3 Hàm nửa lõm với mô đun tổng quát
3.2. Hàm khoảng cách
Ví dụ 3.2.1. Ví dụ đầu tiên về hàm nửa lõm là hàm khoảng cách. Nhớ lại rằng: hàm khoảng cách từ một điểm tới một tập đóng, khác rỗng
C ⊂ Rn được xác định bởi:
dC(x) = min
y∈C |y−x|,(x ∈ Rn)
Ta sẽ chứng minh rằng dC không là hàm nửa lõm trong toàn bộ không gian Rn, nhưng nó sẽ là nửa lõm trên phần bù của C, ít nhất là trên địa phương. Tuy nhiên, một điều thú vị là bình phương của hàm khoảng cách lại là hàm nửa lõm trong toàn Rn. Tính chất sau đây của các tập hợp sẽ có ích trong việc phân tích tính nửa lõm của hàm dC.
Định nghĩa 3.2.1. Ta nói rằng tập hợp C ⊂ Rn thỏa mãn điều kiện hình cầu trong với r > 0 nếu C là hợp của các hình cầu đóng với bán kính r, nghĩa là, với x ∈ C tồn tại y sao cho x ∈ Br(y) ⊂C.
Mệnh đề 3.2.9. Cho C ⊂Rn là một tập đóng, C 6= ∅, C 6= Rn. Khi đó hàm khoảng cách dC thỏa mãn các tính chất sau:
(i) d2C ∈ SCL(Rn) với hằng số nửa lõm bằng 2.
(ii) dC ∈ SCLloc(Rn \C). Đặc biệt, nếu lấy tập S (không nhất thiết compact) sao cho dist(S, C) > 0, khi đó dC là hàm nửa lõm trong S với hằng số nửa lõm bằng dist(S, C)−1.
(iii) Nếu C thỏa mãn điều kiện hình cầu trong với r > 0 thì dC ∈
SCL(Rn\C) với hằng số nửa lõm bằng r−1.
(iv) dC không là hàm nửa lõm địa phương trong toàn bộ không gian Rn.
34
Chứng minh. (i) Với x ∈ Rn bất kỳ ta có
d2C(x)− |x|2 = inf
y∈C|x−y|2 − |x|2 = inf
y∈C|y|2 −2hx, yi.
Do cận dưới đúng của hàm tuyến tính là hàm lõm nên theo Mệnh đề 2.1(c) ta nhận được tính chất (i) (ii) Để ý rằng, với z, h ∈ Rn, z 6= 0, có (|z+ h|+ |z−h|)2 ≤ 2(|z+h|2 +|z −h|2) = 4(|z|2 +|h|2) ≤ 2|z|+ |h|2 |z| !2 . Do đó |z+h|+|z −h| −2|z| ≤ |h| 2 |z| . (3.11)
Gọi S là tập hợp cách C một khoảng cách dương. Với x, h bất kỳ thỏa mãn [x−h, x+h] ⊂ S, lấy x¯ ∈ C sao cho dC(x) =|x−x¯|. Khi đó
dC(x+h) +dC(x−h)−2dC(x) ≤
≤ |x+h−x¯|+|x−h−x¯| −2|x−x¯| ≤ |h|
2 |x−x¯|.
Hơn nữa |x−x¯| = dC(x) ≥ dist(S, C). Theo Định lý 3.1.2 ta kết luận rằng dC thỏa mãn tính chất như ta mong muốn.
(iii) Theo giả thiết C là tập hợp gồm các hình cầu đóng với bán kính r. Do đó khoảng cách từ C là cận dưới đúng của các khoảng cách từ các hình cầu trong C. Theo Mệnh đề 3.1.6 ta chỉ cần chứng minh kết quả trong trường hợp C = Br. Với x ∈ Rn\C bất kỳ ta có
Vì khoảng cách giữa 0 và phần bù của C là r, ta nhận được từ phần (ii) rằng dC là hàm nửa lõm với mô đun đang xét.
(iv) Lấy y là điểm bất kỳ trong phần bù của C và gọi x là hình chiếu của y lên C. Khi đó nếu ta đặt
ν = y −x
|y −x|
thì ta có dC(x+hν) =h với mọi h ∈ [0, dC(y)]. Vì vậy, do dC không âm, ta thu được
dC(x+hν) +dC(x−hν)−2dC(x) ≥ h,
điều đó cho ta thấy rằng dC không là hàm nửa lõm trong bất kỳ lân cận nào của x.
Chú ý 6. Một tập compact C bất kỳ với biên trơn C2 thỏa mãn điều kiện hình cầu trong. Tuy nhiên, ngay cả những tập hợp với các góc đỉnh là điểm ” hướng vào trong” cũng có thể thỏa mãn điều kiện đó.
