luận văn Về lớp hàm nửa lõm

32 với λ ∈ [0, 1] ta có f (u(λx + (1 − λ)y)) ≥ ≥ f (λu(x) + (1 − λ)u(y)) − λ(1 − λ) |x − y| ω1 (|x − y|) ≥ f (λu(x) + (1 − λ)u(y)) − L2 λ(1 − λ) |x − y| ω1 (|x − y|) λf (u(x) + (1 − λ)f (u(y)) − f (u(λx + (1 − λ)y)) ≤ ≤ λf (u(x) + (1 − λ)f (u(y)) − f (λu(x) + (1 − λ)u(y)) +L2 λ(1 − λ) |x − y| ω1 (|x − y|) ≤ λ(1 − λ) |x − y| (L1 ω2 (L1 |x − y|) + L2 ω1 (|x − y|)). Vì vậy, f ◦ u hàm nửa lõm với mô đun ω(ρ) := L1 ω2 (L1 ρ) + L2 ω1 (ρ). (ii) Lấy x0 ∈ V , S lân cận lồi x0 cho S¯ ⊂ V ¯ ⊂ A. Ký hiệu mô đun tính liên tục Dφ S ω1 c ◦ φ(S) mô đun tính nửa lõm u c ◦ φ(S) ω2 . Hơn nữa, gọi L1 L2 tương ứng số Lipschitz φ S u c ◦ φ(S). Với x, y cho [x, y] ⊂ S λ ∈ [0, 1] ta có u(λφ(x) + (1 − λ)φ(y)) − u(φ(λx + (1 − λ)y)) ≤ ≤ L2 |λφ(x) + (1 − λ)φ(y) − φ(λx + (1 − λ)y)| ≤ L2 λ(1 − λ) |x − y| ω1 (|x − y|) λu(φ(x)) + (1 − λ)u(φ(y)) − u(φ(λx + (1 − λ)y)) ≤ ≤ λu(φ(x)) + (1 − λ)u(φ(y)) − u(λφ(x) + (1 − λ)φ(y)) +u(λφ(x) + (1 − λ)φ(y)) − u(φ(λx + (1 − λ)y)) ≤ λ(1 − λ) |x − y| (L1 ω2 (L1 |x − y|) + L2 ω1 (|x − y|)). 33 3.2. Hàm khoảng cách Ví dụ 3.2.1. Ví dụ hàm nửa lõm hàm khoảng cách. Nhớ lại rằng: hàm khoảng cách từ điểm tới tập đóng, khác rỗng C ⊂ Rn xác định bởi: dC (x) = |y − x| , (x ∈ Rn ) y∈C Ta chứng minh dC không hàm nửa lõm toàn không gian Rn , nửa lõm phần bù C, địa phương. Tuy nhiên, điều thú vị bình phương hàm khoảng cách lại hàm nửa lõm toàn Rn . Tính chất sau tập hợp có ích việc phân tích tính nửa lõm hàm dC . Định nghĩa 3.2.1. Ta nói tập hợp C ⊂ Rn thỏa mãn điều kiện hình cầu với r > C hợp hình cầu đóng với bán kính r, nghĩa là, với x ∈ C tồn y cho x ∈ Br (y) ⊂ C. Mệnh đề 3.2.9. Cho C ⊂ Rn tập đóng, C = ∅, C = Rn . Khi hàm khoảng cách dC thỏa mãn tính chất sau: (i) d2C ∈ SCL(Rn ) với số nửa lõm 2. (ii) dC ∈ SCLloc (Rn \ C). Đặc biệt, lấy tập S (không thiết compact) cho dist(S, C) > 0, dC hàm nửa lõm S với số nửa lõm dist(S, C)−1 . (iii) Nếu C thỏa mãn điều kiện hình cầu với r > dC ∈ SCL(Rn \ C) với số nửa lõm r−1 . (iv) dC không hàm nửa lõm địa phương toàn không gian Rn . 34 Chứng minh. (i) Với x ∈ Rn ta có d2C (x) − |x|2 = inf |x − y|2 − |x|2 = inf |y|2 − x, y . y∈C y∈C Do cận hàm tuyến tính hàm lõm nên theo Mệnh đề 2.1(c) ta nhận tính chất (i) (ii) Để ý rằng, với z, h ∈ Rn , z = 0, có (|z + h| + |z − h|)2 ≤ 2(|z + h|2 + |z − h|2 ) = 4(|z| + |h| ) ≤ |h|2 |z| + |z| . Do |h|2 |z + h| + |z − h| − |z| ≤ . |z| (3.11) Gọi S tập hợp cách C khoảng cách dương. Với x, h thỏa mãn [x − h, x + h] ⊂ S, lấy x¯ ∈ C cho dC (x) = |x − x¯|. Khi dC (x + h) + dC (x − h) − 2dC (x) ≤ ≤ |x + h − x¯| + |x − h − x¯| − |x − x¯| |h|2 ≤ . |x − x¯| Hơn |x − x¯| = dC (x) ≥ dist(S, C). Theo Định lý 3.1.2 ta kết luận dC thỏa mãn tính chất ta mong muốn. (iii) Theo giả thiết C tập hợp gồm hình cầu đóng với bán kính r. Do khoảng cách từ C cận khoảng cách từ hình cầu C. Theo Mệnh đề 3.1.6 ta cần chứng minh kết trường hợp C = Br . Với x ∈ Rn \ C ta có dC (x) = |x| − r = d{0} (x) − r 35 Vì khoảng cách phần bù C r, ta nhận từ phần (ii) dC hàm nửa lõm với mô đun xét. (iv) Lấy y điểm phần bù C gọi x hình chiếu y lên C. Khi ta đặt ν= y−x |y − x| ta có dC (x + hν) = h với h ∈ [0, dC (y)]. Vì vậy, dC không âm, ta thu dC (x + hν) + dC (x − hν) − 2dC (x) ≥ h, điều cho ta thấy dC không hàm nửa lõm lân cận x. Chú ý 6. Một tập compact C với biên trơn C thỏa mãn điều kiện hình cầu trong. Tuy nhiên, tập hợp với góc đỉnh điểm ” hướng vào trong” thỏa mãn điều kiện đó. Ví dụ tập hợp có dạng C = Br (x1 ) ∪ Br (x2 ), với x1 , x2 ∈ Rn r > |x2 − x1 |/2 không trơn thỏa mãn điều kiện hình cầu với bán kính r. Ví dụ miền không thỏa mãn điều kiện hình cầu miền đa diện lồi C ( góc khối đa diện C không nằm hình cầu chứa C), tập hợp có số chiều nhỏ n, chẳng hạn tập có điểm. Nếu tập C không thỏa mãn điều kiện hình cầu hàm khoảng cách hàm nửa lõm địa phương phần bù C, trình bày 36 phần (ii) mệnh đề trên, số nửa lõm nói chung "bị nổ" dần tới biên C. Một ví dụ điển hình trường hợp tập C = {0}, dC (x) = |x| không hàm nửa lõm lân cận {0}. 3.3. Gradient suy rộng tính nửa lõm Trong mục ta xét u hàm nhận giá trị thực xác định tập mở A ⊂ Rn . Định nghĩa 3.3.1. Với x ∈ A, tập D− u(x) = p ∈ Rn : lim inf u(y) − u(x) − p, y − x ≥0 |y − x| (3.12) D+ u(x) = p ∈ Rn : lim sup u(y) − u(x) − p, y − x ≤0 |y − x| (3.13) y→x y→x gọi tương ứng vi phân (Fréchet) vi phân hàm u x. Từ định nghĩa suy D− (−u)(x) = −D+ u(x). Ví dụ 3.3.1. a) Xét A = R, u(x) = |x|. Khi D+ u(0) = ∅ b) Xét A = R, u(x) = D− u(0) = [−1; 1] |x|. Khi D+ u(0) = ∅ D− u(0) = R . c) Xét A = R2 , u(x) = |x| − |y| . Khi D+ u(0, 0) = D− u(0, 0) = ∅. (3.14) 37 Định nghĩa 3.3.2. Cho x ∈ A θ ∈ Rn . Đạo hàm Dini đạo hàm Dini hàm u x định nghĩa tương ứng u(x + hθ ) − u(x) h h→0+ ,θ →θ ∂ + u(x, θ) = lim sup u(x + hθ ) − u(x) . ,θ →θ h ∂ − u(x, θ) = lim+ inf h→0 Chú ý 7. Từ định nghĩa: với x ∈ A θ ∈ Rn ta có ∂ − (−u)(x, θ) = −∂ + u(x, θ). (3.15) Khi u hàm liên tục Lipschitz lân cận x đạo hàm Dini trở thành ∂ − u(x, θ) = lim inf + h→0 u(x + hθ) − u(x) h (3.16) với θ ∈ Rn . Thật vậy, gọi L > số Lipschitz u, ta có u(x + hθ ) − u(x) u(x + hθ) − u(x) − ≤ L |θ − θ| . h h Tương tự ta có nhận xét đạo hàm Dini trên. Mệnh đề 3.3.10. Cho u : A −→ R, x ∈ A. Khi (a) Ta có D+ u(x) = {p ∈ Rn : ∂ + u(x, θ) ≤ p, θ , ∀θ ∈ Rn } D− u(x) = p ∈ Rn : ∂ − u(x, θ) ≥ p, θ , ∀θ ∈ Rn . (b) D+ u(x) D− u(x) tập lồi, đóng ( tập rỗng). (c) D+ u(x) D− u(x) tập khác rỗng u hàm khả vi x. Trong trường hợp D+ u(x) = D− u(x) = {Du(x)} . 