DANG QUOC PHU
Trang 3LOI NOI DAU
Cuốn sâch năy ra dời trín co sĩ giĩo trinh “TRUYEN NHIBT’, dược giảng dạy nhiều năm ở trường Đại học Bâch khoa Hă Nội
Tuy nhiín, khi biín soạn lợi câc tóc giả đê cố gông trình băy một câch hhúi quớt hơn, để có thể, trong phạm 0ì dung lượng cho phĩp, đề cập dược những uốn đề cơ bản nhốt của lí thuyết truyền nhiệt, truyền chất nhằm giúp bạn dọc có khả năng độc lệp giải quyết một 86 vdn đề phổ biến Uề truyền nhiệt, truyền chất
Đối tượng phục vu chi yếu của cuốn sdch nay la sinh viĩn, ki su trong cóc ngănh co khi, nang lượng, đông lục Ngoăi ra câc tâc giả cũng hì Uong cón bộ bị thuật ö những lĩnh uục chuyín môn khúc như : quĩ trình uù thiết bị hóa học, luyện kim, chế biến lương thục, thục phẩm cũng có thể tìm thấy trong cuốn sâch năy những nội dung
tham khảo bồ ích
Sâch gồm ð phần uới 11 chương :
e GS TSKH Đặng Quốc Phú chu biĩn va uiết cúc phần dẫn nhiệt, trao đối nhiệt bức xợ, gồm cóc chương 1, 2, 3, 7, 8, 9
e PGS TS Trần Thế Sơn uiết phần trao đổi nhiệt đối lưu va thiết bị trao đổi nhiệt, gồm câc chương 4, 5, 6, 10
e GS, TSKH Trần Văn Phú uiết phần truyền nhiệt - truyền chốt hồn hợp, chương 11
Trong qua trình biín soạn chắc chắn không trânh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những nhận xĩt uă ý kiến đóng góp của ban doc dĩ lan xuất bản sưu được hoăn thiện hơn
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi cho chúng tôi theo dia chi sau : Viện khoa học uă công nghệ nhiệt — lạnh trường Dại học Bâch khóa,
Hă Nội ,
Trang 4Chương 1
CÂC ĐỊNH LUẬT VĂ -
PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN VỀ DẪN NHIỆT
Dẫn nhiệt lă sự truyền nhiệt năng giữa câc nguyín tử hay phđn tử của một vật hoặc giữa câc vật khi chúng tiếp xúc với nhau Câch thức truyền năng lượng phụ thuộc văo trạng thâi của vật chất Thí dụ, trong kim loại năng lượng được truyền giữa câc phần tử nhỏ nhất nhờ khuếch tân điện tử còn đối với câc chất khí, năng lượng chủ yếu được truyền thông qua khuếch tân phđn tử Dẫn nhiệt vì thế còn được gọi lă sự truyền nhiệt giữa câc phđn tử Tuy vậy, đối tượng của việc nghiín cứu dẫn nhiệt không phải lă bản chất của tâc động qua lại giữa câc phđn tử mă lă việc xâc định trường nhiệt độ vă dòng nhiệt trong vật thể
Về mặt toân học, có thể khảo sât câc quâ trình dẫn nhiệt nhờ hai định luật cơ băn : định luật bảo toăn năng lượng ứng dụng riíng cho nhiệt năng vă định luật kinh nghiệm của Fourier về dẫn nhiệt Sử dụng kết hợp hai định luật năy cho phĩp ta thiết lập phương trình vi phđn dẫn nhiệt mă nghiệm của nó lă phđn bố nhiệt độ trong vật thể khảo sât Nội dung cơ bản của câc tính toân về dẫn nhiệt lă tích phđn câc phương trình vi phđn nói trín ở câc điều kiện đơn trị cụ thể
1.1 ĐỊNH LUẬT FOURIER VE DAN NHIET
Ta hêy khảo sât một vật thể đồng nhất, đảng hướng có cấu tạo vật chất được
xem lă liín tục Khi vật không ở trạng thâi cđn bằng nhiệt động, tức lă khí mọi điểm
trong vật có nhiệt độ không như nhau, thì trong vật thể sẽ xây ra quâ trình dẫn
nhiệt Tập hợp tất cA cdc giâ trị nhiệt độ trong không gian của vật thể tại một thời
điểm năo đó được gọi lă trường nhiệt độ Một câch tổng quât, trường nhiệt độ lă một
hăm của hai biến độc lập ; vĩc tơ không gian r vă thời gian 7,t = fŒ?Ø) Bề mặt nối
tất cả câc điểm có cùng một giâ trị nhiệt độ tại cùng một thời điểm được gọi lă mặt đẳng nhiệt Sự thay đổi nhiệt độ theo phương phâp tuyến s” của câc mặt đẳng nhiệt
ot
lă lớn nhất : —c = Max 9s
Trín phương ry, lệch khỏi phương phâp tuyến của câc mặt đẳng nhiệt một góc ¿
(Hình 1-1), su thay đổi nhiệt độ được tính theo :
ot ot da? ot
Trang 5
Hình I—1 Trường nhiệt độ vă gradien nhiệt dộ
Nếu đưa một câch hình thức hệ số s” (s” =1) văo công thức thì độ tăng nhiệt độ theo chiều r được tính bằng : ot ot =— , = , 1-3 dt Br dr 5 8 dr.cosp (1~2) Trong công thite (1-2), s‘.dr.cosy 1a tích vô hướng của hai vĩcto sỲ vă dr nín khí sử dụng biểu thức đồng nhất : at» = 1-3 ade’ 2 gradt (1-3) thì sự thay đổi nhiệt độ được viết đưới dạng đơn giản (1~4a) + dt = Si “®.dP”= gradtdr”
Vĩc tơ được định nghĩa theo (1-8) lă gradien của trường nhiệt độ (gọi tắt lă gradien nhiệt độ) Gradien nhiệt độ có chiều lă chiều tăng nhiệt độ lớn nhất vă giâ trị tuyệt đối của nó bằng độ tăng nhiệt độ lớn nhất đó ot = = 1-4b | grade | a ( )
M6i quan hĩ gitta vĩcto mat 6 dong nhiĩt G vA gradt duoc Biot dĩ cAp tĩi nam
1804 vă năm 1822 được Fourier phât biểu thănh định luật kinh nghiệm Fourier - mĩt định luật cơ bản về dẫn nhiệt :
q = — Đ.gradt (1-5)
Hạ số dẫn nhiệt 1[W/mK] trong công thức (1-ð) lă đại lượng đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt của vật liệu, gid trị của nó phụ thuộc văo câc yếu tố : bản chất vật H, nhiệt độ, âp suất, độ ẩm, hướng v.v Hệ số dẫn nhiệt của một số vật liệu thường gặp được đưa ra trong phần phụ lục (PL.1)
Sự phụ thuộc của 1 văo nhiệt độ, trong phần lớn câc trường hợp có thể biểu diễn qua:
A(t) = 3¿( + #9
0) vă Ø lă câc hằng số được xâc định bằng thực nghiệm ; ổ có trong đó : Ẵ = Att =
Trang 6nhiệt theo nhiệt độ Đối với không khí vă câc vật rắn không dẫn điện Ø8 > 0 (tức lă | A tang khi nhiệt độ tăng), còn khả năng dẫn nhiệt của câc chất lỏng giảm khi nhiệt
độ tăng, ổ < 0, trừ nước vă glixírin
Dòng nhiệt truyền qua bề mặt dF có phương phâp tuyến n lệch khỏi phương phâp tuyến của câc mặt đẳng nhiệt một góc ø (Hình I- 2) được tính qua tích vô hướng của hai vĩc tơ q q vă n: dQ, = q" n'dF = —Agradt ndF = -A|gradt||n}co(180-y)dF (1-6) ‘ds (- đt dồn , t
Hinh 1-2 Dòng nhiệt qua diện tích phđn tố dF
Vì : | gradt| = =-= ; [PB] =1 vă —-eos(180 — ø) = cosp = = nĩn :
dQ, = -4(-35) (-$) aP = -1 > aP (1-7)
Lượng nhiệt truyền an bĩ mat F trong nhoỳng thời gian 7 được tính theo :
- Jfaa, ar = ~af frraatstarar = -af J % ava (1-8)
Như vậy, nhiệm vụ cơ bản của lí thuyết giải tích về dẫn nhiệt lă xâc định trường nhiệt độ Điều năy chỉ có thể thực hiện được thông qua việc thiết lập vă giải phương trình vi phđn dẫn nhiệt
1.2 PHUONG TRINH VI PHAN DAN NHIET
(Phuong trinh Fourier)
Có nhiều phương phâp thiết lập phương trình ví phđn dấn nhiệt tổng quât, dưới
đđy sẽ trình băy một trong những câch thiết lập đó Phương trình được thiết lập cho vật rắn đồng nhất, đẳng hướng, có tính chất vật lí không thay đổi theo nhiệt độ vă trong quâ trình khảo sât không xăy ra sự biến đổi trạng thâi
Trang 7năng của vật Q., phần còn lại được truyền ra môi trường bín ngoăi bằng dẫn nhiệt Q,, tức lă : Q,= 9, +, (1-8) Nếu mật độ nguồn nhiệt bín trong lă q, = qvứ, 7) vă diện tích về mặt bao quanh lă F thì (1-9) có thể khai triển thănh : Saav = fop 2 av+ f-agradtnar (1-10) Vv Vv F
trong đó : c - nhiệt dung riíng ; - khối lượng riíng
VÌ tích phđn mặt cớ thể chuyển thănh tích phđn thể tích theo nguyín lí tích phđn Gauss nĩn : Q, = —2Í gradtndF = -1ƒdiv gradt dV F V Khi sử dụng kí hiệu toân tử vi phđn div gradt = V2, phương trình (1-10) trở thănh : J (4, + ÔV?t — có m)4V =0 (1-11)
Quan hệ (1-11) không chỉ đúng đối với thể tích V mă còn đúng cả với phđn tố thể tích dV của vật thể, đo đó có thể bỏ dấu tích phđn, tức lă :
t
q, + AV - op & = 0 (1-12)
t q
hay : os 5 VẦt + „ (1-12b)
Tổ hợp câc thông số vật lí ø trong (1-12b) được gọi lă hệ số dấn nhiệt độ a = Đ [m2] Giâ trị của hệ số năy căng lớn thì sự san bằng nhiệt độ trong vật xảy ra căng nhanh Với hệ số dẫn nhiệt độ a, phương trình (1-12b) chuyển thănh :
q -
bad = aVt + œ (1-12c)
Phương trình vi phđn đạo hăm riíng cấp 2 tuyến tính, không đồng nhất (1-12c) được gọi lă phương trình Fourier
Trang 8— Đối với hệ tọa độ Đềcâc : 82 ae 82 —— + — 8x 0y? iz? ~ Đối với hệ tọa độ trụ : Vz a 1 a 1 g at Vs += - + —_+_-¬- ar2 r or rˆ 2 az? - Đối với hệ tọa độ cầu : 82, 2 2 1 9 coy 0 1 3 Ve +i f+ So + — +——