Ví dụ tập hợp có dạng
C = Br(x1)∪ Br(x2), với x1, x2 ∈ Rn và r > |x2 −x1|/2
là không trơn và thỏa mãn điều kiện hình cầu trong với bán kính r. Ví dụ về miền không thỏa mãn điều kiện hình cầu trong đó là miền đa diện lồi C ( khi đó các góc của khối đa diện C sẽ không nằm trong bất kỳ hình cầu nào chứa trong C), hoặc là tập hợp có số chiều nhỏ hơn
n, chẳng hạn như tập chỉ có một điểm.
Nếu tập C không thỏa mãn điều kiện hình cầu trong thì hàm khoảng cách là hàm nửa lõm địa phương trong phần bù củaC, như đã trình bày
36
trong phần (ii) của mệnh đề trên, nhưng khi đó hằng số nửa lõm nói chung sẽ "bị nổ" khi dần tới biên của C.
Một ví dụ điển hình là trường hợp tập C = {0}, khi đó dC(x) = |x|
không là hàm nửa lõm trong lân cận bất kỳ của {0}.
3.3. Gradient suy rộng và tính nửa lõm
Trong mục này ta luôn xét u là hàm nhận giá trị thực xác định trong tập mở A ⊂ Rn. Định nghĩa 3.3.1. Với x ∈ A, các tập D−u(x) = p ∈ Rn : lim inf y→x u(y)−u(x)− hp, y −xi |y−x| ≥ 0 (3.12) D+u(x) = p ∈ Rn : lim sup y→x u(y)−u(x)− hp, y −xi |y −x| ≤ 0 (3.13)
được gọi tương ứng là dưới vi phân (Fréchet) và trên vi phân của hàm u
tại x. Từ định nghĩa trên suy ra
D−(−u)(x) = −D+u(x). (3.14) Ví dụ 3.3.1. a) Xét A = R, u(x) = |x|. Khi đó D+u(0) = ∅ D−u(0) = [−1; 1] b) Xét A = R, u(x) = p|x|. Khi đó D+u(0) = ∅ D−u(0) = R . c) Xét A= R2, u(x) = |x| − |y|. Khi đó D+u(0,0) = D−u(0,0) = ∅.
Định nghĩa 3.3.2. Cho x ∈ A và θ ∈ Rn. Đạo hàm Dini trên và đạo hàm Dini dưới của hàm u tại x được định nghĩa tương ứng là
∂+u(x, θ) = lim sup h→0+,θ0→θ u(x+hθ0)−u(x) h và ∂−u(x, θ) = lim inf h→0+,θ0→θ u(x+hθ0)−u(x) h . Chú ý 7. Từ định nghĩa: với x ∈ A và θ ∈ Rn ta có ∂−(−u)(x, θ) = −∂+u(x, θ). (3.15)
Khi u là hàm liên tục Lipschitz trong lân cận của x thì đạo hàm Dini dưới trở thành
∂−u(x, θ) = lim inf
h→0+
u(x+hθ)−u(x)
h (3.16)
với θ ∈ Rn. Thật vậy, gọi L > 0 là hằng số Lipschitz của u, khi đó ta có
u(x+ hθ0)−u(x) h − u(x+hθ)−u(x) h ≤ L|θ0 −θ|.
Tương tự ta cũng có nhận xét đối với đạo hàm Dini trên.
Mệnh đề 3.3.10. Cho u : A −→ R, x ∈ A. Khi đó
(a) Ta có D+u(x) ={p ∈ Rn : ∂+u(x, θ) ≤ hp, θi,∀θ ∈ Rn}
D−u(x) = p ∈ Rn :∂−u(x, θ) ≥ hp, θi,∀θ ∈ Rn .
(b) D+u(x) và D−u(x) là các tập lồi, đóng ( có thể là tập rỗng). (c) D+u(x) và D−u(x) là các tập khác rỗng khi và chỉ khi u là hàm khả vi tại x. Trong trường hợp này
38
Chứng minh. (a) Với p∈ D+u(x) và θ ∈ Rn, suy ra từ (3.13) ta có
∂+u(x, θ) ≤ hp, θi. (3.17)
Bây giờ, với p ∈ Rn sao cho ∂+u(x, θ) ≤ hp, θi. Giả sử p /∈ D+u(x). Khi đó tồn tại ε > 0 và dãy {xk} ⊂ A sao cho xk →x khi k → +∞ và
u(xk)−u(x) ≥ hp, xk −xi+ε|xk −x| (3.18) với mọi k ∈ N. Hơn nữa (có thể qua dãy con) ta có thể giả thiết rằng dãy các véc tơ đơn vị
θk := xk −x
|xk −x|
hội tụ đến một véc tơ đơn vị θ khi k →+∞. Khi đó (3.18) cho ta
ε+hp, θi ≤ lim sup k→+∞ u(xk)−u(x) |xk −x| = lim sup k→+∞ u(x+|xk −x|θk)−u(x) |xk−x| ≤∂+u(x, θ).