38 Chứng minh. (a) Với p ∈ D+ u(x) θ ∈ Rn , suy từ (3.13) ta có ∂ + u(x, θ) ≤ p, θ . (3.17) Bây giờ, với p ∈ Rn cho ∂ + u(x, θ) ≤ p, θ . Giả sử p ∈ / D+ u(x). Khi tồn ε > dãy {xk } ⊂ A cho xk → x k → +∞ u(xk ) − u(x) ≥ p, xk − x + ε |xk − x| (3.18) với k ∈ N. Hơn (có thể qua dãy con) ta giả thiết dãy véc tơ đơn vị θk := xk − x |xk − x| hội tụ đến véc tơ đơn vị θ k → +∞. Khi (3.18) cho ta u(xk ) − u(x) |xk − x| k→+∞ u(x + |xk − x| θk ) − u(x) = lim sup |xk − x| k→+∞ ε + p, θ ≤ lim sup ≤ ∂ + u(x, θ). Điều mâu thuẫn với (3.17) ta có điều cần chứng minh. Kết tương tự D− u(x) suy từ (3.14) (3.15). (b) Tính chất hệ (a). (c) Nếu u khả vi x. Khi dễ thấy Du(x) ∈ D+ u(x) ∩ D− u(x) Ngược lại, lấy p1 ∈ D+ u(x) p2 ∈ D− u(x). Từ (a) ta có p2 , θ ≤ ∂ − u(x, θ) ≤ ∂ + u(x, θ) ≤ p1 , θ p1 − p2 , θ ≥ với θ Rn . Và điều suy p1 = p2 . Như , D+ u(x) D− u(x) khác rỗng chúng trùng 39 chúng tập phần tử (singleton). Từ định nghĩa D± ta thấy u khả vi x, đạt điều phải chứng minh. Định nghĩa 3.3.3. Cho u : A −→ R hàm liên tục Lipschitz địa phương. Véc tơ p ∈ Rn gọi gradient tới hạn u x ∈ A tồn dãy {xk } ⊂ A \ {x} cho u khả vi xk với k ∈ N lim xk = x, k→+∞ lim Du(xk ) = p. k→+∞ Tập tất gradient tới hạn u x ký hiệu D∗ u(x). Chú ý 8. Để ý : D∗ u(x) tập compact. Trên vi phân hàm nửa lõm có số tính chất mà hàm liên tục Lipschitz không có, tính chất xem mở rộng tính chất tương tự hàm lõm. Mệnh đề 3.3.11. Cho u : A −→ R hàm nửa lõm với mô đun ω x ∈ A. Khi véc tơ p ∈ Rn thuộc D+ u(x) u(y) − u(x) − p, y − x ≤ |y − x| ω(|y − x|) (3.19) với y ∈ A cho [x, y] ⊂ A Chứng minh. Nếu p ∈ Rn thỏa mãn (3.19) theo định nghĩa vi phân ta có p ∈ D+ u(x). Ngược lại, giả sử p ∈ D+ u(x), tính nửa lõm hàm u ta có λu(x) + (1 − λ)u(y) − u(λx + (1 − λ)y) ≤ λ(1 − λ) |x − y| ω(|x − y|), λ ∈ [0; 1]. Với λ ∈ (0, 1) chia hai vế cho (1 − λ) |x − y| ta có u(y) − u(x) u(x + (1 − λ)(y − x)) − u(x) ≤ + λω(|x − y|) |y − x| (1 − λ) |y − x| 40 Cho λ → 1− để ý tới p ∈ D+ u(x) ta có u(y) − u(x) p, y − x ≤ + ω(|x − y|) |y − x| |y − x| từ ta nhận (3.19). Chú ý 9. Nếu u hàm lõm tập lồi, mở A, p ∈ D+ u(x) u(y) ≥ u(x) + p, y − x , ∀y ∈ A. Định lý 3.3.1. Cho un : A −→ R hàm nửa lõm với mô đun ω. Xét tập mở B B ⊂⊂ A giả sử hàm un bị chặn B. Khi tồn dãy {unk } {un } hội tụ tới hàm u : B −→ R u hàm nửa lõm với mô đun ω. Hơn ta có Dunk −→ Du hầu khắp nơi