02 or Or)? gut) = siny 29V r2zing aye
1.3 DIEU KIEN DON TRI
Điều kiện đơn trị còn được gọi lă điều kiện giới hạn, nhờ chúng ta mới có thể xâc định được trường nhiệt độ trong vật thể một câch đơn trị Ngoăi câc điều kiện hình học (cho biết hình dâng, kích thước của vật), điều kiện vật lí (cho biết tính chất vật ii của vật Đ, c, cũng như mật độ vă phđn bố nguồn trong q,), điều kiện đơn trị cồn bao gĩm điều kiện ban đầu vă điều kiện biín
Điều kiện ban đầu : cho biết phđn số nhiệt độ trong vật tại thời điểm ban đầu, T= 0
tr) = 0) = tr}
Điều kiện biín được chia thănh 3 loại :
Điều hiện biín loại 1 : cho trước nhiệt độ trín biín đưới dạng một hăm của tọa độ bể mặt vă thời gian Với S lă bề mặt bao quanh vật thể, điều kiện năy có thể viết đưới dạng : tŒ?7) = t(?7);r €s,7> 0 (1-15) Điều kiện biến loại 2 : cho biết dòng nhiệt truyền vuông góc với bể mặt biín QŒ, 7) tết hợp với định luật Fourier, điều kiện biín loại 2 có thể biểu diễn theo : 2Í), = QŒ,7) (1-16)
Điều kiện biín loại 3 : đặc trưng cho trường hợp khi bề mặt vật tiếp xúc trực tiếp với một môi trường khâc vă quy luật truyền nhiệt giữa bể mặt vă môi trường đê biết trước Trường hợp phổ biến của điều kiện biín loại 3 lă trường hợp bề mặt trao đổi nhiệt đối lưu với môi trường :
dt —
Alan )q = ttn D ~ (0) (1-17)
Trang 9Trường hợp đặc biệt của điều kiện biín loại 3, còn gọi lă điều kiện biín loại 4 hoặc điếu kiện liín hợp, xảy ra khi bề mặt vật tiếp xúc trực tiếp với một vật rắn
khâc, tức lă :
tin = ty
at, at,
Ay (oa) un = 49 (Sr an (1-18) Nếu sự tiếp xúc giữa hai bể mặt không phải lă lí tưởng thì phải tính tới nhiệt trở tiếp xúc R vă (1-18) trở thănh :
ot 1 1 ‘
(Gain = BH 7 %2 (1-19)
Y nghia hinh hoc cta diĩu kiĩn biĩn loai 3 phĩ biĩn
nh&t dude trinh bay trĩn hinh 1-3 Khi dĩ, tiếp tuyến
của đường cong phđn bố nhiệt độ tại bề mặt luôn luĩn mạy 7-3, ý nghĩa hình học của `
điều kiện biín loại 3
đi qua một điểm cố định R : xụ, = 4 :Ỳnp = tr
1.4 PHĐN LOẠI CÂC BĂI TOÂN VE DẪN NHIỆT
Câc băi toân về dẫn nhiệt rất đa dạng, do đó để tiện cho việc nghiín cứu phương phâp giải cũng như việc sử dụng kết quả của câc lời giải đê có, về cơ bản, người ta phđn loại chúng theo câc đặc trưng sau :
1.4.1 Theo đặc trưng cơ bản của trường nhiệt độ
Theo đặc trưng năy, câc băi toân dẫn nhiệt được chia thănh băi toân dẫn nhiệt ổn định vă dẫn nhiệt không ổn định Khi trường nhiệt độ chỉ lă một hăm của không gian, t = t(r} thi quâ trình dẫn nhiệt lă quâ trình ổn định
1.4.2 Theo sự phụ thuộc của điều kiện vật lí vă điểu kiện biín văo nhiệt độ Theo sự phđn loại năy, câc băi toân dẫn nhiệt được chia thănh hai loại : băi toân tuyến tính vă băi toân phi tuyến Nếu câc tính chất nhiệt vật lí vă điều kiện biín, nguồn nhiệt bín trong lă hăm của nhiệt độ thì băi toân lă phi tuyến (khơng tuyến
tính) Câc băi tôn phi tuyến lại được chía thănh :
l) Phí tuyến loại ! : khì câc thơng số nhiệt vật lÍ của vật thay đổi theo nhiệt độ : Ô = Ă() ;c = cŒ)
2) Phi tuyến loại 2 : khi hệ số tỏa nhiệt œ, hoặc dòng nhiệt truyền qua biín phụ thuộc văo nhiệt độ : z = z(t,) ; Q = QŒt,)
Trang 10phđn biệt băi toân không tuyến tính với băi toân có hệ số biến đổi Câc hệ số trong mơ hình tôn học có thể thay đổi theo tọa độ vă thời gian nhưng nếu nó không phụ thuộc văo đại lượng chưa biết (nhiệt độ) thì mô hình vẫn lă tuyến tính Sự phđn biệt năy có ý nghĩa quan trọng bởi vÌ câc phương phâp giải băi toân tuyến tính có thể âp dụng để giải câc băi toân với hệ số thay đổi nhưng không thể âp dụng cho băi toân phi tuyến
1.4.3 Theo hăm cần xâc định
Tùy thuộc văo câc đại lượng biết trước vă câc đại lượng cần xâc định khi nghiín cúu, có thể phđn câc băi toân về dẫn nhiệt thănh câc loại :
1) Băi tôn (thuận : mơ hình toân học của hiện tượng va giâ trị câc hệ số trong phương trình cơ băn vă điều kiện biín cho trước Đại lượng cần xâc định lă trường
nhiệt độ
2) Băi toân ngược : mơ hình tôn học, trường nhiệt độ vă câc hệ số trong phương trình cơ bản đê biết, cần xâc định điểu kiện biín VÌ khi trường nhiệt độ cho trước thì nhiệt độ trín bề mặt vật cũng đê được xâc định, do đó câc điều kiện biín cần tìm chỉ có thể lă điều kiện biín loại 2 hoặc loại 3 :
3) Băi toân đảo : cho trước tơ hình tôn học vă trường nhiệt độ, cần xâc định câc hệ số trong phương trình cơ bản,
Trong câc tăi liệu chuyín môn, hai loại băi toân 2 vă 8 thường được gọi chung lă băi toân ngược Tuy nhiín, việc phđn loại chỉ tiết hai loại băi toân năy có cơ sở vă ý nghĩa nhất định vì câc hệ số cẩn tÌm trong băi toân ngược phản ảnh mối quan hệ bín ngoăi, còn trong băi toân đảo chúng phản ảnh cấu trúc bín trong Phương phâp xâc định câc hệ số trong điều kiện biín vă trong phương trình cơ băn có những đặc trưng riíng
4) Băi toân cảm ứng : xâc định mơ hình tôn học của biện tượng khi biết trường nhiệt độ Giải câc băi toân cđm ứng lă đối tượng của quy hoạch thực nghiệm
1.5 SO LUOC VE CÂC PHƯÓNG PHÂP GIẢI BĂI TOÂN DẪN NHIỆT
Câc phương phâp giải băi toân dẫn nhiệt được phđn loại theo những, đặc tính khâc nhau, cụ thể :
1.5.1 Theo công cụ được sử dụng để giải (Phương phâp thực nghiệm)
Câc phương phâp giải trong nhớm năy được chia thanh : Phuong phâp thực nghiệm trín đối tượng thực, thực nghiệm trín mô hình vật lí (cùng bản chất hiện tượng) vă thực nghiệm trín mô hình có bản chất vật lí khâc (phương phâp mô hình tương tự)
1.5.2 Theo dạng của kết quả
Phương phâp giải tích cho kết quả dưới đạng công thức, nhờ đó ứng với mỗi giâ trị của đối số có thể tìm được giâ trị của hăm
Trang 11Phương phâp số cho kết quả dưới dạng giâ trị bằng số của hăm đối với một số giâ trị cho trước của đối số
Phương phâp năy chỉ cho phĩp tìm lời giải đối với một số điểm nhất định của không gian
1.5.3 Theo độ chính xâc của lời giải
Theo đặc tính năy, phương phâp giải được chỉa thănh phương phâp chính xâc vă phương phâp gần đúng
Phương phâp giải tích vừa cố thể lă phương phâp chính xâc vừa có thế lă phương phâp gần đúng Nếu biếu thức kết quả của phương phâp giải tích có thể tính được chính xâc vă không phải bỏ qua bất cứ một số hạng năo trong đó thì phương phâp lă phương phâp giải tích chỉnh xâc Ngược lại, khi không tính được chính xâc, thí dụ : phải bỏ qua câc số hạng cuối của một chuỗi thì phương phâp trở thănh gần đúng Phương phâp số bao giờ cũng lă phương phâp gần đúng
1.5.4 Theo khả năng giải câc băi toân phi tuyến
Phương phâp giải câc băi toân phi tuyến cho phĩp giải không chỉ câc băi toân phi tuyến mă còn cả câc băi toân tuyến tính, nhưng ngược lại thì không được Tuy nhiín, có một số thuật toân cho phĩp dùng phương phâp giăi câc băi toân tuyến tính để giải câc băi toân phi tuyến Về bản chất, trong trường hợp năy người ta đê dùng hai phương phâp : phương phâp chuyển từ mô hình không tuyến tính thănh mô hình tuyến tính vă phương phâp giải câc băi toân tuyến tính
Có một loạt phương phâp để giải câc băi toân tuyến tÍnh, thí dụ như : - Phương phâp phđn li biến số (phương phâp Fourier)
~ Phương phâp nguồn (hăm Grin) - Phương phâp biến đổi tích phđn v.v
Phương phâp biến đổi tích phđn còn được gọi lă phương phâp toân tử Tùy thuộc văo giới hạn của tích phđn, phương phâp năy lại được chia thănh phương phâp biến đổi tích phđn vô hạn vă phương phâp biến đổi tích phđn hữu hạn Theo nhđn của toân tử chúng lại được chỉa thănh : phương phâp Laplace, phương phâp Pourier, phương
phâp Bessel v.v :
