H0 Φ E−1 Φ − T 21 (H0 Φ) T 12 H0 Φ E−1 Φ = −H0 ΦH0 ΦE−1 T 21 Φ − T 12 (H0 Φ) T 21 H0 Φ E−1 Φ = −ΦT 21 Φ |H0 |2 Φ + T 12 |H0 |2 Φ E−1 . Theo (2.37) Φ ≥ A, T 12 Φ ≥ A T2 , |∆| ≥ A |H0 | + T 21 |H0 | A4 ≥ > 0. B Do đó, hệ phương trình (2.13) (2.14) có nghiệm nhất. Theo quy tắc Crammer, ta có Φ G0 = F (Φ) T 12 (F Φ) ∆ = ΦT 12 (F Φ) ∆ . Bởi vậy: |G0 (γ)| ≤ B2 F A4 B ∞ = B3 F A4 ∞, γ ∈ T2 . Do đó, G0 bị chặn. Làm tương tự ta có G1 bị chặn. Bây giờ, cho γ ∈ T3 . Khi (2.14) thỏa mãn. Để giải (2.12) (2.13) chứng minh H0 (γ) = A ≤ |H0 (γ)| ≤ B B . A (2.39) 67 Với γ ∈ T3 có Φ γ + = 0. Vì vậy, từ (2.4) ta suy Φ (2γ) = |H0 (γ)|2 Φ (γ) . (2.40) Bởi vậy, Φ (γ) = với γ ∈ T3 . Theo Định lí 1.3.17 Φ (γ) ≥ A T3 . Vậy thông qua (2.40) |H0 (γ)|2 = Φ (2γ) B ≤ . Φ (γ) A chứng minh vế phải bất đẳng thức (2.39). Bởi vậy: (2.40) γ ∈ T3 H0 (γ) = Φ (2γ) = 0. Do đó: A ≤ Φ (2γ) = |H0 (γ)|2 Φ (γ) ≤ B|H0 (γ)|2 . Bây quay lại phương trình (2.12), (2.13). Với γ ∈ T3 ta suy H0 F = 0, H0 G0 + F G1 = 1. Trong trường hợp H0 (γ) = phương trình thỏa mãn, phương trình thứ hai trở thành F (γ) G1 (γ) = 1. Ta có điều cách định nghĩa F (γ) = G1 (γ) = 1. Trong trường hợp H0 (γ) = 0, phương trình phải định nghĩa F (γ) = 0. Do phương trình thứ hai trở thành H0 (γ) G0 (γ) = mà thu với hàm bị chặn G0 (2.39). Điều kết thúc chứng minh với γ ∈ T3 . Chúng ta ý lựa chọn cho hàm F 1 γ ∈ T3 H0 (γ) = F (γ) = 0 γ ∈ T H (γ) = (2.41) 68 Chứng minh γ ∈ T4 tương tự. Trong trường hợp (2.13) thỏa mãn. (2.12) (2.14) trở thành T 12 H0 F = 0, T 12 H0 G0 + T 12 F G1 = 0. Vì γ ∈ T4 , biết γ − (2.42) ∈ T3 (hoặc mở rộng tuần hoàn nó). Nếu H0 γ − = phương trình (2.42) buộc định nghĩa F γ − = tương thích với (2.41). Phương trình thứ hai (2.42) trở thành T 12 H0 (γ) G0 (γ) = 0, mà thỏa mãn cho G0 (γ) = 0. Nếu H0 γ − = 0, phương trình (2.42) thỏa mãn. Phương trình thứ hai đưa T 12 F (γ) G1 (γ) = 0. Điều thu việc cho G1 (γ) = 0. Điều hoàn thành phân tích trường hợp γ ∈ T4 . Chú ý đặc biệt ta không đòi hỏi điều kiện F (γ) cho γ ∈ T4 , ngoại trừ muốn F hàm bị chặn. Đặc biệt, định nghĩa: F (γ) = 0, γ ∈ T4 . (2.43) Trong [3], Benedetto Treiber đưa phân tích đa phân giải khung mà từ xây dựng khung sóng nhỏ L2 (R). Trong Γ có độ đo dương. Trong trường hợp |Γ| = 0, (2.36), (2.38), (2.41) (2.43) cách xác định F cho {Tk ψ}k∈Z khung W0 ψ định nghĩa ψˆ (2γ) = F (γ) φˆ (γ). 