Điều này mâu thuẫn với (3.17) và ta có điều cần chứng minh.
Kết quả tương tự đối với D−u(x) được suy ra từ (3.14) và (3.15). (b) Tính chất này là hệ quả của (a).
(c) Nếu u khả vi tại x. Khi đó dễ thấy rằng
Du(x) ∈ D+u(x)∩D−u(x)
Ngược lại, lấy p1 ∈ D+u(x) và p2 ∈ D−u(x). Từ (a) ta có
hp2, θi ≤ ∂−u(x, θ) ≤ ∂+u(x, θ) ≤ hp1, θi
do đóhp1 −p2, θi ≥ 0với θ nào đó trong Rn. Và điều này suy ra p1 = p2. Như vậy , nếuD+u(x)và D−u(x) đều khác rỗng thì chúng sẽ trùng nhau
và như vậy chúng là tập một phần tử (singleton). Từ định nghĩa củaD±
ta thấy u sẽ khả vi tại x, và đạt được điều phải chứng minh.
Định nghĩa 3.3.3. Cho u : A −→ R là hàm liên tục Lipschitz địa phương. Véc tơ p∈ Rn được gọi là gradient tới hạn của u tại x ∈ A nếu tồn tại dãy {xk} ⊂ A\ {x} sao cho u khả vi tại xk với mỗi k ∈ N và
lim
k→+∞xk = x, lim
k→+∞Du(xk) =p.
Tập tất cả các gradient tới hạn của u tại x ký hiệu là D∗u(x). Chú ý 8. Để ý rằng : D∗u(x) là tập compact.
Trên vi phân của các hàm nửa lõm có một số tính chất mà các hàm liên tục Lipschitz không có, và các tính chất đó có thể được xem như sự mở rộng các tính chất tương tự của các hàm lõm.
Mệnh đề 3.3.11. Cho u : A −→ R là hàm nửa lõm với mô đun ω và
x ∈ A. Khi đó véc tơ p∈ Rn thuộc D+u(x) nếu và chỉ nếu
u(y)−u(x)− hp, y −xi ≤ |y −x|ω(|y−x|) (3.19)
với y ∈ A sao cho [x, y]⊂ A
Chứng minh. Nếu p ∈ Rn và thỏa mãn (3.19) theo định nghĩa của trên vi phân ta có ngay p ∈ D+u(x).
Ngược lại, giả sử p∈ D+u(x), do tính nửa lõm của hàm u ta có
λu(x) + (1−λ)u(y)−u(λx+ (1−λ)y) ≤λ(1−λ)|x−y|ω(|x−y|),
ở đây λ ∈ [0; 1].
Với λ ∈ (0,1) chia hai vế cho (1−λ)|x−y| ta có
u(y)−u(x) |y−x| ≤
u(x+ (1−λ)(y −x))−u(x)
40 Cho λ →1− và để ý tới p ∈ D+u(x) ta có u(y)−u(x) |y −x| ≤ hp, y −xi |y −x| + ω(|x−y|) và từ đó ta nhận được (3.19).
Chú ý 9. Nếu u là hàm lõm trên tập lồi, mở A, khi đó p∈ D+u(x) khi và chỉ khi u(y) ≥u(x) +hp, y −xi, ∀y ∈ A.
Định lý 3.3.1. Cho un : A −→R là các hàm nửa lõm với cùng mô đun
ω. Xét tập mở B và B ⊂⊂ A và giả sử các hàm un bị chặn đều trong B. Khi đó tồn tại dãy con {unk} của {un} hội tụ đều tới hàm u : B −→ R
và u cũng là hàm nửa lõm với mô đun ω. Hơn nữa ta có Dunk −→ Du
hầu khắp nơi trong B.
Chứng minh. Từ Chú ý 4 ta có un là các hàm liên tục Lipschitz đều trong B. Do đó theo Định lý Arzela-Ascoli, sẽ tồn tại dãy con unk hội tụ đều tới một hàm u : B −→ R. Do bất đẳng thức trong định nghĩa tính nửa lõm được bảo toàn qua tính hội tụ điểm nên u là hàm nửa lõm với mô đun ω.