Tương tự như đối với băi toân tuyến tính, người ta cũng đê phât triển rất nhiều phương phâp khâc nhau để giải câc băi toân phi tuyến Có thể kể tín một văi phương phâp quen thuộc nhất như : phương phâp biến phđn, phương phâp lặp, phương phâp sai phđn hữu hạn (phương phâp lưới) mă đặc biệt đa dạng lă phương phâp biến phđn Mỗi một phương phâp trong nhóm năy đều mang tín câc nhă khoa học để xuất ra chúng như phương phâp Ritz, phương phâp Biot, phương phâp Galekin v.v
Câc phương phâp giải câc băi toân dẫn nhiệt rất đa dạng vă phức tạp Ngoăi việc phđn loại trình băy tốm tắt trín đđy, trong câc tăi liệu chuyín môn còn đưa ra rất nhiều câch phđn loại khâc Trong câc chương tiếp theo sẽ trình băy một số băi toân dẫn nhiệt tiíu biểu thường gặp trong kỉ thuật, đời sống vă phương phâp giải chúng, dựa văo sự phđn loại như đê trình băy ở trín
Trang 12Chương 2
DAN NHIET ON ĐỊNH
2.1 DAN NHIET ON DINH KHONG CO NGUON NHIET BEN TRONG
2.1.1 Câc băi toân với trường nhiệt độ một chiều 1) Dẫn nhiệt qua câc vội có hình dạng đơn giản
Trong lý thuyết truyền nhiệt, truyền chất, câc vật có hình dạng đơn giản nhất như tấm phẳng rộng vô hạn, vâch trụ, vâch cầu còn được gọi lă câc vật có hình dạng kinh điển Trường nhiệt độ trong câc vật năy lă trường
một chiều vă ở chế độ ổn định được biểu điển bằng câc phương trình ví phđn sau đđy : Lm at Đối với vâch phẳng : = x 2 Đối với vâch trụ : đt dr? 2 Đối với vâch cầu : đt ar” (2-1a) 1 dt ra” 0 (2-1b) 2 dt = 0 r dr (2-1c) Giải câc phương trình vì phđn năy với điều kiện đơn trị ta thu được nghiệm lă trường nhiệt độ vă khi biết trường nhiệt độ dĩ dăng tính được lượng nhiệt truyền qua vâch nhờ phương trình của định luật
Fourier
Thí dụ, băi toân dẫn nhiệt qua một tấm phẳng rộng vô hạn có chiều day 6 = X;— x¡ (Hình 2-1) vă
Trang 13Từ điều kiện biín dễ dăng xâc định câc hằng số tích phđn C;, C, :
tu — 1 2 tụy —Í 1 2
G= {1 1 X; —XỊ Co jị 2 wị +, x, x, xy 92
Phđn bố nhiệt trong vâch được biểu diễn bằng phương trình :
t = ty - ——"« - x) (2-2a)
Thay x, -— x, bang 6 va cho x, = 0, (2 - 2a) trở thanh :
t= ty, — (yy ~ ty) (2-2b)
Lượng nhiệt truyền qua vâch trong thời gian một giđy được tính theo : đt A
Q = -4F hố (ty; ~ tyyF [WI (2-3) Mat d6 dong nhiĩt q = a có thể viết dưới dạng biểu thức định luật Ohm
twi two At
A
trong đó : R - nhiệt trở dẫn nhiệt của vâch phẳng một lớp, R = `
Sử dụng sự tương tự giữa dòng nhiệt vă dòng điện, ta dễ dăng rút ra công thức tính mật độ dòng nhiệt truyền qua vâch phẳng nhiều lớp, thí dụ đối với vâch gồm n lớp :
tw 7 b(n +1)
n 6;
2 7,
1=1
Khi hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc văo nhiệt độ, thường được biểu diễn dưới dạng 2 = 4¿(l + Øt) - băi toân trở thănh phí tuyến
Trang 14Sử dụng khâi niệm hệ số dđn nhiệt trung bình 4„ :
t., ‘wl +t w2 A, ‘wl +a w2
A, = 42[1 + B —_ | = 7
phương trình (2-8) trở lại đạng của phương trình (2-4) viết cho trường hợp 4 = const Thế giâ trị mật độ dòng nhiệt q vă hệ số tích phđn C văo phương trỉnh (2-7) vă giải nó theo t, ta nhận được hăm phđn bố nhiệt độ trong vâch :
(2-9)
_ 1 1 2 _ 2qx _
t= Bt (ø † tw) Bi (2-10)
Phđn bố nhiệt độ trong vâch phẳng trong câc trường hợp 8 = 0.,8 > 0 va B < 0 được biểu diễn trín hình 2-1
Phương trình ví phđn đối với vâch trụ vă vâch cầu có thể chuyển thănh phương trình vi phđn đối với vâch phẳng, khí thực hiện phĩp thế r = e* văo phương trÌnh vâch trụ vă r = l/x văo phương trình vâch cầu Tức lă khi thế x = lnr văo nghiệm của phương trình (2-la) ta nhận được nghiệm của phương trình (2-1b) vă thế x = l/r văo nghiệm của phương trinh (2-la) ta được nghiệm của (2-lc) Mặt khâc, do việc giải câc phương trình (2-1b) vă (2-Ic) với câc điều kiện biín loại 1 không có gì khó khăn nín đưới đđy sẽ chỉ đưa ra câc công thức cuối cùng để tính trường nhiệt độ vă dòng nhiệt truyền qua câc vâch nay Đối với vâch trụ (Hình 2-3) : ft ,—t t=t,-~ “int (2-11) Yr TỊ In— Tụ QnA\(t,,, — ty, >) Q _ “t w2 (2-12) Ìn — ủ; Đối với vâch cầu tị f2 1 1 *= fa TT 1 (= 7%) (2-13) at ry T; d, , d, Ñ Q = 27 (t, 1 — t2) d,-4, (2-14)
Trong cdc cong thtfc trĩn day : r, = (d,/2) , r, = (d,/2) lă bân kính trong vă ngoăi của vâch ; | lă chiều dăi của vâch trụ Dối với vâch trụ người ta thường tính lượng nhiệt truyền qua chiều đăi Ì = 1m ; q, = Q/ [W/m] Khi ryr„ < 2 có thể dùng công thức (2-3) để tính lượng nhiệt truyền qua vâch trụ vă vâch cầu, khi đó điện tích F sẽ được tính thông qua đường kính trưng
bình d_ = (d, + d.)/2 Tỉ số r,/r, căng nhỏ, độ chính “NU xâc căng cao, nhung ngay ca khi r./r, = 2 thi sai số
Trang 15Khi vâch có chiếu dăy rất lớn, trường hợp giới hạn lă r„/r, —> œ, thì lượng nhiệt truyền qua vâch trụ sẽ lă : 2nd | „ = tT, (tyr 7 t2) = 0 (2-15) 2 [ne dion vă qua vâch cầu : Ama Jepew = TT Ty tn ~ baa) = Stat Cty, — bya) (2-16) Le Bene
Nếu một vật hình cầu có nhiệt độ không đổi t,, bân kính r, được đốt nóng (hoặc lăm nguội) trong môi trường dẫn nhiệt có kích thước vô cùng lớn với nhiệt độ t„ vă hệ số dẫn nhiệt Ă,, thì lượng nhiệt do vật đó tỏa ra (hoặc thu văo) cũng sẽ tính được theo công thức (2-16), tức lă : : QV = 414 r(t, — 4) Nếu sử dụng khâi niệm hệ số "tỏa nhiệt" z cho trường hợp năy thì : Q 4nd v(t, — t,) A a= = = u c F(t, > t.) Anr(t., —t,) tT, (2-17a)
Khi kích thước xâc định l = d_ = 2r, thì tiíu chuẩn Nusselt đối với trường hợp năy (trường hợp thuần túy dẫn nhiệt từ bể mặt vâch ra môi trường xung quanh) có giâ trị không đổi vă bằng :
al ad :
Nu, = Ay = A, = 2 (2-17b)
Tức lă tiíu chuẩn Nusselt của quâ trỉnh "tỏa nhiệt" từ vâch cầu ra môi trường xung quanh có giâ trị cực tiểu bằng 2 khi môi trường xung quanh không chuyển động Từ (2-17a) ta thấy rằng khi hệ số dấn nhiệt của môi trường không thay đổi thì hệ số tỏa nhiệt tỉ lệ nghịch với bân kính hình cầu (œ., ¬ 1l/r.) Kết luận năy có ý nghĩa rất quan trọng đối với kỉ thuật biến bụi chất lỏng vă bay hơi giọt trong câc buồng lửa, kỉ thuật sấy phun, v.v
2) Dẫn nhiệt qua cânh hoặc thanh Một trong những biện phâp có hiệu quả để tăng cường truyền nhiệt lă gắn câc cânh trín bể mặt truyền nhiệt Tùy theo hình dạng, câch bố trí bề mặt mă người ta sử dụng câc loại cânh khâc nhau : cânh tròn, cânh phảng, cânh hình thang, hình tam giâc v.v , nhưng câc loại cânh đều cố chung một đặc điểm lă có chiều day rất nhả (nhỏ hơn rất nhiều so với chiều cao, ð « ]) do đó có thĩ " xem quâ trình dẫn nhiệt qua cânh
như lă băi toân dẫn nhiệt một chiều Hình 2-4 Cđn bằng nhiệt cho một phđn tố thể tích
(Hình 2-4) , , cânh có chiều dăy Ax
Trang 16
Phương trình cđn bằng nhiệt đối với một đoạn cânh dx, đặt trong môi trường có nhiệt độ t, vă hệ số tóa nhiệt từ bể mặt cânh tới môi trường z, có dạng : Q > Q tax = dQ = aĩ.udx (2-18) trong đó : 6 =t-—-t, 1a nhiĩt độ thừa vă u, f lă chu vi va diện tích thiết điện ngang của cânh Sử dụng công thttc Fourier dĩ tinh Q, vA khai triển Q_„„„ dưới dạng chuỗi Taylo, phương trình (2-18) chuyển thănh : d Q.,T—- Qed * a dx = a8.udx d ` dØ
3 (Af ax) — abu = 0 (2-19)
Khi canh cĩ thiĩt diĩn khĩng dĩi, f = const, thivĩi ee = m2, phương trình (2-19) chuyển thănh : ag au —_— = = 2 - a HT Ø0 = m^9 (2-20) Nghiệm tổng quât của (2-20) có dạng : 6(x) = C,e" + C„e mx (2-21) Đối với quâ trình dẫn nhiệt qua cânh, có thể xĩt tới câc điều kiện biín sau đđy : a) xe=0: t=t, 60=6 x=]l: tt, 60 =6 (2-22a) b) x =0: t=; 6 = 6, ot a9 x = 1 am 7 Oo (2-22b) ec) x =O: t=t,; 8= 4, ot 86 x=]l: -A x” a(t, — t) ; -A x 7 a8, (2-22c)
Ö gốc cânh, nhiệt độ luôn luôn bằng nhiệt độ bề mặt khi không lăm cânh t,, còn
ở đỉnh cânh (x = l) thì điều kiện biín có thể cho thay đổi tùy từng trường hợp, tuy nhiín điều kiện c có thể trở thănh điều kiện b khi z; = 0, tức lă khi bỏ qua tỏa nhiệt ở đỉnh cânh Dưới đđy sẽ trình băy tớm tắt lời giải theo điều kiện biín c :
Khi x= 0: Ø8 = 6, >C¡ +, = 4, (2-23a)