69 Thật vậy, lấy T H0 Φ (γ) E−1 (γ) γ ∈ T2 F (γ) = γ ∈ T3 H0 (γ) = 0 trường hợp lại. (2.44) Chứng minh Định lí 2.4.5 cách chọn khác hàm F . Đặc biệt, bắt ta định nghĩa F T2 (2.44). Sự lựa chọn làm đơn giản cách tính toán. Trên tập γ ∈ T3 mà H0 (γ) = 0, điều kiện F (γ) G1 (γ) = với hàm bị chặn G1 . Bởi chọn F hàm mà bị chặn bị chặn tập này. Ngược lại, tự định nghĩa T1 ∪ T4 không hữu hiệu. Với γ ∈ T1 ∪ T4 (hoặc mở rộng 1-tuần hoàn nó) có Φ (γ) = φˆ (γ) = 0. Nghĩa lựa chọn khác F không làm thay đổi hàm ψ. Ví dụ sau cho giải phương trình Mệnh đề 2.4.3 tính toán trực tiếp. Ví dụ 8. Chúng ta tiếp tục xét Ví dụ xét hàm φ cho công thức φˆ (γ) = χ[− , ) . Khi φ sinh phân tích đa phân giải 4 khung. Với |γ| < . H0 (γ) = χ[− , ) Φ (γ) = χ[− , ) . 8 4 Rõ ràng Γ tập rỗng, biết xây dựng khung sóng nhỏ thông qua phân tích đa phân giải khung sinh φ. Chúng ta sử dụng trực tiếp phương trình (2.12), (2.13) (2.14) 70 để tìm hàm F ∈ L∞ (T) cho hàm ψ định nghĩa bởi: γ ˆ γ ψˆ (γ) := F φ 2 (2.45) sinh khung W0 . Trong việc tìm hàm F xét γ ∈ − 21 , 21 . Để đơn giản tính toán tìm hàm F mà 1 F = χI với tập I mà I ∩ − , 8 = ∅. Do vậy, (2.12) thỏa mãn. (2.13) thỏa mãn bên giá Φ, tức với γ ∈ / − 14 , 14 . Với γ ∈ − 41 , 14 , χ[− , ) G0 + F G1 = 1. (2.46) 8 Để thỏa mãn (2.46) ta chọn 1 G0 = − , 8 (2.47) 1 F = G1 = − , − 1 . , ∪ (2.48) Bây viết lại (2.14) sau: H0 (γ) Φ (γ) G0 γ + + F (γ) Φ (γ) G1 γ + = 0. Sử dụng thông tin hàm F có χ[− , ) (γ) G0 γ + 8 + F (γ) χ[− ,− )∪[ , ) G1 γ + 8 = 0. (2.49) Để thỏa mãn điều này, cần hai số hạng triệt tiêu. Số hạng đàu tiên triệt tiêu G0 γ + = − 81 , 18 , tức 1 G0 (γ) = 0, γ ∈ − , − + 2 ∪ 1 − , . 71 Sự lựa chọn không mâu thuẫn với (2.47). Để số hạng thứ hai (2.49) triệt tiêu, ta cần F (γ) G1 γ + tiêu − 14 , − 81 ∪ 1 8, triệt . Điều có cách định nghĩa: 1 G1 = − + , − 1 , − . ∪ Lựa chọn thích hợp. Ta không cần đặt điều kiện cho hàm F 1 − ,− ∪ 1 , . (2.50) Tuy nhiên, lựa chọn khác hàm F tập dẫn đến hàm ψ (2.45) vì: φˆ = χ[− , ] ψˆ (2γ) = F (γ) φˆ (γ). 4 Chú ý kết tương thích với chứng minh Định lí 2.4.5, việc xét ví dụ T1 = ∅ tập (2.50) với T4 . Việc chọn hàm F (2.44) {Tk ψ}k∈Z chặt trường hợp {Tk φ}k∈Z thân khung chặt với cận khung 1. Hệ 2.4.6. Giả sử φ ∈ L2 (R) sinh phân tích đa phân giải khung {Tk φ}k∈Z khung chặt với cận khung 1. Nếu |Γ| = tồn hàm ψ ∈ W0 cho {Tk ψ}k∈Z khung chặt W0 Dj Tk ψ j,k∈Z khung chặt L2 (R). Chứng minh. Đầu tiên chứng minh {Tk ψ}k∈Z khung chặt ψ định nghĩa thông qua việc chọn hàm F (2.44). Theo Định lí 1.3.17 ta cần chứng minh hàm Ψ số bên tập không điểm nó. Nhắc lại: Ψ (2γ) = |F (γ)| Φ (γ) + F γ+ Φ γ+ . 