Gọi x0 là điểm mà tại đó các hàm unk khả vi. Để ý rằng tính chất này đúng tại mọi điểm trong B trừ đi tập có độ đo không. Ta sẽ chứng minh rằng Dunk(x0) −→ Du(x0).
Giả sử ngược lại: Dunk(x0) không hội tụ tới Du(x0). Do {Dunk(x0)}
bị chặn, nên nếu nó không hội tụ tới Du(x0) thì sẽ tồn tại dãy con hội tụ tớip0 6= Du(x0) . Nhưng nếu lấy giới hạn (3.19) ta phải cóp0 ∈ D+u(x0), từ đó xảy ra điều vô lý. Vậy nênDunk −→ Duhầu khắp nơi trongB.
Mệnh đề 3.3.12. Cho u : A −→ R là hàm nửa lõm với mô đun ω và
x ∈ A. Khi đó ta có các tính chất sau:
(a) Nếu {xk} là một dãy trong A hội tụ tới x và nếu pk ∈ D+u(xk)hội tụ tới véc tơ p ∈ Rn thì p∈ D+u(x).
(b) D∗u(x) ⊂ ∂D+u(x). (c) D+u(x) 6= ∅.
(d) Nếu D+u(x) là tập một phần tử thì u khả vi tại x.
(e) Nếu D+u(y) là tập một phần tử với mọi y ∈ A thì u ∈ C1(A). Chứng minh. (a) Tính chất này suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 3.3.11 và tính nửa liên tục trên của ω.
(b) Từ (a) ta có D∗u(x) ⊂ D+u(x). Điều cần chứng minh ở (b) là: tập tất cả các gradient tới hạn là những điểm biên của D+u(x).
Xét p ∈ D∗u(x) và lấy xk ∈ A như trong Định nghĩa 3.5. Không mất tính tổng quát giả sử
lim
k→+∞
xk −x
|xk −x| = θ
với θ ∈ Rn là véc tơ đơn vị. Ta sẽ chứng minh rằng
p−tθ /∈ D+u(x),∀t > 0 (3.20)
và từ đó p thuộc biên của D+u(x). Thật vậy, theo (3.19) trong Mệnh đề 3.3.11
u(xk)−u(x)− hp−tθ, xk −xi =
= u(xk)−u(x)− hDu(xk)−xk −xi+
+hDu(xk)−p, x−xki+thθ, x−xki
42 Từ đó ta có lim inf k→+∞ u(xk)−u(x)− hp−tθ, xk −xi |xk−x| ≥ t và ta nhận được (3.20).
(c) Theo Định lý 3.1.1, u là hàm liên tục Lipschitz địa phương do đó
D∗u(x) 6= ∅. Từ đó ta nhận được c thông qua b.
(d) Giả sử D+u(x) = {p} với p ∈ Rn và lấy {xk ⊂ A} là dãy sao cho
xk → x khi k → +∞. Theo (c) ta có thể lấy pk ∈ D+u(xk) . Mặt khác, theoa dãy {pk} chỉ có thể thừa nhậnp như là điểm nút, và do đópk →p
khi k → +∞. Hơn nữa, theo Mệnh đề 3.3.11
u(xk)−u(x)− hp, xk −xi = u(xk)−u(x) +hpk, x−xki+hpk −p, xk −xi ≥ − |xk −x|ω(|xk −x|)− |pk −p| |xk−x|. Như vậy lim inf k→+∞ u(xk)−u(x)− hp, xk −xi |xk −x| ≥0.
Do {xk} tùy ý nên ta suy ra p ∈ D−u(x). Theo Mệnh đề 3.3.10 ta kết luận được rằng: hàm u khả vi tại x.
(e) Khẳng định ở phần này dễ dàng suy ra từ (a) và (d).
Định lý 3.3.2. Nếu u : A −→ R là hàm vừa nửa lồi, vừa nửa lõm trên
A thì u ∈ C1(A) .
Hơn nữa, trên mỗi tập con compact của A, mô đun liên tục của Du
có dạng ω1(r) =c1ω(c2r) trong đó ω là mô đun của tính nửa lồi và tính nửa lõm của u, c1, c2 là các hằng số dương.
Chứng minh. Tại điểm bất kỳ của A cả u và −u đều có trên vi phân khác rỗng. Vì D+(−u) = −D−u nên suy ra dưới vi phân của u cũng
khác rỗng tại mọi điểm. Do đó, theo Mệnh đề 3.3.10(c) và 3.3.12(e) ta có u ∈ C1(A).