dg a, 6,
Khi x = 1 —> ax = C,me™! — C„me_ ml = ——T—
hay : Ce™ + Cem! = 6, (2-28b)
Trang 17Tu (2-23a va b) dễ dăng xâc định được câc hing s6 tich phan C,, C, th lêi 6 = 6, ¬ em +e m + (em em) Thu ml G,sây—— 2 ° ml -m) 4 _ CHỤP a } m] —ml e™ +e + a —-e ma )
Thay câc hệ số năy văo (2-21) ta được biểu thức biểu diễn phđn bố nhiệt độ theo chiều cao của cânh (hoặc thanh) : a eẹ_ m(I—x) + em(-#) + ¬ [em(1~#) ~ ạ~ m(~—)) A(x) = 6, a (2-24a) — ] - e7 + e mi) + (eml — e mh hay : oy ch[m(1 —x)] +—; shim( - x)] 6(x) = 6, @ (2-24b) ch(mnl) +— sh(ml) Lượng nhiệt truyền qua gốc cânh (hoặc thanh) : đi — t+ th(ml) dĩ mA Q, = Af ax econ mA fo, — (2-25) 1 + thím)
Thông thường lượng nhiệt tỏa ra từ đỉnh cânh rất bĩ, nín điểu kiện biín b có ý nghĩa thực tiễn hơn cđ, trong trường hợp năy (2-24) vă (2-25) trở thănh : _ ch[m(l — x)] _ 6(x) = 6, — chịm] _ (2 26) Q, = mifĩ,th(ml) (3-27) Khi thanh dăi vô hạn (I —> œ) thì đồng thời tỏa nhiệt ở đỉnh cũng bằng không, nín : ch{m(1 — x)] _ = H —mx _ Ø(x) = iim 6, cm = 6,e (2-28) Q, = lim mAfĩ@th(ml) = mi f6, (2-29) | a
VÌ việc lăm cdnh tiĩu tốn vật liệu vă công, nín nó chỉ cố hiệu quả kinh tế khi dòng nhiệt tỏa ra môi trường lớn hơn nhiều so với khi kbông cố cânh Nếu bề mặt truyền nhiệt khi không có cânh lă F vă số lượng cânh lă z, thì điều năy cố nghỉa lă :
Q = a(F — 2f)6, + zQ, > FO, (2-30a)
Trang 18Đối với cânh phẳng có tiết diện không đổi, dòng nhiệt hiệu quả Q được tính theo : Q = af — 2f)6, + zm4fØ thím)) (2-30b)
Do đó điều kiện để cớ hiệu quả kính tế Ít nhất phải lă : Au
\ ot th(ml) > 1 (2-31)
Vì nhiệt độ giảm dần theo chiều cao của cânh, nín lượng nhiệt do cânh tỏa ra sẽ bĩ hơn so với trường hợp khi cânh có nhiệt độ đồng đều bằng nhiệt độ ở gốc cânh Để tiện cho việc tÍnh tôn trong thực tế, người ta đưa ra khâi niệm hiệu suất của cânh Hiệu suất cânh lă tỷ lệ giữa lượng nhiệt thực tế cânh tỏa ra vă lượng nhiệt cực đại mă cânh tỏa ra được khi chúng cớ nhiệt độ đồng đều bằng nhiệt độ ở gốc : Q, IR = Qua | Đối với cânh phẳng có tiết điện không đổi : mâ#,thệm) — thimp IR aula, ml (2-32)
Hiệu suất cânh căng lớn khi ml = \ = 1 căng bĩ (hỉnh 2-ða)
Đối với cânh tam giâc :
Ô‡_ Vùng có ý nghĩa kĩ thuật 1,0 0,8 i Q, Q; Q; 06 " Tr 1 0,4 \ ( ⁄ 02 tt 00 0 05 10 15 20 25 30 35 40 - z > ml ——» a) b)
Minh 2-5 Hi€u suất cânh (4) vă sự phụ thuộc của hiệu quả lăm cânh văo số cânh (b)
(Q, — dòng nhiệt hiệu quả, Ợ; — dòng nhiệt từ phần không lăm cânh ; Qy — đăng nhiệt ảo cânh tỏa ra)
Dòng nhiệt hiệu quă khi lăm cânh được tính theo :
Q = a(F - Zf + 27puÙ6, (2-33)
Trang 19cùng với số cânh, nhưng khi khoảng câch giữa câc cânh giảm xuống tới một mức năo đó, thì hệ số tỏa nhiệt œ sẽ giăm xuống vă lượng nhiệt do cânh tỏa ra vă dòng nhiệt hiệu quả cũng giảm xuống Quan hệ có tính chất định tính giữa dòng nhiệt tỏa ra môi trường vă số lượng cânh được trình băy trín hình 2-Bb
Tối ưu hóa việc sử dụng cânh lă một vấn đề rất đa dạng vă phức tạp VÌ cânh ảnh hưởng tới quâ trình tỏa nhiệt, do đó vấn đề năy thường được giải quyết bằng thực nghiệm
Đối với câc loại cânh khâc như cânh tròn, cânh hình thang, cânh tam giâc ta cũng có thể nhận được phương trỉnh vi phđn dẫn nhiệt từ phương trình tổng quât (2-19) vă giải chúng đối với từng điều kiện biín cụ thể để xâc định phđn bố nhiệt độ theo chiều cao cânh cũng như lượng nhiệt truyền qua gốc cânh Tuy nhiín, do việc tính toân như vậy phức tạp, nín trong thực tế người ta thường tính một câch gần đúng thông qua câc công thức đối với cânh phẳng có chiếu dăy không đổi, cụ thể : Đối với cânh tròn (Hình 2-6) : Q'=£Fqn (2-34a)
Hình 2-6, Cânh tròn có chiều đăy không đối Hình 2-7 Cânh hình thang vă hình tam giâc
Đối với cânh có chiều dăy thay đổi ~ cânh hình thang vă cânh tam giâc (hình 2-7) :
Q” = E".F”.qa (2-34b)
trong dd : Q’ va Q" la lugng nhiệt truyền qua cânh tròn vă cânh có chiều dăy thay đổi ; £` vă £" lă hệ số hiệu chỉnh đối với cânh tròn vă cânh có chiều dăy thay đổi, xâc định theo hình 2-8a, b
¬ = 6,’ ry| ° eae 6, ° 3) 2
F°, F” - diĩn tich bĩ mặt truyền nhiệt của câc cânh tương ứng
q, ¬ dòng nhiệt truyền qua một đơn vị bể mặt cânh thằng có chiều dăy, chiều cao bằng chiều dăy vă chiều cao của cânh tròn vă cố chiều dăi bằng một mĩt
q; - dòng nhiệt truyền qua một đơn vị bề mặt cânh thẳng cớ chiều dăy không đổi mă chiều cao, chiều dăi vă chiều dăy của nó bằng chiều cao, chiều dăi vă chiều dăy trung bình của cânh có chiều dăy thay đổi q„, q; được tính dựa theo câc công thức (2-28) hoặc (2-27)
Trang 20' T re bị = 1,0 l2 e BE folt, = 1,0 Ltt 0,8 > _ 4 > mă — “— jl 44 — = > F”, — t — {3 TL 3 LP 0,7 pa 4 SS 7” 1,0 1 1/8, 6,8 05p 0,2 04 06 08 10 0 0,2 04 06 08 tô a) b)
Hình 2—8 HỆ số hiệu chỉnh £` vă E" đối với cânh tròn (a) vă cânh hình thang (6) (Khi 54/5, = 0 — cĩnh tam giâc)
2.1.2 Dẫn nhiệt ốn định nhiều chiều -
Hình ảnh trường nhiệt độ nhiều chiều, qua thí dụ một cânh phẳng, được minh họa
trín hình 2¬9a
Câc băi tôn nhiều chiều bao giờ cũng phức tạp hơn rất nhiều so với băi toân một chiều, vì vậy không phải lúc năo cũng có thể dùng được phương phâp giải tích để giải chúng Mặt khâc, đối với câc vật cố hình dạng phức tạp, thì ngay cả khi giải được bằng giải tích thì lời giăi vă nghiệm thu được cũng rất phức tạp vă cồng kềnh, nín người ta thường dùng phương phâp gần đúng để giải Dưới đđy sẽ trình băy hai phương phâp : phương phâp phđn li biến số vă phương phâp thăng giâng để giải câc băi toân dẫn nhiệt ổn định nhiều chiều 55° 60° 65° 70° 75° 80° Đường đông nhiệt —_Ƒ + , Đường đẳng nhiệt “yoo
Hình 2-9a Trường nhiệt độ hai chiều trong cânh phẳng (ví đụ)
1) Dẫn nhiệt trong tấm phẳng với trường nhiệt độ hai chiều
Đối với trường hai chiều dạng t = t(x, y), phương trình (1-14) trở thănh :
2 + 2t co ay 82t
8x2 (2-85)
Giải bằng phương phâp phđn ly biến số có nghĩa lă tìm nghiệm của phương trình trín dưới đạng tÍch của hai hăm : một hăm theo biến x vă một hăm theo biến y
t = f(x, y) = p(x) yy) (2-36)
Trang 21Thế (2-36) văo (2-35) ta có : olny d’y(y) _ dx? dy? Chuyển câc hăm cing biĩn vĩ mĩt vĩ, phuong trinh trĩn trĩ thanh : 1 dyy) 1 d*y(x) W@) dy? o(x) dx2
Vì vế phải của (2-37) không phụ thuộc văo y vă vế trâi không phụ thuộc văo x, nín chúng phải bằng một hằng số Có thể đặt hằng số năy lă k2 (hoặc - k?) với k > Ô Như vậy, phương trình (2-37) có thể chỉa thănh hai phương trình vì phđn thường : d0) vy) + ¿@(x) 0 (2-37) “ay - k*p(y) = 0 (2-38) 2 ` =) + k’p(x) = 0 (2-39) Nghiệm của (2-38) có dạng : wy) = em (2-40) Khi thế (2-40) văo (2-38) ta thu được : 12e7 — k2eV = 0 Từ đđy suy ra phương trình đặc trưng) r? - k? = 0 hay r = + k Tức lă (2-88) có hai nghiệm p(y) = e!# va j(y) = e" nín nghiệm tổng quât của nó có dang: Uy) = Ce# + De (2-41) trong đó C, D lă những hằng số bất kỳ Tương tự (2-38), phương trình (2-39) có phương trình đặc trưng 2 +k2 =0hayr= £V- = tik — vă nghiệm tổng quât dạng : £() = C,.elf + C.,e 1A (2-42)
Vì e*!= coskx + isinkx nín :
p(x) = C,(coskx + isinkx) + C,(coskx — isinkx)
= (C,+C,)coskx + i(C,— C,)sinkx
= Acoskx + iBsinkx (2-48)
Mặt khâc, do cả phần thực vă phần ảo của (2-43) đều lă nghiệm của phương trÌnh vi phđn, nín (2-43) có thể viết dưới dạng :
y(x) = Acoskx + Bsinkx (2-44)
Thế (2-41) va (2-44) văo (2-36) ta được nghiệm tổng quât của phương trình (2-35) :
t = ø(*)@(y) = (Acoskx + Bsinkx(Ce* + De ®*n (2-45)
Trang 22Nội dung chủ yếu khi sử dụng nghiệm năy để giải câc băi toân cụ thể lă xâc định câc hằng số A, B, C, D Dĩ minh hoa, ta hay khảo sât băi toân dẫn nhiệt trong tấm y
phẳng, được biểu diễn trín hÌnh 2-9b với phương trÌnh vi ta ta phan vă điều kiện biín sau đđy :
89 „29 _ạ ax? ay?