72 Như trước đây, chia tập T thành tập Ti , i = .4. Đầu tiên tính toán Ψ (2γ) với γ ∈ T2 . Với γ ∈ T2 có Φ (γ) > Φ γ + > 0. Vì |Γ| = nên giả sử Φ (2γ) > 0. Vậy: Φ (2γ) = Φ (γ) = T− 12 Φ (γ) = 1. Do đó, phương trình (2.4) |H0 (γ)| + H0 γ+ = 1. Theo (2.44), ta có: Ψ (2γ) = |F (γ)| + F γ+ = T 12 |H0 (γ)|2 + |H0 (γ)|2 = 1. Bây giờ, xét γ ∈ T3 . Trong trường hợp 1 H0 (γ) = Ψ (2γ) = |F (γ)| Φ (γ) = 0 H (γ) = 0 (2.51) ∈ T3 (hoặc mở rộng tuần hoàn nó). Do đó, (2.51) Ψ (2γ) nhận Nếu γ ∈ T4 Ψ (2γ) = F γ + Φ γ+ γ + giá trị 1. Cuối cùng, với γ ∈ T1 có Ψ (2γ) = 0. Chúng ta chứng minh Ψ nhận giá trị 1, {Tk ψ}k∈Z dãy khung chặt. Theo Mệnh đề 2.4.3 lựa chọn hàm F đảm bảo khung W0 . Như trường hợp đặc biệt thu kết cổ điển nói đến (2.35) cho xây dựng sở trực chuẩn dựa phân tích đa phân giải. 73 Hệ 2.4.7. Giả sử φ ∈ L2 (R) sinh phân tích đa phân giải với biểu trưng hai bậc H0 . Cho F := T 21 H0 E−1 định nghĩa hàm ψ ∈ V1 ψ (2γ) := F (γ) φˆ (γ). Khi đó, ψ sinh sở trực chuẩn Dj Tk ψ j,k∈Z L2 (R). Chứng minh. Trong trường hợp phân tích đa phân giải có T2 = T chứng minh Hệ 2.4.6 Ψ = 1. Do đó, theo Định lí 1.3.17 hàm {Tk ψ}k∈Z thiết lập sở trực chuẩn W0 . Sử dụng tính tự việc chọn F chứng minh φ sinh phân tích đa phân giải khung |Γ| = xây dựng khung chặt {Tk ψ}k∈Z W0 mà không giả thiết thân {Tk φ}k∈Z chặt. Chúng ta sử dụng lại việc chia T = Ti từ i=1 chứng minh Định lí 2.4.5. Định lí 2.4.8. Giả sử φ ∈ L2 (R) sinh phân tích đa phân giải khung |Γ| = 0. Cho K ∈ L∞ (T) hàm - tuần hoàn mà bị chặn ∞ dưới, định nghĩa F ∈ L (T) T 21 H0 Φ (γ) E−1 (γ) K (γ) γ ∈ T2 γ ∈ T3 , H0 (γ) = F (γ) = Φ (γ) 0 trường hợp lại . (2.52) Khi đó, với ψ ∈ V1 , định nghĩa ψˆ (2γ) = F (γ) φˆ (γ), điều sau (i) {Tk ψ}k∈Z khung W0 Dj Tk ψ j,k∈Z khung L2 (R); 74 (ii) Giả sử K lựa chọn cho T2 có |K|2 ΦT 21 Φ T 12 |H0 |2 Φ + |H0 |2 Φ = 1. Khi đó, {Tk ψ}k∈Z khung chặt W0 Dj Tk ψ j,k∈Z (2.53) khung chặt L2 (R); Cả hai khung có cận khung 1. Chứng minh. So sánh với (2.44) thay đổi F T2 ∪ {γ ∈ T3 : H0 (γ) = 0} . Nghĩa là, để chứng minh (i) cần phương trình Mệnh đề 2.4.3 giải tập với lựa chọn F . Việc lựa chọn F T3 đưa (2.52) chấp nhận Φ bị chặn T3 . Để chứng minh (ii), ý với lựa chọn Ψ (2γ) = |F (γ)|2 Φ (γ) = γ ∈ T3 H0 (γ) = 0. (2.54) Bây kiểm tra phương trình (2.12), (2.13) (2.14) thỏa mãn với lựa chọn F T2 . Sử dụng K -tuần hoàn, thấy H0 F Φ + T 21 H0 F Φ = H0 T 21 H0 Φ E−1 KΦ + T 21 H0 T 12 H0 Φ E−1 KΦ = K H0 T 21 H0 Φ E−1 Φ − T 21 H0 H0 ΦE−1 T 12 Φ. = 0. Tương tự, lặp lại phần lại chứng minh Định lí 2.4.5. Thực tế |K| bị chặn định thức tập phương trình xác định G0 G1 khác không. 