Tiếp theo, nếu u là hàm vừa nửa lõm vừa nửa lồi với mô đun ω , theo Mệnh đề 3.3.11 ta có
|u(y)−u(x)− hDu(x), y−xi| ≤ |y −x|ω(|y−x|) (3.21) với mọi x, y ∈ A mà [x, y] ⊂A.
Bây giờ lấy x ∈ A và r > 0 sao cho B2r(x) ⊂ A . Xét v1, v2 ∈ Rn thỏa mãn |v1|,|v2| ≤ r, theo (3.21) và tính nửa lồi, nửa lõm của u ta nhận được đánh giá Du(x+v2)−Du(x), v1 ≤ ≤ u(x+v2 +v1)−u(x+v2)−u(x+v1) +u(x) + 2|v1|ω(|v1|) = u(x+ v2 +v1)− 1 2u(x+ 2v1)− 1 2u(x+ 2v2) −u(x+v2) + 1 2u(x+ 2v2) + 1 2u(x)− −u(x+v1) + 1 2u(x+ 2v1) + 1 2u(x) + 2|v1|ω(|v1|) ≤ 1 2|v1 +v2|ω(2|v1 +v2|) + 1 2|v2|ω(2|v2|) + 1 2|v1|ω(2|v1|) + 2|v1|ω(|v1|). Từ đó, ∀v2 ∈ Br ta có |Du(x+v2)−Du(x)| = 1 |v2||vmax1|=|v2|hDu(x+v2)−Du(x), v1i ≤ω(4|v2|) +ω(2|v2|) + 2ω(|v2|) ≤4ω(|v2|).
Trong trường hợp mô đun tuyến tính, chúng ta nhận được đánh giá sắc nét hơn sau đây.
44
Hệ quả 3.3. Cho A ⊂ Rn là tập lồi, mở; u : A −→ R là hàm vừa nửa lồi vừa nửa lõm với mô đun tuyến tính C. Khi đó Du là hàm liên tục Lipschitz địa phương trong A và hằng số Lipschitz của Du bằng chính
C.
Chứng minh. Theo Định lý trên,Dulà hàm liên tục Lipschitz địa phương trong A, do đó ta chỉ cần đánh giá hằng số Lipschitz của nó.
Theo Mệnh đề 2.1.3, tất cả các đạo hàm cấp hai theo hướng của u
dạng ∂ννu với |ν| = 1 đều thỏa mãn k∂ννuk ≤ C. Ta lại có
∂ξη2 u= 1 4 ∂(2ξ+η)(ξ+η)u−∂(2ξ−η)(ξ−η)u ,∀ξ, η ∈ Rn. Do đó D2u = sup |ξ|=|η|=1 ∂ξη2 u ≤ sup |ξ|=|η|=1 C 4 |ξ + η|2 +|ξ −η|2 = C
theo định nghĩa phân bố. Vì Du liên tục Lipschitz địa phương nên ma trận Hessian D2u theo nghĩa phân bố trùng với ma trận Hessian thông thường một cách hầu khắp nơi. Như vậy ta có hằng số Lipschitz của Du
bằng C.
Ví dụ 3.3.2. Xét hàm u(x) = |x| trong R. Dễ thấy hàm này liên tục nhưng không khả vi tại điểm x0 = 0 và là hàm lồi trên R. Theo Định lý 3.3.2 hàm số này không là hàm nửa lõm trong lân cận bất kỳ của điểm
0 vì nếu nó là hàm nửa lõm trong lân cận của 0 thì nó phải khả vi tại điểm đó.
Như ta đã biết, trên vi phân của hàm lõm có tính đơn điệu. Đối với hàm nửa lõm ta có kết quả yếu hơn.
Mệnh đề 3.3.13. Cho u :A −→ R là hàm nửa lõm với mô đun ω . Lấy
x, y ∈ A sao cho [x, y] ⊂ A , khi đó với p ∈ D+u(x) và q ∈ D+u(y) ta có
hq −p, y −xi ≤ 2|y −x|ω(|y −x|)
Chứng minh. Ta áp dụng Mệnh đề 3.3.11 hai lần sẽ được
− hq, x−yi − |y −x|ω(|y −x|) ≤ u(y)−u(x)
≤ hp, y −xi+ |y −x|ω(|y −x|)
46
KẾT LUẬN
Luận văn trình bày về khái niệm và tính chất cơ bản của lớp hàm nửa lõm với mô đun tuyến tính và với mô đun tổng quát, bên cạnh đó trong luận văn sẽ nêu một số ví dụ minh họa cho những khái niệm liên quan. Trong luận văn cũng sẽ nêu mối quan hệ giữa tính nửa lõm với tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi, mối quan hệ giữa gradient suy rộng và tính nửa lõm để thấy thêm được