6 =t-t, = 0 khix = 0 vă x =] 6, = tị - t, khi O0 < x <1 hoặc y=0
Ø0 >0 khi y — œ
t, : la nhiệt độ hai mặt bín, t, lă nhiệt độ mặt đây ; 0 t vă t¡ có giâ trị không đổi trong quâ trình khảo sât Chỉ cần thế nhiệt độ thừa Ø = t ~ t, văo vị trí của t
trong (2-45) ta cố nghiệm tổng quât của băi toân đang Xết mmnh 2-9p, Dẫn nhiệt với trường Bđy giờ ta hêy dựa văo điều kiện biín để tìm giâ trị của nhiệt độ hai chiều t = ƒ (x, y) câc hằng số A, B, C, D,
Khi x = 0 th 4 = 0 >A =0
Để nghiệm không tầm thường, tức lă không đồng nhất bằng không, B phải khâc khơng nín sinkÌì phải bằng không Những giâ trị lăm cho phương trình vi phđn có nghiệm không tầm thường vă thỏa mên điều kiện biín được gọi lă giâ trị riíng còn nghiệm không tầm thường đó được gọi lă hăm riíng
Để sinkl = 0 thì k phải cố câc giâ trị 0, z1, 2z, 3x1 ; một câch tổng quât k„ = nz với n = 0, 1, 2, 3, Khi y > œ thì 9 = 0 suy ra C = 0 Do Ă = 0; C = 0, nín đối với trường hợp đang khảo sât, nghiệm (2-45) trở thănh : HỆ 3 nx n TT ~( 47 k4
9 = BDe (1) gia 2 „ =Ee L1)”, sin[^^ (2-46)
Đối với phương trình vi phđn tuyến tính, đồng nhất tổng tất cả cầc nghiệm cũng lă nghiệm, nín từ (2-46) có thể viết nghiệm dưới dạng chuỗi cho trường hgp t, - t, #0: 6=> Be (1), sn | (2-47) Khi y = 0, phuong trinh (2-47) trĩ thanh : _` E inl) (2-48) n=1
Trang 23] Với : a, = f f(x)dx (2-B1a) l nt a, = J toon x] (2-5 1b) J nz ‘ b, = f tein a (2-51c)
Biến đổi dạng sỉn (2-50) được sử dụng để giải câc băi toân dẫn nhiệt trong tấm phẳng với điều kiện biín loại 1, còn biến đổi dạng cosin (2-49) được âp dụng đối với điều kiện biín loại 3 So sânh (2-48) với (2-50) kết hợp cùng (2-ðle) ta rút ra : 1 1 2 2 E.=TÍ tein 7 , dx =f J asin Q 20 = —_ eos x | (2-52) nz ] © 46, Với n = 1, 3, 5 , cosnm = - 1 va kh, = —— nør còn khi n = 2, 4, 6 , cosnz = 1 vA EL = 0 Như vậy, nghiệm cụ thể của băi toân trở thănh : 46 (7) “=> YY —— an (2-53) n= 1,32 1
2) Giải băi toân nhiều chiều bằng phương phâp gần đúng
Tất câ câc phương phâp gần đúng đều dựa trín cơ sở chuyển phương trình vi phđn thănh phương trình sai phân vă giải chúng băng phương phâp số Phương phâp thăng giâng lă phương phâp gần đúng, được xđy dựng để giải câc băi toân ổn định nhiều
chiều Theo phương phâp năy ta cố thể nhận được nghiệm gần đúng của phương trình từ nghiệm giả thiết ban đầu thông qua việc tính lặn để từng bước giảm bớt sai số, cho tới khi lời giăi đạt được độ chính xâc yíu cẩu
Trang 24Theo phương phâp năy, không gian dẫn nhiệt được phđn thănh những phần tử nhỏ có kích thước như nhau Với việc phđn vùng như đê chỉ trín hình 2-10, phương trình ví phđn được chuyển một câch gần đúng thănh :
A(At,) 4 At, A(At,)
ar Or ag
Kích thước của câc vùng căng bĩ, thì sai số của phĩp chuyển đổi năy căng nhỏ, Câc chỉ số dưới r, z trong phương trình sai phan chỉ chiều của sự thay đổi nhiệt độ Khi Az = Ar, (2-66) dude rit gon thanh : = 0 (2~55) A(At,) + = At, + A(At,) = 0 (2-66) VỊ : A(At,) = (t, — t,) — (t, — ty) t +t 5 1 t, +t 3 5 tị —tạ 1 At,= TT Ta “Tp
A(At,) = (ty ~ t,) - (ty - ty) nĩn phuong trinh (2-56) trĩ thanh : Ar ty th +t +t, — dt, + > (t, — &) = 0 (2-57) Từ biểu thức (2-57) dễ dăng rút ra phương trình đối với tấm phẳng (r —> œ) : 1 tị t2 +ty tt TA, =0 > t= Z(t tttt+t,) (2-58)
Bản chất vật lÍ của câc phương trình (2-57), (2-B8) chính lă cđn bằng nhiệt, thiết lập cho câc vùng xung quanh điểm nút 0 (Hình 2-10), nhưng ở đđy vật thể không còn lă liín tục vă quâ trình dẫn nhiệt được xem lă xảy ra trong mạng gồm câc thanh Việc xâc định phđn bố nhiệt độ trong vật được tiến hănh như sau : trước tiín ta hêy cho mối điểm nút một giâ trị nhiệt độ, câc giâ trị nhiệt độ cho trước có tính tùy tiện năy tất nhiín sẽ không thỏa mên phương trình (2-57), do đó :
ẤT
ttt ttytt, - 4t,+ 5 (ta) = Re 0
Mỗi một điểm nút có độ lệch R, ta phải tính tất cả câc độ lệch đổ vă tìm câch giđm chúng tới mức bĩ nhất Bước tiếp theo lă tìm điểm nút có độ lệch R lớn nhất vă thay đổi nhiệt độ của điểm nút đó sao cho độ lệch ở đó bằng không vă tiếp tục tính độ lệch của tất cô câc nút còn lại theo giâ trị nhiệt độ mới thay đổi Quâ trình tính toân vă hiệu chỉnh được tiến hănh cho đến lúc giâ trị của tất că câc độ lệch đều bĩ hơn mức yíu cẩu cho trước Giâ trị nhiệt độ tại câc điểm nút lúc đó chính lă nghiệm gần đúng của phương trình vi phđn
Thời gian vă khối lượng tính toân theo phương phâp năy phụ thuộc rất nhiều văo giâ trị nhiệt độ giả thiết ban đầu tại câc điểm nút, do đó trước tiín người ta thường chia vật thănh mạng cớ kích thước lớn vă giăi chúng để tìm phđn bố nhiệt độ vă dựa văo đó để giả thiết nhiệt độ ban đầu cho câc điểm nút khi chỉa mạng với kích thước bĩ Kích thước câc phần tử của mạng được xâc định theo yíu cầu về độ chính xâc của lời giải, Số phần tử trong mạng căng lớn (có nghĩa lă kích thước của mỗi phần tử căng bĩ) thì kết quả thu được căng chính xâc
Trang 25tố bề mặt tiếp xúc với môi trường theo điều kiện biín loại ba, tương ứng với câc ký hiệu trín hinh 2-7 cĩ dang : t, -—t ar,Ap.A2(t,~t,) + Aaz(t, - =) : a = + 2y Ar Ar “a t,-t, t,-t, +Đ + —g—— 4e (xz† Az ) = 0 (2-59) Hinh 2-11 Phan 16 thể tích (a) vă so dd mang ở vùng biín (b) Khi Az = Ar biếu thức (2-59) trở thănh : A Ar đc — to) + Or, ) (4 ~ tạ) + A Ar tt tay (17) ( 5 -tạ) =0 {2-60) ‘ Pray với vâch phẳng, tức lă khi r, > s , phương trình cđn bằng cho phđn tố bể mặt có dạng : A 25 =0 2-61
et) + Gag (4 + 3 ~ Ao) = (2-61)
Dĩ tinh lugng nhiĩt truyền qua bể mặt ta chỉ cần cộng tết că câc lượng nhiệt dẫn qua câc thanh xuyín qua bề mặt đơ
2.2 DAN NHIET ON DINH KHI CO NGUON NHIET BEN TRONG
Nguồn nhiệt bín trong, hiểu theo nghĩa rộng bao gồm cả nguồn thu lẫn nguồn phât (hay còn gọi lă nguồn đm vă nguồn đương), thường xuất hiện khi trong vật xđy ra câc phản ứng hóa học hay quâ trình biến đổi trạng thâi Thí dụ điển hình nhất về nguồn trong lă biện tượng phât nhiệt trong dđy dẫn khi cố dòng điện chạy qua hay câc thanh nhiín liệu trong lò phản ứng bạt nhđn Nguồn trong có thể phđn bố theo điểm, theo đường, theo bề mặt trong không gian của vật, nhưng dưới đđy chỉ khảo sât quâ trình thường hay gặp nhất trong thực tế : trường hợp nguồn trong phđn bố đều trong thể tich, q, = const
Trang 262.2.1 Băi toân tổng quât với điều kiện biín loại ba đối xứng
Phương trình vi phđn dẫn nhiệt trong vâch phẳng, vâch trụ vă vâch cầu khi cớ nguồn nhiệt bín trong phđn bố đều có thế viết dưới đạng tống quât sau đđy :