75 Do đó, (i) chứng minh. Để chứng minh (ii) chọn K cho (2.53) thỏa mãn. Kí hiệu cận khung {Tk φ}k∈Z A, B, từ (2.36) ta có: A4 B4 2 ≤ ΦT 21 Φ T 12 |H0 | Φ + |H0 | Φ ≤ T2 . B A Vì hàm ΦT 21 Φ T 12 |H0 |2 Φ + |H0 |2 Φ -tuần hoàn, ta chọn hàm -tuần hoàn K cho (2.53) thỏa mãn K bị chặn trên. Bước với việc chọn (2.53), hàm Ψ nhận giá trị 1. Trường hợp γ ∈ T1 tầm thường, trường hợp γ ∈ T3 , H (γ) = xét (2.54). Trên T2 , có: Ψ (2·) = |F (·)| Φ (·) + F ·+ Φ ·+ = |K|2 T 12 |H0 Φ|2 Φ + |H0 Φ|2 T 12 Φ = |K|2 ΦT 12 Φ T 12 |H0 |2 Φ + |H0 |2 Φ = 1. Trong trường hợp lại, hàm F không thay đổi. Bởi vậy, sử dụng chứng minh Hệ 2.4.6 chứng minh phần lại. Kết luận Luận văn trình bày tổng quan phân tích đa phân giải khung, điều kiện đủ để hàm sinh phân tích đa phân giải khung cách làm nhẹ điều kiện để thu tính chất cần thiết phân tích đa phân giải khung. Đồng thời luận văn trình bày ứng dụng phân tích đa phân giải khung vào việc xây dựng khung không gian L2 (R). Vì khả điều kiện có hạn, luận văn tránh thiếu sót. Kính mong thầy cô bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện tốt hơn. Xin chân thành cảm ơn! 76 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội. [2] J. Benedetto and S.Li (1994), Subband coding and noise reduction in frame multiresolution analysis, Proceeding of SPIE Conference on Mathematical Imaging, SanDiego. [3] J. Benedetto and O.Treiber (2001), Wavelet frames multiresolution analysis and extension principles, Wavelet transforms and timefrequenay signal analysis, Birkhauser, Boston, 1-36. [4] O. Christensen (2003), An introduction to frames and Riesz bases, Birkhauser, Boston. [5] I. Daubechies (1992), Ten lectures on wavelets, CBS-NSF Regional Conferences Series in Applied Mathematics, 61, SIAM, Philadelphia. [6] I. Daubechies, A. Grossmann and Y. Meyer (1986), Painless nonorthogonal expansions, J. Math. Phys.,Vol. 27, 1271-1283. [7] R.J. Duffin and A.C. Schaeffer (1952), A class of nonharmonic Fourier series, Trans. Amer. Math. Soc., Vol. 72, 341 – 366. [8] E. Hernandez and G. Weiss (1996), A first course on wavelets, CRC Press, Boca, Raton. [9] S. Mallat (1989), Multiresolution approximation and wavelets, Trans. Amer. Math. Soc., Vol. 315, 69 – 88. 