B. Chứng minh. Từ Chú ý ta có un hàm liên tục Lipschitz B. Do theo Định lý Arzela-Ascoli, tồn dãy unk hội tụ tới hàm u : B −→ R. Do bất đẳng thức định nghĩa tính nửa lõm bảo toàn qua tính hội tụ điểm nên u hàm nửa lõm với mô đun ω. Gọi x0 điểm mà hàm unk khả vi. Để ý tính chất điểm B trừ tập có độ đo không. Ta chứng minh Dunk (x0 ) −→ Du(x0 ). Giả sử ngược lại: Dunk (x0 ) không hội tụ tới Du(x0 ). Do {Dunk (x0 )} bị chặn, nên không hội tụ tới Du(x0 ) tồn dãy hội tụ tới p0 = Du(x0 ) . Nhưng lấy giới hạn (3.19) ta phải có p0 ∈ D+ u(x0 ), từ xảy điều vô lý. Vậy nên Dunk −→ Du hầu khắp nơi B. Sau ta xét số hệ khác với Mệnh đề 3.3.11. 41 Mệnh đề 3.3.12. Cho u : A −→ R hàm nửa lõm với mô đun ω x ∈ A. Khi ta có tính chất sau: (a) Nếu {xk } dãy A hội tụ tới x pk ∈ D+ u(xk )hội tụ tới véc tơ p ∈ Rn p ∈ D+ u(x). (b) D∗ u(x) ⊂ ∂D+ u(x). (c) D+ u(x) = ∅. (d) Nếu D+ u(x) tập phần tử u khả vi x. (e) Nếu D+ u(y) tập phần tử với y ∈ A u ∈ C (A). Chứng minh. (a) Tính chất suy trực tiếp từ Mệnh đề 3.3.11 tính nửa liên tục ω. (b) Từ (a) ta có D∗ u(x) ⊂ D+ u(x). Điều cần chứng minh (b) là: tập tất gradient tới hạn điểm biên D+ u(x). Xét p ∈ D∗ u(x) lấy xk ∈ A Định nghĩa 3.5. Không tính tổng quát giả sử xk − x =θ k→+∞ |xk − x| lim với θ ∈ Rn véc tơ đơn vị. Ta chứng minh p − tθ ∈ / D+ u(x), ∀t > (3.20) từ p thuộc biên D+ u(x). Thật vậy, theo (3.19) Mệnh đề 3.3.11 u(xk ) − u(x) − p − tθ, xk − x = = u(xk ) − u(x) − Du(xk ) − xk − x + + Du(xk ) − p, x − xk + t θ, x − xk ≥ − |xk − x| ω(|xk − x|) − |Du(xk ) − p| |xk − x| + t θ, x − xk . 42 Từ ta có lim inf k→+∞ u(xk ) − u(x) − p − tθ, xk − x ≥t |xk − x| ta nhận (3.20). (c) Theo Định lý 3.1.1, u hàm liên tục Lipschitz địa phương D∗ u(x) = ∅. Từ ta nhận c thông qua b. (d) Giả sử D+ u(x) = {p} với p ∈ Rn lấy {xk ⊂ A} dãy cho xk → x k → +∞. Theo (c) ta lấy pk ∈ D+ u(xk ) . Mặt khác, theo a dãy {pk } thừa nhận p điểm nút, pk → p k → +∞. Hơn nữa, theo Mệnh đề 3.3.11 u(xk ) − u(x) − p, xk − x = u(xk ) − u(x) + pk , x − xk + pk − p, xk − x ≥ − |xk − x| ω(|xk − x|) − |pk − p| |xk − x| . Như u(xk ) − u(x) − p, xk − x ≥ 0. k→+∞ |xk − x| Do {xk } tùy ý nên ta suy p ∈ D− u(x). Theo Mệnh đề 3.3.10 ta kết lim inf luận rằng: hàm u khả vi x. (e) Khẳng định phần dễ dàng suy từ (a) (d). Định lý 3.3.2. Nếu u : A −→ R hàm vừa nửa lồi, vừa nửa lõm A u ∈ C (A) . Hơn nữa, tập compact A, mô đun liên tục Du có dạng ω1 (r) = c1 ω(c2 r) ω mô đun tính nửa lồi tính nửa lõm u, c1 , c2 số dương. Chứng minh. Tại điểm A u −u có vi phân khác rỗng. Vì D+ (−u) = −D− u nên suy vi phân u 43 khác rỗng điểm. Do đó, theo Mệnh đề 3.3.10(c) 