Sette tao (2-62)
n = 0 đối với vâch phẳng, n = 1 đối với vâch trụ, vă n = 2 đối với vâch cầu Giải phương trình vi phđn (2-62) ta thu được nghiệm sau đđy :
C,+C,r | gu
t(r) = JC, +C,In(r) | - — (2-63)
C+Cjø | +m
Câc hằng số tích phđn C, va C, được xâc định từ câc điều kiện biín cụ thể của từng quâ trình Ta hêy khảo sât một trường hợp đơn giản Trường hợp biín loại 3 đối xứng at ¬lê] - ¬ + a(„~ tị (2-64) dt Ix| = 0 (2-65) r=0
Từ (2-65) ta dễ dăng nhận thay C, = 0 ; xâc định hệ số C„_ từ điều kiện (2-64) cho phĩp nhận được nghiệm tổng quât cho cả ba trường hợp : ay? ro t(r) —% * Fam (1 - gt aR) (2-66) Nếu sử dụng câc đại lượng không thứ nguyín : we qyR4/A 0981 1 #zƠ r' = r⁄R 9 Bi = aR id thì nghiệm (2-66) chuyển thănh : 0,4) 2 $2 2 Py = min) [1 (r*) +5] at 4 4% (2-67) ~ re
Phđn bố nhiệt độ không thứ nguyín (2-67) 46 -40 -Q5 0 06 390 vỡ được biểu diễn trín hình 2-12 cho cả ba loại vật thể cố hình dâng kinh điển : phẳng, trụ vă cầu Hình 2-12 Phđn bố nhiệt độ không thứ nguyín tang tấm phẳng ( n = 0) ; vâch trụ (n = 1) vă vâch cầu (n = 2) 2.2.2 Dẫn nhiệt qua vâch trụ
Dưới đđy sẽ khảo sât một số trường hợp với điều kiện biín không đối xứng trong không gian hình trụ Nghiệm tổng quât của những băi toân năy lă trường hợp riíng của (2-63) khin = 1:
qự”
t= ar + C¡Ìnr + C, (2-68)
Trang 27Hêy xĩt một số trường hợp cụ thể ; 1) Nhiệt lượng ch! tỏa ra trín mặt ngoăi
Băi toân được cụ thể hóa bằng điều kiện biín sau đđy : dt
Khir =r, ~q = 0 ttc la lees, 7° 80)
Kh dt 4;
jr=n-F rer, 7 0 {wa — tr)
Câc kÍ hiệu 1, 2 chỉ mặt trong vă mặt ngoăi của vâch,
Xâc định câc hằng số tích phđn C,, C_ của (2-68) theo điểu kiện biín (2-69) ta tìm được hăm phđn bố nhiệt độ trong vâch : gy ry ays "12 r r\2 t=to+or [t- (5) ] +a [+ (zs) mỹ “(p)] (2-70) Khi f, = 0, vâch trụ trở thănh ống đặc vă (2-70) chuyển thănh : q,-R q% _ — 2 - tt + tai Œ r2 (2-71)
trong đó : t, lă nhiệt độ của môi trường vă R lă bân kính của ống
2) Nhiệt lượng chỉ tỏa ra ở mặt trong Với điều kiện biín : dt fn dt dar r=ry ~ (C7 tn) va dr r=r, = 0 nghiệm tống quât (2-68) trở thănh : WT T2 2 q, r M2 r\2 = —)*- 1] + — —)*- (= 2- r= fn * 2a, [(s) 1 4A [any + Œ) (=) | (2-72)
3) Nhiệt lượng tủa ra trín cả hai bề mặt
Khi nhiệt lượng tỏa ra trín cả hai bề mặt thì nhiệt độ sẽ đạt giâ trị cực đại tại r = r, (Hinh 2-13) vă quâ trình sẽ được giải theo hai băi toân : băi toân tỏa nhiệt văo bĩn trong vĩi r, < r < r, va băi toân tỏa nhiệt ra ngoăi với r„ < r < r¿ Tức lă mặt ngoăi của băi toân năy chính lă mặt
trong của băi toân kia Cđn bằng câc phương trình xâc định nhiệt độ t_ r của hai băi toân sẽ tìm được giâ trị Ty! ay} ~ r1) — 44 ~ ty) T; 2qJn 1q
Phđn bố nhiệt độ trong vâch được biểu điển theo hai phương trình : theo
Trang 28Chương 3
DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH
Chế độ dẫn nhiệt ổn định chỉ được xâc lập sau một thời gian đủ dăi vă khi điều kiện biín không thay đổi Rất nhiều quâ trình cố ý nghĩa quan trọng trong thực tế không thỏa mên được câc điểu kiện năy, nín trường nhiệt độ trong vật thay đổi theo thời gian vă chế độ dẫn nhiệt lă không ổn định Đó lă câc quâ trình xảy ra khi khởi động vă dừng mây, thiết bị ; câc quâ trình đốt nóng vă lăm nguội vật ; câc quâ trình xảy ra trong khoảng thời gian rất ngắn như trong câc thiết bị hăng không, câc động cơ tín lửa v.v Câc quâ trình dẫn nhiệt liín quan chặt chế tới độ bền của câc chỉ tiết vă kết cấu, do đó ngay cả khi quâ trình xảy ra trong thời gian rất ngắn nhưng việc nghiín cứu chúng cũng có ý nghĩa kinh tế vă kỉ thuật rất lớn
Chế độ dẫn nhiệt không ổn định có thể phđn thănh hai loại : chế độ chu kỳ vă chế độ chuyển tiếp Trong chế độ chu kỳ, trường nhiệt độ trong vật thay đổi lặp đi lặp lại thănh chu kỳ theo thời gian, còn chế độ chuyển tiếp lă chế độ chuyển từ chế độ ổn định năy tới chế độ ổn định khâc Quâ trình dẫn nhiệt không ổn định rất đa dạng vă phức tạp nín dưới đđy chỉ có thể trình băy một số rất ít những băi toân cơ bản thường gặp trong thực tế vă phương phâp giải chúng
3.1 DAN NHIET KHONG ON DINH VOI DIEU KIEN BIEN LOAI MOT
3.1.1 Đốt nóng (hoặc lăm nguội) một phía một tấm
phẳng dăy vô hạn
Trang 29Điều kiín biín : tT > O te =o) =
tyro) = ty
Nhiệt độ trong vật lă một hăm của năm biến :
t = f(x,T,a,t,,t,) , (3-1a)
Câc biến năy được đo bằng ba thứ nguyín độc lập lă m, s vă °K do do, từ phương phâp phđn tích thứ nguyín (xem mục 4.6) ta để dăng tìm được ba tổ hợp không thứ nguyín mô tả hiện tượng Hăm (3-la) có thể chuyển vĩ dang không thứ nguyín sau đđy :
= tím tr) (3-1b)
Như vậy ta đê chuyển được hăm gồm sâu đại lượng thănh hăm chỉ còn có 3 đại lượng Quan trọng hơn lă qua đđy có thể tổ hợp hai biến độc lập x vă 7 về thănh một
biến, do đó có thể đặt một biến độc lập mới £ = sự Hệ số 2 ö mẫu số được đưa
Trang 30Phđn bố nhiệt độ trong tấm được biểu diễn qua biểu thức sau : ệ ` 2 t 1 = B.ƒ exp(—‡?).đỆ (8-2) J exp[ (ey) ae % £=0 i} 0 vt Tích phđn trong (3-2) chính lă tích phđn 7— sai số của Gauss Tích phđn năy mang đặc 0,5 trưng của hăm bêo hòa với giâ trị giới hạn
bằng (Hình 3-2) 0 05 1 iS 2 28 ©
Để tiện tÍnh tôn, ta chuyển giâ trị giới
hạn về 1, khi đó (3-2) có thể viết dưới dang : Hình 3-2 Giâ trị của tích phđn sai s6 Gauss 2 Í ~ -1=B ve ze J exp (-@)"2) = B Vo ent (8-3) Ww Nhằm đơn giản lúc trình băy, dưới đđy sẽ ding ki hiĩu I thay cho erf€ ("error funetion")
Tức lă tích phđn I sẽ có giâ trị bằng Ó tại bề mặt tấm, £ = O va bang 1 tai cdc vi tri ở sđu trong tấm, £ > œ 2 4 2 I= erff = y= fed JT Theo điều kiện biín, khi ý -> » thi t = t,, nĩn trong trường hợp năy (3-3) trở thănh : t, Vx t, -le= B8 Do đó : t qe) 2 t, 3-4 B= lee (2-2) a Thế (3-4) văo (3-8) ta có : t, —t 2 ề — — =—/£s2 - ae = ae J °XPI-@J — (8-õa) hay : toto =l1- 2 r exp{~(£)].dĩ (3-5b) t.—t, Va
Phđn bố nhiệt trong vật không phụ thuộc riíng rẽ văo x, 7 mă phụ thuộc văo tổ hợp biến Ẹ= _“_ do đó khi hệ số a lớn có thể đạt được cùng một trường nhiệt độ
2Var `
sớm hơn so với trường hợp hệ số a bĩ Điều năy minh họa cho tính "dẫn nhiệt độ” của hệ số a
Trang 31Mật độ dòng nhiệt truyền qua bể mặt tấm : at
a= A(z)
Nếu sử dụng khâi niệm hệ số tỏa nhiệt, tương tự hệ số tỏa nhiệt đối lưu, thì khi độ chính nhiệt độ bang (t, - t.), hệ số năy được xâc định theo :
4 -\ 2 _
a(t) = ie aE (3-7)