77 78 [10] A. Ron and Z. Shen (1997), Affine systems in L2 Rd the analysis of the analysis operator, J. Funct. Anal., Vol 148, 408 - 447. [...]... độ phân giải cao hơn Xấp xỉ đa phân giải góp phần vào việc xây dựng các cơ sở sóng nhỏ trực 31 chuẩn mới Về mặt toán học, ý tưởng chính của xấp xỉ đa phân giải là biểu diễn một hàm (một tín hiệu) f như là một giới hạn của quá trình xấp xỉ liên tiếp, ở đó mỗi quá trình là một mô hình gần hơn với f Các quá trình xấp xỉ liên tiếp này tương ứng với các độ phân giải khác nhau Một phân tích đa phân giải. .. ý Như vậy, ψ(t) là một sóng nhỏ trực chuẩn 1.4.2 Phân tích đa phân giải cổ điển Xấp xỉ đa phân giải (Multiresolution analysis-MRA) được Mallat và Meyer đưa ra vào năm 1986 Khi Mallat lần đầu tiên tiếp xúc với cơ sở sóng nhỏ của Meyer, ông đang làm việc trong lĩnh vực xử lý ảnh Ở đó, ý tưởng nghiên cứu các hình ảnh một cách đồng thời ở nhiều độ phân giải khác nhau và so sánh các kết quả lại với nhau... Định nghĩa 1.3.2 (i) Một khung là chặt nếu ta có thể chọn A = B là các cận của khung; (ii) Nếu một khung không còn là khung khi một phần tử tùy ý bị loại bỏ thì nó gọi là khung thực sự Khi ta nói về cận của khung chặt, ta muốn nói giá trị chính xác A cùng lúc là cận trên và cận dưới của khung Chú ý rằng điều này hơi khác với thuật ngữ của khung tổng quát, ở đó ví dụ một cận khung trên chỉ là một số... khung với các cận A, B và U : k=1 H → H là toán tử Unita thì {U fk }∞ là một dãy khung với các cận k=1 khung A, B Mệnh đề 1.3.10 Giả sử {fk }∞ là một dãy khung trong không gian k=1 Hilbert H và P kí hiệu phép chiếu trực giao của H lên một không gian con đóng V Khi đó ta có các khẳng định sau: (i) Nếu {fk }∞ là một khung của H với các cận khung A, B thì k=1 {P fk }∞ là một khung của V với các cận khung. .. trong H là một k=1 khung của H nếu tồn tại các hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho ∞ A f 2 | f, fk |2 ≤ B f 2 , ∀f ∈ H ≤ (1.18) k=1 Các số A, B được gọi là các cận khung Chúng là không duy nhất Cận khung trên tối ưu là cận dưới đúng của tất cả các cận trên của khung, và cận khung dưới tối ưu là cận trên đúng của tất cả các cận dưới của khung Chú ý rằng các cận tối ưu thực sự là các cận của khung Nếu dãy {fk... Fourier của nó ˆ φ (γ) = χ[−α,α) (γ) Lấy b = 1 Khi đó, với γ ∈ − 1 , 1 , 2 2 Φ (γ) = χ[−α,α] (γ) Định lí 1.3.17 chỉ ra rằng {Tk φ}k∈Z là một dãy khung với cận khung là A = B = 1 