3.3.12(e) ta có u ∈ C (A). Tiếp theo, u hàm vừa nửa lõm vừa nửa lồi với mô đun ω , theo Mệnh đề 3.3.11 ta có |u(y) − u(x) − Du(x), y − x | ≤ |y − x| ω(|y − x|) (3.21) với x, y ∈ A mà [x, y] ⊂ A. Bây lấy x ∈ A r > cho B2r (x) ⊂ A . Xét v1 , v2 ∈ Rn thỏa mãn |v1 | , |v2 | ≤ r, theo (3.21) tính nửa lồi, nửa lõm u ta nhận đánh giá Du(x + v2 ) − Du(x), v1 ≤ ≤ u(x + v2 + v1 ) − u(x + v2 ) − u(x + v1 ) + u(x) + |v1 | ω(|v1 |) 1 = u(x + v2 + v1 ) − u(x + 2v1 ) − u(x + 2v2 ) 2 1 − u(x + v2 ) + u(x + 2v2 ) + u(x)− 2 1 − u(x + v1 ) + u(x + 2v1 ) + u(x) + |v1 | ω(|v1 |) 2 1 ≤ |v1 + v2 | ω(2 |v1 + v2 |) + |v2 | ω(2 |v2 |) 2 + |v1 | ω(2 |v1 |) + |v1 | ω(|v1 |). Từ đó, ∀v2 ∈ Br ta có max Du(x + v2 ) − Du(x), v1 |Du(x + v2 ) − Du(x)| = |v2 | |v1 |=|v2 | ≤ ω(4 |v2 |) + ω(2 |v2 |) + 2ω(|v2 |) ≤ 4ω(|v2 |). Trong trường hợp mô đun tuyến tính, nhận đánh giá sắc nét sau đây. 44 Hệ 3.3. Cho A ⊂ Rn tập lồi, mở; u : A −→ R hàm vừa nửa lồi vừa nửa lõm với mô đun tuyến tính C. Khi Du hàm liên tục Lipschitz địa phương A số Lipschitz Du C. Chứng minh. Theo Định lý trên, Du hàm liên tục Lipschitz địa phương A, ta cần đánh giá số Lipschitz nó. Theo Mệnh đề 2.1.3, tất đạo hàm cấp hai theo hướng u dạng ∂νν u với |ν| = thỏa mãn ∂νν u ≤ C. Ta lại có ∂ξη u= 2 ∂(ξ+η)(ξ+η) u − ∂(ξ−η)(ξ−η) u , ∀ξ, η ∈ Rn . Do D2 u = sup |ξ|=|η|=1 C |ξ + η|2 + |ξ − η|2 = C |ξ|=|η|=1 ∂ξη u ≤ sup theo định nghĩa phân bố. Vì Du liên tục Lipschitz địa phương nên ma trận Hessian D2 u theo nghĩa phân bố trùng với ma trận Hessian thông thường cách hầu khắp nơi. Như ta có số Lipschitz Du C. Ví dụ 3.3.2. Xét hàm u(x) = |x| R. Dễ thấy hàm liên tục không khả vi điểm x0 = hàm lồi R. Theo Định lý 3.3.2 hàm số không hàm nửa lõm lân cận điểm hàm nửa lõm lân cận phải khả vi điểm đó. Như ta biết, vi phân hàm lõm có tính đơn điệu. Đối với hàm nửa lõm ta có kết yếu hơn. 45 Mệnh đề 3.3.13. Cho u : A −→ R hàm nửa lõm với mô đun ω . Lấy x, y ∈ A cho [x, y] ⊂ A , với p ∈ D+ u(x) q ∈ D+ u(y) ta có q − p, y − x ≤ |y − x| ω(|y − x|) Chứng minh. Ta áp dụng Mệnh đề 3.3.11 hai lần − q, x − y − |y − x| ω(|y − x|) ≤ u(y) − u(x) ≤ p, y − x + |y − x| ω(|y − x|) ta nhận điều cần chứng minh. 46 KẾT LUẬN Luận văn trình bày khái niệm tính chất lớp hàm nửa lõm với mô đun tuyến tính với mô đun tổng quát, bên cạnh luận văn nêu số ví dụ minh họa cho khái niệm liên quan. Trong luận văn nêu mối quan hệ tính nửa lõm với tính nghiệm toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi, mối quan hệ gradient suy rộng tính nửa lõm để thấy thêm ý nghĩa lớp hàm nửa lõm. Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, 2001,Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, NXB giáo dục. [2] Trần Đức Vân, 2004, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội. [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Piermarco Cannarsa and Carlo Sinestrari, 2004, Semiconcave Functions, Hamilton-Jacobi Equations and Optimal Control, Birkhauser Boston. [4] R.T. Rockafellar, 1997, Convex Analyis, Princeton Univ.Press. 47 [...]... [0, 1] Ta gọi hàm ω là mô đun của tính nửa lõm của u trong S Hàm v được gọi là nửa lồi trong S nếu −v là hàm nửa lõm trong S Trong trường hợp ω tuyến tính ta nhận được lớp các hàm nửa lõm với mô đun tuyến tính như đã giới thiệu ở Chương 2 Đặc biệt, nếu C ω(ρ) = ρ với C ≥ 0 thì C là hằng số nửa lõm của u trong S 2 Ta ký hiệu tập tất cả các hàm nửa lõm trong S là SC(S), và lớp các hàm nửa lõm với mô đun... phép hợp thành của một hàm nửa lõm với một hàm khác cũng là hàm nửa lõm Mệnh đề 3.1.8 Cho u : A −→ R là một hàm nửa lõm địa phương, trong đó A là tập mở (i) Nếu f : R −→ R là hàm nửa lõm địa phương, tăng thì f ◦ u là hàm nửa lõm địa phương trên A Nếu mô đun của tính nửa lõm của u và f là những hàm tuyến tính thì chúng cũng là những mô đun của f ◦ u (ii) Nếu φ : V −→ A là hàm thuộc lớp C 1 với V là tập... những hàm nửa lõm hay nửa lõm với mô đun tuyến tính địa phương trong S, đó là các hàm nửa lõm hay nửa lõm với mô đun tuyến tính trên mỗi tập con compact của S Như đã nhận xét trong Chương 2, các hàm nửa lõm với mô đun tuyến tính là lớp hàm thường gặp trong các bài toán về phương trình đạo hàm riêng, mặc dù chúng là lớp nhỏ hơn nhưng lại có nhiều ứng dụng, hơn nữa chúng có những tính chất mạnh hơn các hàm. .. thấy hàm nửa lõm có thể coi là sự nhiễu trơn của hàm lõm, bởi vậy đồ thị của nó có thể có dạng không lõm trong miền nó trơn, nhưng tại những điểm góc thì đồ thị có tính "lõm lên" như đối với hàm lõm Tính chất (f) cho ta những giải thích đầu tiên về việc tại sao những hàm nửa lõm lại xuất hiện một cách tự nhiên trong những bài toán cực tiểu Các ví dụ của hàm nửa lõm sẽ được đưa ra trong từng phần của luận. .. là hàm nửa lõm với mô đun bất kỳ luôn có thể biểu diễn như là cận dưới đúng của tập các hàm thuộc lớp C 1 Những hàm được xác định bởi cận dưới đúng của các hàm trơn 25 thường xuất hiện trong các bài toán tối ưu Ta sẽ xét mối liên hệ giữa hàm nửa lõm và cận dưới đúng của các hàm trơn ở phần sau Tương tự như tính lõm, tính nửa lõm suy ra tính liên tục Lipschitz địa phương Định lý 3.1.1 Cho hàm nửa lõm. .. |x| 2 là lõm và là cận dưới đúng của họ các hàm lõm và ta chứng minh được 2 ta thấy rằng ∂νν