Trong thực tĩ, ngudi ta khĩng quan tam tĩi gid tr} ttc thai a(t) ma chi quan tam giâ trị trung bình của hệ số năy trong một khoảng thời gian Z(? :
— 1 T 2 Ạ
an = GO - }ƒ SƠ ae LY a - 2 Ye ow
Khi thời gian tăng lín thì độ chính nhiệt độ trong vật giảm xuống, do đó hệ số tỏa nhiệt trung bình sẽ giảm _ 4 a ab - won FE leno & A ty — te) (3-6)
3.1.2 Đốt nóng cả hai phía một tấm phẳng rộng vô hạn Một tấm phẳng rộng vô hạn có chiều dăy s vă có
nhiệt độ đồng đều t.„ Tại thời điểm ban đầu r = 0, cả hai bề mặt của tấm (x = 0 vă x = s) được đốt nóng đột ngột đến nhiệt độ tv Nhiệt độ hai bề mặt
năy được giữ không đổi trong suốt quâ trình đốt nóng (Hình 8-3) Điều kiện ban đầu r7 = 0: fx=o) = easy = tụ tọ<x<s) = bọ Điều kiện biín khi £ > O: tx =0) = by =s) = tw Nhiệt độ trong tấm lă một hăm của sâu biến : = f &, 7 a, g, t,, t,)
Dùng phương phâp phđn tích thứ nguyín có thể Hình 3-3 Phđn bổ nhiệt độ trong tấm chuyển hăm năy thănh dạng không thứ nguyín : phẳng khi bị đổi nông cả hai phía
+ © a(x at fo
ty - gẺ a? ty
Khâc với phương trình không thứ nguyín ở muc 3.1.1, ở đđy câc biến độc lap x vă 7 nằm trong hai tổ hợp không thứ nguyín tâch biệt nhau (đó lă chiều dăi không
ag
thứ nguyín x” = ~ vă thời gian không thứ nguyĩn 7° = — ), do dĩ khong thĩ chuyĩn 8
Trang 32được phương trình vì phđn đạo hăm riíng thănh phương trình vi phđn thường Thời gian không thứ nguyín còn được gọi lă tiíu chuẩn Fourier :
pọ = 22 _ hệ số dẫn nhiệt độ x thời gian xâc định O = Tz =
s2 (kích thước xâc định)^
Dưới đđy sẽ không trình băy lời giải đẩy đủ, chính xâc của phương trình ví phđn đạo hăm riíng mă chỉ giới hạn ở việc tìm nghiệm tiệm cận cho trường hợp thời gian đú bĩ vă thời gian đủ lớn Chấp nhận khâi niệm nhiệt độ trung bỉnh của tấm tại thời điểm 7 : 1 S => ƒ tœ, dx vă hệ số tỏa nhiệt tức thời ø(7) : + 5 = EọC “R) ta có thể thiết lập phương trình cđn bằng nhiệt tức thời cho quâ trình đốt nóng tấm : Œ/2s)c SẼ) ~ 2pIt, - t0JleG) (3-9) Chuyển biến vă tích phđn hai vế ta thu được : tụ — ĨŒ) 2 7 n — = Gps J a(t)dt (3-10) Vì hệ số tỏa nhiệt trung bình trong khoảng thời gian từ 7 = 0 đến 7 được tÍnh theo : 1 T a(t) = ¿ J a@)dr o nín (3-10) có thể chuyển thănh : —Ă _ ¬- = exp (- 22 7) (8-11) Ww 9 Cfo
Với câc định nghĩa trín đđy, việc khảo sât quâ trình đốt nóng (hoặc lăm nguội) tấm phẳng chuyển sang việc xâc định hăm @(t)
Ngay từ năm 1820, Fourier đê tính toân được chính xâc câc quy luật 2( cho tấm phẳng cũng như một loạt câc vật thể khâc, câc quy luật năy được biểu diễn dưới dạng những chuỗi vô hạn
Dưới dđy chỉ để cập tới việc tìm lời giải gần đúng I) Khi thời gian đủ bĩ
6 giai đoạn ban đầu, quâ trinh dĩt nóng (hoặc lăm nguội) chỈ xảy ra ở câc vùng biín, còn ở vùng tđm nhiệt độ chưa thay đổi vă vẫn bằng t_ (xem đường 7 = T, trín
Trang 33hình 3-8) Trong trường hợp năy ta cố thể sử dụng nghiệm thu được đối với tấm phẳng dăy vô hạn, như đê trình băy ở phần 3.1.1, cụ thể : t—t 9 & 8 ype ee —/E92 t —t =1 Vx J expl () dĩ w Q 2 \ a) = “f
vVoi:E = We đối với phần tấm bín trâi £= siat đối với phần tấm bín phải
Kết quă tính toân bằng số cho thấy :
x _ tot,
khi £ = 5 = > 1,26 thi bit, S 0,1
Tức lă có thể sử dung nghiệm của lời giải đối với tấm dăy vô han dĩ tính cho tấm có chiều dăy hưu hạn s với độ chính xâc đủ cao, khi thỏa mên điều kiện :
S
2Var
2) Khi thời gian đủ lớn
Khi thời gian đủ lớn, nhiệt độ ở tđm của tấm cũng thay đổi Đối với trường hợp năy, nghiệm tiệm cận có thể viết dưới dạng tích của hai hăm : wT > 25 hay 0 < Fo =~ < 0,04 5 ty — tâ, 7) th -t, = ®@).WŒ) Thế biểu thức năy văo phương trình (3-1) ta có : a®'\(x)WŒ) = ®(@).P(0)- (3-12a) Chuyển câc hăm cùng biến về cùng một vế, (3~12a) trở thănh : ore) WO ; 2b) = WH = 7 (3-12)
Trang 34Phương trình (a) có nghiệm : O(x) = cos 5 (1 - =) jo 2 Với điều kiện tiệm cận cuối : Tomo: Yr) = O Phương trình (b) có nghiệm : W(t) = C,.exp [ —z2 or] trong đó C la hang số tự do
Lai gidi tiĩm can (v > ~) tổng quât cd dang (C,.C, = C) : t, —t(x, 7) (1 _ = C.cos| ty —ty w/a )] exp[ — 2? =] (3-13) bol @ |
Từ nghiệm nay ta dĩ dang tinh được nhiệt độ trung bỉnh tích phđn vă mật độ dòng nhiệt truyền văo tấm, 8 8 We) = FS tex, ndx= Ef fy Cty =k) C.cos [sứ ~)]eg~z2=]|ax ° 5 ° 2 = t, - (ty - t) CC sxp[ — ar) hay : t„ — t{) 2 tt =Cz exp| — mê TT nan: x=0,
Hệ số tự do C trong câc công thức trín đđy chỉ có thể được xâc định từ điều kiện liín hệ với lời giải ở phạm vi thời gian trung bình (thời gian không quâ lớn hoặc không quâ bĩ) Tuy nhiín, việc xâc định hệ số năy kbông phải lă đối tượng khăo sât ờ đđy
Từ mật độ dòng nhiệt q(t) vă độ chính nhiệt d6 t, — (2Ø), ta cố thể xâc định được hệ số tỏa nhiệt quy dẫn tức thời ø(Œ®) :
2 4
a(t) = nw = > 5 = a) (8-14)
Trang 35Như vậy, ở hai miền tiệm cận (khi thời gian đủ bĩ vă đủ lớn) ta cổ câc công thức tính hệ số tỏa nhiệt quy dẫn trung bình sau đđy :
at _ _ 2 Acp 1
Khi Fo= 5 £00 > @= ĩ W
, at _ a A
Khi Fo=— >> 1 7 eee si” const
Một câch tổng quât, trong toăn bộ quâ trình đốt nóng, hệ số tỏa nhiệt quy dẫn trung bình lă một hăm của năm biến :
a = fĂ,c,/P,s,fv)
Khi chuyển về dạng không thứ nguyín, hăm năy trở thănh :
as at
1x *Yl„
Với câc tiíu chuẩn không thứ nguyín :
Nu() = a) - tiíu chuẩn Nusselt của quâ trình truyền nhiệt tức thời ở bể mặt tấm ;
Tv
Fo(t) = > - tiĩu chudn Fourier
phương trình không thứ nguyín có thể viết dưới dạng tổng quât : Nu(t) = øŒo() (3-15) Theo câch biểu diễn năy, nghiệm ở câc miền tiệm cận trín đđy được viết dưới dang : 2 1 Khi 1 Fo < 0,04 — Nu < = Ve Fol2 x2 Khi Fo > 1 — Nu= 2
Đổi với toăn bộ quâ trình đốt nóng (hoặc lăm nguội) có thể sử dụng công thức gần đúng dưới dạng nghiệm xếp chồng kiểu trung bình nhđn
Trang 36- Hình cầu -
ad 2 2, 4 V 4s 1
= = 2 2) = = 72 — = —— ~
Nu= —_ =Ý\ Nưệ ,„+ Nuệ =1 (22) + ap = \429+1/274p (3-18)
Lời giải khi thời gian đủ bĩ đối với cả ba vật đều dựa văo lời giải đối với tấm phẳng dăy vô hạn, do đó cả ba công thức (3-16), (3-17) vă (3-18) đếu có hệ số 1,273 Câc hệ số trong lời giải khi thời gian đủ lớn tăng dần theo thứ tự : tấm phẳng (24,35),
hình trụ (33,15), hình cẩu (43,29) vì theo thứ tự năy, diện tÍcH bề mặt riíng (bể mặt của một đơn vị thể tích) của câc vật tăng lín : tấm (2/8), trụ (4/đ), cầu (6/d), do đố quâ trình đốt nóng được tăng cường