nhưng {Tk φ}k∈Z không là dãy Riesz 25 1.4 Sóng nhỏ trực chuẩn và phân tích đa phân giải cổ điển 1.4.1 Sóng nhỏ trực chuẩn Ta sử dụng ký hiệu Kronecker: 1 nếu j = k δj,k := 0 nếu j = k Định nghĩa 1.4.1 Một hàm ψ ∈ L2 (R)... }∞ là một dãy trong H Ta nói rằng k=1 {fk }∞ là một dãy khung nếu nó là một khung của span {fk }∞ k=1 k=1 Ví dụ 2 Giả sử {ek }∞ là một cơ sở trực chuẩn của H k=1 Nếu I ⊆ N là một tập con thực sự thì {ek }k∈I không đầy đủ trong H và không thể là một khung của H Tuy nhiên, {ek }k∈I là một khung của span {ek }k∈I , tức là, nó là một dãy khung Do khung {fk }∞ là dãy Bessel, toán tử k=1 ∞ 2 T : l (N) →... (1.20) T ∗ được gọi là toán tử phân tích Bằng cách lấy hợp T và T ∗ ta thu được toán tử khung ∞ S : H → H, ∗ Sf = T T f = f, fk fk (1.21) k=1 Do {fk }∞ là dãy Bessel nên chuỗi xác định S hội tụ không điều kiện k=1 với mọi f ∈ H do Hệ quả 1.3.5 Mệnh đề sau đây cho chúng ta một số tính chất quan trọng của S Mệnh đề 1.3.7 Giả sử {fk }∞ là một khung với toán tử khung S và k=1 cận khung A, B Khi đó ta có các... là Lập luận tương tự cho cận A dưới tối ưu Khung S −1 fk ∞ k=1 được gọi là đối ngẫu chính tắc của {fk }∞ bởi vì k=1 nó đóng cùng vai trò trong lý thuyết khung như đối ngẫu của một cơ sở Thường thường ta sẽ bỏ qua từ "chính tắc" và chỉ nói đến khung đối ngẫu Định lí sau đây là một trong những kết quả quan trọng nhất về khung Nó chỉ ra rằng nếu {fk }∞ là một khung của H thì mọi phần tử trong k=1 H có... k=1 H có một biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử 17 khung Do đó ta có thể xem khung như là một "cơ sở suy rộng" Định lí 1.3.8 Giả sử {fk }∞ là một khung với toán tử khung S k=1 Khi đó ∞ f, S −1 fk fk , ∀f ∈ H f= k=1 Chuỗi hội tụ vô điều kiện ∀f ∈ H Chứng minh Giả sử f ∈ H Sử dụng các tính chất của toán tử khung trong Mệnh đề 1.3.7 ∞ ∞ −1 −1 S f, fk fk = f = SS f = k=1 ∞ f, S −1 . niệm phân tích đa phân giải khung, sau đó chúng tôi tìm hiểu điều kiện để hàm φ sinh ra phân tích đa phân giải khung. Phần cuối của chương này chúng tôi trình bày ứng dụng của phân tích đa phân giải. và sách đã in có liên quan đến phân tích đa phân giải khung; - Sử dụng các kiến thức của giải tích Fourier và giải tích hàm vào nghiên cứu phân tích đa phân giải khung. 6. Đóng góp mới của luận. quả cơ bản trong lý thuyết khung, phân tích đa phân giải khung; - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến phân tích đa phân giải khung. 5. Phương pháp nghiên