vi ≤ 0, ∀ν ∈ Rn , vì vậy vi là lõm Vậy nên, u(x) − phần (c) Chú ý 3 Từ mệnh đề trên ta có thể có một hình dung về dáng điệu của các hàm nửa lõm với mô đun tuyến tính Tính chất (e) chứng tỏ rằng những hàm nửa lõm là những hàm mà đạo hàm cấp hai bị chặn trên, khác với những hàm lõm là những hàm có đạo hàm cấp... định nghĩa hàm nửa lõm một cách tổng quát và xét một số tính chất cơ bản của lớp hàm này Mục 3.2 hàm khoảng cách đến một tập hợp Mục 3.3 dành cho việc trình bày sơ lược về quan hệ giữa gradient và hàm nửa lõm 3.1 Định nghĩa và một số tính chất 3.1.1 Định nghĩa Trong suốt phần này ta luôn xét S là tập con của Rn Định nghĩa 3.1.1 Hàm u : S −→ R được gọi là hàm nửa lõm trên S nếu tồn tại một hàm nửa liên... số hàm số w(·) sao cho w(ρ) → 0 khi ρ → 0 Lúc này hàm w gọi là mô đun của tính nửa lõm và do đó ta gọi hàm u thỏa mãn (2.1) là hàm nửa lõm với mô đun tuyến tính Hàm nửa lõm với mô đun tuyến tính có một số tính chất thú vị sau Mệnh đề 2.1.3 Cho u : A −→ R với A ⊂ Rn là tập lồi, mở và cho C ≥ 0 Khi đó các tính chất sau là tương đương: 12 (a) u là hàm nửa lõm với mô đun tuyến tính trong A với hằng số nửa. .. hạn đối với mô đun của tính nửa lõm, bởi vì chỉ có những hàm nửa lõm mà mô đun của nó tiến đến 0 nhanh hơn các hàm tuyến tính mới là những hàm lõm Mệnh đề 3.1.7 Cho u : A −→ R là hàm nửa lõm với A là tập mở và với mô đun ω sao cho lim + ρ→0 ω(ρ) = 0 ρ Khi đó u là hàm lõm trên tất cả các tập con lồi của A 28 Chứng minh Để ý rằng, ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp u là hàm trơn Trường hợp tổng quát... hàm nửa lõm tổng quát và dễ dàng phân tích hơn vì chúng có mối quan hệ gần gũi với các hàm lõm Tuy nhiên, chúng ta quan tâm đến những hàm lõm với mô đun tổng quát do chúng là lớp rộng hơn, chia sẻ nhiều tính chất với trường hợp mô đun tuyến tính 21 3.1.2 Một số tính chất Một hệ quả thú vị của định nghĩa tổng quát của tính nửa lõm được trình bày ở trên đó là: một hàm bất kỳ thuộc lớp C 1 là hàm nửa lõm . Thọ tôi đã chọn đề tài cho luận văn của mình là: Về lớp hàm nửa lõm 2 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày tổng quan về lớp hàm nửa lõm với mô đun tuyến tính và lớp hàm này nhưng với mô đun tổng. quan về lớp hàm nửa lõm với mô đun tuyến tính và với mô đun tổng quát. 3 6. Đóng góp mới của luận văn Trình bày một cách hệ thống tổng quan về lớp hàm nửa lõm để có thể nhìn nhận dễ dàng hơn về. này là xét tính nửa lõm của các hàm. Hàm nửa lõm là sự mở rộng của hàm lõm, nó thừa hưởng nhiều tính chất hay của hàm lõm, bên cạnh đó nó có thêm nhiều tính chất thú vị và thực tế. Lớp hàm này đóng