Định nghĩa 2.1.1. Một phân tích đa phân giải khung của L2(R) bao gồm một dãy của các không gian con đóng {Vj}j∈
Z của L2(R) và một hàm φ ∈ V0 sao cho (i) ...V−1 ⊂ V0 ⊂ V1...; (ii) UjVj = L2(R) và ∩ j Vj = {0}; (iii) Vj = DjV0; (iv) f ∈ V0 ⇒ Tkf ∈ V0,∀k ∈ Z; (v) {Tkφ}k∈ Z là một khung của V0. 37
Trong đó:
D : L2(R) → L2(R), (Df) (x) := √
2f (2x)
và
Tk : L2(R) →L2(R), (Tkf) (x) := f (x−k).
Về mặt nguyên lý có thể bắt đầu sự xây dựng của phân tích đa phân giải khung với một không gian con V0 ⊂ L2(R) thỏa mãn (i)-(iv) sau đó tìm kiếm hàm φ sao cho {Tkφ}k∈
Z là một khung của V0. Tuy nhiên trong thực tế, điểm bắt đầu thường là một hàm φ mà {Tkφ}k∈
Z là một dãy khung và các không gian Vj được định nghĩa bởi
Vj := Djspan{Tkφ}k∈
Z = spanDjTkφ k∈
Z, j ∈ Z. (2.1) Dựa vào kết quả của phân tích đa phân giải cổ điển trong trường hợp này ta có luôn ∩
j Vj = {0}.
Bổ đề 2.1.2. Cho φ ∈ L2(R) và định nghĩa các không gian Vj bởi (2.1). Khi đó : ∩
j Vj = {0}.
Do điều này nên chúng ta có thể xây dựng một định nghĩa của phân tích đa phân giải khung ngắn hơn Định nghĩa 2.1.1, trong đó điều kiện ∩
j Vj = {0} của Định nghĩa 2.1.1 được loại bỏ.
Định nghĩa 2.1.3. Một hàm φ ∈ L2(R) sinh ra phân tích đa phân giải khung nếu {Tkφ}k∈
Z là một dãy khung và các không gian Vj được cho bởi công thức (2.1) thỏa mãn các điều kiện:
(i) ...V−1 ⊂V0 ⊂ V1...;
Có hai câu hỏi chính cần giải quyết khi nhắc tới phân tích đa phân giải khung như sau:
(i) Dưới điều kiện nào thì hàm φ ∈ L2(R) sinh ra phân tích đa phân giải khung?
(ii) Nếu φ ∈ L2(R) sinh ra phân tích đa phân giải khung, thì liệu chúng ta có thể xây dựng một hàmψsao choψj,k(x) = 221ψ 2jx−k, j, k ∈ Z là một khung của L2(R)?
Mục sau sẽ đưa ra các điều kiện đủ để một hàm φ ∈ L2(R) sinh ra phân tích đa phân giải khung. Các điều kiện này cũng gần giống với các điều kiện đã có trong phân tích đa phân giải cổ điển.