Từ phương trỉnh cđn bằng nhiệt tức thời, ta cớ thể thiết lập được công thức tính nhiệt độ trung bỉnh tích phđn cho hình trụ vă hình cầu tương tự như đê tính cho tấm phẳng (công thức 3-I]) Đối với hình trụ : t,—t, exP(~ cpa) (3-19) Đối với hình cầu : ty —W#) ty ĐC = exp(- mie 9) (3-20) 3.1.4 Dẫn nhiệt trong tấm phẳng dăy vô hạn khi nhiệt độ bề mặt thay đổi một câch tuần hoăn
Phần lớn câc quâ trình công nghệ, đặc biệt lă trong ngănh cơ khí, lă sự lặp đi lap lại một câch liín tục cùng một nguyín công, do đở tất c câc thông số trạng thâi, trong đó có nhiệt độ, thay đổi một câch tuần hoăn Sự thay đổi kiểu năy còn xđy ra trong rất nhiều quâ trình khâc, ở đó, do yíu cầu công nghệ nín sự "đóng - mở”, "lăm
việc - nghỉ" được điều khiển theo chu kỳ Thí dụ điển bình về câc quâ trình loại năy lă hoạt động của câc thiết bị hổi nhiệt của câc buềng lửa kỹ thuật (như ở lò cao, lò
thủy tỉnh v.v ) Tuy nhiín, sự thay đổi nhiệt độ theo thời gian trong một chu kỳ lă rất khâc nhau vă đa dạng : có thể thay đổi theo đường không liín tục, đường dic đắc, đường hình sin v.v Sừ dụng phương phâp phđn tích điều hòa cho phĩp biểu diễn với
độ chính xâc tùy ý mọi đường cong tuần hoăn bằng câch chập nhiều đường hình sin
khâc nhau
Khi khảo sât câc quâ trình có nhiệt độ biín thay đổi tuần hoăn, người ta thường giả thiết lă thời gian xđy ra quâ trình đủ dăi đến mức phđn bố nhiệt độ ban đầu không ảnh hưởng tới quâ trình vă trường nhiệt độ chỉ phụ thuộc văo điều kiện biín Bđy giờ ta hêy khảo sât quâ trình dẫn nhiệt trong một tấm phẳng dăy vô hạn có nhiệt độ trín một bề mặt thay đổi theo hăm tuần hoăn
l„ = Ñ„ + At,cos(wz) (3-21)
trong do : t, - nhiĩt độ bề mặt trung bỉnh ; | At, - biín độ dao động nhiệt độ tại bể mặt x = 0 ;
2z `
w - tần số dao động (œ = + với 7 lă chu kỳ của dao động)
oO
Trang 37l1) Hình dụng trường nhiệt độ Để giải phương trình vi phđn dẫn nhiệt (3-1) với điều kiện biĩn (3-21) ta dat : t(x,T) = t, + At(x,t); — At(x,7) = W(x) (7) (8-22) Nếu cho : Œ®(Œ) = exp(+jwt) (8-28) thì : 82t — = \W'x)®(Q = V(x) exp(~] œ9 ax? 5 = W(x).®'7) = W(x)(T—j 6) exp(T—]j œ?) khi đó (3-1) trở thănh phương trình vi phđn cấp 2 tuyến tính đồng nhất : a!f”'(x)exp( —]j ¿#)—=(x)( —] 2)exp( FJ wT) W(x) = = V(x) (3-24) Dat nghiĩm : YY = WY exp(~j dx) (3-25) thi (3-24) trĩ thanh : W (x) = W(-jd)exp(-jdx) = — dW exp(—j dx) jw _T WY exp(—j ox) 2_ iw — = tì lâi hay : ot Ỗ Wye Vi : e?Ì = cosp + jsine ki iz = # + igìn =ị 6 2=cos> +Jsm 2 3 , 1 ki 1 nín : Viz +t (e2)?=+e4 = +ưz(+)) 1 +] wo do do : 6 = J sVa Thay gid tri cla 5 vao (3-25) va thĩ (8-23), (8-25) vao (3-22) ta được : At = WV jexpf + a ¬ X].exp(~j wt) (38-26) ) \2 ^x+ ot] n (3-27a) l
At = W,;exp Í~ 1 xt i [Ye eye o x- or | (3-27b)
Tu (3~26) suy ra hai nghiĩm :
At = 1 exp| 5 —x- J
—
Trang 38
Phần thực của câc nghiệm (3-27a, b) cũng lă nghiệm của phương trình nín : 1 |
At = W., exp [œ ` *]=*[† ¬ x + ar] (3-28a) 1
At = W2 exp [( —dg yf 2x)]008(- 7 Về = x +o) (3-28b)
Nghiệm thứ nhất (3-28a) bị loại vì theo nghiệm năy thỉ sự dao động nhiệt độ Ât tăng theo x, tức lă không đâp ứng được điều kiện biín khi x > œ thì At —> 0
Theo điều kiện biín : Ât = At,cos(wT) khi x = 0 nĩn Wi, = At, vă nghiệm của băi toân trở thănh :
At = Atyexp[ ~ 75 Y 2 *]es(~ vn x + “)
t(x,D) = ¥, + At exp [ —gg \?z) cos{ ~ % — 4 + ot) (3-29)
Phương trình trín đđy mô tả sóng truyền trong vật với tốc độ bằng V2aw va vĩi biín độ giâm dần theo quy luật hăm số mũ (Hình 3-4) Mức xuyín sđu của sóng tăng
tì lệ với a vă tỉ lệ nghịch với j2 Tức lă chiều đăi bước sóng vă độ xuyín sđu của sóng nhiệt độ căng lớn khi hệ số dẫn nhiệt độ căng lớn vă dao động căng chậm _—¬ +Alw “Aly
Hình 3-4 Biín độ dao động nhiệt độ lại câc vị ứrÍ khâc nhau trong tấm
Trang 39T% Alw 0ê -0§
Hình 3—5 Phđn bố nhiệt độ rong tấm dăy vô hạn tại câc thời điểm khâc nhau
nhiệt độ ở hai vị trí năy lă ở biín độ vă pha Ở vị trí x, sự lệch pha (so với bể mặt) được tính theo : x x Tụ % = Yoo = 2 Vie Khi x = Var, su lĩch pha bang t2 ,„ tức lă lệch pha so với dao động ở bề mặt nửa chu kì
Nếu xem chu kỉ dao động nhiệt độ trín bề mặt trâi đất lă một năm (Z_ = 8760 h) vă hệ số dẫn nhiệt độ của đất a = 0/0015 m⁄h thì biến thiín nhiệt độ ở câc vị trí cố độ sđu x = Vicar, = V¥1,5.10 32.8760 = 6,4m lệch pha so với biến thiín nhiệt độ trín bề mặt nửa năm, tức lă khi nhiệt độ trín bề mặt cao nhất thì nhiệt độ tại vị trí năy lại thấp nhất (văo thâng giíng nhiệt độ tại đđy lă cao nhất, còn văo thâng 7 nhiệt độ lại thấp nhất) Biín độ dao động nhiệt độ tại đđy bĩ hơn rất nhiều sơ với ở bề mặt, At/At, = e ” = 1/23 (thực nghiệm cũng cho kết quả tương tự)
2) Dòng nhiệt truyền qua bề mặt
Lượng nhiệt truyền qua bề mặt được tính theo công thức quen thuộc : at
dQ = “tre Fdt
=0
ot 1 a 1 @ _
VỊ : a lx <0 = At, lựz \ a sinwt v2 \ a coser | =
Trang 40nín ; Q = AFAt, 1 qs Sees (1 + sốc (3-30)
Nếu tích phđn theo cả chu kỳ thì (3-30) sẽ bằng không ; trong thực tế người ta thường quan tđm tới lượng nhiệt vật tích văo hay thải ra, do đỏ cần thực hiện tích phđn trong nửa chu kỳ 7 = f/2 :
T,
Q;~; 2= ÔFAI, \ vă (+ V2) = Fat, \ = Viep (3-31a)
Can thite thd hai trong (3-31a) duge goi la hĩ sĩ thdm nhiĩt, b = VAce Sử dụng khâi niệm năy, (3-31a) trở thănh :
Qr.;2=FPAt Vă b (3-31b)
3.2 DAN NHIET KHONG ON DINH VOI DIEU KIEN BIEN LOAI BA ĐỐI XỨNG
Quâ trình dẫn nhiệt khi đốt nóng (hoặc lăm nguội) tấm phẳng, vâch trụ, vâch cầu với điều kiện biín loại ba đê được khảo sât rất tỉ mỉ vă được trình băy đẩy đủ hầu như trong tất cả câc giâo trình truyền nhiệt, truyền chất, Phương phâp chung được sử dụng để giải câc băi toân năy lă phương phâp phđn ly biến số Để minh họa, dưới đđy chỉ trình băy băi toân đốt nóng hoặc lăm nguội một tấm phẳng có câc thông số vật lý không thay đổi theo nhiệt độ Băi toân được phât biểu như sau :
Một tấm phẳng rộng vô hạn có chiều dăy s = 2ð , hệ số dẫn nhiệt Đ vă có nhiệt độ ban đầu đồng đều t_ được lăm nguội trong môi trường có nhiệt độ không đổi ty Hệ số tỏa nhiệt từ câc bể mặt tới môi trường lă œ Hêy xâc định phđn bố nhiệt trong tấm vă lượng nhiệt tỏa ra môi trường trong quâ trình lăm nguội
Nếu đặt gốc tọa độ ở tđm của tấm vă sử dụng ký hiệu nhiệt độ thừa 6 = t ~ tr thì quâ trÌình trín đđy được biểu diễn bằng câc biểu thức toân học sau : 38 _— „829 or 0x? Ô% ,r = o) = 0, = const (3-32) 98 39 0x ceo OF Ax x=6 = a6, 3.2.1 Xâc định trường nhiệt độ
Sử dụng phương phâp phđn ly biến số ta đặt 9(x, tT) = p(t).w(x), khi dĩ phuong trình vi phđn trong (3-32) chuyển thănh :
?'Œ) = "@ (8-33)
a./Œ@ vw@Œ)